बायनोमिअल प्रमेय — कक्षा 11 गणित नोट्स

बायनोमिअल प्रमेय में शामिल टॉपिक

1. 1.बाइनोमियल प्रमेय का परिचय

   बाइनोमियल प्रमेय क्या है?
   

   बाइनोमियल प्रमेय एक विधि प्रदान करता है जिससे आप किसी व्यंजक को विस्तृत कर सकते हैं जो किसी घात में उठा हुआ हो। यह बीजगणित में एक बहुत महत्वपूर्ण अवधारणा है और इसके उपयोग विभिन्न क्षेत्रों जैसे सांख्यिकी, प्रायिकता और यहां तक कि रोजमर्रा की गणनाओं में भी होते हैं।

   बुनियादी विचार

   यदि आपके पास (𝑎+𝑏)𝑛(a+b)n जैसा व्यंजक है, तो बाइनोमियल प्रमेय आपको इसे विस्तृत करने का तरीका बताता है बिना इस व्यंजक को 𝑛n बार स्वयं से गुणा किए।

   बाइनोमियल प्रमेय सूत्र

   बाइनोमियल प्रमेय कहता है:

   (𝑎+𝑏)𝑛=∑𝑘=0𝑛(𝑛𝑘)𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘(a+b)n=k=0∑n​(kn​)an−kbk

   यहां, (𝑛𝑘)(kn​) (इसे "n choose k" पढ़ते हैं) बाइनोमियल गुणांक को दर्शाता है, जिसे निम्न प्रकार से गणना करते हैं:

   (𝑛𝑘)=𝑛!𝑘!(𝑛−𝑘)!(kn​)=k!(n−k)!n!​

   चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण

   1. व्यंजक को समझें: चलिए (𝑎+𝑏)3(a+b)3 पर विचार करते हैं। प्रमेय के अनुसार, हम इस व्यंजक को बिना (𝑎+𝑏)(a+b) को तीन बार गुणा किए विस्तृत कर सकते हैं।

   2. घात 𝑛n की पहचान करें: इस मामले में, 𝑛=3n=3 है।

   3. सूत्र लागू करें: बाइनोमियल प्रमेय के सूत्र का उपयोग करके व्यंजक को विस्तृत करें।

   उदाहरण: (𝑎+𝑏)3(a+b)3 को विस्तृत करना

   1. सामान्य सूत्र लिखें: (𝑎+𝑏)𝑛=∑𝑘=0𝑛(𝑛𝑘)𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘(a+b)n=∑k=0n​(kn​)an−kbk

   2. 𝑛=3n=3 प्रतिस्थापित करें: (𝑎+𝑏)3=∑𝑘=03(3𝑘)𝑎3−𝑘𝑏𝑘(a+b)3=∑k=03​(k3​)a3−kbk

   3. प्रत्येक पद की गणना करें:

      • 𝑘=0k=0 के लिए: (30)𝑎3𝑏0=1⋅𝑎3=𝑎3(03​)a3b0=1⋅a3=a3
      • 𝑘=1k=1 के लिए: (31)𝑎2𝑏1=3⋅𝑎2𝑏=3𝑎2𝑏(13​)a2b1=3⋅a2b=3a2b
      • 𝑘=2k=2 के लिए: (32)𝑎1𝑏2=3⋅𝑎𝑏2=3𝑎𝑏2(23​)a1b2=3⋅ab2=3ab2
      • 𝑘=3k=3 के लिए: (33)𝑎0𝑏3=1⋅𝑏3=𝑏3(33​)a0b3=1⋅b3=b3

   4. सभी पदों को मिलाएं:

      (𝑎+𝑏)3=𝑎3+3𝑎2𝑏+3𝑎𝑏2+𝑏3(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

   वास्तविक जीवन उदाहरण

   मान लें कि आप सिक्का उछालने के 3 बार परिणामों की संभावनाओं की गणना करना चाहते हैं। आप बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके विभिन्न सिर (H) और पूंछ (T) संयोजनों की संभावनाओं को पा सकते हैं। प्रत्येक उछाल में दो परिणाम होते हैं (H या T), इसलिए आप इस समस्या को (𝐻+𝑇)3(H+T)3 के रूप में प्रदर्शित कर सकते हैं और इसे बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके विस्तृत कर सकते हैं।

