अनुक्रम और श्रेणियों का परिचय — कक्षा 11 गणित नोट्स

अनुक्रम और श्रेणियों का परिचय में शामिल टॉपिक

1. 1.अनुक्रम और श्रेणियों का विस्तृत विवरण

   अनुक्रम

   परिभाषा: अनुक्रम संख्याओं की एक सूची है जो एक विशिष्ट पैटर्न या नियम का पालन करती है। अनुक्रम में प्रत्येक संख्या को पद कहा जाता है।

   अनुक्रम के प्रकार

   1. अंकगणितीय अनुक्रम (AP):

      • परिभाषा: एक अनुक्रम जिसमें किसी दो लगातार पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है।
      • सामान्य अंतर (d): लगातार पदों के बीच का स्थिर अंतर।
      • सामान्य पद: यदि 𝑎a पहला पद है और 𝑑d सामान्य अंतर है, तो nवां पद (𝑎𝑛an​) इस प्रकार है:𝑎𝑛=𝑎+(𝑛−1)𝑑an​=a+(n−1)d
      • उदाहरण:
        • अनुक्रम: 2, 5, 8, 11,...
        • यहाँ पहला पद 𝑎=2a=2 और सामान्य अंतर 𝑑=3d=3 है।
        • 5वां पद ज्ञात करने के लिए:𝑎5=2+(5−1)×3=2+12=14a5​=2+(5−1)×3=2+12=14
        • तो, 5वां पद 14 है।

   2. गुणोत्तर अनुक्रम (GP):

      • परिभाषा: एक अनुक्रम जिसमें किसी दो लगातार पदों के बीच का अनुपात स्थिर होता है।
      • सामान्य अनुपात (r): लगातार पदों के बीच का स्थिर अनुपात।
      • सामान्य पद: यदि 𝑎a पहला पद है और 𝑟r सामान्य अनुपात है, तो nवां पद (𝑎𝑛an​) इस प्रकार है:𝑎𝑛=𝑎⋅𝑟(𝑛−1)an​=a⋅r(n−1)
      • उदाहरण:
        • अनुक्रम: 3, 6, 12, 24,...
        • यहाँ पहला पद 𝑎=3a=3 और सामान्य अनुपात 𝑟=2r=2 है।
        • 5वां पद ज्ञात करने के लिए:𝑎5=3⋅2(5−1)=3⋅24=3⋅16=48a5​=3⋅2(5−1)=3⋅24=3⋅16=48
        • तो, 5वां पद 48 है।

   श्रेणियाँ

   एक श्रेणी अनुक्रम के पदों का योग है। यदि आप किसी अनुक्रम के पहले n पदों का योग करते हैं, तो आपको एक श्रेणी मिलती है।

   श्रेणियों के प्रकार

   1. अंकगणितीय श्रेणी:

      • पहले n पदों का योग: किसी अंकगणितीय अनुक्रम के पहले n पदों का योग 𝑆𝑛Sn​ इस सूत्र से पाया जा सकता है:𝑆𝑛=𝑛2×(2𝑎+(𝑛−1)𝑑)Sn​=2n​×(2a+(n−1)d)
      • उदाहरण:
        • अनुक्रम 2, 5, 8, 11,... के पहले 4 पदों का योग ज्ञात करें।
        • यहाँ 𝑎=2a=2, 𝑑=3d=3, और 𝑛=4n=4 है।
        • सूत्र का उपयोग करके:𝑆4=42×(2×2+(4−1)×3)=2×(4+9)=2×13=26S4​=24​×(2×2+(4−1)×3)=2×(4+9)=2×13=26
        • तो, पहले 4 पदों का योग 26 है।

   2. गुणोत्तर श्रेणी:

      • पहले n पदों का योग: किसी गुणोत्तर अनुक्रम के पहले n पदों का योग 𝑆𝑛Sn​ इस सूत्र से पाया जा सकता है:𝑆𝑛=𝑎(1−𝑟𝑛)1−𝑟यदि 𝑟≠1Sn​=a1−r(1−rn)​यदिr=1
      • उदाहरण:
        • अनुक्रम 3, 6, 12, 24,... के पहले 4 पदों का योग ज्ञात करें।
        • यहाँ 𝑎=3a=3, 𝑟=2r=2, और 𝑛=4n=4 है।
        • सूत्र का उपयोग करके:𝑆4=3(1−24)1−2=3(1−16)−1=3×15=45S4​=31−2(1−24)​=3−1(1−16)​=3×15=45
        • तो, पहले 4 पदों का योग 45 है।

   विस्तृत वास्तविक जीवन का उदाहरण

   मान लें कि आप हर महीने पैसे बचा रहे हैं। आप पहले महीने में ₹100 से शुरू करते हैं और हर महीने पिछले महीने से ₹50 अधिक बचाते हैं।

   • पहला पद (a): ₹100
   • सामान्य अंतर (d): ₹50

   6वें महीने में बचत राशि ज्ञात करने के लिए:

   𝑎6=𝑎+(6−1)×𝑑=100+5×50=100+250=350a6​=a+(6−1)×d=100+5×50=100+250=350

   तो, 6वें महीने में आप ₹350 बचाएंगे।

   6 महीनों के बाद कुल बचत ज्ञात करने के लिए:

   𝑆6=62×(2×100+(6−1)×50)=3×(200+250)=3×450=1350S6​=26​×(2×100+(6−1)×50)=3×(200+250)=3×450=1350

   तो, 6 महीनों के बाद कुल बचत ₹1350 होगी।

   वास्तविक जीवन के अनुप्रयोग और करियर

   वित्त और अर्थशास्त्र:

   • ब्याज की गणना: अनुक्रम और श्रेणियों को समझना सरल और चक्रवृद्धि ब्याज की गणना के लिए महत्वपूर्ण है, जो बैंकिंग और वित्त के लिए आवश्यक है।
   • निवेश विश्लेषण: स्टॉक बाजार के रुझानों का विश्लेषण करते समय गुणोत्तर अनुक्रमों का उपयोग किया जाता है।

   इंजीनियरिंग:

   • सिग्नल प्रोसेसिंग: इंजीनियर सिग्नल प्रोसेस करने और विश्लेषण करने के लिए अनुक्रम और श्रेणियों का उपयोग करते हैं।
   • नियंत्रण प्रणाली: नियंत्रण प्रणाली के डिजाइन में स्थिरता विश्लेषण के लिए अनुक्रमों की आवश्यकता होती है।

   कंप्यूटर विज्ञान:

   • एल्गोरिदम की दक्षता: कई एल्गोरिदम समय और स्थान जटिलता निर्धारित करने के लिए अनुक्रम और श्रेणियों का उपयोग करते हैं, जो कोड को अनुकूलित करने के लिए महत्वपूर्ण है।
   • क्रिप्टोग्राफी: अनुक्रम जानकारी को सुरक्षित रूप से एन्कोड और डिकोड करने में भूमिका निभाते हैं।

   गुणोत्तर अनुक्रम का चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण

   1. पहला पद (a) और सामान्य अनुपात (r) की पहचान करें:

      • उदाहरण: 3, 6, 12, 24,...
      • पहला पद 𝑎=3a=3
      • सामान्य अनुपात 𝑟=2r=2

   2. nवें पद को ज्ञात करें:

      𝑎𝑛=𝑎⋅𝑟(𝑛−1)an​=a⋅r(n−1)
      • 5वां पद ज्ञात करने के लिए:𝑎5=3⋅2(5−1)=3⋅24=3⋅16=48a5​=3⋅2(5−1)=3⋅24=3⋅16=48
      • तो, 5वां पद 48 है।

2. 2.अनुक्रम

   परिभाषा

   अनुक्रम संख्याओं की एक सूची है जो एक विशिष्ट नियम या पैटर्न का पालन करती है। अनुक्रम में प्रत्येक संख्या को पद कहा जाता है।

   अंकगणितीय अनुक्रम (AP)

   • परिभाषा: एक अनुक्रम जिसमें किसी दो लगातार पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है। इस स्थिर अंतर को सामान्य अंतर (d) कहा जाता है।
   • सामान्य पद: अंकगणितीय अनुक्रम का nवां पद इस प्रकार है:𝑎𝑛=𝑎+(𝑛−1)𝑑an​=a+(n−1)dजहाँ 𝑎a पहला पद है और 𝑑d सामान्य अंतर है।
   • उदाहरण:
     • अनुक्रम: 3, 7, 11, 15,...
     • यहाँ पहला पद 𝑎=3a=3 और सामान्य अंतर 𝑑=4d=4 है।
     • 5वां पद ज्ञात करने के लिए (𝑎5a5​):𝑎5=3+(5−1)×4=3+16=19a5​=3+(5−1)×4=3+16=19
     • तो, 5वां पद 19 है।

