संबंध एवं फलन — कक्षा 12 गणित नोट्स

संबंध एवं फलन · कक्षा 12 गणित · 13 टॉपिक.

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संबंध एवं फलन में शामिल टॉपिक

  1. 1.संबंध एवं फलन का परिचय

    उदाहरण

    कल्पना कीजिए कि आप एक पार्टी का आयोजन कर रहे हैं और मदद के लिए अपने प्रत्येक मित्र को एक विशिष्ट कार्य सौंपने का निर्णय लेते हैं। कार्यों का यह कार्य आपके दोस्तों और कार्यों के बीच एक संबंध बनाता है। गणित में, हम इस परिदृश्य को एक संबंध के रूप में सोच सकते हैं। अब, यदि आप सुनिश्चित करते हैं कि प्रत्येक मित्र को ठीक एक कार्य सौंपा गया है, तो इस विशेष प्रकार का संबंध वह बन जाता है जिसे हम एक फलन (function) कहते हैं।

    संबंध (Relations)

    गणित में एक संबंध दो सेटों के तत्वों को जोड़ने का एक तरीका है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास दोस्तों का एक समूह है: A = {एलिस, बॉब, चार्ली} और कार्यों का एक सेट: B = {सजावट, खाना बनाना, निमंत्रण} तो A और B के बीच एक संबंध प्रत्येक मित्र को उस कार्य से जोड़ सकता है जिसके लिए वे जिम्मेदार हैं। गणितीय रूप से, इसे क्रमित युग्मों (ordered pairs) के एक सेट के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो दर्शाता है कि कौन सा मित्र किस कार्य से जुड़ा है।

    उदाहरण के लिए, एक संबंध R हो सकता है: {(एलिस, सजावट), (बॉब, खाना बनाना), (चार्ली, निमंत्रण)}।

    फलन (Functions)

    एक फलन एक विशेष प्रकार का संबंध है जहां पहले सेट के प्रत्येक तत्व (मान लीजिए, हमारे दोस्तों का सेट) दूसरे सेट (कार्यों) में ठीक एक तत्व के साथ जुड़ा हुआ है। यहां मुख्य बिंदु "ठीक एक" है; कोई भी मित्र बिना कार्य के नहीं हो सकता है, और किसी भी मित्र के पास एक से अधिक कार्य नहीं हो सकते हैं।

    गणितीय रूप से, हम एक फलन f को एक सेट X से एक सेट Y के रूप में इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: f: X → Y, जहां X के प्रत्येक अवयव x के लिए, Y में ठीक एक अवयव y ऐसा है कि f(x) = y.

    उदाहरण के लिए, यदि X= {1, 2, 3} and Y = {4, 5, 6}, एक फलन f को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}। यह हमें बताता है कि f(1) = 4, f(2) = 5, और f(3) = 6.

    वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग और करियर

    • प्रोग्रामिंग और कंप्यूटर विज्ञान: प्रोग्रामिंग में फलन आवश्यक होते हैं, जो कार्यों या गणनाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं और इनपुट लेते हैं व आउटपुट देते हैं।
    • अर्थशास्त्र: फलनों का उपयोग चरों के बीच संबंधों को मॉडल करने के लिए किया जाता है, जैसे आपूर्ति और मांग या लागत और उत्पादन स्तर।
    • इंजीनियरिंग: इंजीनियर इस बात का वर्णन करने के लिए फलनों का उपयोग करते हैं कि कुछ मापदंडों में परिवर्तन सिस्टम के आउटपुट को कैसे प्रभावित करते हैं।

    व्यावहारिक गतिविधि (Hands-on Activity)

    अपने आस-पास की चीजों का उपयोग करके अपना खुद का संबंध और फलन बनाने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, अपने परिवार के सदस्यों की एक सूची बनाएं और प्रत्येक व्यक्ति को घर का एक काम सौंपें। फलन बनने के लिए सुनिश्चित करें कि प्रत्येक व्यक्ति के पास ठीक एक काम हो। यह गतिविधि आपको फलनों में अद्वितीय जोड़ियों (unique pairings) की अवधारणा को समझने में मदद करेगी।

    संबंधों और फलनों को समझना केवल एक अकादमिक अभ्यास नहीं है; यह दुनिया में पैटर्न और संबंधों की व्याख्या करने का एक तरीका है, जो कंप्यूटर विज्ञान, अर्थशास्त्र और इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों के लिए महत्वपूर्ण है।

  2. 2.संबंधों के प्रकार

    गणित में संबंध

    गणित में, संबंध दो अलग-अलग सेटों के तत्वों को जोड़ने के तरीके हैं। संबंध कई प्रकार के होते हैं, जिनमें से प्रत्येक के अपने अद्वितीय गुण होते हैं। आइए दैनिक जीवन के उदाहरणों और उनके गणितीय रूपों के साथ इन प्रकार के संबंधों को समझें।

    1. स्वतुल्य संबंध (Reflexive Relation) एक सेट A पर एक संबंध R स्वतुल्य होता है यदि प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित हो। सरल शब्दों में, A के प्रत्येक a के लिए, युग्म (a, a) R में है।

    • उदाहरण: एक कक्षा के सभी छात्रों के समूह A पर विचार करें। एक स्वतुल्य संबंध "सहपाठी है" हो सकता है। प्रत्येक छात्र स्वयं का सहपाठी होता है।
    • गणितीय अभिव्यक्ति: सभी a ∈ A के लिए, (a, a) ∈ R।

    2. सममित संबंध (Symmetric Relation) एक सेट A पर एक संबंध R सममित होता है यदि, जब भी एक तत्व a किसी तत्व b से संबंधित होता है, तो b भी अ से संबंधित होता है।

    • उदाहरण: लोगों के समूह के बीच "दोस्ती" एक अच्छा उदाहरण है। यदि ऐलिस बॉब की दोस्त है, तो बॉब भी ऐलिस का दोस्त है।
    • गणितीय अभिव्यक्ति: सभी a, b ∈ A के लिए, यदि (a, b) ∈ R, तो (b, a) ∈ R।

    3. संक्रामक संबंध (Transitive Relation) एक सेट A पर एक संबंध R संक्रामक होता है यदि, जब भी एक तत्व a किसी तत्व b से संबंधित होता है, और b किसी तत्व c से संबंधित होता है, तो a भी c से संबंधित होता है।

    • उदाहरण: एक परिवार के पेड़ में "का पूर्वज है" संबंध पर विचार करें। यदि ऐलिस बॉब की पूर्वज है, और बॉब चार्ली का पूर्वज है, तो ऐलिस चार्ली की पूर्वज है।
    • गणितीय अभिव्यक्ति: सभी a, b, c ∈ A के लिए, यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R, तो (a, c) ∈ R।

    4. प्रतिसममित संबंध (Antisymmetric Relation) एक सेट A पर एक संबंध R प्रतिसममित होता है यदि, a किसी b से संबंधित होता है और b किसी a से संबंधित होता है, तो a, b के बराबर होना चाहिए।

