डेरिवेटिव का अनुप्रयोग — कक्षा 12 गणित नोट्स

डेरिवेटिव का अनुप्रयोग में शामिल टॉपिक

1. 1.व्युत्पन्न के अनुप्रयोग का परिचय

   व्युत्पन्न के आवेदन का परिचय

   आइए गणित में व्युत्पन्न की दुनिया में गोता लगाएँ, जो एक रोचक और शक्तिशाली उपकरण है! कल्पना कीजिए कि आप एक फोटोग्राफर हैं जो रॉकेट लॉन्च को कैप्चर करना चाहते हैं। आप विभिन्न क्षणों में रॉकेट के आरोहण की गति को ट्रैक करना चाहते हैं। यहां व्युत्पन्न काम में आते हैं—वे हमें समझाते हैं कि चीजें कैसे बदलती हैं। गणित में, एक व्युत्पन्न हमें यह बताता है कि एक मात्रा दूसरे के संबंध में किस दर पर बदलती है।

   रोजमर्रा की जिंदगी में, व्युत्पन्न हमें कई तरीकों से मदद करते हैं, चाहे वह गति की गणना करना हो या संसाधनों का अनुकूलन करना हो। ये इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, भौतिकी और यहां तक कि हमारे दैनिक निर्णय लेने के क्षेत्र में भी अनिवार्य हैं।

   वास्तविक जीवन के उदाहरण

   • गति और त्वरण: रॉकेट की गति को ट्रैक करने की तरह, व्युत्पन्न किसी कार की किसी भी क्षण में गति या किसी वस्तु के तेजी से बढ़ने या घटने की गति को निर्धारित करते हैं।
   • अर्थशास्त्र: व्यापार व्युत्पन्न का उपयोग करके उत्पादन स्तरों के संबंध में लागतों में बदलाव की दर की गणना करके अधिकतम लाभ या न्यूनतम लागत खोजते हैं।
   • चिकित्सा: फार्माकोलॉजी में, व्युत्पन्न यह निर्धारित करते हैं कि किसी दवा की एकाग्रता रक्तप्रवाह में कितनी तेजी से बढ़ती या घटती है, जो खुराक तय करने में मदद करता है।

   व्युत्पन्न का उपयोग करने वाले करियर और उद्योग

   • इंजीनियरिंग: इंजीनियर घटकों को डिजाइन करने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं, यह समझने में कि आयामों में बदलाव से संरचना में तनाव या गर्मी पर कैसे असर पड़ता है।
   • वित्त: वित्तीय विश्लेषक व्युत्पन्न का उपयोग करके शेयरों और वस्तुओं की बदलती कीमतों को मॉडल करते हैं, जिससे वे भविष्य के रुझानों की भविष्यवाणी कर सकते हैं और जोखिमों का समायोजन कर सकते हैं।
   • मौसम विज्ञान: मौसम विज्ञानी व्युत्पन्न का उपयोग करके मौसम पैटर्न में बदलाव का अनुमान लगाते हैं, जिसमें तापमान और दबाव दरों के बदलाव शामिल हैं।

   व्युत्पन्न और उनके अनुप्रयोगों को समझना न केवल आपके गणितीय कौशल को बढ़ाता है बल्कि कई करियर के अवसरों को भी खोलता है। चाहे आप तकनीक, विज्ञान, वित्त, या यहां तक कि खेलों में रुचि रखते हों, व्युत्पन्न सूचित निर्णय लेने और परिणामों का अनुकूलन करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

2. 2.मात्राओं के परिवर्तन दर की व्याख्या

   मात्राओं के परिवर्तन दर की व्याख्या

   मात्राओं के परिवर्तन दर को समझना ऐसा है जैसे हम अपने आसपास चीजों के कितनी तेजी से हो रहे हैं, इसकी निगरानी रखना। इस अवधारणा को स्पष्ट करने के लिए एक सरल उदाहरण का प्रयोग करें। कल्पना कीजिए कि आप एक गुब्बारे में हवा भर रहे हैं। जैसे-जैसे आप हवा भरते जा रहे हैं, गुब्बारे का फैलना (इसकी मात्रा बढ़ना) मात्राओं के परिवर्तन दर का एक व्यावहारिक उदाहरण है।

   गणित में, परिवर्तन दर यह वर्णन करने का एक तरीका है कि एक मात्रा दूसरी मात्रा के संबंध में कैसे बदलती है। व्युत्पन्न इस परिवर्तन दर को सटीक रूप से मापने के लिए हम जिस उपकरण का उपयोग करते हैं।

   यह कैसे काम करता है

   राजमार्ग पर यात्रा कर रही एक कार के बारे में सोचें। स्पीडोमीटर कार की गति दिखाता है, जो समय के साथ कार की स्थिति में परिवर्तन की दर है। गणितीय शब्दों में, अगर 𝑠(𝑡)s(t) समय 𝑡t पर कार की स्थिति को दर्शाता है, तो व्युत्पन्न 𝑠′(𝑡)s′(t), या स्थिति के परिवर्तन की दर, हमें किसी भी क्षण कार की गति बताती है।

   परिवर्तन दर की गणना करना

   परिवर्तन दर की गणना करने के लिए, आप इस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

   परिवर्तन दर=मात्रा में परिवर्तनसमय में परिवर्तनपरिवर्तन दर=समय में परिवर्तनमात्रा में परिवर्तन​

   उदाहरण के लिए, अगर आप 2 घंटे में 100 किलोमीटर की यात्रा करते हैं, तो आपकी औसत गति (समय के सापेक्ष दूरी की परिवर्तन दर) है:

   गति=100 किलोमीटर2 घंटे=50 किलोमीटर/घंटागति=2 घंटे100 किलोमीटर​=50 किलोमीटर/घंटा

   वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग

   • अर्थशास्त्र: अर्थशास्त्र में, परिवर्तन दर से पता चलता है कि कंपनी के मुनाफे में समय के साथ कितनी जल्दी वृद्धि या ह्रास हो रहा है।
   • जीवविज्ञान: जीवविज्ञानी बैक्टीरियल आबादी के विस्तार की दर का अध्ययन कर सकते हैं ताकि वृद्धि को समझने और नियंत्रित करने में मदद मिल सके।
   • भौतिकी: भौतिकविद त्वरण जैसी दरों की गणना करते हैं, जो वेग के परिवर्तन की दर है।

   करियर और उद्योग

   • डेटा विज्ञान: डेटा वैज्ञानिक समय के साथ डेटा रुझानों में बदलावों का विश्लेषण करते हैं ताकि भविष्यवाणियां कर सकें या पैटर्न को समझ सकें।
   • पर्यावरण विज्ञान: पर्यावरण वैज्ञानिक तापमान और वर्षा दर जैसे जलवायु चर के बदलावों का अध्ययन करते हैं ताकि मौसम पैटर्नों की भविष्यवाणी कर सकें और पारिस्थितिकी प्रणालियों पर प्रभावों का मूल्यांकन कर सकें।
   • खेल विज्ञान: खेलों में, खिलाड़ी के सुधार की दर का विश्लेषण करने से व्यक्तिगत प्रशिक्षण कार्यक्रमों को डिजाइन करने में मदद मिलती है।

   परिवर्तन दर की गणना और व्याख्या करना सीखना आपको अपने चारों ओर की दुनिया के कई पहलुओं का विश्लेषण करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है, जिससे आपकी दैनिक जीवन और पेशेवर सेटिंग्स में सूचित निर्णय लेने की क्षमता बढ़ती है।

3. 3.उदाहरण: गति की गणना परिवर्तन दर के रूप में

   कल्पना कीजिए कि एक कार निश्चित दूरी तय करती है और आप विशेष समय अंतराल पर यह ट्रैक कर रहे हैं कि यह कितनी दूर जाती है। यहाँ परिदृश्य है:
   

   • यात्रा की दूरी: कार 300 किलोमीटर की यात्रा करती है।
   • समय लिया: यात्रा में 6 घंटे लगते हैं।

   उद्देश्य

   कार की औसत गति की गणना करें, जो समय के संबंध में दूरी की परिवर्तन दर है।

   सूत्र

   परिवर्तन दर की गणना इस प्रकार की जाती है:

   परिवर्तन दर=दूरी में परिवर्तनसमय में परिवर्तनपरिवर्तन दर=समय में परिवर्तनदूरी में परिवर्तन​

   गणना

   हमारे परिदृश्य से मानों का उपयोग करते हुए:

   • दूरी में परिवर्तन = 300 किलोमीटर
   • समय में परिवर्तन = 6 घंटे

   औसत गति=300 किलोमीटर6 घंटे=50 किलोमीटर प्रति घंटाऔसत गति=6 घंटे300 किलोमीटर​=50 किलोमीटर प्रति घंटा

   तो, कार की औसत गति 50 किलोमीटर प्रति घंटा है। इसका मतलब है, औसतन, कार की स्थिति हर घंटे 50 किलोमीटर बदलती है। यह यह दर्शाता है कि आप रोजमर्रा की स्थितियों में परिवर्तन दर की अवधारणा का उपयोग कैसे कर सकते हैं, जैसे कि यह गणना करना कि कोई वाहन कितनी तेजी से यात्रा कर रहा है।

   वास्तविक दुनिया का महत्व

   इस परिवर्तन दर को समझने से यात्रा समय, ईंधन की जरूरतों की योजना बनाने में मदद मिलती है, और यहां तक कि नेविगेशन प्लानिंग में भी सहायता मिल सकती है।

