त्रिकोणमितीय फलन — कक्षा 11 गणित नोट्स

त्रिकोणमितीय फलन में शामिल टॉपिक

1. 1.त्रिकोणमितीय फलनों का परिचय

   त्रिकोणमितीय फलन ऐसे गणितीय फलन हैं जो त्रिकोण के कोणों को उसकी भुजाओं की लंबाई से संबंधित करते हैं। ये विभिन्न क्षेत्रों जैसे इंजीनियरिंग, भौतिकी, वास्तुकला और यहां तक कि दैनिक जीवन की गतिविधियों में जैसे नेविगेशन और ऊंचाइयों को मापने में महत्वपूर्ण हैं।

   वास्तविक जीवन का उदाहरण

   मान लीजिए आप एक ऊंचे पेड़ के पास खड़े हैं और उसकी ऊंचाई जानना चाहते हैं। त्रिकोणमितीय फलन का उपयोग करके, आप अपने स्थान से पेड़ की चोटी तक का कोण और पेड़ से दूरी माप सकते हैं, और फिर उसकी ऊंचाई की गणना कर सकते हैं।

   मूल त्रिकोणमितीय फलन

   1. साइन (sin): यह विपरीत भुजा और कर्ण का अनुपात है।
   2. कोसाइन (cos): यह सन्निकट भुजा और कर्ण का अनुपात है।
   3. टैन्जेंट (tan): यह विपरीत भुजा और सन्निकट भुजा का अनुपात है।
   4. कोसिकेंट (csc): यह साइन का व्युत्क्रम है।
   5. सेकेंट (sec): यह कोसाइन का व्युत्क्रम है।
   6. कोटैन्जेंट (cot): यह टैन्जेंट का व्युत्क्रम है।

   एक उदाहरण के माध्यम से समझना

   उदाहरण: एक पेड़ की ऊंचाई निकालना

   चरण-दर-चरण व्याख्या:

   1. पेड़ के आधार से अपनी स्थिति तक की दूरी मापें (मान लीजिए 10 मीटर)।
   2. पेड़ की चोटी तक अपने स्थान से कोण को प्रोट्रैक्टर से मापें (मान लीजिए कोण 30 डिग्री है)।
   3. टैन्जेंट फलन का उपयोग करें क्योंकि यह विपरीत भुजा (पेड़ की ऊंचाई) को सन्निकट भुजा (पेड़ से दूरी) से संबंधित करता है।

   tan⁡(𝜃)=विपरीतसन्निकटtan(θ)=सन्निकटविपरीत​

   tan⁡(30∘)=ऊंचाई10tan(30∘)=10ऊंचाई​

   1. ऊंचाई की गणना करें:

   ऊंचाई=10×tan⁡(30∘)ऊंचाई=10×tan(30∘)

   क्योंकि tan⁡(30∘)=13tan(30∘)=3​1​,

   ऊंचाई=10×13≈5.77 मीटरऊंचाई=10×3​1​≈5.77 मीटर

   वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग और करियर

   1. वास्तुकला और इंजीनियरिंग: इमारतों, पुलों और अन्य संरचनाओं को डिजाइन करना।
   2. खगोल विज्ञान: खगोलीय पिंडों के बीच की दूरी की गणना करना।
   3. नेविगेशन: जहाजों और विमानों की स्थिति पता लगाना।
   4. भौतिकी: तरंगों के पैटर्न और दोलनों का विश्लेषण करना।

   अभ्यास के लिए गतिविधि

   1. उपरोक्त विधि का उपयोग करके अपने पास के किसी खंभे या इमारत की ऊंचाई मापें।
   2. विभिन्न कोणों और दूरियों का उपयोग करें और देखें कि गणनाएँ कैसे बदलती हैं। ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

      कोण: डिग्री माप और रेडियन माप

      संक्षिप्त परिचय

      कोण त्रिकोणमितीय फलनों को समझने और लागू करने में मौलिक हैं। ये हमें दो प्रतिच्छेदित रेखाओं के बीच घूर्णन को मापने में मदद करते हैं। कोणों को मापने के दो सामान्य इकाइयाँ हैं: डिग्री और रेडियन।

      वास्तविक जीवन का उदाहरण

      घड़ी के बारे में सोचें। घड़ी की सुइयाँ गोलाकार पथ में चलती हैं, और मिनट और घंटे की सुइयों के बीच का कोण डिग्री या रेडियन में मापा जा सकता है ताकि सटीक समय पता चल सके।

      डिग्री माप

      डिग्री एक कोण मापने की इकाई है, जिसे "°" प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। पूरा वृत्त 360 डिग्री का होता है।

      रेडियन माप

      रेडियन कोण मापने की एक और इकाई है, जो वृत्त की त्रिज्या पर आधारित है। एक रेडियन वह कोण है जो तब बनता है जब चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। पूरा वृत्त 2𝜋2π रेडियन का होता है।

      डिग्री और रेडियन के बीच रूपांतरण

      रूपांतरण सूत्र:

      1. डिग्री से रेडियन:

         रेडियन=डिग्री×𝜋180रेडियन=डिग्री×180π​

      2. रेडियन से डिग्री:

         डिग्री=रेडियन×180𝜋डिग्री=रेडियन×π180​

      एक उदाहरण के माध्यम से समझना

      उदाहरण 1: डिग्री को रेडियन में बदलना

      90 डिग्री को रेडियन में बदलें।

      चरण-दर-चरण व्याख्या:

      1. रूपांतरण सूत्र का उपयोग करें:रेडियन=90∘×𝜋180रेडियन=90∘×180π​
      2. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:रेडियन=90𝜋180=𝜋2रेडियन=18090π​=2π​

      तो, 90 डिग्री 𝜋22π​ रेडियन के बराबर है।

      उदाहरण 2: रेडियन को डिग्री में बदलना

      𝜋44π​ रेडियन को डिग्री में बदलें।

      चरण-दर-चरण व्याख्या:

      1. रूपांतरण सूत्र का उपयोग करें:डिग्री=𝜋4×180𝜋डिग्री=4π​×π180​
      2. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:डिग्री=1804=45∘डिग्री=4180​=45∘

      तो, 𝜋44π​ रेडियन 45 डिग्री के बराबर है।

      वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग और करियर

      1. इंजीनियरिंग: यांत्रिक भागों और संरचनाओं को डिजाइन करना।
      2. भौतिकी: घूर्णी गति और तरंग यांत्रिकी को समझना।
      3. कंप्यूटर ग्राफिक्स: एनीमेशन और सिमुलेशन बनाना।
      4. नेविगेशन और खगोल विज्ञान: खगोलीय पिंडों की स्थिति और पथ की गणना करना।

      अभ्यास के लिए गतिविधि

      1. निम्नलिखित कोणों को डिग्री से रेडियन में बदलें: 30°, 45°, 120°।
      2. निम्नलिखित कोणों को रेडियन से डिग्री में बदलें: 𝜋66π​, 𝜋π, 2𝜋2π।

2. 2.रेडियन और वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध

   संक्षिप्त परिचय
   

   त्रिकोणमिति में रेडियन और वास्तविक संख्याएँ आंतरिक रूप से संबंधित हैं। कोण का रेडियन माप वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में परिभाषित होता है और इसे एक वास्तविक संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह संबंध कोणों को वृत्त की गुणों के साथ जोड़ने और साइन और कोसाइन जैसे आवर्ती फलनों को समझने में मदद करता है।

   वास्तविक जीवन का उदाहरण

   एक गोलाकार ट्रैक पर विचार करें। यदि आप ट्रैक के चारों ओर दौड़ते हैं, तो आप जो कोण घेरते हैं, उसे रेडियन में मापा जा सकता है। ट्रैक के चारों ओर आप जो दूरी दौड़ते हैं (चाप लंबाई) सीधे इस कोण से संबंधित हो सकती है, और दोनों को वास्तविक संख्याओं के रूप में दर्शाया जा सकता है।

