प्रायिकता — कक्षा 11 गणित नोट्स

प्रायिकता · कक्षा 11 गणित · 12 टॉपिक.

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प्रायिकता में शामिल टॉपिक

1.प्रायिकता का परिचय
प्रायिकता गणित की वह शाखा है जो किसी घटना के होने की संभावना को संख्यात्मक रूप से बताती है, जिसे 0 से 1 के बीच व्यक्त किया जाता है। यहाँ 1 निश्चितता को और 0 असंभवता को दर्शाता है।
मुख्य शब्दावली:
1. प्रयोग: एक क्रिया या प्रक्रिया जो एक या अधिक परिणामों की ओर ले जाती है। उदाहरण: सिक्का उछालना।
2. परिणाम: प्रयोग का संभावित परिणाम। उदाहरण: हेड्स या टेल्स।
3. घटना: एक या अधिक परिणामों का सेट। उदाहरण: सिक्का उछालने पर हेड्स आना।
4. नमूना स्थान: सभी संभावित परिणामों का सेट। उदाहरण: {हेड्स, टेल्स}।
प्रायिकता की गणना
किसी घटना के होने की प्रायिकता का सूत्र है: प्रायिकता (P)=अनुकूल परिणामों की संख्यासंभावित परिणामों की कुल संख्या प्रायिकता (P)=संभावित परिणामों की कुल संख्याअनुकूल परिणामों की संख्या
उदाहरण: यदि आप एक छह-पक्षीय पासा रोल करते हैं, तो 4 आने की प्रायिकता है: 𝑃(4)=16 P(4)=61 क्योंकि केवल एक अनुकूल परिणाम (4) है और छह संभावित परिणाम (1, 2, 3, 4, 5, 6) हैं।
वास्तविक जीवन का उदाहरण
मान लें कि आप एक बोर्ड गेम खेल रहे हैं और आपको जीतने के लिए पासा में 6 आना जरूरी है। 6 आने की प्रायिकता है: 𝑃(6)=16 P(6)=61
करियर और उद्योग जहाँ प्रायिकता का उपयोग होता है
1. वित्त: विश्लेषक जोखिम और रिटर्न का आकलन करने के लिए प्रायिकता का उपयोग करते हैं।
2. बीमा: कंपनियां घटनाओं की संभावना की गणना करके प्रीमियम तय करती हैं।
3. चिकित्सा: उपचार की प्रभावशीलता का अनुमान प्रायिकता से लगाया जाता है।
4. इंजीनियरिंग: प्रणालियों की विश्वसनीयता और गुणवत्ता नियंत्रण में प्रायिकता का उपयोग होता है।
5. खेल: रणनीतियाँ और परिणाम अक्सर प्रायिकता पर आधारित होते हैं।
गतिविधि
1. एक सिक्का लें और उसे 10 बार उछालें।
2. प्रत्येक बार के परिणाम (हेड्स या टेल्स) को रिकॉर्ड करें।
3. हेड्स आने की प्रायिकता की गणना इस सूत्र का उपयोग करके करें: 𝑃(हेड्स)=हेड्स की संख्या10P(हेड्स)=10हेड्स की संख्या
कई बार प्रयोग को दोहराएं ताकि प्रायिकता 0.5 के करीब हो जाए।
निष्कर्ष
प्रायिकता गणित का एक रोमांचक और उपयोगी क्षेत्र है जो हमें दैनिक जीवन और विभिन्न पेशेवर क्षेत्रों में अनिश्चितता को समझने में मदद करता है।
2.आयोजन
प्रायिकता में, एक घटना एक या अधिक परिणामों का समूह है। घटना एकल परिणाम या कई परिणामों का संयोजन हो सकती है।
घटनाओं के प्रकार:
1. सरल घटना: एक घटना जो ठीक एक परिणाम से बनी होती है।
  - उदाहरण: पासे में 3 आना।
2. यौगिक घटना: एक घटना जो दो या अधिक परिणामों से बनी होती है।
  - उदाहरण: पासे में सम संख्या आना (परिणाम: 2, 4, 6)।
3. निश्चित घटना: एक घटना जो निश्चित रूप से होती है।
  - उदाहरण: एक मानक पासे में 1 और 6 के बीच एक संख्या आना।
4. असंभव घटना: एक घटना जो कभी नहीं हो सकती।
  - उदाहरण: एक मानक छह-पक्षीय पासे में 7 आना।
5. परस्पर अनन्य घटनाएं: ऐसी घटनाएं जो एक ही समय में नहीं हो सकतीं।
  - उदाहरण: एक पासे में 2 और 5 आना।
6. गैर-परस्पर अनन्य घटनाएं: ऐसी घटनाएं जो एक ही समय में हो सकती हैं।
  - उदाहरण: कार्ड के एक डेक से लाल कार्ड और राजा खींचना (क्योंकि लाल राजा भी होते हैं)।
वास्तविक जीवन का उदाहरण
मान लें कि आप कार्ड के एक डेक से एक कार्ड खींचते हैं। हार्ट्स खींचने की घटना एक यौगिक घटना है क्योंकि इसमें डेक के सभी 13 हार्ट्स शामिल हैं। स्पेड के इक्के को खींचना एक सरल घटना है क्योंकि यह केवल एक विशिष्ट कार्ड को संदर्भित करता है।
घटना की प्रायिकता की गणना
घटना की प्रायिकता की गणना अनुकूल परिणामों की संख्या को नमूना स्थान में संभावित परिणामों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।
𝑃(घटना)=अनुकूल परिणामों की संख्यासंभावित परिणामों की कुल संख्याP(घटना)=संभावित परिणामों की कुल संख्याअनुकूल परिणामों की संख्या
उदाहरण के लिए, यदि आप 52 कार्ड के डेक से हार्ट्स खींचने की प्रायिकता ज्ञात करना चाहते हैं: 𝑃(हार्ट्स)=1352=14=0.25P(हार्ट्स)=5213=41=0.25
करियर और उद्योग जहाँ घटना की प्रायिकता का उपयोग होता है
1. जुआ और कैसिनो: प्रायिकता का उपयोग संभावना और भुगतान निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
2. मौसम पूर्वानुमान: मौसम विज्ञानी विभिन्न मौसम घटनाओं की संभावना की भविष्यवाणी करते हैं।
3. शेयर बाजार: विश्लेषक बाजार की चाल और जोखिम की भविष्यवाणी के लिए प्रायिकता का उपयोग करते हैं।
4. गुणवत्ता नियंत्रण: इंजीनियर उत्पाद की विश्वसनीयता सुनिश्चित करने के लिए प्रायिकता का उपयोग करते हैं।
5. चिकित्सा: डॉक्टर बीमारी के घटनाओं और उपचार के परिणामों की संभावना का आकलन करने के लिए प्रायिकता का उपयोग करते हैं।
गतिविधि
घटनाओं को बेहतर ढंग से समझने के लिए यह सरल गतिविधि करें:
1. कार्ड का एक डेक लें और उसे मिलाएं।
2. एक कार्ड खींचें और ध्यान दें कि यह हार्ट, स्पेड, क्लब या डायमंड है।
3. इस प्रक्रिया को 20 बार दोहराएं और प्रत्येक खींचने का रिकॉर्ड रखें।
4. प्रत्येक सूट को खींचने की प्रायिकता की गणना इस सूत्र का उपयोग करके करें: 𝑃(सूट)=खींचे गए सूट की संख्या20P(सूट)=20खींचे गए सूट की संख्या
अपने परिणामों की तुलना प्रत्येक सूट को खींचने की सैद्धांतिक प्रायिकता से करें (जो 1441 है)।
निष्कर्ष
प्रायिकता में घटनाओं को समझने से हमें विभिन्न जीवन और करियर में सूचित भविष्यवाणियाँ और निर्णय लेने में मदद मिलती है।
3.घटनाओं का घटित होना
संभाव्यता और सांख्यिकी में, "घटना का घटित होना" एक प्रयोग या यादृच्छिक प्रक्रिया से एक विशिष्ट परिणाम या परिणामों के सेट को संदर्भित करता है। एक घटना कुछ ऐसी है जो या तो होती है या नहीं होती है जब कोई प्रयोग किया जाता है। आइए इस अवधारणा को सरल उदाहरणों और व्याख्याओं के साथ समझें।
घटनाओं के प्रकार
संभाव्यता में कई प्रकार की घटनाएं होती हैं। यहां कुछ सबसे सामान्य प्रकार हैं:
1. सरल घटना: एक घटना जिसमें केवल एक ही परिणाम होता है।
  - उदाहरण: एक पासा फेंकना और 3 प्राप्त करना।