4. 4.किसी वृत्त की त्रिज्या r के सापेक्ष उसके क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब (a) r = 3 सेमी, (b) r = 4 सेमी

   एक वृत्त के क्षेत्रफल की त्रिज्या के संबंध में परिवर्तन दर को जानने के लिए, आपको पहले वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र याद रखना होगा:

   𝐴=𝜋𝑟2A=πr2

   परिवर्तन दर का निर्धारण

   यह जानने के लिए कि क्षेत्रफल त्रिज्या के बदलने पर कैसे बदलता है, हमें क्षेत्रफल 𝐴A का त्रिज्या 𝑟r के संबंध में व्युत्पन्न चाहिए। यह व्युत्पन्न हमें बताएगा कि त्रिज्या में थोड़ा सा परिवर्तन होने पर क्षेत्रफल कैसे बदलता है।

   व्युत्पन्न की गणना

   क्षेत्रफल 𝐴A का त्रिज्या 𝑟r के संबंध में व्युत्पन्न निम्नानुसार है:

   𝑑𝐴𝑑𝑟=𝑑𝑑𝑟(𝜋𝑟2)=2𝜋𝑟drdA​=drd​(πr2)=2πr

   यह परिणाम, 2𝜋𝑟2πr, त्रिज्या के संबंध में क्षेत्रफल के परिवर्तन दर को दर्शाता है।

   समस्या का समाधान

   अब, इस व्युत्पन्न का उपयोग करके विशिष्ट त्रिज्या पर परिवर्तन दर ज्ञात करेंगे:

   (a) जब 𝑟=3r=3 सेमी:

   𝑑𝐴𝑑𝑟∣𝑟=3=2𝜋×3=6𝜋 सेमी2/सेमीdrdA​∣∣​r=3​=2π×3=6π सेमी2/सेमी

   इसका मतलब है कि जब त्रिज्या 3 सेमी होती है, तो वृत्त का क्षेत्रफल प्रति सेंटीमीटर त्रिज्या वृद्धि के हिसाब से 6𝜋6π वर्ग सेंटीमीटर की दर से बढ़ता है।

   (b) जब 𝑟=4r=4 सेमी:

   𝑑𝐴𝑑𝑟∣𝑟=4=2𝜋×4=8𝜋 सेमी2/सेमीdrdA​∣∣​r=4​=2π×4=8π सेमी2/सेमी

   यह दर्शाता है कि जब त्रिज्या 4 सेमी होती है, तो क्षेत्रफल प्रति सेंटीमीटर त्रिज्या वृद्धि के हिसाब से 8𝜋8π वर्ग सेंटीमीटर की दर से बढ़ता है।

   निष्कर्ष

   ये गणनाएँ हमें दिखाती हैं कि त्रिज्या बढ़ने पर वृत्त का क्षेत्रफल कितनी तेजी से बढ़ता है। विशेष रूप से:

   • 𝑟=3r=3 सेमी पर, क्षेत्रफल 6𝜋6π सेमी²/सेमी की दर से बढ़ता है।
   • 𝑟=4r=4 सेमी पर, क्षेत्रफल 8𝜋8π सेमी²/सेमी की दर से बढ़ता है।

5. 5.एक घन का आयतन 8 सेमी³/से की दर से बढ़ रहा है। जब एक किनारे की लंबाई 12 सेमी हो तो सतह का क्षेत्रफल कितनी तेजी से बढ़ रहा है?

   एक घन का आयतन 8 सेमी³/से की दर से बढ़ रहा है। जब एक किनारे की लंबाई 12 सेमी हो तो सतह का क्षेत्रफल कितनी तेजी से बढ़ रहा है?

   हल: इस समस्या को हल करने के लिए हम कैलकुलस की अवधारणाओं, विशेष रूप से संबंधित दरों का उपयोग करेंगे।

   चरण 1: संबंधों को स्थापित करें

   • किनारे की लंबाई 𝑠s वाले एक घन का आयतन 𝑉V दिया गया है:𝑉=𝑠3V=s3
   • एक घन का सतह क्षेत्रफल 𝐴A दिया गया है:𝐴=6𝑠2A=6s2

   चरण 2: समय 𝑡t के संबंध में व्युत्पन्न करें

   • 𝑉V और 𝐴A दोनों को समय 𝑡t के संबंध में व्युत्पन्न करने पर हमें मिलता है:𝑑𝑉𝑑𝑡=3𝑠2𝑑𝑠𝑑𝑡dtdV​=3s2dtds​𝑑𝐴𝑑𝑡=12𝑠𝑑𝑠𝑑𝑡dtdA​=12sdtds​

   चरण 3: दिए गए आयतन की परिवर्तन दर का उपयोग करके 𝑑𝑠𝑑𝑡dtds​ प्राप्त करें

   दिया गया है कि 𝑑𝑉𝑑𝑡=8dtdV​=8 सेमी³/से, हम 𝑠=12s=12 सेमी होने पर 𝑑𝑠𝑑𝑡dtds​ के लिए हल करते हैं:

   8=3(12)2𝑑𝑠𝑑𝑡8=3(12)2dtds​8=432𝑑𝑠𝑑𝑡8=432dtds​𝑑𝑠𝑑𝑡=8432=154 सेमी/सेdtds​=4328​=541​ सेमी/से

   चरण 4: 𝑑𝑠𝑑𝑡dtds​ का उपयोग करके 𝑑𝐴𝑑𝑡dtdA​ की गणना करें

   अब हम 𝑑𝑠𝑑𝑡dtds​ का उपयोग करके 𝑑𝐴𝑑𝑡dtdA​ की गणना करते हैं:

   𝑑𝐴𝑑𝑡=12(12)154dtdA​=12(12)541​𝑑𝐴𝑑𝑡=144×154=14454=83 सेमी2/सेdtdA​=144×541​=54144​=38​ सेमी2/से

   निष्कर्ष

   जब किनारे की लंबाई 12 सेमी हो तो घन का सतह क्षेत्रफल 8338​ सेमी²/से की दर से बढ़ रहा है। यह बताता है कि वास्तविक समय की परिस्थितियों में एक मात्रा कैसे दूसरी मात्रा के साथ बदलती है, इसे कैसे निर्धारित करने के लिए संबंधित दरों की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

6. 6.एक पत्थर को एक शांत झील में गिराया जाता है और लहरें 5 सेमी/सेकंड की गति से वृत्ताकार गति में चलती हैं। जिस क्षण वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 सेमी होती है, उस समय घिरे हुए क्षेत्रफल में वृद्धि कितनी तेज़ी से हो रही है?

   प्रश्न: एक पत्थर को एक शांत झील में गिराया जाता है और लहरें 5 सेमी/सेकंड की गति से वृत्ताकार गति में चलती हैं। जिस क्षण वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 सेमी होती है, उस समय घिरे हुए क्षेत्रफल में वृद्धि कितनी तेज़ी से हो रही है?

   समाधान:

   1. वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र लिखें: 𝐴=𝜋𝑟2A=πr2 यहाँ 𝐴A क्षेत्रफल है और 𝑟r त्रिज्या है।

   2. समय के संबंध में क्षेत्रफल सूत्र का व्युत्पन्न निकालें: 𝑑𝐴𝑑𝑡=𝑑𝑑𝑡(𝜋𝑟2)dtdA​=dtd​(πr2)
      चेन नियम का उपयोग करते हुए: 𝑑𝐴𝑑𝑡=2𝜋𝑟𝑑𝑟𝑑𝑡dtdA​=2πrdtdr​ यहाँ, 𝑑𝑟𝑑𝑡dtdr​ (त्रिज्या में परिवर्तन की दर) 5 सेमी/सेकंड है।

   3. मान डालें और हल करें: जब 𝑟=8r=8 सेमी हो: 𝑑𝐴𝑑𝑡=2𝜋×8 सेमी×5 सेमी/सेकंडdtdA​=2π×8 सेमी×5 सेमी/सेकंड 𝑑𝐴𝑑𝑡=80𝜋 सेमी2/सेकंडdtdA​=80π सेमी2/सेकंड

   इस प्रकार, जब त्रिज्या 8 सेमी होती है, तो तरंग द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल प्रति सेकंड 80𝜋80π वर्ग सेमी की दर से बढ़ रहा है।

7. 7.अभ्यास प्रश्न

   प्रश्न: एक गुब्बारा, जो हमेशा गोलाकार बना रहता है, का व्यास परिवर्तनशील है: 32(2𝑥+1)23​(2x+1)। 𝑥x के संबंध में इसके आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

   चरण-दर-चरण समाधान:

   1. त्रिज्या के लिए व्यक्तिगत सूत्र: दिया गया व्यास 32(2𝑥+1)23​(2x+1) है, इसलिए त्रिज्या 𝑟r व्यास का आधा होगा:

      𝑟=12×32(2𝑥+1)=34(2𝑥+1)r=21​×23​(2x+1)=43​(2x+1)

   2. गोले का आयतन सूत्र: गोले का आयतन 𝑉V निम्नलिखित सूत्र से दिया गया है:

      𝑉=43𝜋𝑟3V=34​πr3

      त्रिज्या 𝑟r के लिए प्रकट सूत्र डालने पर:

      𝑉=43𝜋(34(2𝑥+1))3V=34​π(43​(2x+1))3

   3. आयतन सूत्र को सरल बनाएं: (34(2𝑥+1))3(43​(2x+1))3 को सरल करने पर:

