त्रिविमीय ज्यामिति — कक्षा 12 गणित नोट्स

त्रिविमीय ज्यामिति में शामिल टॉपिक

1. 1.त्रि-आयामी ज्यामिति का परिचय

   त्रि-आयामी ज्यामिति का परिचय

   त्रि-आयामी ज्यामिति, जिसे अक्सर 3D ज्यामिति कहा जाता है, उन आकृतियों और वस्तुओं से संबंधित है जो त्रि-आयामी स्थान में मौजूद होती हैं। दो-आयामी आकारों के विपरीत जैसे की स्क्वायर और सर्कल, जो एक समतल पर स्थित होते हैं, त्रि-आयामी आकारों में गहराई के साथ-साथ चौड़ाई और ऊँचाई भी होती है। क्यूब, स्फीयर और पिरामिड जैसे सामान्य 3D आकार हैं।

   वास्तविक जीवन के उदाहरण

   कल्पना कीजिए कि आप यात्रा के लिए पैक कर रहे हैं और आपको सही सूटकेस चुनने की आवश्यकता है। सूटकेसों की त्रि-आयामी ज्यामिति (उनकी लंबाई, चौड़ाई, और ऊँचाई को देखते हुए) और वे कितना सामान रख सकते हैं (आयतन) को समझना आपको सर्वोत्तम विकल्प बनाने में मदद करता है। या क्रिकेट या फुटबॉल फील्ड के बारे में सोचें; तीन आयामों में मैदान की दूरियों और लेआउट को समझना खिलाड़ियों को प्रतिस्पर्धी लाभ दे सकता है।

   इसकी उपयोगिता

   1. दैनिक जीवन अनुप्रयोग: आर्किटेक्चर और इंजीनियरिंग से लेकर वीडियो गेम्स और वर्चुअल रियलिटी तक, 3D ज्यामिति वस्तुओं को डिजाइन करने और एक स्थान में उनके साथ इंटरैक्ट करने में मदद करती है। इसका उपयोग कमरों, इमारतों और यहां तक कि पूरे शहरों की योजना बनाने में किया जाता है।
   2. करियर संभावनाएं: मैकेनिकल डिजाइन, सिविल इंजीनियरिंग, आर्किटेक्चर, वीडियो गेम डिजाइन, और विज्ञान के कई क्षेत्रों में करियर, 3D ज्यामिति पर गहराई से निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, आर्किटेक्ट 3D ज्यामिति का उपयोग करके इमारतों को डिजाइन करते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि वे सुरक्षित, कार्यात्मक, और दृष्टिपूर्ण रूप से प्रसन्न हों।
   3. गणितीय समझ: यह आपकी स्थानिक संबंधों और ज्यामिति की समझ को गहरा करता है। इससे आपकी समस्या-समाधान क्षमता में अकादमिक और वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में सुधार हो सकता है।

   हाथों से करने वाली गतिविधि

   मिट्टी या बिल्डिंग ब्लॉक्स जैसी सामग्रियों का उपयोग करके एक सरल 3D मॉडल बनाने की कोशिश करें। एक क्यूब या पिरामिड जैसे बुनियादी आकार से शुरू करें, और जैसे-जैसे आप अधिक आरामदायक होते जाएं, अधिक जटिल संरचनाओं की कोशिश करें। ध्यान दें कि प्रत्येक आकार कैसे स्थान को घेरता है और उनके वॉल्यूम और सतह क्षेत्र की गणना कैसे कर सकते हैं।

   त्रि-आयामी ज्यामिति केवल जटिल गणनाओं के बारे में नहीं है बल्कि यह हमारे आसपास की दुनिया को अधिक समग्र रूप से समझने के बारे में भी है। यह गणित का एक रोचक हिस्सा है जिसका हमारे दैनिक जीवन और भविष्य के करियरों पर प्रत्यक्ष प्रभाव पड़ता है!