2. समेकित घटना: एक घटना जिसमें दो या दो से अधिक परिणाम होते हैं।
  - उदाहरण: एक पासा फेंकना और एक सम संख्या प्राप्त करना (2, 4, या 6)।
3. निश्चित घटना: एक घटना जो निश्चित रूप से होगी।
  - उदाहरण: एक पासा फेंकना और 7 से कम संख्या प्राप्त करना।
4. असंभव घटना: एक घटना जो नहीं हो सकती।
  - उदाहरण: एक पासा फेंकना और 6 से अधिक संख्या प्राप्त करना।
5. परस्पर अपवर्जक घटनाएं: दो घटनाएं जो एक ही समय में नहीं हो सकतीं।
  - उदाहरण: एक पासा फेंकना और एक ही रोल पर एक विषम और एक सम संख्या प्राप्त करना।
6. स्वतंत्र घटनाएं: एक घटना का घटित होना दूसरी घटना को प्रभावित नहीं करता।
  - उदाहरण: एक सिक्का उछालना और एक पासा फेंकना। सिक्का उछालने का परिणाम पासा फेंकने के परिणाम को प्रभावित नहीं करता।
7. निर्भर घटनाएं: एक घटना का घटित होना दूसरी घटना को प्रभावित करता है।
  - उदाहरण: एक डेक से दो कार्ड खींचना बिना प्रतिस्थापन के। पहले ड्रॉ का परिणाम दूसरे ड्रॉ को प्रभावित करता है।
विस्तृत व्याख्या एक उदाहरण के साथ
उदाहरण: एक सिक्का उछालना
मान लीजिए हम एक सिक्का उछालते हैं। जब हम एक सिक्का उछालते हैं, तो दो संभावित परिणाम होते हैं: हेड्स (H) या टेल्स (T)। यहां विभिन्न प्रकार की घटनाएं कैसे लागू होती हैं:
1. सरल घटना: हेड्स (H) प्राप्त करना एक सरल घटना है।
2. समेकित घटना: हेड्स या टेल्स (H या T) प्राप्त करना एक समेकित घटना है।
3. निश्चित घटना: हेड्स या टेल्स प्राप्त करना एक निश्चित घटना है क्योंकि ये ही संभावित परिणाम हैं।
4. असंभव घटना: सिक्का उछालने पर संख्या प्राप्त करना असंभव घटना है।
5. परस्पर अपवर्जक घटनाएं: हेड्स प्राप्त करना और टेल्स प्राप्त करना परस्पर अपवर्जक घटनाएं हैं क्योंकि वे एक साथ नहीं हो सकतीं।
6. स्वतंत्र घटनाएं: सिक्का को दो बार उछालना। पहले उछाल का परिणाम दूसरे उछाल को प्रभावित नहीं करता।
7. निर्भर घटनाएं: यह सीधे तौर पर सिक्का उछालने पर लागू नहीं होती, लेकिन एक डेक से कार्ड खींचने पर विचार करें। यदि आप एक कार्ड खींचते हैं और उसे वापस नहीं रखते, तो कुछ कार्ड खींचने की संभावना बदल जाती है।
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
घटनाओं और उनके प्रकारों को समझना निम्नलिखित क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है:
- वित्त: स्टॉक की कीमतों की गति की संभावना का विश्लेषण।
- बीमा: दुर्घटनाओं या दावों की संभावना की गणना।
- इंजीनियरिंग: प्रणाली विफलताओं की संभावना का आकलन।
- चिकित्सा: उपचार की सफलता की संभावना को निर्धारित करना।
गतिविधि
20 बार एक सिक्का उछालें और प्रत्येक बार के परिणाम को रिकॉर्ड करें। गिनें कि कितनी बार हेड्स और कितनी बार टेल्स प्राप्त हुए। यह गतिविधि आपको सरल, समेकित, और स्वतंत्र घटनाओं को समझने में मदद करेगी।
4.घटनाओं के प्रकार
1. साधारण घटना (Simple Event)
एक साधारण घटना वह है जिसे छोटे घटकों में नहीं तोड़ा जा सकता। इसमें केवल एक ही परिणाम होता है।
उदाहरण: एक पासा फेंकना और 3 आना।
2. मिश्रित घटना (Compound Event)
मिश्रित घटना दो या दो से अधिक साधारण घटनाओं से बनी होती है। यह कई तरीकों से हो सकती है।
उदाहरण: एक पासा फेंकना और सम संख्या आना (2, 4, या 6)।
3. परस्पर बहिष्कृत घटनाएँ (Mutually Exclusive Events)
दो घटनाएँ परस्पर बहिष्कृत होती हैं यदि वे एक ही समय पर नहीं हो सकतीं।
उदाहरण: एक पासा फेंकना और 3 या 5 आना। आप एक ही रोल पर दोनों 3 और 5 नहीं पा सकते।
4. पूर्ण घटनाएँ (Exhaustive Events)
घटनाओं का एक समूह पूर्ण होता है यदि वे सभी संभावित परिणामों को कवर करते हैं।
उदाहरण: एक पासा फेंकना और घटनाएँ 1, 2, 3, 4, 5, या 6 आना। ये घटनाएँ सभी संभावित परिणामों को कवर करती हैं।
5. स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events)
दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं यदि एक की घटना दूसरे की घटना को प्रभावित नहीं करती।
उदाहरण: एक सिक्का उछालना और एक पासा फेंकना। सिक्का उछालने का परिणाम पासा फेंकने के परिणाम को प्रभावित नहीं करता।
6. निर्भर घटनाएँ (Dependent Events)
दो घटनाएँ निर्भर होती हैं यदि एक घटना का होना दूसरे की घटना को प्रभावित करता है।
उदाहरण: एक डेक से बिना बदल के दो कार्ड निकालना। पहली ड्रॉ का परिणाम दूसरी ड्रॉ की संभावना को प्रभावित करता है।
समस्या समाधान उदाहरण
उदाहरण 1: परस्पर बहिष्कृत घटनाएँ
समस्या: एक बॉक्स में 3 लाल गेंदें और 2 नीली गेंदें हैं। एक गेंद को यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। लाल गेंद या नीली गेंद निकालने की संभावना क्या है?
समाधान:
- लाल गेंद निकालने की संभावना 𝑃(𝑅)P(R) = 3553
- नीली गेंद निकालने की संभावना 𝑃(𝐵)P(B) = 2552
चूंकि ये परस्पर बहिष्कृत घटनाएँ हैं (लाल गेंद और नीली गेंद एक साथ नहीं आ सकतीं), हम उनकी संभावनाओं को जोड़ सकते हैं: 𝑃(𝑅 या 𝐵)=𝑃(𝑅)+𝑃(𝐵)=35+25=1P(R या B)=P(R)+P(B)=53+52=1
उदाहरण 2: स्वतंत्र घटनाएँ
समस्या: एक सिक्का उछाला जाता है और एक पासा फेंका जाता है। सिक्के पर हेड आने और पासे पर 4 आने की संभावना क्या है?
समाधान:
- हेड आने की संभावना 𝑃(𝐻)P(H) = 1221
- पासे पर 4 आने की संभावना 𝑃(4)P(4) = 1661
चूंकि ये स्वतंत्र घटनाएँ हैं, हम उनकी संभावनाओं को गुणा करते हैं: 𝑃(𝐻 और 4)=𝑃(𝐻)×𝑃(4)=12×16=112P(H और 4)=P(H)×P(4)=21×61=121
5.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1:
एक पासा फेंका गया है। ई वह घटना है "पासा 4 दिखाता है" और एफ वह घटना है "पासा एक सम संख्या दिखाता है"। क्या ई और एफ परस्पर बहिष्कृत हैं?
समाधान:
- घटना ई: पासा 4 दिखाता है। तो, 𝐸={4}E={4}।
- घटना एफ: पासा एक सम संख्या दिखाता है। तो, 𝐹={2,4,6}F={2,4,6}।
चूंकि 4 दोनों घटनाओं 𝐸E और 𝐹F का हिस्सा है, वे परस्पर बहिष्कृत नहीं हैं। वे एक ही समय पर हो सकते हैं।
प्रश्न 2:
एक पासा फेंका गया है। निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन करें:
(i) A: 7 से कम संख्या
(ii) B: 7 से अधिक संख्या
(iii) C: 3 का गुणक
(iv) D: 4 से कम संख्या
(v) E: 4 से अधिक सम संख्या
(vi) F: 3 से कम न होने वाली संख्या
समाधान:
(i) 𝐴={1,2,3,4,5,6}A={1,2,3,4,5,6}
