व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन — कक्षा 12 गणित नोट्स

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन में शामिल टॉपिक

1. 1.व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का परिचय

   आइए उस चीज़ से शुरू करें जिसे आप लगभग हर दिन देखते हैं - आपका स्मार्टफोन। कल्पना कीजिए कि आप उस पर एक गेम खेल रहे हैं जहां आपको कुछ ब्लॉक को ठोकने के लिए एक पक्षी को बिल्कुल सही कोण पर गुलेल से उड़ाना है। जीतने के लिए, आप अक्सर गुलेल के कोण को समायोजित करते हैं। यह समायोजन और कोण का पता लगाना त्रिकोणमिति से निकटता से संबंधित है, और विशेष रूप से, हम जिसे प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन कहते हैं, उससे संबंधित है।

   त्रिकोणमितीय फलन और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन त्रिकोणमितीय फलन (जैसे साइन, कोसाइन, और स्पर्शरेखा) हमें त्रिभुज के कोणों को उसकी भुजाओं की लंबाई से जोड़ने में मदद करते हैं। लेकिन कभी-कभी, हम भुजाओं को जानते हैं और कोणों को खोजने की जरूरत होती है। वहीं पर व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन काम आते हैं। वे हमें त्रिभुज की भुजाओं से कोणों तक पीछे की ओर काम करने में मदद करते हैं।

   छह मुख्य प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन हैं:

   • आर्कसाइन (sin⁻¹)
   • आर्ककोसाइन (cos⁻¹)
   • आर्कटैंजेंट (tan⁻¹)
   • आर्ककोटैंजेंट (cot⁻¹)
   • आर्कसेकेंट (sec⁻¹)
   • आर्ककोसेकेंट (csc⁻¹)

   इन कार्यों को "प्रतिलोम (inverse)" कहा जाता है क्योंकि जब हम भुजाओं के अनुपात को जानते हैं तो ये हमें कोण खोजने में मदद करते हैं। यह एक रहस्य को उल्टा सुलझाने जैसा है: सुराग (कोण) के आधार पर यह पता लगाने के बजाय कि क्या हो रहा है, आप यह पता लगा रहे हैं कि क्या हुआ (पक्ष की लंबाई) के आधार पर सुराग क्या रहा होगा।

   वास्तविक जीवन में इसे कैसे उपयोग किया जाता है आर्किटेक्ट्स और इंजीनियरों के बारे में सोचें। वे इमारतों, पुलों और सड़कों को डिजाइन करने के लिए व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करते हैं। जब वे किसी भवन की ऊंचाई और एक निश्चित बिंदु से दूरी जानते हैं, तो वे भवन के निर्माण में शामिल कोणों की गणना करने के लिए इन कार्यों का उपयोग कर सकते हैं।

   यह गणित में कैसे काम करता है उदाहरण के तौर पर इनवर्स साइन फंक्शन (sin⁻¹) को लें। यदि कोण θ का साइन 0.5 है, तो sin⁻¹(0.5) का उपयोग करके हम यह पता लगा सकते हैं कि θ 30° है। ऐसा इसलिए है क्योंकि sin(30°) = 0.5 है, और इसलिए 0.5 का आर्क्साइन या इनवर्स साइन 30° है।

   आपके लिए गतिविधि उस कोण को खोजने का प्रयास करें जिसके लिए कोज्या(cosine) 0.5 के बराबर है। इसके लिए आप आर्ककोसाइन फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे। यह कार्रवाई में प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्यों को देखने का एक सरल तरीका है।

   व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का उपयोग करने वाले करियर

   • इंजीनियरिंग: डिजाइन के लिए कोणों की गणना करना।
   • वास्तुकला: विशिष्ट कोण आवश्यकताओं वाले भवनों को डिजाइन करना।
   • गेम विकास (Game Development): गति और प्रक्षेपवक्र के लिए कोणों की प्रोग्रामिंग।
   • नेविगेशन: निर्देशांक के आधार पर मार्गों और दिशाओं की गणना करना।