2. 2.लाइन के दिशा कोसाइन और दिशा अनुपात की व्याख्या

   लाइन के दिशा कोसाइन और दिशा अनुपात की व्याख्या

   त्रि-आयामी ज्यामिति में, अंतरिक्ष में एक रेखा के उन्मुखीकरण को समझना महत्वपूर्ण है। यहां दिशा कोसाइन और दिशा अनुपात काम में आते हैं। वे हमें 3D स्थान में निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष एक रेखा के कोण और दिशा का वर्णन करने में मदद करते हैं।

   दिशा कोसाइन

   दिशा कोसाइन (अक्सर "डीकॉस" के रूप में संक्षिप्त) वे कोसाइन होते हैं जो एक निर्देशित रेखा खंड 𝑥x-, 𝑦y-, और 𝑧z-अक्षों की सकारात्मक दिशाओं के साथ बनाती है। ये कोण आमतौर पर 𝛼α, 𝛽β, और 𝛾γ के रूप में दर्शाए जाते हैं। दिशा कोसाइन निम्नलिखित हैं:

   • cos⁡𝛼cosα (x-अक्ष के साथ कोण का कोसाइन)
   • cos⁡𝛽cosβ (y-अक्ष के साथ कोण का कोसाइन)
   • cos⁡𝛾cosγ (z-अक्ष के साथ कोण का कोसाइन)

   गणितीय रूप से, दिशा वेक्टर 𝑎=(𝑎1,𝑎2,𝑎3)a=(a1​,a2​,a3​) के साथ एक रेखा के लिए, दिशा कोसाइन निम्नलिखित के रूप में गणना की जाती है: cos⁡𝛼=𝑎1𝑎12+𝑎22+𝑎32,cosα=a12​+a22​+a32​​a1​​, cos⁡𝛽=𝑎2𝑎12+𝑎22+𝑎32,cosβ=a12​+a22​+a32​​a2​​, cos⁡𝛾=𝑎3𝑎12+𝑎22+𝑎32.cosγ=a12​+a22​+a32​​a3​​.

   दिशा अनुपात

   दिशा अनुपात सिर्फ उन घटकों के अनुपात हैं जो किसी भी वेक्टर के समानांतर होते हैं जो रेखा के समानांतर होते हैं। वे 𝑎a, 𝑏b, और 𝑐c के रूप में दर्शाए गए हैं। उनकी एक निश्चित मात्रा नहीं होती है बल्कि दिशा में सापेक्ष अनुपात दिखाते हैं। दिशा वेक्टर 𝑎=(𝑎1,𝑎2,𝑎3)a=(a1​,a2​,a3​) के लिए, दिशा अनुपात 𝑎1a1​, 𝑎2a2​, और 𝑎3a3​ हैं।

   वास्तविक जीवन का उदाहरण

   आकाश में उड़ते ड्रोन के बारे में सोचें। इसके पथ को नियंत्रित करने के लिए, आपको यह जानना आवश्यक है कि यह पृथ्वी की सतह के सापेक्ष किस दिशा में जा रहा है। दिशा कोसाइन का उपयोग करके, आप निश्चित रूप से जान सकते हैं कि ड्रोन का पथ उत्तर (x-अक्ष की तरह), पूर्व (y-अक्ष की तरह), और लंबवत ऊपर (z-अक्ष की तरह) के साथ क्या कोण बनाता है। इससे ड्रोन को कुशलता से नेविगेट करने में मदद मिलती है।

   हाथों से करने वाली गतिविधि

   एक लंबी स्टिक या एक पेंसिल लें। इसे अपने कमरे में विभिन्न वस्तुओं की ओर इशारा करने की विभिन्न स्थितियों में रखें (जैसे, एक लैंप, एक खिड़की, और छत की ओर)। पेंसिल को 3D स्थान में एक रेखा के रूप में सोचें, और कल्पना करें कि यह फर्श और दीवारों के साथ कौन से कोण बनाती है। यह सरल गतिविधि यह देखने में मदद करती है कि कैसे दिशा कोसाइन और अनुपात अंतरिक्ष में एक रेखा के उन्मुखीकरण को निर्धारित करने में काम करते हैं।

