वेक्टर बीजगणित — कक्षा 12 गणित नोट्स

वेक्टर बीजगणित में शामिल टॉपिक

1. 1.वेक्टर बीजगणित का परिचय

   वेक्टर बीजगणित का परिचय

   वेक्टर बीजगणित गणित की वह रोचक शाखा है जो हमें दिशा और परिमाण से संबंधित समस्याओं को हल करने में मदद करती है। कल्पना कीजिए कि आप एक वीडियो गेम खेल रहे हैं जहाँ आपको एक वस्तु को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक स्थानांतरित करना होता है। वेक्टर आपको यह न केवल बताएगा कि वस्तु को कितनी दूर ले जाना है बल्कि किस दिशा में भी ले जाना है। यह अवधारणा भौतिकी, इंजीनियरिंग और यहाँ तक कि नेविगेशन जैसे दैनिक कार्यों में भी मौलिक है।

   वेक्टर क्या है?

   वेक्टर एक ऐसी मात्रा है जिसमें परिमाण (आकार) और दिशा दोनों होती हैं। साधारण संख्याओं (स्केलर) के विपरीत जिनमें केवल परिमाण होता है, वेक्टर हमें अंतरिक्ष में गतियों और बलों को समझने में मदद करते हैं। उदाहरण के लिए, जब आप एक शॉपिंग कार्ट को धक्का देते हैं, तो आप एक विशेष दिशा में बल लगाते हैं; इस बल को एक वेक्टर द्वारा दर्शाया जा सकता है।

   वेक्टर के घटक

   वेक्टर्स आमतौर पर दो तरीकों से दर्शाए जाते हैं:

   1. ग्राफिकल रूप से, तीरों के रूप में जो एक विशेष दिशा में इंगित करते हैं, जहाँ तीर की लंबाई परिमाण को दर्शाती है।
   2. बीजगणितीय रूप से, निर्देशांक का उपयोग करके। उदाहरण के लिए, एक 2D स्थान में, एक वेक्टर को 𝑣=(𝑥,𝑦)v=(x,y) के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जहाँ 𝑥x और 𝑦y प्रत्येक दिशा में कितनी दूर चलना है, इसे दर्शाते हैं।

   व्यावहारिक उदाहरण

   एक नाव को नदी में नेविगेट करने की कल्पना करें। नाव की दिशा और गति (वेग) को एक वेक्टर का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। यह धाराओं और हवाओं का प्रभावी ढंग से मुकाबला करने के लिए सही कोर्स सेट करने में मदद करता है।

   करियर में अनुप्रयोग

   विभिन्न क्षेत्रों में वेक्टर बीजगणित महत्वपूर्ण है:

   • इंजीनियरिंग: संरचनाओं के डिजाइन और बलों को समझने में उपयोग किया जाता है।
   • कंप्यूटर ग्राफिक्स: खेलों और एनिमेशनों के लिए वास्तविक दुनिया की परिस्थितियों का अनुकरण करने में मदद करता है।
   • भौतिकी: गति के नियमों और बलों का वर्णन करने के लिए आवश्यक है।
   • रोबोटिक्स: रोबोटों को उनके वातावरण में चलने और संचालित करने के लिए प्रोग्रामिंग में उपयोग किया जाता है।

   वेक्टर इन भौतिक मात्राओं को गणितीय रूप में संभालने और मैनिपुलेट करने का एक शक्तिशाली तरीका प्रदान करते हैं, जिससे वे अकादमिक और कई पेशेवर क्षेत्रों में अनिवार्य हो जाते हैं।

2. 2.वेक्टर बीजगणित की कुछ बुनियादी अवधारणाएँ

   वेक्टर बीजगणित की कुछ मूलभूत अवधारणाएं और उनकी परिभाषाएँ

   वेक्टर बीजगणित परिमाण और दिशा दोनों वाली मात्राओं को समझने और हेरफेर करने के लिए अनिवार्य है। यहाँ कुछ मूलभूत अवधारणाएं और उनकी परिभाषाएँ दी गई हैं जो आपको वेक्टर बीजगणित पर मजबूत पकड़ बनाने में मदद करेंगी:

   1. वेक्टर वेक्टर एक गणितीय वस्तु है जिसमें परिमाण (लंबाई) और दिशा दोनों होती है। यह अक्सर एक तीर के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है, जहां तीर की दिशा वेक्टर की दिशा को दर्शाती है और तीर की लंबाई इसके परिमाण को दर्शाती है।

   2. स्केलर स्केलर एक मात्रा है जिसमें केवल परिमाण होता है लेकिन दिशा नहीं होती। स्केलर के सामान्य उदाहरण हैं जैसे 5, -3, या 0.5। वेक्टर बीजगणित में, स्केलर्स का उपयोग वेक्टरों को स्केल करने के लिए किया जाता है, जिससे उनके परिमाण को प्रभावित किया जाता है लेकिन उनकी दिशा को नहीं।