    • उदाहरण: संख्याओं के बीच "इससे कम या बराबर है" का संबंध प्रतिसममित है। यदि 5 ≤ 5 है, तो 5 = 5 है।
    • गणितीय अभिव्यक्ति: सभी a, b ∈ A के लिए, यदि (a, b) ∈ R और (b, a) ∈ R, तो a = b।

    5. तुल्यता संबंध (Equivalence Relation) एक संबंध एक तुल्यता संबंध होता है यदि वह स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हो। यह संबंध एक सेट को तुल्यता वर्गों (equivalence classes) में विभाजित करता है, जहां प्रत्येक तत्व एक ही वर्ग के भीतर एक दूसरे के समतुल्य होता है।

    • उदाहरण: संख्याओं के बीच "5 से विभाजित करने पर समान शेषफल होना"। किन्हीं भी संख्याओं a, b, c के लिए, यदि a और b को 5 से विभाजित करने पर समान शेषफल आता है और b और c के साथ भी ऐसा ही होता है, तो a और c भी 5 से विभाजित करने पर समान शेषफल देंगे।
    • गणितीय अभिव्यक्ति: एक संबंध R एक तुल्यता संबंध हो यदि वह स्वतुल्य, सममित और संक्रामक गुण धारण करता हो।

    अनुप्रयोग और करियर (Applications and Careers) इस प्रकार के संबंधों को समझना कंप्यूटर विज्ञान जैसे क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है, जहाँ डेटा संरचनाएं और डेटाबेस अक्सर जानकारी को कुशलतापूर्वक व्यवस्थित करने और संसाधित करने के लिए इन गणितीय अवधारणाओं पर निर्भर करते हैं। सॉफ्टवेयर विकास में, वस्तुओं के बीच संबंधों को समझना प्रभावी एल्गोरिदम और अनुप्रयोगों के निर्माण की कुंजी है।

    गतिविधि (Activity) अपने दैनिक जीवन से वस्तुओं या अवधारणाओं का उपयोग करके प्रत्येक प्रकार के संबंध के अपने उदाहरण बनाने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, एक सममित संबंध के लिए, एक परिवार के भीतर "का भाई-बहन है" के संबंध के बारे में सोचें। यह व्यावहारिक दृष्टिकोण इन अवधारणाओं की आपकी समझ को मजबूत करने में मदद करेगा।

    संबंध गणित में मौलिक हैं, जो हमें विभिन्न वस्तुओं या संस्थाओं को जोड़ने के तरीकों को समझने और औपचारिक रूप देने में मदद करते हैं। विभिन्न विषयों में वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने में उनके व्यापक अनुप्रयोग हैं।

  3. 3.निर्धारित करें कि क्या निम्नलिखित में से प्रत्येक संबंध प्रतिवर्ती, सममित और सकर्मक है

    (i) R = {(x, y) | 3x - y ≥ 0}

    • स्वतुल्यता (Reflexivity): सभी x ∈ A के लिए, 3x - x = 2x ≥ 0, जो सत्य है। अतः, R स्वतुल्य है।
    • समरूपता (Symmetry): यदि (x, y) ∈ R, तब 3x - y ≥ 0. हालांकि, इसका अर्थ यह नहीं है कि (y, x) ∈ R क्योंकि आवश्यक नहीं कि 3y - x ≥ 0 हो। अतः, R समरूप नहीं है।
    • संक्रामकता (Transitivity): यदि (x, y) ∈ R और (y, z) ∈ R, तब 3x - y ≥ 0 और 3y - z ≥ 0. इन दोनों असमानताओं को जोड़ने पर हम पाते हैं कि 3x - z ≥ 0, जिसका अर्थ है (x, z) ∈ R. अतः, R संक्रामक है।

    (ii) R = {(x, y) | y = x² + 5 तथा x < 4}

    • स्वतुल्यता (Reflexivity): चूंकि y, x पर निर्भर करता है और आवश्यक नहीं है कि x के बराबर हो, सभी अवयव स्वयं से संबंधित नहीं हैं। अतः, R स्वतुल्य नहीं है।
    • समरूपता (Symmetry): यदि (x, y) ∈ R, तो (y, x) ∈ R का होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि x = 2, तो y = 2² + 5 = 9. लेकिन (9, 2) R में नहीं है क्योंकि 9, 4 से कम नहीं है । अतः, R समरूप नहीं है।
    • संक्रामकता (Transitivity): यदि (x, y) ∈ R और (y, z) ∈ R, तो इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि x² + 5 = y और y² + 5 = z होने से (x, z) ∈ R भी होगा। अतः, R संक्रामक नहीं है।

    (iii) R = {(x, y) | y, x से विभाज्य है}

    • स्वतुल्यता (Reflexivity): चूंकि कोई भी संख्या स्वयं से विभाज्य होती है, R स्वतुल्य है।
    • समरूपता (Symmetry): यदि (x, y) ∈ R, तो y, x से विभाज्य है। हालांकि, इसका अर्थ यह नहीं है कि x, y से विभाज्य है। अतः, R समरूप नहीं है।
    • संक्रामकता (Transitivity): यदि (x, y) ∈ R और (y, z) ∈ R, तो z, y से विभाज्य है और y, x से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि z, x से विभाज्य है। अतः, R संक्रामक है।

    (iv) R = {(x, y) | x - y एक पूर्णांक है}

    चूंकि Z सभी पूर्णांकों का सेट है, किसी भी दो पूर्णांकों का घटाव एक पूर्णांक होता है। इस प्रकार:

    • स्वतुल्यता (Reflexivity): x - x = 0, जो एक पूर्णांक है, इसलिए R स्वतुल्य है।
    • समरूपता (Symmetry): यदि x - y एक पूर्णांक है, तो y - x भी एक पूर्णांक है (क्योंकि यह x - y का ऋणात्मक है), जिससे R समरूप बनता है।
    • संक्रामकता (Transitivity): यदि x - y और y - z पूर्णांक हैं, तो (x - y) + (y - z) = x - z भी पूर्णांक है, जिससे R संक्रामक बनता है।

    (v) मानवीय संबंध (Human Relations)

    • (a) एक ही स्थान पर कार्य करना: स्वतुल्य, समरूप, संक्रामक नहीं।
    • (b) एक ही क्षेत्र में रहना: स्वतुल्य, समरूप, संक्रामक नहीं।
    • (c) ठीक 7 सेमी लंबा होना: स्वतुल्य नहीं, समरूप नहीं, संक्रामक नहीं।
    • (d) किसी की पत्नी होना: स्वतुल्य नहीं, समरूप नहीं (आम तौर पर), संक्रामक नहीं।
    • (e) किसी का पिता होना: स्वतुल्य नहीं, समरूप नहीं, संक्रामक नहीं।

    इनमें से प्रत्येक मानवीय संबंध को वर्गीकृत करने के अपने विशिष्ट कारण हैं, जो स्वयं संबंधों में निहित स्वतुल्यता, समरूपता और संक्रामकता के गुणों पर आधारित हैं।

