रेखाएँ — कक्षा 11 गणित नोट्स

रेखाएँ · कक्षा 11 गणित · 12 टॉपिक.

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रेखाएँ में शामिल टॉपिक

1.सीधी रेखाओं का परिचय
रेखाएं ज्यामिति की सबसे मौलिक अवधारणाओं में से एक हैं। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, रेखा को एक समीकरण का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। रेखाओं को समझना महत्वपूर्ण है क्योंकि वे कई अन्य ज्यामितीय आकृतियों और अवधारणाओं का आधार बनती हैं।
रेखा का समीकरण
कार्टेशियन तल में रेखा का सामान्य रूप है: 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0Ax+By+C=0
यहां:
- 𝐴A, 𝐵B, और 𝐶C नियतांक हैं।
- 𝑥x और 𝑦y चर हैं, जो रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक को दर्शाते हैं।
ढलान-अवरोध रूप
रेखा का समीकरण व्यक्त करने का एक सामान्य तरीका ढलान-अवरोध रूप है: 𝑦=𝑚𝑥+𝑐y=mx+c
जहां:
- 𝑚m रेखा की ढलान है, जो उसकी खड़ीपन को दर्शाता है।
- 𝑐c y-अवरोध है, वह बिंदु जहां रेखा y-अक्ष को काटती है।
ढलान निकालना
रेखा की ढलान (𝑚m) दो बिंदुओं (𝑥1,𝑦1)(x1,y1) और (𝑥2,𝑦2)(x2,y2) का उपयोग करके निकाली जा सकती है: 𝑚=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1m=x2−x1y2−y1
वास्तविक जीवन उदाहरण
मान लीजिए आप एक रोड ट्रिप पर हैं, और आपकी कार की यात्रा को नक्शे पर एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इस रेखा की ढलान दर्शाती है कि सड़क कितनी खड़ी है। यदि आप अपने मार्ग के दो बिंदु जानते हैं (जैसे, दो शहर जहां आप जाते हैं), तो आप ढलान की गणना कर सकते हैं ताकि सड़क के चढ़ाव या उतराव को समझ सकें।
ढलान-अवरोध रूप की चरण-दर-चरण व्युत्पत्ति
1. रेखा पर दो बिंदुओं से शुरू करें: (𝑥1,𝑦1)(x1,y1) और (𝑥2,𝑦2)(x2,y2)।
2. ढलान की गणना करें: 𝑚=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1m=x2−x1y2−y1
3. रेखा समीकरण के बिंदु-ढलान रूप का उपयोग करें: 𝑦−𝑦1=𝑚(𝑥−𝑥1)y−y1=m(x−x1)
4. ढलान-अवरोध रूप प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें: 𝑦=𝑚𝑥−𝑚𝑥1+𝑦1y=mx−mx1+y1 यहां, −𝑚𝑥1+𝑦1−mx1+y1 एक स्थिरांक है, जिसे हम 𝑐c के रूप में निरूपित करते हैं।
  इसलिए, समीकरण बन जाता है: 𝑦=𝑚𝑥+𝑐y=mx+c
गतिविधि
1. ग्राफ पर दो बिंदुओं की पहचान करें: बिंदु (2,3)(2,3) और (4,7)(4,7) को चिह्नित करें।
2. ढलान की गणना करें: 𝑚=7−34−2=42=2m=4−27−3=24=2
3. एक बिंदु का उपयोग कर y-अवरोध निकालें: (2,3)(2,3) का उपयोग करते हुए: 3=2(2)+𝑐3=2(2)+c 3=4+𝑐3=4+c 𝑐=−1c=−1
4. समीकरण लिखें: 𝑦=2𝑥−1y=2x−1
करियर में अनुप्रयोग
1. इंजीनियरिंग: इंजीनियर इमारतों, पुलों और अन्य संरचनाओं को डिजाइन और निर्माण करने में रेखाओं की अवधारणा का उपयोग करते हैं ताकि वे स्थिर और सही ढंग से संरेखित हों।
2. अर्थशास्त्र: अर्थशास्त्री आपूर्ति और मांग वक्रों का प्रतिनिधित्व करने के लिए सीधी रेखा ग्राफ का उपयोग करते हैं, जिससे मात्रा और कीमतों के बीच संबंध दिखाया जा सके।
3. कंप्यूटर ग्राफिक्स: कंप्यूटर ग्राफिक्स में, आकृतियों को रेंडर करने और डिजिटल छवियां बनाने में रेखाएं मौलिक होती हैं।
सारांश
रेखाओं को समझने में उनके समीकरणों को सीखना, ढलानों की गणना करना और उनके ग्राफ की व्याख्या करना शामिल है। यह ज्ञान विभिन्न क्षेत्रों में आवश्यक है, जिनमें इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र और कंप्यूटर ग्राफिक्स शामिल हैं।
2.महत्वपूर्ण सूत्र
सूत्र:-
1. रेखा की ढलान
दो बिंदुओं (𝑥1,𝑦1)(x1,y1) और (𝑥2,𝑦2)(x2,y2) से गुजरने वाली रेखा की ढलान: 𝑚=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1m=x2−x1y2−y1
2. ढलान-अवरोध रूप
रेखा का समीकरण ढलान-अवरोध रूप में: 𝑦=𝑚𝑥+𝑐y=mx+c जहां 𝑚m ढलान है और 𝑐c y-अवरोध है।
3. बिंदु-ढलान रूप
रेखा का समीकरण, जिसकी ढलान 𝑚m हो और वह बिंदु (𝑥1,𝑦1)(x1,y1) से गुजरती हो: 𝑦−𝑦1=𝑚(𝑥−𝑥1)y−y1=m(x−x1)
4. दो-बिंदु रूप
दो बिंदुओं (𝑥1,𝑦1)(x1,y1) और (𝑥2,𝑦2)(x2,y2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण: 𝑦−𝑦1=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1(𝑥−𝑥1)y−y1=x2−x1y2−y1(x−x1)
5. अवरोध रूप
रेखा का समीकरण, जो x-अक्ष को 𝑎a पर और y-अक्ष को 𝑏b पर काटती हो: 𝑥𝑎+𝑦𝑏=1ax+by=1
6. सामान्य रूप
रेखा का सामान्य रूप: 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0Ax+By+C=0
7. रेखा से बिंदु की दूरी
रेखा 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0Ax+By+C=0 से बिंदु (𝑥1,𝑦1)(x1,y1) की दूरी: 𝑑=∣𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶∣𝐴2+𝐵2d=A2+B2∣Ax1+By1+C∣
8. दो रेखाओं के बीच का कोण
ढलान 𝑚1m1 और 𝑚2m2 वाली दो रेखाओं के बीच का कोण 𝜃θ: tan⁡𝜃=∣𝑚1−𝑚21+𝑚1𝑚2∣tanθ=∣∣1+m1m2m1−m2∣∣
9. समानांतर रेखाओं की स्थिति
दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि उनकी ढलानें समान हों: 𝑚1=𝑚2m1=m2
10. लंबवत रेखाओं की स्थिति
दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनकी ढलानों का गुणनफल -1 हो: 𝑚1⋅𝑚2=−1m1⋅m2=−1
3.रेखा की ढलान और उसकी परिभाषा
