तीन आयामी ज्यामिति का परिचय — कक्षा 11 गणित नोट्स

तीन आयामी ज्यामिति का परिचय · कक्षा 11 गणित · 6 टॉपिक.

ये नोट्स बिना खाते के मुफ़्त पढ़े जा सकते हैं। क्रम से पढ़ें, या परीक्षा से पहले चुनिंदा रिवीजन के लिए अध्याय सूची का उपयोग करें।

तीन आयामी ज्यामिति का परिचय में शामिल टॉपिक

1.तीन आयामी ज्यामिति का परिचय
तीन आयामी ज्यामिति, जिसे 3D ज्यामिति भी कहा जाता है, उन वस्तुओं का अध्ययन करती है जिनमें तीन आयाम होते हैं: लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई। यह ज्यामिति की शाखा द्वि-आयामी आकृतियों की अवधारणाओं को तीन आयामी स्थान में विस्तारित करती है, जिससे हमें बिंदुओं, रेखाओं, समतल और आकृतियों की गुण और संबंधों का अध्ययन करने की अनुमति मिलती है।
मुख्य अवधारणाएं
1. स्थान में निर्देशांक:
  - बिंदु: तीन आयामी स्थान में इसे (𝑥,𝑦,𝑧)(x,y,z) के रूप में दर्शाया जाता है।
  - निर्देशांक अक्ष: तीन लंबवत अक्ष x-अक्ष, y-अक्ष, और z-अक्ष होते हैं।
  - निर्देशांक समतल: xy-समतल, yz-समतल, और zx-समतल स्थान को आठ भागों में विभाजित करते हैं।
2. दूरी सूत्र: दो बिंदुओं (𝑥1,𝑦1,𝑧1)(x1,y1,z1) और (𝑥2,𝑦2,𝑧2)(x2,y2,z2) के बीच की दूरी निकालने के लिए:
  𝑑=(𝑥2−𝑥1)2+(𝑦2−𝑦1)2+(𝑧2−𝑧1)2d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
3. खंड सूत्र: एक बिंदु के निर्देशांक निकालने के लिए जो (𝑥1,𝑦1,𝑧1)(x1,y1,z1) और (𝑥2,𝑦2,𝑧2)(x2,y2,z2) को 𝑚:𝑛m:n अनुपात में विभाजित करता है:
  (𝑚𝑥2+𝑛𝑥1𝑚+𝑛,𝑚𝑦2+𝑛𝑦1𝑚+𝑛,𝑚𝑧2+𝑛𝑧1𝑚+𝑛)(m+nmx2+nx1,m+nmy2+ny1,m+nmz2+nz1)
4. दिशा अनुपात और कोसाइन:
  - दिशा अनुपात (DRs): एक रेखा के दिशा संख्याओं के समानुपाती होते हैं।
  - दिशा कोसाइन (DCs): कोणों के कोसाइन होते हैं जो एक रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ बनाती है।
5. समतल समीकरण: तीन आयामी स्थान में एक समतल को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है:
  𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0ax+by+cz+d=0
  जहां 𝑎,𝑏,𝑐a,b,c समतल के सामान्य का दिशा अनुपात होते हैं।
वास्तविक जीवन उदाहरण
एक ड्रोन को हवा में उड़ते हुए देखें। इसके स्थान को वर्णित करने के लिए, हमें तीन निर्देशांक की आवश्यकता होती है: पूर्व की दूरी (x), उत्तर की दूरी (y), और ऊँचाई (z)। यह तीन आयामी स्थिति हमें ड्रोन के स्थान को सटीक रूप से निर्धारित करने की अनुमति देती है, जैसे कि 3D ज्यामिति हमें बिंदुओं, रेखाओं, और समतलों का तीन आयामी संदर्भ में विश्लेषण करने की अनुमति देती है।