   रेडियन माप को समझना

   परिभाषा

   रेडियन वह कोण है जो तब बनता है जब चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। गणितीय रूप से, एक रेडियन लगभग 57.3 डिग्री का होता है।

   वृत्त के साथ संबंध

   • पूरा वृत्त: पूरा वृत्त 2𝜋2π रेडियन का होता है।
   • आधा वृत्त: आधा वृत्त 𝜋π रेडियन का होता है।
   • चौथाई वृत्त: चौथाई वृत्त 𝜋22π​ रेडियन का होता है।

   रूपांतरण

   रेडियन वास्तविक संख्याएँ होती हैं जो वृत्त की परिधि से संबंधित हो सकती हैं। वृत्त की परिधि 𝐶C दी जाती है: 𝐶=2𝜋𝑟C=2πr जहाँ 𝑟r त्रिज्या है।

   वास्तविक संख्याएँ और रेडियन

   वास्तविक संख्याएँ सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को समाहित करती हैं। रेडियन, वास्तविक संख्याओं के रूप में, सकारात्मक, नकारात्मक, या शून्य हो सकते हैं:

   • सकारात्मक रेडियन: सकारात्मक x-अक्ष से घड़ी की दिशा के विपरीत मापे जाते हैं।
   • नकारात्मक रेडियन: सकारात्मक x-अक्ष से घड़ी की दिशा में मापे जाते हैं।
   • शून्य रेडियन: शून्य रेडियन का कोण x-अक्ष पर आरंभिक बिंदु के अनुरूप होता है।

   आवधिकता और वास्तविक संख्याएँ

   साइन और कोसाइन जैसे त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती फलन होते हैं जो नियमित अंतराल पर अपने मानों को दोहराते हैं। इन फलनों का आवर्तकाल 2𝜋2π रेडियन होता है।

   आवधिकता का उदाहरण

   साइन फलन, sin⁡(𝜃)sin(θ), हर 2𝜋2π रेडियन पर दोहराता है: sin⁡(𝜃+2𝜋)=sin⁡(𝜃)sin(θ+2π)=sin(θ)

   अवधारणा को लागू करना

   उदाहरण: चाप लंबाई की गणना

   मान लीजिए हमारे पास 5 इकाइयों की त्रिज्या वाला एक वृत्त है। यदि हम 𝜋33π​ रेडियन का कोण बनाते हैं, तो हम चाप लंबाई 𝑠s निकाल सकते हैं।

   चरण-दर-चरण व्याख्या:

   1. चाप लंबाई का सूत्र: 𝑠=𝑟𝜃s=rθ जहाँ 𝑟r त्रिज्या है और 𝜃θ कोण रेडियन में है।

   2. मूल्यों को प्रतिस्थापित करें: 𝑠=5×𝜋3s=5×3π​

   3. चाप लंबाई की गणना करें: 𝑠=5𝜋3≈5.24 इकाइयाँs=35π​≈5.24 इकाइयाँ

   वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग और करियर

   1. इंजीनियरिंग: घूर्णी गति वाले यांत्रिक भागों को डिजाइन करना।
   2. भौतिकी: दोलन और तरंग घटनाओं का विश्लेषण करना।
   3. कंप्यूटर विज्ञान: वृत्ताकार गति से संबंधित सिमुलेशन का प्रोग्रामिंग करना।
   4. खगोल विज्ञान: खगोलीय पिंडों के कक्ष पथ की गणना करना।

   अभ्यास के लिए गतिविधि

   1. 7 इकाइयों की त्रिज्या और 𝜋44π​ रेडियन के कोण के लिए चाप लंबाई निकालें।
   2. कोण 2𝜋2π, 𝜋π, और 𝜋22π​ के साइन और कोसाइन की गणना करें और उनके आवधिक स्वभाव को देखें।

3. 3.डिग्री और रेडियन के बीच संबंध

   संक्षिप्त परिचय
   

   डिग्री और रेडियन कोणों को मापने के लिए उपयोग की जाने वाली दो इकाइयाँ हैं। इन इकाइयों के बीच संबंध को समझना कोणों को एक इकाई से दूसरी इकाई में बदलने के लिए आवश्यक है, खासकर त्रिकोणमिति, भौतिकी और इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों में।

   वास्तविक जीवन का उदाहरण

   एक पिज्जा को स्लाइस में विभाजित करने के बारे में सोचें। यदि पिज्जा को 6 समान स्लाइस में काटा जाता है, तो प्रत्येक स्लाइस केंद्र पर एक कोण बनाता है। इस कोण को डिग्री (प्रति स्लाइस 60°) या रेडियन (𝜋33π​ रेडियन प्रति स्लाइस) में मापा जा सकता है। दोनों इकाइयाँ एक ही कोण का वर्णन करती हैं लेकिन अलग-अलग तरीकों से।

   डिग्री को समझना

   डिग्री कोण मापने की एक इकाई है। एक पूर्ण घूर्णन 360 डिग्री (360°) होता है। इसलिए, 90° का कोण एक पूर्ण घूर्णन का एक चौथाई दर्शाता है।

   रेडियन को समझना

   रेडियन कोण मापने की एक और इकाई है। एक रेडियन वह कोण है जो तब बनता है जब चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। एक पूर्ण घूर्णन 2𝜋2π रेडियन का होता है। इसलिए, 𝜋π रेडियन का कोण एक पूर्ण घूर्णन का आधा दर्शाता है।

   डिग्री और रेडियन के बीच रूपांतरण

   रूपांतरण सूत्र:

   1. डिग्री से रेडियन:

      रेडियन=डिग्री×𝜋180रेडियन=डिग्री×180π​

   2. रेडियन से डिग्री:

      डिग्री=रेडियन×180𝜋डिग्री=रेडियन×π180​

   उदाहरणों के माध्यम से समझना

   उदाहरण 1: डिग्री को रेडियन में बदलना

   180 डिग्री को रेडियन में बदलें।

   चरण-दर-चरण व्याख्या:

   1. रूपांतरण सूत्र का उपयोग करें:रेडियन=180∘×𝜋180रेडियन=180∘×180π​
   2. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:रेडियन=𝜋रेडियन=π

   तो, 180 डिग्री 𝜋π रेडियन के बराबर है।

   उदाहरण 2: रेडियन को डिग्री में बदलना

   𝜋66π​ रेडियन को डिग्री में बदलें।

   चरण-दर-चरण व्याख्या:

   1. रूपांतरण सूत्र का उपयोग करें:डिग्री=𝜋6×180𝜋डिग्री=6π​×π180​
   2. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:डिग्री=1806=30∘डिग्री=6180​=30∘

   तो, 𝜋66π​ रेडियन 30 डिग्री के बराबर है।

   वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग और करियर

   1. इंजीनियरिंग: यांत्रिक और सिविल इंजीनियरिंग डिजाइनों में कोणों का रूपांतरण।
   2. भौतिकी: घूर्णी गति और तरंग यांत्रिकी को समझना।
   3. कंप्यूटर ग्राफिक्स: सिमुलेशन और गेम्स में वस्तुओं को एनीमेट करना।
   4. खगोल विज्ञान: खगोलीय पिंडों के बीच कोणों को मापना।

   अभ्यास के लिए गतिविधि

   1. निम्नलिखित कोणों को डिग्री से रेडियन में बदलें: 45°, 90°, 270°।
   2. निम्नलिखित कोणों को रेडियन से डिग्री में बदलें: 𝜋22π​, 2𝜋2π, 3𝜋443π​।

4. 4.त्रिकोणमिति में संकेतन परंपरा

   संक्षिप्त परिचय
   

   संकेतन परंपराएँ गणितीय अभिव्यक्तियों को लिखने के मानकीकृत तरीके हैं। त्रिकोणमिति में, ये परंपराएँ कोणों, फलनों और उनके माप से संबंधित होते समय स्पष्टता और निरंतरता सुनिश्चित करने में मदद करती हैं। इन परंपराओं को समझना त्रिकोणमितीय समस्याओं की सही व्याख्या और समाधान के लिए महत्वपूर्ण है।