परिभाषा
रेखा की ढलान उसकी खड़ीपन और दिशा का माप है। यह रेखा पर किसी भी दो बिंदुओं के बीच ऊर्ध्वाधर परिवर्तन (उठाव) और क्षैतिज परिवर्तन (चाल) के अनुपात के रूप में परिभाषित है। गणितीय रूप से, यदि आपके पास रेखा पर दो बिंदु (𝑥1,𝑦1)(x1,y1) और (𝑥2,𝑦2)(x2,y2) हैं, तो ढलान 𝑚m निम्नलिखित होती है:
𝑚=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1m=x2−x1y2−y1
ढलान हमें बताती है कि 𝑥x के एक इकाई परिवर्तन के लिए 𝑦y कितना बदलता है।
रेखा की ढलान जब रेखा पर किसी भी दो बिंदुओं के निर्देशांक दिए जाते हैं
दो बिंदुओं (𝑥1,𝑦1)(x1,y1) और (𝑥2,𝑦2)(x2,y2) के दिए गए होने पर, ढलान 𝑚m को निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके निकाला जा सकता है:
𝑚=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1m=x2−x1y2−y1
उदाहरण
चलो एक रेखा की ढलान निकालते हैं जो बिंदुओं (3, 4) और (7, 8) से गुजरती है:
1. निर्देशांक पहचानें: (𝑥1,𝑦1)=(3,4)(x1,y1)=(3,4) (𝑥2,𝑦2)=(7,8)(x2,y2)=(7,8)
2. इन मानों को ढलान सूत्र में डालें: 𝑚=8−47−3=44=1m=7−38−4=44=1
तो, रेखा की ढलान 1 है।
ढलानों के संदर्भ में रेखाओं के समानांतरता और लंबवतता की शर्तें
समानांतर रेखाएँ
दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि उनकी ढलान समान हो। इसका मतलब है कि उनकी दिशा समान है, और वे कभी नहीं मिलेंगी।
यदि दो रेखाओं की ढलानें 𝑚1m1 और 𝑚2m2 हैं, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि: 𝑚1=𝑚2m1=m2
उदाहरण
यदि एक रेखा की ढलान 2 है, तो इसके समानांतर रेखा की ढलान भी 2 होगी।
लंबवत रेखाएँ
दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनकी ढलानों का गुणनफल -1 हो। इसका मतलब है कि वे एक सही कोण (90 डिग्री) पर मिलती हैं।
यदि दो रेखाओं की ढलानें 𝑚1m1 और 𝑚2m2 हैं, तो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि: 𝑚1⋅𝑚2=−1m1⋅m2=−1
उदाहरण
यदि एक रेखा की ढलान 3 है, तो इसके लंबवत रेखा की ढलान होनी चाहिए: 𝑚2=−13m2=−31
दो रेखाओं के बीच का कोण
दो रेखाओं के बीच का कोण 𝜃θ जिनकी ढलानें 𝑚1m1 और 𝑚2m2 हैं, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके निकाला जा सकता है: tan⁡𝜃=∣𝑚1−𝑚21+𝑚1𝑚2∣tanθ=∣∣1+m1m2m1−m2∣∣
उदाहरण
चलो दो रेखाओं के बीच का कोण निकालते हैं जिनकी ढलानें 𝑚1=1m1=1 और 𝑚2=−1m2=−1 हैं:
1. ढलानों को सूत्र में डालें: tan⁡𝜃=∣1−(−1)1+1(−1)∣=∣1+11−1∣=∣20∣tanθ=∣∣1+1(−1)1−(−1)∣∣=∣∣1−11+1∣∣=∣∣02∣∣
2. चूंकि हरिनाम 0 है, कोण 𝜃θ 90 डिग्री है।
इस मामले में, रेखाएँ लंबवत हैं, जैसा कि उनकी ढलान शर्त से उम्मीद की गई थी।
वास्तविक जीवन उदाहरण
कल्पना कीजिए कि आप एक वास्तुकार हैं और एक सीढ़ी का डिजाइन बना रहे हैं। सीढ़ियों की ढलान (जिसे पिच भी कहा जाता है) की गणना की जानी चाहिए ताकि यह भवन निर्माण नियमों का पालन करे। यदि आप सीढ़ी के किनारे के दो बिंदु जानते हैं, तो आप ढलान की गणना कर सकते हैं ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि यह बहुत खड़ी न हो।
सारांश
रेखा की ढलान को समझना विभिन्न गणितीय और वास्तविक जीवन अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण है। यह रेखाओं की खड़ीपन और दिशा निर्धारित करने, समानांतरता और लंबवतता की शर्तों का विश्लेषण करने, और दो रेखाओं के बीच का कोण निकालने में मदद करता है।
4.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1
कार्टेशियन तल में एक चतुर्भुज बनाएँ, जिसके शीर्ष (−4,5)(−4,5), (0,7)(0,7), (5,−5)(5,−5), और (−4,−2)(−4,−2) हैं। साथ ही, इसका क्षेत्रफल निकालें।
चरण-दर-चरण समाधान
1. कार्टेशियन तल पर शीर्षों को अंकित करें:
  - (−4,5)(−4,5)
  - (0,7)(0,7)
  - (5,−5)(5,−5)
  - (−4,−2)(−4,−2)
2. शीर्षों को जोड़कर चतुर्भुज बनाएं:
3. Shoelace सूत्र (या बहुभुजों के लिए Gauss का क्षेत्रफल सूत्र) का उपयोग करके क्षेत्रफल निकालना: क्षेत्रफल=12∣𝑥1𝑦2+𝑥2𝑦3+𝑥3𝑦4+𝑥4𝑦1−(𝑦1𝑥2+𝑦2𝑥3+𝑦3𝑥4+𝑦4𝑥1)∣क्षेत्रफल=21∣x1y2+x2y3+x3y4+x4y1−(y1x2+y2x3+y3x4+y4x1)∣
  दिए गए बिंदुओं को प्रतिस्थापित करना: (𝑥1,𝑦1)=(−4,5)(x1,y1)=(−4,5) (𝑥2,𝑦2)=(0,7)(x2,y2)=(0,7) (𝑥3,𝑦3)=(5,−5)(x3,y3)=(5,−5) (𝑥4,𝑦4)=(−4,−2)(x4,y4)=(−4,−2)
  गणना करें: क्षेत्रफल=12∣(−4⋅7)+(0⋅−5)+(5⋅−2)+(−4⋅5)−(5⋅0)−(7⋅5)−(−5⋅−4)−(−2⋅−4)∣क्षेत्रफल=21∣(−4⋅7)+(0⋅−5)+(5⋅−2)+(−4⋅5)−(5⋅0)−(7⋅5)−(−5⋅−4)−(−2⋅−4)∣ =12∣(−28)+0+(−10)+(−20)−0−35−20−8∣=21∣(−28)+0+(−10)+(−20)−0−35−20−8∣ =12∣−28−10−20−35−20−8∣=21∣−28−10−20−35−20−8∣ =12∣−121∣=21∣−121∣ =12\cdॉट121=21\cdॉट121 =60.5=60.5
  तो, चतुर्भुज का क्षेत्रफल 60.5 वर्ग इकाइयाँ है।
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- प्रश्न 2
एक समबाहु त्रिभुज का आधार, जिसकी भुजा 2𝑎2a है, y-अक्ष के साथ इस प्रकार स्थित है कि आधार का मध्यबिंदु मूलबिंदु पर है। त्रिभुज के शीर्षों को खोजें।
चरण-दर-चरण समाधान
1. समबाहु त्रिभुज का आधार:
  - आधार की लंबाई 2𝑎2a है और आधार का मध्यबिंदु मूलबिंदु (0,0)(0,0) पर है।