  4. 4.यहां संबंधों से संबंधित कुछ प्रश्न दिए गए हैं

    1. दिखाएँ कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में परिभाषित संबंध R = {(a,b): a ≤ b²} न स्वतुल्य है, न सममित है और न ही संक्रामक है।

    हल:

    • स्वतुल्यता: एक संबंध स्वतुल्य है यदि प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित है। इस संबंध में 'ए' (a) के स्वयं से संबंधी होने के लिए, हमें सभी a ∈ R के लिए a ≤ a² होना चाहिए। हालांकि, यह सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य नहीं है; उदाहरण के लिए, जब a =-1 होता है, तो असमानता नहीं होती है क्योंकि -1 ≤ (-1)² नहीं होता है। इसलिए, संबंध स्वतुल्य नहीं है।

    • सममितता: एक संबंध सममित है यदि संबंध में प्रत्येक युग्म (a, b) के लिए, युग्म (b, a) भी संबंध में हो। इस स्थिति में, मान लें कि a = 1 और b = 2 है। तब (1,2) ∈ R है क्योंकि 1 ≤ 2² है। हालांकि, (2,1) ∈ R नहीं है क्योंकि 2 ≤ 1² नहीं है। इसलिए, संबंध सममित नहीं है।

    • संक्रामकता: एक संबंध संक्रामक होता है यदि जब भी (a, b) और (b, c) R में हों, तो (a, c) भी R में होना चाहिए। a = 1, b = 2, और c = 1 मानें। हमारे पास (1,2) ∈ R और (2,1) ∈ R हैं, लेकिन (1,1) ∈ R नहीं है क्योंकि 1 ≤ 1² नहीं है। इसलिए, संबंध संक्रामक नहीं है।

    2. जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय {1,2,3,4,5,6} में R = {(a,b): b = a + 1} के रूप में परिभाषित संबंध R स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।

    हल:

    • स्वतुल्यता: स्वतुल्यता के लिए, हमें सभी 'ए' (a) के लिए (a, a) ∈ R की आवश्यकता होती है। यह इस स्थिति में सत्य नहीं हो सकता क्योंकि ऐसा कोई 'ए' (a) नहीं है जहाँ a = a + 1 सत्य हो। इसलिए, R स्वतुल्य नहीं है।

    • सममितता: सममितता के लिए, जब भी (a,b) ∈ R हो, हमें (b,a) ∈ R की आवश्यकता होती है। हालांकि, यदि (a,b) ∈ R, तब b = a + 1 होता है, इस तथ्य से a = b + 1 नहीं निकलता। इसलिए, R सममित नहीं है।

    • संक्रामकता: संक्रामकता के लिए, यदि (a, b) और (b, c) R में हैं, तो (a, c) को भी R में होना चाहिए। चूंकि b = a + 1 और c = b + 1 है, इसीलिए c = a + 2, जो कि b = a + 1 को पूरा नहीं करता। इसलिए, R संक्रामक नहीं है।

    3. दिखाएँ कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = {(a,b): a ≤ b} के रूप में परिभाषित संबंध R स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है।

    हल:

    • स्वतुल्यता: प्रत्येक 'ए' (a) ∈ R के लिए, a ≤ a सत्य है। इसलिए, संबंध स्वतुल्य है।

    • सममितता: संबंध सममित नहीं है क्योंकि a ≤ b से यह सिद्ध नहीं होता कि b ≤ a भी होगा। उदाहरण के लिए, यदि a = 2 और b = 3 है, तो (2,3) ∈ R है लेकिन (3,2) ∈ R नहीं है।

    • संक्रामकता: संबंध सक्रामक है। यदि (a,b) और (b,c), R में हैं, तो a ≤ b और b ≤ c हैं, जिसका तात्पर्य है कि a ≤ c। अतः (a,c) भी R में है।

    4. जाँच कीजिए कि क्या वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = {(a,b): a < b³} के रूप में परिभाषित संबंध R स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।

    हल:

    • स्वतुल्यता: संबंध स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि किसी भी 'ए' (a) के लिए, a < a³ हमेशा सत्य नहीं होता। उदाहरण के लिए, जब a = -1 होता है, तो -1 < (-1)³ गलत सिद्ध होता है।

    • सममितता: संबंध सममित नहीं है क्योंकि a < b³ से b < a³ सिद्ध नहीं किया जा सकता। उदाहरण के लिए, यदि a = 1 और b = 2, तो 1 < 2³ सत्य है, लेकिन 2 < 1³ गलत है।

    • संक्रामकता: संबंध संक्रामक है। यदि (a,b) और (b,c) R में हैं, तो a < b³ और b < c³ होते हैं। चूंकि b और c वास्तविक संख्याएं हैं, यदि b < c तो b³ < c³ होता है, और इसका अर्थ a < c³ भी होगा। इसलिए, (a,c) भी R में है।

  5. 5.दिखाएँ कि R का संबंध है

    1. दिखाएँ कि समुच्चय {1, 2, 3} में R = {(1, 2), (2, 1)} द्वारा प्रदत्त संबंध R सममित है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न ही संक्रामक।

    हल

    • सममितता: किसी संबंध को सममित माना जाता है यदि संबंध में मौजूद हर जोड़े (a, b) के लिए, जोड़ा (b, a) भी संबंध में हो। चूँकि (1, 2) और (2, 1) दोनों ही R में हैं, इसलिए दिया गया संबंध सममित है।

    • स्वतुल्यता: एक संबंध को स्वतुल्य माना जाता है यदि प्रत्येक अवयव का संबंध स्वयं के साथ हो। चूँकि (1, 1), (2, 2), और (3, 3) इस संबंध R में नहीं हैं, इसलिए यह संबंध स्वतुल्य नहीं है।

    • संक्रामकता: किसी संबंध को संक्रामक माना जाता है यदि जब कभी (a, b) और (b, c) संबंध R में हों, तो (a, c) भी R में हो। यहाँ हमारे पास R में (1, 2) और (2, 1) हैं लेकिन (1, 1) इस संबंध R में नहीं है, इसलिए R संक्रामक नहीं है।

    2. दिखाइए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की सभी पुस्तकों के समुच्चय A में R = {(x, y): x तथा y के पृष्ठों की संख्या समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है।

    हल: एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) होने के लिए रिश्ता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होना चाहिए।

    • स्वतुल्यता: हर किताब के पेज स्वयं के बराबर होते हैं, इसलिए हर किताब x के लिए, (x, x) संबंध R में होगा। इससे पता चलता है कि R स्वतुल्य है।

    • सममितता: अगर x किताब के पेज y किताब के बराबर हैं, तो y के भी x के समान पेज होंगे। इसलिए, अगर (x, y) संबंध R में है तो (y, x) भी R में होगा। इससे पता चलता है कि R सममित है।

    • संक्रामकता: यदि x के पेज y के बराबर हैं, और y के पेज z के बराबर हैं, तो x के पेज भी z के बराबर होंगे। इससे पता चलता है कि R संक्रामक है।

