क्रमचय और संचय — कक्षा 11 गणित नोट्स

क्रमचय और संचय · कक्षा 11 गणित · 9 टॉपिक.

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क्रमचय और संचय में शामिल टॉपिक

1.परिचय - क्रमचय और संचय
क्रमचय और संचय गणित के मौलिक सिद्धांत हैं, विशेष रूप से संयोजकता (combinatorics) के क्षेत्र में। इन सिद्धांतों का उपयोग यह गिनने के लिए किया जाता है कि वस्तुओं के सेट को कितने तरीकों से व्यवस्थित या चयनित किया जा सकता है। इनका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे गणित, कंप्यूटर विज्ञान, सांख्यिकी, और दैनिक जीवन की स्थितियों में।
क्रमचय (Permutations)
क्रमचय उन विभिन्न तरीकों को संदर्भित करता है जिनमें वस्तुओं के सेट को व्यवस्थित किया जा सकता है। क्रमचय में वस्तुओं का क्रम महत्वपूर्ण होता है।
क्रमचय का सूत्र: यदि हमारे पास 𝑛n वस्तुएं हैं और हमें उनमें से 𝑟r को व्यवस्थित करना है, तो क्रमचय की संख्या निम्नलिखित होती है:
𝑃(𝑛,𝑟)=𝑛!(𝑛−𝑟)!P(n,r)=(n−r)!n!
यहां, 𝑛!n! (n फैक्टोरियल) सभी धनात्मक पूर्णांकों का उत्पाद है जो 𝑛n तक हैं।
उदाहरण: मान लें कि आपके पास 3 पुस्तकें हैं और आप उनमें से 2 को एक शेल्फ पर रखना चाहते हैं। आप इसे कितने तरीकों से कर सकते हैं?
𝑃(3,2)=3!(3−2)!=3!1!=3×2×11=6P(3,2)=(3−2)!3!=1!3!=13×2×1=6
तो, 3 पुस्तकों में से 2 को व्यवस्थित करने के 6 विभिन्न तरीके हैं।
संचय (Combinations)
संचय उन विभिन्न तरीकों को संदर्भित करता है जिनमें वस्तुओं के सेट को चयनित किया जा सकता है, जहां क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता है।
संचय का सूत्र: यदि हमारे पास 𝑛n वस्तुएं हैं और हमें उनमें से 𝑟r को चयनित करना है, तो संचय की संख्या निम्नलिखित होती है:
𝐶(𝑛,𝑟)=𝑛!𝑟!(𝑛−𝑟)!C(n,r)=r!(n−r)!n!
उदाहरण: मान लें कि आपके पास 3 पुस्तकें हैं और आप उनमें से 2 को चयनित करना चाहते हैं। आप इसे कितने तरीकों से कर सकते हैं?
𝐶(3,2)=3!2!(3−2)!=3!2!⋅1!=3×2×12×1×1=3C(3,2)=2!(3−2)!3!=2!⋅1!3!=2×1×13×2×1=3
तो, 3 पुस्तकों में से 2 को चयनित करने के 3 विभिन्न तरीके हैं।
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
1. बैठने की व्यवस्था: क्रमचय का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि लोगों को पंक्ति में कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है।
2. लॉटरी टिकट: संचय का उपयोग सही संख्याएं चयनित करने से जीतने की संभावनाओं की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
3. पासवर्ड जनरेशन: क्रमचय से यह समझने में मदद मिलती है कि वर्णों के सेट से कितने संभावित पासवर्ड बनाए जा सकते हैं।
चरण-दर-चरण उदाहरण
आइए एक व्यावहारिक समस्या पर विचार करें:
समस्या: आपके पास 4 अलग-अलग फल हैं: सेब, केला, चेरी और खजूर। आप इन 4 में से 2 फलों का चयन कितने तरीकों से कर सकते हैं?
समाधान:
1. कुल वस्तुओं की संख्या (𝑛n) और चयनित वस्तुओं की संख्या (𝑟r) की पहचान करें।
  - 𝑛=4n=4
  - 𝑟=2r=2
2. संचय का सूत्र उपयोग करें: 𝐶(4,2)=4!2!(4−2)!=4×3×2×12×1×2×1=244=6C(4,2)=2!(4−2)!4!=2×1×2×14×3×2×1=424=6
तो, 4 में से 2 फलों का चयन करने के 6 तरीके हैं।
2.मौलिक गणना सिद्धांत
अवलोकन
मौलिक गणना सिद्धांत संयोजकता (combinatorics) में एक बुनियादी नियम है जो हमें यह निर्धारित करने में मदद करता है कि घटनाओं की अनुक्रम किस प्रकार से घटित हो सकती है। यह क्रमचय और संचय जैसे अधिक जटिल अवधारणाओं को समझने की नींव है। इस सिद्धांत को गुणन सिद्धांत (Multiplication Principle) भी कहा जाता है।
परिभाषा
मौलिक गणना सिद्धांत कहता है कि यदि एक कार्य को करने के 𝑚m तरीके हैं और दूसरे कार्य को करने के 𝑛n तरीके हैं, तो दोनों कार्यों को मिलकर करने के 𝑚×𝑛m×n तरीके होंगे।
सरल उदाहरण
मान लें कि आपके पास 2 शर्ट (नीली और लाल) और 3 पैंट (काली, सफेद, और ग्रे) हैं। आप एक शर्ट के साथ एक पैंट को कितने विभिन्न तरीकों से जोड़ सकते हैं?
- शर्ट चुनने के तरीके: 2 (नीली या लाल)
- पैंट चुनने के तरीके: 3 (काली, सफेद, या ग्रे)
मौलिक गणना सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
कुल पोशाकें=2×3=6कुल पोशाकें=2×3=6