   दिशा कोसाइन और अनुपात एयरोस्पेस जैसे क्षेत्रों में मौलिक अवधारणाएँ हैं, जहाँ एक विमान के उन्मुखीकरण को समझना महत्वपूर्ण है, और कंप्यूटर ग्राफिक्स में, जहाँ वे 3D मॉडलों में वस्तुओं के उन्मुखीकरण को प्रस्तुत करने में मदद करते हैं।

3. 3.अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण

   अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण का परिचय

   तीन-आयामी ज्यामिति में, अंतरिक्ष में एक रेखा का समीकरण दो-आयामी स्थान की तुलना में उतना सीधा नहीं होता। 2D में, जहाँ एक रेखा आमतौर पर एक एकल रैखिक समीकरण द्वारा प्रतिनिधित्व की जाती है, 3D स्थान में एक रेखा को दो विमानों के चौराहे पर परिभाषित किया जाता है, या वैकल्पिक रूप से, पैरामेट्रिक समीकरणों द्वारा जो दिशा कोसाइन या दिशा अनुपातों का उपयोग करते हैं।

   वेक्टर और पैरामेट्रिक रूप में रेखा

   3D में एक रेखा का वेक्टर रूप निम्नानुसार दिया गया है: 𝑟=𝑎+𝑡𝑏r=a+tb जहाँ:

   • 𝑟r किसी भी बिंदु पर स्थिति वेक्टर है जो रेखा पर है,
   • 𝑎a रेखा पर एक निश्चित बिंदु का स्थिति वेक्टर है (अक्सर वह बिंदु जहाँ रेखा मूल तल से चौराहे पर होती है),
   • 𝑏b रेखा का एक दिशा वेक्टर है (जरूरी नहीं कि यूनिट वेक्टर हो),
   • 𝑡t एक स्केलर पैरामीटर है।

   पैरामेट्रिक रूप वेक्टर समीकरण को व्यक्तिगत निर्देशांकों में तोड़ता है: 𝑥=𝑥0+𝑎𝑡,x=x0​+at, 𝑦=𝑦0+𝑏𝑡,y=y0​+bt, 𝑧=𝑧0+𝑐𝑡,z=z0​+ct, जहाँ (𝑥0,𝑦0,𝑧0)(x0​,y0​,z0​) रेखा पर एक ज्ञात बिंदु के निर्देशांक हैं, और 𝑎,𝑏,𝑐a,b,c रेखा के दिशा अनुपात हैं, जो दिशा वेक्टर के अनुरूप हैं।

   अंतरिक्ष में रेखा के समीकरण पर आधारित उदाहरण समस्याएँ

   उदाहरण 1: रेखा पर एक बिंदु खोजें दिया गया रेखा समीकरण 𝑥=1+2𝑡x=1+2t, 𝑦=−3+5𝑡y=−3+5t, 𝑧=4−𝑡z=4−t, जब 𝑡=2t=2 हो तो इस रेखा पर बिंदु के निर्देशांक खोजें।

   समाधान: 𝑥=1+2(2)=1+4=5x=1+2(2)=1+4=5 𝑦=−3+5(2)=−3+10=7y=−3+5(2)=−3+10=7 𝑧=4−(2)=4−2=2z=4−(2)=4−2=2 तो, बिंदु (5,7,2)(5,7,2) है।

   उदाहरण 2: निर्धारित करें कि क्या एक बिंदु दी गई रेखा पर स्थित है रेखा समीकरण के लिए 𝑥=3+4𝑡x=3+4t, 𝑦=1+2𝑡y=1+2t, 𝑧=2𝑡z=2t, क्या बिंदु (11,5,2)(11,5,2) इस रेखा पर स्थित है?

