सांख्यिकी — कक्षा 11 गणित नोट्स

सांख्यिकी · कक्षा 11 गणित · 11 टॉपिक.

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सांख्यिकी में शामिल टॉपिक

1.सांख्यिकी का परिचय
सांख्यिकी गणित की एक शाखा है जो डेटा के संग्रह, विश्लेषण, व्याख्या, प्रस्तुति, और संगठन से संबंधित है। यह विज्ञान, व्यापार, सामाजिक विज्ञान आदि जैसे विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है। आइए रोजमर्रा के जीवन के एक उदाहरण के साथ सांख्यिकी के मूल सिद्धांतों को समझें।
सांख्यिकी क्या है?
सांख्यिकी हमें जटिल डेटा को सारांशित और व्याख्या करके समझने में मदद करती है। सांख्यिकी की दो मुख्य शाखाएँ हैं:
1. वर्णनात्मक सांख्यिकी (Descriptive Statistics): इसमें एक डेटासेट की विशेषताओं को सारांशित और वर्णन किया जाता है। इसमें औसत, माध्यिका, मोड, और मानक विचलन जैसी माप शामिल हैं।
2. अनुमानात्मक सांख्यिकी (Inferential Statistics): इसमें एक नमूने के आधार पर जनसंख्या के बारे में भविष्यवाणियाँ या निष्कर्ष निकाले जाते हैं। इसमें परिकल्पना परीक्षण, विश्वास अंतराल, और प्रतिगमन विश्लेषण जैसी तकनीकें शामिल हैं।
वर्णनात्मक सांख्यिकी का उदाहरण
मान लीजिए आपके पास 10 छात्रों के गणित परीक्षण के अंक हैं: 85, 78, 92, 88, 76, 95, 89, 81, 74, 90
आइए इस डेटासेट के लिए कुछ वर्णनात्मक सांख्यिकी की गणना करें:
1. औसत (Mean):
  Mean=सभी अंकों का योगअंकों की संख्या=85+78+92+88+76+95+89+81+74+9010=84810=84.8Mean=अंकों की संख्यासभी अंकों का योग=1085+78+92+88+76+95+89+81+74+90=10848=84.8
2. माध्यिका (Median): पहले अंकों को क्रमबद्ध करें:
  74,76,78,81,85,88,89,90,92,9574,76,78,81,85,88,89,90,92,95
  चूंकि 10 अंक हैं (जो एक सम संख्या है), माध्यिका 5वें और 6वें अंकों का औसत है:
  Median=85+882=1732=86.5Median=285+88=2173=86.5
3. मोड (सबसे अधिक बार आने वाला अंक): इस डेटासेट में, कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है, इसलिए कोई मोड नहीं है।
4. रेंज (सबसे बड़े और सबसे छोटे अंकों के बीच का अंतर):
  Range=95−74=21Range=95−74=21
5. मानक विचलन (अंकों में विचलन की मात्रा का माप): मानक विचलन की गणना में कई चरण होते हैं और यह थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन यह औसत के चारों ओर अंकों के फैलाव का विचार देता है।
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
मान लीजिए आप एक दुकान के मालिक हैं और आप अपने ग्राहकों के औसत खर्च को समझना चाहते हैं। प्रत्येक ग्राहक कितना खर्च करता है, इसका डेटा एकत्र करके, आप औसत, माध्यिका, और मोड की गणना कर सकते हैं ताकि आप सामान्य खर्च पैटर्न को समझ सकें। यह जानकारी आपको इन्वेंटरी, मूल्य निर्धारण, और विपणन रणनीतियों के बारे में निर्णय लेने में मदद कर सकती है।
करियर जिसमें सांख्यिकी का उपयोग होता है
सांख्यिकी कई करियर में महत्वपूर्ण है, जैसे:
- डेटा विश्लेषक: कंपनियों को सूचित निर्णय लेने में मदद करने के लिए डेटा का विश्लेषण करना।
- बाजार शोधकर्ता: उत्पाद विकास और विपणन को मार्गदर्शित करने के लिए उपभोक्ता व्यवहार का अध्ययन करना।
- एक्चुअरी: बीमा और वित्त में जोखिम का आकलन करने के लिए सांख्यिकीय विधियों का उपयोग करना।
- बायोस्टैटिस्टिशियन: जैविक और चिकित्सा अनुसंधान में सांख्यिकी को लागू करना।
अभ्यास के लिए गतिविधि
1. अपनी पसंद का एक डेटासेट एकत्र करें (जैसे, एक महीने के लिए दैनिक तापमान, आपके पसंदीदा खेल में स्कोर आदि)।
2. अपने डेटासेट के लिए औसत, माध्यिका, मोड, और रेंज की गणना करें।
3. प्रतिबिंबित करें कि ये सांख्यिकीय जानकारी आपको आपके डेटा के बारे में क्या बताती है।
2.विक्षेप के मापन
विक्षेप के मापन डेटा के सेट के भीतर फैलाव या परिवर्तनशीलता का वर्णन करते हैं। वे हमें यह समझने में मदद करते हैं कि डेटा बिंदु औसत या माध्यिका से कितना भिन्न होते हैं। विक्षेप के सबसे सामान्य मापन रेंज, वैरिएंस, मानक विचलन, और इंटरक्वारटाइल रेंज हैं।
1. रेंज
रेंज विक्षेप का सबसे सरल मापन है। यह डेटासेट में सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के बीच का अंतर है।
सूत्र:
Range=Maximum Value−Minimum ValueRange=Maximum Value−Minimum Value
उदाहरण: मान लीजिए निम्नलिखित टेस्ट स्कोर हैं: 85, 78, 92, 88, 76, 95, 89, 81, 74, 90।
- अधिकतम मान = 95
- न्यूनतम मान = 74
Range=95−74=21Range=95−74=21
2. वैरिएंस
वैरिएंस प्रत्येक डेटा बिंदु के औसत से विचलन का औसत वर्ग माप है। यह इस बात का संकेत देता है कि डेटा बिंदु कितने फैले हुए हैं।
सूत्र (नमूने के लिए):
𝑠2=∑(𝑥𝑖−𝑥‾)2𝑛−1s2=n−1∑(xi−x)2
जहाँ 𝑥𝑖xi प्रत्येक डेटा बिंदु है, 𝑥‾x डेटा का औसत है, और 𝑛n डेटा बिंदुओं की संख्या है।
उदाहरण: उसी टेस्ट स्कोर के लिए:
- औसत (𝑥‾x) = 84.8
- प्रत्येक वर्ग विचलन की गणना करें:(85−84.8)2,(78−84.8)2,(92−84.8)2,…(85−84.8)2,(78−84.8)2,(92−84.8)2,…
- वर्ग विचलनों का योग = 528.4
- डेटा बिंदुओं की संख्या (n) = 10
𝑠2=528.410−1=528.49≈58.71s2=10−1528.4=9528.4≈58.71
3. मानक विचलन
मानक विचलन वैरिएंस का वर्गमूल है। यह डेटा के समान इकाइयों में विक्षेप का मापन प्रदान करता है।
सूत्र:
𝑠=𝑠2s=s2
उदाहरण:
𝑠=58.71≈7.66s=58.71≈7.66
4. इंटरक्वारटाइल रेंज (IQR)
इंटरक्वारटाइल रेंज डेटा के मध्य 50% का फैलाव मापता है। यह तीसरी क्वारटाइल (Q3) और पहली क्वारटाइल (Q1) के बीच का अंतर है।
सूत्र:
IQR=𝑄3−𝑄1IQR=Q3−Q1
उदाहरण: टेस्ट स्कोर के लिए:
- स्कोर को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 74, 76, 78, 81, 85, 88, 89, 90, 92, 95।
- Q1 (पहली क्वारटाइल) = 78
- Q3 (तीसरी क्वारटाइल) = 90
IQR=90−78=12IQR=90−78=12
वास्तविक जीवन में विक्षेप का उदाहरण
मान लीजिए आप एक महीने के दौरान दो शहरों के दैनिक तापमान की तुलना कर रहे हैं। भले ही दोनों शहरों का औसत तापमान समान हो, लेकिन तापमान की परिवर्तनशीलता (विक्षेप) अलग हो सकती है। एक शहर में तापमान में थोड़ी सी ही बदलाव हो सकती है, जबकि दूसरे शहर में तापमान में महत्वपूर्ण उतार-चढ़ाव हो सकता है। विक्षेप के मापन आपको इस परिवर्तनशीलता को समझने में मदद करेंगे।