तो, आप 6 विभिन्न पोशाकें बना सकते हैं।
विस्तृत उदाहरण
आइए इस सिद्धांत को बेहतर ढंग से समझने के लिए एक विस्तृत उदाहरण पर विचार करें।
उदाहरण: एक रेस्तरां 3 प्रकार के ऐपेटाइज़र, 4 प्रकार के मुख्य भोजन, और 2 प्रकार के मिठाइयाँ प्रदान करता है। आप प्रत्येक श्रेणी से एक आइटम चुनकर कितने विभिन्न भोजन बना सकते हैं?
1. ऐपेटाइज़र:
  - विकल्प: 3 (जैसे सलाद, सूप, ब्रेडस्टिक्स)
2. मुख्य भोजन:
  - विकल्प: 4 (जैसे पास्ता, बर्गर, पिज्जा, सैंडविच)
3. मिठाइयाँ:
  - विकल्प: 2 (जैसे आइसक्रीम, केक)
मौलिक गणना सिद्धांत का उपयोग करते हुए, कुल विभिन्न भोजन की संख्या इस प्रकार है:
कुल भोजन=3×4×2=24कुल भोजन=3×4×2=24
इसलिए, आप 24 विभिन्न भोजन बना सकते हैं प्रत्येक श्रेणी से एक आइटम चुनकर।
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
1. यात्रा योजनाएँ: यदि आपके पास उड़ान मार्गों के 2 विकल्प, होटलों के 3 विकल्प, और कार किराए पर लेने के 2 विकल्प हैं, तो आप कुल विभिन्न यात्रा योजनाओं की गणना कर सकते हैं।
2. पासवर्ड जनरेशन: यदि एक पासवर्ड में 3 वर्ण होने चाहिए और प्रत्येक वर्ण एक अक्षर (26 विकल्प) या एक अंक (10 विकल्प) हो सकता है, तो आप संभव पासवर्डों की संख्या निर्धारित कर सकते हैं।
3. मेनू संयोजन: रेस्तरां इस सिद्धांत का उपयोग यह गणना करने के लिए कर सकते हैं कि वे कितने संभावित भोजन संयोजन प्रदान कर सकते हैं।
चरण-दर-चरण समस्या
समस्या: आप एक पार्टी की योजना बना रहे हैं और आपको थीम, संगीत, और सजावट का चयन करना है। आपके पास 3 थीम हैं (बीच, जंगल, कार्निवल), 2 प्रकार के संगीत (पॉप, शास्त्रीय), और 4 प्रकार की सजावट (गुब्बारे, स्ट्रीमर, लाइट्स, बैनर) हैं। आप कितने विभिन्न संयोजन बना सकते हैं?
समाधान:
1. थीम:
  - विकल्प: 3 (बीच, जंगल, कार्निवल)
2. संगीत:
  - विकल्प: 2 (पॉप, शास्त्रीय)
3. सजावट:
  - विकल्प: 4 (गुब्बारे, स्ट्रीमर, लाइट्स, बैनर)
मौलिक गणना सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
कुल संयोजन=3×2×4=24कुल संयोजन=3×2×4=24
तो, आप इन विकल्पों के साथ पार्टी की योजना बनाने के 24 विभिन्न तरीके हैं।
3.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1:
1, 2, 3, 4 और 5 अंकों से कितने 3-अंकीय संख्याएं बनाई जा सकती हैं यदि यह माना जाए कि (i) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है? (ii) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?
समाधान:
(i) पुनरावृत्ति की अनुमति:
एक 3-अंकीय संख्या के लिए, प्रत्येक अंक दिए गए 5 अंकों में से कोई भी हो सकता है।
- पहला अंक: 5 विकल्प (1, 2, 3, 4, 5)
- दूसरा अंक: 5 विकल्प
- तीसरा अंक: 5 विकल्प
इस प्रकार, कुल 3-अंकीय संख्याओं की संख्या: 5×5×5=1255×5×5=125
(ii) पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं:
एक 3-अंकीय संख्या के लिए जिसमें कोई पुनरावृत्ति नहीं है:
- पहला अंक: 5 विकल्प
- दूसरा अंक: 4 विकल्प (क्योंकि एक अंक पहले ही उपयोग हो चुका है)
- तीसरा अंक: 3 विकल्प
इस प्रकार, कुल 3-अंकीय संख्याओं की संख्या: 5×4×3=605×4×3=60
प्रश्न 2:
1, 2, 3, 4, 5, 6 अंकों से कितनी 3-अंकीय सम संख्याएं बनाई जा सकती हैं यदि अंकों को दोहराया जा सकता है?
समाधान:
संख्या को सम होने के लिए, अंतिम अंक सम अंक (2, 4, 6) में से एक होना चाहिए।
- अंतिम अंक: 3 विकल्प (2, 4, 6)
- पहला अंक: 6 विकल्प (क्योंकि अंक दोहराए जा सकते हैं)
- दूसरा अंक: 6 विकल्प
इस प्रकार, कुल 3-अंकीय सम संख्याओं की संख्या: 6×6×3=1086×6×3=108
प्रश्न 3:
पहले 10 अंग्रेजी वर्णमाला अक्षरों का उपयोग करके कितने 4-अक्षर कोड बनाए जा सकते हैं, यदि कोई अक्षर पुनरावृत्त नहीं हो सकता?
समाधान:
हमें 10 में से 4 अक्षरों को पुनरावृत्ति के बिना चुनना है:
- पहला अक्षर: 10 विकल्प
- दूसरा अक्षर: 9 विकल्प
- तीसरा अक्षर: 8 विकल्प
- चौथा अक्षर: 7 विकल्प
इस प्रकार, कुल 4-अक्षर कोड की संख्या: 10×9×8×7=504010×9×8×7=5040
प्रश्न 4:
0 से 9 अंकों का उपयोग करके कितने 5-अंकीय टेलीफोन नंबर बनाए जा सकते हैं यदि प्रत्येक संख्या 67 से शुरू होती है और कोई अंक एक से अधिक बार प्रकट नहीं होता?
