रैखिक असमीतियों — कक्षा 11 गणित नोट्स

रैखिक असमीतियों में शामिल टॉपिक

1. 1.रैखिक असमीतियों का परिचय

   रैखिक असमीतियां (Linear Inequalities) रैखिक समीकरणों (Linear Equations) की तरह होती हैं, लेकिन बराबर चिन्ह (equals sign) की जगह असमीती चिन्हों (inequality symbols) का उपयोग करती हैं। ये चिन्ह हैं:
   

   • > (से अधिक)
   • < (से कम)
   • ≥ (से अधिक या बराबर)
   • ≤ (से कम या बराबर)

   एक रैखिक असमिति इस तरह दिखती है: 𝑎𝑥+𝑏>𝑐ax+b>c या 𝑎𝑥+𝑏≤𝑐ax+b≤c, जहाँ 𝑎a, 𝑏b, और 𝑐c स्थिरांक हैं।

   वास्तविक जीवन का उदाहरण

   मान लीजिए आपको मासिक भत्ता ₹500 मिलता है। आप प्रत्येक महीने कम से कम ₹200 बचाना चाहते हैं। इस स्थिति को असमीति से दर्शाया जा सकता है:

   𝑥≤500−200x≤500−200

   यहाँ, 𝑥x आपके खर्च का प्रतिनिधित्व करता है। असमीति का मतलब है कि आप ₹300 तक खर्च कर सकते हैं ताकि कम से कम ₹200 बचा सकें।

   रैखिक असमीतियों को हल करना

   1. चर को एक ओर अलग करना: जैसे कि आप एक समीकरण को हल करते हैं, आप चर (जैसे, 𝑥x) को असमीति के एक तरफ अकेले रखने के लिए संचालन करते हैं।

   2. संचालन करना: जो भी संचालन आप एक तरफ करते हैं, असमीति बनाए रखने के लिए आपको दूसरी तरफ भी वही करना चाहिए।

   3. ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमीति चिन्ह को पलटना: यह महत्वपूर्ण है ताकि संख्याओं के बीच सही संबंध बना रहे।

   उदाहरण:

   असमीति को हल करें: 2𝑥−3<72x−3<7

   1. दोनों तरफ 3 जोड़ें: 2𝑥−3+3<7+32x−3+3<7+3 2𝑥<102x<10

   2. 2 से भाग दें: 𝑥<5x<5

   इसलिए, 𝑥x कोई भी मान हो सकता है जो 5 से कम हो।

   रैखिक असमीतियों का ग्राफ बनाना

   रैखिक असमीतियों को देखने के लिए, आप उन्हें संख्या रेखा या निर्देशांक तल पर ग्राफ कर सकते हैं। एक साधारण असमीति जैसे 𝑥<5x<5 के लिए:

   1. एक संख्या रेखा बनाएं।
   2. 5 को खुले वृत्त से चिह्नित करें (क्योंकि 5 शामिल नहीं है)।
   3. 5 के बाईं ओर सब कुछ छायांकित करें (क्योंकि 𝑥x कोई भी संख्या हो सकती है जो 5 से कम हो)।

   दो चर वाले असमीतियों (जैसे, 𝑦≤2𝑥+3y≤2x+3) के लिए:

   1. पहले सीमा रेखा 𝑦=2𝑥+3y=2x+3 को खींचें। "<" या ">" के लिए एक बिंदीदार रेखा और "≤" या "≥" के लिए एक ठोस रेखा का उपयोग करें।
   2. उस क्षेत्र को छायांकित करें जो असमीति को संतुष्ट करता है।

   वास्तविक जीवन और करियर में अनुप्रयोग

   रैखिक असमीतियों का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है:

   • व्यवसाय: लाभ मार्जिन और लागत सीमाओं का निर्धारण करने के लिए।
   • अर्थशास्त्र: बजट सीमाओं और संसाधनों के आवंटन के लिए।
   • इंजीनियरिंग: सुरक्षा सीमाओं और विनिर्देशों को सुनिश्चित करने के लिए।
   • दैनिक जीवन: बजट प्रबंधन, कीमतों की तुलना और बाधाओं के आधार पर निर्णय लेने में।

2. 2.

   असमीतियां क्या हैं?