   त्रिकोणमिति में सामान्य संकेतन परंपराएँ

   1. कोण माप

   • डिग्री (°): कोण अक्सर डिग्री में मापे जाते हैं। उदाहरण के लिए, 90 डिग्री को 90° लिखा जाता है।
   • रेडियन (rad): कोणों को रेडियन में भी मापा जा सकता है। उदाहरण के लिए, π/2 रेडियन को π/2 या कभी-कभी 1.57 rad लिखा जाता है।

   2. त्रिकोणमितीय फलन

   • साइन: इसे sin⁡𝜃sinθ के रूप में दर्शाया जाता है
   • कोसाइन: इसे cos⁡𝜃cosθ के रूप में दर्शाया जाता है
   • टैन्जेंट: इसे tan⁡𝜃tanθ के रूप में दर्शाया जाता है
   • कोसेकेंट: इसे csc⁡𝜃cscθ के रूप में दर्शाया जाता है
   • सेकेंट: इसे sec⁡𝜃secθ के रूप में दर्शाया जाता है
   • कोटैन्जेंट: इसे cot⁡𝜃cotθ के रूप में दर्शाया जाता है

   3. कोण प्रतीक

   • कोणों को दर्शाने के लिए 𝜃θ, 𝛼α, 𝛽β जैसे ग्रीक अक्षरों का आमतौर पर उपयोग किया जाता है।
   • उदाहरण के लिए, sin⁡𝜃sinθ का मतलब है कोण थीटा का साइन।

   4. फलन के तर्क

   • त्रिकोणमितीय फलन का तर्क (कोण) आमतौर पर कोष्ठकों के भीतर रखा जाता है, जैसे sin⁡(𝜃)sin(θ) या cos⁡(𝛼)cos(α)।
   • कभी-कभी, तर्क को सरलता के लिए बिना कोष्ठकों के भी लिखा जा सकता है, जैसे sin⁡𝜃sinθ।

   5. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन

   • आर्कसाइन: इसे sin⁡−1𝜃sin−1θ या arcsin⁡𝜃arcsinθ के रूप में दर्शाया जाता है
   • आर्ककोसाइन: इसे cos⁡−1𝜃cos−1θ या arccos⁡𝜃arccosθ के रूप में दर्शाया जाता है
   • आर्कटैन्जेंट: इसे tan⁡−1𝜃tan−1θ या arctan⁡𝜃arctanθ के रूप में दर्शाया जाता है

   उदाहरणों के माध्यम से समझना

   उदाहरण 1: त्रिकोणमितीय फलन लिखना

   45 डिग्री के कोण पर विचार करें। इस कोण के साइन और कोसाइन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

   • sin⁡45∘sin45∘
   • cos⁡45∘cos45∘

   उदाहरण 2: इकाइयों के बीच रूपांतरण

   90 डिग्री के कोण को रेडियन में बदला जा सकता है और इस प्रकार लिखा जा सकता है:

   • 90∘=𝜋2 rad90∘=2π​ rad

   उदाहरण 3: व्युत्क्रम फलनों का उपयोग

   यदि साइन का मान 0.5 है, तो कोण ज्ञात करने के लिए इस प्रकार लिखा जा सकता है:

   • 𝜃=sin⁡−1(0.5)θ=sin−1(0.5) या 𝜃=arcsin⁡(0.5)θ=arcsin(0.5)

   वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग और करियर

   1. इंजीनियरिंग: मानकीकृत संकेतन इंजीनियरों को डिज़ाइन और गणनाओं को सटीक रूप से संप्रेषित करने में मदद करता है।
   2. भौतिकी: तरंग फलनों और दोलनों को समझने के लिए निरंतर संकेतन महत्वपूर्ण है।
   3. गणित शिक्षा: त्रिकोणमितीय अवधारणाओं को स्पष्ट रूप से सिखाने और सीखने में मदद करता है।
   4. कंप्यूटर विज्ञान: ग्राफिक्स और सिमुलेशन के लिए एल्गोरिदम में उपयोग किया जाता है।

   अभ्यास के लिए गतिविधि

   1. 30 डिग्री का कोसाइन डिग्री और रेडियन दोनों का उपयोग करके लिखें।
   2. 120 डिग्री के कोण को रेडियन में बदलें और इस कोण के साइन को लिखें।
   3. 1 के टैन्जेंट वाले कोण को व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय संकेतन का उपयोग करके ज्ञात करें।

5. 5.अभ्यास प्रश्न

   प्रश्न 1: डिग्री माप को रेडियन माप में बदलें

   1. 25° को रेडियन में बदलें:

      रेडियन=25∘×𝜋180रेडियन=25∘×180π​रेडियन=25𝜋180=5𝜋36रेडियन=18025π​=365π​

   2. -47° 30' को रेडियन में बदलें: सबसे पहले, कोण को दशमलव डिग्री में बदलें।

      −47∘30′=−47.5∘−47∘30′=−47.5∘

      फिर इसे रेडियन में बदलें:

      रेडियन=−47.5∘×𝜋180रेडियन=−47.5∘×180π​रेडियन=−47.5𝜋180=−95𝜋360=−19𝜋72रेडियन=180−47.5π​=360−95π​=−7219π​

   3. 240° को रेडियन में बदलें:

      रेडियन=240∘×𝜋180रेडियन=240∘×180π​रेडियन=240𝜋180=4𝜋3रेडियन=180240π​=34π​

   4. 520° को रेडियन में बदलें:

      रेडियन=520∘×𝜋180रेडियन=520∘×180π​रेडियन=520𝜋180=26𝜋9रेडियन=180520π​=926π​

   प्रश्न 2: रेडियन माप को डिग्री माप में बदलें

   1. 11161611​ रेडियन को डिग्री में बदलें:

      डिग्री=1116×180𝜋डिग्री=1611​×π180​

      𝜋≈227π≈722​ का उपयोग करते हुए:

      डिग्री=1116×180×722डिग्री=1611​×22180×7​डिग्री=11×1260352=13860352≈39.38∘डिग्री=35211×1260​=35213860​≈39.38∘

   2. -4 रेडियन को डिग्री में बदलें:

      डिग्री=−4×180𝜋डिग्री=−4×π180​

      𝜋≈227π≈722​ का उपयोग करते हुए:

      डिग्री=−4×180×722डिग्री=−4×22180×7​डिग्री=−4×126022=−4×57.27≈−229.09∘डिग्री=−4×221260​=−4×57.27≈−229.09∘

   3. 5𝜋335π​ रेडियन को डिग्री में बदलें:

      डिग्री=5𝜋3×180𝜋डिग्री=35π​×π180​डिग्री=5×1803=300∘डिग्री=35×180​=300∘

   4. 7𝜋667π​ रेडियन को डिग्री में बदलें:

      डिग्री=7𝜋6×180𝜋डिग्री=67π​×π180​डिग्री=7×1806=210∘डिग्री=67×180​=210∘

   प्रश्न 3: रेडियन में रिवॉल्यूशंस को बदलना

   एक पहिया एक मिनट में 360 रिवॉल्यूशंस करता है। एक सेकंड में यह कितने रेडियन घूमता है?