समाधान:
पहले दो अंक 67 निश्चित हैं। हमें 0 से 9 तक के अंकों में से 3 अंक और चुनने हैं, 6 और 7 को छोड़कर।
- शेष अंक: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9 (8 अंक बचे)
- तीसरा अंक: 8 विकल्प
- चौथा अंक: 7 विकल्प
- पांचवां अंक: 6 विकल्प
इस प्रकार, कुल टेलीफोन नंबरों की संख्या: 1×1×8×7×6=3361×1×8×7×6=336
प्रश्न 5:
एक सिक्का 3 बार उछाला जाता है और परिणाम दर्ज किए जाते हैं। कितने संभावित परिणाम हैं?
समाधान:
प्रत्येक उछाल के 2 संभावित परिणाम होते हैं (हेड्स या टेल्स)।
- पहला उछाल: 2 विकल्प
- दूसरा उछाल: 2 विकल्प
- तीसरा उछाल: 2 विकल्प
इस प्रकार, कुल संभावित परिणामों की संख्या: 2×2×2=82×2×2=8
प्रश्न 6:
5 विभिन्न रंगों के झंडों को दिया गया है, कितने अलग-अलग संकेत उत्पन्न किए जा सकते हैं यदि प्रत्येक संकेत के लिए 2 झंडों का उपयोग आवश्यक है, एक दूसरे के नीचे?
समाधान:
हमें 5 में से 2 झंडों को चुनना और व्यवस्थित करना है।
- पहला झंडा: 5 विकल्प
- दूसरा झंडा: 4 विकल्प
इस प्रकार, कुल विभिन्न संकेतों की संख्या: 5×4=205×4=20
4.क्रमचय
परिभाषा
क्रमचय एक दिए गए सेट की वस्तुओं की विभिन्न व्यवस्थाओं को संदर्भित करता है जहाँ क्रम महत्वपूर्ण होता है। उदाहरण के लिए, सेट {1,2,3}{1,2,3} के क्रमचय में {1,2,3}{1,2,3}, {1,3,2}{1,3,2}, {2,1,3}{2,1,3}, आदि शामिल हैं। क्रमचय की मुख्य विशेषता यह है कि वस्तुओं का क्रम बदलने से एक अलग क्रमचय बनता है।
प्रमेय और सूत्र
यदि आपके पास 𝑛n भिन्न वस्तुएँ हैं और आप उनमें से 𝑟r को व्यवस्थित करना चाहते हैं, तो क्रमचयों की संख्या निम्न सूत्र से दी जाती है:
𝑃(𝑛,𝑟)=𝑛!(𝑛−𝑟)!P(n,r)=(n−r)!n!
यहाँ, 𝑛!n! (n फैक्टोरियल) सभी धनात्मक पूर्णांकों का उत्पाद है जो 𝑛n तक हैं। उदाहरण के लिए, 5!=5×4×3×2×1=1205!=5×4×3×2×1=120।
क्रमचय प्रमेय
प्रमेय: 𝑛n भिन्न वस्तुओं के 𝑟r समय पर लिए गए क्रमचयों की संख्या निम्न सूत्र से दी जाती है:
𝑃(𝑛,𝑟)=𝑛!(𝑛−𝑟)!P(n,r)=(n−r)!n!
यह सूत्र 𝑛n में से 𝑟r वस्तुओं के चयन और उन्हें क्रम में व्यवस्थित करने के लिए है।
उदाहरण
आइए एक उदाहरण के माध्यम से समझते हैं कि क्रमचय सूत्र कैसे लागू होता है।
उदाहरण: 5 पुस्तकों में से 3 को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?
1. मानों की पहचान करें:
  - 𝑛=5n=5 (कुल पुस्तकें)
  - 𝑟=3r=3 (व्यवस्थित करने के लिए पुस्तकें)
2. सूत्र का उपयोग करें: 𝑃(5,3)=5!(5−3)!=5!2!=5×4×3×2×12×1=1202=60P(5,3)=(5−3)!5!=2!5!=2×15×4×3×2×1=2120=60
इस प्रकार, 5 पुस्तकों में से 3 को व्यवस्थित करने के 60 अलग-अलग तरीके हैं।
विस्तृत व्याख्या
आइए समझते हैं कि यह सूत्र कैसे काम करता है।
1. पहली स्थिति: पहली स्थिति के लिए आपके पास 𝑛n विकल्प होते हैं क्योंकि आप 𝑛n वस्तुओं में से किसी भी एक को चुन सकते हैं।
2. दूसरी स्थिति: पहली वस्तु चुनने के बाद, दूसरी स्थिति के लिए आपके पास 𝑛−1n−1 विकल्प बचते हैं।
3. तीसरी स्थिति: पहली और दूसरी वस्तु चुनने के बाद, तीसरी स्थिति के लिए आपके पास 𝑛−2n−2 विकल्प बचते हैं।
यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक आप सभी 𝑟r स्थितियों को भर नहीं लेते। इसे गणितीय रूप से निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
𝑛×(𝑛−1)×(𝑛−2)×…×(𝑛−𝑟+1)n×(n−1)×(n−2)×…×(n−r+1)
इस उत्पाद को फैक्टोरियल संकेतन का उपयोग करके सरल किया जा सकता है, जिससे निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:
𝑃(𝑛,𝑟)=𝑛!(𝑛−𝑟)!P(n,r)=(n−r)!n!
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
क्रमचय का उपयोग कई वास्तविक जीवन की स्थितियों में किया जाता है, जैसे:
1. बैठने की व्यवस्था: लोगों को पंक्ति में बैठाने के तरीकों की संख्या निर्धारित करना।
2. पासवर्ड जनरेशन: वर्णों के सेट से संभावित पासवर्डों की संख्या की गणना करना।
3. अनुसूची बनाना: घटनाओं या कार्यों को शेड्यूल करने के तरीकों की संख्या खोजना।
चरण-दर-चरण समस्या
समस्या: 1, 2, 3, 4, 5 अंकों से कितनी 4-अंकीय संख्याएं बनाई जा सकती हैं यदि कोई अंक पुनरावृत्त नहीं हो सकता?
समाधान:
1. मानों की पहचान करें:
  - 𝑛=5n=5
  - 𝑟=4r=4