(ii) 𝐵={}B={} (क्योंकि पासे पर 7 से अधिक कोई संख्या नहीं होती)
(iii) 𝐶={3,6}C={3,6}
(iv) 𝐷={1,2,3}D={1,2,3}
(v) 𝐸={6}E={6}
(vi) 𝐹={3,4,5,6}F={3,4,5,6}
अब, संघों, प्रतिच्छेदों, और भिन्नताओं को खोजें:
- 𝐴∪𝐵={1,2,3,4,5,6}∪{}={1,2,3,4,5,6}A∪B={1,2,3,4,5,6}∪{}={1,2,3,4,5,6}
- 𝐴∩𝐵={1,2,3,4,5,6}∩{}={}A∩B={1,2,3,4,5,6}∩{}={}
- 𝐵∪𝐶={}∪{3,6}={3,6}B∪C={}∪{3,6}={3,6}
- 𝐸∩𝐹={6}∩{3,4,5,6}={6}E∩F={6}∩{3,4,5,6}={6}
- 𝐷∩𝐸={1,2,3}∩{6}={}D∩E={1,2,3}∩{6}={}
- 𝐴−𝐶={1,2,3,4,5,6}−{3,6}={1,2,4,5}A−C={1,2,3,4,5,6}−{3,6}={1,2,4,5}
- 𝐷−𝐸={1,2,3}−{6}={1,2,3}D−E={1,2,3}−{6}={1,2,3}
- 𝐸∩𝐹′={6}∩{1,2,3,4,5}={}E∩F′={6}∩{1,2,3,4,5}={}
प्रश्न 3:
तीन सिक्के उछाले जाते हैं। वर्णन करें:
(i) दो घटनाएँ जो परस्पर बहिष्कृत हैं।
(ii) तीन घटनाएँ जो परस्पर बहिष्कृत और पूर्ण हैं।
(iii) दो घटनाएँ जो परस्पर बहिष्कृत नहीं हैं।
(iv) दो घटनाएँ जो परस्पर बहिष्कृत हैं लेकिन पूर्ण नहीं हैं।
(v) तीन घटनाएँ जो परस्पर बहिष्कृत हैं लेकिन पूर्ण नहीं हैं।
समाधान:
- जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं, संभावित परिणाम हैं: {𝐻𝐻𝐻,𝐻𝐻𝑇,𝐻𝑇𝐻,𝐻𝑇𝑇,𝑇𝐻𝐻,𝑇𝐻𝑇,𝑇𝑇𝐻,𝑇𝑇𝑇}{HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}।
(i) दो घटनाएँ जो परस्पर बहिष्कृत हैं:
- 𝐴A घटना "3 हेड्स आना" ({HHH})।
- 𝐵B घटना "3 टेल्स आना" ({TTT})।
- 𝐴A और 𝐵B परस्पर बहिष्कृत हैं क्योंकि दोनों एक ही समय पर नहीं हो सकते।
(ii) तीन घटनाएँ जो परस्पर बहिष्कृत और पूर्ण हैं:
- 𝐴A घटना "0 हेड्स आना" ({TTT})।
- 𝐵B घटना "1 हेड आना" ({HTT, THT, TTH})।
- 𝐶C घटना "2 हेड्स आना" ({HHT, HTH, THH})।
- 𝐷D घटना "3 हेड्स आना" ({HHH})।
- 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷A,B,C,D परस्पर बहिष्कृत और पूर्ण हैं क्योंकि वे सभी संभावित परिणामों को कवर करते हैं।
(iii) दो घटनाएँ जो परस्पर बहिष्कृत नहीं हैं:
- 𝐴A घटना "कम से कम 1 हेड आना" ({HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH})।
- 𝐵B घटना "कम से कम 1 टेल आना" ({HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT})।
- 𝐴A और 𝐵B परस्पर बहिष्कृत नहीं हैं क्योंकि वे सामान्य परिणाम साझा करते हैं।
(iv) दो घटनाएँ जो परस्पर बहिष्कृत हैं लेकिन पूर्ण नहीं हैं:
- 𝐴A घटना "3 हेड्स आना" ({HHH})।
- 𝐵B घटना "2 हेड्स और 1 टेल आना" ({HHT, HTH, THH})।
- 𝐴A और 𝐵B परस्पर बहिष्कृत हैं लेकिन पूर्ण नहीं हैं क्योंकि वे सभी संभावित परिणामों को कवर नहीं करते।
(v) तीन घटनाएँ जो परस्पर बहिष्कृत हैं लेकिन पूर्ण नहीं हैं:
- 𝐴A घटना "3 हेड्स आना" ({HHH})।
- 𝐵B घटना "3 टेल्स आना" ({TTT})।
- 𝐶C घटना "2 हेड्स और 1 टेल आना" ({HHT, HTH, THH})।
- 𝐴,𝐵,𝐶A,B,C परस्पर बहिष्कृत हैं लेकिन पूर्ण नहीं हैं क्योंकि वे सभी संभावित परिणामों को कवर नहीं करते।
प्रश्न 4:
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C इस प्रकार हैं:
- A: पहले पासे पर सम संख्या आना।
- B: पहले पासे पर विषम संख्या आना।
- C: दोनों पासों की संख्याओं का योग ≤ 5 आना।
घटनाओं का वर्णन करें:
(i) 𝐴′A′
(ii) not Bnot B
(iii) 𝐴 or 𝐵A or B
(iv) 𝐴 and 𝐵A and B
(v) 𝐴 but not 𝐶A but not C
(vi) 𝐵 or 𝐶B or C
(vii) 𝐵 and 𝐶B and C
(viii) 𝐴∩𝐵′∩𝐶′A∩B′∩C′
समाधान:
(i) 𝐴′A′ (नहीं A): पहले पासे पर विषम संख्या आना।
(ii) not Bnot B (B'): पहले पासे पर सम संख्या आना।
(iii) 𝐴 or 𝐵A or B: पहले पासे पर या तो सम या विषम संख्या आना (यह सभी संभावित परिणामों को कवर करता है)।
(iv) 𝐴 and 𝐵A and B: ऐसी कोई घटना नहीं है जो दोनों A और B को एक साथ संतुष्ट कर सके, तो 𝐴∩𝐵={}A∩B={}।
(v) 𝐴 but not 𝐶A but not C: पहले पासे पर सम संख्या आना और दोनों पासों की संख्याओं का योग > 5 होना।
(vi) 𝐵 or 𝐶B or C: पहले पासे पर विषम संख्या आना या दोनों पासों की संख्याओं का योग ≤ 5 होना।
(vii) 𝐵 and 𝐶B and C: पहले पासे पर विषम संख्या आना और दोनों पासों की संख्याओं का योग ≤ 5 होना।
(viii) 𝐴∩𝐵′∩𝐶′A∩B′∩C′: पहले पासे पर सम संख्या आना और दोनों पासों की संख्याओं का योग > 5 होना।
प्रश्न 5:
प्रश्न 4 के संदर्भ में, निम्नलिखित कथनों को सही या गलत बताएं: (अपने उत्तर का कारण दें)
(i) A और B परस्पर बहिष्कृत हैं
(ii) A और B परस्पर बहिष्कृत और पूर्ण हैं
(iii) A = B'
(iv) A और C परस्पर बहिष्कृत हैं
(v) A और B' परस्पर बहिष्कृत हैं
(vi) 𝐴′,𝐵′,𝐶A′,B′,C परस्पर बहिष्कृत और पूर्ण हैं
समाधान:
(i) सही। A और B परस्पर बहिष्कृत हैं क्योंकि एक ही पासे पर एक ही समय में सम और विषम संख्या नहीं आ सकती।
(ii) सही। A और B परस्पर बहिष्कृत और पूर्ण हैं क्योंकि एक साथ वे पहले पासे के सभी संभावित परिणामों को कवर करते हैं।
(iii) सही। 𝐴A (सम संख्या आना) 𝐵B (विषम संख्या आना) का पूरक है।
(iv) गलत। A और C परस्पर बहिष्कृत नहीं हैं क्योंकि पहले पासे पर सम संख्या आ सकती है और दोनों पासों का योग ≤ 5 हो सकता है।
(v) गलत। A और B' परस्पर बहिष्कृत नहीं हैं क्योंकि B' में वे ही परिणाम शामिल हैं जो A में हैं (पहले पासे पर सम संख्या आना)।
(vi) गलत। 𝐴′,𝐵′,𝐶A′,B′,C परस्पर बहिष्कृत और पूर्ण नहीं हैं। 𝐴′A′ और 𝐵′B′ पहले पासे के सभी संभावित परिणामों को कवर करते हैं, लेकिन 𝐶C सभी संभावित योगों को कवर नहीं करता।
6.संभाव्यता का स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण
संभाव्यता का स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण, जिसे रूसी गणितज्ञ आंद्रे कोलमोरोव ने 1933 में विकसित किया, आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत की नींव है। यह दृष्टिकोण उन स्वयंसिद्ध (मूल नियमों) पर आधारित है जिन्हें संभाव्यता को संतुष्ट करना चाहिए।
संभाव्यता के प्रमुख स्वयंसिद्ध:
1. अऋणात्मकता: किसी भी घटना 𝐴A की संभाव्यता एक अऋणात्मक संख्या है।
  𝑃(𝐴)≥0P(A)≥0
2. सामान्यीकरण: नमूना स्थान 𝑆S की संभाव्यता 1 है।
  𝑃(𝑆)=1P(S)=1
3. योजकता: यदि 𝐴A और 𝐵B दो पारस्परिक अनन्य घटनाएं हैं (वे एक साथ नहीं हो सकतीं), तो उनके संघ की संभाव्यता उनकी व्यक्तिगत संभावनाओं का योग है।
  𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)यदि 𝐴∩𝐵=∅P(A∪B)=P(A)+P(B)यदि A∩B=∅
इन स्वयंसिद्धों का उपयोग अन्य गुणों और नियमों को प्राप्त करने के लिए किया जाता है।
स्वयंसिद्धों को समझने के लिए उदाहरण
कल्पना करें कि आपके पास एक निष्पक्ष छह-पक्षीय पासा है। इस पासे के एक रोल के लिए नमूना स्थान 𝑆S है:
𝑆={1,2,3,4,5,6}S={1,2,3,4,5,6}
1. अऋणात्मकता: किसी विशेष संख्या, जैसे 3 को रोल करने की संभाव्यता अऋणात्मक है।
  𝑃({3})=16≥0P({3})=61≥0
2. सामान्यीकरण: सभी संभावित परिणामों की संभावनाओं का योग 1 है।
  𝑃({1})+𝑃({2})+𝑃({3})+𝑃({4})+𝑃({5})+𝑃({6})=16+16+16+16+16+16=1P({1})+P({2})+P({3})+P({4})+P({5})+P({6})=61+61+61+61+61+61=1
3. योजकता: यदि हम 2 या 4 रोल करने की संभाव्यता जानना चाहते हैं, तो चूंकि ये घटनाएं पारस्परिक अनन्य हैं (एक साथ नहीं हो सकतीं), हम उनकी संभावनाओं को जोड़ते हैं।
  𝑃({2}∪{4})=𝑃({2})+𝑃({4})=16+16=13P({2}∪{4})=P({2})+P({4})=61+61=31
उदाहरण 1: दो पासे फेंकना
मान लें कि हम दो छह-पक्षीय पासे फेंकते हैं और 7 या 11 का योग प्राप्त करने की संभाव्यता निकालनी है।
1. नमूना स्थान पहचानें: नमूना स्थान 𝑆S में सभी संभव परिणाम होते हैं जब दो पासे फेंके जाते हैं। कुल 6×6=366×6=36 संभावित परिणाम हैं।
2. घटनाएं:
  - 𝐴A घटना का योग 7 है।
  - 𝐵B घटना का योग 11 है।
3. सकारात्मक परिणाम सूचीबद्ध करें:
  - 𝐴A (योग = 7) के लिए: {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}। कुल 6 परिणाम हैं।
  - 𝐵B (योग = 11) के लिए: {(5,6),(6,5)}{(5,6),(6,5)}। कुल 2 परिणाम हैं।
4. संभाव्यता की गणना करें:
  𝑃(𝐴)=636=16P(A)=366=61𝑃(𝐵)=236=118P(B)=362=181
5. प्रतिच्छेदन की जाँच करें:
  - 𝐴∩𝐵A∩B: चूंकि एक ही समय में योग 7 और 11 होना असंभव है, 𝑃(𝐴∩𝐵)=0P(A∩B)=0।
6. योग नियम लागू करें:
  𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)𝑃(𝐴∪𝐵)=16+118−0=318+118=418=29P(A∪B)=61+181−0=183+181=184=92
इस प्रकार, दो पासे फेंकने पर 7 या 11 का योग प्राप्त करने की संभाव्यता 2992 है।
उदाहरण 2: एक ताश का पत्ता निकालना
मान लें कि आप एक मानक 52 पत्तों के डेक से एक पत्ता निकालते हैं। एक किंग या हार्ट निकालने की संभाव्यता क्या है?
1. नमूना स्थान पहचानें: नमूना स्थान 𝑆S में डेक के सभी 52 पत्ते शामिल हैं।
2. घटनाएं:
  - 𝐴A घटना का मतलब है कि पत्ता एक किंग है।
  - 𝐵B घटना का मतलब है कि पत्ता एक हार्ट है।
3. सकारात्मक परिणाम सूचीबद्ध करें:
  - 𝐴A (किंग) के लिए: डेक में 4 किंग्स हैं।
  - 𝐵B (हार्ट) के लिए: डेक में 13 हार्ट्स हैं।
4. संभाव्यता की गणना करें:
  𝑃(𝐴)=452=113P(A)=524=131𝑃(𝐵)=1352=14P(B)=5213=41
5. प्रतिच्छेदन की जाँच करें:
  - 𝐴∩𝐵A∩B: 1 पत्ता ऐसा है जो किंग और हार्ट दोनों है (किंग ऑफ हार्ट्स)।
  𝑃(𝐴∩𝐵)=152P(A∩B)=521
6. योग नियम लागू करें:
  𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)𝑃(𝐴∪𝐵)=113+14−152P(A∪B)=131+41−521
  इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, एक सामान्य हर (52) ढूंढें:
  𝑃(𝐴∪𝐵)=452+1352−152=1652=413P(A∪B)=524+5213−521=5216=134
इस प्रकार, एक मानक 52 पत्तों के डेक से एक किंग या हार्ट निकालने की संभाव्यता 413134
है। वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों जैसे वित्त, बीमा, चिकित्सा और इंजीनियरिंग में व्यापक रूप से किया जाता है। उदाहरण के लिए, वित्त में, स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण विभिन्न बाजार घटनाओं की संभावनाओं को मॉडलिंग करने में मदद करता है, जिससे जोखिम आकलन और निर्णय लेना संभव होता है।
संभाव्यता का उपयोग करने वाले करियर:
- सांख्यिकीविद्: डेटा का विश्लेषण करते हैं और पूर्वानुमान लगाने के लिए संभाव्यता का उपयोग करते हैं।
- बीमांकिक: बीमा और वित्त में जोखिम का आकलन करने के लिए संभाव्यता का उपयोग करते हैं।
- डेटा वैज्ञानिक: डेटा विश्लेषण और मशीन लर्निंग के लिए संभाव्यता का उपयोग करते हैं।
- वित्तीय विश्लेषक: बाजार प्रवृत्तियों का पूर्वानुमान लगाने और निवेश का मूल्यांकन करने के लिए संभाव्यता का उपयोग करते हैं।
एक महत्वपूर्ण सूत्र का चरण-दर-चरण व्युत्पत्ति: योग नियम
किसी भी दो घटनाओं 𝐴A और 𝐵B के लिए योग नियम कहता है:
𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
चरण-दर-चरण व्याख्या:
1. घटनाओं से शुरू करें: मान लें कि 𝐴A और 𝐵B नमूना स्थान 𝑆S में कोई दो घटनाएं हैं।
2. पारस्परिक अनन्य घटनाएं: यदि 𝐴A और 𝐵B पारस्परिक अनन्य हैं, 𝐴∩𝐵=∅A∩B=∅, तो:
  𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)P(A∪B)=P(A)+P(B)
3. गैर-पारस्परिक अनन्य घटनाएं: उन घटनाओं के लिए जो पारस्परिक अनन्य नहीं हैं, कुछ परिणामों की गणना दो बार की जाती है (एक बार 𝑃(𝐴)P(A) में और एक बार 𝑃(𝐵)P(B) में)। इसे ठीक करने के लिए, हम अंतर को घटाते हैं:
  𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
7.घटना की संभाव्यता
संभाव्यता किसी घटना के घटित होने की संभावना को मापने का एक तरीका है। यह 0 और 1 के बीच एक संख्या के रूप में व्यक्त की जाती है, जहाँ 0 का अर्थ है कि घटना नहीं होगी और 1 का अर्थ है कि घटना निश्चित रूप से होगी।
संभाव्यता की मूल परिभाषा
किसी दी गई घटना 𝐴A के लिए, संभाव्यता 𝑃(𝐴)P(A) इस प्रकार परिभाषित है:
𝑃(𝐴)=अनुकूल परिणामों की संख्यासंभावित परिणामों की कुल संख्याP(A)=संभावित परिणामों की कुल संख्याअनुकूल परिणामों की संख्या
उदाहरण 1: सिक्का उछालना
एक निष्पक्ष सिक्का उछालने के सरल मामले पर विचार करें। नमूना स्थान 𝑆S है:
𝑆={हेड्स, टेल्स}S={हेड्स, टेल्स}
1. घटना 𝐴A: हेड्स प्राप्त करना।
2. अनुकूल परिणाम: 1 (हेड्स)
3. संभावित परिणामों की कुल संख्या: 2 (हेड्स, टेल्स)
संभाव्यता 𝑃(𝐴)P(A) है:
𝑃(𝐴)=12P(A)=21
इस प्रकार, एक निष्पक्ष सिक्का उछालने पर हेड्स प्राप्त करने की संभाव्यता 1221 या 0.5 है।
उदाहरण 2: एक ताश का पत्ता निकालना
मान लें कि आप एक मानक 52 पत्तों के डेक से एक पत्ता निकालते हैं। एक इक्का निकालने की संभाव्यता क्या है?
1. घटना 𝐴A: एक इक्का निकालना।
2. अनुकूल परिणाम: 4 (एक इक्का प्रत्येक हार्ट, डायमंड, क्लब, और स्पेड का होता है)