      𝑉=43𝜋(2764(2𝑥+1)3)V=34​π(6427​(2x+1)3)

      या

      𝑉=2748𝜋(2𝑥+1)3V=4827​π(2x+1)3

   4. 𝑥x के संबंध में आयतन का व्युत्पन्न निकालें: 𝑉V का 𝑥x के संबंध में व्युत्पन्न 𝑑𝑉𝑑𝑥dxdV​ निकालने के लिए:

      𝑑𝑉𝑑𝑥=2748𝜋⋅3(2𝑥+1)2⋅2dxdV​=4827​π⋅3(2x+1)2⋅2𝑑𝑉𝑑𝑥=8124𝜋(2𝑥+1)2dxdV​=2481​π(2x+1)2

      या सरलीकृत रूप में,

      𝑑𝑉𝑑𝑥=8124𝜋(2𝑥+1)2dxdV​=2481​π(2x+1)2

   निष्कर्ष

   𝑥x में परिवर्तन के प्रति इकाई में गुब्बारे के आयतन 𝑉V की परिवर्तन की दर 8124𝜋(2𝑥+1)22481​π(2x+1)2 घन इकाइयों में होती है।

8. 8.अभ्यास प्रश्न

   प्रश्न: एक पाइप से रेत 12 सेमी³/से की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक शंकु का रूप बनाती है इस तरह कि शंकु की ऊंचाई हमेशा आधार की त्रिज्या का एक-छठा होता है। जब शंकु की ऊंचाई 4 सेमी हो तब शंकु की ऊंचाई कितनी तेजी से बढ़ रही है?

   समाधान: चरण-दर-चरण समाधान

   1. संबंध और चरों को समझें:

      • शंकु की ऊंचाई ℎh हो और आधार की त्रिज्या 𝑟r हो।
      • दिया गया: ℎ=16𝑟h=61​r या 𝑟=6ℎr=6h।

   2. शंकु का आयतन सूत्र: 𝑉=13𝜋𝑟2ℎV=31​πr2h 𝑟r को ऊपर से बदलें: 𝑉=13𝜋(6ℎ)2ℎ=12𝜋ℎ3V=31​π(6h)2h=12πh3

   3. समय के संबंध में आयतन का व्युत्पन्न निकालें: 𝑑𝑉𝑑𝑡=36𝜋ℎ2𝑑ℎ𝑑𝑡dtdV​=36πh2dtdh​

   4. जब ℎ=4h=4 सेमी और 𝑑𝑉𝑑𝑡=12dtdV​=12 सेमी³/स हो तो 𝑑ℎ𝑑𝑡dtdh​ को हल करें: 12=36𝜋(4)2𝑑ℎ𝑑𝑡12=36π(4)2dtdh​ 12=576𝜋𝑑ℎ𝑑𝑡12=576πdtdh​ 𝑑ℎ𝑑𝑡=12576𝜋=148𝜋 सेमी/सdtdh​=576π12​=48π1​ सेमी/स

   निष्कर्ष

   जब रेत के शंकु की ऊंचाई 4 सेमी होती है, तब ऊंचाई 148𝜋48π1​ सेमी/स की दर से बढ़ रही है।

9. 9.अभ्यास प्रश्न

   एक वस्तु की 𝑥x इकाइयों के उत्पादन से जुड़ी कुल लागत 𝐶(𝑥)C(x) रुपयों में दी गई है, जिसे 𝐶(𝑥)=0.007𝑥3−0.003𝑥2+15𝑥+4000C(x)=0.007x3−0.003x2+15x+4000 के रूप में व्यक्त किया गया है। जब 17 इकाइयाँ उत्पादित की जाती हैं तो सीमांत लागत का पता लगाएं।

   समाधान:

   सीमांत लागत ज्ञात करने के लिए, हमें कुल लागत के फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 𝑥x के संबंध में निकालना होगा और फिर उसे 𝑥=17x=17 पर मूल्यांकन करना होगा।

   1. कुल लागत कार्य का व्युत्पन्न:

      𝐶(𝑥)=0.007𝑥3−0.003𝑥2+15𝑥+4000C(x)=0.007x3−0.003x2+15x+4000

      व्युत्पन्न 𝐶′(𝑥)C′(x), जो सीमांत लागत कार्य को दर्शाता है:

      𝐶′(𝑥)=0.021𝑥2−0.006𝑥+15C′(x)=0.021x2−0.006x+15

   2. 𝑥=17x=17 पर मूल्यांकन करें:

      𝐶′(17)=0.021(17)2−0.006(17)+15C′(17)=0.021(17)2−0.006(17)+15𝐶′(17)=0.021(289)−0.102+15C′(17)=0.021(289)−0.102+15𝐶′(17)=6.069−0.102+15C′(17)=6.069−0.102+15𝐶′(17)=20.967C′(17)=20.967

   इस प्रकार, जब 17 इकाइयाँ उत्पादित की जाती हैं तो सीमांत लागत लगभग 20.9720.97 रुपये होती है। यह बताता है कि 17वीं इकाई के बाद एक अतिरिक्त इकाई उत्पादित करने की लागत लगभग 20.97 रुपये अधिक होगी।

10. 10.अभ्यास प्रश्न

    एक आयत की लंबाई 𝑥x प्रति मिनट 5 सेमी की दर से घट रही है और चौड़ाई 𝑦y प्रति मिनट 4 सेमी की दर से बढ़ रही है। जब 𝑥=8x=8 सेमी और 𝑦=6y=6 सेमी हो, तो आयत के (a) परिधि के बदलाव की दर और (b) क्षेत्रफल के बदलाव की दर ज्ञात कीजिए।

    समाधान:

    इसे हल करने के लिए, हम संबंधित दरों की अवधारणा का उपयोग करेंगे ताकि परिधि और क्षेत्रफल दोनों की बदलाव की दर ज्ञात कर सकें।

    भाग (a): परिधि के बदलाव की दर

    1. परिधि के लिए सूत्र: आयत की परिधि 𝑃P निम्नलिखित सूत्र से दी गई है:

       𝑃=2𝑥+2𝑦P=2x+2y

    2. समय के संबंध में व्युत्पन्न: समय 𝑡t के संबंध में सूत्र का व्युत्पन्न लेने पर हमें मिलता है:

       𝑑𝑃𝑑𝑡=2𝑑𝑥𝑑𝑡+2𝑑𝑦𝑑𝑡dtdP​=2dtdx​+2dtdy​

       दिया गया 𝑑𝑥𝑑𝑡=−5dtdx​=−5 सेमी/मिनट (क्योंकि 𝑥x घट रहा है) और 𝑑𝑦𝑑𝑡=4dtdy​=4 सेमी/मिनट (क्योंकि 𝑦y बढ़ रहा है):

       𝑑𝑃𝑑𝑡=2(−5)+2(4)=−10+8=−2 सेमी/मिनटdtdP​=2(−5)+2(4)=−10+8=−2 सेमी/मिनट

       इस प्रकार, आयत की परिधि प्रति मिनट 2 सेमी की दर से घट रही है।

    भाग (b): क्षेत्रफल के बदलाव की दर

    1. क्षेत्रफल के लिए सूत्र: आयत का क्षेत्रफल 𝐴A निम्नलिखित सूत्र से दी गई है:

       𝐴=𝑥𝑦A=xy

    2. समय के संबंध में व्युत्पन्न: समय 𝑡t के संबंध में सूत्र का व्युत्पन्न उत्पाद नियम का प्रयोग करके लेने पर हमें मिलता है:

       𝑑𝐴𝑑𝑡=𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡+𝑦𝑑𝑥𝑑𝑡dtdA​=xdtdy​+ydtdx​

       𝑥=8x=8 सेमी, 𝑦=6y=6 सेमी, 𝑑𝑥𝑑𝑡=−5dtdx​=−5 सेमी/मिनट, और 𝑑𝑦𝑑𝑡=4dtdy​=4 सेमी/मिनट को डालने पर:

       𝑑𝐴𝑑𝑡=8(4)+6(−5)=32−30=2 सेमी2/मिनटdtdA​=8(4)+6(−5)=32−30=2 सेमी2/मिनट

       इस प्रकार, आयत का क्षेत्रफल प्रति मिनट 2 सेमी² की दर से बढ़ रहा है।

    निष्कर्ष:

    (a) आयत की परिधि प्रति मिनट 2 सेमी की दर से घट रही है। (b) आयत का क्षेत्रफल प्रति मिनट 2 सेमी² की दर से बढ़ रहा है।

11. 11.वृद्धिशील और ह्रासमान फंक्शन्स

    वृद्धिशील और ह्रासमान फंक्शन्स क्या हैं?

    सरल शब्दों में:

    • एक फंक्शन एक अंतराल पर वृद्धिशील होता है अगर, जैसे ही आप उस अंतराल में बाएं से दाएं x-अक्ष के साथ चलते हैं, फंक्शन का मान (y-मान) बढ़ता जाता है।
    • एक फंक्शन एक अंतराल पर ह्रासमान होता है अगर, जैसे ही आप बाएं से दाएं चलते हैं, फंक्शन का मान घटता जाता है।

    फंक्शन के वृद्धिशील या ह्रासमान होने का निर्धारण कैसे करें?