   गुणोत्तर अनुक्रम (GP)

   • परिभाषा: एक अनुक्रम जिसमें किसी दो लगातार पदों के बीच का अनुपात स्थिर होता है। इस स्थिर अनुपात को सामान्य अनुपात (r) कहा जाता है।
   • सामान्य पद: गुणोत्तर अनुक्रम का nवां पद इस प्रकार है:𝑎𝑛=𝑎⋅𝑟(𝑛−1)an​=a⋅r(n−1)जहाँ 𝑎a पहला पद है और 𝑟r सामान्य अनुपात है।
   • उदाहरण:
     • अनुक्रम: 2, 6, 18, 54,...
     • यहाँ पहला पद 𝑎=2a=2 और सामान्य अनुपात 𝑟=3r=3 है।
     • 4वां पद ज्ञात करने के लिए (𝑎4a4​):𝑎4=2⋅3(4−1)=2⋅27=54a4​=2⋅3(4−1)=2⋅27=54
     • तो, 4वां पद 54 है।

   फिबोनैचि अनुक्रम

   • परिभाषा: एक अनुक्रम जिसमें प्रत्येक पद अपने दो पिछले पदों का योग होता है।
   • सामान्य पद: फिबोनैचि अनुक्रम का nवां पद इस प्रकार है:𝐹𝑛=𝐹𝑛−1+𝐹𝑛−2Fn​=Fn−1​+Fn−2​प्रारंभिक पद 𝐹0=0F0​=0 और 𝐹1=1F1​=1 हैं।
   • उदाहरण:
     • अनुक्रम: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...
     • 6वां पद ज्ञात करने के लिए (𝐹6F6​):𝐹6=𝐹5+𝐹4=5+3=8F6​=F5​+F4​=5+3=8
     • तो, 6वां पद 8 है।

   अनुक्रम के गुण

   1. एकरूप अनुक्रम: एक अनुक्रम जो या तो पूरी तरह से गैर-घटती है या गैर-बढ़ती।

      • बढ़ता हुआ अनुक्रम: प्रत्येक पद पिछले पद से बड़ा या बराबर होता है।
      • घटता हुआ अनुक्रम: प्रत्येक पद पिछले पद से छोटा या बराबर होता है।

   2. सीमित अनुक्रम: एक अनुक्रम जिसमें एक ऊपरी सीमा या एक निचली सीमा होती है।

      • ऊपरी सीमित: सभी पद किसी निश्चित संख्या से कम या बराबर होते हैं।
      • निचली सीमित: सभी पद किसी निश्चित संख्या से अधिक या बराबर होते हैं।

   दैनिक जीवन में अनुक्रम के उदाहरण

   अंकगणितीय अनुक्रम उदाहरण: मान लीजिए आप पैसे बचा रहे हैं, और आप हर महीने अपनी बचत को एक निश्चित राशि से बढ़ाने का निर्णय लेते हैं। यदि आप पहले महीने में ₹500 बचाते हैं, दूसरे महीने में ₹550, तीसरे महीने में ₹600, और इसी तरह आगे बढ़ते हैं, तो यह एक अंकगणितीय अनुक्रम बनाता है जहाँ पहला पद 𝑎=500a=500 और सामान्य अंतर 𝑑=50d=50 है।

   गुणोत्तर अनुक्रम उदाहरण: मान लीजिए किसी बैक्टीरिया की संख्या हर घंटे दोगुनी हो जाती है। यदि आप 1 बैक्टीरिया से शुरू करते हैं, तो 1 घंटे बाद 2 होंगे, 2 घंटे बाद 4, 3 घंटे बाद 8, और इसी तरह। यह एक गुणोत्तर अनुक्रम बनाता है जहाँ पहला पद 𝑎=1a=1 और सामान्य अनुपात 𝑟=2r=2 है।

   अभ्यास समस्याएँ

   1. अनुक्रम 4, 9, 14, 19,... का 10वां पद ज्ञात करें।

      • पहला पद 𝑎=4a=4
      • सामान्य अंतर 𝑑=5d=5
      • सूत्र का उपयोग करके:𝑎10=4+(10−1)×5=4+45=49a10​=4+(10−1)×5=4+45=49
      • तो, 10वां पद 49 है।

   2. अनुक्रम 3, 9, 27, 81,... का 7वां पद ज्ञात करें।

      • पहला पद 𝑎=3a=3
      • सामान्य अनुपात 𝑟=3r=3
      • सूत्र का उपयोग करके:𝑎7=3⋅3(7−1)=3⋅729=2187a7​=3⋅3(7−1)=3⋅729=2187
      • तो, 7वां पद 2187 है।

   वास्तविक जीवन के अनुप्रयोग और करियर

   वित्त और अर्थशास्त्र:

   • ब्याज की गणना: अनुक्रमों की मदद से चक्रवृद्धि ब्याज की गणना और वित्तीय वृद्धि का विश्लेषण किया जाता है।
   • निवेश विश्लेषण: वित्तीय विश्लेषक बाजार रुझानों को मॉडल और भविष्यवाणी करने के लिए अनुक्रमों का उपयोग करते हैं।

   कंप्यूटर विज्ञान:

   • एल्गोरिदम डिज़ाइन: एल्गोरिदम की दक्षता के लिए अनुक्रमों का ज्ञान महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से छँटाई और खोज में।
   • डेटा संरचना: अनुक्रम ऐरे, लिंक्ड लिस्ट और अन्य डेटा संरचनाओं को समझने में बुनियादी होते हैं।

   इंजीनियरिंग:

   • सिग्नल प्रोसेसिंग: इंजीनियर विभिन्न अनुप्रयोगों जैसे दूरसंचार में सिग्नल का विश्लेषण और प्रोसेस करने के लिए अनुक्रमों का उपयोग करते हैं।
   • नियंत्रण प्रणाली: स्थिरता और प्रदर्शन के लिए नियंत्रण प्रणालियों के डिज़ाइन और विश्लेषण में अनुक्रमों का उपयोग किया जाता है।

3. 3.श्रेणी का विस्तृत विवरण

   परिभाषा
   

   एक श्रृंखला अनुक्रम के पदों का योग है। यदि {𝑎𝑛}{an​} एक अनुक्रम है, तो श्रृंखला इस प्रकार है:

   𝑆=𝑎1+𝑎2+𝑎3+…+𝑎𝑛+…S=a1​+a2​+a3​+…+an​+…

   जहाँ 𝑆S अनुक्रम के पदों का योग है।

   श्रेणियों के प्रकार

   1. अंकगणितीय श्रेणी (Arithmetic Series)
   2. गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Series)
   3. हार्मोनिक श्रेणी (Harmonic Series)
   4. फिबोनैचि श्रेणी (Fibonacci Series)

   अंकगणितीय श्रेणी

   परिभाषा

   एक अंकगणितीय श्रेणी अंकगणितीय अनुक्रम के पदों का योग है।

   पहले 𝑛n पदों का योग

   पहले 𝑛n पदों का योग इस प्रकार है:

   𝑆𝑛=𝑛2×(2𝑎+(𝑛−1)𝑑)Sn​=2n​×(2a+(n−1)d)

   जहाँ:

   • 𝑆𝑛Sn​ पहले 𝑛n पदों का योग है।
   • 𝑎a पहला पद है।
   • 𝑑d सामान्य अंतर है।
   • 𝑛n पदों की संख्या है।

   वैकल्पिक रूप से, इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

   𝑆𝑛=𝑛2×(𝑎+𝑙)Sn​=2n​×(a+l)

   जहाँ 𝑙l श्रृंखला का अंतिम पद है।

   उदाहरण

   अंकगणितीय अनुक्रम: 2, 5, 8, 11,...

