संबंध एवं फलन — कक्षा 11 गणित नोट्स

संबंध एवं फलन · कक्षा 11 गणित · 9 टॉपिक.

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संबंध एवं फलन में शामिल टॉपिक

1.परिचय: संबंध और फलन
चलो एक दिलचस्प वास्तविक जीवन के उदाहरण के साथ शुरू करते हैं ताकि संबंध और फलन की अवधारणा को समझा जा सके।
कल्पना कीजिए कि आप एक डिलीवरी मैनेजर हैं:
आप एक टीम का प्रबंधन करते हैं जो विभिन्न स्थानों पर पैकेज वितरित करते हैं। प्रत्येक ड्राइवर को विशिष्ट क्षेत्रों में पैकेज पहुँचाने के लिए असाइन किया जाता है और आपको यह ट्रैक रखना होता है कि कौन सा ड्राइवर किस क्षेत्र में डिलीवर कर रहा है।
- संबंध (Relation): यह एक सूची या सेट की तरह है जो दिखाता है कि कौन सा ड्राइवर (इनपुट) किस क्षेत्र (आउटपुट) में डिलीवर करता है।
- फलन (Function): यदि प्रत्येक ड्राइवर केवल एक ही क्षेत्र में डिलीवर करता है, तो इसे फलन कहा जाता है।
चरण-दर-चरण व्याख्या
1. संबंध:
  - संबंध दो सेटों के बीच एक कनेक्शन है।
  - उदाहरण के लिए, दो सेट मानते हैं:
    - सेट A (ड्राइवर): {D1, D2, D3}
    - सेट B (क्षेत्र): {A1, A2, A3, A4}
  - संबंध को जोड़े दिखाकर दर्शाया जा सकता है कि कौन सा ड्राइवर किस क्षेत्र में डिलीवर करता है। जैसे {(D1, A1), (D2, A2), (D3, A3), (D1, A4)}।
  - यहाँ D1 A1 और A4 दोनों क्षेत्रों में डिलीवर करता है, जो दिखाता है कि एक ड्राइवर एक से अधिक क्षेत्रों में जा सकता है।
2. फलन:
  - फलन एक विशेष प्रकार का संबंध है जहाँ प्रत्येक इनपुट (ड्राइवर) एक ही आउटपुट (क्षेत्र) के साथ जुड़ा होता है।
  - उदाहरण के लिए, सेट को फिर से परिभाषित करते हैं:
    - सेट A (ड्राइवर): {D1, D2, D3}
    - सेट B (क्षेत्र): {A1, A2, A3}
  - एक फलन को {(D1, A1), (D2, A2), (D3, A3)} के रूप में दर्शाया जा सकता है।
  - यहाँ, प्रत्येक ड्राइवर केवल एक विशेष क्षेत्र में डिलीवर करता है।
मुख्य बिंदु
- संबंध: क्रमबद्ध जोड़ों का एक सेट। इसमें एक इनपुट के लिए कई आउटपुट हो सकते हैं।
- फलन: क्रमबद्ध जोड़ों का एक सेट जिसमें प्रत्येक इनपुट का एक विशिष्ट आउटपुट होता है।
- डोमेन: सभी संभव इनपुट का सेट (जैसे, सभी ड्राइवर)।
- रेंज: सभी संभव आउटपुट का सेट (जैसे, सभी क्षेत्र)।
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
- शहर और पिन कोड: प्रत्येक शहर का एक अद्वितीय पिन कोड होता है, जो इसे एक फलन बनाता है।
- स्कूल टाइमटेबल: प्रत्येक अवधि एक विशिष्ट विषय को सौंपा गया है, जो एक फलन को प्रदर्शित करता है।
- करियर अनुप्रयोग:
  - कंप्यूटर साइंस: एल्गोरिदम और प्रोग्रामिंग में फलनों का उपयोग होता है।
  - अर्थशास्त्र: संबंध और फलनों का उपयोग आर्थिक व्यवहार और प्रवृत्तियों को मॉडल करने के लिए होता है।
  - इंजीनियरिंग: विद्युत धाराएं, बल आदि जैसे भौतिक घटनाओं का वर्णन करने के लिए फलनों का उपयोग किया जाता है।
सरल गतिविधि फलनों को समझने के लिए
1. अपने सहपाठियों और उनके पसंदीदा विषयों की सूची बनाएं।
2. जोड़े बनाएं जैसे (सहपाठी, पसंदीदा विषय)।
3. जांचें कि प्रत्येक सहपाठी का केवल एक पसंदीदा विषय है या नहीं।
4. अगर हाँ, तो आपने एक फलन बनाया है!
2.सेट के कार्टेशियन उत्पाद
चरण-दर-चरण व्याख्या
1. परिभाषा:
  - दो सेट 𝐴A और 𝐵B का कार्टेशियन गुणनफल, जिसे 𝐴×𝐵A×B के रूप में लिखा जाता है, सभी क्रमबद्ध जोड़ों (𝑎,𝑏)(a,b) का सेट है जहाँ 𝑎∈𝐴a∈A और 𝑏∈𝐵b∈B।
  - गणितीय रूप से:𝐴×𝐵={(𝑎,𝑏)∣𝑎∈𝐴 और 𝑏∈𝐵}A×B={(a,b)∣a∈A और b∈B}
2. उदाहरण:
  - मान लीजिए 𝐴={1,2}A={1,2} और 𝐵={𝑥,𝑦}B={x,y}।
  - कार्टेशियन गुणनफल 𝐴×𝐵A×B होगा:𝐴×𝐵={(1,𝑥),(1,𝑦),(2,𝑥),(2,𝑦)}A×B={(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)}
3. दृश्य प्रतिनिधित्व:
  - सेट 𝐴A को क्षैतिज रूप से लिखे गए तत्वों की सूची के रूप में सोचें और सेट 𝐵B को ऊर्ध्वाधर रूप से लिखे गए तत्वों की सूची के रूप में। प्रत्येक जोड़ा (𝑎,𝑏)(a,b) एक ग्रिड पर एक बिंदु है जहाँ पंक्ति 𝑎a से संबंधित है और स्तंभ 𝑏b से संबंधित है।
समस्या समाधान के उदाहरण
उदाहरण 1:
सेट: 𝐴={1,3},𝐵={2,4}A={1,3},B={2,4}