   समाधान: प्रत्येक निर्देशांक को संबंधित समीकरण के साथ जांचें: 11=3+4𝑡 ⟹ 𝑡=211=3+4t⟹t=2 5=1+2𝑡 ⟹ 𝑡=25=1+2t⟹t=2 2=2𝑡 ⟹ 𝑡=12=2t⟹t=1 चूँकि 𝑡t सभी तीन निर्देशांकों में निरंतर नहीं है, इसलिए बिंदु रेखा पर नहीं है।

   उदाहरण 3: दो रेखाओं के चौराहे का पता लगाएं रेखा 1: 𝑥=2+𝑡x=2+t, 𝑦=3+2𝑡y=3+2t, 𝑧=5𝑡z=5t रेखा 2: 𝑥=2+𝑠x=2+s, 𝑦=1+3𝑠y=1+3s, 𝑧=𝑠z=s यदि वे चौराहे पर हैं तो चौराहे का बिंदु खोजें।

   समाधान: समीकरणों को एक-दूसरे के बराबर सेट करें: 2+𝑡=2+𝑠2+t=2+s 3+2𝑡=1+3𝑠3+2t=1+3s 5𝑡=𝑠5t=s 5𝑡=𝑠5t=s से: 𝑠=5𝑡s=5t पहले समीकरण में 𝑠=5𝑡s=5t को प्रतिस्थापित करें: 2+𝑡=2+5𝑡 ⟹ 4𝑡=0 ⟹ 𝑡=02+t=2+5t⟹4t=0⟹t=0 दूसरे समीकरण में 𝑡=0t=0 को प्रतिस्थापित करें: 3=1+15×0 ⟹ 3≠13=1+15×0⟹3=1 चूंकि कोई सुसंगत समाधान नहीं है, इसलिए रेखाएँ चौराहे पर नहीं हैं।

   वास्तविक दुनिया में अनुप्रयोग

   नई मेट्रो रेल प्रणाली की योजना बनाने के बारे में सोचें जहाँ आपको उन सुरंगों के सटीक मार्गों को स्थापित करने की आवश्यकता है जो न केवल शहर के आर-पार क्षैतिज रूप से यात्रा करेंगी बल्कि विभिन्न गहराइयों में भूमिगत वर्टिकली भी जाएँगी। 3D में रेखाओं के समीकरणों का उपयोग करके, इंजीनियर इन सुरंगों के पथों का निर्धारण कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि वे अन्य भूमिगत संरचनाओं के साथ अनजाने में चौराहे पर नहीं आते।

4. 4.तीन-आयामी ज्यामिति में दो रेखाओं के बीच का कोण

   तीन-आयामी ज्यामिति में दो रेखाओं के बीच का कोण

   त्रि-आयामी ज्यामिति में, दो रेखाओं के बीच के कोण की गणना उनके दिशा वेक्टरों के डॉट प्रोडक्ट की अवधारणा का उपयोग करके की जा सकती है। यह कोण यह निर्धारित करते समय एक महत्वपूर्ण पहलू है कि दो वस्तुएं जैसे कि सड़कें, पाइप, या बीम, अंतरिक्ष में एक दूसरे के साथ कैसे चौराहे पर या संरेखित होती हैं।

   दो रेखाओं के बीच कोण का सूत्र

   दो रेखाओं के बीच कोण 𝜃θ पाने के लिए सूत्र जिनके दिशा वेक्टर 𝑎=(𝑎1,𝑎2,𝑎3)a=(a1​,a2​,a3​) और 𝑏=(𝑏1,𝑏2,𝑏3)b=(b1​,b2​,b3​) हैं, इस प्रकार है:

   cos⁡𝜃=𝑎⋅𝑏∣𝑎∣∣𝑏∣=𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+𝑎3𝑏3𝑎12+𝑎22+𝑎32𝑏12+𝑏22+𝑏32cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b​=a12​+a22​+a32​​b12​+b22​+b32​​a1​b1​+a2​b2​+a3​b3​​

