रैखिक प्रोग्रामन — कक्षा 12 गणित नोट्स

रैखिक प्रोग्रामन में शामिल टॉपिक

1. 1.रैखिक प्रोग्रामिंग का परिचय

   रैखिक प्रोग्रामिंग गणित का एक आकर्षक क्षेत्र है, जिसे आपने रैखिक समीकरणों और असमिकाओं के अध्ययन के माध्यम से पहले ही एक्सप्लोर करना शुरू कर दिया है। अब, आइए देखें कि ये अवधारणाएं वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने में कैसे मदद कर सकती हैं, खासकर सर्वोत्तम संभव परिणाम प्राप्त करने के लिए संसाधनों को अनुकूलित करने में, जैसे लाभ को अधिकतम करना या लागत को कम करना।

   रैखिक प्रोग्रामिंग का दैनिक जीवन का उदाहरण

   कल्पना कीजिए कि आप एक स्कूल कार्यक्रम की योजना बना रहे हैं और आपको परोसे जाने वाले स्नैक्स की संख्या और प्रकार तय करना है। आपके पास सीमित बजट और जगह है, ठीक वैसे ही जैसे आपकी पाठ्यपुस्तक में फर्नीचर डीलर के पास टेबल और कुर्सियों के लिए सीमित धन और भंडारण स्थान है। रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग करके, आप अपने बजट के भीतर संतुष्टि को अधिकतम करने के लिए स्नैक्स के सबसे किफायती संयोजन का पता लगा सकते हैं, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि आपको पैसे की सबसे अच्छी वसूली मिले।

   फर्नीचर डीलर की चुनौती

   आइए अपनी किताब से फर्नीचर डीलर की स्थिति पर नज़र डालें:

   · डीलर के पास निवेश के लिए 50,000 रुपये हैं। · भंडारण स्थान सीमित है, केवल 60 वस्तुओं के लिए। · एक टेबल की कीमत 2,500 रुपये और एक कुर्सी की कीमत 500 रुपये है। · एक टेबल बेचने से 250 रुपये का लाभ होता है, जबकि एक कुर्सी बेचने से 75 रुपये का लाभ होता है। · डीलर का लक्ष्य यह निर्धारित करना है कि टेबल और कुर्सियों की संख्या कितनी खरीदनी है जो उसके लाभ को अधिकतम करे, जबकि वह अपने बजट और स्थान की सीमाओं के भीतर बना रहे।

   इस परिदृश्य में रैखिक प्रोग्रामिंग कैसे काम करता है

   चरों को परिभाषित करें:

   · माना T टेबलों की संख्या को दर्शाता है। · माना C कुर्सियों की संख्या को दर्शाता है।

   बाधाओं को स्थापित करें:

   लागत की बाधा: 2500T + 500C ≤ 50000

   स्थान की बाधा: T + C ≤ 60

   उद्देश्य फलन:

   लाभ को अधिकतम करें: 250T + 75C

   रेखीय विधि:

   ग्राफ पर बाधाओं को आलेखित करें।

   उस व्यवहार्य क्षेत्र की पहचान करें जहां सभी बाधाएं पूरी हों।

   अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए व्यवहार्य क्षेत्र के प्रत्येक शीर्ष (कोने के बिंदु) पर उद्देश्य फलन का मूल्यांकन करें।

   वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग

   रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से किया जाता है:

   · व्यापार: संसाधन आवंटन को अनुकूलित करना, जैसे फर्नीचर डीलर अपने लाभ को अधिकतम कर रहा है। · अर्थशास्त्र: उत्पादन स्तरों का निर्धारण अधिकतम उत्पादन या न्यूनतम लागत के लिए। · हेल्थकेयर: सीमित चिकित्सा संसाधनों को अधिकतम रोगियों के इलाज के लिए सबसे प्रभावी ढंग से आवंटित करना। · परिवहन: यात्रा समय और लागत को कम करने के लिए मार्गों और कार्यक्रमों की योजना बनाना।

