गुरुत्वाकर्षण — कक्षा 11 भौतिक विज्ञान नोट्स

गुरुत्वाकर्षण में शामिल टॉपिक

1. 1.गुरुत्वाकर्षण का परिचय

   संक्षिप्त उत्तर:

   गुरुत्वाकर्षण एक ऐसा बल है जो दो वस्तुओं के बीच मास रखने पर उत्पन्न होता है। यही कारण है कि सेब भूमि पर गिरते हैं और ग्रह इस बिगड़ते सूरज के चारों ओर चक्कर काटते हैं।

   लंबा उत्तर:

   गुरुत्वाकर्षण का वैश्विक नियम: सर आइज़क न्यूटन द्वारा तैयार किया गया, इसका कहना है कि यह हर वस्तु को खींचता है जो एक दूसरी वस्तु के मास का गुणक और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के प्रति सरल अनुपात में होता है।

   पृथ्वी पर गुरुत्व: हमारे प्लैनेट पर, यह बल हमें वजन देता है और चीजों को भूमि पर गिरने का कारण बनाता है। यह हमारे वायुमंडल को अटूट रखता है और हमें बिना उड़े बिना चलने की अनुमति देता है।

   कक्षीय चालन: गुरुत्वाकर्षण ग्रह, चंद्रमा और आर्टिफिशियल सैटेलाइट्स के चक्कर काटने के लिए जिम्मेदार है। इस बिना इस बल के, वे गुरुत्वाकर्षण के बल के बिना अंतरिक्ष में सीधी राह में चलते।

   पनियों: चंद्रमा और सूरज का गुरुत्वाकर्षणी आकर्षण पृथ्वी पर समुद्रों को उठाने और गिराने के लिए कारण बनाता है, जिससे ज्वार उत्पन्न होते हैं।

   वास्तविक जीवन में उपयोग: गुरुत्वाकर्षण कई दिनबदिन के कामों के लिए आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यह हमें बोतल से पानी निकालने की अनुमति देता है, वाहनों को सड़क पर बनाए रखता है, और बास्केटबॉल या सॉकर जैसे खेलों में बहुत महत्वपूर्ण है।

   करियर और उद्योग: गुरुत्वाकर्षण को समझना विमान अभियांत्रण, खगोलशास्त्र, भूभौतिकी, और यातायात के क्षेत्रों में आवश्यक है। यह भी जरूरी है कि जो पेशेवर और निर्माण अभियंता होना चाहिए जो गुरुत्वाकर्षण के बल को सहने की क्षमता वाले संरचनाओं का डिज़ाइन करने के लि

2. 2.केप्लर के नियम

   लघु उत्तर

   केप्लर के नियम हमारे सौर मंडल में ग्रहों की गति का वर्णन करते हैं। तीन नियम हैं:

   1. कक्षा का नियम: ग्रह अंडाकार कक्षाओं में गति करते हैं जिसमें सूर्य एक केंद्र में होता है।
   2. क्षेत्रफल का नियम: एक रेखा खंड जो एक ग्रह और सूर्य को जोड़ता है, समान समय अंतराल के दौरान समान क्षेत्रफल को साफ करता है।
   3. अवधियों का नियम: एक ग्रह की कक्षीय अवधि का वर्ग सीधे उसकी कक्षा के अर्ध-मुख्य अक्ष के घन के अनुपात में होता है।

   विस्तृत उत्तर

   1. कक्षा का नियम कल्पना कीजिए कि ग्रह सूर्य के चारों ओर पूर्ण वृत्तों में नहीं, बल्कि खिंचे हुए वृत्तों या दीर्घवृत्तों में घूमते हैं। सूर्य इस दीर्घवृत्त के मध्य में नहीं होता बल्कि एक केंद्र पर होता है। इससे यह समझाया जा सकता है कि क्यों ग्रह वर्ष के कुछ समय में सूर्य के अधिक निकट होते हैं।

   2. क्षेत्रफल का नियम सूर्य और एक ग्रह को जोड़ने वाली एक रेखा की कल्पना कीजिए। जैसे-जैसे ग्रह कक्षा में घूमता है, यह रेखा अंतरिक्ष के क्षेत्रफलों को साफ करती है। केप्लर ने पाया कि जब ग्रह सूर्य के निकट होता है तो तेजी से चलता है और जब दूर होता है तो धीमे। इस कानून का मतलब है कि एक विशिष्ट समय में साफ किया गया गया क्षेत्रफल हमेशा समान होता है, चाहे ग्रह सूर्य के निकट हो या दूर।