   असमीतियां गणितीय अभिव्यक्तियाँ हैं जो दो मानों के बीच संबंध दर्शाती हैं, जहाँ एक मान दूसरे के बराबर नहीं होता है। इसके बजाय, वे व्यक्त करते हैं कि एक मान दूसरे मान से अधिक, कम, अधिक या बराबर, या कम या बराबर है। असमीति दर्शाने के लिए उपयोग किए जाने वाले चिन्ह हैं:

   • > (से अधिक)
   • < (से कम)
   • ≥ (से अधिक या बराबर)
   • ≤ (से कम या बराबर)
   • ≠ (बराबर नहीं)

   असमीतियों के मूल प्रकार

   1. रैखिक असमीतियां: ये असमीतियां रैखिक अभिव्यक्तियों को शामिल करती हैं। उदाहरण के लिए:

      • 2𝑥+3>72x+3>7
      • −𝑥+4≤10−x+4≤10

   2. द्विघात असमीतियां: ये द्विघात अभिव्यक्तियों को शामिल करती हैं। उदाहरण के लिए:

      • 𝑥2−4𝑥+3≥0x2−4x+3≥0
      • 𝑥2+𝑥−6<0x2+x−6<0

   3. बहुपद असमीतियां: ये दो से अधिक घात वाली बहुपद अभिव्यक्तियों को शामिल करती हैं। उदाहरण के लिए:

      • 𝑥3−𝑥2−𝑥+1>0x3−x2−x+1>0

   4. परिमेय असमीतियां: ये बहुपदों के अनुपात वाली अभिव्यक्तियों को शामिल करती हैं। उदाहरण के लिए:

      • 𝑥+1𝑥−2<3x−2x+1​<3

   असमीतियों को हल करना

   रैखिक असमीतियां

   रैखिक असमीतियों को हल करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

   1. चर को अलग करें: असमीति के एक तरफ चर को प्राप्त करें।
   2. सरलीकृत करें: असमीति को सरल बनाने के लिए बुनियादी बीजगणितीय संचालन करें।
   3. ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमीति चिन्ह को पलटना: यह सही संबंध बनाए रखने के लिए महत्वपूर्ण है।

   उदाहरण:

   हल करें 2𝑥−3<72x−3<7:

   1. दोनों तरफ 3 जोड़ें: 2𝑥−3+3<7+32x−3+3<7+3 2𝑥<102x<10

   2. 2 से भाग दें: 𝑥<5x<5

   इसलिए, समाधान है 𝑥<5x<5.

   द्विघात असमीतियां

   द्विघात असमीतियों को हल करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

   1. असमीति को समीकरण के रूप में पुनर्लेखन करें: असमीति को शून्य पर सेट करें।
   2. गुणा करें या द्विघात सूत्र का उपयोग करें: समीकरण की जड़ों को खोजें।
   3. अंतराल निर्धारित करें: संख्या रेखा को अंतराल में विभाजित करने के लिए जड़ों का उपयोग करें।
   4. अंतराल की जांच करें: देखें कि असमीति कहाँ सत्य है।

   उदाहरण:

   हल करें 𝑥2−4𝑥+3≥0x2−4x+3≥0:

   1. समीकरण के रूप में पुनर्लेखन करें: 𝑥2−4𝑥+3=0x2−4x+3=0
   2. गुणा करें: (𝑥−1)(𝑥−3)=0(x−1)(x−3)=0
   3. जड़ें खोजें: 𝑥=1x=1, 𝑥=3x=3
   4. अंतराल निर्धारित करें: (−∞,1)(−∞,1), (1,3)(1,3), (3,∞)(3,∞)
   5. अंतराल की जांच करें:
      • 𝑥∈(−∞,1)x∈(−∞,1): 𝑥=0x=0, 02−4(0)+3=3≥002−4(0)+3=3≥0 (सत्य)
      • 𝑥∈(1,3)x∈(1,3): 𝑥=2x=2, 22−4(2)+3=−1≥022−4(2)+3=−1≥0 (असत्य)
      • 𝑥∈(3,∞)x∈(3,∞): 𝑥=4x=4, 42−4(4)+3=3≥042−4(4)+3=3≥0 (सत्य)

   इसलिए, समाधान है 𝑥∈(−∞,1]∪[3,∞)x∈(−∞,1]∪[3,∞).