   स्वयं अभ्यास

   आप खुद भी इसी तरह की समस्या स्थापित करने का प्रयास करें! मान लीजिए कि आप 10,000 रुपये के बजट के साथ एक कक्षा पिकनिक का आयोजन कर रहे हैं, और आपको अपने सहपाठियों की खुशी को अधिकतम करने के लिए सैंडविच (200 रुपये प्रत्येक) और पेय पदार्थ (100 रुपये प्रत्येक) की संख्या तय करने की आवश्यकता है, जिसे प्रति सैंडविच 10 अंक और प्रति पेय 5 अंक के "खुशी स्कोर" द्वारा मापा जाता

2. 2.रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या और इसका गणितीय सूत्रीकरण

   रैखिक प्रोग्रामिंग (LP) एक गणितीय मॉडल में सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त करने की एक विधि है जिसकी आवश्यकताओं को रैखिक संबंधों द्वारा दर्शाया जाता है। यह विशेष रूप से आर्थिक और व्यावसायिक संदर्भों के लिए उपयोगी होता है जहां आपको कुछ बाधाओं के साथ लाभ को अधिकतम करने या लागत को कम करने की आवश्यकता होती है। आइए देखें कि व्यावहारिक उदाहरण का उपयोग करके रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को गणितीय रूप से कैसे तैयार किया जाता है, ताकि इसे और अधिक समझा जा सके।

   उदाहरण: एक बेकरी में लाभ को अधिकतम करना

   कल्पना कीजिए कि आप एक छोटी बेकरी चला रहे हैं जो कुकीज़ और केक बनाती है। आप अपने लाभ को अधिकतम करना चाहते हैं, लेकिन आप उपलब्ध सामग्री और प्रत्येक वस्तु को पकाने में लगने वाले समय से सीमित हैं।

   रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को तैयार करने के चरण:

   निर्णय चरों को परिभाषित करें:

   · माना x आपके द्वारा बनाई गई कुकीज़ की संख्या है। · माना y आपके द्वारा बनाए गए केक की संख्या है।

   उद्देश्य फलन का निर्माण करें:

   मान लीजिए कि प्रत्येक कुकी 10 रुपये का लाभ देती है और प्रत्येक केक 20 रुपये का लाभ देती है।

   उद्देश्य फलन (अधिकतम करने के लिए लाभ): P = 10x + 20y

   बाधाओं को सेट अप करें:

   सामग्री की बाधाएं (जैसे, आटा, चीनी): मान लीजिए आपके पास 30 किलो आटा है, और एक कुकी को 0.1 किग्रा, एक केक को 0.3 किग्रा आटे की आवश्यकता होती है: 0.1x + 0.3y ≤ 30

   मान लीजिए आपके पास 10 किलो चीनी है, और एक कुकी को 0.05 किग्रा, एक केक को 0.15 किग्रा चीनी की आवश्यकता होती है: 0.05x + 0.15y ≤ 10

   समय की बाधाएं (ओवन का समय): मान लीजिए आपके पास 50 घंटे का ओवन समय उपलब्ध है, और प्रत्येक कुकी को 0.2 घंटे, प्रत्येक केक को 0.5 घंटे की आवश्यकता होती है: 0.2x + 0.5y ≤ 50

   अऋणात्मकता बाधाएं: x ≥ 0, y ≥ 0

   रेखीय समाधान विधि:

   ग्राफ पर प्रत्येक बाधा को आलेखित करें जिसमें x और y अक्ष के रूप में हों।

   सभी बाधाओं को पूरा करने वाले क्षेत्र को व्यवहार्य क्षेत्र कहा जाता है।

   इस क्षेत्र के शीर्षक (कोने) संभावित समाधान हैं।

   इष्टतम समाधान प्राप्त करने के लिए प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन का मूल्यांकन करें।

   वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग:

   यह विधि व्यापक रूप से लागू है:

   · विनिर्माण: लाभप्रदायकता को अधिकतम करने के लिए उत्पादों की मात्रा निर्धारित करना। · कृषि: पैदावार को अधिकतम करने के लिए बीज, पानी और उर्वरक जैसे संसाधनों का आवंटन करना। · परिवहन: ईंधन की खपत या समय को कम करने के लिए मार्गों और कार्यक्रमों की योजना बनाना। · हेल्थकेयर: रोगी देखभाल दक्षता को अधिकतम करने के लिए कर्मचारियों और संसाधनों का आवंटन करना।