2. सूत्र का उपयोग करें: 𝑃(5,4)=5!(5−4)!=5!1!=5!=5×4×3×2×1=120P(5,4)=(5−4)!5!=1!5!=5!=5×4×3×2×1=120
इस प्रकार, 1, 2, 3, 4, 5 अंकों से 120 अलग-अलग 4-अंकीय संख्याएं बनाई जा सकती हैं जिनमें कोई पुनरावृत्ति नहीं है।
5.भिन्न वस्तुओं का क्रमचय
परिभाषा
भिन्न वस्तुओं के क्रमचय में, हम सभी या कुछ वस्तुओं को एक विशेष क्रम में व्यवस्थित कर रहे हैं। यदि हमारे पास 𝑛n भिन्न वस्तुओं का एक सेट है और हम इनमें से 𝑟r वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या जानना चाहते हैं, तो हम क्रमचय का उपयोग करते हैं।
फैक्टोरियल संकेतन
फैक्टोरियल संकेतन एक संक्षिप्त तरीका है जिससे किसी दिए गए संख्या तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों के उत्पाद को दर्शाया जाता है। इसे विस्मयादिबोधक चिह्न (!) द्वारा दर्शाया जाता है।
परिभाषा: 𝑛!=𝑛×(𝑛−1)×(𝑛−2)×…×1n!=n×(n−1)×(n−2)×…×1
उदाहरण के लिए:
- 5!=5×4×3×2×1=1205!=5×4×3×2×1=120
- 3!=3×2×1=63!=3×2×1=6
- परिभाषा के अनुसार, 0!=10!=1
𝑛𝑃𝑟nPr सूत्र का व्युत्पत्ति
भिन्न वस्तुओं में से 𝑟r वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या (𝑛𝑃𝑟nPr) निकालने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
1. पहली स्थिति: पहली स्थिति के लिए आपके पास 𝑛n विकल्प होते हैं क्योंकि आप 𝑛n वस्तुओं में से किसी भी एक को चुन सकते हैं।
2. दूसरी स्थिति: पहली वस्तु चुनने के बाद, दूसरी स्थिति के लिए आपके पास 𝑛−1n−1 विकल्प बचते हैं।
3. तीसरी स्थिति: पहली और दूसरी वस्तु चुनने के बाद, तीसरी स्थिति के लिए आपके पास 𝑛−2n−2 विकल्प बचते हैं।
यह पैटर्न तब तक जारी रहता है जब तक आप 𝑟r वस्तुओं को व्यवस्थित नहीं कर लेते।
गणितीय रूप से, इसे निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है: 𝑛×(𝑛−1)×(𝑛−2)×…×(𝑛−𝑟+1)n×(n−1)×(n−2)×…×(n−r+1)
इस उत्पाद को फैक्टोरियल संकेतन का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, ध्यान दें कि उपरोक्त उत्पाद 𝑛!n! के पहले 𝑟r पदों का प्रतिनिधित्व करता है, और शेष पद (𝑛−𝑟)!(n−r)! के फैक्टोरियल हैं।
𝑛𝑃𝑟=𝑛×(𝑛−1)×(𝑛−2)×…×(𝑛−𝑟+1)nPr=n×(n−1)×(n−2)×…×(n−r+1) 𝑛𝑃𝑟=𝑛!(𝑛−𝑟)!nPr=(n−r)!n!
यहाँ, 𝑛!n! 𝑛n का फैक्टोरियल है और (𝑛−𝑟)!(n−r)! 𝑛−𝑟n−r का फैक्टोरियल है, जो 𝑛!n! के पहले 𝑟r पदों के बाद के पदों को रद्द कर देता है।
उदाहरण
इस सूत्र का एक उदाहरण में उपयोग करते हैं:
उदाहरण: 5 भिन्न पुस्तकों में से 3 को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
1. मानों की पहचान करें:
  - 𝑛=5n=5 (कुल पुस्तकें)
  - 𝑟=3r=3 (व्यवस्थित करने के लिए पुस्तकें)
2. सूत्र का उपयोग करें: 𝑃(5,3)=5!(5−3)!=5!2!=5×4×3×2×12×1=1202=60P(5,3)=(5−3)!5!=2!5!=2×15×4×3×2×1=2120=60
इस प्रकार, 5 पुस्तकों में से 3 को व्यवस्थित करने के 60 विभिन्न तरीके हैं।
6.पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ क्रमचय
प्रमेय 2
प्रमेय: 𝑛n भिन्न वस्तुओं में से 𝑟r वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ पुनरावृत्ति की अनुमति है, निम्नलिखित होती है:
𝑛𝑟nr
व्याख्या
जब पुनरावृत्ति की अनुमति होती है, प्रत्येक 𝑟r स्थानों को 𝑛n वस्तुओं में से किसी से भी भरा जा सकता है। इस प्रकार, प्रत्येक स्थान के लिए 𝑛n विकल्प होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप कुल 𝑛𝑟nr क्रमचय होते हैं।
उदाहरण
उदाहरण: 1, 2, 3, 4, 5 अंकों का उपयोग करके कितनी 3-अंकीय संख्याएं बनाई जा सकती हैं यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है?
1. मानों की पहचान करें:
  - 𝑛=5n=5 (कुल अंक)
  - 𝑟=3r=3 (व्यवस्थित करने के लिए अंक)
2. सूत्र का उपयोग करें: 53=5×5×5=12553=5×5×5=125
इस प्रकार, 1, 2, 3, 4, 5 अंकों का उपयोग करके पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ 125 विभिन्न 3-अंकीय संख्याएं बनाई जा सकती हैं।
सभी वस्तुओं के भिन्न न होने पर क्रमचय
जब वस्तुएं भिन्न नहीं होतीं, अर्थात कुछ वस्तुएं दोहराई जाती हैं, तो क्रमचयों के लिए सूत्र को इन पुनरावृत्तियों के लिए समायोजित करना होता है ताकि अतिगणना से बचा जा सके।
सूत्र