   • पहला पद (𝑎a): 2
   • सामान्य अंतर (𝑑d): 3
   • पदों की संख्या (𝑛n): 4

   पहले 4 पदों का योग ज्ञात करने के लिए:

   𝑆4=42×(2×2+(4−1)×3)=2×(4+9)=2×13=26S4​=24​×(2×2+(4−1)×3)=2×(4+9)=2×13=26

   तो, पहले 4 पदों का योग 26 है।

   गुणोत्तर श्रेणी

   परिभाषा

   एक गुणोत्तर श्रेणी गुणोत्तर अनुक्रम के पदों का योग है।

   पहले 𝑛n पदों का योग

   पहले 𝑛n पदों का योग इस प्रकार है:

   𝑆𝑛=𝑎(1−𝑟𝑛)1−𝑟यदि 𝑟≠1Sn​=a1−r(1−rn)​यदिr=1

   जहाँ:

   • 𝑆𝑛Sn​ पहले 𝑛n पदों का योग है।
   • 𝑎a पहला पद है।
   • 𝑟r सामान्य अनुपात है।
   • 𝑛n पदों की संख्या है।

   अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग

   यदि सामान्य अनुपात 𝑟r का परिमाण 1 से कम है (∣𝑟∣<1∣r∣<1), तो अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग इस प्रकार है:

   𝑆=𝑎1−𝑟S=1−ra​

   उदाहरण

   गुणोत्तर अनुक्रम: 3, 6, 12, 24,...

   • पहला पद (𝑎a): 3
   • सामान्य अनुपात (𝑟r): 2
   • पदों की संख्या (𝑛n): 4

   पहले 4 पदों का योग ज्ञात करने के लिए:

   𝑆4=3(1−24)1−2=3(1−16)−1=3×15=45S4​=31−2(1−24)​=3−1(1−16)​=3×15=45

   तो, पहले 4 पदों का योग 45 है।

   हार्मोनिक श्रेणी

   परिभाषा

   एक हार्मोनिक श्रेणी धनात्मक पूर्णांकों के प्रतिलोम का योग है:

   𝐻𝑛=1+12+13+…+1𝑛Hn​=1+21​+31​+…+n1​

   गुण

   • हार्मोनिक श्रेणी अपसारी होती है, अर्थात यह अनंत के समीप एक सीमित सीमा तक नहीं पहुँचती है।

   फिबोनैचि श्रेणी

   परिभाषा

   फिबोनैचि श्रेणी एक अनुक्रम है जहाँ प्रत्येक पद अपने दो पिछले पदों का योग होता है:

   0,1,1,2,3,5,8,13,…0,1,1,2,3,5,8,13,…

   उदाहरण

   फिबोनैचि श्रेणी के पहले 5 पदों का योग इस प्रकार है:

   0+1+1+2+3=70+1+1+2+3=7

   वास्तविक जीवन में श्रेणी के उदाहरण

   अंकगणितीय श्रेणी उदाहरण: मान लीजिए आप हर महीने पैसे बचा रहे हैं। आप पहले महीने में ₹100 बचाते हैं, दूसरे महीने में ₹150, तीसरे महीने में ₹200, और इसी प्रकार आगे बढ़ते हैं। यह एक अंकगणितीय श्रेणी बनाता है जहाँ प्रत्येक पद ₹50 से बढ़ता है।

   • पहला पद (𝑎a): ₹100
   • सामान्य अंतर (𝑑d): ₹50

   4 महीनों के बाद कुल बचत ज्ञात करने के लिए:

   𝑆4=42×(2×100+(4−1)×50)=2×(200+150)=2×350=700S4​=24​×(2×100+(4−1)×50)=2×(200+150)=2×350=700

   तो, 4 महीनों के बाद कुल बचत ₹700 है।

   गुणोत्तर श्रेणी उदाहरण: मान लीजिए किसी बैक्टीरिया की संख्या हर घंटे तीन गुना हो जाती है। 1 बैक्टीरिया से शुरू करके, 1 घंटे बाद 3, 2 घंटे बाद 9, 3 घंटे बाद 27, और इसी प्रकार आगे बढ़ते हैं।

   • पहला पद (𝑎a): 1
   • सामान्य अनुपात (𝑟r): 3

   4 घंटे बाद कुल संख्या का योग ज्ञात करने के लिए:

   𝑆4=1(1−34)1−3=1(1−81)−2=1×40=40S4​=11−3(1−34)​=1−2(1−81)​=1×40=40

   तो, 4 घंटे बाद कुल संख्या 40 है।

   वास्तविक जीवन के अनुप्रयोग और करियर

   वित्त और अर्थशास्त्र:

   • ब्याज की गणना: श्रेणियों का उपयोग चक्रवृद्धि ब्याज और वार्षिकियों की गणना करने के लिए किया जाता है।
   • निवेश विश्लेषण: विश्लेषक वित्तीय वृद्धि का मॉडल और पूर्वानुमान करने के लिए श्रेणियों का उपयोग करते हैं।

   इंजीनियरिंग:

   • सिग्नल प्रोसेसिंग: इंजीनियर दूरसंचार में सिग्नल का विश्लेषण और प्रोसेस करने के लिए श्रेणियों का उपयोग करते हैं।
   • नियंत्रण प्रणाली: स्थिरता और प्रदर्शन के लिए नियंत्रण प्रणालियों के डिज़ाइन और विश्लेषण में श्रेणियों का उपयोग किया जाता है।

   कंप्यूटर विज्ञान:

   • एल्गोरिदम डिज़ाइन: एल्गोरिदम की जटिलता और प्रदर्शन का विश्लेषण करने में श्रेणियाँ महत्वपूर्ण हैं।
   • डेटा संपीड़न: जानकारी को कुशलता से एन्कोड और डिकोड करने में श्रेणियों का उपयोग किया जाता है।

4. 4.अभ्यास प्रश्न

   अभ्यास 1 से 6: पहले पाँच पद लिखें

   अभ्यास 1

   𝑎𝑛=𝑛(𝑛+2)an​=n(n+2)

   • 𝑛=1n=1 के लिए:

     𝑎1=1(1+2)=1×3=3a1​=1(1+2)=1×3=3

   • 𝑛=2n=2 के लिए:

     𝑎2=2(2+2)=2×4=8a2​=2(2+2)=2×4=8

   • 𝑛=3n=3 के लिए:

     𝑎3=3(3+2)=3×5=15a3​=3(3+2)=3×5=15

   • 𝑛=4n=4 के लिए:

     𝑎4=4(4+2)=4×6=24a4​=4(4+2)=4×6=24

   • 𝑛=5n=5 के लिए:

     𝑎5=5(5+2)=5×7=35a5​=5(5+2)=5×7=35

   पहले पाँच पद: 3,8,15,24,353,8,15,24,35

   अभ्यास 2

   𝑎𝑛=𝑛𝑛+1an​=n+1n​

   • 𝑛=1n=1 के लिए:

     𝑎1=11+1=12a1​=1+11​=21​

   • 𝑛=2n=2 के लिए:

     𝑎2=22+1=23a2​=2+12​=32​

   • 𝑛=3n=3 के लिए:

     𝑎3=33+1=34a3​=3+13​=43​

   • 𝑛=4n=4 के लिए:

     𝑎4=44+1=45a4​=4+14​=54​

   • 𝑛=5n=5 के लिए:

     𝑎5=55+1=56a5​=5+15​=65​

   पहले पाँच पद: 12,23,34,45,5621​,32​,43​,54​,65​

   अभ्यास 3

   𝑎𝑛=2𝑛an​=2n

   • 𝑛=1n=1 के लिए:

     𝑎1=21=2a1​=21=2

   • 𝑛=2n=2 के लिए:

     𝑎2=22=4a2​=22=4

   • 𝑛=3n=3 के लिए:

     𝑎3=23=8a3​=23=8

   • 𝑛=4n=4 के लिए:

     𝑎4=24=16a4​=24=16

   • 𝑛=5n=5 के लिए:

     𝑎5=25=32a5​=25=32

   पहले पाँच पद: 2,4,8,16,322,4,8,16,32

   अभ्यास 4

   𝑎𝑛=2𝑛−36an​=62n−3​

   • 𝑛=1n=1 के लिए:

     𝑎1=2(1)−36=−16a1​=62(1)−3​=6−1​

   • 𝑛=2n=2 के लिए:

     𝑎2=2(2)−36=16a2​=62(2)−3​=61​

   • 𝑛=3n=3 के लिए:

     𝑎3=2(3)−36=36=12a3​=62(3)−3​=63​=21​

   • 𝑛=4n=4 के लिए:

     𝑎4=2(4)−36=56a4​=62(4)−3​=65​

   • 𝑛=5n=5 के लिए:

     𝑎5=2(5)−36=76a5​=62(5)−3​=67​

   पहले पाँच पद: −16,16,12,56,766−1​,61​,21​,65​,67​

   अभ्यास 5

   𝑎𝑛=(−1)𝑛−1⋅5𝑛+1an​=(−1)n−1⋅5n+1

   • 𝑛=1n=1 के लिए:

     𝑎1=(−1)1−1⋅51+1=1⋅52=25a1​=(−1)1−1⋅51+1=1⋅52=25

   • 𝑛=2n=2 के लिए:

     𝑎2=(−1)2−1⋅52+1=−1⋅53=−125a2​=(−1)2−1⋅52+1=−1⋅53=−125

   • 𝑛=3n=3 के लिए:

     𝑎3=(−1)3−1⋅53+1=1⋅54=625a3​=(−1)3−1⋅53+1=1⋅54=625

   • 𝑛=4n=4 के लिए:

     𝑎4=(−1)4−1⋅54+1=−1⋅55=−3125a4​=(−1)4−1⋅54+1=−1⋅55=−3125

   • 𝑛=5n=5 के लिए:

     𝑎5=(−1)5−1⋅55+1=1⋅56=15625a5​=(−1)5−1⋅55+1=1⋅56=15625

   पहले पाँच पद: 25,−125,625,−3125,1562525,−125,625,−3125,15625

   अभ्यास 6

   𝑎𝑛=𝑛2+54an​=4n2+5​

   • 𝑛=1n=1 के लिए:

     𝑎1=12+54=64=32a1​=412+5​=46​=23​

   • 𝑛=2n=2 के लिए:

     𝑎2=22+54=94a2​=422+5​=49​

   • 𝑛=3n=3 के लिए:

     𝑎3=32+54=144=72a3​=432+5​=414​=27​

   • 𝑛=4n=4 के लिए:

     𝑎4=42+54=214a4​=442+5​=421​

   • 𝑛=5n=5 के लिए:

     𝑎5=52+54=304=152a5​=452+5​=430​=215​

   पहले पाँच पद: 32,94,72,214,15223​,49​,27​,421​,215​

   अभ्यास 7 से 10: निर्दिष्ट पदों का पता लगाएं

   अभ्यास 7

   𝑎𝑛=4𝑛−3an​=4n−3

   • 𝑛=17n=17 के लिए:

     𝑎17=4(17)−3=68−3=65a17​=4(17)−3=68−3=65

   • 𝑛=24n=24 के लिए:

     𝑎24=4(24)−3=96−3=93a24​=4(24)−3=96−3=93

   तो, 𝑎17=65a17​=65 और 𝑎24=93a24​=93।

   अभ्यास 8

   𝑎𝑛=𝑛22𝑛𝑎7an​=2nn2​a7​

   𝑎7a7​ निकालने के लिए:

   𝑎7=7227=49128a7​=2772​=12849​

   तो, 𝑎7=49128a7​=12849​।

   अभ्यास 9

   𝑎𝑛=(−1)𝑛−1⋅𝑛3an​=(−1)n−1⋅n3

   • 𝑛=9n=9 के लिए:𝑎9=(−1)9−1⋅93=(−1)8⋅729=729a9​=(−1)9−1⋅93=(−1)8⋅729=729

   तो, 𝑎9=729a9​=729।

   अभ्यास 10

   𝑎𝑛=𝑛(𝑛−2)𝑛+3𝑎20an​=n+3n(n−2)​a20​

   𝑎10a10​ को 𝑎20a20​ का उपयोग करके निकालने के लिए:

   𝑎10=10(10−2)10+3𝑎20=8013𝑎20a10​=10+310(10−2)​a20​=1380​a20​

   तो, 𝑎10=8013𝑎20a10​=1380​a20​।

   अभ्यास 11 से 14: पहले पाँच पद लिखें और श्रृंखला प्राप्त करें

   अभ्यास 11

   𝑎1=3a1​=3 𝑎𝑛=3𝑎𝑛−1+2an​=3an−1​+2 सभी 𝑛>1n>1 के लिए

   • 𝑎1=3a1​=3
   • 𝑎2=3𝑎1+2=3(3)+2=9+2=11a2​=3a1​+2=3(3)+2=9+2=11
   • 𝑎3=3𝑎2+2=3(11)+2=33+2=35a3​=3a2​+2=3(11)+2=33+2=35
   • 𝑎4=3𝑎3+2=3(35)+2=105+2=107a4​=3a3​+2=3(35)+2=105+2=107
   • 𝑎5=3𝑎4+2=3(107)+2=321+2=323a5​=3a4​+2=3(107)+2=321+2=323

   पहले पाँच पद: 3,11,35,107,3233,11,35,107,323

   श्रृंखला: 3+11+35+107+323=4793+11+35+107+323=479

   अभ्यास 12

   𝑎1=−1a1​=−1 𝑎𝑛=𝑎𝑛−1𝑛an​=nan−1​​ सभी 𝑛≥2n≥2 के लिए

   • 𝑎1=−1a1​=−1
   • 𝑎2=𝑎12=−12=−12a2​=2a1​​=2−1​=−21​
   • 𝑎3=𝑎23=−123=−16a3​=3a2​​=3−21​​=−61​
   • 𝑎4=𝑎34=−164=−124a4​=4a3​​=4−61​​=−241​
   • 𝑎5=𝑎45=−1245=−1120a5​=5a4​​=5−241​​=−1201​

   पहले पाँच पद: −1,−12,−16,−124,−1120−1,−21​,−61​,−241​,−1201​

   श्रृंखला: −1−12−16−124−1120=−1.825−1−21​−61​−241​−1201​=−1.825

   अभ्यास 13

   𝑎1=2a1​=2 𝑎2=2a2​=2 𝑎𝑛=𝑎𝑛−1−1an​=an−1​−1 सभी 𝑛>2n>2 के लिए

   • 𝑎1=2a1​=2
   • 𝑎2=2a2​=2
   • 𝑎3=𝑎2−1=2−1=1a3​=a2​−1=2−1=1
   • 𝑎4=𝑎3−1=1−1=0a4​=a3​−1=1−1=0
   • 𝑎5=𝑎4−1=0−1=−1a5​=a4​−1=0−1=−1

   पहले पाँच पद: 2,2,1,0,−12,2,1,0,−1

   श्रृंखला: 2+2+1+0−1=42+2+1+0−1=4

   अभ्यास 14

   फिबोनैचि अनुक्रम: 𝑎1=1a1​=1 𝑎2=1a2​=1 𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+𝑎𝑛−2an​=an−1​+an−2​ सभी 𝑛>2n>2 के लिए

   • 𝑎1=1a1​=1
   • 𝑎2=1a2​=1
   • 𝑎3=𝑎2+𝑎1=1+1=2a3​=a2​+a1​=1+1=2
   • 𝑎4=𝑎3+𝑎2=2+1=3a4​=a3​+a2​=2+1=3
   • 𝑎5=𝑎4+𝑎3=3+2=5a5​=a4​+a3​=3+2=5

   पहले पाँच पद: 1,1,2,3,51,1,2,3,5

   𝑎𝑛+1𝑎𝑛an​an+1​​ निकालने के लिए 𝑛=1,2,3,4,5n=1,2,3,4,5 के लिए:

   • 𝑎2𝑎1=11=1a1​a2​​=11​=1
   • 𝑎3𝑎2=21=2a2​a3​​=12​=2
   • 𝑎4𝑎3=32=1.5a3​a4​​=23​=1.5
   • 𝑎5𝑎4=53=1.67a4​a5​​=35​=1.67
   • 𝑎6𝑎5=85=1.6a5​a6​​=58​=1.6

   तो, 𝑎𝑛+1𝑎𝑛an​an+1​​ के लिए 𝑛=1,2,3,4,5n=1,2,3,4,5 हैं 1,2,1.5,1.67,1.61,2,1.5,1.67,1.6।

5. 5.गुणोत्तर श्रेणी (G.P.)