    चूँकि R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, यह एक तुल्यता संबंध है।

    3. दिखाएँ कि समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5} में R = {(a, b): |a - b| सम है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। दिखाएँ कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं और {2, 4} के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं। लेकिन {1, 3, 5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं है।

    हल: वास्तव में यह संबंध एक तुल्यता संबंध है क्योंकि:

    • स्वतुल्यता: A के किसी भी अवयव a के लिए, |a - a| = 0, जो कि सम (even) है। इसलिए, (a, a) संबंध R में होगा।

    • सममितता: यदि |a - b| सम है, तो |b - a| भी सम है क्योंकि निरपेक्ष मान (absolute value) चिह्न को अनदेखा करता है। इसलिए, यदि (a, b) R में है, तो इसका अर्थ है (b, a) भी R में होगा।

    • संक्रामकता: यदि |a - b| और |b - c| सम हैं, तो (a - b) + (b - c) = a - c भी सम होगा (सम संख्याओं का योग भी सम होता है)। इसलिए, (a, c) भी R में होगा।

    उप-समुच्चयों (subsets) {1, 3, 5} और {2, 4} के बारे में:

    • {1, 3, 5} में किन्हीं भी दो अवयवों का अंतर सम होगा (उदाहरण के लिए, |1 - 3| = 2), इसलिए सबका आपस में संबंध है।
    • यही बात {2, 4} पर भी लागू होती है (उदाहरण: |2 - 4| = 2)।
    • हालाँकि, {1, 3, 5} और {2, 4} के किसी भी अवयव के बीच का अंतर विषम (odd) है (जैसे, |1 - 2| = 1), इसलिए संबंध R के भीतर {1, 3, 5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।

  6. 6.प्रत्येक स्थिति में सभी तत्वों का समुच्चय 1 ज्ञात कीजिए।

    यहाँ पर हम दिए गए संबंधों (relations) के लिए यह दिखाएंगे कि वे तुल्यता संबंध (equivalence relations) हैं, तथा प्रत्येक स्थिति में 1 से संबंधित सभी तत्वों को ज्ञात करेंगे।

    संबंध (i) R = {(a, b): |a - b| चार (4) का गुणज (multiple) है}

    एक तुल्यता संबंध को निम्न गुणों को पूरा करना होता है:

    • स्वतुल्यता (Reflexivity): किसी भी a ∈ A के लिए, |a - a| = 0, जो कि 4 का गुणज है। इसलिए, हर तत्व स्वयं से संबंधित होता है।
    • सममिति (Symmetry): अगर |a - b| चार का गुणज है ((a, b) ∈ R), तो |b - a| भी चार का गुणज है, जिससे (b, a) ∈ R होता है।
    • संक्रामिता (Transitivity): यदि |a - b| और |b - c| चार के गुणज हैं, तो |a – c| = |(a - b) + (b - c)| भी चार का गुणज होगा।

    1 से संबंधित तत्व: ऐसे तत्व b खोजें जहाँ |1 - b| चार का गुणज हो, जो कि 1, 5 और 9 हैं।

    संबंध (ii) R = {(a, b): a = b}

    • स्वतुल्यता: क्योंकि a = a किसी भी a ∈ A के लिए, संबंध स्वतुल्य है।
    • सममिति: अगर a = b, तो b = a, इसलिए संबंध सममित है।.
    • संक्रामिता: यदि a = b और b = c, तो a = c, जिससे संबंध संक्रामी है।

    1 से संबंधित तत्व: चूंकि यह समानता का संबंध है, 1 से संबंधित केवल एक ही तत्व है - 1 स्वयं।

    अनुवाद में मदद के लिए कुछ सुझाव:

    • गणितीय शब्दावली जैसे "गुणज", "स्वतुल्यता", "सममिति", और "संक्रामिता" के लिए सटीक हिंदी शब्दों का प्रयोग करें।
    • स्पष्टता के लिए वाक्यों को छोटा और सरल रखें।
    • उदाहरणों से स्पष्टीकरण में सहायता मिलती है।

  7. 7.

    प्रश्न 1:

    • सिद्ध करना: एक समतल में बिंदुओं के समुच्चय A पर संबंध R परिभाषित करें: R = {(P, Q): मूल बिन्दु से बिंदु P की दूरी = मूल बिन्दु से बिंदु Q की दूरी}। यह संबंध एक तुल्यता संबंध है। साथ ही, यह भी सिद्ध करें कि किसी बिंदु P ≠ (0, 0) से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय, केंद्र के रूप में मूल बिंदु के साथ, बिंदु P से गुजरने वाला वृत्त है।

    • उत्तर: R के एक तुल्यता संबंध होने के लिए, इसे स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होना चाहिए:

      • स्वतुल्यता: किसी भी बिंदु P की मूल बिंदु से दूरी स्वयं के समान होती है, इसलिए (P, P) ∈ R, सभी P ∈ A के लिए।
      • सममिति: यदि बिंदु P की मूल बिंदु से दूरी, Q की मूल बिंदु से दूरी के समान है, तो Q की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु P की मूल बिंदु से दूरी के समान है, इसलिए (P, Q) ∈ R का तात्पर्य है (Q, P) ∈ R।
      • संक्रामकता: यदि (P, Q) ∈ R और (Q, R) ∈ R, तो मूल बिंदु से P की दूरी, बिंदु Q की मूल बिंदु से दूरी समान है और Q की मूल बिंदु से दूरी, मूल बिंदु से R की दूरी समान है। इसका तात्पर्य है P और R की मूल बिंदु से समान दूरी है, इसलिए (P, R) ∈ R ।

      एक बिंदु P ≠ (0, 0) से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय, जो मूल बिंदु से समान दूरी पर हैं, मूल बिंदु को केंद्र मानकर, P से गुजरने वाला एक वृत्त बनाते हैं।

    प्रश्न 2:

    • सिद्ध करना: त्रिभुजों के समूह A पर परिभाषित संबंध R = {(T1, T2): T1, T2 समरूप हैं}, एक तुल्यता संबंध है। भुजाओं (3, 4, 5) वाले समकोण त्रिभुज T1, भुजाओं (5, 12, 13) वाले समकोण त्रिभुज T2 और भुजाओं (6, 8, 10) वाले समकोण त्रिभुज T3 को लें। T1, T2, और T3 में से कौन से त्रिभुज संबंधित हैं?