   1. एक पूर्ण रिवॉल्यूशन 2𝜋2π रेडियन होता है।
   2. एक मिनट (60 सेकंड) में, पहिया 360 रिवॉल्यूशंस करता है:360×2𝜋 रेडियन360×2π रेडियन
   3. एक सेकंड में:360×2𝜋60=12𝜋 रेडियन60360×2π​=12π रेडियन

   प्रश्न 4: आर्क लंबाई से कोण का डिग्री माप

   100 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र पर 22 सेमी लंबाई वाले चाप द्वारा अंकित कोण का डिग्री माप ज्ञात करें।

   1. सूत्र का उपयोग करें:𝜃=𝑠𝑟θ=rs​जहाँ 𝑠s चाप की लंबाई है और 𝑟r त्रिज्या है।𝜃=22 सेमी100 सेमी=0.22 रेडियनθ=100 सेमी22 सेमी​=0.22 रेडियन
   2. रेडियन को डिग्री में बदलें:डिग्री=0.22×180𝜋डिग्री=0.22×π180​𝜋≈227π≈722​ का उपयोग करते हुए:डिग्री=0.22×180×722डिग्री=0.22×22180×7​डिग्री=0.22×57.27≈12.6∘डिग्री=0.22×57.27≈12.6∘

   उत्तर का सारांश

   1. डिग्री से रेडियन में:

      • (i) 25° = 5𝜋36365π​
      • (ii) -47° 30' = −19𝜋72−7219π​
      • (iii) 240° = 4𝜋334π​
      • (iv) 520° = 26𝜋9926π​

   2. रेडियन से डिग्री में:

      • (i) 11161611​ रेडियन ≈ 39.38°
      • (ii) -4 रेडियन ≈ -229.09°
      • (iii) 5𝜋335π​ रेडियन = 300°
      • (iv) 7𝜋667π​ रेडियन = 210°

   3. रेवॉल्यूशंस से रेडियन में:

      • एक सेकंड में 12𝜋12π रेडियन।

   4. चाप लंबाई से कोण का डिग्री माप:

      • 12.6°

6. 6.अभ्यास प्रश्न

   प्रश्न 1

   40 सेमी व्यास वाले वृत्त में, एक जीवा की लंबाई 20 सेमी है। जीवा के लघु चाप की लंबाई ज्ञात करें।

   समाधान:

   1. त्रिज्या ज्ञात करें:

      त्रिज्या(𝑟)=व्यास2=40 सेमी2=20 सेमीत्रिज्या(r)=2व्यास​=240 सेमी​=20 सेमी

   2. जीवा द्वारा केंद्र पर बने कोण को निर्धारित करें: इस कोण को 𝜃θ मानते हैं। हम त्रिज्या और जीवा द्वारा बनाए गए समद्विबाहु त्रिभुज के लिए केंद्र कोण का उपयोग करते हैं।

      जीवा लंबाई सूत्र का उपयोग करते हुए:

      cos⁡(𝜃2)=जीवा की लंबाई2×त्रिज्याcos(2θ​)=2×त्रिज्याजीवा की लंबाई​cos⁡(𝜃2)=20 सेमी2×20 सेमी=2040=12cos(2θ​)=2×20 सेमी20 सेमी​=4020​=21​

   3. 𝜃/2θ/2 ज्ञात करें:

      𝜃2=cos⁡−1(12)=𝜋32θ​=cos−1(21​)=3π​

   4. 𝜃θ की गणना करें:

      𝜃=2×𝜋3=2𝜋3 रेडियनθ=2×3π​=32π​ रेडियन

   5. लघु चाप की लंबाई की गणना करें:

      चाप की लंबाई=𝑟×𝜃=20 सेमी×2𝜋3चाप की लंबाई=r×θ=20 सेमी×32π​चाप की लंबाई=40𝜋3≈41.89 सेमीचाप की लंबाई=340π​≈41.89 सेमी

   प्रश्न 2

   यदि दो वृत्तों में, समान लंबाई के चाप क्रमशः केंद्र पर 60° और 75° कोण बनाते हैं, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात करें।

   समाधान:

   1. कोणों को रेडियन में बदलें:

      60∘=60×𝜋180=𝜋3 रेडियन60∘=18060×π​=3π​ रेडियन75∘=75×𝜋180=5𝜋12 रेडियन75∘=18075×π​=125π​ रेडियन

   2. मान लें 𝑟1r1​ और 𝑟2r2​ वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।

   3. चाप लंबाई सूत्र 𝑠=𝑟𝜃s=rθ का उपयोग करें:

      पहलेवृत्तमेंचापकीलंबाई=𝑟1×𝜋3पहलेवृत्तमेंचापकीलंबाई=r1​×3π​दूसरेवृत्तमेंचापकीलंबाई=𝑟2×5𝜋12दूसरेवृत्तमेंचापकीलंबाई=r2​×125π​

   4. चूंकि चाप की लंबाई समान है:

      𝑟1×𝜋3=𝑟2×5𝜋12r1​×3π​=r2​×125π​

   5. त्रिज्याओं के अनुपात की गणना करें:

      𝑟1×12𝜋×13=𝑟2×5𝜋r1​×π12​×31​=r2​×π5​𝑟1×4=𝑟2×5r1​×4=r2​×5𝑟1𝑟2=54r2​r1​​=45​

   प्रश्न 3

   यदि एक पेंडुलम की लंबाई 75 सेमी है और उसकी नोक द्वारा वर्णित चाप की लंबाई है:

   • (i) 10 सेमी
   • (ii) 15 सेमी
   • (iii) 21 सेमी

   समाधान:

   1. चाप लंबाई सूत्र 𝜃=𝑠𝑟θ=rs​ का उपयोग करें, जहाँ 𝑠s चाप की लंबाई है और 𝑟r त्रिज्या (पेंडुलम की लंबाई) है।

   (i) चाप की लंबाई = 10 सेमी

   𝜃=10 सेमी75 सेमी=215 रेडियनθ=75 सेमी10 सेमी​=152​ रेडियन

   (ii) चाप की लंबाई = 15 सेमी

   𝜃=15 सेमी75 सेमी=15 रेडियनθ=75 सेमी15 सेमी​=51​ रेडियन

   (iii) चाप की लंबाई = 21 सेमी

   𝜃=21 सेमी75 सेमी=725 रेडियनθ=75 सेमी21 सेमी​=257​ रेडियन

7. 7.त्रिकोणमितीय फलन, उनके चिह्न, और उनके डोमेन और श्रेणियाँ।

   त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions)

   त्रिकोणमितीय फलन त्रिभुज के कोणों को इसकी भुजाओं की लंबाई से जोड़ते हैं। मुख्य त्रिकोणमितीय फलन हैं:

   1. साइन (sin θ)
   2. कोसाइन (cos θ)
   3. टैन्जेंट (tan θ)
   4. कोसेकैंट (csc θ)
   5. सिकैंट (sec θ)
   6. कोटैन्जेंट (cot θ)

   ये फलन समकोण त्रिभुज या यूनिट सर्कल का उपयोग करके परिभाषित किए जाते हैं।

   यूनिट सर्कल परिभाषा (Unit Circle Definition)

   यूनिट सर्कल में, बिंदु (x, y) के निर्देशांक का उपयोग त्रिकोणमितीय फलनों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है:

   • sin⁡𝜃=𝑦sinθ=y
   • cos⁡𝜃=𝑥cosθ=x
   • tan⁡𝜃=𝑦𝑥tanθ=xy​ (जहां 𝑥≠0x=0)
   • csc⁡𝜃=1𝑦cscθ=y1​ (जहां 𝑦≠0y=0)
   • sec⁡𝜃=1𝑥secθ=x1​ (जहां 𝑥≠0x=0)
   • cot⁡𝜃=𝑥𝑦cotθ=yx​ (जहां 𝑦≠0y=0)

   त्रिकोणमितीय फलनों का चिन्ह (Sign of Trigonometric Functions)

   त्रिकोणमितीय फलनों का चिन्ह उस चतुर्थांश पर निर्भर करता है जिसमें कोण स्थित है। यूनिट सर्कल को चार चतुर्थांशों में विभाजित किया गया है:

   1. प्रथम चतुर्थांश (0° से 90° या 0 से π/2 रेडियन)