   करने के लिए गतिविधि:

   अपने किसी व्यावसायिक विचार के लिए अपना खुद का रैखिक प्रोग्रामिंग मॉडल बनाएं, जैसे टी-शर्ट प्रिंटिंग व्यवसाय शुरू करना, जहां आपको यह तय करना होगा कि दिए गए बजट और कपड़े की बाधाओं को देखते हुए कितने कपड़े प्रत्येक आकार और डिज़ाइन के लिए प्रिंट करने हैं। अपने चरों को परिभाषित करें, अपना उद्देश्य फलन लिखें, अपनी बाधाओं को सूचीबद्ध करें, और व्यवहार्य क्षेत्र को स्केच करने का प्रयास करें।

   रैखिक प्रोग्रामिंग निर्णय लेने और संसाधन उपयोग को अनुरैखिक प्रोग्रामिंग निर्णय लेने और संसाधन उपयोग को अनुकूलित करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है, जो इसे व्यापार, अर्थशास्त्र, इंजीनियरिंग और रसद सहित कई क्षेत्रों में अमूल्य बनाता है।

3. 3.समस्या का गणितीय सूत्रीकरण

   रेखीय प्रोग्रामन समस्या के गणितीय रूपांतरण में निर्णय चर, उद्देश्य कार्य और संबंधित प्रतिबंधों के आधार पर एक मॉडल का निर्माण शामिल होता है। चलिए बेकरी के उदाहरण का उपयोग करते हुए प्रत्येक घटक को स्पष्ट रूप से समझाते हैं:

   1. निर्णय चर की परिभाषा

   निर्णय चर वे चर होते हैं जिन पर निर्णयकर्ता निर्णय लेंगे। ये चर उन मात्राओं को प्रदर्शित करते हैं जो उद्देश्य कार्य को अधिकतम या न्यूनतम करेंगे, प्रतिबंधों के अधीन होते हुए।

   बेकरी के लिए:

   • x: उत्पादित कुकीज की संख्या।
   • y: उत्पादित केक की संख्या।

   ये चर नकारात्मक नहीं होने चाहिए, क्योंकि आप कुकीज या केक की नकारात्मक मात्रा उत्पादित नहीं कर सकते।

   2. उद्देश्य कार्य का निर्माण

   उद्देश्य कार्य मुख्य कार्य होता है जिसे अनुकूलित (अधिकतम या न्यूनतम) किया जाना है। यह निर्णय चरों का रैखिक संयोजन होना चाहिए।

   बेकरी के लिए जो लाभ को अधिकतम करना चाहते हैं:

   • कुकी से लाभ = ₹10
   • केक से लाभ = ₹20
   • उद्देश्य कार्य (लाभ को अधिकतम करना): =10+20P=10x+20y

   3. प्रतिबंधों की स्थापना

   प्रतिबंध वे सीमाएँ या आवश्यकताएँ होती हैं जिन्हें समाधान को पूरा करना चाहिए। ये संसाधनों की सीमाएँ, विनियामक सीमाएँ, या अन्य प्रतिबंध हो सकते हैं। इन्हें भी निर्णय चरों के संबंध में रैखिक होना चाहिए।

   बेकरी के लिए:

   • आटा प्रतिबंध: 0.1+0.3≤300.1x+0.3y≤30 किलो
   • चीनी प्रतिबंध: 0.05+0.15≤100.05x+0.15y≤10 किलो
   • ओवन समय प्रतिबंध: 0.2+0.5≤500.2x+0.5y≤50 घंटे
   • नकारात्मकता प्रतिबंध: ≥0,≥0x≥0,y≥0