समाधान:
𝐴×𝐵={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)}A×B={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)}
उदाहरण 2:
सेट: 𝐴={𝑎,𝑏,𝑐},𝐵={1,2}A={a,b,c},B={1,2}
समाधान:
𝐴×𝐵={(𝑎,1),(𝑎,2),(𝑏,1),(𝑏,2),(𝑐,1),(𝑐,2)}A×B={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}
उदाहरण 3:
सेट: 𝐴={𝑥,𝑦},𝐵={𝑚,𝑛,𝑝}A={x,y},B={m,n,p}
समाधान:
𝐴×𝐵={(𝑥,𝑚),(𝑥,𝑛),(𝑥,𝑝),(𝑦,𝑚),(𝑦,𝑛),(𝑦,𝑝)}A×B={(x,m),(x,n),(x,p),(y,m),(y,n),(y,p)}
उदाहरण 4:
सेट: 𝐴={1,2},𝐵={𝑎,𝑏},𝐶={𝑥,𝑦}A={1,2},B={a,b},C={x,y}
समाधान: पहले 𝐴×𝐵A×B खोजें:
𝐴×𝐵={(1,𝑎),(1,𝑏),(2,𝑎),(2,𝑏)}A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}
अब (𝐴×𝐵)×𝐶(A×B)×C खोजें:
(𝐴×𝐵)×𝐶={((1,𝑎),𝑥),((1,𝑎),𝑦),((1,𝑏),𝑥),((1,𝑏),𝑦),((2,𝑎),𝑥),((2,𝑎),𝑦),((2,𝑏),𝑥),((2,𝑏),𝑦)}(A×B)×C={((1,a),x),((1,a),y),((1,b),x),((1,b),y),((2,a),x),((2,a),y),((2,b),x),((2,b),y)}
कल्पना कीजिए कि आप एक रेस्तरां के मालिक हैं और आपके पास मुख्य भोजन और मिठाई का सेट है। आप एक ऐसा मेनू बनाना चाहते हैं जो मुख्य भोजन और मिठाई के सभी संभव संयोजनों को सूचीबद्ध करता है। कार्टेशियन गुणनफल एक गणितीय तरीका है जिससे इन सभी संयोजनों को सूचीबद्ध किया जा सकता है।
उदाहरण:
- मुख्य भोजन: {पिज्जा, बर्गर}
- मिठाई: {आइसक्रीम, केक}
इन दो सेटों का कार्टेशियन गुणनफल मुख्य भोजन और मिठाई के सभी संभव जोड़े देगा। वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
- डेटाबेस प्रबंधन: कार्टेशियन गुणनफल का उपयोग SQL क्वेरी में टेबल्स को संयोजित करने के लिए होता है।
- कंप्यूटर ग्राफिक्स: छवियों के लिए पिक्सेल ग्रिड बनाने में।
- संयोजन: संभाव्यता और सांख्यिकी में सभी संभावित परिणाम उत्पन्न करने में।
3.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1:
समस्या: यदि (𝑥3+1,𝑦3−23)=(53,13)(3x+1,3y−32)=(35,31), 𝑥x और 𝑦y के मान खोजें।
समाधान: इसको हल करने के लिए, हम क्रमबद्ध जोड़ों के संबंधित तत्वों को बराबर रखते हैं:
𝑥3+1=533x+1=35𝑦3−23=133y−32=31
चरण-दर-चरण समाधान:
1. 𝑥x के लिए हल करें:
𝑥3+1=533x+1=35
दोनों पक्षों से 1 घटाएँ:
𝑥3=53−13x=35−1
1 को 3333 में परिवर्तित करें:
𝑥3=53−33=233x=35−33=32
दोनों पक्षों को 3 से गुणा करें:
𝑥=2x=2
1. 𝑦y के लिए हल करें:
𝑦3−23=133y−32=31
दोनों पक्षों में 2332 जोड़ें:
𝑦3=13+23=33=13y=31+32=33=1
दोनों पक्षों को 3 से गुणा करें:
𝑦=3y=3
तो, 𝑥x और 𝑦y के मान 𝑥=2x=2 और 𝑦=3y=3 हैं।
प्रश्न 2:
समस्या: यदि सेट 𝐴A में 3 तत्व हैं और सेट 𝐵={3,4,5}B={3,4,5}, तो 𝐴×𝐵A×B में तत्वों की संख्या खोजें।
समाधान: कार्टेशियन गुणनफल 𝐴×𝐵A×B में तत्वों की संख्या 𝐴A और 𝐵B में तत्वों की संख्या के गुणनफल के बराबर होती है।
मान लें 𝐴A में तत्वों की संख्या 𝑛(𝐴)=3n(A)=3 है।
सेट 𝐵B में तत्वों की संख्या 𝑛(𝐵)=3n(B)=3 है।
तो, 𝐴×𝐵A×B में तत्वों की संख्या:
𝑛(𝐴×𝐵)=𝑛(𝐴)×𝑛(𝐵)=3×3=9n(A×B)=n(A)×n(B)=3×3=9
इस प्रकार, 𝐴×𝐵A×B में 9 तत्व होंगे।
प्रश्न 3:
समस्या: यदि 𝐺={7,8}G={7,8} और 𝐻={5,4,2}H={5,4,2}, तो 𝐺×𝐻G×H और 𝐻×𝐺H×G खोजें।
समाधान:
1. 𝐺×𝐻G×H खोजें:
𝐺×𝐻={(7,5),(7,4),(7,2),(8,5),(8,4),(8,2)}G×H={(7,5),(7,4),(7,2),(8,5),(8,4),(8,2)}
1. 𝐻×𝐺H×G खोजें:
𝐻×𝐺={(5,7),(5,8),(4,7),(4,8),(2,7),(2,8)}H×G={(5,7),(5,8),(4,7),(4,8),(2,7),(2,8)}
प्रश्न 4:
समस्या: निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन सत्य या असत्य है, यह बताएं। यदि कथन असत्य है, तो सही कथन लिखें।
(i) यदि 𝑃={𝑚,𝑛}P={m,n} और 𝑄={𝑛,𝑚}Q={n,m}, तो 𝑃×𝑄={(𝑚,𝑛),(𝑛,𝑚)}P×Q={(m,n),(n,m)}।
(ii) यदि 𝐴A और 𝐵B गैर-खाली सेट हैं, तो 𝐴×𝐵A×B आदेशित जोड़ों (𝑥,𝑦)(x,y) का गैर-खाली सेट है जहाँ 𝑥∈𝐴x∈A और 𝑦∈𝐵y∈B हैं।
(iii) यदि 𝐴={1,2}A={1,2}, 𝐵={3,4}B={3,4}, तो 𝐴×(𝐵∩∅)=∅A×(B∩∅)=∅।
समाधान:
(i) असत्य। सही कथन है:
𝑃×𝑄={(𝑚,𝑛),(𝑚,𝑚),(𝑛,𝑛),(𝑛,𝑚)}P×Q={(m,n),(m,m),(n,n),(n,m)}
(ii) सत्य। कथन सही है।
(iii) सत्य। कथन सही है क्योंकि 𝐵∩∅=∅B∩∅=∅ और किसी भी सेट को शून्य सेट से गुणा करने पर शून्य सेट प्राप्त होता है।