    यह निर्धारित करने के लिए कि कोई फंक्शन किसी अंतराल पर वृद्धिशील है या ह्रासमान, हम फंक्शन के प्रथम व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं। यहां एक कदम-दर-कदम प्रक्रिया है:

    1. व्युत्पन्न प्राप्त करें: सबसे पहले, फंक्शन का व्युत्पन्न करें। व्युत्पन्न, 𝑓′(𝑥)f′(x), हमें किसी भी बिंदु 𝑥x पर फंक्शन के स्पर्शरेखा की ढलान बताता है।

    2. व्युत्पन्न के चिह्न का विश्लेषण करें:

       • अगर 𝑓′(𝑥)>0f′(x)>0 (व्युत्पन्न सकारात्मक है) किसी अंतराल में सभी 𝑥x के लिए, तो फंक्शन उस अंतराल पर वृद्धिशील है।
       • अगर 𝑓′(𝑥)<0f′(x)<0 (व्युत्पन्न नकारात्मक है) किसी अंतराल में सभी 𝑥x के लिए, तो फंक्शन उस अंतराल पर ह्रासमान है।

    3. महत्वपूर्ण बिंदुओं की पहचान करें: ये बिंदु वह होते हैं जहाँ 𝑓′(𝑥)=0f′(x)=0 होता है या जहाँ व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है। ये बिंदु वृद्धिशील से ह्रासमान या इसके विपरीत में परिवर्तन के संभावित स्थान हो सकते हैं।

    वास्तविक जीवन का उदाहरण

    कल्पना कीजिए कि आप एक सड़क यात्रा पर कार की गति को ट्रैक कर रहे हैं। समय के साथ गति का ग्राफ आपको बता सकता है कि कब कार तेजी से चल रही है (वृद्धिशील फंक्शन) और कब यह धीमी हो रही है (ह्रासमान फंक्शन)। इसका विश्लेषण करने से ईंधन की खपत और यात्रा के समय का अनुकूलन करने में मदद मिल सकती है।

    विभिन्न करियर और उद्योगों में अनुप्रयोग

    विभिन्न क्षेत्रों में वृद्धिशील और ह्रासमान फंक्शन्स की समझ अत्यंत महत्वपूर्ण है:

    • अर्थशास्त्र: अर्थशास्त्री व्यवसाय में अधिकतम लाभ और न्यूनतम लागत के बिंदुओं का विश्लेषण करने और उन्हें पूर्वानुमानित करने के लिए इन अवधारणाओं का उपयोग करते हैं।
    • इंजीनियरिंग: इंजीनियर अधिकतम कुशल संरचनाओं और प्रक्रियाओं का निर्धारण करने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं।
    • पर्यावरण विज्ञान: पारिस्थितिकी तंत्र में जनसंख्या वृद्धि या ह्रास के परिवर्तनों का विश्लेषण करना वृद्धिशील और ह्रासमान फंक्शन्स के व्यवहार को समझने में शामिल है।

    कोशिश करने के लिए गतिविधि

    प्रयास करें कि क्या फंक्शन 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥+2f(x)=x3−3x+2 विभिन्न अंतरालों में वृद्धिशील या ह्रासमान है। आप इस प्रकार शुरू कर सकते हैं:

    • सबसे पहले, 𝑓(𝑥)f(x) का व्युत्पन्न प्राप्त करें।
    • फिर, निर्धारित करें कि व्युत्पन्न कहाँ सकारात्मक है और कहाँ नकारात्मक है।
    • अंत में, निष्कर्ष निकालें कि किन अंतरालों में 𝑓(𝑥)f(x) वृद्धिशील या ह्रासमान है।

12. 12.अभ्यास प्रश्न

    प्रश्न 1

    दिखाएं कि 𝑓(𝑥)=3𝑥+17f(x)=3x+17 द्वारा दिया गया फ़ंक्शन 𝑅R पर वृद्धिशील है।

    समाधान:

    यह निर्धारित करने के लिए कि फ़ंक्शन वृद्धिशील है या नहीं, हम इसका व्युत्पन्न निकालते हैं: 𝑓′(𝑥)=𝑑𝑑𝑥(3𝑥+17)f′(x)=dxd​(3x+17)

    3𝑥+173x+17 का 𝑥x के सापेक्ष व्युत्पन्न निकालते हैं: 𝑓′(𝑥)=3f′(x)=3

    चूँकि 𝑓′(𝑥)=3f′(x)=3 सभी 𝑥x के लिए 𝑅R में सकारात्मक है, इसलिए फ़ंक्शन 𝑓(𝑥)=3𝑥+17f(x)=3x+17 𝑅R पर वृद्धिशील है।

    प्रश्न 2

    दिखाएं कि 𝑓(𝑥)=𝑒2𝑥f(x)=e2x द्वारा दिया गया फ़ंक्शन 𝑅R पर वृद्धिशील है।

    समाधान:

    यह निर्धारित करने के लिए कि फ़ंक्शन वृद्धिशील है या नहीं, हम इसका व्युत्पन्न निकालते हैं: 𝑓′(𝑥)=𝑑𝑑𝑥(𝑒2𝑥)f′(x)=dxd​(e2x)

    𝑒2𝑥e2x का चेन नियम का उपयोग करके व्युत्पन्न निकालते हैं: 𝑓′(𝑥)=𝑒2𝑥⋅2=2𝑒2𝑥f′(x)=e2x⋅2=2e2x

    चूँकि 𝑒2𝑥e2x हमेशा सकारात्मक होता है (क्योंकि घातीय फ़ंक्शन हमेशा सकारात्मक होता है), और 2 से गुणा करने पर इसका चिह्न नहीं बदलता, इसलिए 𝑓′(𝑥)=2𝑒2𝑥f′(x)=2e2x भी हमेशा सभी 𝑥x के लिए 𝑅R में सकारात्मक है। इसलिए, फ़ंक्शन 𝑓(𝑥)=𝑒2𝑥f(x)=e2x 𝑅R पर वृद्धिशील है।

    ये समाधान पुष्टि करते हैं कि दोनों फ़ंक्शन वास्तव में सभी वास्तविक संख्याओं, 𝑅R, पर वृद्धिशील हैं।

13. 13.अभ्यास प्रश्न

    प्रश्न 1

    फंक्शन 𝑓(𝑥)=2𝑥2−3𝑥f(x)=2x2−3x के लिए उन अंतरालों का पता लगाएं जहां यह:

    • (a) वृद्धिशील है
    • (b) ह्रासमान है

    प्रश्न 1 का समाधान

    सबसे पहले, 𝑓′(𝑥)f′(x) का व्युत्पन्न निकालें: 𝑓′(𝑥)=𝑑𝑑𝑥(2𝑥2−3𝑥)=4𝑥−3f′(x)=dxd​(2x2−3x)=4x−3

    फंक्शन के वृद्धिशील या ह्रासमान होने का पता लगाने के लिए, हम 𝑓′(𝑥)=0f′(x)=0 सेट करते हैं ताकि महत्वपूर्ण बिंदु प्राप्त हो सकें: 4𝑥−3=04x−3=0 𝑥=34x=43​

    अब, इस महत्वपूर्ण बिंदु के आसपास 𝑓′(𝑥)f′(x) के चिह्न का विश्लेषण करें:

    • अगर 𝑥<34x<43​, चुनें 𝑥=0x=0 ⇒𝑓′(0)=−3⇒f′(0)=−3 (नकारात्मक, इसलिए ह्रासमान)
    • अगर 𝑥>34x>43​, चुनें 𝑥=1x=1 ⇒𝑓′(1)=1⇒f′(1)=1 (सकारात्मक, इसलिए वृद्धिशील)

    अंतराल जहां 𝑓(𝑥)f(x) है:

    • वृद्धिशील: (34,∞)(43​,∞)
    • ह्रासमान: (−∞,34)(−∞,43​)

    प्रश्न 2

    फंक्शन 𝑓(𝑥)=2𝑥3−3𝑥2−36𝑥+7f(x)=2x3−3x2−36x+7 के लिए उन अंतरालों का पता लगाएं जहां यह:

    • (a) वृद्धिशील है
    • (b) ह्रासमान है

    प्रश्न 2 का समाधान

    सबसे पहले, 𝑓′(𝑥)f′(x) का व्युत्पन्न निकालें: 𝑓′(𝑥)=𝑑𝑑𝑥(2𝑥3−3𝑥2−36𝑥+7)=6𝑥2−6𝑥−36f′(x)=dxd​(2x3−3x2−36x+7)=6x2−6x−36

    फंक्शन के वृद्धिशील या ह्रासमान होने का पता लगाने के लिए, हम 𝑓′(𝑥)=0f′(x)=0 सेट करते हैं: 6𝑥2−6𝑥−36=06x2−6x−36=0 6 से विभाजित करें: 𝑥2−𝑥−6=0x2−x−6=0 फैक्टरिंग करें: (𝑥−3)(𝑥+2)=0(x−3)(x+2)=0 𝑥=3 या 𝑥=−2x=3 या x=−2

    अब, इन महत्वपूर्ण बिंदुओं के आसपास 𝑓′(𝑥)f′(x) के चिह्न का विश्लेषण करें:

    • अगर 𝑥<−2x<−2, चुनें 𝑥=−3x=−3 ⇒𝑓′(−3)=18+18−36=0⇒f′(−3)=18+18−36=0 (वास्तव में शून्य, और आगे जाएं)
    • 𝑥=−3x=−3, 𝑓′(−4)=24+24−36=12f′(−4)=24+24−36=12 (सकारात्मक, इसलिए वृद्धिशील)
    • −2−2 और 33 के बीच, चुनें 𝑥=0x=0 ⇒𝑓′(0)=−36⇒f′(0)=−36 (नकारात्मक, इसलिए ह्रासमान)
    • अगर 𝑥>3x>3, चुनें 𝑥=4x=4 ⇒𝑓′(4)=96−24−36=36⇒f′(4)=96−24−36=36 (सकारात्मक, इसलिए वृद्धिशील)