   व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन विभिन्न क्षेत्रों में आवश्यक उपकरण हैं, जो पेशेवरों को समस्याओं को हल करने और ऐसे समाधान बनाने में मदद करते हैं जो हमारी दुनिया को आकार देते हैं।

2. 2.व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की मूल अवधारणाएँ

   
   

   व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन काफ़ी रोचक होते हैं क्योंकि ये हमें एक त्रिकोण के कोणों को खोजने की अनुमति देते हैं जबकि हमें पहले से ही इसकी भुजाओं के अनुपात पता होते हैं। यह दैनिक जीवन और विशिष्ट क्षेत्रों दोनों के कई क्षेत्रों में अविश्वसनीय रूप से उपयोगी है। आइए इन कार्यों को बेहतर ढंग से समझने के लिए कुछ बुनियादी अवधारणाओं को तोड़ते हैं।

   1. परिभाषा व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन, ज्या (sine), कोज्या (cosine) और स्पर्शरेखा (tangent) जैसे त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्क्रम (inverse) होते हैं। इन्हें आमतौर पर क्रमशः sin⁻¹, cos⁻¹, and tan⁻¹ करके निरूपित किया जाता है। ये हमें दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपात के संगत कोण को निर्धारित करने में मदद करते हैं।

   2. डोमेन और रेंज प्रत्येक व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन का एक विशिष्ट डोमेन (इनपुट मानों का समूह जो इसे स्वीकार कर सकता है) और रेंज (आउटपुट मानों का समूह जिसे वह उत्पन्न कर सकता है) होती है:

   • sin⁻¹(x) को -1 ≤ x ≤ 1 के लिए परिभाषित किया गया है, और इसका आउटपुट -π/2 से π/2 रेडियन तक होता है।
   • cos⁻¹(x) को भी -1 ≤ x ≤ 1 के लिए परिभाषित किया गया है, लेकिन इसका आउटपुट 0 से π रेडियन तक होता है।
   • tan⁻¹(x) किसी भी वास्तविक संख्या को इनपुट के रूप में ले सकता है, और इसका आउटपुट -π/2 से π/2 रेडियन तक होता है (-π/2 और π/2 को छोड़कर)।

   3. फ़ंक्शन व्यवहार ये भी नॉन-लीनियर होते हैं, मतलब ग्राफ़ पर बनाए जाने पर वे सीधी रेखाएँ नहीं बनाते। इनके विशिष्ट आकार होते हैं जो निरंतर बने रहते हैं क्योंकि ये अपने संगत त्रिकोणमितीय फलनों से सीधे संबंधित होते हैं।

   4. उपयोग हम विभिन्न वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए:

   • नौवहन (navigation) में, जहाज की दिशा का कोण ज्ञात करने के लिए।
   • भौतिकी में, प्रक्षेप्य गति में कोणों की गणना करने के लिए।
   • कंप्यूटर ग्राफिक्स में, छवियों को घुमाने और उनमें हेरफेर करने के लिए।

   5. प्रिंसिपल वैल्यूज़ (Principal Values) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के निर्गम (output) को प्रिंसिपल वैल्यू (मूल मान) कहा जाता है। इन फलनों के ठीक से काम करने और अस्पष्टता से बचने के लिए (क्योंकि कई कोणों में एक ही ज्या, कोज्या या स्पर्शरेखा मान हो सकता है), हम उनके निर्गम को उनके प्रिंसिपल वैल्यूज़ तक सीमित कर देते हैं।

   दैनिक जीवन में उदाहरण मान लीजिए कि आप यह पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि पतंग कितनी ऊंची उड़ रही है। आप पूरी तरह से पतंग तक फैली हुई रस्सी की लंबाई और ज़मीन से बनने वाले इसके कोण को मापते हैं। स्पर्शरेखा फलन (tangent function) और फिर व्युत्क्रम स्पर्शरेखा फलन (inverse tangent function) का उपयोग करके, आप ज़मीन के ऊपर पतंग की ऊंचाई की गणना कर सकते हैं।