प्रश्न 5:
समस्या: यदि 𝐴={−1,1}A={−1,1}, 𝐴×𝐴×𝐴A×A×A खोजें।
समाधान: 𝐴×𝐴×𝐴A×A×A को खोजने के लिए, सभी संभावित क्रमबद्ध त्रिकों की सूची बनाएं:
𝐴×𝐴×𝐴={(−1,−1,−1),(−1,−1,1),(−1,1,−1),(−1,1,1),(1,−1,−1),(1,−1,1),(1,1,−1),(1,1,1)}A×A×A={(−1,−1,−1),(−1,−1,1),(−1,1,−1),(−1,1,1),(1,−1,−1),(1,−1,1),(1,1,−1),(1,1,1)}
इस प्रकार, 𝐴×𝐴×𝐴A×A×A में 8 तत्व होंगे।
प्रश्न 6:
समस्या: यदि 𝐴×𝐵={(𝑎,𝑥),(𝑎,𝑦),(𝑏,𝑥),(𝑏,𝑦)}A×B={(a,x),(a,y),(b,x),(b,y)}, तो 𝐴A और 𝐵B खोजें।
समाधान: दिए गए जोड़ों से हम 𝐴A और 𝐵B के तत्वों का पता लगा सकते हैं:
- (𝑎,𝑥)(a,x) और (𝑎,𝑦)(a,y) से, हमें पता चलता है कि 𝑎∈𝐴a∈A और 𝑥,𝑦∈𝐵x,y∈B।
- (𝑏,𝑥)(b,x) और (𝑏,𝑦)(b,y) से, हमें पता चलता है कि 𝑏∈𝐴b∈A और 𝑥,𝑦∈𝐵x,y∈B।
तो, 𝐴={𝑎,𝑏}A={a,b} और 𝐵={𝑥,𝑦}B={x,y} होंगे।
4.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1:
समस्या: यदि 𝐴={1,2}A={1,2} और 𝐵={3,4}B={3,4} हो, तो 𝐴×𝐵A×B लिखें। 𝐴×𝐵A×B के कितने उपसमुच्चय होंगे? उन्हें सूचीबद्ध करें।
समाधान:
1. 𝐴×𝐵A×B खोजें:
𝐴×𝐵={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
1. 𝐴×𝐵A×B के उपसमुच्चयों की संख्या:
किसी सेट में 𝑛n तत्वों के उपसमुच्चयों की संख्या 2𝑛2n होती है।
यहाँ, 𝑛=4n=4 (क्योंकि 𝐴×𝐵A×B में 4 तत्व हैं)।
इस प्रकार, उपसमुच्चयों की संख्या 24=1624=16 होगी।
1. उपसमुच्चयों को सूचीबद्ध करें:
हम उपसमुच्चयों को उनकी आकार की बढ़ती क्रम में सूचीबद्ध कर सकते हैं:
- शून्य सेट: ∅∅
- 1 तत्व वाले उपसमुच्चय: {(1,3)},{(1,4)},{(2,3)},{(2,4)}{(1,3)},{(1,4)},{(2,3)},{(2,4)}
- 2 तत्व वाले उपसमुच्चय: {(1,3),(1,4)},{(1,3),(2,3)},{(1,3),(2,4)},{(1,4),(2,3)},{(1,4),(2,4)},{(2,3),(2,4)}{(1,3),(1,4)},{(1,3),(2,3)},{(1,3),(2,4)},{(1,4),(2,3)},{(1,4),(2,4)},{(2,3),(2,4)}
- 3 तत्व वाले उपसमुच्चय: {(1,3),(1,4),(2,3)},{(1,3),(1,4),(2,4)},{(1,3),(2,3),(2,4)},{(1,4),(2,3),(2,4)}{(1,3),(1,4),(2,3)},{(1,3),(1,4),(2,4)},{(1,3),(2,3),(2,4)},{(1,4),(2,3),(2,4)}
- 4 तत्व वाले उपसमुच्चय: {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
प्रश्न 2:
समस्या: यदि 𝐴A और 𝐵B दो सेट हैं जिनमें 𝑛(𝐴)=3n(A)=3 और 𝑛(𝐵)=2n(B)=2 हैं। यदि (𝑥,1),(𝑦,2),(𝑧,1)(x,1),(y,2),(z,1) 𝐴×𝐵A×B में हैं, तो 𝐴A और 𝐵B खोजें, जहाँ 𝑥,𝑦x,y और 𝑧z अलग-अलग तत्व हैं।
समाधान:
दिए गए कि जोड़े (𝑥,1),(𝑦,2),(𝑧,1)(x,1),(y,2),(z,1) 𝐴×𝐵A×B में हैं:
1. सेट 𝐵B {1,2}{1,2} होना चाहिए क्योंकि ये क्रमबद्ध जोड़ों के दूसरे तत्व हैं।
2. तत्व 𝑥,𝑦,x,y, और 𝑧z अलग-अलग हैं और सेट 𝐴A में हैं। चूंकि 𝑛(𝐴)=3n(A)=3 है, सेट 𝐴A {𝑥,𝑦,𝑧}{x,y,z} होना चाहिए।
इस प्रकार, सेट हैं:
- 𝐴={𝑥,𝑦,𝑧}A={x,y,z}
- 𝐵={1,2}B={1,2}
प्रश्न 3:
समस्या: कार्टेशियन गुणनफल 𝐴×𝐴A×A में 9 तत्व हैं जिनमें (−1,0)(−1,0) और (0,1)(0,1) शामिल हैं। सेट 𝐴A और 𝐴×𝐴A×A के शेष तत्वों को खोजें।
समाधान:
1. दिए गए कि 𝐴×𝐴A×A में 9 तत्व हैं, सेट 𝐴A में 3 तत्व होने चाहिए क्योंकि 3×3=93×3=9।
2. तत्व (−1,0)(−1,0) और (0,1)(0,1) यह सुझाव देते हैं कि −1,0,−1,0, और 11 सेट 𝐴A के तत्व हैं।
इस प्रकार, 𝐴={−1,0,1}A={−1,0,1}।
1. 𝐴×𝐴A×A के शेष तत्वों को सूचीबद्ध करें:
चूंकि 𝐴={−1,0,1}A={−1,0,1} है, कार्टेशियन गुणनफल 𝐴×𝐴A×A होगा:
𝐴×𝐴={(−1,−1),(−1,0),(−1,1),(0,−1),(0,0),(0,1),(1,−1),(1,0),(1,1)}A×A={(−1,−1),(−1,0),(−1,1),(0,−1),(0,0),(0,1),(1,−1),(1,0),(1,1)}
हम पहले से ही जानते हैं कि (−1,0)(−1,0) और (0,1)(0,1) सेट का हिस्सा हैं। शेष तत्व हैं:
{(−1,−1),(−1,1),(0,−1),(0,0),(1,−1),(1,0),(1,1)}{(−1,−1),(−1,1),(0,−1),(0,0),(1,−1),(1,0),(1,1)}
इस प्रकार, शेष तत्व हैं:
{(−1,−1),(−1,1),(0,−1),(0,0),(1,−1),(1,0),(1,1)}{(−1,−1),(−1,1),(0,−1),(0,0),(1,−1),(1,0),(1,1)}
5.संबंधों की परिभाषा
संबंधों की परिभाषा
संबंध दो सेटों के तत्वों के बीच का कनेक्शन या संबंध है। गणितीय रूप से, सेट 𝐴A से सेट 𝐵B तक का संबंध 𝐴×𝐵A×B का एक उपसमुच्चय होता है।
औपचारिक परिभाषा:
मान लीजिए 𝐴A और 𝐵B दो सेट हैं। 𝐴A से 𝐵B तक का संबंध 𝑅R, कार्टेशियन गुणनफल 𝐴×𝐵A×B का एक उपसमुच्चय होता है। अर्थात्, 𝑅⊆𝐴×𝐵R⊆A×B
यदि (𝑎,𝑏)∈𝑅(a,b)∈R, तो हम कहते हैं कि 𝑎a, 𝑏b से 𝑅R संबंध में है, जिसे अक्सर 𝑎𝑅𝑏aRb के रूप में लिखा जाता है।
संबंधों के उदाहरण
1. उदाहरण 1:
  - सेट: 𝐴={1,2,3}A={1,2,3} और 𝐵={4,5}B={4,5}
  - संबंध 𝑅R: {(1,4),(2,5),(3,4)}{(1,4),(2,5),(3,4)}
  - व्याख्या: यहाँ, संबंध 𝑅R सेट 𝐴A के तत्वों को सेट 𝐵B के तत्वों से जोड़ता है।
2. उदाहरण 2:
  - सेट: 𝐴={सेब,केला}A={सेब,केला} और 𝐵={लाल,पीला}B={लाल,पीला}
  - संबंध 𝑅R: {(सेब,लाल),(केला,पीला)}{(सेब,लाल),(केला,पीला)}
  - व्याख्या: यह संबंध फलों के रंगों को दिखाता है।
संबंधों के प्रकार
1. रिक्त संबंध:
  - 𝐴A के कोई भी तत्व 𝐵B के किसी भी तत्व से संबंधित नहीं हैं।
  - उदाहरण: 𝑅=∅R=∅
2. सार्वभौमिक संबंध:
  - 𝐴A का हर तत्व 𝐵B के हर तत्व से संबंधित है।
  - उदाहरण: यदि 𝐴={1,2}A={1,2} और 𝐵={3,4}B={3,4}, तो 𝑅={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}R={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}।
3. पहचान संबंध:
  - हर तत्व स्वयं से संबंधित होता है।
  - उदाहरण: यदि 𝐴={1,2}A={1,2}, तो पहचान संबंध 𝑅={(1,1),(2,2)}R={(1,1),(2,2)} है।
वास्तविक जीवन का उदाहरण
कल्पना कीजिए कि आप एक पुस्तकालय में हैं। वहाँ पुस्तकों की एक सूची और लेखकों की दूसरी सूची है। इस संदर्भ में एक संबंध यह बताएगा कि कौन सी पुस्तक किस लेखक द्वारा लिखी गई है।
उदाहरण:
- पुस्तकें: {पुस्तक1, पुस्तक2, पुस्तक3}
- लेखक: {लेखकA, लेखकB}
एक संबंध हमें जोड़े दिखाएगा जैसे (पुस्तक1, लेखकA), (पुस्तक2, लेखकB), यह बताने के लिए कि कौन सी पुस्तक किस लेखक द्वारा लिखी गई है। संबंधों के वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
1. डेटाबेस प्रबंधन: तालिकाओं के बीच संबंध (जैसे, ग्राहक ID और उनके आदेश)।
2. सोशल नेटवर्क: मित्रता जैसे संबंध (जैसे, अलीस बॉब की मित्र है)।
3. फलन मानचित्रण: गणित में फंक्शंस को परिभाषित करना जहाँ प्रत्येक इनपुट का एक विशिष्ट आउटपुट होता है।
संबंधों को समझने के लिए सरल गतिविधि
1. छात्रों और उनके पसंदीदा विषयों की एक सूची लें।
2. जोड़े बनाएं जैसे (छात्र, विषय)।
3. जाँच करें कि कोई पैटर्न या विशेष संबंध है या नहीं (जैसे, छात्र विज्ञान विषयों को पसंद करते हैं)।
6.
1. रिक्त संबंध (Empty Relation)
संबंध 𝑅R सेट 𝐴A से सेट 𝐵B के बीच रिक्त संबंध कहलाता है यदि 𝐴A का कोई भी तत्व 𝐵B के किसी भी तत्व से संबंधित नहीं है। गणितीय रूप से, 𝑅=∅R=∅।
उदाहरण:
- सेट 𝐴A: {1, 2}
- सेट 𝐵B: {3, 4}
रिक्त संबंध 𝑅R:
𝑅=∅R=∅
यहाँ पर कोई जोड़ा (𝑎,𝑏)(a,b) नहीं है जिससे 𝑎∈𝐴a∈A और 𝑏∈𝐵b∈B।
समस्या 1: यदि 𝐴={𝑎,𝑏}A={a,b} और 𝐵={𝑥,𝑦}B={x,y} हो, तो सेट 𝐴A से 𝐵B तक रिक्त संबंध 𝑅R को परिभाषित करें।
समाधान:
𝑅=∅R=∅
समस्या 2: यदि 𝐴={1,2,3}A={1,2,3} और 𝐵={4,5}B={4,5} हो, तो सेट 𝐴A से 𝐵B तक रिक्त संबंध 𝑅R के जोड़ों की सूची बनाएं।
समाधान:
𝑅=∅R=∅
2. सार्वभौमिक संबंध (Universal Relation)
संबंध 𝑅R सेट 𝐴A से सेट 𝐵B के बीच सार्वभौमिक संबंध कहलाता है यदि 𝐴A का हर तत्व 𝐵B के हर तत्व से संबंधित है। गणितीय रूप से, 𝑅=𝐴×𝐵R=A×B।
उदाहरण:
- सेट 𝐴A: {1, 2}
- सेट 𝐵B: {3, 4}
सार्वभौमिक संबंध 𝑅R:
𝑅={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}R={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
समस्या 1: यदि 𝐴={𝑎,𝑏}A={a,b} और 𝐵={𝑥,𝑦}B={x,y} हो, तो सेट 𝐴A से 𝐵B तक सार्वभौमिक संबंध 𝑅R को परिभाषित करें।
समाधान:
𝑅=𝐴×𝐵={(𝑎,𝑥),(𝑎,𝑦),(𝑏,𝑥),(𝑏,𝑦)}R=A×B={(a,x),(a,y),(b,x),(b,y)}
समस्या 2: यदि 𝐴={1,2}A={1,2} और 𝐵={3}B={3} हो, तो सेट 𝐴A से 𝐵B तक सार्वभौमिक संबंध 𝑅R के जोड़ों की सूची बनाएं।
समाधान:
𝑅=𝐴×𝐵={(1,3),(2,3)}R=A×B={(1,3),(2,3)}
3. पहचान संबंध (Identity Relation)
संबंध 𝑅R सेट 𝐴A पर पहचान संबंध कहलाता है यदि 𝐴A का हर तत्व केवल स्वयं से संबंधित हो। गणितीय रूप से, 𝑅={(𝑎,𝑎)∣𝑎∈𝐴}R={(a,a)∣a∈A}।
उदाहरण:
- सेट 𝐴A: {1, 2, 3}
पहचान संबंध 𝑅R:
𝑅={(1,1),(2,2),(3,3)}R={(1,1),(2,2),(3,3)}