      • sin⁡𝜃>0sinθ>0
      • cos⁡𝜃>0cosθ>0
      • tan⁡𝜃>0tanθ>0

   2. द्वितीय चतुर्थांश (90° से 180° या π/2 से π रेडियन)

      • sin⁡𝜃>0sinθ>0
      • cos⁡𝜃<0cosθ<0
      • tan⁡𝜃<0tanθ<0

   3. तृतीय चतुर्थांश (180° से 270° या π से 3π/2 रेडियन)

      • sin⁡𝜃<0sinθ<0
      • cos⁡𝜃<0cosθ<0
      • tan⁡𝜃>0tanθ>0

   4. चतुर्थ चतुर्थांश (270° से 360° या 3π/2 से 2π रेडियन)

      • sin⁡𝜃<0sinθ<0
      • cos⁡𝜃>0cosθ>0
      • tan⁡𝜃<0tanθ<0

   त्रिकोणमितीय फलनों का डोमेन और रेंज (Domain and Range of Trigonometric Functions)

   1. साइन और कोसाइन

      • डोमेन: सभी वास्तविक संख्याएँ (−∞,∞)(−∞,∞)
      • रेंज: [−1,1][−1,1]

   2. टैन्जेंट और कोटैन्जेंट

      • डोमेन: सभी वास्तविक संख्याएँ सिवाय (𝜋2+𝑛𝜋)(2π​+nπ), जहां 𝑛n एक पूर्णांक है।
      • रेंज: (−∞,∞)(−∞,∞)

   3. सिकैंट और कोसेकैंट

      • डोमेन: सभी वास्तविक संख्याएँ सिवाय 𝑛𝜋nπ (सिकैंट के लिए) और (𝜋2+𝑛𝜋)(2π​+nπ) (कोसेकैंट के लिए), जहां 𝑛n एक पूर्णांक है।
      • रेंज: (−∞,−1]∪[1,∞)(−∞,−1]∪[1,∞)

   उदाहरण (Examples)

   1. विशिष्ट कोणों पर त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात करना:

      • sin⁡30°=12sin30°=21​
      • cos⁡60°=12cos60°=21​
      • tan⁡45°=1tan45°=1

   2. एक त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करना:

      यदि sin⁡𝜃=12sinθ=21​, तो 𝜃θ को ज्ञात करें।

      समाधान:

      • sin⁡𝜃=12sinθ=21​ पर 𝜃=30°θ=30° या 𝜃=150°θ=150° पहले और दूसरे चतुर्थांश में।

        समस्या हल उदाहरण (Problem Solving Example)

        उदाहरण: समीकरण 2sin⁡𝑥−1=02sinx−1=0 में 𝑥x को हल करें।

        समाधान:

        1. 2sin⁡𝑥−1=02sinx−1=0
        2. 2sin⁡𝑥=12sinx=1
        3. sin⁡𝑥=12sinx=21​

        sin⁡𝑥=12sinx=21​ पर 𝑥=30°x=30° या 𝑥=150°x=150°।

8. 8.अभ्यास प्रश्न

   अभ्यास 1

   प्रश्न: यदि cos⁡𝑥=−12cosx=−21​, और 𝑥x तीसरे चतुर्थांश में है, तो अन्य पांच त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात करें।

   समाधान: तीसरे चतुर्थांश में:

   • cos⁡𝑥=−12cosx=−21​
   • sin⁡𝑥sinx नकारात्मक है
   • tan⁡𝑥tanx सकारात्मक है
   • cot⁡𝑥cotx सकारात्मक है
   • sec⁡𝑥secx नकारात्मक है
   • csc⁡𝑥cscx नकारात्मक है

   पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, sin⁡2𝑥+cos⁡2𝑥=1sin2x+cos2x=1: sin⁡2𝑥+(−12)2=1sin2x+(−21​)2=1 sin⁡2𝑥+14=1sin2x+41​=1 sin⁡2𝑥=1−14sin2x=1−41​ sin⁡2𝑥=34sin2x=43​ sin⁡𝑥=−34=−32sinx=−43​​=−23​​

   इसलिए: tan⁡𝑥=sin⁡𝑥cos⁡𝑥=−32−12=3tanx=cosxsinx​=−21​−23​​​=3​ cot⁡𝑥=1tan⁡𝑥=13=33cotx=tanx1​=3​1​=33​​ sec⁡𝑥=1cos⁡𝑥=−2secx=cosx1​=−2 csc⁡𝑥=1sin⁡𝑥=−23=−233cscx=sinx1​=−3​2​=−323​​

   अभ्यास 2

   प्रश्न: यदि sin⁡𝑥=35sinx=53​, और 𝑥x दूसरे चतुर्थांश में है, तो अन्य पांच त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात करें।

   समाधान: दूसरे चतुर्थांश में:

   • sin⁡𝑥=35sinx=53​
   • cos⁡𝑥cosx नकारात्मक है
   • tan⁡𝑥tanx नकारात्मक है
   • cot⁡𝑥cotx नकारात्मक है
   • sec⁡𝑥secx नकारात्मक है
   • csc⁡𝑥cscx सकारात्मक है

   पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, sin⁡2𝑥+cos⁡2𝑥=1sin2x+cos2x=1: (35)2+cos⁡2𝑥=1(53​)2+cos2x=1 925+cos⁡2𝑥=1259​+cos2x=1 cos⁡2𝑥=1−925cos2x=1−259​ cos⁡2𝑥=1625cos2x=2516​ cos⁡𝑥=−45cosx=−54​

   इसलिए: tan⁡𝑥=sin⁡𝑥cos⁡𝑥=35−45=−34tanx=cosxsinx​=−54​53​​=−43​ cot⁡𝑥=1tan⁡𝑥=−43cotx=tanx1​=−34​ sec⁡𝑥=1cos⁡𝑥=−54secx=cosx1​=−45​ csc⁡𝑥=1sin⁡𝑥=53cscx=sinx1​=35​

   अभ्यास 3

   प्रश्न: यदि cot⁡𝑥=−34cotx=−43​, और 𝑥x तीसरे चतुर्थांश में है, तो अन्य पांच त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात करें।

   समाधान: तीसरे चतुर्थांश में:

   • cot⁡𝑥=−34cotx=−43​
   • tan⁡𝑥tanx सकारात्मक है
   • sin⁡𝑥sinx नकारात्मक है
   • cos⁡𝑥cosx नकारात्मक है
   • sec⁡𝑥secx नकारात्मक है
   • csc⁡𝑥cscx नकारात्मक है

   दी गई cot⁡𝑥=−34cotx=−43​: tan⁡𝑥=−1cot⁡𝑥=43tanx=−cotx1​=34​

   पहचान 1+cot⁡2𝑥=csc⁡2𝑥1+cot2x=csc2x का उपयोग करते हुए: 1+(−34)2=csc⁡2𝑥1+(−43​)2=csc2x 1+916=csc⁡2𝑥1+169​=csc2x csc⁡2𝑥=2516csc2x=1625​ csc⁡𝑥=−54cscx=−45​ (क्योंकि sin⁡𝑥sinx नकारात्मक है)

   sin⁡𝑥=−1csc⁡𝑥=−45sinx=−cscx1​=−54​

   पहचान 1+tan⁡2𝑥=sec⁡2𝑥1+tan2x=sec2x का उपयोग करते हुए: 1+(43)2=sec⁡2𝑥1+(34​)2=sec2x 1+169=sec⁡2𝑥1+916​=sec2x sec⁡2𝑥=259sec2x=925​ sec⁡𝑥=−53secx=−35​ (क्योंकि cos⁡𝑥cosx नकारात्मक है)

   cos⁡𝑥=−1sec⁡𝑥=−35cosx=−secx1​=−53​

   इसलिए: tan⁡𝑥=sin⁡𝑥cos⁡𝑥=−45−35=43tanx=cosxsinx​=−53​−54​​=34​

   अभ्यास 4

   प्रश्न: यदि sec⁡𝑥=135secx=513​, और 𝑥x चौथे चतुर्थांश में है, तो अन्य पांच त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात करें।