   यह सूत्र वेक्टरों के डॉट प्रोडक्ट और वेक्टरों की परिमाण का उपयोग करता है ताकि उनके बीच के कोण का कोसाइन निकाल सके। यह दृष्टिकोण 3D में दो रेखाओं के बीच के स्थानिक संबंध को प्रभावी ढंग से पकड़ता है।

   उदाहरण 1: दो रेखाओं के बीच का कोण निकालें

   दी गई रेखाएं: रेखा 1 दिशा वेक्टर के साथ 𝑎=(1,2,3)a=(1,2,3) रेखा 2 दिशा वेक्टर के साथ 𝑏=(−1,0,4)b=(−1,0,4)

   समाधान: पहले, 𝑎a और 𝑏b के डॉट प्रोडक्ट की गणना करें: 𝑎⋅𝑏=(1)(−1)+(2)(0)+(3)(4)=−1+0+12=11a⋅b=(1)(−1)+(2)(0)+(3)(4)=−1+0+12=11

   अगला, 𝑎a और 𝑏b के परिमाणों की खोज करें: ∣𝑎∣=12+22+32=1+4+9=14∣a∣=12+22+32​=1+4+9​=14​ ∣𝑏∣=(−1)2+02+42=1+0+16=17∣b∣=(−1)2+02+42​=1+0+16​=17​

   अब, cos⁡𝜃cosθ के लिए सूत्र लागू करें: cos⁡𝜃=111417≈0.606cosθ=14​17​11​≈0.606

   कोण 𝜃θ की गणना उलटे कोसाइन का उपयोग करके की जा सकती है: 𝜃=cos⁡−1(0.606)≈52.6∘θ=cos−1(0.606)≈52.6∘

   उदाहरण 2: निर्धारित करें कि क्या दो रेखाएँ लंबवत हैं

   दी गई रेखाएं: रेखा 1 दिशा वेक्टर के साथ 𝑎=(3,−3,1)a=(3,−3,1) रेखा 2 दिशा वेक्टर के साथ 𝑏=(2,2,−2)b=(2,2,−2)

   समाधान: 𝑎a और 𝑏b के डॉट प्रोडक्ट की गणना करें: 𝑎⋅𝑏=(3)(2)+(−3)(2)+(1)(−2)=6−6−2=−2a⋅b=(3)(2)+(−3)(2)+(1)(−2)=6−6−2=−2

   चूंकि डॉट प्रोडक्ट शून्य नहीं है, इसलिए रेखाएं लंबवत नहीं हैं। अगर यह शून्य होता, तो यह लंबवतता को दर्शाता।

5. 5.तीन-आयामी ज्यामिति में दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी

   तीन-आयामी ज्यामिति में दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी का परिचय
   

   तीन-आयामी ज्यामिति में, दो टेढ़ी रेखाओं (ऐसी रेखाएँ जो न तो परस्पर काटती हैं और न ही समांतर होती हैं) के बीच की न्यूनतम दूरी खोजना एक उपयोगी अवधारणा है, विशेष रूप से इंजीनियरिंग और वास्तुकला में जहाँ आवश्यक होता है कि संरचनाएं एक दूसरे के साथ हस्तक्षेप न करें।

   दो टेढ़ी रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी का सूत्र

   दो टेढ़ी रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी 𝑑d की गणना उनके दिशा वेक्टरों और प्रत्येक रेखा पर एक बिंदु का उपयोग करके की जा सकती है। रेखाओं को निम्न प्रकार से प्रस्तुत किया जा सकता है:

   • रेखा 1: 𝑟1=𝑎+𝑡𝑏r1​=a+tb
   • रेखा 2: 𝑟2=𝑐+𝑠𝑑r2​=c+sd

   जहाँ 𝑎a और 𝑐c रेखाओं पर बिंदुओं के स्थान वेक्टर हैं, और 𝑏b और 𝑑d दिशा वेक्टर हैं।