   परिभाषा

   
   

   गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) संख्याओं का ऐसा अनुक्रम है जिसमें किसी भी दो लगातार पदों का अनुपात हमेशा स्थिर रहता है। इस स्थिर अनुपात को सामान्य अनुपात (r) कहा जाता है।

   सामान्य रूप

   एक गुणोत्तर अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 𝑎,𝑎𝑟,𝑎𝑟2,𝑎𝑟3,…a,ar,ar2,ar3,… जहाँ:

   • 𝑎a पहला पद है
   • 𝑟r सामान्य अनुपात है
   • 𝑎𝑟𝑛arn nवां पद है

   G.P. का सामान्य पद

   गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य पद (nवां पद) इस सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: 𝑎𝑛=𝑎⋅𝑟𝑛−1an​=a⋅rn−1 जहाँ:

   • 𝑎𝑛an​ nवां पद है
   • 𝑎a पहला पद है
   • 𝑟r सामान्य अनुपात है
   • 𝑛n पद संख्या है

   उदाहरण

   एक G.P. में पहला पद 𝑎=3a=3 और सामान्य अनुपात 𝑟=2r=2 है।

   5वां पद (𝑎5a5​) निकालने के लिए:

   𝑎5=3⋅25−1=3⋅24=3⋅16=48a5​=3⋅25−1=3⋅24=3⋅16=48

   तो, 5वां पद 48 है।

   G.P. के n पदों का योग

   गुणोत्तर श्रेणी के पहले 𝑛n पदों का योग इस सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: 𝑆𝑛=𝑎(1−𝑟𝑛)1−𝑟यदि 𝑟≠1Sn​=a1−r(1−rn)​यदिr=1

   यदि सामान्य अनुपात 𝑟r -1 और 1 के बीच है (∣𝑟∣<1∣r∣<1), तो श्रृंखला को अनंत तक जोड़ा जा सकता है: 𝑆=𝑎1−𝑟यदि ∣𝑟∣<1S=1−ra​यदि∣r∣<1

   उदाहरण

   पहला पद 𝑎=3a=3 और सामान्य अनुपात 𝑟=2r=2 वाले एक ही G.P. को लें।

   पहले 5 पदों का योग (𝑆5S5​) निकालने के लिए:

   𝑆5=3(1−25)1−2=3(1−32)−1=3−31−1=3×31=93S5​=31−2(1−25)​=3−1(1−32)​=3−1−31​=3×31=93

   तो, पहले 5 पदों का योग 93 है।

6. 6.ज्यामितीय माध्य

   परिभाषा

   दो संख्याओं 𝑎a और 𝑏b का ज्यामितीय माध्य (G.M.) उनके गुणनफल का वर्गमूल होता है। अधिक सामान्य रूप से, 𝑛n सकारात्मक संख्याओं 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛a1​,a2​,…,an​ का ज्यामितीय माध्य उनके गुणनफल का nवां मूल होता है।

   दो संख्याओं 𝑎a और 𝑏b के लिए:

   G.M.=𝑎𝑏G.M.=ab​

   𝑛n संख्याओं 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛a1​,a2​,…,an​ के लिए:

   G.M.=𝑎1⋅𝑎2⋅…⋅𝑎𝑛𝑛G.M.=na1​⋅a2​⋅…⋅an​​

   ज्यामितीय माध्य के गुण

   1. सकारात्मकता: सकारात्मक संख्याओं का ज्यामितीय माध्य हमेशा सकारात्मक होता है।
   2. समानता: ज्यामितीय माध्य समान होता है, अर्थात संख्याओं का क्रम मायने नहीं रखता।
   3. अनुपातिकता: 𝑘k गुणा प्रत्येक संख्या 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛a1​,a2​,…,an​ का ज्यामितीय माध्य 𝑘k गुणा 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛a1​,a2​,…,an​ का ज्यामितीय माध्य होता है।

   गणना उदाहरण

   उदाहरण 1: दो संख्याएँ

   दो संख्याओं 44 और 1616 पर विचार करें:

   G.M.=4×16=64=8G.M.=4×16​=64​=8

   उदाहरण 2: कई संख्याएँ

   तीन संख्याओं 2,8,2,8, और 3232 पर विचार करें:

   G.M.=2×8×323=5123=8G.M.=32×8×32​=3512​=8

   ज्यामितीय माध्य के अनुप्रयोग

   1. वित्त: ज्यामितीय माध्य का उपयोग कई अवधियों में औसत प्रतिफल दर की गणना के लिए किया जाता है। यह चक्रवृद्धि प्रभाव को ध्यान में रखता है।
   2. वृद्धि दर: इसका उपयोग समय के साथ आबादी, निवेश आदि की औसत वृद्धि दर खोजने के लिए किया जाता है।
   3. आंकड़े: अनुपात और प्रतिशत से निपटने वाले विभिन्न सांख्यिकीय उपायों में ज्यामितीय माध्य का उपयोग किया जाता है।
   4. ज्यामिति: ज्यामितीय रचनाओं में, ज्यामितीय माध्य का उपयोग समकोण त्रिभुज में लंब की लंबाई खोजने के लिए किया जा सकता है।

   विस्तृत स्पष्टीकरण

   दो संख्याओं का ज्यामितीय माध्य

   दो सकारात्मक संख्याओं 𝑎a और 𝑏b पर विचार करें। इन संख्याओं का ज्यामितीय माध्य इस प्रकार दिया गया है:

   G.M.=𝑎𝑏G.M.=ab​

   चरण-दर-चरण गणना:

   1. संख्याओं का गुणा करें: दो संख्याओं को गुणा करें:

      Product=𝑎×𝑏Product=a×b

   2. वर्गमूल लें: गुणनफल का वर्गमूल लें:

      G.M.=𝑎×𝑏G.M.=a×b​

   उदाहरण: 𝑎=9a=9 और 𝑏=4b=4 के लिए:

   G.M.=9×4=36=6G.M.=9×4​=36​=6

   कई संख्याओं का ज्यामितीय माध्य

   𝑛n सकारात्मक संख्याओं 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛a1​,a2​,…,an​ पर विचार करें। इन संख्याओं का ज्यामितीय माध्य इस प्रकार दिया गया है:

   G.M.=𝑎1⋅𝑎2⋅…⋅𝑎𝑛𝑛G.M.=na1​⋅a2​⋅…⋅an​​

   चरण-दर-चरण गणना:

   1. सभी संख्याओं का गुणा करें: सभी संख्याओं को गुणा करें:

      Product=𝑎1×𝑎2×…×𝑎𝑛Product=a1​×a2​×…×an​

   2. nवां मूल लें: गुणनफल का nवां मूल लें:

      G.M.=𝑎1×𝑎2×…×𝑎𝑛𝑛G.M.=na1​×a2​×…×an​​

   उदाहरण: 𝑎1=2,𝑎2=4,a1​=2,a2​=4, और 𝑎3=8a3​=8 के लिए:

   G.M.=2×4×83=643=4G.M.=32×4×8​=364​=4

   ज्यामितीय माध्य के वास्तविक जीवन अनुप्रयोग

   1. वित्त:

      • निवेश प्रतिफल: निवेश पर कई अवधियों में औसत प्रतिफल की गणना करते समय, ज्यामितीय माध्य को अंकगणितीय माध्य की तुलना में प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि यह चक्रवृद्धि को ध्यान में रखता है।
      • उदाहरण: यदि एक निवेश पहले वर्ष में 10% और दूसरे वर्ष में 20% बढ़ता है, तो ज्यामितीय माध्य औसत वृद्धि दर का अधिक सटीक माप प्रदान करता है।

   2. आबादी की वृद्धि:

      • उदाहरण: यदि एक आबादी एक वर्ष में 3% और अगले वर्ष में 5% बढ़ती है, तो ज्यामितीय माध्य बेहतर औसत वृद्धि दर प्रदान करता है, जो चक्रवृद्धि प्रभाव को ध्यान में रखता है।

   3. विज्ञान और इंजीनियरिंग:

      • उदाहरण: जीवविज्ञान में, ज्यामितीय माध्य का उपयोग समय के साथ बैक्टीरिया या अन्य सूक्ष्मजीवों की औसत वृद्धि दर की गणना के लिए किया जाता है।

   4. आंकड़े:

      • उदाहरण: सांख्यिकीय विश्लेषण में, ज्यामितीय माध्य का उपयोग उन डेटा सेटों के लिए किया जाता है जिनमें घातीय वृद्धि या गुणक डेटा होता है।

7. 7.अंकगणितीय माध्य (A.M.) और ज्यामितीय माध्य (G.M.) के बीच संबंध

   परिभाषाएँ

   1. अंकगणितीय माध्य (A.M.): दो संख्याओं 𝑎a और 𝑏b का अंकगणितीय माध्य इस प्रकार है:

      A.M.=𝑎+𝑏2A.M.=2a+b​

   2. ज्यामितीय माध्य (G.M.): दो संख्याओं 𝑎a और 𝑏b का ज्यामितीय माध्य इस प्रकार है:

      G.M.=𝑎𝑏G.M.=ab​

   A.M. और G.M. के बीच संबंध

   किसी भी दो सकारात्मक संख्याओं 𝑎a और 𝑏b के लिए:

   A.M.≥G.M.A.M.≥G.M.