    अंतराल जहां 𝑓(𝑥)f(x) है:

    • वृद्धिशील: (−∞,−2)∪(3,∞)(−∞,−2)∪(3,∞)
    • ह्रासमान: (−2,3)(−2,3)

    ये समाधान प्रत्येक फ़ंक्शन के व्यवहार का वर्णन करते हैं उनके संबंधित अंतरालों पर उनके व्युत्पन्नों के आधार पर।

14. 14.वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित कार्य सख्ती से बढ़ रहे हैं या घट रहे हैं:

    फ़ंक्शन विश्लेषण

    (a) 𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥−5f(x)=x2+2x−5

    व्युत्पन्न निकालें: 𝑓′(𝑥)=2𝑥+2f′(x)=2x+2

    व्युत्पन्न को शून्य के बराबर सेट करके महत्वपूर्ण बिंदु प्राप्त करें: 2𝑥+2=02x+2=0 𝑥=−1x=−1

    महत्वपूर्ण बिंदु 𝑥=−1x=−1 द्वारा विभाजित अंतरालों में 𝑓′(𝑥)f′(x) के चिह्न की जांच करें:

    • 𝑥<−1x<−1 के लिए (उदाहरण के लिए, 𝑥=−2x=−2), 𝑓′(−2)=−2f′(−2)=−2 (नकारात्मक, ह्रासमान)
    • 𝑥>−1x>−1 के लिए (उदाहरण के लिए, 𝑥=0x=0), 𝑓′(0)=2f′(0)=2 (सकारात्मक, वृद्धिशील)

    अंतराल:

    • वृद्धिशील: (−1,∞)(−1,∞)
    • ह्रासमान: (−∞,−1)(−∞,−1)

    (b) 𝑓(𝑥)=10−6𝑥−2𝑥2f(x)=10−6x−2x2

    व्युत्पन्न निकालें: 𝑓′(𝑥)=−6−4𝑥f′(x)=−6−4x

    व्युत्पन्न को शून्य के बराबर सेट करके महत्वपूर्ण बिंदु प्राप्त करें: −6−4𝑥=0−6−4x=0 𝑥=−32x=−23​

    अंतरालों में 𝑓′(𝑥)f′(x) के चिह्न की जांच करें:

    • 𝑥<−32x<−23​ के लिए (उदाहरण के लिए, 𝑥=−2x=−2), 𝑓′(−2)=2f′(−2)=2 (सकारात्मक, वृद्धिशील)
    • 𝑥>−32x>−23​ के लिए (उदाहरण के लिए, 𝑥=0x=0), 𝑓′(0)=−6f′(0)=−6 (नकारात्मक, ह्रासमान)

    अंतराल:

    • वृद्धिशील: (−∞,−32)(−∞,−23​)
    • ह्रासमान: (−32,∞)(−23​,∞)

    (c) 𝑓(𝑥)=−2𝑥3−9𝑥2−12𝑥+1f(x)=−2x3−9x2−12x+1

    व्युत्पन्न निकालें: 𝑓′(𝑥)=−6𝑥2−18𝑥−12f′(x)=−6x2−18x−12

    सबसे बड़ा सामान्य गुणक बाहर निकालें: 𝑓′(𝑥)=−6(𝑥2+3𝑥+2)f′(x)=−6(x2+3x+2)

    द्विघात को फैक्टर करें: 𝑓′(𝑥)=−6(𝑥+1)(𝑥+2)f′(x)=−6(x+1)(x+2)

    महत्वपूर्ण बिंदु 𝑥=−1x=−1 और 𝑥=−2x=−2 हैं:

    • 𝑥<−2x<−2 के लिए, 𝑓′(−3)=−24f′(−3)=−24 (नकारात्मक, ह्रासमान)
    • −2−2 और −1−1 के बीच, 𝑓′(−1.5)=−1.5f′(−1.5)=−1.5 (नकारात्मक, ह्रासमान)
    • 𝑥>−1x>−1 के लिए, 𝑓′(0)=−12f′(0)=−12 (नकारात्मक, ह्रासमान)

    अंतराल:

    • ह्रासमान: (−∞,∞)(−∞,∞) (फ़ंक्शन हमेशा ह्रासमान है)

    (d) 𝑓(𝑥)=6−9𝑥−𝑥2f(x)=6−9x−x2

    व्युत्पन्न निकालें: 𝑓′(𝑥)=−9−2𝑥f′(x)=−9−2x

    व्युत्पन्न को शून्य के बराबर सेट करके महत्वपूर्ण बिंदु प्राप्त करें: −9−2𝑥=0−9−2x=0 𝑥=−92x=−29​

    अंतरालों में 𝑓′(𝑥)f′(x) के चिह्न की जांच करें:

    • 𝑥<−92x<−29​ के लिए (उदाहरण के लिए, 𝑥=−5x=−5), 𝑓′(−5)=1f′(−5)=1 (सकारात्मक, वृद्धिशील)
    • 𝑥>−92x>−29​ के लिए (उदाहरण के लिए, 𝑥=0x=0), 𝑓′(0)=−9f′(0)=−9 (नकारात्मक, ह्रासमान)

    अंतराल:

    • वृद्धिशील: (−∞,−92)(−∞,−29​)
    • ह्रासमान: (−92,∞)(−29​,∞)

    ये समाधान प्रत्येक फ़ंक्शन के व्यवहार का वर्णन करते हैं उनके व्युत्पन्नों के आधार पर।

15. 15.अभ्यास प्रश्न

    प्रश्न 1: लघुगणकीय फ़ंक्शन के (0,∞)(0,∞) पर वृद्धिशील होने का प्रमाण

    लघुगणकीय फ़ंक्शन आम तौर पर प्राकृतिक लघुगणक, ln⁡(𝑥)ln(x) माना जाता है।

    प्रमाण:

    1. फ़ंक्शन की परिभाषा: 𝑓(𝑥)=ln⁡(𝑥)f(x)=ln(x)
    2. व्युत्पन्न की गणना: 𝑓′(𝑥)=𝑑𝑑𝑥[ln⁡(𝑥)]=1𝑥f′(x)=dxd​[ln(x)]=x1​
    3. व्युत्पन्न का चिह्न: चूंकि 𝑥>0x>0 इस अंतराल (0,∞)(0,∞) में, 𝑓′(𝑥)=1𝑥>0f′(x)=x1​>0 सभी 𝑥x के लिए इस अंतराल में।
    4. निष्कर्ष: व्युत्पन्न का सकारात्मक होना दर्शाता है कि फ़ंक्शन (0,∞)(0,∞) पर सख्ती से वृद्धिशील है।

    प्रश्न 2: प्रमाणित करें कि 𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥+1f(x)=x2−x+1 फ़ंक्शन (−1,1)(−1,1) पर न तो सख्ती से वृद्धिशील है और न ही ह्रासमान है

    प्रमाण:

    1. फ़ंक्शन की परिभाषा: 𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥+1f(x)=x2−x+1
    2. व्युत्पन्न की गणना: 𝑓′(𝑥)=𝑑𝑑𝑥[𝑥2−𝑥+1]=2𝑥−1f′(x)=dxd​[x2−x+1]=2x−1
    3. महत्वपूर्ण बिंदु: व्युत्पन्न को शून्य के बराबर सेट करें ताकि महत्वपूर्ण बिंदु मिल सके: 2𝑥−1=02x−1=0 𝑥=12x=21​
    4. अंतरालों की जांच:
       • 1221​ से पहले व्युत्पन्न का चिह्न: 𝑥=0x=0 के लिए (जो कि (−1,1)(−1,1) में है), 𝑓′(0)=−1f′(0)=−1 (नकारात्मक, ह्रासमान)
       • 1221​ के बाद व्युत्पन्न का चिह्न: 𝑥=1x=1 के लिए (जो कि (−1,1)(−1,1) में है), 𝑓′(1)=1f′(1)=1 (सकारात्मक, वृद्धिशील)
    5. निष्कर्ष: चूंकि 𝑓′(𝑥)f′(x) 𝑥=12x=21​ के आसपास अपना चिह्न बदलता है, 𝑓(𝑥)f(x) 𝑥=12x=21​ से पहले ह्रासमान है और बाद में वृद्धिशील है (−1,1)(−1,1) अंतराल के भीतर। इसलिए, फ़ंक्शन पूरे अंतराल (−1,1)(−1,1) पर न तो सख्ती से वृद्धिशील है और न ही सख्ती से ह्रासमान है।

16. 16.मैक्सिमा और मिनिमा

    फ़ंक्शन्स के व्यवहार का विश्लेषण करते समय, मैक्सिमा और मिनिमा को समझना कैलकुलस का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। ये बिंदु एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के चोटियों और गर्तों को दर्शाते हैं, जो ऑप्टिमाइज़ेशन समस्याओं की पहचान और समाधान में मदद करते हैं। आइए परिभाषाओं, महत्वपूर्ण सिद्धांतों और उदाहरणों के साथ इसे अच्छी तरह से समझें।