यदि हमारे पास 𝑛n वस्तुओं का एक सेट है, जहाँ 𝑛1n1 वस्तुएं एक प्रकार की हैं, 𝑛2n2 वस्तुएं दूसरे प्रकार की हैं, और इसी प्रकार आगे, तो क्रमचयों की संख्या निम्नलिखित होती है:
𝑛!𝑛1!×𝑛2!×…×𝑛𝑘!n1!×n2!×…×nk!n!
जहाँ 𝑛1+𝑛2+…+𝑛𝑘=𝑛n1+n2+…+nk=n।
व्याख्या
यह सूत्र 𝑛n वस्तुओं के कुल क्रमचयों की संख्या (जो 𝑛!n! होती है) को लेता है और फिर प्रत्येक प्रकार की वस्तुओं की गिनती के फैक्टोरियल से विभाजित करता है (𝑛1!,𝑛2!,…,𝑛𝑘!n1!,n2!,…,nk!) ताकि असमान व्यवस्थाओं की अतिगणना को ठीक किया जा सके।
उदाहरण
उदाहरण: "BALLOON" शब्द के अक्षरों से कितनी विभिन्न क्रमचय बनाई जा सकती हैं?
1. मानों की पहचान करें:
  - कुल अक्षर, 𝑛=7n=7 (B, A, L, L, O, O, N)
  - B 1 बार आता है
  - A 1 बार आता है
  - L 2 बार आता है
  - O 2 बार आता है
  - N 1 बार आता है
2. सूत्र का उपयोग करें: 7!1!×1!×2!×2!×1!=50401×1×2×2×1=50404=12601!×1!×2!×2!×1!7!=1×1×2×2×15040=45040=1260
इस प्रकार, "BALLOON" शब्द के अक्षरों के 1260 विभिन्न क्रमचय हैं।
7.प्रमेय 3
प्रमेय 3: पुनरावृत्त वस्तुओं के साथ क्रमचय
प्रमेय 3: 𝑛n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ 𝑝p वस्तुएँ एक ही प्रकार की होती हैं और बाकी सभी अलग-अलग होती हैं, निम्नलिखित होती है:
𝑛!𝑝!p!n!
व्याख्या
यह प्रमेय इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि जब कुछ वस्तुएँ समान होती हैं, तो समान वस्तुएँ आपस में 𝑝!p! तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं जो एक नई अद्वितीय क्रमचय नहीं बनाती हैं। इस प्रकार, कुल भिन्न क्रमचयों की संख्या 𝑝!p! के कारक से कम हो जाती है।
उदाहरण
उदाहरण: "LEVEL" शब्द के अक्षरों से कितनी भिन्न क्रमचय बनाई जा सकती हैं?
1. मानों की पहचान करें:
  - कुल अक्षर, 𝑛=5n=5 (L, E, V, E, L)
  - E 2 बार आता है
  - L 2 बार आता है
2. सूत्र का उपयोग करें: 5!2!×2!=1204=302!×2!5!=4120=30
इस प्रकार, "LEVEL" शब्द के अक्षरों के 30 भिन्न क्रमचय हैं।
प्रमेय 4: कई पुनरावृत्त वस्तुओं के सेट के साथ सामान्य क्रमचय
प्रमेय 4: 𝑛n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ 𝑝1p1 वस्तुएँ एक प्रकार की होती हैं, 𝑝2p2 दूसरी प्रकार की होती हैं,..., 𝑝𝑘pk 𝑘k-वे प्रकार की होती हैं, और शेष वस्तुएँ यदि कोई हों, तो भिन्न प्रकार की होती हैं, निम्नलिखित होती है:
𝑛!𝑝1!×𝑝2!×…×𝑝𝑘!p1!×p2!×…×pk!n!
व्याख्या
यह प्रमेय सामान्यीकृत करता है कि जब कई सेट की वस्तुएँ समान होती हैं, तो हमें प्रत्येक सेट की समान वस्तुओं के भीतर क्रमचयों के लिए समायोजन करना होता है। यह कुल क्रमचयों 𝑛!n! को प्रत्येक सेट के आकार के फैक्टोरियल 𝑝1!,𝑝2!,…,𝑝𝑘!p1!,p2!,…,pk! से विभाजित करके किया जाता है।
उदाहरण
उदाहरण: "MISSISSIPPI" शब्द के अक्षरों से कितनी भिन्न क्रमचय बनाई जा सकती हैं?
1. मानों की पहचान करें:
  - कुल अक्षर, 𝑛=11n=11 (M, I, S, S, I, S, S, I, P, P, I)
  - M 1 बार आता है
  - I 4 बार आता है
  - S 4 बार आता है
  - P 2 बार आता है
2. सूत्र का उपयोग करें: 11!1!×4!×4!×2!=399168001×24×24×2=399168001152=345601!×4!×4!×2!11!=1×24×24×239916800=115239916800=34560
इस प्रकार, "MISSISSIPPI" शब्द के अक्षरों के 34,560 भिन्न क्रमचय हैं।
8.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1
1 से 9 तक के अंकों का उपयोग करके, यदि कोई अंक दोहराया नहीं जाता है, तो कितनी 3-अंकीय संख्याएं बनाई जा सकती हैं?
समाधान:
- पहले अंक के लिए, हमारे पास 9 विकल्प हैं (1 से 9)।
- दूसरे अंक के लिए, हमारे पास 8 विकल्प हैं (क्योंकि एक अंक पहले ही उपयोग हो चुका है)।
- तीसरे अंक के लिए, हमारे पास 7 विकल्प हैं (क्योंकि दो अंक पहले ही उपयोग हो चुके हैं)।
इस प्रकार, कुल 3-अंकीय संख्याओं की संख्या: 9×8×7=5049×8×7=504
प्रश्न 2
कितनी 4-अंकीय संख्याएं हैं जिनमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है?
समाधान:
- पहले अंक के लिए, हमारे पास 9 विकल्प हैं (1 से 9, 0 को छोड़कर)।
- दूसरे अंक के लिए, हमारे पास 9 विकल्प हैं (0 सहित लेकिन पहले अंक को छोड़कर)।
- तीसरे अंक के लिए, हमारे पास 8 विकल्प हैं (पहले दो अंकों को छोड़कर)।