   4. ग्राफिकल समाधान विधि

   हालांकि यह गणितीय रूपांतरण का हिस्सा नहीं है, ग्राफिकल दृष्टिकोण से LP समस्या को हल करने में इन प्रतिबंधों को x और y अक्षों के साथ एक ग्राफ पर प्लॉट करना, व्यवहार्य क्षेत्र की पहचान करना, और इस क्षेत्र के वर्टेक्स (कोने बिंदु) को खोजना शामिल है जो उद्देश्य कार्य को अधिकतम या न्यूनतम करता है।

   व्यावहारिक उदाहरण - बेकरी समस्या का ग्राफिकल समाधान

   1. प्रत्येक प्रतिबंध को प्लॉट करें:

      • प्रत्येक प्रतिबंध समीकरण के लिए रेखा खींचें।
      • परीक्षण बिंदुओं का उपयोग करके निर्धारित करें कि प्रत्येक रेखा का कौन सा पक्ष व्यवहार्य क्षेत्र के अनुरूप है।

   2. व्यवहार्य क्षेत्र की पहचान करें:

      • यह क्षेत्र खींची गई रेखाओं द्वारा सीमांकित होगा और सभी असमानता प्रतिबंधों को संतुष्ट करेगा।

   3. व्यवहार्य क्षेत्र के वर्टेक्स का पता लगाएं:

      • जहां दो प्रतिबंध रेखाएँ काटती हैं।

   4. प्रत्येक वर्टेक्स पर उद्देश्य कारय कार्य का मूल्यांकन करें:

      • प्रत्येक वर्टेक्स के लिए =10+20P=10x+20y की गणना करें।
      • वह वर्टेक्स चुनें जो सर्वाधिक P प्रदान करता है, दिया गया कि बेकरी लाभ को अधिकतम करना चाहती है।

      यह संरचित दृष्टिकोण विभिन्न संदर्भों में रेखीय प्रोग्रामन समस्याओं को फॉर्मूलेट करने के लिए विशिष्ट है, उत्पादन और लॉजिस्टिक्स से लेकर वित्त और संसाधन प्रबंधन तक। प्रत्येक अनुप्रयोग समान मूलभूत चरणों का पालन करता है लेकिन विशिष्ट स्थिति के अनुरूप चर, उद्देश्य कार्य, और प्रतिबंधों को अनुकूलित करता है।

4. 4.रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि

   रेखीय प्रोग्रामन समस्याओं को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि की एक व्यापक व्याख्या के साथ शुरुआत करते हैं, जिसमें एक सिद्धांत और ग्राफ़ के साथ एक उदाहरण शामिल है। इससे आपको स्पष्ट दृष्टिकोण मिलेगा और आप इस सामग्री को सीधे दस्तावेज़ीकरण या शैक्षिक उद्देश्यों के लिए उपयोग कर सकते हैं।
   

   रेखीय प्रोग्रामन समस्याओं को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि

   ग्राफिकल विधि दो चरों वाली रेखीय प्रोग्रामन समस्याओं को हल करने के लिए एक व्यावहारिक तकनीक है। यह विधि प्रतिबंधों और उद्देश्य कार्य को दृश्यता प्रदान करके और इस क्षेत्र के शीर्ष बिंदु पर समाधान की खोज करके आदर्श समाधान खोजने में मदद करती है।

   शामिल चरण:

   1. निर्णय चरों की पहचान करें: उन दो चरों की पहचान करें जिन्हें मणिपुलेट करके आदर्श समाधान खोजा जाएगा।
   2. उद्देश्य कार्य का निर्माण करें: यह वह कार्य है जिसे आप अधिकतम या न्यूनतम करना चाहते हैं। आमतौर पर, यह लागत या लाभ से संबंधित होता है।
   3. प्रतिबंध स्थापित करें: ये आमतौर पर संसाधन सीमाएं या आवश्यकताएं होती हैं, जिन्हें रैखिक असमानताओं के रूप में फॉर्म्युलेट किया जाता है।
   4. प्रतिबंधों का ग्राफ बनाएं: प्रत्येक प्रतिबंध को ग्राफ पर प्लॉट करें। सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र व्यवहार्य क्षेत्र कहलाता है।
   5. व्यवहार्य क्षेत्र की पहचान करें: यह क्षेत्र आमतौर पर प्रतिबंध रेखाओं के छेदन से बनने वाला बहुभुज होता है और जहां सभी प्रतिबंध ओवरलैप होते हैं।
   6. आदर्श समाधान खोजें: व्यवहार्य क्षेत्र के प्रत्येक शीर्ष बिंदु पर उद्देश्य कार्य की गणना करें। सर्वश्रेष्ठ मूल्य प्रदान करने वाला शीर्ष बिंदु (उच्चतम या निम्नतम, उद्देश्य के आधार पर) आदर्श समाधान होता है।