   बेहतर समझ के लिए गतिविधियां

   1. विस्तृत करने का अभ्यास करें: बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके (𝑥+𝑦)4(x+y)4 और (2+3)5(2+3)5 को विस्तृत करें।
   2. बाइनोमियल गुणांक: विभिन्न 𝑛n और 𝑘k मूल्यों के लिए बाइनोमियल गुणांक की गणना करें (𝑛𝑘)=𝑛!𝑘!(𝑛−𝑘)!(kn​)=k!(n−k)!n!​ का उपयोग करके।
   3. पास्कल का त्रिभुज: पास्कल का त्रिभुज बनाएं और विस्तृत करने के लिए बाइनोमियल गुणांक खोजने के लिए इसका उपयोग करें।

   करियर और वास्तविक जीवन में उपयोग

   • सांख्यिकी और प्रायिकता: बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग संभावनाओं की गणना और बाइनोमियल वितरण में किया जाता है।
   • इंजीनियरिंग: इंजीनियर विभिन्न गणनाओं में बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हैं, खासकर बहुपदों से निपटने में।
   • वित्त: वित्तीय विश्लेषक विभिन्न वित्तीय परिणामों की मॉडलिंग और भविष्यवाणी के लिए इसका उपयोग करते हैं।
   • कंप्यूटर विज्ञान: संयोजक गणनाओं से जुड़े एल्गोरिदम अक्सर बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हैं।

2. 2.सकारात्मक पूर्णांक के लिए बाइनोमियल प्रमेय

   यह क्या है?

   सकारात्मक पूर्णांकों के लिए बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग (𝑎+𝑏)𝑛(a+b)n जैसे व्यंजकों को विस्तृत करने के लिए किया जाता है, जहाँ 𝑛n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है। यह प्रमेय बीजगणित में महत्वपूर्ण है और इसके उपयोग विभिन्न क्षेत्रों जैसे सांख्यिकी, प्रायिकता, और कंप्यूटर विज्ञान में होते हैं।

   बाइनोमियल प्रमेय सूत्र

   किसी भी सकारात्मक पूर्णांक 𝑛n के लिए:

   (𝑎+𝑏)𝑛=∑𝑘=0𝑛(𝑛𝑘)𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘(a+b)n=k=0∑n​(kn​)an−kbk

   जहां:

   • (𝑛𝑘)(kn​) बाइनोमियल गुणांक को दर्शाता है, जिसे निम्न प्रकार से गणना करते हैं:

   (𝑛𝑘)=𝑛!𝑘!(𝑛−𝑘)!(kn​)=k!(n−k)!n!​

   • 𝑎a और 𝑏b कोई भी संख्याएं हो सकती हैं (वे चर, स्थिरांक, या अधिक जटिल व्यंजक हो सकते हैं)।
   • योग 𝑘=0k=0 से 𝑘=𝑛k=n तक चलता है।

   घटकों को समझें

   1. बाइनोमियल गुणांक: (𝑛𝑘)(kn​) 𝑛n तत्वों में से 𝑘k तत्व चुनने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है और इसे निम्न सूत्र से गणना किया जाता है:

   (𝑛𝑘)=𝑛!𝑘!(𝑛−𝑘)!(kn​)=k!(n−k)!n!​

   1. विस्तार के पद: विस्तार में प्रत्येक पद का रूप (𝑛𝑘)𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘(kn​)an−kbk होता है।

   चरण-दर-चरण उदाहरण: (𝑎+𝑏)4(a+b)4 का विस्तार

   1. सामान्य सूत्र लिखें:

      (𝑎+𝑏)𝑛=∑𝑘=0𝑛(𝑛𝑘)𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘(a+b)n=k=0∑n​(kn​)an−kbk

   2. 𝑛=4n=4 प्रतिस्थापित करें:

      (𝑎+𝑏)4=∑𝑘=04(4𝑘)𝑎4−𝑘𝑏𝑘(a+b)4=k=0∑4​(k4​)a4−kbk

   3. प्रत्येक पद की गणना करें:

      • 𝑘=0k=0 के लिए: (40)𝑎4𝑏0=1⋅𝑎4=𝑎4(04​)a4b0=1⋅a4=a4
      • 𝑘=1k=1 के लिए: (41)𝑎3𝑏1=4⋅𝑎3𝑏=4𝑎3𝑏(14​)a3b1=4⋅a3b=4a3b
      • 𝑘=2k=2 के लिए: (42)𝑎2𝑏2=6⋅𝑎2𝑏2=6𝑎2𝑏2(24​)a2b2=6⋅a2b2=6a2b2
      • 𝑘=3k=3 के लिए: (43)𝑎1𝑏3=4⋅𝑎𝑏3=4𝑎𝑏3(34​)a1b3=4⋅ab3=4ab3
      • 𝑘=4k=4 के लिए: (44)𝑎0𝑏4=1⋅𝑏4=𝑏4(44​)a0b4=1⋅b4=b4