   न्यूनतम दूरी के लिए सूत्र है: 𝑑=∣(𝑐−𝑎)⋅(𝑏×𝑑)∣∣𝑏×𝑑∣d=∣b×d∣∣(c−a)⋅(b×d)∣​

   यहाँ, 𝑏×𝑑b×d दिशा वेक्टरों का क्रॉस प्रोडक्ट दर्शाता है, जो दोनों रेखाओं के लंबवत एक वेक्टर देता है। अभिव्यक्ति (𝑐−𝑎)(c−a) रेखा 1 से रेखा 2 तक एक बिंदु को जोड़ने वाला वेक्टर है।

   उदाहरण 1: दो टेढ़ी रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी की गणना करें

   दी गई रेखाएं:

   • रेखा 1: 𝑟1=(1,0,0)+𝑡(1,1,1)r1​=(1,0,0)+t(1,1,1)
   • रेखा 2: 𝑟2=(2,3,1)+𝑠(1,−1,2)r2​=(2,3,1)+s(1,−1,2)

   समाधान:

   1. 𝑏×𝑑b×d की गणना करें: 𝑏=(1,1,1),𝑑=(1,−1,2)b=(1,1,1),d=(1,−1,2) 𝑏×𝑑=∣𝑖𝑗𝑘1111−12∣=(3,−1,−2)b×d=∣∣​i11​j1−1​k12​∣∣​=(3,−1,−2)

   2. (𝑐−𝑎)⋅(𝑏×𝑑)(c−a)⋅(b×d) की गणना करें: 𝑎=(1,0,0),𝑐=(2,3,1)a=(1,0,0),c=(2,3,1) (𝑐−𝑎)=(1,3,1)(c−a)=(1,3,1) (1,3,1)⋅(3,−1,−2)=3−3−2=−2(1,3,1)⋅(3,−1,−2)=3−3−2=−2 ∣(𝑐−𝑎)⋅(𝑏×𝑑)∣=2∣(c−a)⋅(b×d)∣=2

   3. 𝑏×𝑑b×d का परिमाण: ∣𝑏×𝑑∣=32+(−1)2+(−2)2=14∣b×d∣=32+(−1)2+(−2)2​=14​

   4. अंत में, 𝑑d की गणना करें: 𝑑=214≈0.534d=14​2​≈0.534

   उदाहरण 2: दो समांतर रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी का निर्धारण करें

   हालांकि हमारा मुख्य ध्यान टेढ़ी रेखाओं पर है, आइए संक्षेप में समांतर रेखाओं को कवर करें:

   • रेखा 1: 𝑟1=(1,1,1)+𝑡(2,2,2)r1​=(1,1,1)+t(2,2,2)
   • रेखा 2: 𝑟2=(3,3,5)+𝑠(2,2,2)r2​=(3,3,5)+s(2,2,2)

   समाधान: समांतर रेखाओं के लिए, 𝑏=𝑑b=d, इसलिए 𝑏×𝑑=0b×d=0। सूत्र सरल हो जाता है, और हम उपयोग करते हैं: 𝑑=∣(𝑐−𝑎)⋅𝑛∣∣𝑛∣d=∣n∣∣(c−a)⋅n∣​ जहाँ 𝑛n दिशा वेक्टर 𝑏b के लिए एक सामान्य वेक्टर है। सरलता के लिए, 𝑛=(2,−2,0)n=(2,−2,0) चुनें, जो (2,2,2)(2,2,2) के लंबवत है। (𝑐−𝑎)=(2,2,4)(c−a)=(2,2,4) (𝑐−𝑎)⋅𝑛=2∗2+2∗(−2)+4∗0=0(c−a)⋅n=2∗2+2∗(−2)+4∗0=0 इसलिए, 𝑑=0d=0 इन विशेष वेक्टरों के लिए, जो दर्शाता है कि वे समान रेखा हैं या मेल खाती हैं।