   करियर और इंडस्ट्रीज

   इन अवधारणाओं को जानना करियर के लिए अविश्वसनीय रूप से फायदेमंद हो सकता है जैसे:

   • सिविल इंजीनियरिंग: सड़कों और पुलों के ढलानों और कोणों की गणना करना।
   • एयरोस्पेस इंजीनियरिंग: उड़ान पथों को डिजाइन करना और विमान की दिशा को समझना।
   • वीडियो गेम डिज़ाइन: यथार्थवादी गतिविधियों और कैमरा कोणों को लागू करना।

   व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को समझना आपके दैनिक जीवन और भविष्य के करियर दोनों में समस्याओं को हल करने और सिस्टम डिजाइन करने की संभावनाओं की दुनिया खोल देता है।

3. 3.निम्नलिखित के प्रमुख मान ज्ञात कीजिए

   1. sin⁻¹(-1/2)

   -1/2 का मान चौथे चतुर्थांश (quadrant) में किसी कोण का साइन (sine) है, क्योंकि साइन वहां ऋणात्मक होता है। पहले चतुर्थांश में इसका संदर्भ कोण (reference angle) 30° या π/6 रेडियन है। इसलिए, रेडियन में प्रिंसिपल वैल्यू -π/6 है।

   2. cos⁻¹(√3/2)

   √3/2 का मान पहले चतुर्थांश में किसी कोण का कोसाइन (cosine) है, जहां कोसाइन धनात्मक होता है। यह 30° या π/6 रेडियन का कोसाइन है। तो, प्रिंसिपल वैल्यू π/6 रेडियन है।

   3. csc⁻¹(2)

   कोसेकेंट फ़ंक्शन (cosecant function) साइन फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है। चूँकि sin(30°) = 1/2, तो csc⁻¹(2) उस कोण से मेल खाता है जिसका साइन 1/2 है, जो कि पहले चतुर्थांश में 30° या π/6 रेडियन है। इसलिए, प्रिंसिपल वैल्यू π/6 रेडियन है।

   4. tan⁻¹(-√3)

   -√3 का मान चौथे चतुर्थांश में किसी कोण का टैंजेंट (tangent) है, क्योंकि टैंजेंट वहां ऋणात्मक होता है। यह 60° या π/3 रेडियन के टैंजेंट से मेल खाता है, लेकिन चूंकि यह ऋणात्मक है, हम इस कोण का ऋणात्मक लेते हैं। तो, प्रिंसिपल वैल्यू -π/3 रेडियन है।

   5. cos⁻¹(-1/2)

   -1/2 का मान दूसरे चतुर्थांश में किसी कोण का कोसाइन है, जहां कोसाइन ऋणात्मक होता है। वह संदर्भ कोण जहां कोसाइन 1/2 है, 60° या π/3 रेडियन है, तो प्रिंसिपल वैल्यू π - π/3 = 2π/3 रेडियन है।

   6. tan⁻¹(-1)

   -1 का मान चौथे चतुर्थांश के किसी कोण का टैंजेंट है। वह संदर्भ कोण जहां टैंजेंट 1 है, 45° या π/4 रेडियन है। चूंकि हम एक ऋणात्मक कोण की तलाश कर रहे हैं, प्रिंसिपल वैल्यू -π/4 रेडियन है।

4. 4.निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:

   प्रश्न 1: tan⁻¹(1) + cos⁻¹(-1/2) + sin⁻¹(-1/2)

   समाधान 1:

   • tan⁻¹(1): वह कोण जिसका tangent 1 है। यह π/4 रेडियन या 45° है।

   • cos⁻¹(-1/2): वह कोण जिसका cosine -1/2 है। यह 2π/3 रेडियन या 120° पर होता है।

   • sin⁻¹(-1/2): वह कोण जिसका sine -1/2 है। यह -π/6 रेडियन या -30° पर होता है।

   इन्हें जोड़ने पर: π/4 + 2π/3 - π/6 = 3π/12 + 8π/12 - 2π/12 = 9π/12 = 3π/4 रेडियन।