समस्या 1: यदि 𝐴={𝑎,𝑏,𝑐}A={a,b,c} हो, तो सेट 𝐴A पर पहचान संबंध 𝑅R को परिभाषित करें।
समाधान:
𝑅={(𝑎,𝑎),(𝑏,𝑏),(𝑐,𝑐)}R={(a,a),(b,b),(c,c)}
समस्या 2: यदि 𝐴={1,2}A={1,2} हो, तो सेट 𝐴A पर पहचान संबंध 𝑅R के जोड़ों की सूची बनाएं।
समाधान:
𝑅={(1,1),(2,2)}R={(1,1),(2,2)}
4. परावर्ती संबंध (Reflexive Relation)
संबंध 𝑅R सेट 𝐴A पर परावर्ती संबंध कहलाता है यदि 𝐴A का हर तत्व स्वयं से संबंधित हो। अर्थात्, प्रत्येक 𝑎∈𝐴a∈A के लिए, (𝑎,𝑎)∈𝑅(a,a)∈R।
उदाहरण:
- सेट 𝐴A: {1, 2}
परावर्ती संबंध 𝑅R:
𝑅={(1,1),(2,2),(1,2)}R={(1,1),(2,2),(1,2)}
समस्या 1: यदि 𝐴={𝑎,𝑏}A={a,b} हो, तो सेट 𝐴A पर परावर्ती संबंध 𝑅R को परिभाषित करें।
समाधान:
𝑅={(𝑎,𝑎),(𝑏,𝑏),(𝑎,𝑏)}R={(a,a),(b,b),(a,b)}
समस्या 2: यदि 𝐴={1,2,3}A={1,2,3} हो, तो सेट 𝐴A पर एक परावर्ती संबंध 𝑅R का उदाहरण दें।
समाधान:
𝑅={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)}R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)}
5. सममित संबंध (Symmetric Relation)
संबंध 𝑅R सेट 𝐴A पर सममित संबंध कहलाता है यदि (𝑎,𝑏)∈𝑅(a,b)∈R से (𝑏,𝑎)∈𝑅(b,a)∈R होता है, सभी 𝑎,𝑏∈𝐴a,b∈A के लिए।
उदाहरण:
- सेट 𝐴A: {1, 2}
सममित संबंध 𝑅R:
𝑅={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}R={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}
समस्या 1: यदि 𝐴={𝑎,𝑏}A={a,b} हो, तो सेट 𝐴A पर सममित संबंध 𝑅R को परिभाषित करें।
समाधान:
𝑅={(𝑎,𝑎),(𝑏,𝑏),(𝑎,𝑏),(𝑏,𝑎)}R={(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}
समस्या 2: यदि 𝐴={1,2,3}A={1,2,3} हो, तो सेट 𝐴A पर एक सममित संबंध 𝑅R का उदाहरण दें।
समाधान:
𝑅={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}
6. सांपरिक संबंध (Transitive Relation)
संबंध 𝑅R सेट 𝐴A पर सांपरिक संबंध कहलाता है यदि (𝑎,𝑏)∈𝑅(a,b)∈R और (𝑏,𝑐)∈𝑅(b,c)∈R से (𝑎,𝑐)∈𝑅(a,c)∈R होता है, सभी 𝑎,𝑏,𝑐∈𝐴a,b,c∈A के लिए।
उदाहरण:
- सेट 𝐴A: {1, 2, 3}
सांपरिक संबंध 𝑅R:
𝑅={(1,2),(2,3),(1,3)}R={(1,2),(2,3),(1,3)}
समस्या 1: यदि 𝐴={𝑎,𝑏,𝑐}A={a,b,c} हो, तो सेट 𝐴A पर सांपरिक संबंध 𝑅R को परिभाषित करें।
समाधान:
𝑅={(𝑎,𝑏),(𝑏,𝑐),(𝑎,𝑐)}R={(a,b),(b,c),(a,c)}
समस्या 2: यदि 𝐴={1,2,3}A={1,2,3} हो, तो सेट 𝐴A पर एक सांपरिक संबंध 𝑅R का उदाहरण दें।
समाधान:
𝑅={(1,2),(2,3),(1,3),(1,1),(2,2),(3,3)}R={(1,2),(2,3),(1,3),(1,1),(2,2),(3,3)}
7.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1:
समस्या: यदि 𝐴={1,2,3,…,14}A={1,2,3,…,14} हो, तो सेट 𝐴A से 𝐴A तक संबंध 𝑅R को 𝑅={(𝑥,𝑦)∣3𝑥−𝑦=0},R={(x,y)∣3x−y=0}, जहाँ 𝑥,𝑦∈𝐴x,y∈A द्वारा परिभाषित करें। इसका डोमेन, कोडोमेन और रेंज लिखें।
समाधान:
1. जोड़े (𝑥,𝑦)(x,y) खोजें जो संबंध 3𝑥−𝑦=03x−y=0 को संतुष्ट करते हैं:
  𝑦=3𝑥y=3x
  सेट 𝐴A में 𝑥x के लिए, संबंधित 𝑦y खोजें:
  - यदि 𝑥=1x=1, 𝑦=3×1=3y=3×1=3 (वैध, क्योंकि 𝑦∈𝐴y∈A)
  - यदि 𝑥=2x=2, 𝑦=3×2=6y=3×2=6 (वैध, क्योंकि 𝑦∈𝐴y∈A)
  - यदि 𝑥=3x=3, 𝑦=3×3=9y=3×3=9 (वैध, क्योंकि 𝑦∈𝐴y∈A)
  - यदि 𝑥=4x=4, 𝑦=3×4=12y=3×4=12 (वैध, क्योंकि 𝑦∈𝐴y∈A)
  - यदि 𝑥=5x=5, 𝑦=3×5=15y=3×5=15 ( 𝐴A में नहीं है)
  - यदि 𝑥=6x=6 और आगे, 𝑦y सेट 𝐴A से अधिक हो जाता है
  इसलिए, संबंध 𝑅R है:
  𝑅={(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)}R={(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)}
2. डोमेन: 𝑅R का डोमेन उन जोड़ों के सभी पहले तत्वों का सेट है जो 𝑅R में हैं:
  डोमेन={1,2,3,4}डोमेन={1,2,3,4}
3. कोडोमेन: 𝑅R का कोडोमेन सेट 𝐴A है:
  कोडोमेन={1,2,3,…,14}कोडोमेन={1,2,3,…,14}
4. रेंज: 𝑅R का रेंज उन जोड़ों के सभी दूसरे तत्वों का सेट है जो 𝑅R में हैं:
  रेंज={3,6,9,12}रेंज={3,6,9,12}
प्रश्न 2:
समस्या: संबंध 𝑅R को प्राकृतिक संख्याओं के सेट 𝑁N पर 𝑅={(𝑥,𝑦)∣𝑦=𝑥+5},R={(x,y)∣y=x+5}, द्वारा परिभाषित करें, जहाँ 𝑥x एक प्राकृतिक संख्या है जो 4 से कम है; 𝑥,𝑦∈𝑁x,y∈N हैं। इस संबंध को रोस्टर रूप में प्रदर्शित करें। इसका डोमेन और रेंज लिखें।
समाधान:
1. जोड़े (𝑥,𝑦)(x,y) खोजें जो संबंध 𝑦=𝑥+5y=x+5 को संतुष्ट करते हैं:
  𝑥x 4 से कम प्राकृतिक संख्या के लिए:
  - यदि 𝑥=1x=1, 𝑦=1+5=6y=1+5=6
  - यदि 𝑥=2x=2, 𝑦=2+5=7y=2+5=7
  - यदि 𝑥=3x=3, 𝑦=3+5=8y=3+5=8
  इसलिए, संबंध 𝑅R है:
  𝑅={(1,6),(2,7),(3,8)}R={(1,6),(2,7),(3,8)}
2. डोमेन: 𝑅R का डोमेन उन जोड़ों के सभी पहले तत्वों का सेट है जो 𝑅R में हैं:
  डोमेन={1,2,3}डोमेन={1,2,3}
3. रेंज: 𝑅R का रेंज उन जोड़ों के सभी दूसरे तत्वों का सेट है जो 𝑅R में हैं:
  रेंज={6,7,8}रेंज={6,7,8}
प्रश्न 3:
समस्या: यदि 𝐴={1,2,3,5}A={1,2,3,5} और 𝐵={4,6,9}B={4,6,9} हो, तो सेट 𝐴A से 𝐵B तक संबंध 𝑅R को 𝑅={(𝑥,𝑦)∣𝑥 और 𝑦 के बीच का अंतर विषम है;𝑥∈𝐴,𝑦∈𝐵}R={(x,y)∣x और y के बीच का अंतर विषम है;x∈A,y∈B} द्वारा परिभाषित करें। 𝑅R को रोस्टर रूप में लिखें।
समाधान:
1. जोड़े (𝑥,𝑦)(x,y) खोजें जो संबंध को संतुष्ट करते हैं जहाँ 𝑥x और 𝑦y के बीच का अंतर विषम है:
  - यदि 𝑥=1x=1:
    - ∣1−4∣=3∣1−4∣=3 (विषम)
    - ∣1−6∣=5∣1−6∣=5 (विषम)
    - ∣1−9∣=8∣1−9∣=8 (सम)
  - यदि 𝑥=2x=2:
    - ∣2−4∣=2∣2−4∣=2 (सम)
    - ∣2−6∣=4∣2−6∣=4 (सम)
    - ∣2−9∣=7∣2−9∣=7 (विषम)
  - यदि 𝑥=3x=3:
    - ∣3−4∣=1∣3−4∣=1 (विषम)
    - ∣3−6∣=3∣3−6∣=3 (विषम)
    - ∣3−9∣=6∣3−9∣=6 (सम)
  - यदि 𝑥=5x=5:
    - ∣5−4∣=1∣5−4∣=1 (विषम)
    - ∣5−6∣=1∣5−6∣=1 (विषम)
    - ∣5−9∣=4∣5−9∣=4 (सम)
  इसलिए, संबंध 𝑅R है:
  𝑅={(1,4),(1,6),(2,9),(3,4),(3,6),(5,4),(5,6)}R={(1,4),(1,6),(2,9),(3,4),(3,6),(5,4),(5,6)}
8.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1:
समस्या: संबंध 𝑅={(𝑥,𝑥)∣𝑥 एक अभाज्य संख्या है जो 10 से कम है}R={(x,x)∣x एक अभाज्य संख्या है जो 10 से कम है} को रोस्टर रूप में लिखें।
समाधान:
1. 10 से कम अभाज्य संख्याओं की पहचान करें:
  - अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो 1 और स्वयं के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाजित नहीं होती हैं।
  - 10 से कम अभाज्य संख्याएँ हैं: 2, 3, 5, 7।
2. आदेशित जोड़े बनाएं:
  - प्रत्येक अभाज्य संख्या 𝑥x के लिए, एक जोड़ा (𝑥,𝑥)(x,x) बनाएं।
  - 𝑥=2x=2 के लिए, जोड़ा (2,2)(2,2) है।
  - 𝑥=3x=3 के लिए, जोड़ा (3,3)(3,3) है।
  - 𝑥=5x=5 के लिए, जोड़ा (5,5)(5,5) है।
  - 𝑥=7x=7 के लिए, जोड़ा (7,7)(7,7) है।
3. संबंध को रोस्टर रूप में लिखें:
  𝑅={(2,2),(3,3),(5,5),(7,7)}R={(2,2),(3,3),(5,5),(7,7)}
इस प्रकार, संबंध 𝑅R है:
𝑅={(2,2),(3,3),(5,5),(7,7)}R={(2,2),(3,3),(5,5),(7,7)}
प्रश्न 2:
समस्या: यदि 𝐴={𝑥,𝑦,𝑧}A={x,y,z} और 𝐵={1,2}B={1,2} हो, तो 𝐴A से 𝐵B तक संबंधों की संख्या ज्ञात करें।
समाधान:
1. प्रत्येक सेट में तत्वों की संख्या निर्धारित करें:
  - सेट 𝐴A में 3 तत्व हैं: 𝑥,𝑦,𝑧x,y,z।
  - सेट 𝐵B में 2 तत्व हैं: 1,21,2।
2. कार्टेशियन गुणनफल 𝐴×𝐵A×B में तत्वों की संख्या ज्ञात करें:
  - कार्टेशियन गुणनफल 𝐴×𝐵A×B में सभी संभव आदेशित जोड़े होते हैं जहाँ पहला तत्व 𝐴A से होता है और दूसरा तत्व 𝐵B से होता है।
  - 𝑛(𝐴×𝐵)=𝑛(𝐴)×𝑛(𝐵)=3×2=6n(A×B)=n(A)×n(B)=3×2=6।
3. संभव संबंधों की संख्या की गणना करें:
  - 𝐴A से 𝐵B तक का एक संबंध 𝐴×𝐵A×B के कार्टेशियन गुणनफल का कोई भी उपसमुच्चय हो सकता है।
  - 𝑛n तत्वों वाले एक सेट के उपसमुच्चयों की संख्या 2𝑛2n होती है।
  - यहाँ, 𝑛=6n=6 है, इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या 2626 होगी।
4. संबंधों की संख्या की गणना करें:
  26=6426=64
इस प्रकार, 𝐴A से 𝐵B तक संबंधों की संख्या 64 है।
प्रश्न 3:
समस्या: संबंध 𝑅R को 𝑍Z पर इस प्रकार परिभाषित करें: 𝑅={(𝑎,𝑏)∣𝑎,𝑏∈𝑍,𝑎−𝑏 एक पूर्णांक है}R={(a,b)∣a,b∈Z,a−b एक पूर्णांक है}। 𝑅R का डोमेन और रेंज ज्ञात करें।
समाधान:
1. संबंध 𝑅R को समझें:
  - संबंध 𝑅R उन जोड़ों (𝑎,𝑏)(a,b) से बना है जहाँ 𝑎a और 𝑏b दोनों पूर्णांक हैं, और 𝑎−𝑏a−b भी एक पूर्णांक है।
  - क्योंकि 𝑎a और 𝑏b दोनों पूर्णांक हैं, 𝑎−𝑏a−b हमेशा एक पूर्णांक होगा। इसलिए, प्रत्येक पूर्णांक जोड़ा (𝑎,𝑏)(a,b) इस शर्त को संतुष्ट करता है।
