विभेदक समीकरण — कक्षा 12 गणित नोट्स

विभेदक समीकरण · कक्षा 12 गणित · 6 टॉपिक.

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विभेदक समीकरण में शामिल टॉपिक

  1. 1.विभेदक/डिफरेंशियल समीकरणों का परिचय

    डिफरेंशियल समीकरणों का परिचय

    कल्पना कीजिए कि आप अपने बगीचे में एक पौधे की वृद्धि को ट्रैक कर रहे हैं। हर दिन, आप मापते हैं कि पौधा पिछले दिन की तुलना में कितना अधिक बढ़ गया है। यह दैनिक वृद्धि दर, जब गणित के माध्यम से व्यक्त की जाती है, तो हमें वह मिलती है जिसे डिफरेंशियल समीकरण कहा जाता है। डिफरेंशियल समीकरण यह व्यक्त करने का एक तरीका है कि विभिन्न परिस्थितियों में चीजें कैसे बदलती हैं, और विज्ञान, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, और उससे आगे में व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाता है।

    डिफरेंशियल समीकरण क्या है?

    एक डिफरेंशियल समीकरण एक गणितीय समीकरण है जो किसी फंक्शन को उसके व्युत्पन्नों के साथ संबंधित करता है। सरल शब्दों में, यह यह वर्णन करता है कि किसी चीज का परिवर्तन किस दर पर होता है। जब आप अपने बगीचे में पौधे को देख रहे होते हैं, तो एक डिफरेंशियल समीकरण उसकी वृद्धि को मॉडल कर सकता है जो वृद्धि दर को पौधे की वर्तमान ऊंचाई से संबंधित करता है।

    वास्तविक जीवन का उदाहरण:

    अपने कमरे में रखे गर्म चाय के कप के बारे में सोचें। चाय के ठंडा होने की दर चाय और कमरे के तापमान के बीच के अंतर पर निर्भर करती है। एक डिफरेंशियल समीकरण इस ठंडा होने की प्रक्रिया को मॉडल कर सकता है, जिससे हमें यह अनुमान लगाने में मदद मिलती है कि चाय कब कमरे के तापमान तक पहुंच जाएगी।

    डिफरेंशियल समीकरणों के प्रकार:

    1. साधारण डिफरेंशियल समीकरण (ODEs) - ये एक वेरिएबल के संबंध में एक फंक्शन के व्युत्पन्नों को शामिल करते हैं। उदाहरण के लिए, एक लटकन की गति का वर्णन करने वाला समीकरण।
    2. आंशिक डिफरेंशियल समीकरण (PDEs) - ये एक से अधिक वेरिएबल के संबंध में व्युत्पन्नों को शामिल करते हैं। उदाहरण के लिए, एक कमरे में तापमान वितरण को मॉडल करने वाला समीकरण।

    करियर और उद्योगों में अनुप्रयोग:

    डिफरेंशियल समीकरण कई क्षेत्रों में मौलिक हैं। इंजीनियर उन्हें कंट्रोल इंजीनियरिंग, एयरोस्पेस और ऑटोमोटिव उद्योगों में सिस्टम को मॉडल करने के लिए उपयोग करते हैं। जीवविज्ञान में, वे जनसंख्या गतिशीलता और रोगों के प्रसार को मॉडल करते हैं। अर्थशास्त्री उन्हें आर्थिक वृद्धि और वित्तीय बाजारों को मॉडल करने के लिए उपयोग करते हैं।

    हाथ से काम करने वाली गतिविधि:

    कमरे के तापमान पर गरम पेय के ठंडा होने को मॉडल करने की कोशिश करें। पेय का तापमान हर मिनट 10 मिनट के लिए मापें और देखें कि यह कैसे बदलता है। यह वास्तविक जीवन डेटा संग्रह आपको प्रतिदिन की घटनाओं में डिफरेंशियल समीकरणों के व्यावहारिक अनुप्रयोग को समझने में मदद कर सकता है।

  2. 2.डिफरेंशियल समीकरणों की मूल अवधारणाएं

    डिफरेंशियल समीकरणों की मूल अवधारणाएं

    डिफरेंशियल समीकरण गणितीय उपकरण हैं जो हमें विभिन्न क्षेत्रों में परिवर्तन और घटनाओं को मॉडल करने की अनुमति देते हैं। आइए मूल अवधारणाओं को समझें:

    1. फंक्शन और व्युत्पन्न

    • फंक्शन (y): परिवर्तनशील मात्रा को दर्शाता है, जैसे कि एक पौधे की ऊंचाई या बैंक खाते में पैसे की मात्रा।
    • व्युत्पन्न (y'): फंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, पौधा कितनी जल्दी बढ़ता है या पैसा ब्याज के रूप में कितनी तेजी से जमा होता है।

    2. डिफरेंशियल समीकरण का क्रम

    • एक डिफरेंशियल समीकरण का क्रम इसमें शामिल सबसे उच्च व्युत्पन्न पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, अगर सबसे उच्च व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न 𝑦′′y′′ है, तो यह एक दूसरे क्रम का डिफरेंशियल समीकरण होता है।

    3. रैखिकता

    • एक डिफरेंशियल समीकरण रैखिक होता है यदि इसे फंक्शन या इसके व्युत्पन्नों को एक साथ गुणा किए बिना व्यक्त किया जा सकता है। गैर-रैखिक समीकरणों में ऐसे शब्द शामिल होते हैं जहां फंक्शन और इसके व्युत्पन्नों को गुणा किया गया होता है या इनकी शक्तियां एक से अधिक होती हैं।

    4. आरंभिक शर्तें

    • ये विशिष्ट बिंदु पर फंक्शन के लिए दी गई मानें होती हैं, जिनका उपयोग डिफरेंशियल समीकरण के एक विशिष्ट समाधान को खोजने के लिए किया जाता है। उदाहरण के रूप में, किसी पदार्थ के आरंभिक तापमान को जानना इसकी ठंडा होने की प्रक्रिया को मॉडल करने में मदद करता है।

    डिफरेंशियल समीकरणों के उदाहरण

    उदाहरण 1: जनसंख्या वृद्धि

    • समीकरण: 𝑑𝑃𝑑𝑡=𝑘𝑃dtdP​=kP
    • व्याख्या: यहाँ, 𝑃P जनसंख्या के आकार को दर्शाता है, और 𝑑𝑃𝑑𝑡dtdP​ समय के साथ जनसंख्या परिवर्तन की दर को दर्शाता है। स्थिरांक 𝑘k वृद्धि दर है। यह मॉडल मानता है कि जनसंख्या घातीय रूप से बढ़ती है।

    उदाहरण 2: रेडियोधर्मी क्षय

    • समीकरण: 𝑑𝑁𝑑𝑡=−𝜆𝑁dtdN​=−λN
    • व्याख्या: इस मॉडल में, 𝑁N एक रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा को दर्शाता है, और 𝑑𝑁𝑑𝑡dtdN​ बताता है कि पदार्थ कितनी जल्दी क्षय होता है। स्थिरांक 𝜆λ क्षय स्थिरांक है, जो क्षय की गति को इंगित करता है, जो हमेशा नकारात्मक होता है, यह दर्शाता है कि पदार्थ समय के साथ घटता है।

    उदाहरण 3: किसी वस्तु का ठंडा होना

    • समीकरण: 𝑑𝑇𝑑𝑡=−𝑘(𝑇−𝑇env)dtdT​=−k(T−Tenv​)
    • व्याख्या: 𝑇T किसी वस्तु के तापमान को दर्शाता है, और 𝑇envTenv​ पर्यावरण का तापमान है। तापमान परिवर्तन की दर 𝑑𝑇𝑑𝑡dtdT​ वस्तु के तापमान और पर्यावरण के बीच के अंतर पर निर्भर करती है, जिसे एक स्थिरांक 𝑘k द्वारा स्केल किया गया है। इसे न्यूटन का शीतलन का नियम कहा जाता है।

    अनुप्रयोग और वास्तविक जीवन की प्रासंगिकता

    ये उदाहरण दिखाते हैं कि कैसे डिफरेंशियल समीकरण प्राकृतिक घटनाओं और प्रक्रियाओं को मॉडल करते हैं:

    • जनसंख्या वृद्धि: पारिस्थितिकीविदों और सरकारों द्वारा जनसंख्या में परिवर्तनों की भविष्यवाणी करने, संसाधनों की योजना बनाने और पारिस्थितिकी गतिशीलता को समझने के लिए इस्तेमाल किया जाता है।
    • रेडियोधर्मी क्षय: परमाणु भौतिकी, चिकित्सा (जैसे कि रेडियोलॉजी में), और पुरातत्व (कार्बन डेटिंग के लिए) में महत्वपूर्ण है।
    • किसी वस्तु का ठंडा होना: इंजीनियरिंग में शीतलन प्रणालियों को डिजाइन करने, फोरेंसिक विज्ञान में मृत्यु के समय का अनुमान लगाने, और खाद्य विज्ञान में खाद्य सुरक्षा सुनिश्चित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

    डिफरेंशियल समीकरण हमें प्राकृतिक और मानव निर्मित घटनाओं को समझने और भविष्यवाणी करने में मदद करते हैं, जिससे वे विज्ञान, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, और उससे आगे में अमूल्य हो जाते हैं।

  3. 3.अभ्यास प्रश्न

    पहला समीकरण:

    𝑑4𝑦𝑑𝑥4+sin⁡(𝑦)=0dx4d4y​+sin(y)=0
    • प्रकार: यह एक गैर-रैखिक चौथे क्रम का साधारण डिफरेंशियल समीकरण है क्योंकि 𝑦y के साथ साइन टर्म शामिल है।
    • भौतिक संदर्भ: यह समीकरण जटिल मैकेनिकल सिस्टम्स को मॉडल कर सकता है जहां 𝑦y का विस्थापन अन्य कारकों पर गैर-रैखिक रूप से निर्भर करता है, जैसे कि गैर-रैखिक स्प्रिंग्स या तनाव में उन्नत सामग्री।

    दूसरा समीकरण:

    𝑦′′+5𝑦=0y′′+5y=0
    • प्रकार: यह एक रैखिक दूसरे क्रम का साधारण डिफरेंशियल समीकरण है जिसमें स्थिर गुणांक शामिल हैं।
    • भौतिक संदर्भ: यह सामान्यतः हार्मोनिक मोशन सिस्टम्स को मॉडल करता है, जैसे कि एक स्प्रिंग पर मास या इलेक्ट्रॉनिक्स में एक LC सर्किट, जहां 𝑦y विस्थापन या इलेक्ट्रिक चार्ज को दर्शा सकता है।

    तीसरा समीकरण:

    𝑑4𝑠𝑑𝑡4+3𝑑3𝑠𝑑𝑡3=0dt4d4s​+3dt3d3s​=0
    • प्रकार: यह एक रैखिक चौथे क्रम का साधारण डिफरेंशियल समीकरण है जिसमें स्थिर गुणांक शामिल हैं।
    • भौतिक संदर्भ: यह समीकरण बहु-डिग्री स्वतंत्रता वाले सिस्टम्स को वर्णन कर सकता है, जैसे कि डैम्पिंग के साथ संरचनाओं में मैकेनिकल वाइब्रेशन, जहां 𝑠s विस्थापन को दर्शा सकता है।

    समाधान विधियां

    पहले समीकरण के लिए:

    गैर-रैखिक शब्द sin⁡(𝑦)sin(y) के कारण इस समीकरण को विश्लेषणात्मक रूप से हल करना चुनौतीपूर्ण हो सकता है। आमतौर पर संख्यात्मक विधियां या विशेष तकनीकें जैसे कि श्रृंखला समाधान या पर्तिबंध विधियों का उपयोग किया जाता है।

    दूसरे समीकरण के लिए:

    विशेषता समीकरण का उपयोग करके सामान्य समाधान प्राप्त किया जा सकता है:

    𝑟2+5=0 ⟹ 𝑟=±𝑖5r2+5=0⟹r=±i5​

    इस प्रकार, समाधान है:

    𝑦=𝑐1cos⁡(5𝑥)+𝑐2sin⁡(5𝑥)y=c1​cos(5​x)+c2​sin(5​x)

    जहां 𝑐1c1​ और 𝑐2c2​ आरंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित स्थिरांक हैं।

    तीसरे समीकरण के लिए:

    विशेषता समीकरण है:

    𝑟4+3𝑟3=0 ⟹ 𝑟(𝑟3+3𝑟2)=0 ⟹ 𝑟=0,−3r4+3r3=0⟹r(r3+3r2)=0⟹r=0,−3

    इसलिए, सामान्य समाधान है:

    𝑠=𝑐1+𝑐2𝑡+𝑐3𝑡2+𝑐4𝑒−3𝑡s=c1​+c2​t+c3​t2+c4​e−3t

    जहां 𝑐1,𝑐2,𝑐3,c1​,c2​,c3​, और 𝑐4c4​ स्थिरांक हैं।

  4. 4.विभेदक समीकरण के सामान्य और विशेष समाधान

    जब डिफरेंशियल समीकरणों को हल करते हैं, तो सामान्य और विशेष समाधानों की अवधारणाओं को समझना महत्वपूर्ण है:

    सामान्य समाधान:

    डिफरेंशियल समीकरण का एक सामान्य समाधान समीकरण के सभी संभव समाधानों को शामिल करता है। इसमें आमतौर पर एक या अधिक मनमाने स्थिरांक (C1, C2, आदि) शामिल होते हैं, जो समाधानों के परिवार का प्रतिनिधित्व करते हैं। सामान्य समाधान में मनमाने स्थिरांकों की संख्या डिफरेंशियल समीकरण के क्रम के बराबर होती है।

    विशेष समाधान:

    एक विशेष समाधान एक विशिष्ट उदाहरण होता है जो सामान्य समाधान से प्राप्त होता है, जिसमें मनमाने स्थिरांकों को विशिष्ट मूल्यों पर सेट किया जाता है। ये मूल्य आमतौर पर समस्या में दी गई आरंभिक स्थितियों या विशेष सीमा स्थितियों से निर्धारित किए जाते हैं।

    उदाहरण और समाधान

    आइए हम तीन उदाहरण समस्याओं के माध्यम से काम करें ताकि सामान्य और विशेष समाधानों को बेहतर ढंग से समझा जा सके:

    उदाहरण 1: प्रथम-आदेश रैखिक डिफरेंशियल समीकरण

    समीकरण: 𝑑𝑦𝑑𝑥+𝑦=𝑥dxdy​+y=x

    सामान्य समाधान: सबसे पहले, हम समेकन कारक खोजते हैं: 𝜇(𝑥)=𝑒∫1 𝑑𝑥=𝑒𝑥μ(x)=e∫1dx=ex समेकन कारक से गुणा करें: 𝑒𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥+𝑒𝑥𝑦=𝑒𝑥𝑥exdxdy​+exy=exx दोनों पक्षों का समेकन करें: ∫𝑑(𝑒𝑥𝑦)=∫𝑒𝑥𝑥 𝑑𝑥∫d(exy)=∫exxdx 𝑒𝑥𝑦=𝑒𝑥𝑥−𝑒𝑥+𝐶exy=exx−ex+C 𝑦=𝑥−1+𝐶𝑒−𝑥y=x−1+Ce−x यह सामान्य समाधान है।

    विशेष समाधान: मान लीजिए कि हमें आरंभिक स्थिति दी गई है 𝑦(0)=2y(0)=2: 2=0−1+𝐶𝑒−02=0−1+Ce−0 𝐶=3C=3 इसलिए, विशेष समाधान है: 𝑦=𝑥−1+3𝑒−𝑥y=x−1+3e−x

    उदाहरण 2: दूसरे-आदेश सजातीय डिफरेंशियल समीकरण

    समीकरण: 𝑦′′−3𝑦′+2𝑦=0y′′−3y′+2y=0

    सामान्य समाधान: विशेषता समीकरण खोजें: 𝑟2−3𝑟+2=0r2−3r+2=0 इसे गुणनखंड करें: (𝑟−1)(𝑟−2)=0(r−1)(r−2)=0 𝑟=1,2r=1,2 सामान्य समाधान है: 𝑦=𝐶1𝑒𝑥+𝐶2𝑒2𝑥y=C1​ex+C2​e2x

    विशेष समाधान: दिया गया है 𝑦(0)=1y(0)=1 और 𝑦′(0)=0y′(0)=0: 1=𝐶1+𝐶21=C1​+C2​ 𝐶1+2𝐶2=0C1​+2C2​=0 इन समीकरणों को हल करें: 𝐶1=2,𝐶2=−1C1​=2,C2​=−1 इसलिए, विशेष समाधान है: 𝑦=2𝑒𝑥−𝑒2𝑥y=2ex−e2x

    उदाहरण 3: गैर-सजातीय रैखिक डिफरेंशियल समीकरण

    समीकरण: 𝑦′′+𝑦=cos⁡(𝑥)y′′+y=cos(x)