    • उत्तर: R, त्रिभुजों में समरूपता के लिए एक तुल्यता संबंध है:

      • स्वतुल्यता: प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के समरूप होता है।
      • सममिति: यदि त्रिभुज T1, त्रिभुज T2 के समरूप है, तो T2 भी T1 के समरूप है।
      • संक्रामकता: यदि त्रिभुज T1, त्रिभुज T2 के समरूप है और T2, त्रिभुज T3 के समरूप है, तो T1, T3 के भी समरूप है।

      त्रिभुज T1 और T3 संबंधित हैं, क्योंकि उनकी भुजाओं का अनुपात समान है (3:4:5 और 6:8:10 जो कि 3:4:5 के समानुपाती हैं)। इसका तात्पर्य है कि वे भुजा-भुजा-भुजा (SSS) समरूपता नियम के अनुसार समरूप हैं। T2 की भुजाएं अलग समानुपात में हैं, इसलिए ये T1 या T3 से संबंधित नहीं है। प्रश्न 3:

      • सिद्ध करना: बहुभुजों (polygons) के समुच्चय A पर परिभाषित संबंध R = {(P1, P2): P1 और P2 की भुजाओं की संख्या समान है}, एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) है। समकोण त्रिभुज T (भुजाएं 3, 4, और 5) से संबंधित A के सभी अवयवों का समुच्चय क्या है?

      • उत्तर: संबंध R एक तुल्यता संबंध है क्योंकि यह निम्न गुणों को प्रदर्शित करता है:

        • स्वतुल्यता (Reflexivity): प्रत्येक बहुभुज की भुजाओं की संख्या स्वयं के समान होती है।
        • सममिति (Symmetry): यदि बहुभुज P1 की भुजाओं की संख्या बहुभुज P2 के समान है, तो P2 की भुजाओं की संख्या भी P1 के समान होगी।
        • संक्रामकता (Transitivity): यदि P1 और P2 की भुजाओं की संख्या समान है, और P2 और P3 की भुजाओं की संख्या समान है, तो P1 और P3 की भुजाओं की संख्या भी समान होगी।

      समकोण त्रिभुज T से संबंधित समुच्चय A में वो सभी तत्व होंगे जो त्रिभुज हैं, क्योंकि सभी त्रिभुजों की तीन भुजाएं होती हैं।

      प्रश्न 4:

      • सिद्ध करना: मान लीजिए L, XY समतल (plane) में सभी रेखाओं का समुच्चय है, और उसपर एक संबंध R इस प्रकार परिभाषित है: R = {(L1, L2): L1, L2 के समानांतर है}। दर्शाइए कि R एक तुल्यता संबंध है। रेखा y = 2x + 4 से संबंधित सभी रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

      • उत्तर: संबंध R, रेखाओं के समानांतर होने के लिए एक तुल्यता संबंध है:

        • स्वतुल्यता: प्रत्येक रेखा स्वयं के समानांतर होती है।
        • सममिति: यदि रेखा L1, L2 के समानांतर है, तो L2 भी L1 के समानांतर होगी।
        • संक्रामकता: यदि रेखा L1, L2 के समानांतर है, और L2, L3 के समानांतर है, तो L1 भी L3 के समानांतर होगी।

      रेखा y = 2x + 4 से संबंधित सभी रेखाओं का समुच्चय ढलान (slope) 2 वाली सभी रेखाएं होंगी, चाहे उनका y-अंतःखंड (y-intercept) कुछ भी हो। चूँकि समानांतर रेखाओं का ढलान समान होता है, किसी भी रेखा को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है: y = 2x + c, जहां c कोई वास्तविक संख्या है।

  8. 8.मान लीजिए कि R = {(a, b) : a = b - 2, b > 6} द्वारा दिए गए सेट N में R संबंध है। सही उत्तर का चयन करें।

    यहाँ पर हम दिए गए संबंध (relation) के लिए सही विकल्प ढूंढेंगे।

    हमें प्राकृतिक संख्याओं (natural numbers) के समुच्चय N में एक संबंध R इस प्रकार परिभाषित किया गया है: R = {(a, b): a = b - 2, b > 6}

    हमें यह पता लगाना है कि इनमें से कौन सा क्रमित युग्म (ordered pair) संबंध R से संबंधित है: A) (2, 4) B) (3, 8) C) (6, 8) D) (8, 7)

    R से संबंधित होने के लिए, दूसरे अवयव (element) को 6 से बड़ा होना चाहिए और पहला अवयव, दूसरे अवयव से ठीक 2 कम होना चाहिए। आइए प्रत्येक युग्म की जाँच करें:

    A) (2, 4): b > 6 को पूरा नहीं करता है, अतः यह R में नहीं हैI

    B) (3, 8): a = b - 2 को पूरा नहीं करता है, क्योंकि 3, (8 - 2) के बराबर नहीं है। इसलिए यह युग्म भी R में नहीं है।

    C) (6, 8): यह दोनों शर्तें पूरी करता है - a = b - 2 (क्योंकि 6, 8 - 2 के बराबर है) और b > 6 । इसलिए, यह R में है।

    D) (8, 7): यह युग्म संबंध के हिसाब से b > 6 को पूरा नहीं करता (यहाँ दूसरी संख्या बड़ी होनी चाहिए और पहली संख्या दो कम होनी चाहिए) इसलिए, यह R में नहीं है।

    इसलिए, सही उत्तर है C) (6, 8) ∈ R

  9. 9.परिभाषाएँ-कार्यों के प्रकार

    1. एकैकी फलन (One-to-One / Injective Function)

    • गणितीय परिभाषा: एक फलन f: A → B को एकैकी (injective) कहा जाता है यदि किसी भी x1, x2 ∈ A के लिए, f(x1) = f(x2) का तात्पर्य है x1 = x2। सरल शब्दों में, रेंज (range) का प्रत्येक अवयव डोमेन (domain) के केवल एक अवयव से मैप होता है।
    • वास्तविक-जीवन का उदाहरण: एक कक्षा में बैठने की व्यवस्था जहाँ प्रत्येक छात्र एक अद्वितीय सीट पर बैठता है।.
    • संख्यात्मक उदाहरण: f(x) = 2x + 1 एकैकी है। यदि f(x1) = f(x2), तो 2x1 + 1 = 2x2 + 1 होगा जिसका मतलब है x1= x2।

    2. अनेकैकी फलन (Many-to-One Function):

    • गणितीय परिभाषा: एक फलन f: A → B अनेकैकी होता है यदि डोमेन के अलग-अलग अवयव कोडोमेन (codomain) में एक ही अवयव से मैप किए जाते हैं, लेकिन डोमेन में प्रत्येक अवयव की कोडोमेन में केवल एक ही छवि (image) होती है।
    • वास्तविक-जीवन का उदाहरण: कैफेटेरिया में कई छात्रों का एक ही पसंदीदा भोजन होना।
    • संख्यात्मक उदाहरण: f(x) = x² अनेकैकी है, क्योंकि f(- 2) = f(2) = 4

    3. आच्छादक फलन (Onto / Surjective Function)

    • गणितीय परिभाषा: एक फलन f: A → B आच्छादक या ऑन्टो (surjective) होता है, यदि प्रत्येक y ∈ B के लिए, कम से कम एक x ∈ A मौजूद हो जैसे कि f(x)= y। यहाँ f का रेंज, कोडोमेन B के बराबर होता है।
    • वास्तविक-जीवन का उदाहरण: पार्किंग स्थल में प्रत्येक स्लॉट में एक कार का होना।
    • संख्यात्मक उदाहरण: f(x) = x - 2, R→R पर आच्छादक है, क्योंकि प्रत्येक y ∈ R के लिए, x = y + 2, f(x) = y को संतुष्ट करता है।