   समाधान: चौथे चतुर्थांश में:

   • sec⁡𝑥=135secx=513​
   • cos⁡𝑥cosx सकारात्मक है
   • sin⁡𝑥sinx नकारात्मक है
   • tan⁡𝑥tanx नकारात्मक है
   • cot⁡𝑥cotx नकारात्मक है
   • csc⁡𝑥cscx नकारात्मक है

   दी गई sec⁡𝑥=135secx=513​: cos⁡𝑥=1sec⁡𝑥=513cosx=secx1​=135​

   पहचान sin⁡2𝑥+cos⁡2𝑥=1sin2x+cos2x=1 का उपयोग करते हुए: sin⁡2𝑥+(513)2=1sin2x+(135​)2=1 sin⁡2𝑥+25169=1sin2x+16925​=1 sin⁡2𝑥=1−25169sin2x=1−16925​ sin⁡2𝑥=144169sin2x=169144​ sin⁡𝑥=−1213sinx=−1312​

   इसलिए: tan⁡𝑥=sin⁡𝑥cos⁡𝑥=−1213513=−125tanx=cosxsinx​=135​−1312​​=−512​ cot⁡𝑥=1tan⁡𝑥=−512cotx=tanx1​=−125​ csc⁡𝑥=1sin⁡𝑥=−1312cscx=sinx1​=−1213​

   अभ्यास 5

   प्रश्न: यदि tan⁡𝑥=−512tanx=−125​, और 𝑥x दूसरे चतुर्थांश में है, तो अन्य पांच त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात करें।

   समाधान: दूसरे चतुर्थांश में:

   • tan⁡𝑥=−512tanx=−125​
   • sin⁡𝑥sinx सकारात्मक है
   • cos⁡𝑥cosx नकारात्मक है
   • cot⁡𝑥cotx नकारात्मक है
   • sec⁡𝑥secx नकारात्मक है
   • csc⁡𝑥cscx सकारात्मक है

   पहचान 1+tan⁡2𝑥=sec⁡2𝑥1+tan2x=sec2x का उपयोग करते हुए: 1+(−512)2=sec⁡2𝑥1+(−125​)2=sec2x 1+25144=sec⁡2𝑥1+14425​=sec2x sec⁡2𝑥=169144sec2x=144169​ sec⁡𝑥=−1312secx=−1213​ (क्योंकि cos⁡𝑥cosx नकारात्मक है)

   cos⁡𝑥=−1sec⁡𝑥=−1213cosx=−secx1​=−1312​

   पहचान sin⁡2𝑥+cos⁡2𝑥=1sin2x+cos2x=1 का उपयोग करते हुए: sin⁡2𝑥+(−1213)2=1sin2x+(−1312​)2=1 sin⁡2𝑥+144169=1sin2x+169144​=1 sin⁡2𝑥=1−144169sin2x=1−169144​ sin⁡2𝑥=25169sin2x=16925​ sin⁡𝑥=513sinx=135​

   इसलिए: cot⁡𝑥=1tan⁡𝑥=−125cotx=tanx1​=−512​ csc⁡𝑥=1sin⁡𝑥=135cscx=sinx1​=513​

   अभ्यास 6

   प्रश्न: sin⁡765°sin765° का मान ज्ञात करें।

   समाधान: पहले कोण को घटाएं: 765°−2⋅360°=765°−720°=45°765°−2⋅360°=765°−720°=45° sin⁡765°=sin⁡45°=22sin765°=sin45°=22​​

   अभ्यास 7

   प्रश्न: csc⁡(−1410°)csc(−1410°) का मान ज्ञात करें।

   समाधान: पहले कोण को घटाएं: −1410°+4⋅360°=−1410°+1440°=30°−1410°+4⋅360°=−1410°+1440°=30° csc⁡(−1410°)=csc⁡30°=2csc(−1410°)=csc30°=2

   अभ्यास 8

   प्रश्न: tan⁡(19𝜋3)tan(319π​) का मान ज्ञात करें।

   समाधान: पहले कोण को घटाएं: 19𝜋3=18𝜋3+𝜋3=6𝜋+𝜋3319π​=318π​+3π​=6π+3π​ क्योंकि tan⁡tan का आवर्ती काल 𝜋π है: tan⁡(19𝜋3)=tan⁡(𝜋3)=3tan(319π​)=tan(3π​)=3​

   अभ्यास 9

   प्रश्न: sin⁡(−11𝜋3)sin(3−11π​) का मान ज्ञात करें।

   समाधान: पहले कोण को घटाएं: −11𝜋3=−12𝜋3+𝜋3=−4𝜋+𝜋33−11π​=−312π​+3π​=−4π+3π​ क्योंकि sin⁡sin का आवर्ती काल 2𝜋2π है: sin⁡(−11𝜋3)=sin⁡(𝜋3)=32sin(3−11π​)=sin(3π​)=23​​

   अभ्यास 10

   प्रश्न: cot⁡(−15𝜋4)cot(4−15π​) का मान ज्ञात करें।

   समाधान: पहले कोण को घटाएं: −15𝜋4=−4𝜋+𝜋44−15π​=−4π+4π​ क्योंकि cot⁡cot का आवर्ती काल 𝜋π है: cot⁡(−15𝜋4)=cot⁡(𝜋4)=1cot(4−15π​)=cot(4π​)=1

9. 9.दो कोणों के योग और अंतर के त्रिकोणमितीय फलन

   दो कोणों के योग और अंतर के त्रिकोणमितीय फलन महत्वपूर्ण पहचानें (identities) हैं। ये पहचानें हमें अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में मदद करती हैं जिनमें कोणों का योग या अंतर शामिल होता है।
   

   योग और अंतर सूत्र

   1. साइन का योग और अंतर

      • sin⁡(𝐴+𝐵)=sin⁡𝐴cos⁡𝐵+cos⁡𝐴sin⁡𝐵sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
      • sin⁡(𝐴−𝐵)=sin⁡𝐴cos⁡𝐵−cos⁡𝐴sin⁡𝐵sin(A−B)=sinAcosB−cosAsinB

   2. कोसाइन का योग और अंतर

      • cos⁡(𝐴+𝐵)=cos⁡𝐴cos⁡𝐵−sin⁡𝐴sin⁡𝐵cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB
      • cos⁡(𝐴−𝐵)=cos⁡𝐴cos⁡𝐵+sin⁡𝐴sin⁡𝐵cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinB

   3. टैन्जेंट का योग और अंतर

      • tan⁡(𝐴+𝐵)=tan⁡𝐴+tan⁡𝐵1−tan⁡𝐴tan⁡𝐵tan(A+B)=1−tanAtanBtanA+tanB​
      • tan⁡(𝐴−𝐵)=tan⁡𝐴−tan⁡𝐵1+tan⁡𝐴tan⁡𝐵tan(A−B)=1+tanAtanBtanA−tanB​

   ये सूत्र हमें कोणों के योग या अंतर के साइन, कोसाइन और टैन्जेंट को व्यक्तिगत कोणों के त्रिकोणमितीय फलनों का उपयोग करके ज्ञात करने की अनुमति देते हैं।

   उदाहरण

   चलो इन पहचानों का उपयोग करके कुछ समस्याओं को हल करते हैं।

   उदाहरण 1: sin⁡(75°)sin(75°) ज्ञात करें

   समाधान: हम 75°75° को 45°45° और 30°30° के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

   sin⁡(75°)=sin⁡(45°+30°)sin(75°)=sin(45°+30°)

   साइन के योग सूत्र का उपयोग करते हुए:

   sin⁡(45°+30°)=sin⁡45°cos⁡30°+cos⁡45°sin⁡30°sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°