   3. वेक्टर का परिमाण (या माड्यूलस) वेक्टर का परिमाण इसकी लंबाई को मापने का एक तरीका है। दो-आयामी स्थान में एक वेक्टर 𝑣=(𝑥,𝑦)v=(x,y) के लिए, परिमाण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है ∣𝑣∣=𝑥2+𝑦2∣v∣=x2+y2​। यह पाइथागोरस प्रमेय से प्राप्त किया गया है।

   4. वेक्टर की दिशा वेक्टर की दिशा यह वर्णन करती है कि यह किसी संदर्भ अक्ष, आमतौर पर क्षैतिज अक्ष के साथ किस कोण को बनाती है। यह निर्धारित करने के लिए महत्वपूर्ण है कि वेक्टर किस दिशा में इंगित करता है।

   5. यूनिट वेक्टर यूनिट वेक्टर वह वेक्टर है जिसका परिमाण 1 होता है। इसका उपयोग अक्सर किसी दिशा को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है बिना परिमाण निर्दिष्ट किए। किसी वेक्टर को यूनिट वेक्टर में परिवर्तित करने के लिए इसे इसके परिमाण से विभाजित किया जाता है।

   6. शून्य वेक्टर शून्य वेक्टर, जिसे 00 के रूप में दर्शाया गया है, का परिमाण शून्य होता है और कोई विशेष दिशा नहीं होती। यह एकमात्र वेक्टर है जिसकी दिशा अच्छी तरह से परिभाषित नहीं होती है।

   7. वेक्टर योग वेक्टरों को एक साथ जोड़ा जा सकता है जिससे एक परिणामी वेक्टर उत्पन्न होता है। यह कार्यवाही वेक्टरों के संबंधित घटकों को जोड़कर की जाती है। यदि 𝑢=(𝑎,𝑏)u=(a,b) और 𝑣=(𝑥,𝑦)v=(x,y) है, तो 𝑢+𝑣=(𝑎+𝑥,𝑏+𝑦)u+v=(a+x,b+y) होता है।

   8. स्केलर गुणन एक वेक्टर को स्केलर से गुणा करने से इसका परिमाण बदल जाता है लेकिन इसकी दिशा नहीं बदलती (जब तक कि स्केलर नकारात्मक न हो, जो दिशा को भी उलट देता है)। एक वेक्टर 𝑣=(𝑥,𝑦)v=(x,y) और एक स्केलर 𝑘k के लिए, उत्पाद होता है 𝑘𝑣=(𝑘𝑥,𝑘𝑦)kv=(kx,ky)।

   9. डॉट उत्पाद (स्केलर उत्पाद) दो वेक्टरों का डॉट उत्पाद एक स्केलर होता है और इसे उनके संबंधित घटकों को गुणा करके और फिर उत्पादों को जोड़कर गणना की जाती है। वेक्टरों 𝑢=(𝑎,𝑏)u=(a,b) और 𝑣=(𝑥,𝑦)v=(x,y) के लिए, डॉट उत्पाद होता है 𝑢⋅𝑣=𝑎𝑥+𝑏𝑦u⋅v=ax+by।

   10. क्रॉस उत्पाद (वेक्टर उत्पाद) दो वेक्टरों का क्रॉस उत्पाद एक वेक्टर में परिणामित होता है जो दोनों मूल वेक्टरों के लंबवत होता है (केवल तीन आयामों में परिभाषित किया गया है)। यदि 𝑢=(𝑎,𝑏,𝑐)u=(a,b,c) और 𝑣=(𝑥,𝑦,𝑧)v=(x,y,z) हैं, तो 𝑢×𝑣=(𝑏𝑧−𝑐𝑦,𝑐𝑥−𝑎𝑧,𝑎𝑦−𝑏𝑥)u×v=(bz−cy,cx−az,ay−bx) होता है।

   ये अवधारणाएं वेक्टर बीजगणित की रीढ़ हैं और भौतिकी, इंजीनियरिंग, और कंप्यूटर ग्राफिक्स जैसे क्षेत्रों में आगे की पढ़ाई के लिए आवश्यक हैं।

3. 3.वेक्टरों के प्रकार

   वेक्टरों के प्रकार

   विभिन्न प्रकार के वेक्टर होते हैं, प्रत्येक की विशेष विशेषताएँ और अनुप्रयोग होते हैं। भौतिकी से लेकर इंजीनियरिंग और कंप्यूटर ग्राफिक्स तक के क्षेत्रों में इन विभिन्न प्रकारों को समझना महत्वपूर्ण है। यहाँ कुछ सबसे आम प्रकार के वेक्टर दिए गए हैं:

   1. शून्य वेक्टर

   • विवरण: शून्य वेक्टर का परिमाण शून्य होता है और इसकी कोई विशेष दिशा नहीं होती है। इसे 00 के रूप में दर्शाया गया है।
   • अनुप्रयोग: भौतिकी में इसका उपयोग किसी गति या बल की अनुपस्थिति को दर्शाने के लिए किया जाता है।

   1. यूनिट वेक्टर

   • विवरण: यूनिट वेक्टर का परिमाण बिल्कुल एक होता है। यह अक्सर वेक्टर की दिशा को बिना परिमाण के प्रतिनिधित्व करता है।
   • अनुप्रयोग: यूनिट वेक्टर अंतरिक्ष में दिशाओं को परिभाषित करने, विशेष रूप से 3D मॉडलिंग और भौतिकी में, महत्वपूर्ण हैं।

   1. स्थिति वेक्टर

   • विवरण: स्थिति वेक्टर निर्देशांक प्रणाली के मूल से अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति तक इंगित करता है।
   • अनुप्रयोग: भौतिकी और इंजीनियरिंग में, स्थिति वेक्टरों का उपयोग अंतरिक्ष में बिंदुओं की स्थिति का वर्णन करने और गतियों और बलों के विश्लेषण में मदद के लिए किया जाता है।

   1. मुक्त वेक्टर

   • विवरण: मुक्त वेक्टर को अंतरिक्ष में कहीं भी बिना इसके प्रभाव को बदले स्थानांतरित किया जा सकता है। इसकी स्थिति निश्चित नहीं होती है और केवल इसकी दिशा और परिमाण द्वारा परिभाषित होती है।
   • अनुप्रयोग: भौतिकी में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले मुक्त वेक्टर, उन बलों को समझने के लिए अनिवार्य हैं जो आवेदन बिंदु पर निर्भर नहीं करते, जैसे कि गुरुत्वाकर्षण बल।

   1. स्लाइडिंग वेक्टर

   • विवरण: स्लाइडिंग वेक्टर अपनी क्रिया की रेखा के साथ स्लाइड कर सकता है बिना सिस्टम पर इसके प्रभाव को बदले। इसका सटीक अनुप्रयोग बिंदु निश्चित नहीं होता है।
   • अनुप्रयोग: मैकेनिकल इंजीनियरिंग में संरचनाओं में बलों का विश्लेषण करने के लिए उपयोगी, जैसे कि बीम और फ्रेम।

   1. निश्चित वेक्टर

   • विवरण: निश्चित वेक्टर का एक विशिष्ट अनुप्रयोग बिंदु होता है जिसे बदला नहीं जा सकता है। इसकी स्थिति अंतरिक्ष में निश्चित होती है।
   • अनुप्रयोग: रोबोटिक्स और मैकेनिकल सिस्टम में, निश्चित वेक्टर का उपयोग विशिष्ट बिंदुओं पर होने वाले बलों और गतियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

   1. सहरेखीत वेक्टर

   • विवरण: सहरेखीत वेक्टर वे वेक्टर होते हैं जो एक ही रेखा के साथ स्थित होते हैं, चाहे वे एक ही दिशा में हों या विपरीत दिशाओं में हों।
   • अनुप्रयोग: ये वेक्टर मैकेनिक्स में समानांतर बलों से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

   1. समतलीय वेक्टर

   • विवरण: समतलीय वेक्टर एक ही समतल में स्थित होते हैं। वे समानांतर, प्रतिसामान्य, या समतल के भीतर एक-दूसरे के साथ किसी भी कोण पर हो सकते हैं।
   • अनुप्रयोग: इंजीनियरिंग में, समतलीय वेक्टरों को समझना एकल समतल में बलों और गतियों का विश्लेषण करने के लिए महत्वपूर्ण होता है, जो संरचनात्मक विश्लेषण के लिए आवश्यक है।

   1. लंबवत वेक्टर

   • विवरण: लंबवत वेक्टर एक-दूसरे के प्रति लंबवत होते हैं। लंबवत वेक्टरों का डॉट उत्पाद शून्य होता है।
   • अनुप्रयोग: कंप्यूटर ग्राफिक्स और भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले लंबवत वेक्टर, निर्देशांक प्रणालियों को परिभाषित करने और बलों की गणना करने में मौलिक होते हैं।