   1. अवधियों का नियम यह कानून एक ग्रह के सूर्य के चारों ओर घूमने में लगने वाले समय (उसका वर्ष) को उसकी सूर्य से दूरी से जोड़ता है। अगर एक ग्रह सूर्य से दूर है, तो उसे एक कक्षा पूरी करने में अधिक समय लगता है। केप्लर ने इस संबंध को गणितीय रूप से दिखाया: एक ग्रह की कक्षीय अवधि का वर्ग (एक बार घूमने का समय) उसकी सूर्य से दूरी के घन के अनुपात में होता है।

   वास्तविक जीवन में उपयोग ये कानून ग्रहों की स्थितियों की भविष्यवाणी करने में मदद करते हैं, जो अंतरिक्ष मिशनों के लिए आवश्यक है। ये खगोलीय यांत्रिकी को समझने में मूलभूत हैं और खगोल विज्ञान और अंतरिक्ष अन्वेषण जैसे क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं।

3. 3.गुरुत्वाकर्षण का सार्वभौमिक नियम

   संक्षिप्त उत्तर

   गुरुत्वाकर्षण का सार्वभौमिक नियम यह कहता है कि ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु एक दूसरे वस्तु को एक बल से आकर्षित करती है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के सीधे अनुपात में और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के विपरीत अनुपात में होता है।

   विस्तृत उत्तर

   1. परिभाषा: सर आइज़क न्यूटन द्वारा प्रतिपादित गुरुत्वाकर्षण का सार्वभौमिक नियम यह कहता है कि ब्रह्मांड में प्रत्येक कण एक दूसरे कण को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के सीधे अनुपात में और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के विपरीत अनुपात में होता है।

   2. सूत्र: इस नियम का सूत्र है =122F=Gr2m1​m2​​, जहां:

      • F दो वस्तुओं के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल है,
      • G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है,
      • 1m1​ और 2m2​ दो वस्तुओं के द्रव्यमान हैं,
      • r दो वस्तुओं के केंद्रों के बीच की दूरी है।

   3. वास्तविक जीवन का उदाहरण:

      • पेड़ से सेब गिरना: यह एक प्रसिद्ध उदाहरण है जहां गुरुत्वाकर्षण सेब को पृथ्वी की ओर खींचता है।
      • ग्रहों का परिक्रमा: ग्रह सूर्य के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण सूर्य की परिक्रमा करते हैं।

   4. दैनिक जीवन और करियर में अनुप्रयोग:

      • अंतरिक्ष अन्वेषण: अंतरिक्ष यान को प्रक्षेपित करने और नेविगेट करने में गुरुत्वाकर्षण की समझ महत्वपूर्ण है।
      • इंजीनियरिंग: सिविल इंजीनियरों को पुलों और इमारतों की डिजाइनिंग करते समय गुरुत्वाकर्षण बलों पर विचार करना चाहिए।
      • विमानन: पायलटों को विमान को ठीक से नियंत्रित करने के लिए गुरुत्वाकर्षण को समझना चाहिए।

4. 4.सरल व्युत्पत्ति

   1. न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण कानून: यह कहता है कि ब्रह्मांड में प्रत्येक बिंदु द्रव्यमान दूसरे बिंदु द्रव्यमान को एक बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के सीधे अनुपात में और उनके बीच की दूरी के वर्ग के विपरीत अनुपात में होता है। सूत्र है =122F=Gr2m1​m2​​।

   1. व्युत्पन्न करना:

      • चरण 1: दो वस्तुओं को मानें जिनके द्रव्यमान 1m1​ और 2m2​ हैं।
      • चरण 2: उनके केंद्रों के बीच की दूरी r है।
      • चरण 3: न्यूटन के अनुसार, उनके बीच का गुरुत्वाकर्षण बल (F) उनके द्रव्यमानों के गुणनफल (1×2m1​×m2​) के सीधे अनुपात में और उनकी दूरी के वर्ग (2r2) के विपरीत अनुपात में होता है।
      • चरण 4: गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक (G) को शामिल करें, जो एक अनुपातिकता कारक है। इससे सूत्र बनता है =122F=Gr2m1​m2​​।