  - आधार के छोरों के निर्देशांक (0,𝑎)(0,a) और (0,−𝑎)(0,−a) होंगे क्योंकि वे y-अक्ष के साथ मूलबिंदु से समान दूरी पर हैं।
2. तीसरे शीर्ष का निर्धारण:
  - चूंकि यह एक समबाहु त्रिभुज है, किसी भी दो शीर्षों के बीच की दूरी 2𝑎2a होगी।
  - तीसरे शीर्ष (𝑥,𝑦)(x,y) के निर्देशांक इस शर्त को पूरा करने चाहिए कि वे (0,𝑎)(0,a) और (0,−𝑎)(0,−a) दोनों से 2𝑎2a इकाइयाँ दूर हों।
  दूरी सूत्र का उपयोग करना: 𝑥2+(𝑦−𝑎)2=2𝑎x2+(y−a)2=2a 𝑥2+(𝑦+𝑎)2=2𝑎x2+(y+a)2=2a
  इन समीकरणों को हल करना: 𝑥2+(𝑦−𝑎)2=4𝑎2x2+(y−a)2=4a2 𝑥2+(𝑦+𝑎)2=4𝑎2x2+(y+a)2=4a2
  विस्तारित और सरल: 𝑥2+𝑦2−2𝑎𝑦+𝑎2=4𝑎2x2+y2−2ay+a2=4a2 𝑥2+𝑦2+2𝑎𝑦+𝑎2=4𝑎2x2+y2+2ay+a2=4a2
  पहले समीकरण को दूसरे से घटाना: 4𝑎𝑦=04ay=0 𝑦=0y=0
  चूंकि 𝑦y शून्य नहीं हो सकता (इसका मतलब होगा कि तीसरा शीर्ष x-अक्ष पर स्थित है, जो संभव नहीं है), 𝑥x और 𝑦y के लिए हल करना: 𝑥2+𝑦2=3𝑎2x2+y2=3a2
  इसका मतलब है कि 𝑦y सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है। इसलिए, 𝑦=3𝑎y=3a
  तीसरे शीर्ष के निर्देशांक हैं (±𝑎,3𝑎)(±a,3a)।
  इसलिए, समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं:
  - (0,𝑎)(0,a)
  - (0,−𝑎)(0,−a)
  - (±3𝑎,0)(±3a,0)
5.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 01
x-अक्ष पर एक बिंदु खोजें, जो बिंदुओं (7,6)(7,6) और (3,4)(3,4) से समान दूरी पर हो।
समाधान
x-अक्ष पर एक बिंदु के निर्देशांक (𝑥,0)(x,0) होते हैं। यह बिंदु (7,6)(7,6) और (3,4)(3,4) से समान दूरी पर है। इसका मतलब है कि (𝑥,0)(x,0) से (7,6)(7,6) तक की दूरी (𝑥,0)(x,0) से (3,4)(3,4) तक की दूरी के बराबर है।
दूरी सूत्र का उपयोग करके: (𝑥−7)2+(0−6)2=(𝑥−3)2+(0−4)2(x−7)2+(0−6)2=(x−3)2+(0−4)2
दोनों पक्षों को वर्ग करने पर: (𝑥−7)2+62=(𝑥−3)2+42(x−7)2+62=(x−3)2+42
सरल करके 𝑥x के लिए हल करें: (𝑥−7)2+36=(𝑥−3)2+16(x−7)2+36=(x−3)2+16 𝑥2−14𝑥+49+36=𝑥2−6𝑥+9+16x2−14x+49+36=x2−6x+9+16 𝑥2−14𝑥+85=𝑥2−6𝑥+25x2−14x+85=x2−6x+25
दोनों पक्षों से 𝑥2x2 हटाएँ: −14𝑥+85=−6𝑥+25−14x+85=−6x+25 85−25=14𝑥−6𝑥85−25=14x−6x 60=8𝑥60=8x 𝑥=608x=860 𝑥=7.5x=7.5
तो, x-अक्ष पर वह बिंदु जो (7,6)(7,6) और (3,4)(3,4) से समान दूरी पर है, वह (7.5,0)(7.5,0) है।
प्रश्न 02
उस रेखा की ढलान ज्ञात करें, जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है, और रेखा खंड के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है जो बिंदुओं 𝑃(0,−4)P(0,−4) और 𝐵(8,0)B(8,0) को जोड़ती है।
समाधान
1. रेखा खंड के मध्य बिंदु को खोजें जो बिंदुओं 𝑃(0,−4)P(0,−4) और 𝐵(8,0)B(8,0) को जोड़ता है: मध्य बिंदु सूत्र है: (𝑥1+𝑥22,𝑦1+𝑦22)(2x1+x2,2y1+y2)
  दिए गए बिंदुओं को प्रतिस्थापित करना: (0+82,−4+02)=(4,−2)(20+8,2−4+0)=(4,−2)
2. रेखा की ढलान ज्ञात करें जो मूल बिंदु (0,0)(0,0) और मध्य बिंदु (4,−2)(4,−2) से होकर गुजरती है: ढलान 𝑚m दिया गया है: 𝑚=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1m=x2−x1y2−y1
  बिंदुओं को प्रतिस्थापित करना: 𝑚=−2−04−0=−24=−12m=4−0−2−0=4−2=−21
तो, रेखा की ढलान −12−21 है।
प्रश्न 03
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किए बिना दिखाएँ कि बिंदु (4,4)(4,4), (3,5)(3,5), और (−1,−1)(−1,−1) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
समाधान
यह दिखाने के लिए कि बिंदु एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, हमें यह दिखाना होगा कि दो रेखाओं की ढलानें नकारात्मक प्रतिलोम हैं (अर्थात, उनकी ढलानों का गुणनफल -1 है), जो एक समकोण दर्शाता है।
1. रेखाओं की ढलान ज्ञात करें:
  - रेखा खंड की ढलान जो (4,4)(4,4) और (3,5)(3,5) को जोड़ता है: 𝑚1=5−43−4=1−1=−1m1=3−45−4=−11=−1
  - रेखा खंड की ढलान जो (3,5)(3,5) और (−1,−1)(−1,−1) को जोड़ता है: 𝑚2=−1−5−1−3=−6−4=32m2=−1−3−1−5=−4−6=23
  - रेखा खंड की ढलान जो (4,4)(4,4) और (−1,−1)(−1,−1) को जोड़ता है: 𝑚3=−1−4−1−4=−5−5=1m3=−1−4−1−4=−5−5=1
2. लंबवतता के लिए जाँच करें:
  - ढलान 𝑚1m1 और 𝑚3m3 का गुणनफल: 𝑚1⋅𝑚3=−1⋅1=−1m1⋅m3=−1⋅1=−1
चूंकि ढलान 𝑚1m1 और 𝑚3m3 का गुणनफल -1 है, रेखा खंड जो (4,4)(4,4) और (3,5)(3,5) को जोड़ता है, और रेखा खंड जो (4,4)(4,4) और (−1,−1)(−1,−1) को जोड़ता है, लंबवत हैं, जो बिंदु (4,4)(4,4) पर एक समकोण दर्शाता है।
इस प्रकार, बिंदु (4,4)(4,4), (3,5)(3,5), और (−1,−1)(−1,−1) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
6.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 01
दूरी सूत्र का उपयोग किए बिना दिखाएँ कि बिंदु (−2,−1)(−2,−1), (4,0)(4,0), (3,3)(3,3), और (−3,2)(−3,2) एक समानांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
समाधान
यह दिखाने के लिए कि दिए गए बिंदु एक समानांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं, हमें यह दिखाना होगा कि विकर्णों के मध्य बिंदु समान हैं।
1. विकर्णों के मध्य बिंदु ज्ञात करें:
  - विकर्ण 1: बिंदु (−2,−1)(−2,−1) और (3,3)(3,3) को जोड़ना मध्य बिंदु=(−2+32,−1+32)=(12,1)मध्य बिंदु=(2−2+3,2−1+3)=(21,1)