   1. समानांतर और प्रतिसामान्य वेक्टर

   • विवरण: समानांतर वेक्टरों की दिशा समान होती है, जबकि प्रतिसामान्य वेक्टरों की दिशाएँ विपरीत होती हैं लेकिन वे एक ही रेखा के साथ स्थित होते हैं।
   • अनुप्रयोग: ये वेक्टर तरल गतिकी और विद्युतचुंबकत्व जैसे क्षेत्रों में महत्वपूर्ण होते हैं, जहाँ बलों और क्षेत्रों की संरेखण महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।

   इन वेक्टरों के प्रकारों को समझने से आपकी विभिन्न वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग क्षेत्रों में जटिल समस्याओं को हल करने की क्षमता में सुधार होता है।

4. 4.वेक्टर्स का योग

   वेक्टर्स का योग:

   वेक्टर्स का योग भौतिकी, इंजीनियरिंग, और विभिन्न अन्य क्षेत्रों में एक महत्वपूर्ण कार्यवाही है, जहाँ मात्राओं में परिमाण और दिशा दोनों होती हैं। वेक्टरों को ग्राफिकल या बीजगणितीय रूप से जोड़ा जा सकता है।

   वेक्टर्स का ग्राफिकल योग

   टिप-टू-टेल विधि: इस विधि में दूसरे वेक्टर की पूंछ को पहले वेक्टर की नोक पर रखा जाता है। परिणामस्वरूप वेक्टर, जो वेक्टरों का योग होता है, पहले वेक्टर की पूंछ से अंतिम वेक्टर की नोक तक खींचा जाता है।

   वेक्टर्स का बीजगणितीय योग

   बीजगणित की शर्तों में, वेक्टरों को घटक-वार जोड़ा जाता है:

   • यदि 𝐴=(𝑎1,𝑎2)A=(a1​,a2​) और 𝐵=(𝑏1,𝑏2)B=(b1​,b2​) है, तो 𝐴+𝐵=(𝑎1+𝑏1,𝑎2+𝑏2)A+B=(a1​+b1​,a2​+b2​) होता है।

   वेक्टर योग के गुणधर्म

   1. कम्युटेटिव गुणधर्म: 𝐴+𝐵=𝐵+𝐴A+B=B+A

      • इस गुणधर्म के अनुसार वेक्टरों को जोड़ने का क्रम परिणामी वेक्टर को नहीं बदलता है।

   2. एसोसिएटिव गुणधर्म: (𝐴+𝐵)+𝐶=𝐴+(𝐵+𝐶)(A+B)+C=A+(B+C)

      • इसका अर्थ है कि जब तीन या अधिक वेक्टरों को जोड़ा जाता है, तो वेक्टरों की जोड़ी को समूहित करने का तरीका परिणामी वेक्टर को प्रभावित नहीं करता है।

   कम्युटेटिव गुणधर्म का प्रमाण

   • मान लें 𝐴=(𝑎1,𝑎2)A=(a1​,a2​) और 𝐵=(𝑏1,𝑏2)B=(b1​,b2​) है।
   • तब 𝐴+𝐵=(𝑎1+𝑏1,𝑎2+𝑏2)A+B=(a1​+b1​,a2​+b2​) होता है।
   • इसी प्रकार, 𝐵+𝐴=(𝑏1+𝑎1,𝑏2+𝑎2)B+A=(b1​+a1​,b2​+a2​) होता है।
   • चूंकि वास्तविक संख्याओं का योग कम्युटेटिव होता है, 𝑎1+𝑏1=𝑏1+𝑎1a1​+b1​=b1​+a1​ और 𝑎2+𝑏2=𝑏2+𝑎2a2​+b2​=b2​+a2​ होता है।
   • इसलिए, 𝐴+𝐵=𝐵+𝐴A+B=B+A होता है।

   वेक्टर योग के उदाहरण

   उदाहरण 1:

   • मान लीजिए दो वेक्टर 𝐴A और 𝐵B दिए गए हैं 𝐴=(4,3)A=(4,3) और 𝐵=(1,2)B=(1,2) के रूप में।
   • 𝐴+𝐵A+B खोजें।
     • समाधान: 𝐴+𝐵=(4+1,3+2)=(5,5)A+B=(4+1,3+2)=(5,5) होता है।

   ग्राफिकल प्रतिनिधित्व:

   • 𝐴A को दाएँ 4 इकाई और ऊपर 3 इकाई के रूप में खींचें।
   • 𝐴A की नोक से, 𝐵B को दाएँ 1 इकाई और ऊपर 2 इकाई के रूप में खींचें।
   • मूल बिंदु से 𝐵B की नोक तक परिणामी वेक्टर 𝑅R 5 इकाई दाएँ और 5 इकाई ऊपर मापता है।

   उदाहरण 2:

   • विचार करें वेक्टर 𝐶=(−3,1)C=(−3,1) और 𝐷=(4,−2)D=(4,−2)।
   • 𝐶+𝐷C+D खोजें।
     • समाधान: 𝐶+𝐷=(−3+4,1−2)=(1,−1)C+D=(−3+4,1−2)=(1,−1) होता है।