3. संभावित परिणामों की कुल संख्या: 52 (डेक में सभी पत्ते)
संभाव्यता 𝑃(𝐴)P(A) है:
𝑃(𝐴)=452=113P(A)=524=131
इस प्रकार, एक मानक 52 पत्तों के डेक से एक इक्का निकालने की संभाव्यता 113131 या लगभग 0.077 है।
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
संभाव्यता का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से किया जाता है:
- चिकित्सा: यह निर्धारित करने के लिए कि किसी रोगी के बीमार होने की संभावना कितनी है।
- मौसम पूर्वानुमान: बारिश या अन्य मौसम की स्थितियों की संभावना की भविष्यवाणी करने के लिए।
- बीमा: जोखिम की गणना करने और बीमा प्रीमियम सेट करने के लिए।
- गेमिंग: निष्पक्ष खेल डिजाइन करने और जीतने की संभावना को समझने के लिए।
- वित्त: जोखिम और निवेश पर रिटर्न का आकलन करने के लिए।
संभाव्यता का उपयोग करने वाले करियर:
- डेटा विश्लेषक: डेटा की व्याख्या करने और पूर्वानुमान लगाने के लिए संभाव्यता का उपयोग करता है।
- बीमांकिक: जोखिम का आकलन करने और बीमा नीतियों को डिजाइन करने के लिए संभाव्यता का उपयोग करता है।
- अर्थशास्त्री: आर्थिक व्यवहारों को मॉडल करने और रुझानों की भविष्यवाणी करने के लिए संभाव्यता का उपयोग करता है।
- इंजीनियर: गुणवत्ता नियंत्रण और विश्वसनीयता परीक्षण में संभाव्यता का उपयोग करता है।
- मौसम विज्ञानी: मौसम पैटर्न की भविष्यवाणी करने के लिए संभाव्यता का उपयोग करता है।
8.समान संभावनाओं के परिणामों की संभावनाओं को समझना
संभावना क्या है?
संभावना एक घटना के घटित होने की संभावना का माप है। यह 0 से 1 के बीच की संख्या होती है, जहां 0 असंभव घटना को और 1 निश्चित घटना को इंगित करता है।
समान संभावनाएं
जब हम कहते हैं कि परिणाम "समान संभावना वाले" हैं, तो इसका मतलब है कि प्रत्येक परिणाम के घटित होने की संभावना समान है। एक घटना की संभावना की गणना करने के लिए जब सभी परिणाम समान संभावना वाले होते हैं, तो हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
Probability=अनुकूल परिणामों की संख्यासंभावित परिणामों की कुल संख्याProbability=संभावित परिणामों की कुल संख्याअनुकूल परिणामों की संख्या
उदाहरण 1: एक स्पिनर को घुमाना
कल्पना करें कि आपके पास एक स्पिनर है जो 8 बराबर भागों में बंटा हुआ है, जिन पर 1 से 8 तक की संख्या लिखी हुई है। प्रत्येक भाग के स्पिनर रुकने पर सूचक के नीचे आने की संभावना समान है।
- संभावित परिणामों की कुल संख्या: 8 (क्योंकि 8 भाग हैं)
- 6 से अधिक संख्या पर आने के अनुकूल परिणामों की संख्या: 2 (भाग 7 और 8)
संभावना सूत्र का उपयोग करते हुए:
6 से अधिक संख्या पर आने की संभावना=28=146 से अधिक संख्या पर आने की संभावना=82=41
उदाहरण 2: दराज से एक टी-शर्ट चुनना
मान लीजिए कि आपके पास एक दराज में 10 टी-शर्ट्स हैं जिनके रंग अलग-अलग हैं: 4 लाल, 3 नीले, 2 हरे, और 1 पीला। प्रत्येक टी-शर्ट को चुने जाने की संभावना समान है।
- संभावित परिणामों की कुल संख्या: 10 (कुल टी-शर्ट्स)
- लाल टी-शर्ट चुनने के अनुकूल परिणामों की संख्या: 4
संभावना सूत्र का उपयोग करते हुए:
लाल टी-शर्ट चुनने की संभावना=410=25लाल टी-शर्ट चुनने की संभावना=104=52
उदाहरण 3: एक जार से टोकन निकालना
कल्पना करें कि आपके पास एक जार है जिसमें 12 टोकन हैं जिन पर 1 से 12 तक की संख्या लिखी हुई है। प्रत्येक टोकन के निकाले जाने की संभावना समान है।
- संभावित परिणामों की कुल संख्या: 12 (क्योंकि 12 टोकन हैं)
- सम संख्या वाले टोकन निकालने के अनुकूल परिणामों की संख्या: 6 (टोकन 2, 4, 6, 8, 10, 12)
संभावना सूत्र का उपयोग करते हुए:
सम संख्या वाले टोकन निकालने की संभावना=612=12सम संख्या वाले टोकन निकालने की संभावना=126=21
सारांश
प्रत्येक उदाहरण में, संभावना की गणना अनुकूल परिणामों की संख्या को संभावित परिणामों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है। यह सिद्धांत किसी भी ऐसे परिदृश्य पर लागू किया जा सकता है जहां परिणाम समान संभावना वाले होते हैं।
9.घटना 'A या B' की संभावना को समझना
'A या B' की संभावना क्या है?
घटना 'A या B' के घटित होने की संभावना उस संभावना का माप है जिसमें या तो घटना A घटित होती है, घटना B घटित होती है, या दोनों घटनाएं A और B घटित होती हैं। इसे दो घटनाओं के संघ की संभावना के सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है।
'A या B' की संभावना का सूत्र
किसी भी दो घटनाओं A और B के लिए, 'A या B' की संभावना (जिसे 𝑃(𝐴∪𝐵)P(A∪B) के रूप में दर्शाया जाता है) निम्नलिखित है:
𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
यहां,
- 𝑃(𝐴)P(A) घटना A की संभावना है।
- 𝑃(𝐵)P(B) घटना B की संभावना है।
- 𝑃(𝐴∩𝐵)P(A∩B) घटना A और B दोनों के घटित होने की संभावना है (A और B का अंतरसंयोग)।
𝑃(𝐴∩𝐵)P(A∩B) को घटाना क्यों जरूरी है?
हम 𝑃(𝐴∩𝐵)P(A∩B) को इसलिए घटाते हैं क्योंकि जब हम 𝑃(𝐴)P(A) और 𝑃(𝐵)P(B) को जोड़ते हैं, तो घटना A और B के एक साथ घटित होने की संभावना को दो बार गिना जाता है। इसे सही करने के लिए हम अंतरसंयोग 𝑃(𝐴∩𝐵)P(A∩B) को घटाते हैं।
उदाहरण 1: एक पासा फेंकना
मान लीजिए कि आप एक निष्पक्ष छह-पक्षीय पासा फेंकते हैं। घटना A सम संख्या फेंकना है और घटना B 4 से अधिक संख्या फेंकना है।
- घटना A (सम संख्या फेंकना): संभावित परिणाम {2, 4, 6} हैं। 𝑃(𝐴)=36=12P(A)=63=21
- घटना B (4 से अधिक संख्या फेंकना): संभावित परिणाम {5, 6} हैं। 𝑃(𝐵)=26=13P(B)=62=31
- घटना A और B का अंतरसंयोग (6 फेंकना): संभावित परिणाम {6} है। 𝑃(𝐴∩𝐵)=16P(A∩B)=61
सूत्र का उपयोग करते हुए:
𝑃(𝐴∪𝐵)=12+13−16=36+26−16=46=23P(A∪B)=21+31−61=63+62−61=64=32
उदाहरण 2: एक ताश के पत्ते चुनना
मान लीजिए कि आप 52 ताश के पत्तों के एक मानक डेक से एक पत्ता चुनते हैं। घटना A दिल का पत्ता चुनना है और घटना B फेस कार्ड (जैक, क्वीन, किंग) चुनना है।
- घटना A (दिल का पत्ता चुनना): 13 दिल के पत्ते हैं। 𝑃(𝐴)=1352=14P(A)=5213=41
- घटना B (फेस कार्ड चुनना): 12 फेस कार्ड हैं। 𝑃(𝐵)=1252=313P(B)=5212=133
- घटना A और B का अंतरसंयोग (दिल का फेस कार्ड चुनना): 3 फेस कार्ड दिल के पत्ते हैं। 𝑃(𝐴∩𝐵)=352P(A∩B)=523