  - विकर्ण 2: बिंदु (4,0)(4,0) और (−3,2)(−3,2) को जोड़ना मध्य बिंदु=(4−32,0+22)=(12,1)मध्य बिंदु=(24−3,20+2)=(21,1)
चूंकि विकर्णों के मध्य बिंदु समान हैं, दिए गए बिंदु एक समानांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
प्रश्न 02
x-अक्ष और बिंदुओं (3,−1)(3,−1) और (4,−2)(4,−2) को जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण ज्ञात करें।
समाधान
1. बिंदुओं (3,−1)(3,−1) और (4,−2)(4,−2) को जोड़ने वाली रेखा की ढलान ज्ञात करें: 𝑚=−2−(−1)4−3=−2+11=−11=−1m=4−3−2−(−1)=1−2+1=1−1=−1
2. रेखा और x-अक्ष के बीच का कोण 𝜃θ ज्ञात करें: ढलान 𝑚m रेखा और x-अक्ष के बीच के कोण 𝜃θ का स्पर्शांक है। tan⁡𝜃=𝑚=−1tanθ=m=−1 𝜃=tan⁡−1(−1)θ=tan−1(−1) 𝜃=−45∘ या 135∘θ=−45∘ या 135∘
तो, x-अक्ष और रेखा के बीच का कोण या तो −45∘−45∘ या 135∘135∘ है।
प्रश्न 03
एक रेखा की ढलान दूसरी रेखा की ढलान का दोगुना है। यदि उनके बीच के कोण का स्पर्शांक 1331 है, तो रेखाओं की ढलानें ज्ञात करें।
समाधान
मान लें कि दो रेखाओं की ढलानें 𝑚1m1 और 𝑚2m2 हैं, जिनमें 𝑚1=2𝑚2m1=2m2 है।
दो रेखाओं के बीच के कोण 𝜃θ का स्पर्शांक निम्नलिखित है: tan⁡𝜃=∣𝑚1−𝑚21+𝑚1𝑚2∣=13tanθ=∣∣1+m1m2m1−m2∣∣=31
𝑚1=2𝑚2m1=2m2 प्रतिस्थापित करें: ∣2𝑚2−𝑚21+2𝑚2⋅𝑚2∣=13∣∣1+2m2⋅m22m2−m2∣∣=31 ∣𝑚21+2𝑚22∣=13∣∣1+2m22m2∣∣=31
𝑚2m2 के लिए हल करें: 𝑚21+2𝑚22=13 या −𝑚21+2𝑚22=131+2m22m2=31 या 1+2m22−m2=31
सकारात्मक मामले के लिए: 3𝑚2=1+2𝑚223m2=1+2m22 2𝑚22−3𝑚2+1=02m22−3m2+1=0
द्विघात समीकरण को हल करें: 𝑚2=3±9−84m2=43±9−8 𝑚2=3±14m2=43±1 𝑚2=1 या 𝑚2=12m2=1 या m2=21
नकारात्मक मामले के लिए: −3𝑚2=1+2𝑚22−3m2=1+2m22 2𝑚22+3𝑚2+1=02m22+3m2+1=0
द्विघात समीकरण को हल करें: 𝑚2=−3±9−84m2=4−3±9−8 𝑚2=−3±14m2=4−3±1 𝑚2=−1 या 𝑚2=−12m2=−1 या m2=−21
तो, संभावित ढलानें 𝑚2=1m2=1 या 𝑚2=12m2=21, और 𝑚1=2m1=2 या 𝑚1=1m1=1 हैं।
प्रश्न 04
एक रेखा (𝑥1,𝑦1)(x1,y1) और (ℎ,𝑘)(h,k) से होकर गुजरती है। यदि रेखा की ढलान 𝑚m है, तो दिखाएँ कि 𝑘−𝑦1=𝑚(ℎ−𝑥1)k−y1=m(h−x1)।
समाधान
रेखा की ढलान 𝑚m जो बिंदुओं (𝑥1,𝑦1)(x1,y1) और (ℎ,𝑘)(h,k) से होकर गुजरती है, निम्नलिखित है: 𝑚=𝑘−𝑦1ℎ−𝑥1m=h−x1k−y1
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करके दिखाएँ कि 𝑘−𝑦1=𝑚(ℎ−𝑥1)k−y1=m(h−x1): 𝑚(ℎ−𝑥1)=𝑘−𝑦1m(h−x1)=k−y1 𝑘−𝑦1=𝑚(ℎ−𝑥1)k−y1=m(h−x1)
इस प्रकार, यह दिखाया गया है कि 𝑘−𝑦1=𝑚(ℎ−𝑥1)k−y1=m(h−x1)
7.रेखा के समीकरण के विभिन्न रूप
रेखा के समीकरण के विभिन्न रूपों को समझना गणित में महत्वपूर्ण है। प्रत्येक रूप का उपयोग उपलब्ध जानकारी और आवेदन के आधार पर किया जाता है।
1. क्षैतिज और लंबवत रेखाएँ
क्षैतिज रेखा
क्षैतिज रेखा में सभी बिंदुओं के लिए 𝑦y-निर्देशांक स्थिर होता है। किसी बिंदु (𝑥,𝑦)(x,y) से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा का समीकरण है:
𝑦=𝑐y=c
जहाँ 𝑐c स्थिर 𝑦y-निर्देशांक है।
उदाहरण
(3,4)(3,4) से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा का समीकरण है: 𝑦=4y=4
लंबवत रेखा
लंबवत रेखा में सभी बिंदुओं के लिए 𝑥x-निर्देशांक स्थिर होता है। किसी बिंदु (𝑥,𝑦)(x,y) से गुजरने वाली लंबवत रेखा का समीकरण है:
𝑥=𝑐x=c
जहाँ 𝑐c स्थिर 𝑥x-निर्देशांक है।
उदाहरण
(3,4)(3,4) से गुजरने वाली लंबवत रेखा का समीकरण है: 𝑥=3x=3
2. बिंदु-ढलान रूप
जब आपको रेखा की ढलान और रेखा पर एक बिंदु पता हो, तब बिंदु-ढलान रूप का उपयोग किया जाता है। समीकरण है:
𝑦−𝑦1=𝑚(𝑥−𝑥1)y−y1=m(x−x1)
जहाँ:
- 𝑚m रेखा की ढलान है।
- (𝑥1,𝑦1)(x1,y1) रेखा पर एक बिंदु है।
उदाहरण
यदि रेखा की ढलान 2 है और यह बिंदु (3,4)(3,4) से गुजरती है: 𝑦−4=2(𝑥−3)y−4=2(x−3)
3. दो-बिंदु रूप
जब आपको रेखा पर दो बिंदु पता हों, तब दो-बिंदु रूप का उपयोग किया जाता है। समीकरण है:
𝑦−𝑦1=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1(𝑥−𝑥1)y−y1=x2−x1y2−y1(x−x1)
जहाँ (𝑥1,𝑦1)(x1,y1) और (𝑥2,𝑦2)(x2,y2) रेखा पर दो बिंदु हैं।
उदाहरण
यदि रेखा बिंदु (1,2)(1,2) और (4,6)(4,6) से गुजरती है: 𝑦−2=6−24−1(𝑥−1)y−2=4−16−2(x−1) 𝑦−2=43(𝑥−1)y−2=34(x−1)
4. ढलान-अवरोध रूप
ढलान-अवरोध रूप सबसे अधिक प्रयुक्त रूपों में से एक है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब आपको रेखा की ढलान और y-अवरोध पता हो। समीकरण है:
𝑦=𝑚𝑥+𝑐y=mx+c
जहाँ:
- 𝑚m रेखा की ढलान है।
- 𝑐c y-अवरोध है (वह बिंदु जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है)।
उदाहरण
यदि रेखा की ढलान 3 है और y-अवरोध -2 है: 𝑦=3𝑥−2y=3x−2
5. अवरोध रूप
अवरोध रूप का उपयोग तब किया जाता है जब आपको रेखा के x-अवरोध और y-अवरोध पता हों। समीकरण है:
𝑥𝑎+𝑦𝑏=1ax+by=1
जहाँ:
- 𝑎a x-अवरोध है।
- 𝑏b y-अवरोध है।
उदाहरण
यदि रेखा का x-अवरोध 4 है और y-अवरोध 3 है: 𝑥4+𝑦3=14x+3y=1
8.रेखा से बिंदु की दूरी
किसी बिंदु 𝑃(𝑥1,𝑦1)P(x1,y1) की एक रेखा 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0Ax+By+C=0 से लंबवत दूरी ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
𝑑=∣𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶∣𝐴2+𝐵2d=A2+B2∣Ax1+By1+C∣