    4. द्विआच्छादक फलन (Bijective Function)

    • गणितीय परिभाषा: एक फलन f: A → B द्विआच्छादक होता है, यदि वह एकैकी भी है और आच्छादक भी है। अर्थात B में प्रत्येक अवयव, डोमेन A के केवल एक अवयव की इमेज है, और A में सभी अवयव B में अलग-अलग अवयवों के लिए मैप किए जाते हैं।
    • वास्तविक-जीवन का उदाहरण: मोजों के ढेर में से प्रत्येक मोज़े के लिए एक मैचिंग जोड़ी ढूंढना।
    • संख्यात्मक उदाहरण: f(x)= 2x, R→ R पर द्विआच्छादक है। यह एकैकी है क्योंकि प्रत्येक इनपुट का अद्वितीय आउटपुट होता है, और आच्छादक है क्योंकि सभी वास्तविक संख्याओं (real numbers) को कवर किया जाता है।

    5. अचर फलन (Constant Function)

    • गणितीय परिभाषा: एक फलन f: A → B अचर फलन होता है यदि f(x) = c किसी निश्चित c ∈ B के लिए और सभी x ∈ A के लिए। इस फलन का ग्राफ एक क्षैतिज रेखा होती है।
    • वास्तविक-जीवन का उदाहरण: बाहर के तापमान पर ध्यान दिए बिना एक आदर्श इंसुलेटेड कमरे का तापमान स्थिर (constant) रहता है।
    • संख्यात्मक उदाहरण: डोमेन में सब x के लिए f(x) = 7 एक अचर फलन है।

    6. रैखिक फलन (Linear Function)

    • गणितीय परिभाषा: एक फलन f: A → B रैखिक होता है यदि इसे f(x) = mx + c के रूप में लिखा जा सकता है, जहां m ढलान (slope) है और c, y-अंतःखंड (y-intercept) है। इसका ग्राफ एक सीधी रेखा है।
    • वास्तविक-जीवन का उदाहरण: किसी सामान की कुल लागत, मात्रा का रैखिक फलन होगी यदि प्रत्येक आइटम की कीमत समान हो।
    • संख्यात्मक उदाहरण: f(x) = 5x + 2. यदि आप $5 की दर से x सामान खरीदते हैं, तो कुल लागत, मात्रा के रैखिक रूप से समानुपाती (linearly proportional) होगी।

    7. द्विघात फलन (Quadratic Function)

    • गणितीय परिभाषा: एक द्विघात फलन को f(x) = ax² + bx + c के रूप में लिखा जाता है, जहाँ a, b, और c अचर हैं और a ≠ 0. इसका ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है, जो a > 0 होने पर ऊपर की ओर खुलता है और a < 0 होने पर नीचे की ओर खुलता है।
    • वास्तविक-जीवन का उदाहरण: हवा में फेंकी गई गेंद के चाप को एक द्विघात फलन द्वारा मॉडल किया जा सकता है, जो समय के फलन के रूप में इसकी ऊंचाई को दर्शाता है।
    • संख्यात्मक उदाहरण: f(x) = -16x² + 100x एक प्रक्षेप्य (projectile) की ऊँचाई (फीट में) दिखाता है x सेकंड बाद, जब इसे 100 फीट प्रति सेकंड से ऊपर की ओर फेंका गया।

    8. बहुपद फलन (Polynomial Function)

    • गणितीय परिभाषा: एक बहुपद फलन का फॉर्म होता है: f(x)= an xn + an-1 xn-1 +…+ a1 x + a0 जहां ai अचर हैं, n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक (non-negative integer) है, और an ≠ 0.
    • वास्तविक-जीवन का उदाहरण: कार लोन की कुल लागत की गणना, जिसमें मूलधन, ब्याज, कर और शुल्क शामिल हैं।
    • संख्यात्मक उदाहरण: f(x) = 3x³ - 2x² + x - 5 एक घनीय (cubic) बहुपद फलन है।

    9. परिमेय फलन (Rational Function)

    • गणितीय परिभाषा: एक परिमेय फलन दो बहुपद फलनों के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है: f(x) = p(x)/q(x), जहां p(x) और q(x) बहुपद फलन हैं और q(x)≠0.
    • वास्तविक-जीवन का उदाहरण: समय के साथ एक कार की गति की गणना करना जहां दूरी (अंश) और समय (हर) दोनों को बहुपद के रूप में दर्शाया जा सकता है।
    • संख्यात्मक उदाहरण: f(x) = 1/(x - 1) का x = 1 पर एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (vertical asymptote) है क्योंकि हर (denominator) वहां शून्य है।

    10 - चरघातांकी फलन (Exponential Function)

    • गणितीय परिभाषा: एक चरघातांकी फलन को f(x) = ax के रूप में परिभाषित किया जाता है जहां 'a' एक धनात्मक अचर है '1' के अलावा, और x कोई भी वास्तविक संख्या है।
    • वास्तविक-जीवन का उदाहरण: जनसंख्या वृद्धि, जहाँ हर निश्चित समय में जनसंख्या दोगुनी हो जाती है, को एक चरघातांकी फलन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।
    • संख्यात्मक उदाहरण: f(x) = 2x, हर बार x में 1 की वृद्धि होने पर दोगुना हो जाता है।लघुगणकीय फलन (Logarithmic Function)

      11 - गणितीय परिभाषा: लघुगणकीय फलन, चरघातांकी फलन (exponential function) का व्युत्क्रम (inverse) होता है, और इसे f(x) = loga (x) के रूप में लिखा जाता है जहां 'a' लघुगणक का आधार (base) है।

      • वास्तविक-जीवन का उदाहरण: ध्वनि की तीव्रता को मापने के लिए डेसीबल स्केल लघुगणकीय होता है।

      • संख्यात्मक उदाहरण: यदि f(x) = log2 (x), तो x के दोगुना होने पर, f(x) में 1 की वृद्धि होती है।

      विभिन्न प्रकार के फलन, वास्तविक दुनिया के विभिन्न व्यवहारों को मॉडल करते हैं। इन फलनों के गुणों को समझकर, गणितज्ञ, वैज्ञानिक, इंजीनियर और अर्थशास्त्री अपने-अपने क्षेत्रों में समस्याओं के विश्लेषण और समाधान के लिए उपयुक्त मॉडल चुनने में सक्षम होते हैं।

  10. 10.अभ्यास प्रश्न - 1, 2, 3

    प्रश्न 1: सिद्ध कीजिए कि फलन f: R* → R, f(x) = 1/x द्वारा परिभाषित किया गया है, एकैकी (one-one) है और आच्छादक (onto) है, जहाँ R∗ सभी गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं (non-zero real numbers) का समुच्चय है। यदि डोमेन N से बदल दिया जाताये और कोडोमेन R रहे, तो क्या यह फलन अब भी वैसा ही रहेगा ?