   और बराबरी तब होगी जब 𝑎=𝑏a=b हो।

   यह असमता अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य असमता (AM-GM असमता) के रूप में जानी जाती है।

   दो संख्याओं के लिए AM-GM असमता का प्रमाण

   दो सकारात्मक संख्याओं 𝑎a और 𝑏b पर विचार करें। AM-GM असमता के अनुसार, हमें यह दिखाना है:

   𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏2a+b​≥ab​

   1. दोनों पक्षों का वर्ग लें:

      (𝑎+𝑏2)2≥(𝑎𝑏)2(2a+b​)2≥(ab​)2

   2. सरलीकृत करें:

      (𝑎+𝑏)24≥𝑎𝑏4(a+b)2​≥ab

   3. बाएँ पक्ष को विस्तारित करें:

      𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏24≥𝑎𝑏4a2+2ab+b2​≥ab

   4. दोनों पक्षों को 4 से गुणा करें:

      𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2≥4𝑎𝑏a2+2ab+b2≥4ab

   5. सरलीकृत करें:

      𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2≥0a2−2ab+b2≥0

   6. गुणनखंड करें:

      (𝑎−𝑏)2≥0(a−b)2≥0

   चूंकि (𝑎−𝑏)2≥0(a−b)2≥0 सभी वास्तविक संख्याओं 𝑎a और 𝑏b के लिए सत्य है, यह असमता सत्य है। बराबरी तब होगी जब (𝑎−𝑏)2=0(a−b)2=0, अर्थात 𝑎=𝑏a=b हो।

   उदाहरण

   दो संख्याओं 𝑎=4a=4 और 𝑏=16b=16 पर विचार करें:

   • अंकगणितीय माध्य:

     A.M.=4+162=202=10A.M.=24+16​=220​=10

   • ज्यामितीय माध्य:

     G.M.=4×16=64=8G.M.=4×16​=64​=8

   यहाँ, A.M.=10A.M.=10 और G.M.=8G.M.=8 है, इसलिए A.M.>G.M.A.M.>G.M. है।

   n संख्याओं के लिए सामान्यीकरण

   AM-GM असमता को 𝑛n सकारात्मक संख्याओं 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛a1​,a2​,…,an​ के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

   𝑎1+𝑎2+…+𝑎𝑛𝑛≥𝑎1⋅𝑎2⋅…⋅𝑎𝑛𝑛na1​+a2​+…+an​​≥na1​⋅a2​⋅…⋅an​​

   और बराबरी तब होगी जब 𝑎1=𝑎2=…=𝑎𝑛a1​=a2​=…=an​ हो।

   AM-GM असमता के अनुप्रयोग

   1. समीकरण समस्याएँ: विभिन्न समीकरण समस्याओं में न्यूनतम या अधिकतम मान खोजने के लिए उपयोग किया जाता है।
   2. वित्त: चक्रवृद्धि ब्याज गणनाओं में औसत प्रतिफल दर को समझने में मदद करता है।
   3. आंकड़े: विभिन्न सांख्यिकीय उपायों और विश्लेषणों में उपयोगी।

8. 8.अभ्यास प्रश्न

   प्रश्न 1

   G.P. 52,54,58,…25​,45​,85​,… का 20वां और nवां पद निकालें।

   हल:

   गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) का सामान्य पद इस प्रकार दिया गया है:

   𝑎𝑛=𝑎⋅𝑟𝑛−1an​=a⋅rn−1

   • पहला पद 𝑎=52a=25​
   • सामान्य अनुपात 𝑟=5452=54×25=12r=25​45​​=45​×52​=21​

   20वां पद निकालने के लिए:

   𝑎20=52⋅(12)20−1=52⋅(12)19=52⋅1524288=51048576a20​=25​⋅(21​)20−1=25​⋅(21​)19=25​⋅5242881​=10485765​

   nवां पद निकालने के लिए:

   𝑎𝑛=52⋅(12)𝑛−1=52⋅12𝑛−1=52𝑛an​=25​⋅(21​)n−1=25​⋅2n−11​=2n5​

   प्रश्न 2

   G.P. का 12वां पद निकालें जिसका 8वां पद 192 है और सामान्य अनुपात 2 है।

   हल:

   गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) का सामान्य पद इस प्रकार दिया गया है:

   𝑎𝑛=𝑎⋅𝑟𝑛−1an​=a⋅rn−1

   दिया गया है:

   • 𝑎8=192a8​=192
   • 𝑟=2r=2

   पहला पद 𝑎a निकालने के लिए:

   192=𝑎⋅28−1=𝑎⋅27=𝑎⋅128 ⟹ 𝑎=192128=1.5192=a⋅28−1=a⋅27=a⋅128⟹a=128192​=1.5

   12वां पद निकालने के लिए:

   𝑎12=𝑎⋅212−1=1.5⋅211=1.5⋅2048=3072a12​=a⋅212−1=1.5⋅211=1.5⋅2048=3072

   प्रश्न 3

   G.P. के 5वें, 8वें, और 11वें पद क्रमशः 𝑝,𝑞,p,q, और 𝑠s हैं। दिखाएँ कि 𝑞2=𝑝𝑠q2=ps।

   हल:

   गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) का सामान्य पद इस प्रकार दिया गया है:

   𝑎𝑛=𝑎⋅𝑟𝑛−1an​=a⋅rn−1

   दिया गया है:

   • 𝑎5=𝑝a5​=p
   • 𝑎8=𝑞a8​=q
   • 𝑎11=𝑠a11​=s

   𝑎a और 𝑟r के रूप में व्यक्त करें:

   𝑝=𝑎⋅𝑟4p=a⋅r4𝑞=𝑎⋅𝑟7q=a⋅r7𝑠=𝑎⋅𝑟10s=a⋅r10

   दिखाएँ कि 𝑞2=𝑝𝑠q2=ps:

   𝑞2=(𝑎⋅𝑟7)2=𝑎2⋅𝑟14q2=(a⋅r7)2=a2⋅r14𝑝𝑠=(𝑎⋅𝑟4)(𝑎⋅𝑟10)=𝑎2⋅𝑟14ps=(a⋅r4)(a⋅r10)=a2⋅r14

   इसलिए, 𝑞2=𝑝𝑠q2=ps।

   प्रश्न 4

   G.P. का 4था पद इसके दूसरे पद का वर्ग है, और पहला पद -3 है। इसका 7वां पद ज्ञात करें।

   हल:

   गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) का सामान्य पद इस प्रकार दिया गया है:

   𝑎𝑛=𝑎⋅𝑟𝑛−1an​=a⋅rn−1

   दिया गया है:

   • 𝑎4=(𝑎2)2a4​=(a2​)2
   • 𝑎=−3a=−3

   𝑎a और 𝑟r के रूप में व्यक्त करें:

   𝑎4=𝑎⋅𝑟3a4​=a⋅r3𝑎2=𝑎⋅𝑟a2​=a⋅r

   दिया गया है कि 𝑎4=(𝑎2)2a4​=(a2​)2:

   𝑎⋅𝑟3=(𝑎⋅𝑟)2 ⟹ 𝑎⋅𝑟3=𝑎2⋅𝑟2 ⟹ 𝑟3=𝑎⋅𝑟2 ⟹ 𝑟=𝑎=−3a⋅r3=(a⋅r)2⟹a⋅r3=a2⋅r2⟹r3=a⋅r2⟹r=a=−3

   चूंकि 𝑟=−3r=−3:

   𝑎7=𝑎⋅𝑟6=−3⋅(−3)6=−3⋅729=−2187a7​=a⋅r6=−3⋅(−3)6=−3⋅729=−2187

   प्रश्न 5

   निम्नलिखित अनुक्रमों का कौन सा पद 128128 और 729729 है?

   (a) 2,22,4,…2,22​,4,… का कौन सा पद 128128 है?

   हल:

   गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) का सामान्य पद इस प्रकार दिया गया है:

   𝑎𝑛=𝑎⋅𝑟𝑛−1an​=a⋅rn−1

   दिया गया है:

   • पहला पद 𝑎=2a=2
   • सामान्य अनुपात 𝑟=2r=2​

   𝑛n निकालने के लिए जहाँ 𝑎𝑛=128an​=128:

   2⋅(2)𝑛−1=128 ⟹ (2)𝑛−1=64 ⟹ (21/2)𝑛−1=26 ⟹ 2(𝑛−1)/2=26 ⟹ 𝑛−12=6 ⟹ 𝑛−1=12 ⟹ 𝑛=132⋅(2​)n−1=128⟹(2​)n−1=64⟹(21/2)n−1=26⟹2(n−1)/2=26⟹2n−1​=6⟹n−1=12⟹n=13

   इसलिए, 13वां पद 128128 है।

   (b) 3,3,33,…3​,3,33​,… का कौन सा पद 729729 है?