- चौथे अंक के लिए, हमारे पास 7 विकल्प हैं (पहले तीन अंकों को छोड़कर)।
इस प्रकार, कुल 4-अंकीय संख्याओं की संख्या: 9×9×8×7=45369×9×8×7=4536
प्रश्न 3
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 अंकों का उपयोग करके कितनी 3-अंकीय सम संख्याएं बनाई जा सकती हैं यदि कोई अंक दोहराया नहीं गया है?
समाधान:
- अंतिम अंक सम होना चाहिए। विकल्प हैं 2, 4, 6, 8 (4 विकल्प)।
- पहले अंक के लिए, हमारे पास 8 विकल्प हैं (क्योंकि एक अंक अंतिम अंक के लिए उपयोग हो चुका है और 0 शामिल नहीं है)।
- दूसरे अंक के लिए, हमारे पास 7 विकल्प हैं (दो अंकों को छोड़कर)।
इस प्रकार, कुल 3-अंकीय सम संख्याओं की संख्या: 4×8×7=2244×8×7=224
प्रश्न 4
1, 2, 3, 4, 5 अंकों का उपयोग करके कितनी 4-अंकीय संख्याएं बनाई जा सकती हैं यदि कोई अंक दोहराया नहीं गया है? इनमें से कितनी सम संख्याएं होंगी?
समाधान: कुल 4-अंकीय संख्याएं:
- पहला अंक: 5 विकल्प (1 से 5)
- दूसरा अंक: 4 विकल्प
- तीसरा अंक: 3 विकल्प
- चौथा अंक: 2 विकल्प
कुल 4-अंकीय संख्याएं: 5×4×3×2=1205×4×3×2=120
सम 4-अंकीय संख्याएं:
- अंतिम अंक सम होना चाहिए। विकल्प हैं 2 और 4 (2 विकल्प)।
- पहला अंक: 4 विकल्प
- दूसरा अंक: 3 विकल्प
- तीसरा अंक: 2 विकल्प
कुल सम 4-अंकीय संख्याएं: 2×4×3×2=482×4×3×2=48
प्रश्न 5
8 व्यक्तियों की एक समिति से, हम एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष का चयन कितने तरीकों से कर सकते हैं, यह मानते हुए कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद नहीं ले सकता?
समाधान:
- अध्यक्ष के पद के लिए, हमारे पास 8 विकल्प हैं।
- उपाध्यक्ष के पद के लिए, हमारे पास 7 विकल्प हैं (क्योंकि एक व्यक्ति पहले ही अध्यक्ष के रूप में चुना जा चुका है)।
कुल चयन के तरीके: 8×7=568×7=56
प्रश्न 6
यदि 𝑛−1𝑃3=6×𝑛𝑃3n−1P3=6×nP3, तो 𝑛n का मान ज्ञात करें।
समाधान: हमारे पास है: (𝑛−1)!(𝑛−4)!=6×𝑛!(𝑛−3)!(n−4)!(n−1)!=6×(n−3)!n!
सरलीकरण करें: (𝑛−1)!(𝑛−4)!=6×𝑛×(𝑛−1)!(𝑛−3)!(n−4)!(n−1)!=6×(n−3)!n×(n−1)! (𝑛−1)!(𝑛−4)!=6𝑛×(𝑛−3)(n−4)!(n−1)!=6n×(n−3) (𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)=6𝑛(𝑛−3)(n−1)(n−2)(n−3)=6n(n−3) (𝑛−1)(𝑛−2)=6𝑛(n−1)(n−2)=6n 𝑛2−3𝑛+2=6𝑛n2−3n+2=6n 𝑛2−9𝑛+2=0n2−9n+2=0
उपयोग करते हुए 𝑛=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎n=2a−b±b2−4ac जहाँ 𝑎=1a=1, 𝑏=−9b=−9, और 𝑐=2c=2: 𝑛=9±81−82n=29±81−8 𝑛=9±732n=29±73
चूंकि 𝑛n एक सकारात्मक पूर्णांक होना चाहिए, हम गैर-पूर्णांक समाधानों को अस्वीकार करते हैं।
प्रश्न 7
𝑟r ज्ञात करें यदि (i) 9𝑃𝑟=2×8𝑃𝑟9Pr=2×8Pr (ii) 9𝑃𝑟=6×9𝑃𝑟−19Pr=6×9Pr−1
समाधान: (i) 9𝑃𝑟=2×8𝑃𝑟9Pr=2×8Pr: 9!(9−𝑟)!=2×8!(8−𝑟)!(9−r)!9!=2×(8−r)!8! 9!(9−𝑟)!=2×8×8!(8−𝑟)!(9−r)!9!=2×8×(8−r)!8! 9×8!(9−𝑟)!=16×8!(8−𝑟)!(9−r)!9×8!=16×(8−r)!8! 99−𝑟=169−r9=16 9=16×(9−𝑟)9=16×(9−r) 9=144−16𝑟9=144−16r 16𝑟=13516r=135 𝑟=13516r=16135
(ii) 9𝑃𝑟=6×9𝑃𝑟−19Pr=6×9Pr−1: 9!(9−𝑟)!=6×9!(9−𝑟+1)!(9−r)!9!=6×(9−r+1)!9! (9−𝑟+1)=6(9−r+1)=6 9−𝑟+1=69−r+1=6 10−𝑟=610−r=6 𝑟=4r=4
प्रश्न 8
कितने शब्द, अर्थ के साथ या बिना, "EQUATION" शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकते हैं, प्रत्येक अक्षर का उपयोग केवल एक बार करते हुए?
समाधान: "EQUATION" में 8 भिन्न अक्षर हैं।
इस प्रकार, कुल क्रमचय की संख्या: 8!=403208!=40320
ये प्रत्येक प्रश्न के समाधान हैं।
9.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1
यदि 𝐶8=𝐶2C8=C2, तो 𝐶𝑟Cr ज्ञात करें।
समाधान:
संचय के समरूपता गुण का उपयोग करते हुए: 𝐶(𝑛,𝑟)=𝐶(𝑛,𝑛−𝑟)C(n,r)=C(n,n−r)
दिया गया है 𝐶8=𝐶2C8=C2: 𝐶(𝑛,8)=𝐶(𝑛,2)C(n,8)=C(n,2)
गुण के अनुसार: 8=𝑛−28=n−2 𝑛=10n=10
इस प्रकार, 𝐶𝑟=𝐶(10,𝑟)Cr=C(10,r)।
प्रश्न 2
𝑛n निर्धारित करें यदि (i) 2𝑛𝐶3:𝐶3=12:12nC3:C3=12:1 (ii) 2𝑛𝐶3:𝐶3=11:12nC3:C3=11:1
समाधान: (i) 2𝑛𝐶3:𝐶3=12:12nC3:C3=12:1:
2𝑛𝐶3𝐶3=12C32nC3=12 2𝑛=122n=12 𝑛=log⁡212n=log212 𝑛=3.58496n=3.58496
चूंकि 𝑛n पूर्णांक होना चाहिए, इस मामले में कोई वैध 𝑛n नहीं है।
(ii) 2𝑛𝐶3:𝐶3=11:12nC3:C3=11:1:
2𝑛𝐶3𝐶3=11C32nC3=11 2𝑛=112n=11 𝑛=log⁡211n=log211 𝑛=3.45943n=3.45943