चरण-दर-चरण विवरण:
1. रेखा का समीकरण: रेखा 𝐿L का समीकरण 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0Ax+By+C=0 है।
2. बिंदु के निर्देशांक: हमें बिंदु 𝑃(𝑥1,𝑦1)P(x1,y1) से रेखा 𝐿L तक की दूरी ज्ञात करनी है।
3. लंबवत दूरी का सूत्र: बिंदु 𝑃P से रेखा 𝐿L की लंबवत दूरी 𝑑d ज्ञात करने के लिए सूत्र है: 𝑑=∣𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶∣𝐴2+𝐵2d=A2+B2∣Ax1+By1+C∣
उदाहरण
बिंदु 𝑃(3,4)P(3,4) से रेखा 3𝑥+4𝑦−5=03x+4y−5=0 की दूरी ज्ञात करें।
1. गुणांक और निर्देशांक पहचानें:
  - 𝐴=3A=3
  - 𝐵=4B=4
  - 𝐶=−5C=−5
  - 𝑥1=3x1=3
  - 𝑦1=4y1=4
2. दूरी सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करें: 𝑑=∣3(3)+4(4)−5∣32+42d=32+42∣3(3)+4(4)−5∣ 𝑑=∣9+16−5∣9+16d=9+16∣9+16−5∣ 𝑑=∣20∣25d=25∣20∣ 𝑑=205d=520 𝑑=4d=4
इस प्रकार, बिंदु 𝑃(3,4)P(3,4) से रेखा 3𝑥+4𝑦−5=03x+4y−5=0 की लंबवत दूरी 4 इकाइयाँ है।
चित्र का ज्यामितीय व्याख्या
1. रेखा समीकरण: रेखा 𝐿L का समीकरण 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0Ax+By+C=0 द्वारा प्रदर्शित है।
2. महत्वपूर्ण बिंदु:
  - बिंदु 𝑃(𝑥1,𝑦1)P(x1,y1) वह बिंदु है जिससे हम रेखा तक की दूरी ज्ञात करना चाहते हैं।
  - बिंदु 𝑅(0,−𝐶𝐵)R(0,−BC) वह बिंदु है जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है (y-अवरोध)।
  - बिंदु 𝑄(−𝐶𝐴,0)Q(−AC,0) वह बिंदु है जहाँ रेखा x-अक्ष को काटती है (x-अवरोध)।
3. लंबवत दूरी: लंबवत दूरी 𝑑d बिंदु 𝑃P से रेखा 𝐿L तक की सबसे छोटी दूरी है, जिसे चित्र में 𝑃𝑀PM के रूप में दिखाया गया है, जहाँ 𝑀M वह बिंदु है जहाँ से 𝑃P से रेखा 𝐿L तक लंबवत खींची गई है।
4. दृश्यात्मकता:
  - बिंदु 𝑀M रेखा 𝐿L पर 𝑃P का प्रक्षेप है, जिससे 𝑃𝑀PM रेखा 𝐿L पर लंबवत है।
  - इस लंबवत दूरी की गणना दिए गए सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, जिससे दिशा के लिए नकारात्मक चिह्न को ध्यान में रखते हुए सही दूरी निकाली जा सके।
इन अवधारणाओं को सूत्र और चित्र की सहायता से समझकर, आप किसी भी बिंदु से रेखा की दूरी को आसानी से कार्तीय तल में ज्ञात कर सकते हैं।
9.दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी
दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, आइए दो रेखाओं के सामान्य रूप पर विचार करें। समानांतर रेखाओं का ढलान समान होता है, लेकिन y-अवरोध अलग-अलग होते हैं। दो समानांतर रेखाओं के समीकरण इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:
𝑦=𝑚𝑥+𝑐1y=mx+c1 𝑦=𝑚𝑥+𝑐2y=mx+c2
यहाँ, 𝑚m दोनों रेखाओं की ढलान है, और 𝑐1c1 और 𝑐2c2 y-अवरोध हैं।
इन दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी 𝑑d निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है:
𝑑=∣𝑐2−𝑐1∣1+𝑚2d=1+m2∣c2−c1∣
उदाहरण
आइए रेखाओं 𝑦=2𝑥+3y=2x+3 और 𝑦=2𝑥−1y=2x−1 के बीच की दूरी ज्ञात करें।
1. गुणांक और अवरोध पहचानें:
  - 𝑚=2m=2
  - 𝑐1=3c1=3
  - 𝑐2=−1c2=−1
2. दूरी सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करें: 𝑑=∣𝑐2−𝑐1∣1+𝑚2d=1+m2∣c2−c1∣ 𝑑=∣−1−3∣1+22d=1+22∣−1−3∣ 𝑑=∣−4∣1+4d=1+4∣−4∣ 𝑑=45d=54 𝑑=45⋅55d=54⋅55 𝑑=455d=545
इस प्रकार, रेखाओं 𝑦=2𝑥+3y=2x+3 और 𝑦=2𝑥−1y=2x−1 के बीच की दूरी 455545 इकाइयाँ है।
चित्र का दृश्यात्मक व्याख्या
1. रेखाओं का प्रदर्शन:
  - दो समानांतर रेखाओं का समीकरण 𝑦=𝑚𝑥+𝑐1y=mx+c1 और 𝑦=𝑚𝑥+𝑐2y=mx+c2 द्वारा प्रदर्शित है।
  - रेखाओं का ढलान 𝑚m समान है, लेकिन y-अवरोध 𝑐1c1 और 𝑐2c2 अलग-अलग हैं।
2. एक रेखा पर बिंदु:
  - आइए रेखा 𝑦=𝑚𝑥+𝑐1y=mx+c1 पर बिंदु 𝐴(−𝑐1𝑚,0)A(−mc1,0) लें।
3. दूरी 𝑑d:
  - इस बिंदु 𝐴A से रेखा 𝑦=𝑚𝑥+𝑐2y=mx+c2 तक की लंबवत दूरी दो समानांतर रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी है।
  - इस दूरी 𝑑d की गणना दिए गए सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, जो अवरोधों के अंतर और ढलान को ध्यान में रखते हुए की जाती है।
इस प्रकार, दिए गए चित्र और सूत्र की सहायता से, समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी को आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।