   हल:

   गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) का सामान्य पद इस प्रकार दिया गया है:

   𝑎𝑛=𝑎⋅𝑟𝑛−1an​=a⋅rn−1

   दिया गया है:

   • पहला पद 𝑎=3a=3​
   • सामान्य अनुपात 𝑟=3r=3​

   𝑛n निकालने के लिए जहाँ 𝑎𝑛=729an​=729:

   3⋅(3)𝑛−1=729 ⟹ (3)𝑛=729 ⟹ (31/2)𝑛=36 ⟹ 3𝑛/2=36 ⟹ 𝑛2=6 ⟹ 𝑛=123​⋅(3​)n−1=729⟹(3​)n=729⟹(31/2)n=36⟹3n/2=36⟹2n​=6⟹n=12

   इसलिए, 12वां पद 729729 है।

9. 9.अभ्यास प्रश्न

   प्रश्न 01

   दिखाएँ कि अनुक्रम 𝑎,𝑎𝑟,𝑎𝑟2,…,𝑎𝑟𝑛−1a,ar,ar2,…,arn−1 और 𝐴,𝐴𝑅,𝐴𝑅2,…,𝐴𝑅𝑛−1A,AR,AR2,…,ARn−1 के संगत पदों के गुणनफल एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) बनाते हैं, और सामान्य अनुपात ज्ञात करें।

   हल:

   दो गुणोत्तर श्रेणियों पर विचार करें:

   • अनुक्रम 1: 𝑎,𝑎𝑟,𝑎𝑟2,…,𝑎𝑟𝑛−1a,ar,ar2,…,arn−1
   • अनुक्रम 2: 𝐴,𝐴𝑅,𝐴𝑅2,…,𝐴𝑅𝑛−1A,AR,AR2,…,ARn−1

   इन अनुक्रमों के संगत पदों का गुणनफल ज्ञात करें। गुणनफल अनुक्रम होगा:

   𝑎𝐴,𝑎𝑟⋅𝐴𝑅,𝑎𝑟2⋅𝐴𝑅2,…,𝑎𝑟𝑛−1⋅𝐴𝑅𝑛−1aA,ar⋅AR,ar2⋅AR2,…,arn−1⋅ARn−1

   इन पदों को सरल करें:

   • पहला पद: 𝑎𝐴aA
   • दूसरा पद: 𝑎𝑟⋅𝐴𝑅=𝑎𝐴⋅𝑟𝑅ar⋅AR=aA⋅rR
   • तीसरा पद: 𝑎𝑟2⋅𝐴𝑅2=𝑎𝐴⋅(𝑟𝑅)2ar2⋅AR2=aA⋅(rR)2
   • nवां पद: 𝑎𝑟𝑛−1⋅𝐴𝑅𝑛−1=𝑎𝐴⋅(𝑟𝑅)𝑛−1arn−1⋅ARn−1=aA⋅(rR)n−1

   यह अनुक्रम है:

   𝑎𝐴,𝑎𝐴(𝑟𝑅),𝑎𝐴(𝑟𝑅)2,…,𝑎𝐴(𝑟𝑅)𝑛−1aA,aA(rR),aA(rR)2,…,aA(rR)n−1

   यह स्पष्ट रूप से एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका पहला पद 𝑎𝐴aA है और सामान्य अनुपात 𝑟𝑅rR है।

   प्रश्न 02

   चार संख्याएँ ज्ञात करें जो एक गुणोत्तर श्रेणी बनाती हैं, जिसमें तीसरा पद पहले पद से 9 अधिक है, और दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक है।

   हल:

   मान लें कि गुणोत्तर श्रेणी में चार संख्याएँ हैं 𝑎,𝑎𝑟,𝑎𝑟2,𝑎𝑟3a,ar,ar2,ar3।

   दिया गया है:

   • तीसरा पद पहले पद से 9 अधिक है:

     𝑎𝑟2=𝑎+9ar2=a+9

   • दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक है:

     𝑎𝑟=𝑎𝑟3+18ar=ar3+18

   पहली स्थिति से:

   𝑎𝑟2=𝑎+9 ⟹ 𝑎𝑟2−𝑎=9 ⟹ 𝑎(𝑟2−1)=9 ⟹ 𝑎=9𝑟2−1(i)ar2=a+9⟹ar2−a=9⟹a(r2−1)=9⟹a=r2−19​(i)

   दूसरी स्थिति से:

   𝑎𝑟=𝑎𝑟3+18 ⟹ 𝑎𝑟(1−𝑟2)=18 ⟹ 𝑎=18𝑟(1−𝑟2)(ii)ar=ar3+18⟹ar(1−r2)=18⟹a=r(1−r2)18​(ii)

   (i) और (ii) को बराबर करें:

   9𝑟2−1=18𝑟(1−𝑟2)r2−19​=r(1−r2)18​

   सरलीकृत करें:

   9𝑟(1−𝑟2)=18(𝑟2−1)9r(1−r2)=18(r2−1)9𝑟−9𝑟3=18𝑟2−189r−9r3=18r2−189𝑟3+18𝑟2−9𝑟−18=09r3+18r2−9r−18=0𝑟3+2𝑟2−𝑟−2=0r3+2r2−r−2=0

   गुणनखंड:

   (𝑟−1)(𝑟2+3𝑟+2)=0(r−1)(r2+3r+2)=0

   हल करें:

   𝑟−1=0 ⟹ 𝑟=1(मान्य नहीं, क्योंकि संख्याएँ भिन्न हैं)r−1=0⟹r=1(मान्य नहीं, क्योंकि संख्याएँ भिन्न हैं)𝑟2+3𝑟+2=0 ⟹ 𝑟=−1या𝑟=−2r2+3r+2=0⟹r=−1याr=−2

   यदि 𝑟=−2r=−2:

   𝑎=9(−2)2−1=94−1=3a=(−2)2−19​=4−19​=3

   तो, चार संख्याएँ हैं 3,−6,12,−243,−6,12,−24।

   प्रश्न 03

   यदि G.P. के 𝑝pवें, 𝑞qवें, और 𝑟rवें पद क्रमशः 𝑎,𝑏,a,b, और 𝑐c हैं। सिद्ध करें कि 𝑎𝑞−𝑟⋅𝑏𝑟−𝑝⋅𝑐𝑝−𝑞=1aq−r⋅br−p⋅cp−q=1।

   हल:

   गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) का सामान्य पद इस प्रकार दिया गया है:

   𝑎𝑛=𝑎⋅𝑟𝑛−1an​=a⋅rn−1

   दिया गया है:

   • 𝑎𝑝=𝑎=𝑎⋅𝑟𝑝−1ap​=a=a⋅rp−1
   • 𝑎𝑞=𝑏=𝑎⋅𝑟𝑞−1aq​=b=a⋅rq−1
   • 𝑎𝑟=𝑐=𝑎⋅𝑟𝑟−1ar​=c=a⋅rr−1

   हमें सिद्ध करना है:

   𝑎𝑞−𝑟⋅𝑏𝑟−𝑝⋅𝑐𝑝−𝑞=1aq−r⋅br−p⋅cp−q=1

   मूल्यों को प्रतिस्थापित करें:

   (𝑎⋅𝑟𝑝−1)𝑞−𝑟⋅(𝑎⋅𝑟𝑞−1)𝑟−𝑝⋅(𝑎⋅𝑟𝑟−1)𝑝−𝑞(a⋅rp−1)q−r⋅(a⋅rq−1)r−p⋅(a⋅rr−1)p−q

   सरलीकृत करें:

   𝑎𝑞−𝑟⋅𝑟(𝑝−1)(𝑞−𝑟)⋅𝑎𝑟−𝑝⋅𝑟(𝑞−1)(𝑟−𝑝)⋅𝑎𝑝−𝑞⋅𝑟(𝑟−1)(𝑝−𝑞)aq−r⋅r(p−1)(q−r)⋅ar−p⋅r(q−1)(r−p)⋅ap−q⋅r(r−1)(p−q)