   प्रश्न 2: cos⁻¹(1/2) + 2sin⁻¹(1/2)

   समाधान 2:

   • cos⁻¹(1/2): वह कोण जिसका cosine 1/2 है। यह π/3 रेडियन या 60° है।

   • sin⁻¹(1/2): वह कोण जिसका sine 1/2 है। यह π/6 रेडियन या 30° है। इसे 2 से गुणा करने पर π/3 रेडियन प्राप्त होता है।

   इन्हें जोड़ने पर: π/3 + π/3 = 2π/3 रेडियन।

   प्रश्न 3: यदि sin⁻¹(x) = y, तो:

   समाधान 3: sin⁻¹(x) के मूल मान की सीमा -π/2 से π/2 तक है। इसलिए, y को इस सीमा के भीतर होना चाहिए। इस प्रकार, सही विकल्प है:

   (B) -π/2 ≤ y ≤ π/2

   प्रश्न 4: tan⁻¹(-√3) - sec⁻¹(-2) किसके बराबर है:

   समाधान 4:

   • tan⁻¹(-√3): वह कोण जिसका tangent -√3 है। यह -π/3 रेडियन या -60° है।

   • sec⁻¹(-2): वह कोण जिसका secant -2 है। यह दूसरे चतुर्थांश (quadrant) में वह कोण होगा जिसका cosine -1/2 होता है, यह 2π/3 रेडियन या 120° है।

   इन्हें घटाने पर: -π/3 - 2π/3 = -π रेडियन।

   ऋणात्मक चिन्ह कोण की दिशा को दर्शाता है, लेकिन चूंकि हम आमतौर पर एक सकारात्मक मुख्य मान चाहते हैं, हम समतुल्य सकारात्मक कोण लेते हैं, जो 2π-π= π रेडियन है।

   इसलिए, प्रश्न 4 का उत्तर है: (A) π

5. 5.व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के गुण

   प्रतिलोम फलन की समझ

   सबसे पहले, आपको यह समझने की जरूरत है कि एक प्रतिलोम फलन मूल रूप से मूल फलन (function) की क्रिया को उलट देता है। त्रिकोणमितीय फलनों (trigonometric functions) के लिए, जो आमतौर पर एक कोण लेते हैं और आपको एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात देते हैं, उनके प्रतिलोम (inverses) एक अनुपात लेते हैं और आपको एक कोण देते हैं।

   प्रमुख मान (Principal Values):

   चूंकि त्रिकोणमितीय फलन आवधिक (periodic) होते हैं (वे अंतराल पर अपने मानों को दोहराते हैं), प्रतिबंध के बिना, उनका प्रतिलोम हमें एक ही अनुपात के लिए कई कोण देगा। हालाँकि, हम केवल एक कोण चाहते हैं, जो सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला कोण है, जिसे हम प्रमुख मान (principal value) कहते हैं। प्रत्येक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के लिए, हम आउटपुट को एक निश्चित अंतराल तक सीमित कर देते हैं:

   • आर्कसाइन (sin⁻¹) के लिए, यह अंतराल [-π/2, π/2] है।
   • आर्ककोसाइन (cos⁻¹) के लिए, अंतराल [0, π] है।
   • आर्कटैंजेंट (tan⁻¹) के लिए, अंतराल (-π/2, π/2) है।

   प्रतिलोम फलन की विशेषता:

   एक प्रतिलोम फ़ंक्शन की मूलभूत विशेषता यह है कि फ़ंक्शन के बाद उसका प्रतिलोम आपको वापस वहीं पहुंचा देता है जहां आपने शुरुआत की थी। त्रिकोणमितीय कार्यों के मामले में:

   • sin(sin⁻¹(x)) = x, सभी x के लिए जो अंतराल [-1, 1] में हैं, क्योंकि कोण की ज्या (sine) हमेशा -1 और 1 के बीच होती है।
   • sin⁻¹(sin(y)) = y, सभी y के लिए जो अंतराल [-π/2, π/2] में हैं, क्योंकि आर्कसाइन को इस अंतराल में सीमित कर दिया गया है ताकि हमें इसके प्रमुख मान मिल सके।