10.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1
निम्नलिखित समीकरणों को ढलान-अवरोध रूप में बदलें और उनकी ढलानें और y-अवरोध ज्ञात करें।
(i) 𝑥+7𝑦=0x+7y=0
(ii) 6𝑥+3𝑦−5=06x+3y−5=0
(iii) 𝑦=0y=0
समाधान
(i) समीकरण: 𝑥+7𝑦=0x+7y=0
1. इसे ढलान-अवरोध रूप 𝑦=𝑚𝑥+𝑐y=mx+c में बदलें: 7𝑦=−𝑥7y=−x 𝑦=−17𝑥y=−71x
2. ढलान (m): −17−71
3. y-अवरोध (c): 0
(ii) समीकरण: 6𝑥+3𝑦−5=06x+3y−5=0
1. इसे ढलान-अवरोध रूप 𝑦=𝑚𝑥+𝑐y=mx+c में बदलें: 3𝑦=−6𝑥+53y=−6x+5 𝑦=−2𝑥+53y=−2x+35
2. ढलान (m): −2−2
3. y-अवरोध (c): 5335
(iii) समीकरण: 𝑦=0y=0
1. यह पहले से ही ढलान-अवरोध रूप 𝑦=𝑚𝑥+𝑐y=mx+c में है: 𝑦=0y=0
2. ढलान (m): 0
3. y-अवरोध (c): 0
प्रश्न 2
निम्नलिखित समीकरणों को अवरोध रूप में बदलें और अक्षों पर उनके अवरोध ज्ञात करें।
(i) 3𝑥+2𝑦−12=03x+2y−12=0
(ii) 4𝑥−3𝑦=64x−3y=6
(iii) 3𝑦+2=03y+2=0
समाधान
(i) समीकरण: 3𝑥+2𝑦−12=03x+2y−12=0
1. इसे अवरोध रूप 𝑥𝑎+𝑦𝑏=1ax+by=1 में बदलें: 3𝑥+2𝑦=123x+2y=12 3𝑥12+2𝑦12=1123x+122y=1 𝑥4+𝑦6=14x+6y=1
2. x-अवरोध (a): 4
3. y-अवरोध (b): 6
(ii) समीकरण: 4𝑥−3𝑦=64x−3y=6
1. इसे अवरोध रूप 𝑥𝑎+𝑦𝑏=1ax+by=1 में बदलें: 4𝑥6−3𝑦6=164x−63y=1 𝑥1.5−𝑦2=11.5x−2y=1 𝑥1.5+𝑦−2=11.5x+−2y=1
2. x-अवरोध (a): 1.5
3. y-अवरोध (b): -2
(iii) समीकरण: 3𝑦+2=03y+2=0
1. इसे अवरोध रूप 𝑥𝑎+𝑦𝑏=1ax+by=1 में बदलें: 3𝑦=−23y=−2 𝑦=−23y=−32
2. यह रेखा क्षैतिज है, इसलिए:
  - x-अवरोध (a): अपरिभाषित (कोई x-अवरोध नहीं)
  - y-अवरोध (b): −23−32
प्रश्न 3
बिंदु (−1,1)(−1,1) से रेखा 12𝑥+6𝑦=5(𝑦−2)12x+6y=5(y−2) की दूरी ज्ञात करें।
समाधान
1. पहले दिए गए रेखा समीकरण को सरल बनाएं: 12𝑥+6𝑦=5𝑦−1012x+6y=5y−10 12𝑥+6𝑦−5𝑦=−1012x+6y−5y=−10 12𝑥+𝑦=−1012x+y=−10 12𝑥+𝑦+10=012x+y+10=0
2. दूरी सूत्र 𝑑=∣𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶∣𝐴2+𝐵2d=A2+B2∣Ax1+By1+C∣ का उपयोग करें: 𝐴=12,𝐵=1,𝐶=10A=12,B=1,C=10 𝑥1=−1,𝑦1=1x1=−1,y1=1
3. इन मानों को दूरी सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 𝑑=∣12(−1)+1(1)+10∣122+12d=122+12∣12(−1)+1(1)+10∣ 𝑑=∣−12+1+10∣144+1d=144+1∣−12+1+10∣ 𝑑=∣−1∣145d=145∣−1∣ 𝑑=1145d=1451 𝑑=1145\cdॉट145145d=1451\cdॉट145145 𝑑=145145d=145145
इस प्रकार, बिंदु (−1,1)(−1,1) से रेखा 12𝑥+𝑦+10=012x+y+10=0 की दूरी 145145145145 इकाइयाँ है।
11.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 01
रेखाओं 3𝑥+𝑦=13x+y=1 और 𝑥+3𝑦=1x+3y=1 के बीच का कोण ज्ञात करें।
समाधान
दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हमें पहले उनकी ढलानें ज्ञात करनी होंगी। रेखा का सामान्य रूप 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0Ax+By+C=0 होता है, और रेखा की ढलान 𝑚m −𝐴𝐵−BA होती है।
1. रेखाओं की ढलानें ज्ञात करें:
  पहली रेखा 3𝑥+𝑦=13x+y=1 के लिए: ढलान (𝑚1)=−31=−3ढलान (m1)=−13=−3
  दूसरी रेखा 𝑥+3𝑦=1x+3y=1 के लिए: ढलान (𝑚2)=−13=−13ढलान (m2)=−31=−31
2. दो रेखाओं के बीच के कोण 𝜃θ के लिए सूत्र का उपयोग करें: tan⁡𝜃=∣𝑚1−𝑚21+𝑚1𝑚2∣tanθ=∣∣1+m1m2m1−m2∣∣
  ढलानों 𝑚1m1 और 𝑚2m2 को प्रतिस्थापित करें: tan⁡𝜃=∣−3−(−13)1+(−3)(−13)∣tanθ=∣∣1+(−3)(−31)−3−(−31)∣∣ tan⁡𝜃=∣−3+131+1∣tanθ=∣∣1+1−3+31∣∣ tan⁡𝜃=∣−3+132∣tanθ=∣∣2−3+31∣∣ tan⁡𝜃=∣−3/3+1/32∣tanθ=∣∣2−3/3+1/3∣∣ tan⁡𝜃=∣−2/32∣tanθ=∣∣2−2/3∣∣ tan⁡𝜃=∣−13∣tanθ=∣∣3−1∣∣ tan⁡𝜃=13tanθ=31
3. कोण ज्ञात करें: 𝜃=tan⁡−1(13)θ=tan−1(31) 𝜃=30∘θ=30∘
इस प्रकार, रेखाओं 3𝑥+𝑦=13x+y=1 और 𝑥+3𝑦=1x+3y=1 के बीच का कोण 30∘30∘ है।
प्रश्न 02
बिंदुओं (ℎ,3)(h,3) और (4,1)(4,1) से गुजरने वाली रेखा रेखा 7𝑥−9𝑦−19=07x−9y−19=0 को समकोण पर काटती है। ℎh का मान ज्ञात करें।
समाधान
ℎh का मान ज्ञात करने के लिए, हमें बिंदुओं (ℎ,3)(h,3) और (4,1)(4,1) से गुजरने वाली रेखा की ढलान ज्ञात करनी होगी और फिर समकोण वाली शर्त का उपयोग करना होगा।
1. बिंदुओं (ℎ,3)(h,3) और (4,1)(4,1) से गुजरने वाली रेखा की ढलान ज्ञात करें: ढलान 𝑚1=1−34−ℎ=−24−ℎढलान m1=4−h1−3=4−h−2
2. दी गई रेखा 7𝑥−9𝑦−19=07x−9y−19=0 की ढलान ज्ञात करें: इसे ढलान-अवरोध रूप में बदलें: 7𝑥−9𝑦=197x−9y=19 −9𝑦=−7𝑥+19−9y=−7x+19 𝑦=79𝑥−199y=97x−919 ढलान 𝑚2=79ढलान m2=97