चूंकि 𝑛n पूर्णांक होना चाहिए, इस मामले में भी कोई वैध 𝑛n नहीं है।
प्रश्न 3
एक वृत्त पर 21 बिंदुओं के माध्यम से कितनी जीवाएँ खींची जा सकती हैं?
समाधान:
वृत्त पर 𝑛n बिंदुओं के माध्यम से खींची जा सकने वाली जीवाओं की संख्या 2 बिंदुओं के संयोजन की संख्या द्वारा दी जाती है:
𝐶(𝑛,2)=𝑛(𝑛−1)2C(n,2)=2n(n−1) 𝐶(21,2)=21×202=210C(21,2)=221×20=210
इस प्रकार, 21 बिंदुओं के माध्यम से 210 जीवाएँ खींची जा सकती हैं।
प्रश्न 4
5 लड़कों और 4 लड़कियों में से 3 लड़कों और 3 लड़कियों की टीम कितने तरीकों से चुनी जा सकती है?
समाधान:
5 लड़कों में से 3 का चयन करें: 𝐶(5,3)=5!3!(5−3)!=10C(5,3)=3!(5−3)!5!=10
4 लड़कियों में से 3 का चयन करें: 𝐶(4,3)=4!3!(4−3)!=4C(4,3)=3!(4−3)!4!=4
टीम बनाने के कुल तरीके: 𝐶(5,3)×𝐶(4,3)=10×4=40C(5,3)×C(4,3)=10×4=40
इस प्रकार, 5 लड़कों और 4 लड़कियों में से 3 लड़कों और 3 लड़कियों की टीम बनाने के 40 तरीके हैं।
प्रश्न 5
6 लाल गेंदों, 5 सफेद गेंदों और 5 नीली गेंदों में से 9 गेंदों का चयन करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करें यदि प्रत्येक चयन में प्रत्येक रंग की 3 गेंदें शामिल हों।
समाधान:
6 लाल गेंदों में से 3 का चयन करें: 𝐶(6,3)=6!3!(6−3)!=20C(6,3)=3!(6−3)!6!=20
5 सफेद गेंदों में से 3 का चयन करें: 𝐶(5,3)=5!3!(5−3)!=10C(5,3)=3!(5−3)!5!=10
5 नीली गेंदों में से 3 का चयन करें: 𝐶(5,3)=5!3!(5−3)!=10C(5,3)=3!(5−3)!5!=10
9 गेंदों का चयन करने के कुल तरीके: 𝐶(6,3)×𝐶(5,3)×𝐶(5,3)=20×10×10=2000C(6,3)×C(5,3)×C(5,3)=20×10×10=2000
इस प्रकार, 3-3 गेंदों के प्रत्येक रंग के साथ 9 गेंदों का चयन करने के 2000 तरीके हैं।
प्रश्न 6
52 ताश के पत्तों के डेक में से 5 पत्तों के संयोजन की संख्या ज्ञात करें यदि प्रत्येक संयोजन में ठीक एक ऐस हो।
समाधान:
4 ऐस में से 1 ऐस का चयन करें: 𝐶(4,1)=4!1!(4−1)!=4C(4,1)=1!(4−1)!4!=4
48 गैर-ऐस पत्तों में से 4 का चयन करें: 𝐶(48,4)=48!4!(48−4)!C(48,4)=4!(48−4)!48! 𝐶(48,4)=48×47×46×454×3×2×1=194580C(48,4)=4×3×2×148×47×46×45=194580
5 पत्तों का चयन करने के कुल तरीके जिनमें ठीक एक ऐस हो: 𝐶(4,1)×𝐶(48,4)=4×194580=778320C(4,1)×C(48,4)=4×194580=778320
इस प्रकार, 5 पत्तों का चयन करने के 778320 तरीके हैं जिनमें ठीक एक ऐस हो।
प्रश्न 7
17 खिलाड़ियों में से 11 खिलाड़ियों की क्रिकेट टीम कितने तरीकों से चुनी जा सकती है जिसमें केवल 5 खिलाड़ी गेंदबाजी कर सकते हैं यदि प्रत्येक क्रिकेट टीम में 4 गेंदबाज शामिल होने चाहिए?
समाधान:
5 गेंदबाजों में से 4 का चयन करें: 𝐶(5,4)=5!4!(5−4)!=5C(5,4)=4!(5−4)!5!=5
शेष 12 खिलाड़ियों में से 7 का चयन करें: 𝐶(12,7)=12!7!(12−7)!C(12,7)=7!(12−7)!12! 𝐶(12,7)=12×11×10×9×85×4×3×2×1=792C(12,7)=5×4×3×2×112×11×10×9×8=792
क्रिकेट टीम बनाने के कुल तरीके: 𝐶(5,4)×𝐶(12,7)=5×792=3960C(5,4)×C(12,7)=5×792=3960
इस प्रकार, 17 खिलाड़ियों में से 4 गेंदबाजों के साथ 11 खिलाड़ियों की टीम बनाने के 3960 तरीके हैं।
प्रश्न 8
एक बैग में 5 काली और 6 लाल गेंदें हैं। उन तरीकों की संख्या ज्ञात करें जिनमें 2 काली और 3 लाल गेंदें चुनी जा सकती हैं।
समाधान:
5 काली गेंदों में से 2 का चयन करें: 𝐶(5,2)=5!2!(5−2)!=10C(5,2)=2!(5−2)!5!=10
6 लाल गेंदों में से 3 का चयन करें: 𝐶(6,3)=6!3!(6−3)!=20C(6,3)=3!(6−3)!6!=20
2 काली और 3 लाल गेंदें चुनने के कुल तरीके: 𝐶(5,2)×𝐶(6,3)=10×20=200C(5,2)×C(6,3)=10×20=200
इस प्रकार, बैग में से 2 काली और 3 लाल गेंदें चुनने के 200 तरीके हैं।
प्रश्न 9
एक छात्र 9 उपलब्ध पाठ्यक्रमों में से 5 पाठ्यक्रमों का कार्यक्रम कितने तरीकों से चुन सकता है यदि 2 विशेष पाठ्यक्रम प्रत्येक छात्र के लिए अनिवार्य हैं?
समाधान:
5 पाठ्यक्रमों में से 2 अनिवार्य हैं। इसलिए, हमें शेष 7 पाठ्यक्रमों में से 3 और पाठ्यक्रम चुनने होंगे।
7 में से 3 पाठ्यक्रम चुनें: 𝐶(7,3)=7!3!(7−3)!=7×6×53×2×1=35C(7,3)=3!(7−3)!7!=3×2×17×6×5=35
इस प्रकार, 9 उपलब्ध पाठ्यक्रमों में से 2 अनिवार्य पाठ्यक्रमों के साथ 5 पाठ्यक्रमों का कार्यक्रम चुनने के 35 तरीके हैं।