    सामान्य समाधान: सजातीय भाग 𝑦ℎyh​ का हल निकाला जाता है: 𝑦ℎ=𝐶1cos⁡(𝑥)+𝐶2sin⁡(𝑥)yh​=C1​cos(x)+C2​sin(x) एक विशेष समाधान 𝑦𝑝yp​ अनुमान लगाया जा सकता है: 𝑦𝑝=𝐴sin⁡(𝑥)yp​=Asin(x) −𝐴sin⁡(𝑥)+𝐴sin⁡(𝑥)=0−Asin(x)+Asin(x)=0 गैर-सजातीय के लिए समायोजित करें: 𝐴cos⁡(𝑥)Acos(x): 𝑦𝑝=𝐴cos⁡(𝑥)yp​=Acos(x) −𝐴cos⁡(𝑥)+𝐴cos⁡(𝑥)=cos⁡(𝑥)−Acos(x)+Acos(x)=cos(x) 𝐴=1A=1 सामान्य समाधान है: 𝑦=𝐶1cos⁡(𝑥)+𝐶2sin⁡(𝑥)+cos⁡(𝑥)y=C1​cos(x)+C2​sin(x)+cos(x)

    विशेष समाधान: आरंभिक स्थिति के साथ 𝑦(0)=0y(0)=0 और 𝑦′(0)=1y′(0)=1: 0=𝐶1+10=C1​+1 𝐶1=−1C1​=−1 और 𝑦′(0)=1y′(0)=1 के लिए: −𝐶2+1=1−C2​+1=1 𝐶2=0C2​=0 इसलिए, विशेष समाधान है: 𝑦=−cos⁡(𝑥)+cos⁡(𝑥)y=−cos(x)+cos(x)

    ये उदाहरण यह दिखाते हैं कि कैसे डिफरेंशियल समीकरण गतिशील प्रणालियों को मॉडल कर सकते हैं, जो आरंभिक या सीमा स्थितियों द्वारा निर्धारित विशिष्ट परिदृश्यों के साथ-साथ सामान्य व्यवहारों की अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं।

  5. 5.प्रथम कोटि, प्रथम डिग्री डिफरेंशियल समीकरणों को हल करने की विधियाँ

    प्रथम कोटि, प्रथम डिग्री डिफरेंशियल समीकरणों को हल करने की विधियाँ

    प्रथम कोटि, प्रथम डिग्री डिफरेंशियल समीकरणों का रूप होता है: 𝑑𝑦𝑑𝑥+𝑃(𝑥)𝑦=𝑄(𝑥)dxdy​+P(x)y=Q(x) जहाँ 𝑃(𝑥)P(x) और 𝑄(𝑥)Q(x) 𝑥x के फ़ंक्शन होते हैं। इन समीकरणों को हल करने में अक्सर कई विधियाँ शामिल होती हैं, जो विभिन्न प्रकार के डिफरेंशियल समीकरणों के लिए उपयुक्त होती हैं।

    1. पृथक्य समीकरण:

    ये ऐसे समीकरण हैं जहाँ चरों को विभिन्न पक्षों पर 𝑥x और 𝑦y के स्वतंत्र फ़ंक्शनों में पृथक किया जा सकता है। इन्हें दोनों पक्षों का समाकलन करके हल किया जाता है।

    2. सटीक समीकरण:

    यदि कोई समीकरण 𝑑(𝑢(𝑥,𝑦))=0d(u(x,y))=0 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है तो इसे सटीक समीकरण कहा जाता है। सटीक समीकरणों को हल करने में आमतौर पर ऐसा फ़ंक्शन 𝑢(𝑥,𝑦)u(x,y) खोजना शामिल होता है जिसका कुल व्युत्पन्न दिए गए डिफरेंशियल समीकरण के बराबर हो।

    3. एकीकरण कारक:

    इस विधि में पूरे डिफरेंशियल समीकरण को एक एकीकरण कारक से गुणा किया जाता है जो 𝜇(𝑥)μ(x) फ़ंक्शन के रूप में होता है, जिसे इस प्रकार निकाला जाता है कि परिणामी समीकरण सटीक हो जाता है।

    4. सामान्यीकृत समीकरण:

    यदि प्रथम कोटि का समीकरण 𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑓(𝑦𝑥)dxdy​=f(xy​) के रूप में लिखा जा सकता है तो इसे सामान्यीकृत समीकरण कहा जाता है। इन्हें 𝑣=𝑦𝑥v=xy​ को प्रतिस्थापित करके हल किया जाता है, जो डिफरेंशियल समीकरण को पृथक्य रूप में परिवर्तित कर देता है।

    5. रैखिक समीकरण:

    रैखिक डिफरेंशियल समीकरणों को सीधे एक एकीकरण कारक 𝜇(𝑥)μ(x) खोजकर हल किया जा सकता है, जैसा कि ऊपर उल्लेखित है।

    उदाहरण समस्याएँ और समाधान

    उदाहरण 1: पृथक्य समीकरण

    समीकरण: 𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑦2𝑥dxdy​=xy2​

    समाधान: चरों को पृथक करें: 𝑑𝑦𝑦2=𝑑𝑥𝑥y2dy​=xdx​ दोनों पक्षों का समाकलन करें: −1𝑦=ln⁡∣𝑥∣+𝐶−y1​=ln∣x∣+C 𝑦=−1ln⁡∣𝑥∣+𝐶y=−ln∣x∣+C1​

    उदाहरण 2: सटीक समीकरण

    समीकरण: (2𝑥𝑦+𝑦2)𝑑𝑥+(𝑥2+2𝑥𝑦)𝑑𝑦=0(2xy+y2)dx+(x2+2xy)dy=0

    समाधान: जांचें कि यह सटीक है या नहीं। यदि नहीं, तो एक एकीकरण कारक खोजें या इसे सटीक बनाने के लिए मैनिपुलेट करें। यहाँ, यह पहले से सटीक है, और समाधान में ऐसा संभाव्य फ़ंक्शन 𝑢(𝑥,𝑦)u(x,y) खोजना शामिल है जिसका 𝑢𝑥=2𝑥𝑦+𝑦2,𝑢𝑦=𝑥2+2𝑥𝑦ux​=2xy+y2,uy​=x2+2xy 𝑥x के संबंध में 𝑢𝑥ux​ का समाकलन करें और 𝑦y के फ़ंक्शन के लिए समायोजित करें: 𝑢(𝑥,𝑦)=𝑥2𝑦+𝑦2𝑥+𝑔(𝑦)u(x,y)=x2y+y2x+g(y) 𝑦y के संबंध में भिन्न करना और 𝑢𝑦uy​ के बराबर सेट करना देता है: 𝑔′(𝑦)=0g′(y)=0 तो समाधान है: 𝑢(𝑥,𝑦)=𝑥2𝑦+𝑦2𝑥=𝐶u(x,y)=x2y+y2x=C

    उदाहरण 3: एकीकरण कारक

    समीकरण: 𝑑𝑦𝑑𝑥+2𝑥𝑦=𝑥2dxdy​+x2​y=x2

    समाधान: एकीकरण कारक खोजें: 𝜇(𝑥)=𝑒∫2𝑥 𝑑𝑥=𝑥2μ(x)=e∫x2​dx=x2 समीकरण से गुणा करें: 𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑥+2𝑥𝑦=𝑥4x2dxdy​+2xy=x4 समाकलन करें: ∫𝑑(𝑥2𝑦)=∫𝑥4 𝑑𝑥∫d(x2y)=∫x4dx 𝑥2𝑦=𝑥55+𝐶x2y=5x5​+C 𝑦=𝑥35+𝐶𝑥2y=5x3​+x2C​

    उदाहरण 4: सामान्यीकृत समीकरण

    समीकरण: 𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑥+𝑦𝑥dxdy​=xx+y​

    समाधान: 𝑣=𝑦𝑥v=xy​ के रूप में प्रतिस्थापन करें ताकि 𝑦=𝑣𝑥y=vx और 𝑑𝑦=𝑣𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑣dy=vdx+xdv: 𝑣𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑣𝑑𝑥=1+𝑣dxvdx+xdv​=1+v 𝑣+𝑥𝑑𝑣𝑑𝑥=1+𝑣v+xdxdv​=1+v 𝑥𝑑𝑣𝑑𝑥=1xdxdv​=1 पृथक करें और समाकलन करें: 𝑑𝑣1=𝑑𝑥𝑥1dv​=xdx​ 𝑣=ln⁡∣𝑥∣+𝐶v=ln∣x∣+C 𝑦=𝑥(ln⁡∣𝑥∣+𝐶)y=x(ln∣x∣+C)