2. संबंध 𝑅R का डोमेन ज्ञात करें:
  - 𝑅R का डोमेन उन जोड़ों के सभी पहले तत्वों का सेट है जो 𝑅R में हैं।
  - क्योंकि 𝑎a कोई भी पूर्णांक हो सकता है, डोमेन सभी पूर्णांकों का सेट है:
  डोमेन=𝑍डोमेन=Z
3. संबंध 𝑅R का रेंज ज्ञात करें:
  - 𝑅R का रेंज उन जोड़ों के सभी दूसरे तत्वों का सेट है जो 𝑅R में हैं।
  - क्योंकि 𝑏b कोई भी पूर्णांक हो सकता है, रेंज सभी पूर्णांकों का सेट है:
  रेंज=𝑍रेंज=Z
इस प्रकार, 𝑅R का डोमेन और रेंज दोनों 𝑍Z (सभी पूर्णांकों का सेट) हैं।
9.फलनों का परिचय और परिभाषाएँ
फलनों की परिभाषाएँ
1. फलन (Function):
  - सेट 𝐴A से सेट 𝐵B तक का एक फलन 𝑓f एक नियम है जो सेट 𝐴A के प्रत्येक तत्व 𝑥x को सेट 𝐵B के एक अद्वितीय तत्व 𝑦y के साथ संबद्ध करता है। हम इसे 𝑓:𝐴→𝐵f:A→B लिखते हैं।
  - गणितीय रूप से, यदि 𝑓f एक फलन है, तो प्रत्येक 𝑥∈𝐴x∈A के लिए, एक अद्वितीय 𝑦∈𝐵y∈B होता है, ऐसा कि 𝑦=𝑓(𝑥)y=f(x)।
2. परिभाषित क्षेत्र (Domain):
  - फलन के लिए सभी संभावित इनपुट का सेट।
  - उदाहरण: 𝑓(𝑥)=𝑥2f(x)=x2 के लिए, परिभाषित क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ 𝑅R हैं।
3. क्षेत्र (Range):
  - फलन के सभी संभावित आउटपुट का सेट।
  - उदाहरण: 𝑓(𝑥)=𝑥2f(x)=x2 के लिए, क्षेत्र सभी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ 𝑅+R+ हैं।
4. कोडोमेन (Codomain):
  - सेट 𝐵B जिसमें सभी आउटपुट फलन के द्वारा निहित होते हैं।
  - उदाहरण: 𝑓:𝑅→𝑅f:R→R के लिए, 𝑅R कोडोमेन है।
5. एक-एक फलन (One-to-One Function):
  - एक फलन 𝑓f एक-एक (इंजेक्टिव) है यदि विभिन्न इनपुट विभिन्न आउटपुट को मैप करते हैं।
  - गणितीय रूप से, 𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)f(x1)=f(x2) से 𝑥1=𝑥2x1=x2 होता है।
6. संपूर्ण फलन (Onto Function):
  - एक फलन 𝑓f संपूर्ण (सर्जेक्टिव) है यदि कोडोमेन का हर तत्व किसी न किसी इनपुट के लिए आउटपुट है।
  - गणितीय रूप से, प्रत्येक 𝑦∈𝐵y∈B के लिए, कुछ 𝑥∈𝐴x∈A होता है ऐसा कि 𝑓(𝑥)=𝑦f(x)=y।
7. द्वैतीय फलन (Bijective Function):
  - एक फलन 𝑓f द्वैतीय है यदि यह एक-एक और संपूर्ण दोनों है।
  - इसका मतलब है कि कोडोमेन का हर तत्व ठीक एक इनपुट के लिए आउटपुट है।
वास्तविक जीवन का उदाहरण
कल्पना कीजिए कि आप एक कॉफी शॉप में हैं। आप कॉफी का एक प्रकार चुन सकते हैं (जैसे, एस्प्रेसो, लैटे, कैप्पुचिनो), और प्रत्येक प्रकार के लिए एक निश्चित कीमत है। कॉफी का प्रकार आपका इनपुट है, और कीमत आउटपुट है। यह संबंध कॉफी के प्रकार और कीमत के बीच एक फलन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। समस्या समाधान के उदाहरण
उदाहरण 1: मूल फलन
समस्या: मान लें 𝑓:𝑅→𝑅f:R→R को 𝑓(𝑥)=2𝑥+3f(x)=2x+3 द्वारा परिभाषित किया गया है। 𝑓(1)f(1), 𝑓(−2)f(−2) और 𝑓f का डोमेन और रेंज ज्ञात करें।
समाधान:
1. 𝑓(1)f(1) की गणना करें:
  𝑓(1)=2(1)+3=5f(1)=2(1)+3=5
2. 𝑓(−2)f(−2) की गणना करें:
  𝑓(−2)=2(−2)+3=−4+3=−1f(−2)=2(−2)+3=−4+3=−1
3. डोमेन:
  - फलन 𝑓(𝑥)=2𝑥+3f(x)=2x+3 सभी वास्तविक संख्याओं 𝑅R के लिए परिभाषित है।
4. रेंज:
  - क्योंकि 𝑥x सभी वास्तविक मान ले सकता है, 2𝑥+32x+3 भी सभी वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए, रेंज 𝑅R है।
उदाहरण 2: एक-एक फलन
समस्या: निर्धारित करें कि फलन 𝑓:𝑅→𝑅f:R→R जो 𝑓(𝑥)=3𝑥+1f(x)=3x+1 द्वारा परिभाषित है, एक-एक है या नहीं।
समाधान:
1. मान लें 𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)f(x1)=f(x2):
  3𝑥1+1=3𝑥2+13x1+1=3x2+1
2. दोनों पक्षों से 1 घटाएँ:
  3𝑥1=3𝑥23x1=3x2
3. 3 से भाग दें:
  𝑥1=𝑥2x1=x2
क्योंकि 𝑥1=𝑥2x1=x2 है, यह फलन एक-एक है।
उदाहरण 3: संपूर्ण फलन
समस्या: निर्धारित करें कि फलन 𝑓:𝑅→𝑅f:R→R जो 𝑓(𝑥)=𝑥2f(x)=x2 द्वारा परिभाषित है, संपूर्ण है या नहीं।
समाधान:
1. 𝑓f संपूर्ण होने के लिए, हर 𝑦∈𝑅y∈R के लिए 𝑓(𝑥)f(x) कुछ 𝑥∈𝑅x∈R के लिए होना चाहिए।
2. 𝑓(𝑥)=𝑥2f(x)=x2 धनात्मक मान देता है।
3. इसलिए, कोई 𝑥x नहीं है जिससे 𝑓(𝑥)f(x) नकारात्मक संख्या हो।
4. इस प्रकार, 𝑓(𝑥)=𝑥2f(x)=x2 संपूर्ण नहीं है, क्योंकि यह सभी 𝑅R को कवर नहीं करता है।