   इसका मतलब है, यदि आपके पास कोई अनुपात (जैसे 1/2) है, और आप उस पर आर्कसाइन (arcsine) लागू करते हैं, तो आपको एक कोण मिलेगा। यदि आप तब उस कोण की ज्या लेते हैं, तो आपको वही अनुपात (1/2) वापस मिल जाएगा।

   ये गुण महत्वपूर्ण क्यों हैं:

   त्रिकोणमितीय फलनों वाले समीकरणों को हल करते समय यह अवधारणा वास्तव में महत्वपूर्ण है, क्योंकि आप कोणों और अनुपातों के बीच स्विच कर सकते हैं, यह जानते हुए कि जब तक आप सही अंतराल के भीतर हैं, तब तक आपको हमेशा सही 'प्रमुख' कोण प्राप्त होगा।

   गुणों को लागू करने के उदाहरण:

   यदि आपके पास समीकरण sin(y) = 1/2 है, तो आप दोनों पक्षों का आर्कसाइन लेकर y के लिए हल कर सकते हैं और y = sin⁻¹(1/2) प्राप्त कर सकते हैं। y का मान π/6 होगा क्योंकि यह वह कोण है जिसकी ज्या 1/2 है, और यह आर्कसाइन की प्रमुख मान सीमा के भीतर है।

   यदि कोई समीकरण कहता है कि cos(y) = -1/2, और आप y के लिए हल करना चाहते हैं, तो आप आर्ककोसाइन का उपयोग करेंगे: y = cos⁻¹(-1/2)। हल 2π/3 होगा क्योंकि यह वह कोण है जिसकी कोज्या -1/2 है, और यह आर्ककोसाइन की प्रमुख मान सीमा के भीतर आता है।

   सीमाएं:

   ये विशेषताएं शक्तिशाली हैं, लेकिन वे एक चेतावनी के साथ आती हैं - वे केवल उन विशिष्ट अंतरालों ('प्रमुख मान' श्रेणियों) के भीतर काम करती हैं। यदि आप इन श्रेणियों के बाहर के कोणों का उपयोग करते हैं, तो आपको मूल मान वापस नहीं मिल सकता है क्योंकि आप विश्वास के घेरे के बाहर होंगे, और फलन अपेक्षा के अनुरूप व्यवहार नहीं करेगा।

   निष्कर्ष:

   इन गुणों को समझने से आप कोणों और अनुपातों के बीच आत्मविश्वास से आगे बढ़ सकते हैं, जो त्रिकोणमिति में एक मौलिक कौशल है। यह भौतिकी (उदाहरण के लिए, तरंगों का विश्लेषण), इंजीनियरिंग (जैसे संरचनाओं के भीतर कोण निर्धारित करना), और यहां तक कि कला (विशिष्ट कोणों के साथ पैटर्न बनाना) और नेविगेशन (कम्पास बियरिंग्स के आधार पर मार्गों की गणना) जैसे क्षेत्रों में आवश्यक है।

   असल ज़िन्दगी में इस्तेमाल:

   वास्तविक जीवन में, ये फलन बहुत मदद करते हैं। पायलट विमानों को सही कोणों पर उड़ाने के लिए उनका उपयोग करते हैं, इंजीनियर यह सुनिश्चित करने के लिए उनका उपयोग करते हैं कि पुल सही कोण पर हों, और यहां तक कि वीडियो गेम में टिल्ट कंट्रोल के लिए आपके स्मार्टफोन में उनका उपयोग होता है।

   तो, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन गणित की दुनिया के जासूस हैं। वे सुराग (अनुपात) लेते हैं और रहस्य को हल करते हैं (कोण ढूंढते हैं)। और याद रखें, ये जासूस केवल कुछ सुरागों (मूल्यों) के साथ काम करते हैं, और वे आपको आपके कोण प्रश्न का सबसे अच्छा उत्तर (प्रमुख मूल्य) देते हैं!