    ये उदाहरण प्रथम कोटि, प्रथम डिग्री डिफरेंशियल समीकरणों को हल करने की विभिन्न विधियों को दर्शाते हैं, जो समीकरण के रूप के आधार पर आवश्यक तकनीकों की बहुमुखी प्रतिभा और जटिलता को उजागर करते हैं।

  6. 6.अभ्यास प्रश्न

    समस्या 1:

    दी गई: 𝑑𝑦𝑑𝑥−3𝑦cot⁡𝑥=sin⁡2𝑥;𝑦=2 जब 𝑥=𝜋2dxdy​−3ycotx=sin2x;y=2 जब x=2π​

    समाधान: यह एक रैखिक प्रथम-कोटि डिफरेंशियल समीकरण है। हम इसे एक एकीकरण कारक का उपयोग करके हल कर सकते हैं।

    चरण 1: एकीकरण कारक 𝜇(𝑥)μ(x) खोजें। 𝜇(𝑥)=𝑒∫−3cot⁡𝑥 𝑑𝑥=𝑒−3log⁡∣sin⁡𝑥∣=(sin⁡𝑥)−3μ(x)=e∫−3cotxdx=e−3log∣sinx∣=(sinx)−3

    चरण 2: पूरे डिफरेंशियल समीकरण को 𝜇(𝑥)μ(x) से गुणा करें ताकि यह सटीक बन जाए। (sin⁡𝑥)−3𝑑𝑦𝑑𝑥−3𝑦(sin⁡𝑥)−4cos⁡𝑥=(sin⁡𝑥)−3sin⁡2𝑥(sinx)−3dxdy​−3y(sinx)−4cosx=(sinx)−3sin2x

    चरण 3: समीकरण का समाकलन करें। 𝑑𝑑𝑥[𝑦(sin⁡𝑥)−3]=(sin⁡𝑥)−3sin⁡2𝑥dxd​[y(sinx)−3]=(sinx)−3sin2x

    चरण 4: 𝐶C के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें। दी गई 𝑦=2y=2 जब 𝑥=𝜋2x=2π​: 𝐶=2C=2

    समस्या 2:

    दी गई: एक वक्र का समीकरण ढूंढें जो मूल बिंदु से गुजरता है जिसमें किसी भी बिंदु (𝑥,𝑦)(x,y) पर वक्र के स्पर्शरेखा की ढलान उस बिंदु के निर्देशांकों के योग के बराबर होती है।

    समाधान: 𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑥+𝑦dxdy​=x+y

    चरण 1: एकीकरण कारक का उपयोग करके डिफरेंशियल समीकरण को हल करें। 𝜇(𝑥)=𝑒∫1 𝑑𝑥=𝑒𝑥μ(x)=e∫1dx=ex 𝑒𝑥𝑦=∫𝑒𝑥𝑥 𝑑𝑥+𝐶exy=∫exxdx+C

    चरण 2: प्रारंभिक शर्त (0,0)(0,0) का उपयोग करें। 𝐶=1C=1

    समस्या 3:

    दी गई: "उस वक्र का समीकरण ढूंढें जो बिंदु (0,2)(0,2) से गुजरता है जिसमें किसी भी बिंदु पर निर्देशांकों का योग उस बिंदु पर वक्र के स्पर्शरेखा की ढलान की परिमाण से 5 से अधिक होता है।"

    समाधान: 𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑥+𝑦−5dxdy​=x+y−5

    चरण 1: एकीकरण कारक का उपयोग करके समीकरण को हल करें। 𝜇(𝑥)=𝑒∫1 𝑑𝑥=𝑒𝑥μ(x)=e∫1dx=ex 𝑒𝑥𝑦=∫(𝑒𝑥𝑥−5𝑒𝑥) 𝑑𝑥+𝐶exy=∫(exx−5ex)dx+C

    चरण 2: प्रारंभिक शर्त (0,2)(0,2) का उपयोग करें। 𝐶=7C=7

    ये समाधान दिखाते हैं कि कैसे प्रत्येक डिफरेंशियल समीकरण को आधारित शर्तों के आधार पर हल किया जाता है। प्रत्येक समस्या को एकीकरण कारकों का उपयोग करते हुए संभाला गया था, जो प्रथम-कोटि रैखिक डिफरेंशियल समीकरणों के लिए एक सामान्य तकनीक है।

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