सूत्र का उपयोग करते हुए:
𝑃(𝐴∪𝐵)=14+313−352P(A∪B)=41+133−523
गणना करने के लिए, हम पहले अंशों को सामान्य हर में बदलते हैं (52):
𝑃(𝐴∪𝐵)=1352+1252−352=2252=1126P(A∪B)=5213+5212−523=5222=2611
उदाहरण 3: दो सिक्के उछालना
मान लीजिए कि आप दो निष्पक्ष सिक्के उछालते हैं। घटना A कम से कम एक हेड आना है और घटना B दो टेल्स आना है।
- घटना A (कम से कम एक हेड आना): संभावित परिणाम {HT, TH, HH} हैं। 𝑃(𝐴)=34P(A)=43
- घटना B (दो टेल्स आना): संभावित परिणाम {TT} है। 𝑃(𝐵)=14P(B)=41
- घटना A और B का अंतरसंयोग (दोनों हेड और दो टेल्स आना): यह असंभव है। 𝑃(𝐴∩𝐵)=0P(A∩B)=0
सूत्र का उपयोग करते हुए:
𝑃(𝐴∪𝐵)=34+14−0=1P(A∪B)=43+41−0=1
यह समझ में आता है क्योंकि घटनाएं सभी संभावित परिणामों को कवर करती हैं।
सारांश
सूत्र 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) हमें या तो घटना A या घटना B के घटित होने की संभावना की गणना करने की अनुमति देता है। यह दृष्टिकोण सुनिश्चित करता है कि हम दो घटनाओं के अंतरसंयोग को दो बार नहीं गिनते।
10.घटना 'नॉट A' की संभावना को समझना
'नॉट A' की संभावना क्या है?
घटना 'नॉट A' (जिसे 𝐴‾A या 𝐴′A′ के रूप में दर्शाया जाता है) की संभावना वह संभावना है जिसमें घटना A घटित नहीं होती है। इसे निम्नलिखित रूप में गणना किया जाता है:
𝑃(𝐴‾)=1−𝑃(𝐴)P(A)=1−P(A)
यह सूत्र इस तथ्य से आता है कि किसी संभावना स्थान में सभी संभावित परिणामों की कुल संभावना 1 होती है। इसलिए, यदि हमें घटना A के घटित होने की संभावना पता है, तो हम इसे 1 से घटाकर घटना A के घटित न होने की संभावना पा सकते हैं।
उदाहरण 1: एक थैले से लाल गेंद निकालना
कल्पना करें कि आपके पास एक थैला है जिसमें 7 लाल गेंदें और 3 नीली गेंदें हैं। प्रत्येक गेंद को निकालने की संभावना समान है।
- कुल गेंदों की संख्या: 10 (7 लाल + 3 नीली)
- लाल गेंदों की संख्या (घटना A): 7
पहले, हम लाल गेंद निकालने की संभावना (घटना A) की गणना करते हैं:
𝑃(𝐴)=710P(A)=107
अब, हम लाल गेंद न निकालने की संभावना (घटना 𝐴‾A) की गणना करते हैं:
𝑃(𝐴‾)=1−𝑃(𝐴)=1−710=310P(A)=1−P(A)=1−107=103
उदाहरण 2: एक पासा फेंकना
मान लीजिए कि आप एक निष्पक्ष छह-पक्षीय पासा फेंकते हैं। घटना A 4 से अधिक संख्या (यानी, 5 या 6) फेंकना है।
- संभावित परिणामों की कुल संख्या: 6 (क्योंकि 6 पक्ष हैं)
- घटना A के अनुकूल परिणामों की संख्या: 2 (5 या 6 फेंकना)
पहले, हम 4 से अधिक संख्या फेंकने की संभावना (घटना A) की गणना करते हैं:
𝑃(𝐴)=26=13P(A)=62=31
अब, हम 4 से अधिक संख्या न फेंकने की संभावना (घटना 𝐴‾A) की गणना करते हैं:
𝑃(𝐴‾)=1−𝑃(𝐴)=1−13=23P(A)=1−P(A)=1−31=32
उदाहरण 3: एक छात्र को यादृच्छिक रूप से चुनना
मान लीजिए कि एक कक्षा में 20 छात्र हैं: 8 लड़के और 12 लड़कियाँ। घटना A एक लड़की को चुनना है।
- कुल छात्रों की संख्या: 20 (8 लड़के + 12 लड़कियाँ)
- लड़कियों की संख्या (घटना A): 12
पहले, हम एक लड़की को चुनने की संभावना (घटना A) की गणना करते हैं:
𝑃(𝐴)=1220=35P(A)=2012=53
अब, हम एक लड़की को न चुनने की संभावना (घटना 𝐴‾A) की गणना करते हैं:
𝑃(𝐴‾)=1−𝑃(𝐴)=1−35=25P(A)=1−P(A)=1−53=52
सारांश
घटना 'नॉट A' की संभावना की गणना घटना A की संभावना को 1 से घटाकर की जाती है। यह हमें घटना A के घटित न होने की संभावना बताता है।
11.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1:
एक निष्पक्ष सिक्का जिसमें एक पक्ष पर 1 और दूसरे पक्ष पर 6 अंकित हैं, और एक निष्पक्ष पासा दोनों फेंके जाते हैं। (i) 3 (ii) 12 का योग आने की संभावना ज्ञात करें।
समाधान:
- सिक्का के संभावित परिणाम: {1, 6}
- पासा के संभावित परिणाम: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(i) योग = 3:
- संभावित परिणाम: (सिक्के पर 1, पासे पर 2)
सिक्के और पासा के लिए कुल संभावित परिणाम: 2 (सिक्का के परिणाम)×6 (पासा के परिणाम)=122 (सिक्का के परिणाम)×6 (पासा के परिणाम)=12
अनुकूल परिणामों की संख्या:
- (सिक्के पर 1, पासे पर 2)
𝑃(योग = 3)=अनुकूल परिणामों की संख्याकुल संभावित परिणामों की संख्या=112P(योग = 3)=कुल संभावित परिणामों की संख्याअनुकूल परिणामों की संख्या=121
(ii) योग = 12:
- संभावित परिणाम: (सिक्के पर 6, पासे पर 6)
अनुकूल परिणामों की संख्या:
- (सिक्के पर 6, पासे पर 6)
𝑃(योग = 12)=अनुकूल परिणामों की संख्याकुल संभावित परिणामों की संख्या=112P(योग = 12)=कुल संभावित परिणामों की संख्याअनुकूल परिणामों की संख्या=121
प्रश्न 2:
नगर परिषद में चार पुरुष और छह महिलाएं हैं। यदि एक परिषद सदस्य को यादृच्छिक रूप से एक समिति के लिए चुना जाता है, तो यह संभावना कितनी है कि वह एक महिला है?
समाधान:
- कुल परिषद सदस्यों की संख्या: 4 पुरुष + 6 महिलाएं = 10
- महिलाओं की संख्या: 6
महिला चुने जाने की संभावना: 𝑃(महिला)=महिलाओं की संख्याकुल परिषद सदस्यों की संख्या=610=35P(महिला)=कुल परिषद सदस्यों की संख्यामहिलाओं की संख्या=106=53
प्रश्न 3:
एक निष्पक्ष सिक्का चार बार उछाला जाता है, और व्यक्ति प्रत्येक हेड के लिए 1 रुपये जीतता है और प्रत्येक टेल के लिए 1.50 रुपये हारता है। नमूना स्थान से यह गणना करें कि चार उछालों के बाद आपके पास कितनी अलग-अलग धनराशि हो सकती है और प्रत्येक धनराशि की संभावना क्या है।
समाधान:
पहले, सिक्का उछालने के संभावित परिणामों के आधार पर विभिन्न धनराशियों को निर्धारित करते हैं।
- HHHH: 4 हेड, 0 टेल कमाई=4×1=4कमाई=4×1=4
- HHHT, HHTH, HTHH, THHH: 3 हेड, 1 टेल कमाई=3×1−1.5=3−1.5=1.5कमाई=3×1−1.5=3−1.5=1.5
- HHTT, HTHT, HTTH, TTHH, THTH, THHT: 2 हेड, 2 टेल कमाई=2×1−2×1.5=2−3=−1कमाई=2×1−2×1.5=2−3=−1
- HTTT, THTT, TTHT, TTTH: 1 हेड, 3 टेल कमाई=1×1−3×1.5=1−4.5=−3.5कमाई=1×1−3×1.5=1−4.5=−3.5
- TTTT: 0 हेड, 4 टेल कमाई=0×1−4×1.5=0−6=−6कमाई=0×1−4×1.5=0−6=−6
विभिन्न धनराशि और उनकी संभावनाएं:
1. 4 रुपये
  - केवल एक तरीका: HHHH
  - संभावना: 𝑃(4 रुपये)=116P(4 रुपये)=161
2. 1.5 रुपये
  - चार तरीके: HHHT, HHTH, HTHH, THHH
  - संभावना: 𝑃(1.5 रुपये)=416=14P(1.5 रुपये)=164=41
3. -1 रुपये
  - छह तरीके: HHTT, HTHT, HTTH, TTHH, THTH, THHT