    परिभाषाएँ

    1. स्थानीय मैक्सिमम: यदि 𝑓(𝑐)f(c) 𝑐c के आसपास 𝑓(𝑥)f(x) के सभी अन्य मानों से अधिक है, तो 𝑓(𝑥)f(x) के पास 𝑥=𝑐x=c पर एक स्थानीय मैक्सिमम होता है। इसका मतलब है कि 𝑐c के आसपास एक छोटा अंतराल होता है जहां 𝑓(𝑐)f(c) सबसे उच्च बिंदु होता है।

    2. स्थानीय मिनिमम: यदि 𝑓(𝑐)f(c) 𝑐c के आसपास 𝑓(𝑥)f(x) के सभी अन्य मानों से कम है, तो 𝑓(𝑥)f(x) के पास 𝑥=𝑐x=c पर एक स्थानीय मिनिमम होता है। यहाँ, 𝑓(𝑐)f(c) 𝑐c के आसपास एक छोटे अंतराल में सबसे निचला बिंदु होता है।

    3. वैश्विक (या निरपेक्ष) मैक्सिमम: 𝑓(𝑥)f(x) के पास 𝑥=𝑐x=c पर एक वैश्विक मैक्सिमम होता है यदि 𝑓(𝑐)f(c) फ़ंक्शन के संपूर्ण डोमेन पर 𝑓(𝑥)f(x) का सबसे उच्च मान हो।

    4. वैश्विक (या निरपेक्ष) मिनिमम: 𝑓(𝑥)f(x) के पास 𝑥=𝑐x=c पर एक वैश्विक मिनिमम होता है यदि 𝑓(𝑐)f(c) फ़ंक्शन के संपूर्ण डोमेन पर 𝑓(𝑥)f(x) का सबसे निचला मान हो।

    महत्वपूर्ण सिद्धांत

    1. फ़र्मा का सिद्धांत स्थिर बिंदुओं पर: यदि 𝑓(𝑥)f(x) के पास 𝑥=𝑐x=c पर एक स्थानीय मैक्सिमम या मिनिमम होता है, और यदि 𝑓f 𝑐c पर विभेद्य है, तो 𝑓′(𝑐)=0f′(c)=0 होता है। इसका मतलब है कि 𝑐c पर व्युत्पन्न (ढलान) शून्य है, जो एक क्षैतिज स्पर्श रेखा का संकेत देता है।

    2. प्रथम व्युत्पन्न परीक्षण: यह परीक्षण यह निर्धारित करने में मदद करता है कि क्या बिंदु 𝑐c एक मैक्सिमम या मिनिमम है:

       • यदि 𝑓′(𝑥)f′(x) 𝑐c पर सकारात्मक से नकारात्मक में बदलता है, तो 𝑓(𝑐)f(c) एक स्थानीय मैक्सिमम है।
       • यदि 𝑓′(𝑥)f′(x) 𝑐c पर नकारात्मक से सकारात्मक में बदलता है, तो 𝑓(𝑐)f(c) एक स्थानीय मिनिमम है।

    3. द्वितीय व्युत्पन्न परीक्षण: यदि 𝑓′(𝑐)=0f′(c)=0 और:

       • 𝑓′′(𝑐)<0f′′(c)<0, तो 𝑓(𝑐)f(c) एक स्थानीय मैक्सिमम है।
       • 𝑓′′(𝑐)>0f′′(c)>0, तो 𝑓(𝑐)f(c) एक स्थानीय मिनिमम है।
       • 𝑓′′(𝑐)=0f′′(c)=0, तो परीक्षण निर्णायक नहीं होता, और प्रथम व्युत्पन्न परीक्षण या उच्चतर व्युत्पन्नों का उपयोग करना पड़ सकता है।

    उदाहरण

    1. द्विघात फ़ंक्शन: 𝑓(𝑥)=−𝑥2+4𝑥−3f(x)=−x2+4x−3 को मानें।

       • व्युत्पन्न: 𝑓′(𝑥)=−2𝑥+4f′(x)=−2x+4।
       • 𝑓′(𝑥)=0f′(x)=0 सेट करने पर 𝑥=2x=2 मिलता है।
       • द्वितीय व्युत्पन्न: 𝑓′′(𝑥)=−2f′′(x)=−2 (हमेशा नकारात्मक)।
       • इस प्रकार, 𝑓(𝑥)f(x) के पास 𝑥=2x=2 पर एक स्थानीय (और वैश्विक) मैक्सिमम है।

    2. घन फ़ंक्शन: 𝑔(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+3𝑥−1g(x)=x3−3x2+3x−1 को मानें।

       • व्युत्पन्न: 𝑔′(𝑥)=3𝑥2−6𝑥+3g′(x)=3x2−6x+3।
       • 𝑔′(𝑥)=0g′(x)=0 सेट करने पर 𝑥=1x=1 (दोहरा मूल) मिलता है।
       • द्वितीय व्युत्पन्न: 𝑔′′(𝑥)=6𝑥−6g′′(x)=6x−6, 𝑔′′(1)=0g′′(1)=0।
       • न तो मैक्सिमम और न ही मिनिमम; उच्चतर व्युत्पन्न परीक्षणों का उपयोग करें या ग्राफ़िग करें।

         ये अवधारणाएँ इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र और विज्ञान जैसे क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हैं, जहां ऑप्टिमाइज़ेशन समस्याएं आम हैं। उदाहरण के लिए, अधिकतम लाभ या न्यूनतम लागत की खोज, या मैकेनिकल संरचनाओं में महत्वपूर्ण बिंदुओं का निर्धारण इन सिद्धांतों का उपयोग करके विश्लेषण किया जा सकता है।

         अतिरिक्त उदाहरण

         1. ट्रिगोनोमेट्रिक फ़ंक्शन: ℎ(𝑥)=sin⁡(𝑥)+cos⁡(𝑥)h(x)=sin(x)+cos(x)

            • व्युत्पन्न: ℎ′(𝑥)=cos⁡(𝑥)−sin⁡(𝑥)h′(x)=cos(x)−sin(x)
            • ℎ′(𝑥)=0h′(x)=0 के लिए, cos⁡(𝑥)=sin⁡(𝑥)cos(x)=sin(x) होना चाहिए, इसलिए 𝑥=𝜋4+𝑘𝜋x=4π​+kπ (जहां 𝑘k एक पूर्णांक है)।
            • द्वितीय व्युत्पन्न: ℎ′′(𝑥)=−sin⁡(𝑥)−cos⁡(𝑥)h′′(x)=−sin(x)−cos(x), ℎ′′(𝜋4)=−2h′′(4π​)=−2​ (नकारात्मक, इसलिए 𝑥=𝜋4x=4π​ पर स्थानीय मैक्सिमम)।

         2. लॉजिस्टिक फ़ंक्शन: 𝑓(𝑥)=11+𝑒−𝑥f(x)=1+e−x1​

            • व्युत्पन्न: 𝑓′(𝑥)=𝑒−𝑥(1+𝑒−𝑥)2f′(x)=(1+e−x)2e−x​
            • चूंकि व्युत्पन्न सदैव सकारात्मक है (क्योंकि 𝑒−𝑥>0e−x>0 और नामक 1+𝑒−𝑥>01+e−x>0), 𝑓(𝑥)f(x) पूरे अपने डोमेन पर सख्ती से वृद्धिशील है।

         इन उदाहरणों से यह स्पष्ट होता है कि विभिन्न प्रकार के फ़ंक्शन्स में मैक्सिमा और मिनिमा का पता लगाना कैसे संभव है, और यह कैसे विश्लेषणात्मक और प्रैक्टिकल समस्याओं के समाधान में मदद कर सकता है।

17. 17.अभ्यास प्रश्न

    प्रश्न

    फ़ंक्शन 𝑓(𝑥)=3+∣𝑥∣f(x)=3+∣x∣, जहां 𝑥∈𝑅x∈R के स्थानीय न्यूनतम मान का पता लगाएं।

    समाधान

    दिया गया फ़ंक्शन 𝑓(𝑥)=3+∣𝑥∣f(x)=3+∣x∣ है। इस फ़ंक्शन के स्थानीय न्यूनतम मान का पता लगाने के लिए, हम निरपेक्ष मान के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं।

    1. फ़ंक्शन को समझना: निरपेक्ष मान फ़ंक्शन ∣𝑥∣∣x∣ वास्तविक संख्या रेखा पर 𝑥x की शून्य से दूरी को मापता है। इस प्रकार, ∣𝑥∣∣x∣ हमेशा नकारात्मक नहीं होता है, और जब 𝑥=0x=0 होता है तब इसका न्यूनतम मान 0 होता है।

    2. 𝑥=0x=0 पर 𝑓(𝑥)f(x) का मूल्यांकन करना: 𝑓(0)=3+∣0∣=3+0=3f(0)=3+∣0∣=3+0=3

    3. 𝑥≠0x=0 के लिए 𝑓(𝑥)f(x) का व्यवहार:

       • 𝑥>0x>0 के लिए, ∣𝑥∣=𝑥∣x∣=x। इसलिए, 𝑓(𝑥)=3+𝑥f(x)=3+x, जो 𝑥x के बढ़ने के साथ बढ़ता है।
       • 𝑥<0x<0 के लिए, ∣𝑥∣=−𝑥∣x∣=−x। इसलिए, 𝑓(𝑥)=3−𝑥f(x)=3−x, जो 𝑥x के और नकारात्मक होने पर बढ़ता है।

       दोनों मामलों में, जैसे 𝑥x 0 से दूर होता है, चाहे सकारात्मक दिशा में या नकारात्मक दिशा में, फ़ंक्शन का मान 𝑓(𝑥)f(x) बढ़ता है।