   परिमेय असमीतियां

   परिमेय असमीतियों को हल करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

   1. असमीति को समीकरण के रूप में पुनर्लेखन करें: असमीति को शून्य पर सेट करें।
   2. महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: देखें कि गुणक और भाजक कहाँ शून्य हैं।
   3. अंतराल निर्धारित करें: संख्या रेखा को अंतराल में विभाजित करने के लिए महत्वपूर्ण बिंदुओं का उपयोग करें।
   4. अंतराल की जांच करें: देखें कि असमीति कहाँ सत्य है।

   उदाहरण:

   हल करें 𝑥+1𝑥−2<3x−2x+1​<3:

   1. समीकरण के रूप में पुनर्लेखन करें: 𝑥+1𝑥−2−3<0x−2x+1​−3<0 𝑥+1−3(𝑥−2)𝑥−2<0x−2x+1−3(x−2)​<0 𝑥+1−3𝑥+6𝑥−2<0x−2x+1−3x+6​<0 −2𝑥+7𝑥−2<0x−2−2x+7​<0

   2. महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: −2𝑥+7=0−2x+7=0 देता है 𝑥=72x=27​, और 𝑥−2=0x−2=0 देता है 𝑥=2x=2.

   3. अंतराल निर्धारित करें: (−∞,2)(−∞,2), (2,72)(2,27​), (72,∞)(27​,∞)

   4. अंतराल की जांच करें:

      • 𝑥∈(−∞,2)x∈(−∞,2): 𝑥=0x=0, −2(0)+70−2=−72<00−2−2(0)+7​=−27​<0 (असत्य)
      • 𝑥∈(2,72)x∈(2,27​): 𝑥=3x=3, −2(3)+73−2=11=1<03−2−2(3)+7​=11​=1<0 (असत्य)
      • 𝑥∈(72,∞)x∈(27​,∞): 𝑥=4x=4, −2(4)+74−2=−12<04−2−2(4)+7​=−21​<0 (सत्य)

   इसलिए, समाधान है 𝑥∈(72,∞)x∈(27​,∞).

   असमीतियों का ग्राफ बनाना

   संख्या रेखा पर

   एक चर वाली असमीतियों के लिए:

   1. महत्वपूर्ण बिंदु प्लॉट करें: सख्त असमीतियों (>, <) के लिए खुले वृत्त का उपयोग करें और समावेशी असमीतियों (≥, ≤) के लिए ठोस वृत्त का उपयोग करें।
   2. क्षेत्रों को छायांकित करें: संख्या रेखा के उस हिस्से को छायांकित करें जो असमीति को संतुष्ट करता है।

   उदाहरण: 𝑥>3x>3

   • 3 पर एक खुले वृत्त को प्लॉट करें।
   • 3 के दाईं ओर सब कुछ छायांकित करें।

   निर्देशांक तल में

   दो चर वाली असमीतियों के लिए:

   1. सीमा रेखा का ग्राफ बनाएं: सख्त असमीतियों (>, <) के लिए एक बिंदीदार रेखा और समावेशी असमीतियों (≥, ≤) के लिए एक ठोस रेखा का उपयोग करें।
   2. उचित क्षेत्र को छायांकित करें: >> या ≥≥ के लिए रेखा के ऊपर और << या ≤≤ के लिए रेखा के नीचे छायांकित करें।

   उदाहरण: 𝑦≤2𝑥+3y≤2x+3

   • 𝑦=2𝑥+3y=2x+3 रेखा को ठोस रेखा का उपयोग करके खींचें।
   • रेखा के नीचे के क्षेत्र को छायांकित करें।

   वास्तविक जीवन और करियर में अनुप्रयोग

   असमीतियों का उपयोग विभिन्न वास्तविक जीवन की परिस्थितियों और करियर में किया जाता है, जैसे:

   • बजट बनाना: यह सुनिश्चित करना कि खर्च आय से अधिक न हो।
   • इंजीनियरिंग: सुरक्षित संचालन की स्थिति को परिभाषित करना।
   • व्यवसाय: लाभ मार्जिन और लागत सीमाओं का निर्धारण करना।
   • अर्थशास्त्र: संसाधनों का कुशलता से आवंटन करना।
   • डेटा विज्ञान: डेटा विश्लेषण के लिए थ्रेसहोल्ड सेट करना।

3. 3.एक चर में रैखिक असमानताओं के बीजगणितीय समाधान और उनका ग्राफिकल प्रतिनिधित्व।