  - संभावना: 𝑃(-1 रुपये)=616=38P(-1 रुपये)=166=83
4. -3.5 रुपये
  - चार तरीके: HTTT, THTT, TTHT, TTTH
  - संभावना: 𝑃(-3.5 रुपये)=416=14P(-3.5 रुपये)=164=41
5. -6 रुपये
  - केवल एक तरीका: TTTT
  - संभावना: 𝑃(-6 रुपये)=116P(-6 रुपये)=161
12.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न:01
कक्षा 11 में, 40% छात्र गणित पढ़ते हैं और 30% जीवविज्ञान पढ़ते हैं। कक्षा का 10% छात्र गणित और जीवविज्ञान दोनों पढ़ते हैं। यदि कक्षा से यादृच्छिक रूप से एक छात्र का चयन किया जाता है, तो यह संभावना ज्ञात करें कि वह गणित या जीवविज्ञान पढ़ रहा होगा।
समाधान:
मान लें:
- 𝑃(𝑀)P(M) = गणित पढ़ने की संभावना = 0.40
- 𝑃(𝐵)P(B) = जीवविज्ञान पढ़ने की संभावना = 0.30
- 𝑃(𝑀∩𝐵)P(M∩B) = गणित और जीवविज्ञान दोनों पढ़ने की संभावना = 0.10
हमें गणित या जीवविज्ञान पढ़ने की संभावना 𝑃(𝑀∪𝐵)P(M∪B) ज्ञात करनी है।
दो घटनाओं के संघ के लिए सूत्र का उपयोग करें: 𝑃(𝑀∪𝐵)=𝑃(𝑀)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝑀∩𝐵)P(M∪B)=P(M)+P(B)−P(M∩B)
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: 𝑃(𝑀∪𝐵)=0.40+0.30−0.10=0.60P(M∪B)=0.40+0.30−0.10=0.60
इसलिए, यादृच्छिक रूप से चयनित छात्र के गणित या जीवविज्ञान पढ़ने की संभावना 0.60 है।
प्रश्न:02
एक प्रवेश परीक्षा में जो दो परीक्षाओं के आधार पर ग्रेडित की जाती है, यादृच्छिक रूप से चुने गए छात्र के पहली परीक्षा पास करने की संभावना 0.8 है और दूसरी परीक्षा पास करने की संभावना 0.7 है। कम से कम एक परीक्षा पास करने की संभावना 0.95 है। दोनों परीक्षाएं पास करने की संभावना क्या है?
समाधान:
मान लें:
- 𝑃(𝐴)P(A) = पहली परीक्षा पास करने की संभावना = 0.80
- 𝑃(𝐵)P(B) = दूसरी परीक्षा पास करने की संभावना = 0.70
- 𝑃(𝐴∪𝐵)P(A∪B) = कम से कम एक परीक्षा पास करने की संभावना = 0.95
हमें दोनों परीक्षाएं पास करने की संभावना 𝑃(𝐴∩𝐵)P(A∩B) ज्ञात करनी है।
दो घटनाओं के संघ के लिए सूत्र का उपयोग करें: 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
𝑃(𝐴∩𝐵)P(A∩B) ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें: 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∪𝐵)P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: 𝑃(𝐴∩𝐵)=0.80+0.70−0.95=0.55P(A∩B)=0.80+0.70−0.95=0.55
इसलिए, दोनों परीक्षाएं पास करने की संभावना 0.55 है।
प्रश्न:03
एक छात्र के अंग्रेजी और हिंदी दोनों में अंतिम परीक्षा पास करने की संभावना 0.5 है और किसी भी परीक्षा को पास न करने की संभावना 0.1 है। यदि अंग्रेजी परीक्षा पास करने की संभावना 0.75 है, तो हिंदी परीक्षा पास करने की संभावना क्या है?
समाधान:
मान लें:
- 𝑃(𝐸)P(E) = अंग्रेजी परीक्षा पास करने की संभावना = 0.75
- 𝑃(𝐻)P(H) = हिंदी परीक्षा पास करने की संभावना
- 𝑃(𝐸∩𝐻)P(E∩H) = अंग्रेजी और हिंदी दोनों परीक्षा पास करने की संभावना = 0.50
- 𝑃(𝐸‾∩𝐻‾)P(E∩H) = किसी भी परीक्षा को पास न करने की संभावना = 0.10
हमें 𝑃(𝐻)P(H) ज्ञात करनी है।
पूरक नियम का उपयोग करें: 𝑃(𝐸‾∩𝐻‾)=1−𝑃(𝐸∪𝐻)P(E∩H)=1−P(E∪H)
तो, 𝑃(𝐸∪𝐻)=1−𝑃(𝐸‾∩𝐻‾)=1−0.10=0.90P(E∪H)=1−P(E∩H)=1−0.10=0.90
दो घटनाओं के संघ के लिए सूत्र का उपयोग करें: 𝑃(𝐸∪𝐻)=𝑃(𝐸)+𝑃(𝐻)−𝑃(𝐸∩𝐻)P(E∪H)=P(E)+P(H)−P(E∩H)
𝑃(𝐻)P(H) ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें: 𝑃(𝐻)=𝑃(𝐸∪𝐻)+𝑃(𝐸∩𝐻)−𝑃(𝐸)P(H)=P(E∪H)+P(E∩H)−P(E)
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:
P(H)=0.90+0.50−0.75=0.65
इसलिए, हिंदी परीक्षा पास करने की संभावना 0.65 है।
प्रश्न:04
60 छात्रों की एक कक्षा में, 30 ने NCC के लिए और 32 ने NSS के लिए विकल्प चुना, और 24 ने NCC और NSS दोनों के लिए विकल्प चुना। यदि इनमें से किसी एक छात्र को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो निम्नलिखित की संभावना ज्ञात करें:
(i) छात्र ने NCC या NSS का विकल्प चुना है।
(ii) छात्र ने न NCC और न ही NSS का विकल्प चुना है।
(iii) छात्र ने NSS का विकल्प चुना है लेकिन NCC का नहीं।
दिए गए डेटा:
- कुल छात्रों की संख्या, 𝑁N = 60
- जिन्होंने NCC का विकल्प चुना, 𝑛(𝑁𝐶𝐶)n(NCC) = 30
- जिन्होंने NSS का विकल्प चुना, 𝑛(𝑁𝑆𝑆)n(NSS) = 32
- जिन्होंने NCC और NSS दोनों का विकल्प चुना, 𝑛(𝑁𝐶𝐶∩𝑁𝑆𝑆)n(NCC∩NSS) = 24
समाधान:
(i) संभावना कि छात्र ने NCC या NSS का विकल्प चुना है:
हमें 𝑃(𝑁𝐶𝐶∪𝑁𝑆𝑆)P(NCC∪NSS) ज्ञात करनी है।
दो समूहों के संघ के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए: 𝑃(𝑁𝐶𝐶∪𝑁𝑆𝑆)=𝑃(𝑁𝐶𝐶)+𝑃(𝑁𝑆𝑆)−𝑃(𝑁𝐶𝐶∩𝑁𝑆𝑆)P(NCC∪NSS)=P(NCC)+P(NSS)−P(NCC∩NSS)
पहले, हम संभावनाएं ज्ञात करते हैं: 𝑃(𝑁𝐶𝐶)=𝑛(𝑁𝐶𝐶)𝑁=3060=12P(NCC)=Nn(NCC)=6030=21 𝑃(𝑁𝑆𝑆)=𝑛(𝑁𝑆𝑆)𝑁=3260=815P(NSS)=Nn(NSS)=6032=158 𝑃(𝑁𝐶𝐶∩𝑁𝑆𝑆)=𝑛(𝑁𝐶𝐶∩𝑁𝑆𝑆)𝑁=2460=25P(NCC∩NSS)=Nn(NCC∩NSS)=6024=52
अब, इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 𝑃(𝑁𝐶𝐶∪𝑁𝑆𝑆)=12+815−25P(NCC∪NSS)=21+158−52
सामान्य हर (जो इस मामले में 30 है) का उपयोग करते हुए: 𝑃(𝑁𝐶𝐶∪𝑁𝑆𝑆)=1530+1630−1230=1930P(NCC∪NSS)=3015+3016−3012=3019
इसलिए, संभावना कि छात्र ने NCC या NSS का विकल्प चुना है, 19303019 है।
(ii) संभावना कि छात्र ने न NCC और न ही NSS का विकल्प चुना है:
यह NCC या NSS का विकल्प चुनने की संभावना का पूरक है।
𝑃(न NCC और न ही NSS)=1−𝑃(𝑁𝐶𝐶∪𝑁𝑆𝑆)P(न NCC और न ही NSS)=1−P(NCC∪NSS)
भाग (i) से, हमें पता है: 𝑃(𝑁𝐶𝐶∪𝑁𝑆𝑆)=1930P(NCC∪NSS)=3019
इसलिए, 𝑃(न NCC और न ही NSS)=1−1930=3030−1930=1130P(न NCC और न ही NSS)=1−3019=3030−3019=3011
इसलिए, संभावना कि छात्र ने न NCC और न ही NSS का विकल्प चुना है, 11303011 है।
(iii) संभावना कि छात्र ने NSS का विकल्प चुना है लेकिन NCC का नहीं:
हमें उन छात्रों की संख्या ज्ञात करनी है जिन्होंने NSS का विकल्प चुना है लेकिन NCC का नहीं, जो है 𝑛(𝑁𝑆𝑆)−𝑛(𝑁𝐶𝐶∩𝑁𝑆𝑆)n(NSS)−n(NCC∩NSS)।
𝑛(𝑁𝑆𝑆∖𝑁𝐶𝐶)=𝑛(𝑁𝑆𝑆)−𝑛(𝑁𝐶𝐶∩𝑁𝑆𝑆)=32−24=8n(NSS∖NCC)=n(NSS)−n(NCC∩NSS)=32−24=8
इसलिए, संभावना है: 𝑃(𝑁𝑆𝑆∖𝑁𝐶𝐶)=𝑛(𝑁𝑆𝑆∖𝑁𝐶𝐶)𝑁=860=215P(NSS∖NCC)=Nn(NSS∖NCC)=608=152
इसलिए, संभावना कि छात्र ने NSS का विकल्प चुना है लेकिन NCC का नहीं, 215152 है।