   2. गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक (G): यह सूत्र में एक स्थिरांक है और इसका मान लगभग 6.674×10−11 Nm2/kg26.674×10−11Nm2/kg2 है।

5. 5.गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक

   संक्षिप्त उत्तर

   गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, जिसे G के रूप में दर्शाया गया है, वह सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के कानून में एक मुख्य कारक है। यह दो वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल की गणना के लिए प्रयोग किया जाने वाला एक अनुपातिकता स्थिरांक है। इसका मान लगभग 6.674×10−11 Nm2/kg26.674×10−11Nm2/kg2 है।

   विस्तृत उत्तर

   1. गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक क्या है?

      • गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, जिसे G के रूप में प्रतिनिधित्व किया गया है, प्रकृति का एक मौलिक स्थिरांक है। यह न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण कानून के सूत्र में एक मुख्य घटक है।

   2. 
      G का मान:

      • गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक का मान लगभग 6.674×10−11 Nm2/kg26.674×10−11Nm2/kg2 है। यह मान कानून द्वारा परिभाषित परिस्थितियों के अंतर्गत गुरुत्वाकर्षण की शक्ति को दर्शाता है।

   3. सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण कानून में महत्व:

      • =122F=Gr2m1​m2​​ सूत्र में, G का प्रयोग दो द्रव्यमानों (1m1​ और 2m2​) के बीच गुरुत्वाकर्षण बल (F) की गणना करने के लिए किया जाता है, जो एक दूरी r से अलग होते हैं।

   4. विज्ञान में महत्व:

      • गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक विभिन्न संदर्भों में गुरुत्वाकर्षण बलों कीगणना करने के लिए महत्वपूर्ण है, चाहे वह खगोलीय यांत्रिकी हो या इंजीनियरिंग और अंतरिक्ष अन्वेषण।

6. 6.पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण

   संक्षिप्त उत्तर

   पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, जिसे g के रूप में दर्शाया गया है, वह त्वरण है जो किसी वस्तु द्वारा पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण अनुभव किया जाता है। पृथ्वी की सतह के पास, इसका औसत मान लगभग 9.8 m/s29.8m/s2 है।

   विस्तृत उत्तर व्युत्पन्न सहित

   1. पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण क्या है? यह वह त्वरण है जो किसी वस्तु द्वारा पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण अनुभव किया जाता है। यही कारण है कि वस्तुएं पृथ्वी की ओर गिरती हैं।

   2. व्युत्पन्न करना:

      • चरण 1: न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण कानून का प्रयोग करें, जो कहता है कि दो वस्तुओं के बीच बल है =122F=Gr2m1​m2​​।
      • चरण 2: यहाँ, 1m1​ पृथ्वी का द्रव्यमान है, 2m2​ वस्तु का द्रव्यमान है, और r पृथ्वी की त्रिज्या है।
      • चरण 3: गुरुत्वाकर्षण बल (F) वस्तु के द्रव्यमान (2m2​) और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) के गुणनफल के बराबर भी होता है, अर्थात् =2F=m2​g।
      • चरण 4: F के लिए दोनों अभिव्यक्तियों को समान मानते हुए, हमें मिलता है 122=2Gr2m1​m2​​=m2​g।
      • चरण 5: g के लिए हल करते हुए, =12g=Gr2m1​​। यहाँ, 1m1​ पृथ्वी का द्रव्यमान है और r पृथ्वी की त्रिज्या है।

   3. 
      g का मान:

      • पृथ्वी की सतह के पास g का औसत मान लगभग 9.8 m/s29.8m/s2 है।

7. 7.त्वरण के कारण पृथ्वी की सतह के नीचे और ऊपर गुरुत्वाकर्षण

   संक्षिप्त उत्तर

   • पृथ्वी की सतह के नीचे: जैसे-जैसे आप पृथ्वी के अंदर जाते हैं, गुरुत्वाकर्षण कम होता जाता है।
   • पृथ्वी की सतह के ऊपर: जैसे-जैसे आप पृथ्वी से दूर जाते हैं, गुरुत्वाकर्षण कम होता जाता है, जो उल्टा वर्ग संबंध का अनुसरण करता है।