चरण-दर-चरण उदाहरण
चलो दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकालते हैं:
- बिंदु A: (1,2,3)(1,2,3)
- बिंदु B: (4,6,8)(4,6,8)
1. निर्देशांक पहचानें:
  - 𝑥1=1,𝑦1=2,𝑧1=3x1=1,y1=2,z1=3
  - 𝑥2=4,𝑦2=6,𝑧2=8x2=4,y2=6,z2=8
2. दूरी सूत्र लागू करें:
  𝑑=(4−1)2+(6−2)2+(8−3)2d=(4−1)2+(6−2)2+(8−3)2
3. अंतर निकालें:
  𝑑=32+42+52d=32+42+52
4. अंतर का वर्ग लें:
  𝑑=9+16+25d=9+16+25
5. जोड़ें और वर्गमूल निकालें:
  𝑑=50=52d=50=52
इस प्रकार, बिंदु A और B के बीच की दूरी 5252 इकाई है।
करियर और उद्योग
- इंजीनियरिंग: संरचनाओं, मशीनों, और प्रणालियों के डिजाइन और विश्लेषण में।
- वास्तुकला: इमारतों और स्थानों के 3D मॉडल बनाने में।
- कंप्यूटर ग्राफिक्स: 3D एनिमेशन और दृश्य प्रभाव विकसित करने में।
- भूविज्ञान: भूगर्भीय संरचनाओं के स्थानिक वितरण का अध्ययन करने में।
- रोबोटिक्स: रोबोट को तीन आयामी स्थान में प्रोग्रामिंग और नेविगेट करने में।
2.तीन आयामी अंतरिक्ष में अक्षों का समन्वय और तलों का समन्वय
इस चित्र में तीन आयामी निर्देशांक प्रणाली को दर्शाया गया है। आइए इसके महत्वपूर्ण तत्वों और उनके महत्व को समझें:
निर्देशांक अक्ष और समतल
1. निर्देशांक अक्ष:
  - X-अक्ष: X'OX रेखा द्वारा दर्शाया गया।
  - Y-अक्ष: Y'OY रेखा द्वारा दर्शाया गया।
  - Z-अक्ष: Z'OZ रेखा द्वारा दर्शाया गया।
2. निर्देशांक समतल:
  - XY-समतल (XOY): x-अक्ष और y-अक्ष द्वारा निर्मित समतल।
  - YZ-समतल (YOZ): y-अक्ष और z-अक्ष द्वारा निर्मित समतल।
  - ZX-समतल (ZOX): z-अक्ष और x-अक्ष द्वारा निर्मित समतल।
मूल बिंदु
- वह बिंदु 𝑂O जहां तीनों अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं, मूल बिंदु कहलाता है।
आठवें भाग (ऑक्टेंट्स)
- तीन निर्देशांक समतल स्थान को आठ भागों में विभाजित करते हैं:
  1. पहला ऑक्टेंट (XOYZ): धन x, धन y, धन z।
  2. दूसरा ऑक्टेंट (X'OYZ): ऋणात्मक x, धन y, धन z।
  3. तीसरा ऑक्टेंट (X'OY'Z): ऋणात्मक x, ऋणात्मक y, धन z।
  4. चौथा ऑक्टेंट (XOY'Z): धन x, ऋणात्मक y, धन z।
  5. पाँचवा ऑक्टेंट (XOYZ'): धन x, धन y, ऋणात्मक z।
  6. छठा ऑक्टेंट (X'OYZ'): ऋणात्मक x, धन y, ऋणात्मक z।
  7. सातवाँ ऑक्टेंट (X'OY'Z'): ऋणात्मक x, ऋणात्मक y, ऋणात्मक z।
  8. आठवाँ ऑक्टेंट (XOY'Z'): धन x, ऋणात्मक y, ऋणात्मक z।
निर्देशांक की धनात्मकता और ऋणात्मकता
- XY-समतल से ऊपर की ओर OZ के साथ मापी गई दूरी धनात्मक होती है, और नीचे की ओर OZ' के साथ ऋणात्मक होती है।