   ग्राफिकल प्रतिनिधित्व:

   • 𝐶C को बाएँ 3 इकाई और ऊपर 1 इकाई के रूप में खींचें।
   • 𝐶C की नोक से, 𝐷D को दाएँ 4 इकाई और नीचे 2 इकाई के रूप में खींचें।
   • मूल बिंदु से 𝐷D की नोक तक परिणामी वेक्टर 𝑅R 1 इकाई दाएँ और 1 इकाई नीचे मापता है।

   ये उदाहरण यह दर्शाते हैं कि वेक्टरों को बीजगणितीय और ग्राफिकल रूप से कैसे जोड़ा जा सकता है, उनके गुणधर्मों का उपयोग करते हुए जटिल समस्याओं को सरल तरीके से हल करने के लिए।

5. 5.

   स्केलर द्वारा वेक्टर का गुणन

   स्केलर द्वारा वेक्टर का गुणन वेक्टर बीजगणित में एक मौलिक कार्यवाही है जिसमें वेक्टर के परिमाण को स्केल किया जाता है बिना इसकी दिशा को बदले (जब तक कि स्केलर नकारात्मक न हो, जिस स्थिति में दिशा उलट जाती है)। यह कार्यवाही भौतिकी, इंजीनियरिंग, और कंप्यूटर ग्राफिक्स जैसे विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।

   यह कैसे काम करता है

   जब एक वेक्टर 𝑣=(𝑥,𝑦)v=(x,y) को एक स्केलर 𝑘k से गुणा किया जाता है, तो परिणामस्वरूप वेक्टर 𝑘𝑣kv वेक्टर के प्रत्येक घटक को स्केलर से गुणा करके गणना किया जाता है:

   𝑘𝑣=(𝑘𝑥,𝑘𝑦)kv=(kx,ky)

   इससे एक नया वेक्टर बनता है जिसकी लंबाई मूल वेक्टर 𝑣v की लंबाई की ∣𝑘∣∣k∣ गुना होती है, और जिसकी दिशा 𝑣v के समान होती है यदि 𝑘k सकारात्मक है, और विपरीत यदि 𝑘k नकारात्मक है।

   स्केलर गुणन के गुण

   1. वेक्टर योग पर वितरण गुणधर्म: 𝑘(𝑢+𝑣)=𝑘𝑢+𝑘𝑣k(u+v)=ku+kv

      • स्केलर गुणन वेक्टर योग पर वितरित होता है।

   2. स्केलर योग पर वितरण गुणधर्म: (𝑘+𝑚)𝑣=𝑘𝑣+𝑚𝑣(k+m)v=kv+mv

      • दो स्केलर्स का योग जो एक वेक्टर से गुणा किया जाता है, वह प्रत्येक स्केलर को वेक्टर से गुणा करने और फिर जोड़ने के रूप में समान होता है।

   3. संघटक गुणधर्म: 𝑘(𝑚𝑣)=(𝑘𝑚)𝑣k(mv)=(km)v

      • दो स्केलर्स का गुणन जो एक वेक्टर से गुणा किया जाता है, वह एक स्केलर द्वारा दूसरे स्केलर और वेक्टर के गुणन के रूप में समान होता है।

   4. स्केलर गुणन का पहचान तत्व: 1𝑣=𝑣1v=v

      • एक वेक्टर को 1 से गुणा करने पर यह अपरिवर्तित रहता है।

        उदाहरण

        उदाहरण 1:

        • यदि 𝑣=(3,4)v=(3,4) और ( k = 2),
          • 2𝑣2v की गणना करें।
            • समाधान: 2𝑣=(2×3,2×4)=(6,8)2v=(2×3,2×4)=(6,8)।

          उदाहरण 2:

          • यदि 𝑣=(5,−3)v=(5,−3) और 𝑘=−3k=−3 है,
          • −3𝑣−3v की गणना करें।
            • समाधान: −3𝑣=(−3×5,−3×−3)=(−15,9)−3v=(−3×5,−3×−3)=(−15,9)।
            • यहाँ, स्केलर न केवल मात्रा में बढ़ता है, बल्कि नकारात्मक स्केलर के कारण दिशा भी उलट जाती है।

          ये उदाहरण दिखाते हैं कि एक वेक्टर को स्केलर द्वारा गुणा करने से उसकी मात्रा और अवश्य ही दिशा बदलती है, जो भौतिकी नकलों से लेकर ग्राफिकल परिवर्तनों तक कई अनुप्रयोगों में एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है।