   4. सभी पदों को मिलाएं:

      (𝑎+𝑏)4=𝑎4+4𝑎3𝑏+6𝑎2𝑏2+4𝑎𝑏3+𝑏4(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

   वास्तविक जीवन में उपयोग: प्रायिकता

   मान लें कि आप सिक्का उछालने के 4 बार परिणामों की संभावनाओं की गणना करना चाहते हैं। बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके, आप विभिन्न संयोजनों में सिर और पूंछ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या का पता लगा सकते हैं।

   उदाहरण के लिए, (𝐻+𝑇)4(H+T)4 के विस्तार से हमें मिलता है:

   (𝐻+𝑇)4=𝐻4+4𝐻3𝑇+6𝐻2𝑇2+4𝐻𝑇3+𝑇4(H+T)4=H4+4H3T+6H2T2+4HT3+T4

   यह विस्तार सिक्का 4 बार उछालने पर सिर और पूंछ के विभिन्न संयोजनों को दर्शाता है।

   अभ्यास समस्याएँ

   1. (𝑥+𝑦)5(x+y)5 का विस्तार करें बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके।
   2. 𝑥3𝑦2x3y2 के गुणांक को खोजें (𝑥+𝑦)5(x+y)5 के विस्तार में।

   करियर और वास्तविक जीवन में उपयोग

   • सांख्यिकी और प्रायिकता: संभावनाओं की गणना और सांख्यिकीय मॉडलों में उपयोग किया जाता है।
   • इंजीनियरिंग: बहुपद अनुमानों और विभिन्न इंजीनियरिंग गणनाओं में उपयोग किया जाता है।
   • वित्त: वित्तीय परिदृश्यों की मॉडलिंग और परिणामों की भविष्यवाणी में मदद करता है।
   • कंप्यूटर विज्ञान: संयोजक गणनाओं से जुड़े एल्गोरिदम अक्सर बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हैं।

3. 3.पास्कल का त्रिभुज

   पास्कल का त्रिभुज क्या है?

   पास्कल का त्रिभुज संख्याओं का एक त्रिकोणीय सरणी है, जहां प्रत्येक संख्या उसके ऊपर की दो संख्याओं का योग है। इसका उपयोग बीजगणित, संयोजकता, और प्रायिकता सिद्धांत में किया जाता है।

   पास्कल का त्रिभुज का निर्माण

   1. सबसे ऊपर 1 से शुरू करें (पंक्ति 0)।
   2. प्रत्येक पंक्ति 1 से शुरू और समाप्त होती है।
   3. हर दूसरी संख्या उसके ऊपर की पंक्ति की दो संख्याओं का योग होती है।

   यहां पास्कल के त्रिभुज की शुरुआत है:

   पास्कल के त्रिभुज को समझना

   1. पंक्ति संख्या: पहली पंक्ति (केवल 1 के साथ) को पंक्ति 0 माना जाता है।
   2. बाइनोमियल गुणांक: प्रत्येक पंक्ति में संख्याएं बाइनोमियल गुणांक (𝑛𝑘)(kn​) को दर्शाती हैं जो (𝑎+𝑏)𝑛(a+b)n के बाइनोमियल विस्तार में प्रकट होती हैं।

   पास्कल के त्रिभुज की विशेषताएं

   1. समरूपता: प्रत्येक पंक्ति समरूप होती है।
   2. बाइनोमियल गुणांक: 𝑛n-वें पंक्ति में 𝑘k-वां तत्व (𝑛𝑘)(kn​) का प्रतिनिधित्व करता है।
   3. तत्वों का योग: 𝑛n-वें पंक्ति में तत्वों का योग 2𝑛2n होता है।
   4. फिबोनैचि श्रंखला: उथली विकर्णों का योग फिबोनैचि श्रंखला देता है।

   बाइनोमियल विस्तार के लिए पास्कल का त्रिभुज का उपयोग कैसे करें

   (𝑎+𝑏)𝑛(a+b)n का विस्तार करने के लिए पास्कल का त्रिभुज का उपयोग करें, त्रिभुज की 𝑛n-वें पंक्ति का उपयोग करें:

   (𝑎+𝑏)𝑛=∑𝑘=0𝑛(𝑛𝑘)𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘(a+b)n=k=0∑n​(kn​)an−kbk

   उदाहरण के लिए, (𝑎+𝑏)4(a+b)4 का विस्तार करने के लिए:

   1. पास्कल के त्रिभुज की 4वीं पंक्ति देखें: 1,4,6,4,11,4,6,4,1।
   2. ये विस्तार में प्रत्येक पद के गुणांक हैं।
   3. विस्तार लिखें:(𝑎+𝑏)4=1𝑎4+4𝑎3𝑏+6𝑎2𝑏2+4𝑎𝑏3+1𝑏4(a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4

   वास्तविक जीवन उदाहरण

   कल्पना करें कि आप एक छोटे कार्यक्रम का आयोजन कर रहे हैं और आपके पास चार प्रकार के कार्य (a, b, c, d) हैं जिन्हें करना है। पास्कल के त्रिभुज का उपयोग करके, आप यह पता लगा सकते हैं कि इन कार्यों को कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है यदि प्रत्येक व्यक्ति को कम से कम एक कार्य करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, चार कार्यों को वितरित करने के संयोजन पास्कल के त्रिभुज की 4वीं पंक्ति के बाइनोमियल गुणांकों का उपयोग करके प्रदर्शित किए जा सकते हैं।

   गतिविधियाँ

   1. पास्कल का त्रिभुज बनाएं: पास्कल के त्रिभुज की पहले 6 पंक्तियां लिखें।
   2. बाइनोमियल गुणांक खोजें: पास्कल के त्रिभुज का उपयोग करके (52)(25​) और (63)(36​) खोजें।
   3. पास्कल के त्रिभुज का उपयोग करके विस्तार करें: पास्कल के त्रिभुज की 5वीं पंक्ति का उपयोग करके (𝑥+𝑦)5(x+y)5 का विस्तार करें।

   करियर और वास्तविक जीवन में उपयोग

   • संयोजकता: संयोजक समस्याओं और गिनने की विधियों में पास्कल का त्रिभुज आवश्यक है।
   • प्रायिकता: बाइनोमियल वितरण में संभावनाओं की गणना में मदद करता है।
   • बीजगणित: बाइनोमियल का विस्तार करने और बहुपद समीकरणों को हल करने में उपयोगी।
   • कंप्यूटर विज्ञान: संयोजन और क्रमचय से जुड़े एल्गोरिदम अक्सर पास्कल के त्रिभुज के सिद्धांतों का उपयोग करते हैं।

4. 4.किसी भी सकारात्मक पूर्णांक 𝑛 n के लिए बाइनोमियल प्रमेय

   यह क्या है?

   किसी भी सकारात्मक पूर्णांक 𝑛n के लिए बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग (𝑎+𝑏)𝑛(a+b)n जैसे व्यंजकों को विस्तृत करने के लिए किया जाता है। यह प्रमेय बीजगणित में एक मौलिक अवधारणा है और इसके उपयोग विभिन्न क्षेत्रों जैसे संयोजकता, प्रायिकता, और कलन में होते हैं।

   बाइनोमियल प्रमेय सूत्र

   किसी भी सकारात्मक पूर्णांक 𝑛n के लिए:

   (𝑎+𝑏)𝑛=∑𝑘=0𝑛(𝑛𝑘)𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘(a+b)n=k=0∑n​(kn​)an−kbk

   जहां:

   • (𝑛𝑘)(kn​) (इसे "n choose k" पढ़ते हैं) बाइनोमियल गुणांक को दर्शाता है, जिसे निम्न प्रकार से गणना करते हैं:

   (𝑛𝑘)=𝑛!𝑘!(𝑛−𝑘)!(kn​)=k!(n−k)!n!​

   • 𝑎a और 𝑏b कोई भी संख्याएं हो सकती हैं (वे चर, स्थिरांक, या अधिक जटिल व्यंजक हो सकते हैं)।
   • योग 𝑘=0k=0 से 𝑘=𝑛k=n तक चलता है।

   घटकों को समझें

   1. बाइनोमियल गुणांक: (𝑛𝑘)(kn​) 𝑛n तत्वों में से 𝑘k तत्व चुनने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है और इसे निम्न सूत्र से गणना किया जाता है:

   (𝑛𝑘)=𝑛!𝑘!(𝑛−𝑘)!(kn​)=k!(n−k)!n!​

   1. विस्तार के पद: विस्तार में प्रत्येक पद का रूप (𝑛𝑘)𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘(kn​)an−kbk होता है।