- ZX-समतल से दाईं ओर OY के साथ मापी गई दूरी धनात्मक होती है, और बाईं ओर OY' के साथ ऋणात्मक होती है।
- YZ-समतल के सामने OX के साथ मापी गई दूरी धनात्मक होती है, और पीछे OX' के साथ ऋणात्मक होती है।
यह तीन आयामी निर्देशांक प्रणाली हमें स्थान में बिंदुओं का सटीक वर्णन करने की अनुमति देती है। यह भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर ग्राफिक्स, और कई अन्य क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।
वास्तविक जीवन में उपयोग का उदाहरण
एक GPS प्रणाली का विचार करें जो आपके स्थान को अक्षांश, देशांतर, और ऊँचाई का उपयोग करके निर्धारित करती है। ये तीन मापदंड तीन आयामी निर्देशांक प्रणाली में x, y, और z निर्देशांक के समान हैं। GPS आपके सटीक स्थान की गणना करता है, जिससे सटीक नेविगेशन और मैपिंग संभव होती है।
3.अंतरिक्ष में बिंदु के निर्देशांक
तीन आयामी स्थान में, किसी भी बिंदु को तीन निर्देशांक
(𝑥,𝑦,𝑧)(x,y,z) द्वारा दर्शाया जा सकता है। ये निर्देशांक तीन लंबवत निर्देशांक अक्षों: X, Y, और Z के सापेक्ष बिंदु की स्थिति को परिभाषित करते हैं।
मुख्य अवधारणाएं
1. मूल बिंदु: वह बिंदु जहां तीनों अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं, मूल बिंदु कहलाता है। इसके निर्देशांक (0,0,0)(0,0,0) होते हैं।
2. निर्देशांक अक्ष:
  - X-अक्ष: बाएँ से दाएँ क्षैतिज अक्ष (धनात्मक दिशा में)।
  - Y-अक्ष: सामने से पीछे क्षैतिज अक्ष (धनात्मक दिशा में)।
  - Z-अक्ष: नीचे से ऊपर लंबवत अक्ष (धनात्मक दिशा में)।
3. निर्देशांक समतल:
  - XY-समतल (XOY): X और Y अक्षों द्वारा निर्मित।
  - YZ-समतल (YOZ): Y और Z अक्षों द्वारा निर्मित।
  - ZX-समतल (ZOX): Z और X अक्षों द्वारा निर्मित।
बिंदु का निरूपण
स्थान में एक बिंदु 𝑃P को इसके निर्देशांक (𝑥,𝑦,𝑧)(x,y,z) द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहाँ:
- 𝑥x YZ-समतल से दूरी है (X-अक्ष के साथ मापी जाती है)।
- 𝑦y ZX-समतल से दूरी है (Y-अक्ष के साथ मापी जाती है)।
- 𝑧z XY-समतल से दूरी है (Z-अक्ष के साथ मापी जाती है)।
चित्र का विवरण
यहाँ एक चित्र है जो अंतरिक्ष में बिंदु के निर्देशांकों को स्पष्ट करने में मदद करेगा:
इस चित्र में:
- O मूल बिंदु है।
- X, Y, Z निर्देशांक अक्ष हैं।
- P अंतरिक्ष में बिंदु है जिसके निर्देशांक (𝑥,𝑦,𝑧)(x,y,z) हैं।
- P से प्रत्येक अक्ष तक लंबवत रेखाएं खींची गई हैं, जो अक्षों पर बिंदुओं 𝑀M, 𝑁N, और 𝐿L पर मिलती हैं।
  - बिंदु 𝑀M के निर्देशांक (𝑥,𝑦,0)(x,y,0) हैं।
  - बिंदु 𝑁N के निर्देशांक (0,𝑦,𝑧)(0,y,z) हैं।