3. समकोण वाली शर्त का उपयोग करें: दो समकोण रेखाओं की ढलानों का गुणनफल −1−1 होता है: 𝑚1⋅𝑚2=−1m1⋅m2=−1 ढलानों 𝑚1m1 और 𝑚2m2 को प्रतिस्थापित करें: (−24−ℎ)⋅(79)=−1(4−h−2)⋅(97)=−1 −149(4−ℎ)=−19(4−h)−14=−1
4. ℎh के लिए हल करें: −149(4−ℎ)=−19(4−h)−14=−1 149(4−ℎ)=19(4−h)14=1 14=9(4−ℎ)14=9(4−h) 14=36−9ℎ14=36−9h 9ℎ=36−149h=36−14 9ℎ=229h=22 ℎ=229h=922
इस प्रकार, ℎh का मान 229922 है।
12.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1
मूलबिंदु से रेखा 𝑦=𝑚𝑥+𝑐y=mx+c पर खींची गई लंबवत रेखा उसे बिंदु (−1,2)(−1,2) पर काटती है। 𝑚m और 𝑐c के मान ज्ञात करें।
समाधान
1. रेखा का समीकरण: दिया गया समीकरण 𝑦=𝑚𝑥+𝑐y=mx+c है।
2. प्रतिच्छेद बिंदु: मूलबिंदु (0, 0) से खींची गई लंबवत रेखा रेखा को बिंदु (−1,2)(−1,2) पर काटती है।
3. लंबवत रेखा की ढलान: दी गई रेखा की ढलान 𝑚m है, तो लंबवत रेखा की ढलान −1𝑚−m1 होगी।
4. लंबवत रेखा का समीकरण: मूलबिंदु से होकर गुजरने वाली और ढलान −1𝑚−m1 वाली रेखा का समीकरण: 𝑦=−1𝑚𝑥y=−m1x
5. प्रतिच्छेद बिंदु: बिंदु (−1,2)(−1,2) दोनों रेखाओं पर स्थित है। अत: 2=𝑚(−1)+𝑐2=m(−1)+c 2=−𝑚+𝑐2=−m+c 𝑐=2+𝑚c=2+m
  और, लंबवत रेखा के समीकरण में (−1,2)(−1,2) को प्रतिस्थापित करते हैं: 2=−1𝑚(−1)2=−m1(−1) 2=1𝑚2=m1 𝑚=12m=21
6. 𝑐c का मान ज्ञात करें: 𝑚=12m=21 को 𝑐=2+𝑚c=2+m में प्रतिस्थापित करें: 𝑐=2+12c=2+21 𝑐=2.5c=2.5
तो, 𝑚=12m=21 और 𝑐=2.5c=2.5 हैं।
प्रश्न 2
यदि 𝑝p और 𝑞q मूलबिंदु से रेखाओं 𝑥cos⁡𝜃−𝑦sin⁡𝜃=𝑘cos⁡2𝜃xcosθ−ysinθ=kcos2θ और 𝑥sec⁡𝜃+𝑦csc⁡𝜃=𝑘xsecθ+ycscθ=k तक खींची गई लंबवत रेखाओं की लंबाई हैं, तो सिद्ध करें कि 𝑝2+4𝑞2=𝑘2p2+4q2=k2।
समाधान
1. मूलबिंदु से रेखा 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0Ax+By+C=0 तक लंबवत दूरी: लंबाई=∣𝐶∣𝐴2+𝐵2लंबाई=A2+B2∣C∣
2. पहली रेखा के लिए 𝑥cos⁡𝜃−𝑦sin⁡𝜃=𝑘cos⁡2𝜃xcosθ−ysinθ=kcos2θ:
  - यहाँ, 𝐴=cos⁡𝜃A=cosθ, 𝐵=−sin⁡𝜃B=−sinθ, 𝐶=−𝑘cos⁡2𝜃C=−kcos2θ।
  - लंबाई 𝑝p: 𝑝=∣−𝑘cos⁡2𝜃∣(cos⁡𝜃)2+(−sin⁡𝜃)2p=(cosθ)2+(−sinθ)2∣−kcos2θ∣ 𝑝=𝑘cos⁡2𝜃cos⁡2𝜃+sin⁡2𝜃p=cos2θ+sin2θkcos2θ 𝑝=𝑘cos⁡2𝜃p=kcos2θ
3. दूसरी रेखा के लिए 𝑥sec⁡𝜃+𝑦csc⁡𝜃=𝑘xsecθ+ycscθ=k:
  - यहाँ, 𝐴=sec⁡𝜃A=secθ, 𝐵=csc⁡𝜃B=cscθ, 𝐶=−𝑘C=−k।
  - लंबाई 𝑞q: 𝑞=∣−𝑘∣(sec⁡𝜃)2+(csc⁡𝜃)2q=(secθ)2+(cscθ)2∣−k∣ 𝑞=𝑘sec⁡2𝜃+csc⁡2𝜃q=sec2θ+csc2θk sec⁡2𝜃=1+tan⁡2𝜃sec2θ=1+tan2θ csc⁡2𝜃=1+cot⁡2𝜃csc2θ=1+cot2θ 𝑞=𝑘1+tan⁡2𝜃+1+cot⁡2𝜃q=1+tan2θ+1+cot2θk 𝑞=𝑘2+tan⁡2𝜃+cot⁡2𝜃q=2+tan2θ+cot2θk
4. सिद्ध करें कि 𝑝2+4𝑞2=𝑘2p2+4q2=k2: 𝑝=𝑘cos⁡2𝜃p=kcos2θ 𝑞=𝑘2+tan⁡2𝜃+cot⁡2𝜃q=2+tan2θ+cot2θk
  - हम जानते हैं कि cos⁡2𝜃=cos⁡2𝜃−sin⁡2𝜃cos2θ=cos2θ−sin2θ।
प्रश्न 3
त्रिभुज ABC में जिसमें शीर्ष A(2, 3), B(4, -1), और C(1, 2) हैं, रेखा BC का समीकरण और लंबाई ज्ञात करें और शीर्ष A से खींची गई ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण ज्ञात करें।
समाधान
1. रेखा BC का समीकरण: रेखा BC की ढलान=2+11−4=3−3=−1रेखा BC की ढलान=1−42+1=−33=−1 रेखा BC का समीकरण=𝑦−(−1)=−1(𝑥−4)रेखा BC का समीकरण=y−(−1)=−1(x−4) 𝑦+1=−𝑥+4y+1=−x+4 𝑥+𝑦=3x+y=3
2. शीर्ष A से खींची गई ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण:
  - रेखा BC की ढलान का ऋणात्मक प्रतिलोम: 1 𝑦−3=1(𝑥−2)y−3=1(x−2) 𝑦−3=𝑥−2y−3=x−2 𝑦=𝑥+1y=x+1
3. ऊर्ध्वाधर रेखा की लंबाई: लंबाई=∣2⋅1+3⋅1−3∣12+12लंबाई=12+12∣2⋅1+3⋅1−3∣ =∣2+3−3∣2=2∣2+3−3∣ =22=2=22=2
प्रश्न 4
यदि 𝑝p वह लंबाई है जो मूलबिंदु से उस रेखा तक लंबवत है, जिसके अवरोध अक्षों पर 𝑎a और 𝑏b हैं, तो सिद्ध करें कि 1𝑝2=1𝑎2+1𝑏2p21=a21+b21।
समाधान
1. अवरोध रूप में रेखा का समीकरण: 𝑥𝑎+𝑦𝑏=1ax+by=1
  - इसे मानक रूप में पुनर्लेखन करें: 𝑏𝑥+𝑎𝑦=𝑎𝑏bx+ay=ab।
2. मूलबिंदु से रेखा तक लंबवत दूरी: 𝑝=∣𝑎𝑏∣𝑎2+𝑏2p=a2+b2∣ab∣
3. दोनों पक्षों को वर्ग करें: 𝑝2=𝑎2𝑏2𝑎2+𝑏2p2=a2+b2a2b2 1𝑝2=𝑎2+𝑏2𝑎2𝑏2p21=a2b2a2+b2 1𝑝2=𝑎2𝑎2𝑏2+𝑏2𝑎2𝑏2p21=a2b2a2+a2b2b2 1𝑝2=1𝑏2+1𝑎2p21=b21+a21
इस प्रकार, 1𝑝2=1𝑎2+1𝑏2p21=a21+b21 सिद्ध होता है।