   अब, ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें:

   sin⁡45°=22,cos⁡30°=32,cos⁡45°=22,sin⁡30°=12sin45°=22​​,cos30°=23​​,cos45°=22​​,sin30°=21​

   sin⁡(75°)=22⋅32+22⋅12sin(75°)=22​​⋅23​​+22​​⋅21​

   sin⁡(75°)=64+24sin(75°)=46​​+42​​

   sin⁡(75°)=6+24sin(75°)=46​+2​​

   उदाहरण 2: cos⁡(15°)cos(15°) ज्ञात करें

   समाधान: हम 15°15° को 45°45° और 30°30° के अंतर के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

   cos⁡(15°)=cos⁡(45°−30°)cos(15°)=cos(45°−30°)

   कोसाइन के अंतर सूत्र का उपयोग करते हुए:

   cos⁡(45°−30°)=cos⁡45°cos⁡30°+sin⁡45°sin⁡30°cos(45°−30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°

   अब, ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें:

   cos⁡45°=22,cos⁡30°=32,sin⁡45°=22,sin⁡30°=12cos45°=22​​,cos30°=23​​,sin45°=22​​,sin30°=21​

   cos⁡(15°)=22⋅32+22⋅12cos(15°)=22​​⋅23​​+22​​⋅21​

   cos⁡(15°)=64+24cos(15°)=46​​+42​​

   cos⁡(15°)=6+24cos(15°)=46​+2​​

   उदाहरण 3: tan⁡(75°)tan(75°) ज्ञात करें

   समाधान: हम 75°75° को 45°45° और 30°30° के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

   tan⁡(75°)=tan⁡(45°+30°)tan(75°)=tan(45°+30°)

   टैन्जेंट के योग सूत्र का उपयोग करते हुए:

   tan⁡(45°+30°)=tan⁡45°+tan⁡30°1−tan⁡45°tan⁡30°tan(45°+30°)=1−tan45°tan30°tan45°+tan30°​

   अब, ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें:

   tan⁡45°=1,tan⁡30°=13tan45°=1,tan30°=3​1​

   tan⁡(75°)=1+131−1⋅13tan(75°)=1−1⋅3​1​1+3​1​​

   tan⁡(75°)=1+131−13tan(75°)=1−3​1​1+3​1​​

   tan⁡(75°)=3+133−13tan(75°)=3​3​−1​3​3​+1​​

   tan⁡(75°)=3+13−1tan(75°)=3​−13​+1​

   गुणा करें (numerator) और (denominator) को 3+13​+1 से:

   tan⁡(75°)=(3+1)2(3−1)(3+1)tan(75°)=(3​−1)(3​+1)(3​+1)2​

   tan⁡(75°)=3+23+13−1tan(75°)=3−13+23​+1​

   tan⁡(75°)=4+232tan(75°)=24+23​​

   tan⁡(75°)=2+3tan(75°)=2+3​

   उदाहरण 4: cos⁡(105°)cos(105°) ज्ञात करें

   समाधान: हम 105°105° को 60°60° और 45°45° के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

   cos⁡(105°)=cos⁡(60°+45°)cos(105°)=cos(60°+45°)

   कोसाइन के योग सूत्र का उपयोग करते हुए:

   cos⁡(60°+45°)=cos⁡60°cos⁡45°−sin⁡60°sin⁡45°cos(60°+45°)=cos60°cos45°−sin60°sin45°

   अब, ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें:

   cos⁡60°=12,cos⁡45°=22,sin⁡60°=32,sin⁡45°=22cos60°=21​,cos45°=22​​,sin60°=23​​,sin45°=22​​

   cos⁡(105°)=12⋅22−32⋅22cos(105°)=21​⋅22​​−23​​⋅22​​

   cos⁡(105°)=24−64cos(105°)=42​​−46​​

   cos⁡(105°)=2−64cos(105°)=42​−6​​
   
   

10. 10.अभ्यास प्रश्न

    प्रश्न 1

    साबित करें कि:

    sin⁡2𝜋6+cos⁡2𝜋3−tan⁡2𝜋4=12sin26π​+cos23π​−tan24π​=21​

    समाधान:

    1. प्रत्येक त्रिकोणमितीय मान की गणना करें:

       • sin⁡𝜋6=12sin6π​=21​
       • cos⁡𝜋3=12cos3π​=21​
       • tan⁡𝜋4=1tan4π​=1

    2. इन मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:

    sin⁡2𝜋6=(12)2=14sin26π​=(21​)2=41​

    cos⁡2𝜋3=(12)2=14cos23π​=(21​)2=41​

    tan⁡2𝜋4=12=1tan24π​=12=1

    1. इन परिणामों को मिलाएं:

    sin⁡2𝜋6+cos⁡2𝜋3−tan⁡2𝜋4=14+14−1=12−1=−12sin26π​+cos23π​−tan24π​=41​+41​−1=21​−1=−21​

    इस प्रकार, बाएं हाथ की ओर का मान दाएं हाथ की ओर के बराबर है:

    −12=−12−21​=−21​

    अतः, पहचान साबित हो जाती है।

    प्रश्न 2

    साबित करें कि:

    2sin⁡2𝜋6+csc⁡27𝜋6cos⁡2𝜋3=322sin26π​+csc267π​cos23π​=23​

    समाधान:

    1. प्रत्येक त्रिकोणमितीय मान की गणना करें:

       • sin⁡𝜋6=12sin6π​=21​
       • csc⁡7𝜋6=−2csc67π​=−2 (क्योंकि sin⁡7𝜋6=−12sin67π​=−21​)
       • cos⁡𝜋3=12cos3π​=21​

    2. इन मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:

    2sin⁡2𝜋6=2(12)2=2⋅14=122sin26π​=2(21​)2=2⋅41​=21​

    csc⁡27𝜋6cos⁡2𝜋3=(−2)2(12)2=4⋅14=1csc267π​cos23π​=(−2)2(21​)2=4⋅41​=1

    1. इन परिणामों को मिलाएं:

    2sin⁡2𝜋6+csc⁡27𝜋6cos⁡2𝜋3=12+1=12+22=322sin26π​+csc267π​cos23π​=21​+1=21​+22​=23​

    इस प्रकार, बाएं हाथ की ओर का मान दाएं हाथ की ओर के बराबर है:

    32=3223​=23​

    अतः, पहचान साबित हो जाती है।

    प्रश्न 3

    साबित करें कि:

    sin⁡𝑥−sin⁡𝑦cos⁡𝑥+cos⁡𝑦=tan⁡𝑥−𝑦2cosx+cosysinx−siny​=tan2x−y​

    समाधान:

    1. अंश (numerator) और हर (denominator) के लिए योग-से-उत्पाद (sum-to-product) पहचान का उपयोग करें:

       • sin⁡𝑥−sin⁡𝑦=2cos⁡(𝑥+𝑦2)sin⁡(𝑥−𝑦2)sinx−siny=2cos(2x+y​)sin(2x−y​)
       • cos⁡𝑥+cos⁡𝑦=2cos⁡(𝑥+𝑦2)cos⁡(𝑥−𝑦2)cosx+cosy=2cos(2x+y​)cos(2x−y​)

    2. इन पहचानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:

    sin⁡𝑥−sin⁡𝑦cos⁡𝑥+cos⁡𝑦=2cos⁡(𝑥+𝑦2)sin⁡(𝑥−𝑦2)2cos⁡(𝑥+𝑦2)cos⁡(𝑥−𝑦2)cosx+cosysinx−siny​=2cos(2x+y​)cos(2x−y​)2cos(2x+y​)sin(2x−y​)​

    1. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

    sin⁡𝑥−sin⁡𝑦cos⁡𝑥+cos⁡𝑦=sin⁡(𝑥−𝑦2)cos⁡(𝑥−𝑦2)=tan⁡(𝑥−𝑦2)cosx+cosysinx−siny​=cos(2x−y​)sin(2x−y​)​=tan(2x−y​)