  - बिंदु 𝐿L के निर्देशांक (𝑥,0,𝑧)(x,0,z) हैं।
अंतरिक्ष में बिंदु का स्थान निर्धारण के चरण
1. मूल बिंदु से प्रारंभ करें: मूल बिंदु 𝑂(0,0,0)O(0,0,0) से शुरू करें।
2. X-अक्ष के साथ चलें: X-अक्ष के साथ 𝑥x इकाइयों तक क्षैतिज चलें। यदि 𝑥x धनात्मक है, तो दाएँ चलें; यदि 𝑥x ऋणात्मक है, तो बाएँ चलें।
3. Y-अक्ष के साथ चलें: नई स्थिति से, Y-अक्ष के साथ 𝑦y इकाइयों तक क्षैतिज चलें। यदि 𝑦y धनात्मक है, तो आगे चलें; यदि 𝑦y ऋणात्मक है, तो पीछे चलें।
4. Z-अक्ष के साथ चलें: नई स्थिति से, Z-अक्ष के साथ 𝑧z इकाइयों तक लंबवत चलें। यदि 𝑧z धनात्मक है, तो ऊपर चलें; यदि 𝑧z ऋणात्मक है, तो नीचे चलें।
इन आंदोलनों के बाद अंतिम स्थिति बिंदु 𝑃P का स्थान है, जिसके निर्देशांक (𝑥,𝑦,𝑧)(x,y,z) होते हैं।
वास्तविक जीवन उदाहरण
एक कमरे में उड़ रहे ड्रोन को देखें। इसके स्थान को निर्दिष्ट करने के लिए आपको चाहिए:
- यह बाएँ दीवार से कितनी दूर है (X-निर्देशांक)।
- यह सामने की दीवार से कितनी दूर है (Y-निर्देशांक)।
- यह फर्श से कितनी ऊँचाई पर है (Z-निर्देशांक)।
यह तीन आयामी निर्देशांक प्रणाली ड्रोन के स्थान का सटीक वर्णन करने में मदद करती है।
4.अभ्यास प्रश्न
1. एक बिंदु 𝑋X-अक्ष पर है। इसके 𝑦y-निर्देशांक और 𝑧z-निर्देशांक क्या हैं?
समझाना: 𝑋X-अक्ष पर स्थित बिंदु का केवल 𝑥x-निर्देशांक होता है। इसलिए, इसका 𝑦y-निर्देशांक और 𝑧z-निर्देशांक दोनों शून्य होते हैं।
उत्तर:
- 𝑦y-निर्देशांक: 0
- 𝑧z-निर्देशांक: 0
2. एक बिंदु 𝑋𝑍XZ-समतल में है। इसके 𝑦y-निर्देशांक के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
समझाना: 𝑋𝑍XZ-समतल में स्थित बिंदु का 𝑦y-निर्देशांक शून्य होता है क्योंकि यह पूरी तरह से 𝑋X और 𝑍Z अक्षों द्वारा बने समतल में स्थित है।
उत्तर:
- 𝑦y-निर्देशांक: 0
3. निम्नलिखित बिंदुओं के लिए अष्टकांडों का नाम बताएं:
अष्टकांड में स्थित बिंदु को निर्धारित करने के लिए, इसके निर्देशांक (𝑥,𝑦,𝑧)(x,y,z) के संकेतों पर विचार करें:
- I: 𝑥>0,𝑦>0,𝑧>0x>0,y>0,z>0
- II: 𝑥<0,𝑦>0,𝑧>0x<0,y>0,z>0
- III: 𝑥<0,𝑦<0,𝑧>0x<0,y<0,z>0
- IV: 𝑥>0,𝑦<0,𝑧>0x>0,y<0,z>0
- V: 𝑥>0,𝑦>0,𝑧<0x>0,y>0,z<0
- VI: 𝑥<0,𝑦>0,𝑧<0x<0,y>0,z<0
- VII: 𝑥<0,𝑦<0,𝑧<0x<0,y<0,z<0
- VIII: 𝑥>0,𝑦<0,𝑧<0x>0,y<0,z<0
बिंदु:
1. (1,2,3)(1,2,3):
  - 𝑥>0,𝑦>0,𝑧>0x>0,y>0,z>0
  - अष्टकांड: I
2. (4,−2,3)(4,−2,3):
  - 𝑥>0,𝑦<0,𝑧>0x>0,y<0,z>0
  - अष्टकांड: IV
3. (4,−2,−5)(4,−2,−5):
  - 𝑥>0,𝑦<0,𝑧<0x>0,y<0,z<0
  - अष्टकांड: VIII
4. (−4,2,5)(−4,2,5):
  - 𝑥<0,𝑦>0,𝑧>0x<0,y>0,z>0