प्रायिकता — कक्षा 11 गणित नोट्स

प्रायिकता में शामिल टॉपिक

1.प्रायिकता का परिचय

मुख्य शब्दावली:

प्रायिकता की गणना

वास्तविक जीवन का उदाहरण

करियर और उद्योग जहाँ प्रायिकता का उपयोग होता है

गतिविधि

निष्कर्ष

2.आयोजन

घटनाओं के प्रकार:

वास्तविक जीवन का उदाहरण

घटना की प्रायिकता की गणना

करियर और उद्योग जहाँ घटना की प्रायिकता का उपयोग होता है

गतिविधि

निष्कर्ष

3.घटनाओं का घटित होना

घटनाओं के प्रकार

विस्तृत व्याख्या एक उदाहरण के साथ

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

गतिविधि

4.घटनाओं के प्रकार

1. साधारण घटना (Simple Event)

2. मिश्रित घटना (Compound Event)

3. परस्पर बहिष्कृत घटनाएँ (Mutually Exclusive Events)

4. पूर्ण घटनाएँ (Exhaustive Events)

5. स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events)

6. निर्भर घटनाएँ (Dependent Events)

समस्या समाधान उदाहरण

उदाहरण 1: परस्पर बहिष्कृत घटनाएँ

उदाहरण 2: स्वतंत्र घटनाएँ

5.अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1:

प्रश्न 2:

प्रश्न 3:

प्रश्न 4:

प्रश्न 5:

6.संभाव्यता का स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण

संभाव्यता के प्रमुख स्वयंसिद्ध:

स्वयंसिद्धों को समझने के लिए उदाहरण

उदाहरण 1: दो पासे फेंकना

उदाहरण 2: एक ताश का पत्ता निकालना

है। वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

संभाव्यता का उपयोग करने वाले करियर:

एक महत्वपूर्ण सूत्र का चरण-दर-चरण व्युत्पत्ति: योग नियम

7.घटना की संभाव्यता

संभाव्यता की मूल परिभाषा

उदाहरण 1: सिक्का उछालना

उदाहरण 2: एक ताश का पत्ता निकालना

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

संभाव्यता का उपयोग करने वाले करियर:

8.समान संभावनाओं के परिणामों की संभावनाओं को समझना

संभावना क्या है?

समान संभावनाएं

उदाहरण 1: एक स्पिनर को घुमाना

उदाहरण 2: दराज से एक टी-शर्ट चुनना

उदाहरण 3: एक जार से टोकन निकालना

सारांश

9.घटना 'A या B' की संभावना को समझना

'A या B' की संभावना क्या है?

'A या B' की संभावना का सूत्र

𝑃(𝐴∩𝐵)P(A∩B) को घटाना क्यों जरूरी है?

उदाहरण 1: एक पासा फेंकना

उदाहरण 2: एक ताश के पत्ते चुनना

उदाहरण 3: दो सिक्के उछालना

सारांश

10.घटना 'नॉट A' की संभावना को समझना

'नॉट A' की संभावना क्या है?

उदाहरण 1: एक थैले से लाल गेंद निकालना

उदाहरण 2: एक पासा फेंकना

उदाहरण 3: एक छात्र को यादृच्छिक रूप से चुनना

सारांश

11.अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1:

समाधान:

प्रश्न 2:

समाधान:

प्रश्न 3:

समाधान:

12.अभ्यास प्रश्न