संबंध एवं फलन — कक्षा 11 गणित नोट्स

संबंध एवं फलन में शामिल टॉपिक

1.परिचय: संबंध और फलन

चलो एक दिलचस्प वास्तविक जीवन के उदाहरण के साथ शुरू करते हैं ताकि संबंध और फलन की अवधारणा को समझा जा सके।

चरण-दर-चरण व्याख्या

मुख्य बिंदु

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

सरल गतिविधि फलनों को समझने के लिए

2.सेट के कार्टेशियन उत्पाद

चरण-दर-चरण व्याख्या

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1:

उदाहरण 2:

उदाहरण 3:

उदाहरण 4:

इन दो सेटों का कार्टेशियन गुणनफल मुख्य भोजन और मिठाई के सभी संभव जोड़े देगा। वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

3.अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1:

प्रश्न 2:

प्रश्न 3:

प्रश्न 4:

प्रश्न 5:

प्रश्न 6:

4.अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1:

प्रश्न 2:

प्रश्न 3:

5.संबंधों की परिभाषा

संबंधों की परिभाषा

औपचारिक परिभाषा:

संबंधों के उदाहरण

संबंधों के प्रकार

वास्तविक जीवन का उदाहरण

संबंधों को समझने के लिए सरल गतिविधि

6.

1. रिक्त संबंध (Empty Relation)

2. सार्वभौमिक संबंध (Universal Relation)

3. पहचान संबंध (Identity Relation)

4. परावर्ती संबंध (Reflexive Relation)

5. सममित संबंध (Symmetric Relation)

6. सांपरिक संबंध (Transitive Relation)

7.अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1:

प्रश्न 2:

प्रश्न 3:

8.अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1:

प्रश्न 2:

प्रश्न 3:

9.फलनों का परिचय और परिभाषाएँ

फलनों की परिभाषाएँ

वास्तविक जीवन का उदाहरण

उदाहरण 1: मूल फलन

उदाहरण 2: एक-एक फलन

उदाहरण 3: संपूर्ण फलन

कक्षा 11 गणित के अन्य अध्याय