  - अष्टकांड: II
5. (−4,2,−5)(−4,2,−5):
  - 𝑥<0,𝑦>0,𝑧<0x<0,y>0,z<0
  - अष्टकांड: VI
6. (−4,−2,5)(−4,−2,5):
  - 𝑥<0,𝑦<0,𝑧>0x<0,y<0,z>0
  - अष्टकांड: III
7. (−3,−1,6)(−3,−1,6):
  - 𝑥<0,𝑦<0,𝑧>0x<0,y<0,z>0
  - अष्टकांड: III
8. (−2,−4,−7)(−2,−4,−7):
  - 𝑥<0,𝑦<0,𝑧<0x<0,y<0,z<0
  - अष्टकांड: VII
अष्टकांडों का सारांश:
1. (1,2,3)(1,2,3): I
2. (4,−2,3)(4,−2,3): IV
3. (4,−2,−5)(4,−2,−5): VIII
4. (−4,2,5)(−4,2,5): II
5. (−4,2,−5)(−4,2,−5): VI
6. (−4,−2,5)(−4,−2,5): III
7. (−3,−1,6)(−3,−1,6): III
8. (−2,−4,−7)(−2,−4,−7): VII
5.दो बिंदुओं के बीच की दूरी
दो बिंदुओं के बीच की दूरी को तीन आयामी स्थान में समझने के लिए, हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं। चलिए इस अवधारणा को दी गई आकृति का उपयोग करके समझाते हैं।
आकृति का विवरण
आकृति में, हमारे पास एक आयताकार बॉक्स है जिसके बिंदु निम्नलिखित हैं:
- O: मूल बिंदु (0,0,0)(0,0,0)
- P, Q, A, N: स्थान में बिंदु हैं जिनके निर्देशांक हैं
हम बिंदुओं 𝑃P और 𝑄Q के बीच की दूरी निकालेंगे।
दूरी सूत्र
तीन आयामी स्थान में दो बिंदुओं (𝑥1,𝑦1,𝑧1)(x1,y1,z1) और (𝑥2,𝑦2,𝑧2)(x2,y2,z2) के बीच की दूरी 𝑑d निम्नलिखित है: 𝑑=(𝑥2−𝑥1)2+(𝑦2−𝑦1)2+(𝑧2−𝑧1)2d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
चरण-दर-चरण गणना
1. निर्देशांक पहचानें:
  - मान लें कि बिंदु 𝑃P और 𝑄Q के निर्देशांक हैं:
    - 𝑃(𝑥1,𝑦1,𝑧1)P(x1,y1,z1)
    - 𝑄(𝑥2,𝑦2,𝑧2)Q(x2,y2,z2)
2. निर्देशांक अंतर निकालें:
  - Δ𝑥=𝑥2−𝑥1Δx=x2−x1
  - Δ𝑦=𝑦2−𝑦1Δy=y2−y1
  - Δ𝑧=𝑧2−𝑧1Δz=z2−z1
3. अंतर का वर्ग करें:
  - (Δ𝑥)2=(𝑥2−𝑥1)2(Δx)2=(x2−x1)2
  - (Δ𝑦)2=(𝑦2−𝑦1)2(Δy)2=(y2−y1)2
  - (Δ𝑧)2=(𝑧2−𝑧1)2(Δz)2=(z2−z1)2
4. वर्गों का योग करें:
  - इन वर्गों का योग निकालें: (Δ𝑥)2+(Δ𝑦)2+(Δ𝑧)2=(𝑥2−𝑥1)2+(𝑦2−𝑦1)2+(𝑧2−𝑧1)2(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
5. वर्गमूल निकालें:
  - योग का वर्गमूल निकालें: 𝑑=(𝑥2−𝑥1)2+(𝑦2−𝑦1)2+(𝑧2−𝑧1)2d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
आकृति पर लागू करें
मान लें कि निर्देशांक हैं:
- 𝑃(𝑥1,𝑦1,𝑧1)P(x1,y1,z1)
- 𝑄(𝑥2,𝑦2,𝑧2)Q(x2,y2,z2)
तो 𝑃P और 𝑄Q के बीच की दूरी निकालने के लिए: 𝑑𝑃𝑄=(𝑥2−𝑥1)2+(𝑦2−𝑦1)2+(𝑧2−𝑧1)2dPQ=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
उदाहरण गणना
मान लें:
- 𝑃(2,3,4)P(2,3,4)
- 𝑄(5,7,9)Q(5,7,9)
तो: Δ𝑥=5−2=3Δx=5−2=3 Δ𝑦=7−3=4Δy=7−3=4 Δ𝑧=9−4=5Δz=9−4=5
वर्ग निकालें: (Δ𝑥)2=32=9(Δx)2=32=9 (Δ𝑦)2=42=16(Δy)2=42=16 (Δ𝑧)2=52=25(Δz)2=52=25