   विस्तृत उत्तर और व्युत्पन्न के साथ

   1. पृथ्वी की सतह के नीचे

   • व्युत्पन्न:
     • पृथ्वी को समान घनत्व वाले गोले के रूप में मानें।
     • जब आप सतह से 'd' गहराई पर होते हैं, तो केवल (पृथ्वी की त्रिज्या - d) वाले गोले का गुरुत्वाकर्षण प्रभावित करता है।
     • गहराई 'd' पर गुरुत्वाकर्षण ′=×(1−)g′=g×(1−Rd​) होता है, जहाँ R पृथ्वी की त्रिज्या है, और g सतह का गुरुत्वाकर्षण है।
   • वास्तविक जीवन का उदाहरण: गहरी खदानों में, खनिकों का वजन सतह पर की तुलना में थोड़ा कम होता है।
   • गतिविधि: विभिन्न गहराइयों पर वसंत तराजू का उपयोग करके वजन की तुलना करें।
   • जीवन और करियर में उपयोग: भूविज्ञान और खनन इंजीनियरिंग में महत्वपूर्ण।

   2. पृथ्वी की सतह के ऊपर

   • व्युत्पन्न:
     • जब आप पृथ्वी से 'h' ऊंचाई पर होते हैं, तो पृथ्वी के केंद्र से दूरी +ℎR+h होती है।
     • ऊंचाई 'h' पर गुरुत्वाकर्षण ′=×(+ℎ)2g′=g×(R+hR​)2 होता है।
   • वास्तविक जीवन का उदाहरण: अंतरिक्ष यात्री अंतरिक्ष में सूक्ष्म गुरुत्वाकर्षण का अनुभव करते हैं।
   • गतिविधि: विभिन्न ऊंचाइयों पर गुरुत्वाकर्षण को मापने के लिए सेंसर ऐप का उपयोग करें।
   • जीवन और करियर में उपयोग: एयरोस्पेस इंजीनियरिंग और खगोल भौतिकी में महत्वपूर्ण।

8. 8.गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा

   संक्षिप्त उत्तर

   गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा वह ऊर्जा है जो एक वस्तु के पास एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में उसकी स्थिति के कारण होती है। यह ऊर्जा वस्तु की ऊंचाई बढ़ने के साथ बढ़ती है, आमतौर पर पृथ्वी की सतह के संदर्भ में।

   विस्तृत उत्तर

   गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा की समझ

   1. परिभाषा: गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा वह ऊर्जा है जो एक वस्तु के पास गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में उसकी स्थिति के कारण होती है। यह ऊर्जा का एक रूप है जो गुरुत्वाकर्षण बल से संबंधित है।

   2. सूत्र: मूल सूत्र है =ℎGPE=mgh, जहाँ:

      • m वस्तु का द्रव्यमान है,
      • g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है (पृथ्वी पर लगभग 9.8 /29.8m/s2),
      • ℎh वस्तु की संदर्भ बिंदु के ऊपर की ऊंचाई है।

   3. कैसे काम करता है:

      • जब आप एक वस्तु को उठाते हैं, तो आप गुरुत्वाकर्षण के खिलाफ काम करते हैं, जिससे इसकी GPE बढ़ जाती है।
      • अगर वस्तु गिरती है, तो GPE गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

   4. वास्तविक जीवन का उदाहरण:

      • बांध में पानी: ऊंचाई पर स्थित पानी की अधिक GPE होती है। जब यह नीचे बहता है, तो यह ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित होती है, जिसका उपयोग बिजली उत्पन्न करने में किया जा सकता है।

   5. समझने के लिए गतिविधियाँ:

      • प्रयोग: एक वस्तु को विभिन्न ऊंचाइयों पर उठाएँ और प्रत्येक ऊंचाई पर इसकी GPE की गणना करें।
      • निरीक्षण: एक लटकती हुई लोहे की गेंद को झूलते हुए देखें। उच्चतम बिंदुओं पर, इसमें अधिकतम GPE और न्यूनतम गतिज ऊर्जा होती है।

   6. करियर और उद्योगों में महत्व:

      • इंजीनियरिंग और भौतिकी: पुलों, बांधों की डिजाइनिंग और ग्रहों की गतियों का अध्ययन करते समय GPE को समझना महत्वपूर्ण है।
      • नवीकरणीय ऊर्जा: जलविद्युत शक्ति संयंत्र पानी की GPE को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करते हैं।

      गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा का व्युत्पन्न

      गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा एक वस्तु की गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में स्थिति के कारण ऊर्जा होती है। यहाँ हम GPE के सूत्र का व्युत्पन्न करते हैं:

      1. प्रारंभिक बिंदु: एक वस्तु का द्रव्यमान m मानें जो जमीन से ℎh की ऊंचाई पर है।

      2. गुरुत्वाकर्षण के खिलाफ कार्य: इस वस्तु को ℎh की ऊंचाई तक उठाने के लिए गुरुत्वाकर्षण बल के खिलाफ कार्य करना पड़ता है। यह कार्य GPE के रूप में संग्रहीत होता है।

      3. गुरुत्वाकर्षण बल: वस्तु पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल =F=mg है, जहाँ g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।

      4. कार्य की गणना: कार्य को बल गुणा दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है। यहाँ, बल mg और दूरी ℎh है।

      5. GPE की गणना: तो, कार्य (और इसलिए GPE) इस प्रकार है: =बल×दूरी=×ℎGPE=बल×दूरी=mg×h अतः, =ℎGPE=mgh।

      संख्यात्मक उदाहरण

      समस्या: 10 किलोग्राम की वस्तु को 5 मीटर की ऊंचाई पर उठाया गया है। इसकी गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा की गणना करें। मान लें =9.8 /2g=9.8m/s2।

      समाधान:

      1. दिया गया है:

         • वस्तु का द्रव्यमान, =10 m=10kg
         • ऊंचाई, ℎ=5 h=5m
         • गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, =9.8 /2g=9.8m/s2

      2. सूत्र: =ℎGPE=mgh

      3. गणना: =10×9.8×5GPE=10×9.8×5 =490 जूलGPE=490जूल

      तो, वस्तु की गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा 490 जूल है।

9. 9.पलायन वेग

   संक्षिप्त उत्तर

   पलायन वेग वह न्यूनतम वेग है जो किसी वस्तु को ग्रह के गुरुत्वाकर्षण खींच से बिना आगे के प्रणोदन के मुक्त होने के लिए आवश्यक होता है।

   विस्तृत उत्तर

   पलायन वेग की समझ

   1. अवधारणा:

      • पलायन वेग वह वेग है जिस पर एक वस्तु की गतिज ऊर्जा किसी ग्रह के कारण गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा के बराबर होती है।
      • यह वस्तु को ग्रह के गुरुत्वाकर्षण खींच को पार करके अंतरिक्ष में जाने में मदद करता है।

   2. सूत्र:

      • किसी ग्रह से पलायन वेग ve​ दिया जाता है =2ve​=2gR​, जहाँ:
        • g ग्रह की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है,
        • R ग्रह की त्रिज्या है।

   3. व्युत्पन्न:

      • ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए, सतह पर गतिज ऊर्जा (KE) अनंत पर गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा (GPE) के बराबर होती है।
      • KE = 12221​mv2 और GPE = RGMm​, जहाँ M ग्रह का द्रव्यमान है।
      • KE को GPE के बराबर सेट करके और v के लिए हल करने से पलायन वेग मिलता है।

   4. वास्तविक जीवन का उदाहरण:

      • अंतरिक्ष मिशन: रॉकेटों को पृथ्वी से बाहर निकलने और अंतरिक्ष की यात्रा करने के लिए पलायन वेग प्राप्त करना आवश्यक होता है।

   5. गतिविधि:

      • विभिन्न ग्रहों के लिए उनके गुरुत्वाकर्षण और त्रिज्या का उपयोग करके पलायन वेग की गणना करें।

   6. करियर और उद्योगों में महत्व:

      • अंतरिक्ष अन्वेषण: अंतरिक्ष यान को डिजाइन करने और मिशनों की योजना बनाने के लिए महत्वपूर्ण।
      • खगोल विज्ञान और खगोल भौतिकी: अंतरिक्ष में वस्तुओं के व्यवहार और ग्रहीय यांत्रिकी को समझने में मदद करता है।

10. 10.पृथ्वी उपग्रह

    पृथ्वी के उपग्रहों की अवधारणा में पृथ्वी के चारों ओर कक्षा में चक्कर लगाने वाली वस्तुओं का समावेश होता है। ये वस्तुएं प्राकृतिक हो सकती हैं, जैसे कि चाँद, या कृत्रिम, जैसे कि हम विभिन्न उद्देश्यों जैसे संचार, मौसम निगरानी, और वैज्ञानिक अनुसंधान के लिए प्रक्षेपित करते हैं। आइए हम विस्तार से समझते हैं:

    1. पृथ्वी के उपग्रहों की अवधारणा:

       • उपग्रह वे वस्तुएं होती हैं जो पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा करती हैं।
       • उनकी कक्षाएँ दीर्घवृत्ताकार हो सकती हैं, परंतु सरलीकरण के लिए, उन्हें अक्सर वृत्ताकार माना जाता है।
       • चंद्रमा प्राकृतिक उपग्रह का एक उदाहरण है, जो पृथ्वी की लगभग 27.3 दिनों की अवधि में परिक्रमा करता है।

    2. उपग्रह कक्षा के लिए केंद्राभिमुख बल:

       • वृत्ताकार कक्षा में, उपग्रह को एक वृत्त में गति करने के लिए केंद्राभिमुख बल की आवश्यकता होती है। यह बल पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
       • इस केंद्राभिमुख बल का सूत्र है केंद्राभिमुख=2+ℎFकेंद्राभिमुख​=Re​+hmv2​, जहाँ m उपग्रह का द्रव्यमान है, v इसकी कक्षीय गति है, और +ℎRe​+h पृथ्वी के केंद्र से उपग्रह तक की दूरी है।

    3. गुरुत्वाकर्षण बल:

       • उपग्रह पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल गुरुत्वाकर्षण=(+ℎ)2Fगुरुत्वाकर्षण​=(Re​+h)2GmMe​​ से दिया गया है, जहाँ G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, m उपग्रह का द्रव्यमान है, Me​ पृथ्वी का द्रव्यमान है, और +ℎRe​+h उपर्युक्त दूरी है।

    4. केंद्राभिमुख और गुरुत्वाकर्षण बलों का समीकरण:

       • उपग्रह की कक्षा को बनाए रखने के लिए आवश्यक केंद्राभिमुख बल, गुरुत्वाकर्षण बल से आता है। केंद्राभिमुख=गुरुत्वाकर्षणFकेंद्राभिमुख​=Fगुरुत्वाकर्षण​ को बराबर करके और v के लिए हल करके, हम उपग्रह की कक्षीय गति पा सकते हैं।

    5. कक्षीय गति और अवधि:

       • जैसे-जैसे ऊँचाई ℎh बढ़ती है, कक्षीय गति कम हो जाती है क्योंकि दूरी के साथ गुरुत्वाकर्षण बल कम होता है।
       • पृथ्वी के निकट उपग्रहों के लिए, हम अवधि T पा सकते हैं, जो कि एक कक्षा को पूरा करने के लिए लगने वाला समय है, गति, कक्षा की त्रिज्या, और अवधि के बीच संबंध का उपयोग करके।

    6. केप्लर का काल नियम:

       • यह नियम ग्रह (या उपग्रह) की कक्षा की अवधि के वर्ग को इसकी कक्षा के अर्ध-प्रमुख अक्ष के घन से जोड़ता है। उपग्रहों के लिए, अवधि का वर्ग पृथ्वी के केंद्र से कक्षा की त्रिज्या के घन के अनुपाती होता है।

    7. कक्षीय अवधि की गणना:

       • निम्न पृथ्वी कक्षा में उपग्रहों के लिए, हम कक्षीय अवधि 0T0​ को 0=2T0​=2πgRe​​​ के सूत्र के साथ अनुमानित कर सकते हैं, जहाँ g पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है, और Re​ पृथ्वी की त्रिज्या है।
       • पृथ्वी की त्रिज्या को 6400 किमी और g को 9.8 /29.8m/s2 मानते हुए, हम निम्न पृथ्वी कक्षा में उपग्रह की अवधि को लगभग 85 मिनट के रूप में गणना करते हैं।

    सारांश में, पृथ्वी के उपग्रह ग्रहीय निकायों के साथ-साथ लागू होने वाले भौतिकी के नियमों का पालन करते हुए पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण और अपनी जड़त्व के संतुलन के कारण कक्षा में बने रहते हैं। उनकी कक्षा की विशिष्टताओं को गुरुत्वाकर्षण, द्रव्यमान, दूरी, और वेग से संबंधित समीकरणों के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है।