6. 6.निम्नलिखित कार्यों को सरलतम रूप में लिखिए:

   1. tan⁻¹(1 + √x - 1/√x), x ≠ 0

   इसको सरल करने के लिए हम इस सर्वसमिका (identity) का उपयोग करते हैं:

   tan(θ/2) = 1 + sin(θ) - 1 / cos(θ) = cos(θ)/sin(θ) * [1 - sin(θ)]/ [1 + sin(θ)]

   हमारे व्यंजक की इससे तुलना करने पर, हम ये समझ सकते हैं:

   • 1 + √x, 1 + sin²(θ) को दर्शाता है
   • √x, sin(θ)/cos(θ) को दर्शाता है

   इसलिए हमारा पूरा व्यंजक tan(θ/2) बनता है। इसका सबसे सरल रूप होगा θ/2

   2. tan⁻¹((1 - cos(x))/(1 + cos(x))), 0 < x < π

   इसमें हम अर्ध-कोण (half-angle) सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं:

   • sin²(x/2) = (1 - cos(x)) / 2
   • cos²(x/2) = (1 + cos(x)) / 2

   इनको हमारे व्यंजक में प्रयोग करने पर मिलता है:

   tan⁻¹(2sin²(x/2) / 2cos²(x/2)) = tan⁻¹(tan(x/2))

   इसलिए, सबसे सरल रूप x/2 होगा।

   3. tan⁻¹((cos(x) - sin(x)) / (cos(x) + sin(x))), π/4 < x < 3π/4

   इस व्यंजक को सरल करने के लिए हम हर (numerator) और पर (denominator) को cos(x) से भाग देंगे, जिससे हमें यह मिलेगा:

   tan⁻¹((1 - tan(x)) / (1 + tan(x)))

   अब हम स्पर्शज्या घटाव सूत्र (tangent subtraction formula) का प्रयोग करते हैं:

   tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))

   इससे पता चलता है कि हमारा व्यंजक tan⁻¹(tan(x - π/4)) को दर्शाता है। इसलिए, सरलतम रूप x - π/4 होगा।

   4. tan⁻¹(√(a² - x²) / x), |x| < a

   यह व्यंजक पहले से ही सरलतम रूप में है। यह एक ऐसे समकोण त्रिभुज के कोण को दर्शाता है जिसकी सम्मुख भुजा (opposite side) x है और संलग्न भुजा (adjacent side) √(a² - x²) है।

   5. tan⁻¹((a³ - 3ax²) / (3a²x - x³)), a > 0; -√3a < x < √3a

   यह व्यंजक स्पर्शज्या योग सूत्र (tangent addition formula) जैसे लगता है:

   tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A)tan(B))

   यदि हम A = B = tan⁻¹(x/a) रखें (क्योंकि tan(tan⁻¹(x/a)) = x/a), तो हमें यह प्राप्त होगा: 2tan⁻¹(x/a), क्योंकि कोण को अपने आप से जोड़ने का मतलब उसे दोगुना करना है।

   निष्कर्ष

   ये सरलीकृत व्यंजक (expressions) प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं (identities) और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों (inverse trigonometric functions) के गुणों का उपयोग करके बनाए गए हैं। ये जटिल-दिखने वाले व्यंजकों को आसान रूपों में प्रस्तुत करने में प्रतिलोम त्रिकोणमिति की उपयोगिता को दर्शाते हैं।

7. 7.निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए:

   प्रश्न 1:

   tan⁡−1[2cos⁡(2sin⁡−112)]tan−1[2cos(2sin−121​)] का मान ज्ञात कीजिए।

   हल 1:

   पहले, हम 2sin⁡−1122sin−121​ ढूंढते हैं। चूंकि sin⁡−112sin−121​ का मान 66π​ या 30 डिग्री है (क्योंकि 30 डिग्री का साइन 1/2 होता है), इसलिए हम इसे 2 से गुणा करके 33π​ या 60 डिग्री प्राप्त करते हैं।