क्रमचय और संचय — कक्षा 11 गणित नोट्स

क्रमचय और संचय में शामिल टॉपिक

1.परिचय - क्रमचय और संचय

क्रमचय (Permutations)

संचय (Combinations)

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

चरण-दर-चरण उदाहरण

2.मौलिक गणना सिद्धांत

अवलोकन

परिभाषा

सरल उदाहरण

विस्तृत उदाहरण

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

चरण-दर-चरण समस्या

3.अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1:

समाधान:

प्रश्न 2:

समाधान:

प्रश्न 3:

समाधान:

प्रश्न 4:

समाधान:

प्रश्न 5:

समाधान:

प्रश्न 6:

समाधान:

4.क्रमचय

परिभाषा

प्रमेय और सूत्र

क्रमचय प्रमेय

उदाहरण

विस्तृत व्याख्या

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

चरण-दर-चरण समस्या

5.भिन्न वस्तुओं का क्रमचय

परिभाषा

फैक्टोरियल संकेतन

𝑛𝑃𝑟nPr​ सूत्र का व्युत्पत्ति

उदाहरण

6.पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ क्रमचय

प्रमेय 2

व्याख्या

उदाहरण

सभी वस्तुओं के भिन्न न होने पर क्रमचय

सूत्र

व्याख्या

उदाहरण

7.प्रमेय 3

प्रमेय 3: पुनरावृत्त वस्तुओं के साथ क्रमचय

व्याख्या

उदाहरण

प्रमेय 4: कई पुनरावृत्त वस्तुओं के सेट के साथ सामान्य क्रमचय

व्याख्या

उदाहरण

8.अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1

प्रश्न 2

प्रश्न 3

प्रश्न 4

प्रश्न 5

प्रश्न 6

प्रश्न 7

प्रश्न 8

9.अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1

प्रश्न 2

प्रश्न 3

प्रश्न 4

प्रश्न 5

प्रश्न 6

प्रश्न 7

प्रश्न 8

प्रश्न 9

कक्षा 11 गणित के अन्य अध्याय

𝑛𝑃𝑟nPr सूत्र का व्युत्पत्ति