6. 6.वेक्टर के घटक और खंड सूत्र

   वेक्टर के घटक

   गणित में, विशेष रूप से दो या तीन आयामों में, एक वेक्टर को घटकों में तोड़ा जा सकता है, जो किसी निर्देशांक प्रणाली के प्रत्येक आयाम में इसके प्रभाव को दर्शाता है।

   परिभाषा

   दो-आयामी कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली में, कोई भी वेक्टर 𝑣v को 𝑣=(𝑥,𝑦)v=(x,y) के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, जहाँ 𝑥x और 𝑦y क्रमशः वेक्टर के क्षैतिज और लंबवत घटक हैं। तीन आयामों में, वेक्टर को 𝑣=(𝑥,𝑦,𝑧)v=(x,y,z) के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जहाँ 𝑧z गहराई का घटक होता है।

   व्याख्या

   वेक्टर के घटक यह वर्णन करते हैं कि वेक्टर निर्देशांक प्रणाली के प्रत्येक अक्ष के साथ कितना दूर फैलता है। उदाहरण के लिए, वेक्टर 𝑣=(3,4)v=(3,4) x-अक्ष के साथ 3 इकाई और y-अक्ष के साथ 4 इकाई फैलता है। इस वेक्टर का परिमाण पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है: ∣𝑣∣=𝑥2+𝑦2=32+42=5∣v∣=x2+y2​=32+42​=5।

   उदाहरण

   1. वेक्टर 𝑎=(5,0)a=(5,0):
      • यह वेक्टर पूरी तरह से x-अक्ष के साथ होता है, जो दाईं ओर 5 इकाई की गति या बल को दर्शाता है, इसमें कोई लंबवत घटक नहीं होता।
   2. वेक्टर 𝑏=(0,−7)b=(0,−7):
      • यह वेक्टर पूरी तरह से y-अक्ष के साथ होता है, जो नीचे की ओर 7 इकाई की गति या बल को दर्शाता है।
   3. वेक्टर 𝑐=(−3,4)c=(−3,4):
      • यह वेक्टर 3 इकाई बाईं ओर और 4 इकाई ऊपर फैलता है, जिससे एक समकोण त्रिभुज बनता है जिसकी भुजाएँ 3 और 4 की लंबाई की होती हैं, और हाइपोटेन्यूज 5 इकाई की होती है।

   खंड सूत्र

   खंड सूत्र का उपयोग निर्देशांक ज्यामिति में दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांकों को खोजने के लिए किया जाता है।

   परिभाषा और प्रमेय

   दो बिंदु 𝐴(𝑥1,𝑦1)A(x1​,y1​) और 𝐵(𝑥2,𝑦2)B(x2​,y2​) दिए गए हैं और एक बिंदु 𝑃P जो रेखा खंड 𝐴𝐵AB को 𝑚:𝑛m:n के अनुपात में विभाजित करता है, बिंदु 𝑃P के निर्देशांक निम्न प्रकार से गणना किए जा सकते हैं:

   𝑃=(𝑚𝑥2+𝑛𝑥1𝑚+𝑛,𝑚𝑦2+𝑛𝑦1𝑚+𝑛)P=(m+nmx2​+nx1​​,m+nmy2​+ny1​​)

   यह खंड सूत्र के रूप में जाना जाता है। यदि 𝑚m और 𝑛n सकारात्मक हैं तो बिंदु 𝑃P को आंतरिक विभाजन बिंदु कहा जाता है।

   उदाहरण

   1. अनुपात 2:3 में विभाजन:
      • 𝐴=(1,2)A=(1,2) और 𝐵=(5,8)B=(5,8) होने पर, 𝐴𝐵AB को 2:3 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु 𝑃P का पता लगाएं।
      • समाधान: 𝑃=(2×5+3×12+3,2×8+3×22+3)=(135,225)P=(2+32×5+3×1​,2+32×8+3×2​)=(513​,522​).
   2. मध्यबिंदु (1:1 अनुपात):
      • 𝐴=(−2,3)A=(−2,3) और 𝐵=(4,−1)B=(4,−1) के लिए मध्यबिंदु का पता लगाएं।
      • समाधान: 𝑃=(−2+42,3−12)=(1,1)P=(2−2+4​,23−1​)=(1,1).
   3. बाहरी विभाजन:
      • 𝐴=(3,4)A=(3,4) और 𝐵=(5,8)B=(5,8) के लिए 1:2 के अनुपात में बाहरी विभाजन बिंदु का पता लगाएं।
      • समाधान: 𝑃=(1×5−2×31−2,1×8−2×41−2)=(−1,0)P=(1−21×5−2×3​,1−21×8−2×4​)=(−1,0).