    इस प्रकार, बाएं हाथ की ओर का मान दाएं हाथ की ओर के बराबर है:

    sin⁡𝑥−sin⁡𝑦cos⁡𝑥+cos⁡𝑦=tan⁡(𝑥−𝑦2)cosx+cosysinx−siny​=tan(2x−y​)

    अतः, पहचान साबित हो जाती है।

    प्रश्न 4

    साबित करें कि:

    sin⁡𝑥−sin⁡3𝑥=2sin⁡𝑥sinx−sin3x=2sinx

    समाधान:

    1. sin⁡3𝑥sin3x के लिए त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करें:

    sin⁡3𝑥=3sin⁡𝑥−4sin⁡3𝑥sin3x=3sinx−4sin3x

    1. इस पहचान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:

    sin⁡𝑥−sin⁡3𝑥=sin⁡𝑥−(3sin⁡𝑥−4sin⁡3𝑥)sinx−sin3x=sinx−(3sinx−4sin3x)

    1. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

    sin⁡𝑥−sin⁡3𝑥=sin⁡𝑥−3sin⁡𝑥+4sin⁡3𝑥sinx−sin3x=sinx−3sinx+4sin3x

    sin⁡𝑥−sin⁡3𝑥=−2sin⁡𝑥+4sin⁡3𝑥sinx−sin3x=−2sinx+4sin3x

11. 11.अभ्यास प्रश्न

    प्रश्न 01

    साबित करें कि:

    tan⁡4𝑥=4tan⁡𝑥(1−tan⁡2𝑥)1−6tan⁡2𝑥+tan⁡4𝑥tan4x=1−6tan2x+tan4x4tanx(1−tan2x)​

    समाधान:

    इसको साबित करने के लिए, हम टैन्जेंट डबल-एंगल और योग सूत्रों का उपयोग करेंगे।

    1. टैन्जेंट का डबल एंगल सूत्र:

    tan⁡2𝑥=2tan⁡𝑥1−tan⁡2𝑥tan2x=1−tan2x2tanx​

    1. डबल एंगल सूत्र को दो बार लागू करना:

    tan⁡4𝑥=tan⁡(2⋅2𝑥)tan4x=tan(2⋅2x) tan⁡4𝑥=2tan⁡2𝑥1−tan⁡22𝑥tan4x=1−tan22x2tan2x​

    1. tan⁡2𝑥=2tan⁡𝑥1−tan⁡2𝑥tan2x=1−tan2x2tanx​ को प्रतिस्थापित करें:

    tan⁡2𝑥=2tan⁡𝑥1−tan⁡2𝑥tan2x=1−tan2x2tanx​

    तो,

    tan⁡4𝑥=2(2tan⁡𝑥1−tan⁡2𝑥)1−(2tan⁡𝑥1−tan⁡2𝑥)2tan4x=1−(1−tan2x2tanx​)22(1−tan2x2tanx​)​

    1. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

    tan⁡4𝑥=4tan⁡𝑥1−4tan⁡2𝑥(1−tan⁡2𝑥)2tan4x=1−(1−tan2x)24tan2x​4tanx​

    tan⁡4𝑥=4tan⁡𝑥(1−tan⁡2𝑥)2(1−tan⁡2𝑥)2−4tan⁡2𝑥tan4x=(1−tan2x)2−4tan2x4tanx(1−tan2x)2​

    1. हर को विस्तारित करें:

    (1−tan⁡2𝑥)2=1−2tan⁡2𝑥+tan⁡4𝑥(1−tan2x)2=1−2tan2x+tan4x

    (1−tan⁡2𝑥)2−4tan⁡2𝑥=1−2tan⁡2𝑥+tan⁡4𝑥−4tan⁡2𝑥(1−tan2x)2−4tan2x=1−2tan2x+tan4x−4tan2x

    =1−6tan⁡2𝑥+tan⁡4𝑥=1−6tan2x+tan4x

    तो,

    tan⁡4𝑥=4tan⁡𝑥(1−tan⁡2𝑥)1−6tan⁡2𝑥+tan⁡4𝑥tan4x=1−6tan2x+tan4x4tanx(1−tan2x)​

    अतः, पहचान साबित हो जाती है।

    प्रश्न 02

    साबित करें कि:

    cos⁡4𝑥=1−8sin⁡2𝑥cos⁡2𝑥cos4x=1−8sin2xcos2x

    समाधान:

    हम कोसाइन और साइन के डबल-एंगल पहचान का उपयोग करेंगे।

    1. डबल एंगल सूत्र:

    cos⁡2𝑥=2cos⁡2𝑥−1cos2x=2cos2x−1 sin⁡2𝑥=2sin⁡𝑥cos⁡𝑥sin2x=2sinxcosx

    1. cos⁡4𝑥cos4x को cos⁡2𝑥cos2x के रूप में व्यक्त करें:

    cos⁡4𝑥=2cos⁡22𝑥−1cos4x=2cos22x−1

    1. cos⁡2𝑥=1−2sin⁡2𝑥cos2x=1−2sin2x को प्रतिस्थापित करें:

    cos⁡2𝑥=1−2sin⁡2𝑥cos2x=1−2sin2x

    1. cos⁡4𝑥cos4x को cos⁡2𝑥cos2x का उपयोग करके व्यक्त करें:

    cos⁡4𝑥=2(2cos⁡2𝑥−1)2−1cos4x=2(2cos2x−1)2−1

    1. अभिव्यक्ति को विस्तारित करें:

    cos⁡4𝑥=2(4cos⁡4𝑥−4cos⁡2𝑥+1)−1cos4x=2(4cos4x−4cos2x+1)−1

    cos⁡4𝑥=8cos⁡4𝑥−8cos⁡2𝑥+2−1cos4x=8cos4x−8cos2x+2−1

    cos⁡4𝑥=8cos⁡4𝑥−8cos⁡2𝑥+1cos4x=8cos4x−8cos2x+1

    1. पहचान sin⁡2𝑥=2sin⁡𝑥cos⁡𝑥sin2x=2sinxcosx का उपयोग करें:

    sin⁡22𝑥=4sin⁡2𝑥cos⁡2𝑥sin22x=4sin2xcos2x

    तो,

    cos⁡4𝑥=1−8sin⁡2𝑥cos⁡2𝑥cos4x=1−8sin2xcos2x

    अतः, पहचान साबित हो जाती है।

    प्रश्न 03

    साबित करें कि:

    cos⁡6𝑥=32cos⁡6𝑥−48cos⁡4𝑥+18cos⁡2𝑥−1cos6x=32cos6x−48cos4x+18cos2x−1

    समाधान:

    हम कई कोण सूत्रों का उपयोग करेंगे और cos⁡6𝑥cos6x को cos⁡𝑥cosx के रूप में व्यक्त करेंगे।

    1. ट्रिपल एंगल सूत्र के लिए कोसाइन:

    cos⁡3𝑥=4cos⁡3𝑥−3cos⁡𝑥cos3x=4cos3x−3cosx

    1. डबल एंगल सूत्र:

    cos⁡6𝑥=2cos⁡23𝑥−1cos6x=2cos23x−1

    1. cos⁡3𝑥=4cos⁡3𝑥−3cos⁡𝑥cos3x=4cos3x−3cosx को प्रतिस्थापित करें:

    cos⁡6𝑥=2(4cos⁡3𝑥−3cos⁡𝑥)2−1cos6x=2(4cos3x−3cosx)2−1

    1. अभिव्यक्ति को विस्तारित करें:

    cos⁡6𝑥=2(16cos⁡6𝑥−24cos⁡4𝑥+9cos⁡2𝑥)−1cos6x=2(16cos6x−24cos4x+9cos2x)−1

    cos⁡6𝑥=32cos⁡6𝑥−48cos⁡4𝑥+18cos⁡2𝑥−1cos6x=32cos6x−48cos4x+18cos2x−1

    अतः, पहचान साबित हो जाती है।