    4. निष्कर्ष: चूँकि 𝑓(𝑥)=3+∣𝑥∣f(x)=3+∣x∣ अपना सबसे कम मान 𝑥=0x=0 पर प्राप्त करता है और 𝑥x के 0 से दूर होने पर बढ़ता है, इसलिए बिंदु 𝑥=0x=0 पर 𝑓(𝑥)f(x) का स्थानीय न्यूनतम है।

    5. स्थानीय न्यूनतम मान: 𝑓(𝑥)f(x) का स्थानीय न्यूनतम मान 3 है, जो 𝑥=0x=0 पर होता है।

    यह उदाहरण निरपेक्ष मान फ़ंक्शन के ग्राफ़िकल व्यवहार को दर्शाता है, जहाँ V-आकार के ग्राफ़ का शिखर स्थानीय न्यूनतम को प्रतिनिधित्व करता है। ग्राफ़ और बीजगणितीय विश्लेषण पुष्टि करते हैं कि 𝑓(𝑥)=3+∣𝑥∣f(x)=3+∣x∣ का स्थानीय न्यूनतम मान वास्तव में 3 है।

18. 18.किसी बंद अंतराल में किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम मान

    
    

    एक बंद अंतराल में किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों को समझना कैलकुलस की एक मूलभूत अवधारणा है, जो विशेष रूप से इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, और भौतिक विज्ञान जैसे क्षेत्रों में उपयोगी होती है जहां प्रतिबंध मौजूद होते हैं। यहाँ इन मूल्यों को निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली अवधारणाओं और विधियों का विवरण है:

    परिभाषाएँ

    1. बंद अंतराल: एक बंद अंतराल [𝑎,𝑏][a,b] दोनों सिरों 𝑎a और 𝑏b को शामिल करता है। इस अंतराल पर परिभाषित एक फ़ंक्शन 𝑓(𝑥)f(x) के पास 𝑥x के बीच और समेत 𝑎a और 𝑏b के लिए मान होते हैं।

    2. निरपेक्ष अधिकतम और न्यूनतम: अंतराल [𝑎,𝑏][a,b] पर 𝑓(𝑥)f(x) का निरपेक्ष अधिकतम मूल्य वह उच्चतम मूल्य होता है जो 𝑓(𝑥)f(x) प्राप्त करता है। इसी प्रकार, निरपेक्ष न्यूनतम मूल्य वह सबसे छोटा मूल्य होता है। ये मूल्य अंतराल के अंदर के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर या अंतिम बिंदुओं पर हो सकते हैं।

    सिद्धांत: एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरम

    एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरम कहता है कि यदि एक फ़ंक्शन 𝑓(𝑥)f(x) एक बंद अंतराल [𝑎,𝑏][a,b] पर निरंतर है, तो 𝑓(𝑥)f(x) को उस अंतराल के भीतर कम से कम एक बार एक निरपेक्ष अधिकतम और एक निरपेक्ष न्यूनतम प्राप्त करना होगा। यह सिद्धांत सुनिश्चित करता है कि इन शर्तों में चरम मूल्यों की खोज व्यर्थ नहीं है।

    अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों को खोजने की प्रक्रिया

    1. अंतराल की पहचान करें: सुनिश्चित करें कि फ़ंक्शन बंद अंतराल [𝑎,𝑏][a,b] पर परिभाषित और निरंतर है।

    2. व्युत्पन्न खोजें: 𝑓′(𝑥)f′(x), 𝑓(𝑥)f(x) का पहला व्युत्पन्न निकालें। यह व्युत्पन्न महत्वपूर्ण बिंदुओं की पहचान में मदद करता है जहां संभावित अधिकतम या न्यूनतम हो सकते हैं (जहां 𝑓′(𝑥)=0f′(x)=0 या 𝑓′(𝑥)f′(x) मौजूद नहीं है)।

    3. महत्वपूर्ण बिंदुओं का मूल्यांकन करें: 𝑓′(𝑥)=0f′(x)=0 को हल करें और महत्वपूर्ण बिंदु खोजें। ये वे बिंदु हैं जहां फ़ंक्शन की परिवर्तन दर शून्य है और इसलिए अधिकतम या न्यूनतम के संभावित स्थान हैं।

    4. अंतिम बिंदुओं का मूल्यांकन करें: 𝑓(𝑎)f(a) और 𝑓(𝑏)f(b) की गणना करें। चूंकि अंतराल बंद है, इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों को भी चरम मूल्यों के लिए माना जाना चाहिए।

    5. मूल्यों की तुलना करें: सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं और अंतिम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की तुलना करें। इनमें से सबसे उच्च मूल्य निरपेक्ष अधिकतम होगा, और सबसे कम मूल्य निरपेक्ष न्यूनतम होगा।

    उदाहरण

    फ़ंक्शन 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+4f(x)=x3−3x2+4 को मानें, जो बंद अंतराल [−1,3][−1,3] पर परिभाषित है।

    1. व्युत्पन्न: 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−6𝑥f′(x)=3x2−6x.

    2. महत्वपूर्ण बिंदु: 𝑓′(𝑥)=0f′(x)=0 को हल करें। 3𝑥2−6𝑥=0⇒𝑥(𝑥−2)=0⇒𝑥=0 या 𝑥=23x2−6x=0⇒x(x−2)=0⇒x=0 या x=2.

    3. महत्वपूर्ण बिंदुओं और अंतिम बिंदुओं पर मूल्यांकन:

       • 𝑓(−1)=(−1)3−3(−1)2+4=−1−3+4=0f(−1)=(−1)3−3(−1)2+4=−1−3+4=0
       • 𝑓(0)=03−3×02+4=4f(0)=03−3×02+4=4
       • 𝑓(2)=23−3×22+4=8−12+4=0f(2)=23−3×22+4=8−12+4=0
       • 𝑓(3)=33−3×32+4=27−27+4=4f(3)=33−3×32+4=27−27+4=4

    4. अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करें:

       • न्यूनतम मूल्य, 𝑓(−1)=0f(−1)=0 और 𝑓(2)=0f(2)=0, −1−1 और 22 पर होते हैं।
       • अधिकतम मूल्य, 𝑓(0)=4f(0)=4 और 𝑓(3)=4f(3)=4, 00 और 33 पर होते हैं।

    यह प्रक्रिया और उदाहरण एक बंद अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के चरम मूल्यों को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं और अंतिम बिंदुओं की जाँच करने के महत्व को उजागर करता है।

19. 19.

    प्रश्न

    निम्नलिखित फ़ंक्शन्स के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों का पता लगाएं, यदि कोई हो:

    1. 𝑓(𝑥)=(2𝑥−1)2+3f(x)=(2x−1)2+3
    2. 𝑓(𝑥)=9𝑥2+12𝑥+2f(x)=9x2+12x+2
    3. 𝑓(𝑥)=−(𝑥−1)2+10f(x)=−(x−1)2+10
    4. 𝑔(𝑥)=𝑥3+1g(x)=x3+1

    समाधान

    1. 𝑓(𝑥)=(2𝑥−1)2+3f(x)=(2x−1)2+3

    • फ़ंक्शन का रूप: यह एक द्विघात फ़ंक्शन है जो ऊपर की ओर खुलता है।
    • वर्टेक्स फॉर्म: यह फ़ंक्शन पहले से वर्टेक्स फॉर्म में है, 𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘f(x)=a(x−h)2+k जहाँ 𝑎=1a=1, ℎ=12h=21​, और 𝑘=3k=3।
    • न्यूनतम मूल्य: न्यूनतम मूल्य वर्टेक्स पर होता है। 𝑥=12x=21​ पर 𝑓(12)=3f(21​)=3।
    • निष्कर्ष: न्यूनतम मूल्य 3 है, कोई अधिकतम मूल्य नहीं है क्योंकि यह ऊपर की ओर खुलता है और अनंत तक जाता है।

    2. 𝑓(𝑥)=9𝑥2+12𝑥+2f(x)=9x2+12x+2

    • वर्ग पूरा करना: वर्टेक्स का पता लगाने के लिए फ़ंक्शन को पुनर्लिखित करें:𝑓(𝑥)=9(𝑥2+43𝑥)+2=9(𝑥2+43𝑥+49)−9⋅49+2=9(𝑥+23)2−2f(x)=9(x2+34​x)+2=9(x2+34​x+94​)−9⋅94​+2=9(x+32​)2−2
    • न्यूनतम मूल्य: 𝑥=−23x=−32​ पर होता है, जहाँ 𝑓(−23)=−2f(−32​)=−2।
    • निष्कर्ष: न्यूनतम मूल्य -2 है, कोई अधिकतम मूल्य नहीं है क्योंकि फ़ंक्शन ऊपर की ओर खुलता है।

    3. 𝑓(𝑥)=−(𝑥−1)2+10f(x)=−(x−1)2+10

    • फ़ंक्शन का रूप: यह एक उलटा परबोला है।
    • वर्टेक्स फॉर्म: वर्टेक्स फॉर्म 𝑓(𝑥)=−1(𝑥−1)2+10f(x)=−1(x−1)2+10 है जहाँ ℎ=1h=1, 𝑘=10k=10।
    • अधिकतम मूल्य: अधिकतम मूल्य वर्टेक्स पर होता है। 𝑥=1x=1 पर 𝑓(1)=10f(1)=10।
    • निष्कर्ष: अधिकतम मूल्य 10 है, कोई न्यूनतम मूल्य नहीं है क्योंकि फ़ंक्शन नीचे की ओर खुलता है।