   चरण-दर-चरण उदाहरण: (𝑎+𝑏)5(a+b)5 का विस्तार

   1. सामान्य सूत्र लिखें:

      (𝑎+𝑏)𝑛=∑𝑘=0𝑛(𝑛𝑘)𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘(a+b)n=k=0∑n​(kn​)an−kbk

   2. 𝑛=5n=5 प्रतिस्थापित करें:

      (𝑎+𝑏)5=∑𝑘=05(5𝑘)𝑎5−𝑘𝑏𝑘(a+b)5=k=0∑5​(k5​)a5−kbk

   3. प्रत्येक पद की गणना करें:

      • 𝑘=0k=0 के लिए: (50)𝑎5𝑏0=1⋅𝑎5=𝑎5(05​)a5b0=1⋅a5=a5
      • 𝑘=1k=1 के लिए: (51)𝑎4𝑏1=5⋅𝑎4𝑏=5𝑎4𝑏(15​)a4b1=5⋅a4b=5a4b
      • 𝑘=2k=2 के लिए: (52)𝑎3𝑏2=10⋅𝑎3𝑏2=10𝑎3𝑏2(25​)a3b2=10⋅a3b2=10a3b2
      • 𝑘=3k=3 के लिए: (53)𝑎2𝑏3=10⋅𝑎2𝑏3=10𝑎2𝑏3(35​)a2b3=10⋅a2b3=10a2b3
      • 𝑘=4k=4 के लिए: (54)𝑎1𝑏4=5⋅𝑎𝑏4=5𝑎𝑏4(45​)a1b4=5⋅ab4=5ab4
      • 𝑘=5k=5 के लिए: (55)𝑎0𝑏5=1⋅𝑏5=𝑏5(55​)a0b5=1⋅b5=b5

   4. सभी पदों को मिलाएं:

      (𝑎+𝑏)5=𝑎5+5𝑎4𝑏+10𝑎3𝑏2+10𝑎2𝑏3+5𝑎𝑏4+𝑏5(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

   वास्तविक जीवन में उपयोग: संयोजन

   बाइनोमियल प्रमेय संयोजनों से निकटता से संबंधित है, जिनका उपयोग विभिन्न वास्तविक जीवन परिदृश्यों में किया जाता है जैसे खेलों में संभावित परिणामों का निर्धारण, कार्यों का वितरण, या समितियों का गठन। उदाहरण के लिए, यदि आप यह पता लगाना चाहते हैं कि 5 लोगों के समूह से 3 सदस्यों की समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है, तो आप बाइनोमियल गुणांक (53)(35​) का उपयोग करेंगे।

   अभ्यास समस्याएँ

   1. (𝑥+𝑦)6(x+y)6 का विस्तार करें बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके।
   2. 𝑥4𝑦x4y के गुणांक को खोजें (𝑥+𝑦)5(x+y)5 के विस्तार में।
   3. बाइनोमियल गुणांक (73)(37​) की गणना करें और इसे (𝑎+𝑏)7(a+b)7 का विस्तार करने के लिए उपयोग करें।

   करियर और वास्तविक जीवन में उपयोग

   • सांख्यिकी और प्रायिकता: संभावनाओं की गणना और बाइनोमियल वितरण में उपयोग किया जाता है।
   • इंजीनियरिंग: बहुपद अनुमानों और विभिन्न इंजीनियरिंग गणनाओं में उपयोग किया जाता है।
   • वित्त: वित्तीय परिदृश्यों की मॉडलिंग और परिणामों की भविष्यवाणी में मदद करता है।
   • कंप्यूटर विज्ञान: संयोजक गणनाओं से जुड़े एल्गोरिदम अक्सर बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हैं।

5. 5.अभ्यास प्रश्न

   प्रश्न:

   बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध करें कि 6𝑛−5𝑛6n−5n को 25 से विभाजित करने पर शेषफल हमेशा 1 रहता है।

   समाधान:

   यह सिद्ध करने के लिए कि 6𝑛−5𝑛6n−5n को 25 से विभाजित करने पर शेषफल 1 रहता है, हमें यह दिखाना होगा कि 6𝑛−5𝑛≡1 (mod 25)6n−5n≡1 (mod 25)।

   हम बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके 6𝑛6n को व्यक्त करने से शुरू करते हैं। ध्यान दें कि 6≡1 (mod 5)6≡1 (mod 5), और इसलिए:

   6𝑛≡1𝑛≡1 (mod 5)6n≡1n≡1 (mod 5)

   इसका मतलब है कि 6𝑛−16n−1 5 से विभाज्य है, अर्थात् 6𝑛≡1 (mod 5)6n≡1 (mod 5)।

   अब, हम इस व्यंजक को 25 से मापांकित करेंगे। हम बाइनोमियल विस्तार का उपयोग करेंगे:

   (5+1)𝑛=∑𝑘=0𝑛(𝑛𝑘)5𝑘⋅1𝑛−𝑘(5+1)n=k=0∑n​(kn​)5k⋅1n−k

   यह विस्तार होता है:

   6𝑛=(5+1)𝑛=∑𝑘=0𝑛(𝑛𝑘)5𝑘6n=(5+1)n=k=0∑n​(kn​)5k

   पदों को अलग करके, हमें मिलता है:

   6𝑛=1𝑛+(𝑛1)5+(𝑛2)52+⋯+(𝑛𝑛)5𝑛6n=1n+(1n​)5+(2n​)52+⋯+(nn​)5n

   यह सरल हो जाता है:

   6𝑛=1+𝑛⋅5+(𝑛2)52+⋯+(𝑛𝑛)5𝑛6n=1+n⋅5+(2n​)52+⋯+(nn​)5n

   अब, 6𝑛6n को 25 से मापांकित करें:

   6𝑛=1+5𝑛+52(𝑛2)+53(𝑛3)+⋯6n=1+5n+52(2n​)+53(3n​)+⋯

   जब 25 से मापांकित किया जाता है, तो 5252 या उससे उच्च शक्ति वाले सभी पद 0 होंगे, क्योंकि 52=2552=25 और उच्च शक्तियां 25 के गुणज हैं। इसलिए, ये पद मापांक 25 में गायब हो जाते हैं:

   6𝑛≡1+5𝑛 (mod 25)6n≡1+5n (mod 25)

   इस प्रकार, हमारे पास है:

   6𝑛−5𝑛≡1+5𝑛−5𝑛 (mod 25)6n−5n≡1+5n−5n (mod 25)

   सरल करते हुए:

   6𝑛−5𝑛≡1 (mod 25)6n−5n≡1 (mod 25)

   इसलिए, 6𝑛−5𝑛6n−5n को 25 से विभाजित करने पर शेषफल हमेशा 1 रहता है।

6. 6.बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके निम्नलिखित का मूल्यांकन करें:

   1. (96)3(96)3
   2. (102)5(102)5
   3. (101)4(101)4
   4. बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके, यह बताएं कि कौन सा संख्या बड़ी है: (1.1)10000(1.1)10000 या 1000।
   5. (𝑎+𝑏)4−(𝑎−𝑏)4(a+b)4−(a−b)4 का मान निकालें। अतः (3+2)4−(3−2)4(3​+2​)4−(3​−2​)4 का मान निकालें।
   6. (𝑥+1)6+(𝑥−1)6(x+1)6+(x−1)6 का मान निकालें। अतः (2+1)6+(2−1)6(2​+1)6+(2​−1)6 का मान निकालें।
   7. सिद्ध करें कि 9𝑛+1−8𝑛−99n+1−8n−9 64 से विभाज्य है, जब भी 𝑛n एक धनात्मक पूर्णांक हो।
   8. सिद्ध करें कि ∑𝑟=0𝑛3𝑟(𝑛𝑟)=4𝑛∑r=0n​3r(rn​)=4n।

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   समाधान:

   1. बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके (96)3(96)3 का मूल्यांकन करें:

   96=100−496=100−4(96)3=(100−4)3(96)3=(100−4)3

   बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए:

   (𝑎−𝑏)3=𝑎3−3𝑎2𝑏+3𝑎𝑏2−𝑏3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3

   यहाँ, 𝑎=100a=100 और 𝑏=4b=4:

   (100−4)3=1003−3⋅1002⋅4+3⋅100⋅42−43(100−4)3=1003−3⋅1002⋅4+3⋅100⋅42−43=1000000−3⋅10000⋅4+3⋅100⋅16−64=1000000−3⋅10000⋅4+3⋅100⋅16−64=1000000−120000+4800−64=1000000−120000+4800−64=1000000−120000+4800−64=884736=1000000−120000+4800−64=884736

   इस प्रकार, (96)3=884736(96)3=884736।

   2. बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके (102)5(102)5 का मूल्यांकन करें:

   102=100+2102=100+2(102)5=(100+2)5(102)5=(100+2)5

   बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए:

   (𝑎+𝑏)5=𝑎5+5𝑎4𝑏+10𝑎3𝑏2+10𝑎2𝑏3+5𝑎𝑏4+𝑏5(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

   यहाँ, 𝑎=100a=100 और 𝑏=2b=2:

   (100+2)5=1005+5⋅1004⋅2+10⋅1003⋅22+10⋅1002⋅23+5⋅100⋅24+25(100+2)5=1005+5⋅1004⋅2+10⋅1003⋅22+10⋅1002⋅23+5⋅100⋅24+25=10000000000+5⋅100000000⋅2+10⋅1000000⋅4+10⋅10000⋅8+5⋅100⋅16+32=10000000000+5⋅100000000⋅2+10⋅1000000⋅4+10⋅10000⋅8+5⋅100⋅16+32=10000000000+1000000000+40000000+800000+8000+32=10000000000+1000000000+40000000+800000+8000+32=10000000000+1000000000+40000000+800000+8000+32=11120808032=10000000000+1000000000+40000000+800000+8000+32=11120808032

   इस प्रकार, (102)5=11120808032(102)5=11120808032।

   3. बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके (101)4(101)4 का मूल्यांकन करें:

   101=100+1101=100+1(101)4=(100+1)4(101)4=(100+1)4

   बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए:

   (𝑎+𝑏)4=𝑎4+4𝑎3𝑏+6𝑎2𝑏2+4𝑎𝑏3+𝑏4(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

   यहाँ, 𝑎=100a=100 और 𝑏=1b=1:

   (100+1)4=1004+4⋅1003⋅1+6⋅1002⋅12+4⋅100⋅13+14(100+1)4=1004+4⋅1003⋅1+6⋅1002⋅12+4⋅100⋅13+14=100000000+4⋅1000000+6⋅10000+4⋅100+1=100000000+4⋅1000000+6⋅10000+4⋅100+1=100000000+4000000+60000+400+1=100000000+4000000+60000+400+1=104060401=104060401

   इस प्रकार, (101)4=104060401(101)4=104060401।

   4. बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके, यह बताएं कि कौन सा संख्या बड़ी है: (1.1)10000(1.1)10000 या 1000।

   पहले ध्यान दें कि:

   1.1=1+0.11.1=1+0.1

   बड़े 𝑛n के लिए बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए:

   (1+𝑥)𝑛≈𝑒𝑛𝑥(1+x)n≈enx

   यहाँ, 𝑥=0.1x=0.1 और 𝑛=10000n=10000:

   (1.1)10000≈𝑒10000⋅0.1=𝑒1000(1.1)10000≈e10000⋅0.1=e1000

   चूंकि 𝑒≈2.718e≈2.718:

   𝑒1000 बहुत अधिक है 1000 की तुलना मेंe1000 बहुत अधिक है 1000 की तुलना में

   इस प्रकार, (1.1)10000(1.1)10000 1000 की तुलना में बहुत अधिक है।

   5. (𝑎+𝑏)4−(𝑎−𝑏)4(a+b)4−(a−b)4 का मान निकालें। अतः (3+2)4−(3−2)4(3​+2​)4−(3​−2​)4 का मान निकालें।

   बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए:

   (𝑎+𝑏)4=𝑎4+4𝑎3𝑏+6𝑎2𝑏2+4𝑎𝑏3+𝑏4(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(𝑎−𝑏)4=𝑎4−4𝑎3𝑏+6𝑎2𝑏2−4𝑎𝑏3+𝑏4(a−b)4=a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4

   घटाते हुए:

   (𝑎+𝑏)4−(𝑎−𝑏)4=(𝑎4+4𝑎3𝑏+6𝑎2𝑏2+4𝑎𝑏3+𝑏4)−(𝑎4−4𝑎3𝑏+6𝑎2𝑏2−4𝑎𝑏3+𝑏4)(a+b)4−(a−b)4=(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)−(a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4)=8𝑎3𝑏+8𝑎𝑏3=8a3b+8ab3=8𝑎𝑏(𝑎2+𝑏2)=8ab(a2+b2)

   𝑎=3a=3​ और 𝑏=2b=2​ के लिए:

   (3+2)4−(3−2)4=832(32+22)(3​+2​)4−(3​−2​)4=83​2​(3​2+2​2)=8⋅6⋅(3+2)=8⋅6​⋅(3+2)=8⋅6⋅5=8⋅6​⋅5=406=406​