वर्गों का योग: (Δ𝑥)2+(Δ𝑦)2+(Δ𝑧)2=9+16+25=50(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2=9+16+25=50
वर्गमूल निकालें: 𝑑𝑃𝑄=50=52dPQ=50=52
इस प्रकार, बिंदु 𝑃P और 𝑄Q के बीच की दूरी 5252 इकाइयाँ है।
6.अभ्यास प्रश्न
1. निम्नलिखित युग्म बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:
दूरी सूत्र दो बिंदुओं (𝑥1,𝑦1,𝑧1)(x1,y1,z1) और (𝑥2,𝑦2,𝑧2)(x2,y2,z2) के बीच निम्नलिखित है: 𝑑=(𝑥2−𝑥1)2+(𝑦2−𝑦1)2+(𝑧2−𝑧1)2d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
(i) (2,3,5)(2,3,5) और (4,3,1)(4,3,1)
𝑑=(4−2)2+(3−3)2+(1−5)2=22+0+(−4)2=4+16=20=25d=(4−2)2+(3−3)2+(1−5)2=22+0+(−4)2=4+16=20=25
(ii) (−3,7,2)(−3,7,2) और (2,4,−1)(2,4,−1)
𝑑=(2−(−3))2+(4−7)2+(−1−2)2=(2+3)2+(−3)2+(−3)2=52+32+32=25+9+9=43d=(2−(−3))2+(4−7)2+(−1−2)2=(2+3)2+(−3)2+(−3)2=52+32+32=25+9+9=43
(iii) (−1,3,−4)(−1,3,−4) और (−1,−3,4)(−1,−3,4)
𝑑=(−1−(−1))2+(−3−3)2+(4−(−4))2=0+(−6)2+82=36+64=100=10d=(−1−(−1))2+(−3−3)2+(4−(−4))2=0+(−6)2+82=36+64=100=10
(iv) (2,−1,3)(2,−1,3) और (−2,1,3)(−2,1,3)
𝑑=(−2−2)2+(1−(−1))2+(3−3)2=(−4)2+22+0=16+4=20=25d=(−2−2)2+(1−(−1))2+(3−3)2=(−4)2+22+0=16+4=20=25
2. सिद्ध कीजिए कि बिंदु (−2,3,5)(−2,3,5), (1,2,3)(1,2,3), और (7,0,−1)(7,0,−1) एक रेखा में हैं।
सिद्ध करने के लिए कि बिंदु रेखीय हैं, हमें यह जांचना होगा कि इन बिंदुओं द्वारा बनी रेखाओं के दिशा अनुपात समानुपाती हैं या नहीं।
बिंदु 𝐴(−2,3,5)A(−2,3,5), 𝐵(1,2,3)B(1,2,3), और 𝐶(7,0,−1)C(7,0,−1) मान लें।
सदिश 𝐴𝐵→AB
𝐴𝐵→=(1+2,2−3,3−5)=(3,−1,−2)AB=(1+2,2−3,3−5)=(3,−1,−2)
सदिश 𝐵𝐶→BC
𝐵𝐶→=(7−1,0−2,−1−3)=(6,−2,−4)BC=(7−1,0−2,−1−3)=(6,−2,−4)
जांचें कि क्या 𝐴𝐵→AB और 𝐵𝐶→BC समानुपाती हैं: 63=−2−1=−4−2=236=−1−2=−2−4=2
चूंकि दिशा अनुपात समानुपाती हैं, बिंदु रेखीय हैं।
3. निम्नलिखित सत्यापित करें:
(i) (0,7,−10)(0,7,−10), (1,6,−6)(1,6,−6), और (4,9,−6)(4,9,−6) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करें:
- 𝐴(0,7,−10)A(0,7,−10), 𝐵(1,6,−6)B(1,6,−6), और 𝐶(4,9,−6)C(4,9,−6)।
दूरी 𝐴𝐵AB:
𝑑𝐴𝐵=(1−0)2+(6−7)2+(−6−(−10))2=12+(−1)2+42=1+1+16=18=32dAB=(1−0)2+(6−7)2+(−6−(−10))2=12+(−1)2+42=1+1+16=18=32
दूरी 𝐵𝐶BC:
𝑑𝐵𝐶=(4−1)2+(9−6)2+(−6−(−6))2=32+32+0=9+9=18=32dBC=(4−1)2+(9−6)2+(−6−(−6))2=32+32+0=9+9=18=32
दूरी 𝐶𝐴CA:
𝑑𝐶𝐴=(4−0)2+(9−7)2+(−6−(−10))2=42+22+42=16+4+16=36=6dCA=(4−0)2+(9−7)2+(−6−(−10))2=42+22+42=16+4+16=36=6