   अब, cos⁡(3)cos(3π​) का मान 1221​ है। इसलिए, 2cos⁡(3)2cos(3π​) का मान 11 होगा।

   इस प्रकार, tan⁡−1(1)tan−1(1) का मान 44π​ या 45 डिग्री होगा, क्योंकि 45 डिग्री का टैंजेंट 1 होता है।

   प्रश्न 2:

   12tan⁡−1(−21+2)+12cos⁡−1(−21+2)21​tan−1(1+x2−2x​)+21​cos−1(1+y2−y2​) का मान ज्ञात कीजिए, दिया है ∣∣<1∣x∣<1, >0y>0, और <1y<1।

   हल 2:

   इस अभिव्यक्ति के दोनों भागों में डबल एंगल के सूत्र का उपयोग किया गया है।

   पहले भाग के लिए, टैंजेंट के डबल एंगल सूत्र है tan⁡(2)=2tan⁡1−tan⁡2tan(2A)=1−tan2(A)2tan(A)​। हमारे मामले में, tan⁡=−tan(A)=−x, इसलिए tan⁡−1(−21+2)tan−1(1+x2−2x​) को सरलीकृत किया जा सकता है −2−2A के रूप में, जहाँ =tan⁡−1A=tan−1(x)। इसलिए अभिव्यक्ति का पहला आधा भाग 12×−2=−21​×−2A=−A हो जाएगा, जो कि −tan⁡−1−tan−1(x) है।

   दूसरे भाग के लिए, कोसाइन के डबल एंगल सूत्र का उपयोग करते हुए, cos⁡(2)=1−21+2cos(2B)=1+y21−y2​। हमारे मामले में, अगर हम B ऐसा लेते हैं कि cos⁡=cos(B)=y (क्योंकि y सकारात्मक है और 1 से कम है), तो cos⁡−1(−21+2)cos−1(1+y2−y2​) को सरलीकृत किया जा सकता है −2π−2B के रूप में, जहाँ =cos⁡−1B=cos−1(y)। इसलिए अभिव्यक्ति का दूसरा आधा भाग 12×(−2)=2−21​×(π−2B)=2π​−B हो जाएगा, जो कि 2−cos⁡−12π​−cos−1(y) है।

   दोनों भागों को जोड़ते हुए, हमें मिलता है: −tan⁡−1+2−cos⁡−1−tan−1(x)+2π​−cos−1(y)

8. 8.व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के डोमेन और रेंज (मुख्य मूल्य शाखाएं) के लिए एक तालिका निम्नलिखित तालिका में दी गई है:

   नीचे दिया गया तालिका मूल व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फंक्शन्स के डोमेन और रेंज (जिन्हें प्रधान मूल्य शाखाएँ भी कहा जाता है) की जानकारी देती है:

   फंक्शन	व्युत्क्रम फंक्शन का डोमेन	व्युत्क्रम फंक्शन का रेंज (प्रधान मूल्य शाखा)
   sin⁡−1sin−1(x)	[−1,1][−1,1]	[−2,2][−2π​,2π​]
   cos⁡−1cos−1(x)	[−1,1][−1,1]	[0,][0,π]
   tan⁡−1tan−1(x)	(−∞,∞)(−∞,∞)	(−2,2)(−2π​,2π​)
   cot⁡−1cot−1(x)	(−∞,अनंत)(−∞,अनंत)	(0,)(0,π)
   sec⁡−1sec−1(x)	[−∞,−1]∪[1,अनंत)[−∞,−1]∪[1,अनंत)	[0,2)∪(2,][0,2π​)∪(2π​,π]
   csc⁡−1csc−1(x)	[−∞,−1]∪[1,अनंत)[−∞,−1]∪[1,अनंत)	[−2,0)∪(0,2][−2π​,0)∪(0,2π​]

   यह तालिका प्रत्येक व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फंक्शन के लिए अनुमत इनपुट्स (डोमेन) और संबंधित आउटपुट्स (रेंज) को सारांशित करती है। ये रेंज वह प्रधान मूल्य हैं जहाँ व्युत्क्रम फंक्शन्स सामान्यतः परिभाषित किए जाते हैं।