    हल: फलन f(x) = 1/x के एकैकी (one-one) होने के लिए, डोमेन के प्रत्येक अवयव का कोडोमेन में एक अद्वितीय (unique) अवयव से प्रतिचित्रण (mapping) होना चाहिए।

    • एकैकी (Injectivity): माना कि f(x1) = f(x2). इससे हमें 1/x1 = 1/x2 मिलता है, जिसका तात्पर्य है x1 = x2. इसलिए यह फलन एकैकी (injective) है।
    • आच्छादक (Surjectivity): फलन के आच्छादक होने के लिए, R के प्रत्येक अवयव y का R* में कम से कम एक पूर्व प्रतिबिंब (preimage) होना चाहिए। R के किसी भी अवयव y के लिए, x = 1/y ऐसा होगा कि f(x) = y, बशर्ते y ≠ 0 हो। चूँकि R* शून्य को शामिल नहीं करता, यह शर्त पूरी होती है, और फलन आच्छादक (surjective) है।

    यदि डोमेन R* को N (प्राकृत संख्याओं के समुच्चय) से बदल दिया जाताये, तो फलन f: N → R, f(x) = 1/x आच्छादक नहीं रहेगा क्योंकि R के ऋणात्मक और प्राकृतिक संख्याओं के गैर-व्युत्क्रम वाले भिन्न (non-reciprocal fractions) का N में कोई पूर्व-प्रतिबिंब (preimage) नहीं होगा।

    प्रश्न 2: निम्नलिखित फलनों के एकैकत्व (injectivity) और आच्छादकत्व (surjectivity) की जाँच कीजिए:

    i) f: N → N, f(x) = x² * एकैकी: यह N में एकैकी होगा क्योंकि डोमेन N में ऋणात्मक मान नहीं है । लेकिन पूर्णांक Z में, यह एकैकी नहीं है। * आच्छादक: यह आच्छादक नहीं है, क्योंकि सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं होते। उदाहरण: कोई x ∈ N नहीं है जिसके लिए f(x) = 2 हो।

    ii) f: Z → Z, f(x) = x² * एकैकी: यह एकैकी नहीं है, क्योंकि f(x) और f(-x) के मान समान होते हैं। * आच्छादक: यह आच्छादक नहीं है, क्योंकि किसी भी ऋणात्मक पूर्णांक की प्रतिछवि नहीं होगी।

    iii) f: R → R, f(x) = x² * एकैकी: नहीं, Z में जैसे कारण से नहीं। * आच्छादक: नहीं, R पर ऋणात्मक मानों की कोई प्रतिछवि नहीं।

    iv) f: N → N, f(x) = x³ * एकैकी: हाँ, अलग-अलग प्राकृत संख्याओं के घन (cube) हमेशा अलग होते हैं। * आच्छादक: हाँ, हर प्राकृत संख्या किसी न किसी प्राकृत संख्या का घन है।

    v) f: Z → Z, f(x) = x³ * एकैकी: हाँ, अलग-अलग पूर्णांकों के घन हमेशा अलग होंगे | * आच्छादक: हाँ, प्रत्येक पूर्णांक y के लिए एक पूर्णांक x ऐसा है कि x³ = y.

    प्रश्न 3: सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest Integer Function) f:R→R, f(x) = [x], न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है, जहाँ [x], x से छोटे या बराबर सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है।

    हल:

    • एकैकी: यह फलन एकैकी नहीं है क्योंकि यदि x1 ≠ x2 लेकिन दोनों एक ही पूर्णांक अंतराल के भीतर हों, तो [x1] = [x2]. उदाहरण के लिए, [0.5] = [0.7] = 0.

    • आच्छादक: यह फलन आच्छादक नहीं है क्योंकि R में ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं जो पूर्णांक नहीं हैं, इसलिए फलन की प्रतिछवि में नहीं होंगी। उदाहरण: कोई x ऐसा नहीं है कि [x] = 1/2.

  11. 11.अभ्यास प्रश्न - 4, 5, 6

    प्रश्न 4: सिद्ध कीजिए कि मापांक फलन (Modulus Function) f: R → R, जहाँ f (x) = | x |, न तो एकैकी (one-one) है और न ही आच्छादक (onto) है। यहाँ | x | का मान x है यदि x धनात्मक है या 0 है, और | x | का मान -x है यदि x ऋणात्मक है

    हल:

    • एकैकी (Injectivity): मापांक फलन एकैकी नहीं है क्योंकि यह x और -x दोनों को समान मान पर मैप करता है जब x>0. उदाहरण के लिए, f(-2) = f(2) = 2, इसलिए यह फलन एकैकी नहीं है।

    • आच्छादक (Surjectivity): मापांक फलन आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक संख्याएँ फलन f के रेंज में नहीं होती। कोई भी x ऐसा नहीं हैं कि f(x) = -1 हो, क्योंकि मापांक हमेशा गैर-ऋणात्मक (non-negative) होता है।

    प्रश्न 5: सिद्ध कीजिए कि चिह्न फलन (Signum Function) f: R →R, जो इस प्रकार दिया गया है:

    f(x) = 1 यदि x > 0 f(x) = 0 यदि x = 0 f(x) = -1 यदि x < 0,

    न तो एकैकी (one-one) है और न ही आच्छादक (onto) है।

    हल:

    • एकैकी (Injectivity): चिह्न फलन एकैकी नहीं है क्योंकि एक से अधिक x का आउटपुट एक समान हो सकता है। उदाहरण के लिए, f(2) = f(3) = 1।

    • आच्छादक (Surjectivity): चिह्न फलन आच्छादक नहीं है क्योंकि संभावित आउटपुट केवल 1, 0, और -1 हैं। इस प्रकार, कोई भी ऐसा x नहीं है जिसके लिए f (x), उदाहरण के लिए 2 या 1, 0 और -1 के अलावा कोई वास्तविक संख्या हो।

    प्रश्न 6: मान लीजिए A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7}, और f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} A से B का एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि f एकैकी (one-one) है।

    हल:
    एक फलन एकैकी होता है यदि डोमेन का प्रत्येक अवयव कोडोमेन के एक अद्वितीय (unique) अवयव के साथ मैप किया जाता है। इस फलन f में, समुच्चय A का प्रत्येक अवयव समुच्चय B के एक अलग अवयव के साथ जोड़ा गया है:

    • 1 को 4 के साथ जोड़ा गया है
    • 2 को 5 के साथ जोड़ा गया है
    • 3 को 6 के साथ जोड़ा गया है

    चूंकि A का कोई भी दो अवयव B के एक ही अवयव पर मैप नहीं होता है, फलन f एकैकी (injective) है।

  12. 12.अभ्यास प्रश्न -7,8,9

    प्रश्न 7: निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में, बताएं कि क्या फलन एकैकी (one-one), आच्छादक (onto) या द्विआच्छादक (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध करें (Justify your answer)। i) f: R → R जहाँ f(x) = 3 - 4x