चूंकि 𝐴𝐵=𝐵𝐶=32AB=BC=32 और 𝐶𝐴=6CA=6, △𝐴𝐵𝐶△ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
(ii) (0,7,10)(0,7,10), (−1,6,6)(−1,6,6), और (−4,9,6)(−4,9,6) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करें:
- 𝐴(0,7,10)A(0,7,10), 𝐵(−1,6,6)B(−1,6,6), और 𝐶(−4,9,6)C(−4,9,6)।
दूरी 𝐴𝐵AB:
𝑑𝐴𝐵=(−1−0)2+(6−7)2+(6−10)2=1+1+16=18=32dAB=(−1−0)2+(6−7)2+(6−10)2=1+1+16=18=32
दूरी 𝐵𝐶BC:
𝑑𝐵𝐶=(−4−(−1))2+(9−6)2+(6−6)2=9+9=18=32dBC=(−4−(−1))2+(9−6)2+(6−6)2=9+9=18=32
दूरी 𝐶𝐴CA:
𝑑𝐶𝐴=(−4−0)2+(9−7)2+(6−10)2=16+4+16=36=6dCA=(−4−0)2+(9−7)2+(6−10)2=16+4+16=36=6
यदि 𝑎2+𝑏2=𝑐2a2+b2=c2 पक्षों के लिए सही है, तो यह एक समकोण त्रिभुज की पुष्टि करता है।
(32)2+(32)2=62(32)2+(32)2=62 18+18=3618+18=36
चूंकि शर्त सही है, △𝐴𝐵𝐶△ABC एक समकोण त्रिभुज है।
4. उन बिंदुओं का समीकरण ज्ञात करें जो बिंदुओं (1,2,3)(1,2,3) और (3,2,−1)(3,2,−1) से समान दूरी पर हैं।
मान लें कि 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)P(x,y,z) वह बिंदु है जो 𝐴(1,2,3)A(1,2,3) और 𝐵(3,2,−1)B(3,2,−1) से समान दूरी पर है।
दूरी 𝑃𝐴=𝑃𝐵PA=PB देता है: (𝑥−1)2+(𝑦−2)2+(𝑧−3)2=(𝑥−3)2+(𝑦−2)2+(𝑧+1)2(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=(x−3)2+(y−2)2+(z+1)2
दोनों पक्षों को वर्ग करें: (𝑥−1)2+(𝑦−2)2+(𝑧−3)2=(𝑥−3)2+(𝑦−2)2+(𝑧+1)2(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=(x−3)2+(y−2)2+(z+1)2
विस्तार और सरलीकरण करें: 𝑥2−2𝑥+1+𝑦2−4𝑦+4+𝑧2−6𝑧+9=𝑥2−6𝑥+9+𝑦2−4𝑦+4+𝑧2+2𝑧+1x2−2x+1+y2−4y+4+z2−6z+9=x2−6x+9+y2−4y+4+z2+2z+1
समान पदों को जोड़ें: −2𝑥+1−6𝑧+9=−6𝑥+9+2𝑧+1−2x+1−6z+9=−6x+9+2z+1
पदों को मिलाएं: −2𝑥−6𝑧+10=−6𝑥+2𝑧+10−2x−6z+10=−6x+2z+10
4𝑥+8𝑧=04x+8z=0
𝑥+2𝑧=0x+2z=0
इसलिए, बिंदुओं का सेट का समीकरण है: 𝑥+2𝑧=0x+2z=0
5. उन बिंदुओं 𝑃P का समीकरण ज्ञात करें, जिनकी बिंदुओं 𝐴(4,0,0)A(4,0,0) और 𝐵(−4,0,0)B(−4,0,0) से दूरी का योग 10 है।
मान लें कि 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)P(x,y,z) वह बिंदु है जिसका दूरी योग 𝐴(4,0,0)A(4,0,0) और 𝐵(−4,0,0)B(−4,0,0) से 10 है।
𝑃𝐴+𝑃𝐵=10PA+PB=10
(𝑥−4)2+𝑦2+𝑧2+(𝑥+4)2+𝑦2+𝑧2=10(x−4)2+y2+z2+(x+4)2+y2+z2=10
मान लें 𝑑1=(𝑥−4)2+𝑦2+𝑧2d1=(x−4)2+y2+z2 और 𝑑2=(𝑥+4)2+𝑦2+𝑧2d2=(x+4)2+y2+z2
हमारे पास है: 𝑑1+𝑑2=10d1+d2=10
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है जिसके केन्द्र 𝐴(4,0,0)A(4,0,0) और 𝐵(−4,0,0)B(−4,0,0) पर है, और प्रमुख अक्ष की लंबाई 10 है।