    4. 𝑔(𝑥)=𝑥3+1g(x)=x3+1

    • महत्वपूर्ण बिंदुओं का विश्लेषण:
      • प्रथम व्युत्पन्न: 𝑔′(𝑥)=3𝑥2g′(x)=3x2।
      • महत्वपूर्ण बिंदु: 𝑔′(𝑥)=0g′(x)=0 से 𝑥=0x=0 मिलता है।
      • द्वितीय व्युत्पन्न: 𝑔′′(𝑥)=6𝑥g′′(x)=6x।
        • 𝑥=0x=0 पर, 𝑔′′(0)=0g′′(0)=0, जो निष्कर्ष नहीं निकालता (द्वितीय व्युत्पन्न परीक्षण यहाँ विफल रहता है)।
      • व्यवहार विश्लेषण: चूंकि 𝑔′(𝑥)=3𝑥2≥0g′(x)=3x2≥0 सभी 𝑥x के लिए होता है और 𝑔′′(𝑥)g′′(x) 𝑥=0x=0 पर चिन्ह बदलता है, 𝑔(𝑥)g(x) में 𝑥=0x=0 पर एक inflection point होता है, कोई अधिकतम या न्यूनतम नहीं होता।
    • निष्कर्ष: 𝑔(𝑥)g(x) में कोई अधिकतम या न्यूनतम मूल्य नहीं होता है। यह 𝑥<0x<0 के लिए घटता है और 𝑥>0x>0 के लिए बढ़ता है।

    ये विश्लेषण प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए चरम मूल्यों को उनके संपूर्ण डोमेन पर प्रदान करते हैं, जिसमें द्विघात समीकरणों के लिए वर्टेक्स फॉर्म मूल्यांकन और उच्च-डिग्री बहुपदों के लिए व्युत्पन्न परीक्षण शामिल हैं।

20. 20.अभ्यास प्रश्न

    1. 𝑓(𝑥)=𝑥+sin⁡2𝑥f(x)=x+sin2x के [0,2𝜋][0,2π] पर अधिकतम और न्यूनतम मूल्य ज्ञात करें।

    समाधान:

    • व्युत्पन्न: आलोचनात्मक बिंदुओं का पता लगाने के लिए व्युत्पन्न निकालें।𝑓′(𝑥)=1+2cos⁡2𝑥f′(x)=1+2cos2x
    • आलोचनात्मक बिंदु खोजें: 𝑓′(𝑥)=0f′(x)=0 को हल करें।1+2cos⁡2𝑥=0⇒cos⁡2𝑥=−121+2cos2x=0⇒cos2x=−21​यह 2𝑥=2𝜋/32x=2π/3 और 2𝑥=4𝜋/32x=4π/3 पर होता है, इसलिए 𝑥=𝜋/3,2𝜋/3x=π/3,2π/3।
    • आलोचनात्मक बिंदुओं और अंतिम बिंदुओं पर मूल्यांकन करें:𝑓(0)=0+sin⁡0=0,𝑓(𝜋/3)=𝜋/3+sin⁡(2𝜋/3)=𝜋/3+3/2f(0)=0+sin0=0,f(π/3)=π/3+sin(2π/3)=π/3+3​/2𝑓(2𝜋/3)=2𝜋/3+sin⁡(4𝜋/3)=2𝜋/3−3/2,𝑓(2𝜋)=2𝜋+sin⁡(4𝜋)=2𝜋f(2π/3)=2π/3+sin(4π/3)=2π/3−3​/2,f(2π)=2π+sin(4π)=2π
    • अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करें: इन मूल्यों की तुलना करते हुए, 𝑓(2𝜋)=2𝜋f(2π)=2π अधिकतम है और 𝑓(2𝜋/3)=2𝜋/3−3/2f(2π/3)=2π/3−3​/2 न्यूनतम है।

    2. दो ऐसे नंबर खोजें जिनका योग 24 हो और जिनका उत्पाद यथासंभव बड़ा हो।

    समाधान:

    • मान लें कि नंबर 𝑥x और 𝑦y हैं जिनका योग 𝑥+𝑦=24x+y=24 है।
    • 𝑦y को 𝑥x के रूप में व्यक्त करें: 𝑦=24−𝑥y=24−x।
    • उत्पाद फ़ंक्शन: 𝑃(𝑥)=𝑥(24−𝑥)=24𝑥−𝑥2P(x)=x(24−x)=24x−x2।
    • वर्टेक्स फॉर्मूला: एक द्विघात 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐ax2+bx+c का अधिकतम 𝑥=−𝑏/(2𝑎)x=−b/(2a) पर होता है।𝑥=−24/(−2)=12x=−24/(−2)=12
    • अधिकतम उत्पाद: 𝑃(12)=12(24−12)=144P(12)=12(24−12)=144।
    • दो नंबर 12 और 12 हैं।

    3. दो सकारात्मक नंबर 𝑥x और 𝑦y खोजें जिनका योग 60 हो और 𝑥𝑦xy अधिकतम हो।

    समाधान:

    • 𝑦y को 𝑥x के रूप में व्यक्त करें: 𝑦=60−𝑥y=60−x।
    • उत्पाद फ़ंक्शन: 𝑃(𝑥)=𝑥(60−𝑥)=60𝑥−𝑥2P(x)=x(60−x)=60x−x2।
    • वर्टेक्स फॉर्मूला: अधिकतम 𝑥=30x=30 पर होता है।
    • अधिकतम उत्पाद: 𝑃(30)=30(60−30)=900P(30)=30(60−30)=900।
    • दो नंबर 30 और 30 हैं।

21. 21.अभ्यास प्रश्न

    प्रश्न:01 दिखाएं कि न्यूनतम वक्रित सतह क्षेत्र और दिए गए आयतन के साथ दाएं वृत्तीय शंकु की ऊँचाई आधार की त्रिज्या के 22​ गुना के बराबर होती है।

    समाधान:

    1. उपयोग किए गए सूत्र:

       • शंकु का आयतन, 𝑉=13𝜋𝑟2ℎV=31​πr2h
       • शंकु का वक्रित सतह क्षेत्र (CSA), 𝑆=𝜋𝑟ℓS=πrℓ, जहाँ ℓℓ खड़ी ऊँचाई ℓ=𝑟2+ℎ2ℓ=r2+h2​ है

    2. दी गई: आयतन 𝑉V स्थिर है।

       • हमें 𝑆S को न्यूनतम करना है जबकि संबंध 𝑉=13𝜋𝑟2ℎV=31​πr2h बनाए रखना है।

    3. लाग्रांज मल्टीप्लायर्स का उपयोग करना:

       • 𝑉=13𝜋𝑟2ℎV=31​πr2h को सेट करें और ℎh को 𝑟r के संदर्भ में व्यक्त करें: ℎ=3𝑉𝜋𝑟2h=πr23V​
       • ℓℓ में ℎh को प्रतिस्थापित करें: ℓ=𝑟2+(3𝑉𝜋𝑟2)2ℓ=r2+(πr23V​)2​
       • 𝑟r के संदर्भ में वक्रित सतह क्षेत्र: 𝑆=𝜋𝑟𝑟2+(3𝑉𝜋𝑟2)2S=πrr2+(πr23V​)2​
       • 𝑟r के संबंध में 𝑆S को व्युत्पन्न करें, शून्य के बराबर सेट करें और 𝑟r के लिए हल करें ताकि 𝑆S न्यूनतम हो।

    4. सरलीकरण: व्युत्पन्न करने और सरलीकरण के बाद (विस्तृत कैलकुलस कार्यवाही को संक्षिप्तता के लिए छोड़ दिया गया है), यह दिखाया जा सकता है कि न्यूनतम सतह क्षेत्र तब होता है जब ℎ=2𝑟h=2​r होता है।

    
    

    प्रश्न:02 दिखाएं कि दिए गए खड़ी ऊँचाई के अधिकतम आयतन वाले शंकु का अर्ध-ऊर्ध्वाधर कोण 𝜃θ tan⁡−1(2)tan−1(2​) होता है।

    समाधान:

    1. ज्यामितीय संबंध:

       • ℎ=ℓcos⁡(𝜃)h=ℓcos(θ), 𝑟=ℓsin⁡(𝜃)r=ℓsin(θ)
       • आयतन 𝑉=13𝜋𝑟2ℎ=13𝜋(ℓsin⁡(𝜃))2(ℓcos⁡(𝜃))V=31​πr2h=31​π(ℓsin(θ))2(ℓcos(θ))
       • 𝜃θ के संदर्भ में आयतन को सरल बनाएं: 𝑉=13𝜋ℓ3sin⁡2(𝜃)cos⁡(𝜃)V=31​πℓ3sin2(θ)cos(θ)

    2. आयतन का अधिकतमकरण:

       • 𝜃θ के संबंध में 𝑉V को व्युत्पन्न करें, शून्य के बराबर सेट करें, और 𝜃θ के लिए हल करें: 𝑑𝑉𝑑𝜃=13𝜋ℓ3(2sin⁡(𝜃)cos⁡2(𝜃)−sin⁡3(𝜃))=0dθdV​=31​πℓ3(2sin(θ)cos2(θ)−sin3(θ))=0
       • 2cos⁡2(𝜃)−sin⁡2(𝜃)=02cos2(θ)−sin2(θ)=0 से tan⁡(𝜃)=2tan(θ)=2​ मिलता है।