    • एकैकी (One-one): हाँ, फलन एकैकी है क्योंकि हर अलग-अलग x1 और x2 के लिए, f (x1) ≠ f(x2)। इस फलन का अवकलज (derivative) f’(x) = -4 है जो हमेशा ऋणात्मक है, यह बताता है कि फलन निरंतर घटता हुआ (strictly decreasing) है और इसलिए एकैकी है।
    • आच्छादक (Onto): हाँ, यह फलन आच्छादक है क्योंकि R के प्रत्येक y के लिए, एक x ऐसा है कि f(x)=y. आप x को 3-4x = y समीकरण से हल करके पा सकते हैं जो x= (3 - y)/4 देता है।
    • द्विआच्छादक (Bijective): चूँकि यह एकैकी और आच्छादक दोनों है, इसलिए यह द्विआच्छादक (bijective) है।

    ii) f: R → R जहाँ f(x) = 1 + x²

    • एकैकी (One-one): नहीं, फलन एकैकी नहीं है क्योंकि किसी भी x ∈ R के लिए, f(x) = f(-x)। उदाहरण के लिए, f(1) = f(-1) = 2
    • आच्छादक (Onto): नहीं, फलन आच्छादक नहीं है क्योंकि ऐसा कोई x ∈ R नहीं है जिसके लिए f(x) ऋणात्मक हो। फलन f का रेंज [1, ∞) है, जो पूरे R को कवर नहीं करता है।
    • द्विआच्छादक (Bijective): यह द्विआच्छादक नहीं है क्योंकि यह न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

    प्रश्न 8: मान लीजिए A और B दो समुच्चय हैं। दिखाएं कि f: A × B → B × A जहाँ f(a, b) = (b, a) एक द्विआच्छादक फलन है।

    हल:

    • एकैकी (One-one): यह फलन f एकैकी है क्योंकि यदि f(a1, b1) = f (a2, b2), तो (b1, a1) = (b2, a2), जिसका तात्पर्य है कि a1 = a2 और b1 = b2.
    • आच्छादक (Onto): फलन f आच्छादक है क्योंकि B × A के प्रत्येक युग्म (b, a) के लिए, A × B में एक युग्म (a, b) मौजूद होता है जिसके लिए f(a, b) = (b, a)
    • द्विआच्छादक (Bijective): फलन f द्विआच्छादक है क्योंकि यह एकैकी और आच्छादक दोनों है।

    प्रश्न 9: मान लीजिए f: N → N जो इस प्रकार परिभाषित किया गया है: f(n) = n + 1/2 यदि n विषम है, f(n) = n/2 यदि n सम है

    चाहिए कि फलन f द्विआच्छादक है या नहीं। अपने उत्तर को सही ठहराइए।

    हल:

    • एकैकी (One-one): f एकैकी है क्योंकि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n, N में एक अद्वितीय (unique) मान के लिए मैप करती है। कोई भी दो अलग-अलग प्राकृतिक संख्याओं का आउटपुट समान नहीं होता।
    • आच्छादक (Onto): f आच्छादक है क्योंकि हर सम संख्या m, 2m की छवि (image) है और हर विषम प्राकृतिक संख्या m, 2m-1 की छवि है। इस प्रकार N का प्रत्येक अवयव N में एक पूर्व प्रतिबिंब (preimage) रखता है।
    • द्विआच्छादक (Bijective): चूँकि f एकैकी और आच्छादक दोनों है, यह द्विआच्छादक है।

  13. 13.फलनों का संयोजन तथा व्युत्क्रमणीय फलन

    फलनों का संयोजन (Composition of Functions)

    • परिभाषा: दो फलनों f और g का संयोजन (composition) एक तीसरा फलन है जो किसी निवेश (input) पर g को लागू करता है और फिर g के द्वारा मिले उत्तर (output) पर f को लागू करता है। इसे (f∘g)(x) से प्रदर्शित करते हैं, और पढ़ा जाता है "f, g से बना हुआ x पर "। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: (f∘g)(x) = f (g(x))

    • संख्यात्मक उदाहरण: मान लीजिए हमारे पास दो फलन हैं:

      • f(x) = 2x + 3
      • g(x) = x² इन दोनों का संयोजन (f∘g)(x) होगा: (f∘g)(x) = f (g(x)) = f(x²) = 2x² + 3

      इसका तात्पर्य है यदि आप निवेश (input) के रूप में x=2 को g में डालेंगे, और इसके उत्तर (output) को f में डालेंगे, तो आपको मिलेगा:

      • g(2) = 2² = 4
      • f (g(2)) = f(4) = 2 ⋅ 4 + 3 = 11

    व्युत्क्रमणीय फलन (Invertible Function)

    • परिभाषा: एक फलन f: A → B व्युत्क्रमणीय (invertible) होता है यदि एक अन्य फलन g: B → A इस प्रकार हो कि (f∘g)(x) = x, B के प्रत्येक x के लिए, और (g∘f)(x) = x, A के प्रत्येक x के लिए हो। फलन g को f का व्युत्क्रम (inverse) कहा जाता है और f⁻¹ द्वारा निरूपित (denoted) किया जाता है।

    • व्युत्क्रमणीय होने की शर्त: किसी फलन f को व्युत्क्रमणीय होने के लिए, यह एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) अर्थात द्विआच्छादक (bijective) होना आवश्यक है।

    • संख्यात्मक उदाहरण: फलन f(x) = 2x + 3 पर विचार करें। इसका व्युत्क्रम फलन, f⁻¹(x) को इस शर्त को पूरा करना होगा - f(f⁻¹(x)) = x.

      व्युत्क्रम फलन f⁻¹ ज्ञात करने के लिए, हम y के लिए f(y) = x के समीकरण को हल करते हैं:

      • x = 2y + 3
      • x - 3 = 2y
      • y = (x -3)/2

      इसलिए, व्युत्क्रम फलन है: f⁻¹(x) = (x - 3)/2

      हम जाँच कर सकते हैं कि f और f ⁻¹ वास्तव में एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं:

      • (f∘f⁻¹)(x) = f((x - 3)/2) = 2 * ((x - 3)/2) + 3 = x
      • (f⁻¹∘f)(x) = f⁻¹(2x + 3) = ((2x + 3) - 3)/2 = x

      चूँकि दोनों संयोजन मूल निवेश (input) x को वापस देते हैं, फलन f, व्युत्क्रम f⁻¹ के साथ व्युत्क्रमणीय है।

    सारांश:

    • फलनों का संयोजन आपको एक फलन को दूसरे फलन के परिणाम पर लागू करने की अनुमति देता है।
    • एक व्युत्क्रमणीय फलन वह फलन होता है जिसे उसके व्युत्क्रम द्वारा "वापस" किया जा सकता है, मतलब इसके कोडोमेन के प्रत्येक अवयव को वापस डोमेन में उसके संगत (corresponding) अवयव पर मैप किया जा सकता है

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