   एक चर में रैखिक असमीतियों के बीजीय हल

   एक चर में रैखिक असमिति इस रूप में होती है: 𝑎𝑥+𝑏>𝑐ax+b>c 𝑎𝑥+𝑏<𝑐ax+b<c 𝑎𝑥+𝑏≥𝑐ax+b≥c 𝑎𝑥+𝑏≤𝑐ax+b≤c

   जहाँ 𝑎a, 𝑏b, और 𝑐c स्थिरांक हैं, और 𝑥x चर है।

   रैखिक असमीतियों का बीजीय हल

   रैखिक असमिति को बीजीय रूप से हल करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

   1. चर को अलग करें: असमीति के एक तरफ चर 𝑥x को प्राप्त करें।
   2. असमीति को सरल बनाएं: दोनों पक्षों के भावों को सरल बनाएं।
   3. यदि आवश्यक हो तो असमीति चिन्ह को पलटें: यदि दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते हैं, तो असमीति चिन्ह को पलटें।

   उदाहरण:

   हल करें 2𝑥−3<72x−3<7:

   1. दोनों पक्षों में 3 जोड़ें: 2𝑥−3+3<7+32x−3+3<7+3 2𝑥<102x<10

   2. दोनों पक्षों को 2 से भाग दें: 𝑥<5x<5

   इसलिए, समाधान है 𝑥<5x<5.

   एक चर में रैखिक असमीतियों का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व

   संख्या रेखा पर प्लॉट करना

   रैखिक असमीति के समाधान का ग्राफ बनाना संख्या रेखा पर असमीति को संतुष्ट करने वाले मानों की श्रेणी को दिखाना होता है।

   रैखिक असमीतियों का ग्राफ बनाने के चरण

   1. सीमा बिंदु पहचानें: सीमा बिंदु वह होता है जहाँ असमीति समान होती है (जैसे 𝑥=5x=5 में 𝑥<5x<5).
   2. खुले या बंद वृत्त का उपयोग करें:
      • << या >> के लिए खुले वृत्त का उपयोग करें (संकेत करते हुए कि सीमा बिंदु शामिल नहीं है)।
      • ≤≤ या ≥≥ के लिए बंद वृत्त का उपयोग करें (संकेत करते हुए कि सीमा बिंदु शामिल है)।
   3. उचित क्षेत्र को छायांकित करें: असमीति को संतुष्ट करने वाले मानों की श्रेणी को दिखाने के लिए संख्या रेखा को छायांकित करें।

   विस्तृत उदाहरण

   असमीति: 𝑥−2≥3x−2≥3

   चरण-दर-चरण समाधान:

   1. दोनों पक्षों में 2 जोड़ें: 𝑥−2+2≥3+2x−2+2≥3+2 𝑥≥5x≥5

   2. सीमा बिंदु: 𝑥=5x=5

   3. बंद वृत्त: 5 पर एक बंद वृत्त रखें जो 𝑥=5x=5 को शामिल होने का संकेत करता है।

   4. क्षेत्र छायांकित करें: 5 के दाईं ओर छायांकित करें जो 5 से अधिक या बराबर सभी मानों को दिखाता है।

   ग्राफिकल प्रतिनिधित्व:

   1. संख्या रेखा खींचें: संख्या रेखा पर मुख्य बिंदुओं को चिह्नित करें।
   2. सीमा बिंदु की पहचान करें: इस मामले में 𝑥=5x=5।
   3. 5 पर एक बंद वृत्त रखें: क्योंकि असमीति ≥≥ है, सीमा बिंदु को शामिल करें।
   4. 5 के दाईं ओर छायांकित करें: यह दिखाता है कि 𝑥x के सभी मान जो 5 से अधिक या बराबर हैं, समाधान हैं।

   एक और उदाहरण:

   असमीति: 𝑥+4<2x+4<2

   चरण-दर-चरण समाधान:

   1. दोनों पक्षों से 4 घटाएं: 𝑥+4−4<2−4x+4−4<2−4 𝑥<−2x<−2

   2. सीमा बिंदु: 𝑥=−2x=−2

   3. खुला वृत्त: -2 पर एक खुला वृत्त रखें जो 𝑥=−2x=−2 को शामिल नहीं होने का संकेत करता है।

   4. क्षेत्र छायांकित करें: -2 के बाईं ओर छायांकित करें जो -2 से कम सभी मानों को दिखाता है।

   ग्राफिकल प्रतिनिधित्व:

   1. संख्या रेखा खींचें: संख्या रेखा पर मुख्य बिंदुओं को चिह्नित करें।
   2. सीमा बिंदु की पहचान करें: इस मामले में 𝑥=−2x=−2।
   3. -2 पर एक खुला वृत्त रखें: क्योंकि असमीति << है, सीमा बिंदु को शामिल न करें।
   4. -2 के बाईं ओर छायांकित करें: यह दिखाता है कि 𝑥x के सभी मान जो -2 से कम हैं, समाधान हैं।

   वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

   एक चर में रैखिक असमीतियों का उपयोग विभिन्न व्यावहारिक परिदृश्यों में किया जाता है, जैसे:

   • बजट बनाना: यह सुनिश्चित करना कि खर्च किसी निश्चित सीमा से अधिक न हो।
   • आयु प्रतिबंध: गतिविधियों के लिए आयु सीमा निर्धारित करना।
   • स्टॉक प्रबंधन: न्यूनतम स्तर से ऊपर की सूची रखना।

   करियर में रैखिक असमीतियों का उपयोग

   • अर्थशास्त्र: बजट बनाना और संसाधनों का आवंटन।
   • इंजीनियरिंग: डिज़ाइन विनिर्देश और सुरक्षा सीमाएँ।
   • व्यवसाय: लाभ और लागत प्रबंधन।

4. 4.व्यायाम प्रश्न

   1. हल करें 24𝑥<10024x<100:

   (i) 𝑥x एक प्राकृतिक संख्या है:

   प्राकृतिक संख्याएँ {1,2,3,…}{1,2,3,…} होती हैं।

   24𝑥<10024x<100 𝑥<10024x<24100​ 𝑥<4.1667x<4.1667

   चूंकि 𝑥x एक प्राकृतिक संख्या है: 𝑥∈{1,2,3,4}x∈{1,2,3,4}

   (ii) 𝑥x एक पूर्णांक है:

   पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएँ {…,−2,−1,0,1,2,…}{…,−2,−1,0,1,2,…} होती हैं।

   24𝑥<10024x<100 𝑥<10024x<24100​ 𝑥<4.1667x<4.1667

   चूंकि 𝑥x एक पूर्णांक है: 𝑥∈{…,−2,−1,0,1,2,3,4}x∈{…,−2,−1,0,1,2,3,4}

   2. हल करें −12𝑥>30−12x>30:

   (i) 𝑥x एक प्राकृतिक संख्या है:

   −12𝑥>30−12x>30 𝑥<30−12x<−1230​ 𝑥<−2.5x<−2.5

   चूंकि प्राकृतिक संख्याएँ सकारात्मक होती हैं, कोई भी प्राकृतिक संख्या इस असमानता को संतुष्ट नहीं करती।

   (ii) 𝑥x एक पूर्णांक है:

   −12𝑥>30−12x>30 𝑥<30−12x<−1230​ 𝑥<−2.5x<−2.5

   चूंकि 𝑥x एक पूर्णांक है: 𝑥∈{…,−4,−3}x∈{…,−4,−3}

   3. हल करें 5𝑥−3<75x−3<7:

   (i) 𝑥x एक पूर्णांक है:

   5𝑥−3<75x−3<7 5𝑥<105x<10 𝑥<2x<2

   चूंकि 𝑥x एक पूर्णांक है: 𝑥∈{…,−2,−1,0,1}x∈{…,−2,−1,0,1}

   (ii) 𝑥x एक वास्तविक संख्या है:

   वास्तविक संख्याएँ सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।

   5𝑥−3<75x−3<7 5𝑥<105x<10 𝑥<2x<2

   सभी वास्तविक संख्याएँ जो 2 से कम हैं, इस असमानता को संतुष्ट करती हैं: 𝑥∈(−∞,2)x∈(−∞,2)

   4. हल करें 3𝑥+8>23x+8>2:

   (i) 𝑥x एक पूर्णांक है:

   3𝑥+8>23x+8>2 3𝑥>−63x>−6 𝑥>−2x>−2

   चूंकि 𝑥x एक पूर्णांक है: 𝑥∈{…,−1,0,1,2,…}x∈{…,−1,0,1,2,…}

   (ii) 𝑥x एक वास्तविक संख्या है:

   3𝑥+8>23x+8>2 3𝑥>−63x>−6 𝑥>−2x>−2

   सभी वास्तविक संख्याएँ जो -2 से अधिक हैं, इस असमानता को संतुष्ट करती हैं: 𝑥∈(−2,∞)x∈(−2,∞)

   5. हल करें 4𝑥+3<5𝑥+74x+3<5x+7:

   दोनों पक्षों से 4𝑥4x घटाएँ: 3<𝑥+73<x+7

   दोनों पक्षों से 7 घटाएँ: −4<𝑥−4<x 𝑥>−4x>−4

   तो, समाधान है: 𝑥>−4x>−4

   6. हल करें 3𝑥−7>5𝑥−13x−7>5x−1:

   दोनों पक्षों से 3𝑥3x घटाएँ: −7>2𝑥−1−7>2x−1

   दोनों पक्षों में 1 जोड़ें: −6>2𝑥−6>2x

   दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें: −3>𝑥−3>x 𝑥<−3x<−3

   तो, समाधान है: 𝑥<−3x<−3

   7. हल करें 3(𝑥−1)≤2(𝑥−3)3(x−1)≤2(x−3):

   दोनों पक्षों को विस्तार दें: 3𝑥−3≤2𝑥−63x−3≤2x−6

   दोनों पक्षों से 2𝑥2x घटाएँ: 𝑥−3≤−6x−3≤−6

   दोनों पक्षों में 3 जोड़ें: 𝑥≤−3x≤−3

   तो, समाधान है: 𝑥≤−3x≤−3

   8. हल करें 3(2−𝑥)≥2(1−𝑥)3(2−x)≥2(1−x):

   दोनों पक्षों को विस्तार दें: 6−3𝑥≥2−2𝑥6−3x≥2−2x

   दोनों पक्षों में 3𝑥3x जोड़ें: 6≥2+𝑥6≥2+x

   दोनों पक्षों से 2 घटाएँ: 4≥𝑥4≥x 𝑥≤4x≤4

   तो, समाधान है: 𝑥≤4x≤4

   9. हल करें 𝑥+𝑥2−𝑥3<11x+2x​−3x​<11:

   भिन्नों के लिए एक समान हर खोजें: 𝑥+3𝑥6−2𝑥6<11x+63x​−62x​<11

   भिन्नों को जोड़ें: 𝑥+𝑥6<11x+6x​<11

   शर्तों को जोड़ें: 6𝑥+𝑥6<1166x+x​<11 7𝑥6<1167x​<11

   दोनों पक्षों को 6 से गुणा करें: 7𝑥<667x<66

   दोनों पक्षों को 7 से विभाजित करें: 𝑥<667x<766​ 𝑥<9.4286x<9.4286

   तो, समाधान है: 𝑥<9.4286x<9.4286

   10. हल करें 𝑥3−𝑥2≥13x​−2x​≥1:

   भिन्नों के लिए एक समान हर खोजें: 2𝑥6−3𝑥6≥162x​−63x​≥1

   भिन्नों को जोड़ें: 2𝑥−3𝑥6≥162x−3x​≥1 −𝑥6≥16−x​≥1

   दोनों पक्षों को -6 से गुणा करें (ध्यान दें कि इससे असमानता उलट जाती है): −𝑥≥6−x≥6 𝑥≤−6x≤−6

   तो, समाधान है: 𝑥≤−6x≤−6

5. 5.व्यायाम प्रश्न

   1. हल करें 2≤3𝑥−4≤52≤3x−4≤5:

   इसे दो भागों में विभाजित करें और प्रत्येक भाग को हल करें:

   भाग 1: 2≤3𝑥−42≤3x−4

   दोनों पक्षों में 4 जोड़ें: 2+4≤3𝑥2+4≤3x 6≤3𝑥6≤3x

   दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें: 2≤𝑥2≤x

   भाग 2: 3𝑥−4≤53x−4≤5

   दोनों पक्षों में 4 जोड़ें: 3𝑥≤5+43x≤5+4 3𝑥≤93x≤9

   दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें: 𝑥≤3x≤3

   परिणाम को जोड़ें: 2≤𝑥≤32≤x≤3

   2. हल करें 6≤3(2𝑥−4)≤126≤3(2x−4)≤12:

   इसे दो भागों में विभाजित करें और प्रत्येक भाग को हल करें:

   भाग 1: 6≤3(2𝑥−4)6≤3(2x−4)

   दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें: 2≤2𝑥−42≤2x−4

   दोनों पक्षों में 4 जोड़ें: 2+4≤2𝑥2+4≤2x 6≤2𝑥6≤2x

   दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें: 3≤𝑥3≤x

   भाग 2: 3(2𝑥−4)≤123(2x−4)≤12

   दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें: 2𝑥−4≤42x−4≤4

   दोनों पक्षों में 4 जोड़ें: 2𝑥≤4+42x≤4+4 2𝑥≤82x≤8

   दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें: 𝑥≤4x≤4

   परिणाम को जोड़ें: 3≤𝑥≤43≤x≤4

   3. हल करें −3≤4−7𝑥2≤18−3≤4−27x​≤18:

   इसे दो भागों में विभाजित करें और प्रत्येक भाग को हल करें:

   भाग 1: −3≤4−7𝑥2−3≤4−27x​

   दोनों पक्षों से 4 घटाएँ: −3−4≤−7𝑥2−3−4≤−27x​ −7≤−7𝑥2−7≤−27x​

   दोनों पक्षों को -2/7 से गुणा करें (और असमानता को उलटें): 147≥𝑥714​≥x 2≥𝑥2≥x 𝑥≤2x≤2

   भाग 2: 4−7𝑥2≤184−27x​≤18

   दोनों पक्षों से 4 घटाएँ: −7𝑥2≤18−4−27x​≤18−4 −7𝑥2≤14−27x​≤14

   दोनों पक्षों को -2/7 से गुणा करें (और असमानता को उलटें): 𝑥≥−4x≥−4

   परिणाम को जोड़ें: −4≤𝑥≤2−4≤x≤2

   4. हल करें −15≤3(𝑥−2)5≤0−15≤53(x−2)​≤0:

   इसे दो भागों में विभाजित करें और प्रत्येक भाग को हल करें:

   भाग 1: −15≤3(𝑥−2)5−15≤53(x−2)​

   दोनों पक्षों को 5 से गुणा करें: −75≤3(𝑥−2)−75≤3(x−2)

   दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें: −25≤𝑥−2−25≤x−2

   दोनों पक्षों में 2 जोड़ें: −23≤𝑥−23≤x

   भाग 2: 3(𝑥−2)5≤053(x−2)​≤0

   दोनों पक्षों को 5 से गुणा करें: 3(𝑥−2)≤03(x−2)≤0

   दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें: 𝑥−2≤0x−2≤0

   दोनों पक्षों में 2 जोड़ें: 𝑥≤2x≤2

   परिणाम को जोड़ें: −23≤𝑥≤2−23≤x≤2

   5. हल करें −12<4−3𝑥5≤2−12<4−53x​≤2:

   इसे दो भागों में विभाजित करें और प्रत्येक भाग को हल करें:

   भाग 1: −12<4−3𝑥5−12<4−53x​

   दोनों पक्षों से 4 घटाएँ: −16<−3𝑥5−16<−53x​

   दोनों पक्षों को -5/3 से गुणा करें (और असमानता को उलटें): 𝑥<803x<380​ 𝑥<26.67x<26.67

   भाग 2: 4−3𝑥5≤24−53x​≤2

   दोनों पक्षों से 4 घटाएँ: −3𝑥5≤−2−53x​≤−2

   दोनों पक्षों को -5/3 से गुणा करें (और असमानता को उलटें): 𝑥≥103x≥310​ 𝑥≥3.33x≥3.33

   परिणाम को जोड़ें: 3.33≤𝑥<26.673.33≤x<26.67

   6. हल करें 7≤3𝑥+112≤117≤23x+11​≤11:

   इसे दो भागों में विभाजित करें और प्रत्येक भाग को हल करें:

   भाग 1: 7≤3𝑥+1127≤23x+11​

   दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें: 14≤3𝑥+1114≤3x+11

   दोनों पक्षों से 11 घटाएँ: 3≤3𝑥3≤3x

   दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें: 1≤𝑥1≤x

   भाग 2: 3𝑥+112≤1123x+11​≤11

   दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें: 3𝑥+11≤223x+11≤22

   दोनों पक्षों से 11 घटाएँ: 3𝑥≤113x≤11

   दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें: 𝑥≤113x≤311​ 𝑥≤3.67x≤3.67

   परिणाम को जोड़ें: 1≤𝑥≤3.671≤x≤3.67