रेखाएँ — कक्षा 11 गणित नोट्स

रेखाएँ में शामिल टॉपिक

1.सीधी रेखाओं का परिचय

रेखा का समीकरण

ढलान-अवरोध रूप

ढलान निकालना

वास्तविक जीवन उदाहरण

ढलान-अवरोध रूप की चरण-दर-चरण व्युत्पत्ति

गतिविधि

करियर में अनुप्रयोग

सारांश

2.महत्वपूर्ण सूत्र

सूत्र:-

1. रेखा की ढलान

2. ढलान-अवरोध रूप

3. बिंदु-ढलान रूप

4. दो-बिंदु रूप

5. अवरोध रूप

6. सामान्य रूप

7. रेखा से बिंदु की दूरी

8. दो रेखाओं के बीच का कोण

9. समानांतर रेखाओं की स्थिति

10. लंबवत रेखाओं की स्थिति

3.रेखा की ढलान और उसकी परिभाषा

परिभाषा

रेखा की ढलान जब रेखा पर किसी भी दो बिंदुओं के निर्देशांक दिए जाते हैं

उदाहरण

ढलानों के संदर्भ में रेखाओं के समानांतरता और लंबवतता की शर्तें

समानांतर रेखाएँ

उदाहरण

लंबवत रेखाएँ

उदाहरण

दो रेखाओं के बीच का कोण

उदाहरण

वास्तविक जीवन उदाहरण

सारांश

4.अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1

चरण-दर-चरण समाधान

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- प्रश्न 2

चरण-दर-चरण समाधान

5.अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 01

समाधान

प्रश्न 02

समाधान

प्रश्न 03

समाधान

6.अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 01

समाधान

प्रश्न 02

समाधान

प्रश्न 03

समाधान

प्रश्न 04

समाधान

7.रेखा के समीकरण के विभिन्न रूप

1. क्षैतिज और लंबवत रेखाएँ

क्षैतिज रेखा

उदाहरण

लंबवत रेखा

उदाहरण

2. बिंदु-ढलान रूप

उदाहरण

3. दो-बिंदु रूप

उदाहरण

4. ढलान-अवरोध रूप

उदाहरण

5. अवरोध रूप

उदाहरण

8.रेखा से बिंदु की दूरी

उदाहरण

चित्र का ज्यामितीय व्याख्या

9.दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी

उदाहरण

चित्र का दृश्यात्मक व्याख्या

10.अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1

समाधान