   घातांक को संयोजित करें:

   𝑎𝑞−𝑟+𝑟−𝑝+𝑝−𝑞⋅𝑟(𝑝−1)(𝑞−𝑟)+(𝑞−1)(𝑟−𝑝)+(𝑟−1)(𝑝−𝑞)aq−r+r−p+p−q⋅r(p−1)(q−r)+(q−1)(r−p)+(r−1)(p−q)

   𝑎a के घातांक को सरलीकृत करें:

   𝑎0⋅𝑟(𝑝−1)(𝑞−𝑟)+(𝑞−1)(𝑟−𝑝)+(𝑟−1)(𝑝−𝑞)a0⋅r(p−1)(q−r)+(q−1)(r−p)+(r−1)(p−q)

   𝑟r के घातांक को सरलीकृत करें:

   (𝑝−1)(𝑞−𝑟)+(𝑞−1)(𝑟−𝑝)+(𝑟−1)(𝑝−𝑞)=0(p−1)(q−r)+(q−1)(r−p)+(r−1)(p−q)=0

   इस प्रकार:

   𝑎0⋅𝑟0=1a0⋅r0=1

   इसलिए सिद्ध हुआ:

   𝑎𝑞−𝑟⋅𝑏𝑟−𝑝⋅𝑐𝑝−𝑞=1aq−r⋅br−p⋅cp−q=1

   प्रश्न 04

   यदि G.P. का पहला और nवां पद क्रमशः 𝑎a और 𝑏b हैं, और यदि 𝑃P n पदों का गुणनफल है, तो सिद्ध करें कि 𝑃2=(𝑎𝑏)𝑛P2=(ab)n।

   हल:

   गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) का सामान्य पद इस प्रकार दिया गया है:

   𝑎𝑛=𝑎⋅𝑟𝑛−1an​=a⋅rn−1

   दिया गया है:

   • पहला पद 𝑎1=𝑎a1​=a
   • nवां पद 𝑎𝑛=𝑏an​=b

   चूंकि 𝑎𝑛=𝑎⋅𝑟𝑛−1an​=a⋅rn−1:

   𝑏=𝑎⋅𝑟𝑛−1 ⟹ 𝑟𝑛−1=𝑏𝑎 ⟹ 𝑟=(𝑏𝑎)1𝑛−1b=a⋅rn−1⟹rn−1=ab​⟹r=(ab​)n−11​

   पहले n पदों का गुणनफल:

   𝑃=𝑎⋅𝑎𝑟⋅𝑎𝑟2⋅…⋅𝑎𝑟𝑛−1P=a⋅ar⋅ar2⋅…⋅arn−1𝑃=𝑎𝑛⋅𝑟0+1+2+…+(𝑛−1)P=an⋅r0+1+2+…+(n−1)

   𝑟r के घातांक का योग है:

   0+1+2+…+(𝑛−1)=(𝑛−1)𝑛20+1+2+…+(n−1)=2(n−1)n​

   इस प्रकार:

   𝑃=𝑎𝑛⋅𝑟(𝑛−1)𝑛2P=an⋅r2(n−1)n​

   चूंकि 𝑟=(𝑏𝑎)1𝑛−1r=(ab​)n−11​:

   𝑃=𝑎𝑛⋅((𝑏𝑎)1𝑛−1)(𝑛−1)𝑛2=𝑎𝑛⋅(𝑏𝑎)𝑛2P=an⋅((ab​)n−11​)2(n−1)n​=an⋅(ab​)2n​

   सरलीकृत करें:

   𝑃=𝑎𝑛⋅𝑏𝑛2𝑎𝑛2=𝑎𝑛−𝑛2⋅𝑏𝑛2=𝑎𝑛2⋅𝑏𝑛2P=an⋅a2n​b2n​​=an−2n​⋅b2n​=a2n​⋅b2n​𝑃=(𝑎⋅𝑏)𝑛2P=(a⋅b)2n​

   दोनों पक्षों का वर्ग लें:

   𝑃2=(𝑎𝑏)𝑛P2=(ab)n

   इसलिए सिद्ध हुआ:

   𝑃2=(𝑎𝑏)𝑛P2=(ab)n

10. 10.

    प्रश्न 01

    यदि 𝐴A और 𝐺G दो सकारात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः A.M. और G.M. हैं, सिद्ध करें कि संख्याएँ 𝐴±(𝐴+𝐺)(𝐴−𝐺)A±(A+G)(A−G)​ हैं।

    समाधान:

    मान लें कि दो सकारात्मक संख्याएँ 𝑎a और 𝑏b हैं।

    अंकगणितीय माध्य (A.M.) 𝐴A 𝑎a और 𝑏b के बीच:

    𝐴=𝑎+𝑏2A=2a+b​

    ज्यामितीय माध्य (G.M.) 𝐺G 𝑎a और 𝑏b के बीच:

    𝐺=𝑎𝑏G=ab​

    हमें सिद्ध करना है:

    𝑎,𝑏=𝐴±(𝐴+𝐺)(𝐴−𝐺)a,b=A±(A+G)(A−G)​

    चरण-दर-चरण प्रमाण:

    1. 𝑎a और 𝑏b को 𝐴A और 𝐺G के रूप में व्यक्त करें:

       A.M. की परिभाषा से:

       𝐴=𝑎+𝑏2 ⟹ 𝑎+𝑏=2𝐴A=2a+b​⟹a+b=2A

       G.M. की परिभाषा से:

       𝐺=𝑎𝑏 ⟹ 𝐺2=𝑎𝑏G=ab​⟹G2=ab

    2. 𝑎a और 𝑏b का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण बनाएं:

       𝑎a और 𝑏b को मूल मानकर द्विघात समीकरण:

       𝑥2−(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏=0x2−(a+b)x+ab=0

       𝑎+𝑏=2𝐴a+b=2A और 𝑎𝑏=𝐺2ab=G2 प्रतिस्थापित करें:

       𝑥2−2𝐴𝑥+𝐺2=0x2−2Ax+G2=0

    3. द्विघात समीकरण को हल करें:

       द्विघात समीकरण 𝑥2−2𝐴𝑥+𝐺2=0x2−2Ax+G2=0 के मूल:

       𝑥=2𝐴±(2𝐴)2−4𝐺22=2𝐴±4𝐴2−4𝐺22=2𝐴±2𝐴2−𝐺22=𝐴±𝐴2−𝐺2x=22A±(2A)2−4G2​​=22A±4A2−4G2​​=22A±2A2−G2​​=A±A2−G2​

    4. 𝐴2−𝐺2A2−G2​ को फिर से लिखें:

       ध्यान दें:

       𝐴2−𝐺2=(𝐴+𝐺)(𝐴−𝐺)A2−G2​=(A+G)(A−G)​

    5. संख्याओं का अंतिम रूप:

       इस प्रकार, दो संख्याएँ 𝑎a और 𝑏b इस प्रकार लिखी जा सकती हैं:

       𝑎,𝑏=𝐴±(𝐴+𝐺)(𝐴−𝐺)a,b=A±(A+G)(A−G)​

    इस प्रकार सिद्ध हुआ।

    प्रश्न 02

    एक निश्चित संस्कृति में बैक्टीरिया की संख्या हर घंटे दोगुनी हो जाती है। यदि संस्कृति में मूल रूप से 30 बैक्टीरिया थे, तो 2 घंटे के अंत में, 4 घंटे के अंत में, और n घंटे के अंत में कितने बैक्टीरिया होंगे?

    समाधान:

    बैक्टीरिया की संख्या हर घंटे दोगुनी हो जाती है, जिसका अर्थ है कि यह एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) का पालन करता है जिसमें पहला पद 𝑎=30a=30 है और सामान्य अनुपात 𝑟=2r=2 है।

    n घंटे के बाद बैक्टीरिया की संख्या के लिए सामान्य पद:

    𝑎𝑛=𝑎⋅𝑟𝑛an​=a⋅rn

    2 घंटे के लिए:

    𝑎2=30⋅22=30⋅4=120a2​=30⋅22=30⋅4=120

    4 घंटे के लिए:

    𝑎4=30⋅24=30⋅16=480a4​=30⋅24=30⋅16=480

    n घंटे के लिए:

    𝑎𝑛=30⋅2𝑛an​=30⋅2n

    तो, 2 घंटे के अंत में, 4 घंटे के अंत में, और n घंटे के अंत में बैक्टीरिया की संख्या क्रमशः 120, 480, और 30⋅2𝑛30⋅2n होगी।