करियर जिसमें विक्षेप का उपयोग होता है
- गुणवत्ता नियंत्रण विश्लेषक: उत्पादन प्रक्रियाओं में परिवर्तनशीलता की निगरानी करके उत्पाद की गुणवत्ता सुनिश्चित करता है।
- अर्थशास्त्री: बाजार के रुझान और परिवर्तनशीलता को समझने के लिए आर्थिक डेटा का विश्लेषण करता है।
- मौसम विज्ञानी: मौसम पैटर्न और जलवायु की परिवर्तनशीलता का अध्ययन करता है।
- मनोवैज्ञानिक परीक्षणकर्ता: मनोवैज्ञानिक परीक्षणों और मापों की विश्वसनीयता और परिवर्तनशीलता का आकलन करता है।
अभ्यास के लिए गतिविधि
1. अपनी पसंद का एक डेटासेट एकत्र करें (जैसे, दैनिक खर्च, प्रतिदिन चले गए कदमों की संख्या आदि)।
2. अपने डेटासेट के लिए रेंज, वैरिएंस, मानक विचलन, और इंटरक्वारटाइल रेंज की गणना करें।
3. यह व्याख्या करें कि ये विक्षेप के मापन आपके डेटा के बारे में क्या बताते हैं।
3.रेंज: समझ और अनुप्रयोग
रेंज एक सरल लेकिन महत्वपूर्ण विक्षेप का माप है जो हमें एक डेटासेट में सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों के बीच का अंतर बताता है। यह हमें डेटा के फैलाव या परिवर्तनशीलता का त्वरित अंदाजा देता है।
सूत्र:
Range=Maximum Value−Minimum ValueRange=Maximum Value−Minimum Value
विस्तृत व्याख्या
आइए इसे रोजमर्रा के एक उदाहरण के साथ चरण-दर-चरण समझें।
चरण-दर-चरण व्याख्या
1. डेटासेट की पहचान करें: मान लीजिए हमारे पास छात्रों के एक समूह के टेस्ट स्कोर हैं:
  85,78,92,88,76,95,89,81,74,9085,78,92,88,76,95,89,81,74,90
2. अधिकतम मान खोजें: इस डेटासेट में सबसे बड़ा स्कोर 95 है।
3. न्यूनतम मान खोजें: इस डेटासेट में सबसे छोटा स्कोर 74 है।
4. रेंज की गणना करें:
  Range=95−74=21Range=95−74=21
टेस्ट स्कोर की रेंज 21 है, जो उच्चतम और न्यूनतम स्कोर के बीच का अंतर दर्शाती है।
वास्तविक जीवन का उदाहरण
कल्पना कीजिए कि आप एक सप्ताह के दौरान एक शहर के दैनिक तापमान का विश्लेषण कर रहे हैं। तापमान (सेल्सियस में) हैं:
30,32,35,33,31,29,3430,32,35,33,31,29,34
1. अधिकतम तापमान: 35°C
2. न्यूनतम तापमान: 29°C
3. रेंज:Range=35−29=6Range=35−29=6
तापमान की रेंज 6°C है, जो सप्ताह के दौरान तापमान में उतार-चढ़ाव को दर्शाती है।
समस्या समाधान के उदाहरण
उदाहरण 1: मासिक वर्षा
एक मौसम विज्ञानी ने एक महीने के दौरान निम्नलिखित वर्षा (मिमी में) दर्ज की:
120,85,95,110,90,130,115120,85,95,110,90,130,115
- अधिकतम वर्षा: 130 मिमी
- न्यूनतम वर्षा: 85 मिमी
- रेंज:Range=130−85=45Range=130−85=45
मासिक वर्षा की रेंज 45 मिमी है।
उदाहरण 2: साप्ताहिक बिक्री
एक दुकानदार ने एक उत्पाद की साप्ताहिक बिक्री (यूनिट में) दर्ज की:
45,50,55,60,48,52,5845,50,55,60,48,52,58
- अधिकतम बिक्री: 60 यूनिट
- न्यूनतम बिक्री: 45 यूनिट