   इन बिंदुओं से, वेक्टर के घटकों से लेकर खंड सूत्र तक, भौतिकी, इंजीनियरिंग और अन्य क्षेत्रों में वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने में मदद मिलती है। यह व्यवस्थित विवरण यह समझने में सहायक होना चाहिए कि वेक्टर अंतरिक्ष में कैसे काम करते हैं और खंड के साथ विशिष्ट बिंदुओं को कैसे निर्धारित किया जा सकता है।

7. 7.अभ्यास प्रश्न

   यहाँ दिए गए प्रश्न हैं:

   1. एक वेक्टर ढूंढिए जो वेक्टर 5𝑖−𝑗+2𝑘5i−j+2k की दिशा में हो और इसका परिमाण 8 इकाई हो।
   2. दिखाइए कि वेक्टर 2𝑖−3𝑗+4𝑘2i−3j+4k और −4𝑖+6𝑗−8𝑘−4i+6j−8k सह-रेखीय हैं।
   3. वेक्टर 𝑖+2𝑗+3𝑘i+2j+3k के दिशा-कोसाइन ढूंढिए।
   4. बिंदुओं A(1, 2, -3) और B(-1, -2, 1) को जोड़ने वाले वेक्टर के दिशा-कोसाइन ढूंढिए, A से B की ओर निर्देशित।

   अब हम प्रत्येक समस्या को चरण दर चरण हल करेंगे।

   1. 8 इकाई परिमाण वाला वेक्टर ढूंढना

   दिया गया वेक्टर है 𝑣=5𝑖−𝑗+2𝑘v=5i−j+2k। पहले, हम इसका परिमाण ढूंढते हैं और फिर इसे 8 इकाई परिमाण के लिए स्केल करते हैं।

   ∣𝑣∣=52+(−1)2+22=25+1+4=30∣v∣=52+(−1)2+22​=25+1+4​=30​

   इस वेक्टर को 8 इकाई परिमाण में स्केल करने के लिए, हम 83030​8​ से गुणा करते हैं:

   𝑢=830𝑣=830(5𝑖−𝑗+2𝑘)u=30​8​v=30​8​(5i−j+2k) 𝑢=(4030𝑖−830𝑗+1630𝑘)u=(30​40​i−30​8​j+30​16​k)

   2. वेक्टरों के सह-रेखीय होने की जांच

   दो वेक्टर सह-रेखीय होते हैं यदि एक दूसरे का स्केलर गुणक हो। जांचते हैं कि क्या 𝑢=2𝑖−3𝑗+4𝑘u=2i−3j+4k और 𝑣=−4𝑖+6𝑗−8𝑘v=−4i+6j−8k इस शर्त को पूरा करते हैं:

   घटकों को विभाजित करने पर: −42=−2,6−3=−2,−84=−22−4​=−2,−36​=−2,4−8​=−2

   चूंकि सभी अनुपात समान हैं, इसलिए वेक्टर सह-रेखीय हैं।

   3. 𝑖+2𝑗+3𝑘i+2j+3k के दिशा-कोसाइन

   दिशा-कोसाइन वेक्टर के प्रत्येक घटक को वेक्टर के परिमाण से विभाजित करके निकाले जाते हैं: 𝑣=𝑖+2𝑗+3𝑘v=i+2j+3k ∣𝑣∣=12+22+32=14∣v∣=12+22+32​=14​

   दिशा-कोसाइन: (114,214,314)(14​1​,14​2​,14​3​)

   4. A से B की ओर निर्देशित वेक्टर के दिशा-कोसाइन

   बिंदु A(1, 2, -3) और B(-1, -2, 1): 𝐴𝐵=[(−1−1)𝑖,(−2−2)𝑗,(1+3)𝑘]AB=[(−1−1)i,(−2−2)j,(1+3)k] 𝐴𝐵=−2𝑖−4𝑗+4𝑘AB=−2i−4j+4k ∣𝐴𝐵∣=(−2)2+(−4)2+42=36=6∣AB∣=(−2)2+(−4)2+42​=36​=6

   दिशा-कोसाइन: (−26,−46,46)=(−13,−23,23)(6−2​,6−4​,64​)=(−31​,−32​,32​)

   ये समाधान प्रत्येक प्रश्न को विशेष रूप से हल करते हैं।

8. 8.दो वेक्टरों का गुणन

   दो वेक्टरों का गुणन

   गणित में, विशेष रूप से वेक्टर बीजगणित में, दो वेक्टरों के गुणन को कई तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, जो अनुप्रयोग और संलग्न स्थान की आयामिकता पर निर्भर करता है। सबसे आम रूप से इस्तेमाल किए गए गुणन डॉट प्रोडक्ट (स्केलर प्रोडक्ट) और क्रॉस प्रोडक्ट (वेक्टर प्रोडक्ट) हैं। आइए दोनों को विस्तार से समझते हैं:

   1. डॉट प्रोडक्ट (स्केलर प्रोडक्ट)

   परिभाषा:

   दो वेक्टरों का डॉट प्रोडक्ट एक स्केलर (एकल संख्या) में परिणाम देता है और वेक्टरों के संबंधित घटकों को गुणा करके और परिणामों को जोड़कर गणना की जाती है।

   सूत्र:

   यदि 𝑎=𝑎1𝑖+𝑎2𝑗+𝑎3𝑘a=a1​i+a2​j+a3​k और 𝑏=𝑏1𝑖+𝑏2𝑗+𝑏3𝑘b=b1​i+b2​j+b3​k हैं, तो 𝑎a और 𝑏b का डॉट प्रोडक्ट दिया जाता है: 𝑎⋅𝑏=𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+𝑎3𝑏3a⋅b=a1​b1​+a2​b2​+a3​b3​

   गुण:

   • कम्युटेटिव: 𝑎⋅𝑏=𝑏⋅𝑎a⋅b=b⋅a
   • वेक्टर जोड़ पर वितरित: 𝑎⋅(𝑏+𝑐)=𝑎⋅𝑏+𝑎⋅𝑐a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
   • स्केलर गुणन: 𝑐(𝑎⋅𝑏)=(𝑐𝑎)⋅𝑏=𝑎⋅(𝑐𝑏)c(a⋅b)=(ca)⋅b=a⋅(cb), जहाँ 𝑐c एक स्केलर है।

   भौतिक व्याख्या:

   डॉट प्रोडक्ट दो वेक्टरों के संरेखण को मापता है। यह तब अधिकतम सकारात्मक होता है जब वेक्टर समानांतर होते हैं, शून्य होता है जब वेक्टर लंबवत होते हैं, और अधिकतम नकारात्मक होता है जब वेक्टर विपरीत-समानांतर होते हैं।

   2. क्रॉस प्रोडक्ट (वेक्टर प्रोडक्ट)

   परिभाषा:

   दो वेक्टरों का क्रॉस प्रोडक्ट एक तीसरे वेक्टर में परिणाम देता है जो पहले दो वेक्टरों को समावेश करने वाले प्लेन के लंबवत होता है। यह केवल तीन-आयामी स्थान में परिभाषित होता है।

   सूत्र:

   यदि 𝑎=𝑎1𝑖+𝑎2𝑗+𝑎3𝑘a=a1​i+a2​j+a3​k और 𝑏=𝑏1𝑖+𝑏2𝑗+𝑏3𝑘b=b1​i+b2​j+b3​k हैं, तो उनका क्रॉस प्रोडक्ट 𝑎×𝑏a×b दिया जाता है: 𝑎×𝑏=(𝑎2𝑏3−𝑎3𝑏2)𝑖−(𝑎1𝑏3−𝑎3𝑏1)𝑗+(𝑎1𝑏2−𝑎2𝑏1)𝑘a×b=(a2​b3​−a3​b2​)i−(a1​b3​−a3​b1​)j+(a1​b2​−a2​b1​)k

   गुण:

   • एंटीकम्युटेटिव: 𝑎×𝑏=−𝑏×𝑎a×b=−b×a
   • वेक्टर जोड़ पर वितरित: 𝑎×(𝑏+𝑐)=𝑎×𝑏+𝑎×𝑐a×(b+c)=a×b+a×c
   • सहयोगी नहीं (लेकिन जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है)।

   भौतिक व्याख्या:

   क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण दो वेक्टरों द्वारा बनाई गई समानांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। दिशा राइट-हैंड रूल द्वारा दी गई होती है, जो परिणामी वेक्टर की ओरिएंटेशन निर्धारित करता है।

   उदाहरण

   डॉट प्रोडक्ट उदाहरण: वेक्टर 𝑎=3𝑖+2𝑗+𝑘a=3i+2j+k और 𝑏=𝑖+𝑗+𝑘b=i+j+k के लिए, 𝑎⋅𝑏=3×1+2×1+1×1=6a⋅b=3×1+2×1+1×1=6

   क्रॉस प्रोडक्ट उदाहरण: उन्हीं वेक्टरों के लिए, 𝑎×𝑏=∣𝑖𝑗𝑘321111∣=(2−1)𝑖−(3−1)𝑗+(3−2)𝑘=𝑖−2𝑗+𝑘a×b=∣∣​i31​j21​k11​∣∣​=(2−1)i−(3−1)j+(3−2)k=i−2j+k

   ये वेक्टर उत्पाद भौतिकी और इंजीनियरिंग से लेकर कंप्यूटर ग्राफिक्स और रोबोटिक्स तक के क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हैं।

9. 9.अभ्यास प्रश्न