तीन आयामी ज्यामिति का परिचय — कक्षा 11 गणित नोट्स

तीन आयामी ज्यामिति का परिचय में शामिल टॉपिक

1.तीन आयामी ज्यामिति का परिचय

मुख्य अवधारणाएं

वास्तविक जीवन उदाहरण

चरण-दर-चरण उदाहरण

करियर और उद्योग

2.तीन आयामी अंतरिक्ष में अक्षों का समन्वय और तलों का समन्वय

निर्देशांक अक्ष और समतल

मूल बिंदु

आठवें भाग (ऑक्टेंट्स)

निर्देशांक की धनात्मकता और ऋणात्मकता

वास्तविक जीवन में उपयोग का उदाहरण

3.अंतरिक्ष में बिंदु के निर्देशांक

तीन आयामी स्थान में, किसी भी बिंदु को तीन निर्देशांक

मुख्य अवधारणाएं

बिंदु का निरूपण

चित्र का विवरण

अंतरिक्ष में बिंदु का स्थान निर्धारण के चरण

वास्तविक जीवन उदाहरण

4.अभ्यास प्रश्न

1. एक बिंदु 𝑋X-अक्ष पर है। इसके 𝑦y-निर्देशांक और 𝑧z-निर्देशांक क्या हैं?

2. एक बिंदु 𝑋𝑍XZ-समतल में है। इसके 𝑦y-निर्देशांक के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

3. निम्नलिखित बिंदुओं के लिए अष्टकांडों का नाम बताएं:

अष्टकांडों का सारांश:

5.दो बिंदुओं के बीच की दूरी

आकृति का विवरण

दूरी सूत्र

चरण-दर-चरण गणना

आकृति पर लागू करें

उदाहरण गणना

6.अभ्यास प्रश्न

1. निम्नलिखित युग्म बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:

(i) (2,3,5)(2,3,5) और (4,3,1)(4,3,1)

(ii) (−3,7,2)(−3,7,2) और (2,4,−1)(2,4,−1)

(iii) (−1,3,−4)(−1,3,−4) और (−1,−3,4)(−1,−3,4)

(iv) (2,−1,3)(2,−1,3) और (−2,1,3)(−2,1,3)

2. सिद्ध कीजिए कि बिंदु (−2,3,5)(−2,3,5), (1,2,3)(1,2,3), और (7,0,−1)(7,0,−1) एक रेखा में हैं।

सदिश 𝐴𝐵→AB

सदिश 𝐵𝐶→BC

3. निम्नलिखित सत्यापित करें:

(i) (0,7,−10)(0,7,−10), (1,6,−6)(1,6,−6), और (4,9,−6)(4,9,−6) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

दूरी 𝐴𝐵AB:

दूरी 𝐵𝐶BC:

दूरी 𝐶𝐴CA:

(ii) (0,7,10)(0,7,10), (−1,6,6)(−1,6,6), और (−4,9,6)(−4,9,6) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

दूरी 𝐴𝐵AB:

दूरी 𝐵𝐶BC:

दूरी 𝐶𝐴CA:

4. उन बिंदुओं का समीकरण ज्ञात करें जो बिंदुओं (1,2,3)(1,2,3) और (3,2,−1)(3,2,−1) से समान दूरी पर हैं।

5. उन बिंदुओं 𝑃P का समीकरण ज्ञात करें, जिनकी बिंदुओं 𝐴(4,0,0)A(4,0,0) और 𝐵(−4,0,0)B(−4,0,0) से दूरी का योग 10 है।

कक्षा 11 गणित के अन्य अध्याय