   इस प्रकार, (3+2)4−(3−2)4=406(3​+2​)4−(3​−2​)4=406​।

   6. (𝑥+1)6+(𝑥−1)6(x+1)6+(x−1)6 का मान निकालें। अतः (2+1)6+(2−1)6(2​+1)6+(2​−1)6 का मान निकालें।

   बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए:

   (𝑥+1)6=𝑥6+6𝑥5+15𝑥4+20𝑥3+15𝑥2+6𝑥+1(x+1)6=x6+6x5+15x4+20x3+15x2+6x+1(𝑥−1)6=𝑥6−6𝑥5+15𝑥4−20𝑥3+15𝑥2−6𝑥+1(x−1)6=x6−6x5+15x4−20x3+15x2−6x+1

   जोड़ते हुए:

   (𝑥+1)6+(𝑥−1)6=(𝑥6+6𝑥5+15𝑥4+20𝑥3+15𝑥2+6𝑥+1)+(𝑥6−6𝑥5+15𝑥4−20𝑥3+15𝑥2−6𝑥+1)(x+1)6+(x−1)6=(x6+6x5+15x4+20x3+15x2+6x+1)+(x6−6x5+15x4−20x3+15x2−6x+1)=2𝑥6+30𝑥4+30𝑥2+2=2x6+30x4+30x2+2

   𝑥=2x=2​ के लिए:

   (2+1)6+(2−1)6=2(2)6+30(2)4+30(2)2+2(2​+1)6+(2​−1)6=2(2​)6+30(2​)4+30(2​)2+2=2⋅8+30⋅4+30⋅2+2=2⋅8+30⋅4+30⋅2+2=16+120+60+2=16+120+60+2=198=198

   इस प्रकार, (2+1)6+(2−1)6=198(2​+1)6+(2​−1)6=198।

   7. सिद्ध करें कि 9𝑛+1−8𝑛−99n+1−8n−9 64 से विभाज्य है, जब भी 𝑛n एक धनात्मक पूर्णांक हो।

   व्यंजक 9𝑛+1−8𝑛−99n+1−8n−9 पर विचार करें:

   9=8+19=8+1 का उपयोग करते हुए:

   9𝑛+1=(8+1)𝑛+19n+1=(8+1)n+1

   बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए:

   (8+1)𝑛+1=∑𝑘=0𝑛+1(𝑛+1𝑘)8𝑘(8+1)n+1=k=0∑n+1​(kn+1​)8k=1+(𝑛+1)8+(𝑛+1)𝑛282+⋯+8𝑛+1=1+(n+1)8+2(n+1)n​82+⋯+8n+1

   अब, व्यंजक को 64 से मापांकित करें:

   9𝑛+1≡(1+(𝑛+1)8+(𝑛+1)𝑛282+⋯+8𝑛+1) (mod 64)9n+1≡(1+(n+1)8+2(n+1)n​82+⋯+8n+1) (mod 64)

   केवल पहले दो पद महत्वपूर्ण हैं:

   1+(𝑛+1)8 (mod 64)1+(n+1)8 (mod 64)

   8𝑛+98n+9 घटाते हुए:

   9𝑛+1−8𝑛−9≡(1+(𝑛+1)8)−8𝑛−9 (mod 64)9n+1−8n−9≡(1+(n+1)8)−8n−9 (mod 64)

   सरल करते हुए:

   =1+8𝑛+8−8𝑛−9=1+8n+8−8n−9=0 (mod 64)=0 (mod 64)

   इस प्रकार, 9𝑛+1−8𝑛−99n+1−8n−9 64 से विभाज्य है।

   8. सिद्ध करें कि ∑𝑟=0𝑛3𝑟(𝑛𝑟)=4𝑛∑r=0n​3r(rn​)=4n।

   (1+3)𝑛(1+3)n के बाइनोमियल विस्तार पर विचार करें:

   (1+3)𝑛=∑𝑟=0𝑛(𝑛𝑟)1𝑛−𝑟3𝑟(1+3)n=r=0∑n​(rn​)1n−r3r4𝑛=∑𝑟=0𝑛(𝑛𝑟)3𝑟4n=r=0∑n​(rn​)3r

   इस प्रकार, ∑𝑟=0𝑛3𝑟(𝑛𝑟)=4𝑛∑r=0n​3r(rn​)=4n।

   इस प्रकार, यह समीकरण सिद्ध हो गया।