   रेखीय प्रोग्रामन का मौलिक सिद्धांत

   सिद्धांत: यदि एक रेखीय प्रोग्रामन समस्या का व्यवहार्य समाधान होता है, तो आदर्श समाधान व्यवहार्य क्षेत्र के एक शीर्ष बिंदु पर होगा। यदि आदर्श समाधान अद्वितीय नहीं है, तो इन शीर्षों को जोड़ने वाले रेखा खंड पर हर बिंदु भी आदर्श समाधान प्रदान करता है।

   उदाहरण समस्या: उत्पादन क्षमता का अधिकतमीकरण

   एक कारखाना दो प्रकार के गैजेट्स बनाता है: प्रकार A और प्रकार B। लक्ष्य कुल उत्पादन मूल्य को अधिकतम करना है।

   चर

   • x: प्रकार A गैजेट्स की उत्पादित संख्या।
   • y: प्रकार B गैजेट्स की उत्पादित संख्या।

   उद्देश्य कार्य

   • लाभ अधिकतम करें: =40+30P=40x+30y

   प्रतिबंध

   • मशीन समय प्रतिबंध: 2+≤1002x+y≤100 (कुल उपलब्ध मशीन घंटे)
   • सामग्री प्रतिबंध: +2≤90x+2y≤90 (कुल सामग्री इकाइयाँ उपलब्ध)
   • मांग प्रतिबंध: ≤40y≤40 (प्रकार B के लिए बाजार मांग)
   • नकारात्मकता प्रतिबंध: ≥0,≥0x≥0,y≥0

   ग्राफिकल प्रतिनिधित्व

   1. प्रत्येक प्रतिबंध को प्लॉट करें:

      • मशीन समय: =100−2y=100−2x
      • सामग्री: =45−0.5y=45−0.5x
      • मांग: =40y=40
      • नकारात्मकता: x और y केवल पहले क्वाड्रंट में होना चाहिए।

   2. व्यवहार्य क्षेत्र का निर्धारण करें:

      • यह क्षेत्र ग्राफ पर प्रतिबंधों के ओवरलैप होने पर होगा।

   3. प्रत्येक शीर्ष बिंदु पर उद्देश्य कार्य की गणना करें:

      • व्यवहार्य क्षेत्र के शीर्षों पर संभवतः प्रतिबंध लाइनों के छेदन और अक्षों के छेदन होते हैं।
      • प्रत्येक शीर्ष पर =40+30P=40x+30y की गणना करके अधिकतम लाभ खोजें।

   व्यावहारिक उपयोग और ग्राफ निर्माण

   यह विधि विशेष रूप से व्यापार और इंजीनियरिंग में उत्पादन, संसाधन आवंटन और वित्तीय योजना का अनुकूलन करने के लिए उपयोगी है। इस उदाहरण को दृश्यता प्रदान करने के लिए, आप प्रदान किए गए समीकरणों के आधार पर एक ग्राफ बनाएंगे, व्यवहार्य क्षेत्र को चिह्नित करेंगे और इसके शीर्षों पर उद्देश्य कार्य की गणना करेंगे।

   ग्राफिकल दृष्टिकोण दो-चर स्थिति में विभिन्न प्रतिबंधों और उद्देश्यों के बीच बातचीत की स्पष्ट, दृश्य समझ प्रदान करता है, जिससे यह संचालन अनुसंधान और निर्णय विज्ञानों में मौलिक अध्ययनों के लिए एक आदर्श शैक्षिक उपकरण बन जाता है।