- रेंज:Range=60−45=15Range=60−45=15
साप्ताहिक बिक्री की रेंज 15 यूनिट है।
उदाहरण 3: छात्रों की ऊँचाई
एक कक्षा में छात्रों की ऊँचाई (सेमी में) हैं:
150,160,155,170,165,158,162150,160,155,170,165,158,162
- अधिकतम ऊँचाई: 170 सेमी
- न्यूनतम ऊँचाई: 150 सेमी
- रेंज:Range=170−150=20Range=170−150=20
छात्रों की ऊँचाई की रेंज 20 सेमी है।
व्यावहारिक गतिविधि
1. अपनी पसंद का एक डेटासेट एकत्र करें (जैसे, एक सप्ताह के लिए आप प्रतिदिन कितने कदम चलते हैं)।
2. अधिकतम और न्यूनतम मान की पहचान करें।
3. रेंज की गणना करें।
4. यह विचार करें कि रेंज आपके डेटा के बारे में क्या बताती है।
करियर जिसमें रेंज का उपयोग होता है
- डेटा विश्लेषक: डेटा के फैलाव को जल्दी से समझने के लिए रेंज का उपयोग करता है।
- मौसम विज्ञानी: तापमान में उतार-चढ़ाव का विश्लेषण करने के लिए रेंज का उपयोग करता है।
- बाजार शोधकर्ता: उपभोक्ता खर्च की आदतों का अध्ययन करने के लिए रेंज का उपयोग करता है।
4.माध्य विचलन: समझ और अनुप्रयोग
माध्य विचलन (जिसे औसत पूर्ण विचलन भी कहा जाता है) विक्षेप का एक माप है जो डेटा सेट के माध्य से प्रत्येक डेटा बिंदु के बीच के औसत पूर्ण अंतर को इंगित करता है। यह डेटा के चारों ओर के फैलाव या परिवर्तनशीलता का अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।
सूत्र:
Mean Deviation=∑∣𝑥𝑖−𝑥‾∣𝑛Mean Deviation=n∑∣xi−x∣
जहां 𝑥𝑖xi प्रत्येक डेटा बिंदु है, 𝑥‾x डेटा का औसत है, और 𝑛n डेटा बिंदुओं की संख्या है।
विस्तृत व्याख्या
आइए इसे रोजमर्रा के एक उदाहरण के साथ चरण-दर-चरण समझें।
चरण-दर-चरण व्याख्या
1. डेटासेट की पहचान करें: मान लीजिए हमारे पास छात्रों के एक समूह के टेस्ट स्कोर हैं:
  85,78,92,88,76,95,89,81,74,9085,78,92,88,76,95,89,81,74,90
2. औसत की गणना करें:
  𝑥‾=∑𝑥𝑖𝑛=85+78+92+88+76+95+89+81+74+9010=84810=84.8x=n∑xi=1085+78+92+88+76+95+89+81+74+90=10848=84.8
3. पूर्ण विचलन की गणना करें: प्रत्येक डेटा बिंदु और औसत के बीच का पूर्ण अंतर खोजें:
  ∣85−84.8∣,∣78−84.8∣,∣92−84.8∣,∣88−84.8∣,∣76−84.8∣,∣95−84.8∣,∣89−84.8∣,∣81−84.8∣,∣74−84.8∣,∣90−84.8∣∣85−84.8∣,∣78−84.8∣,∣92−84.8∣,∣88−84.8∣,∣76−84.8∣,∣95−84.8∣,∣89−84.8∣,∣81−84.8∣,∣74−84.8∣,∣90−84.8∣0.2,6.8,7.2,3.2,8.8,10.2,4.2,3.8,10.8,5.20.2,6.8,7.2,3.2,8.8,10.2,4.2,3.8,10.8,5.2
4. माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=0.2+6.8+7.2+3.2+8.8+10.2+4.2+3.8+10.8+5.210=60.410=6.04Mean Deviation=100.2+6.8+7.2+3.2+8.8+10.2+4.2+3.8+10.8+5.2=1060.4=6.04
टेस्ट स्कोर का माध्य विचलन 6.04 है, जो औसत स्कोर से औसत पूर्ण विचलन को दर्शाता है।
वास्तविक जीवन का उदाहरण
कल्पना कीजिए कि आप एक सप्ताह के दौरान आपने कितने कदम चले उसका विश्लेषण कर रहे हैं:
6000,7500,8200,5400,9100,6600,70006000,7500,8200,5400,9100,6600,7000
1. औसत की गणना करें:
  𝑥‾=6000+7500+8200+5400+9100+6600+70007=498007≈7114.29x=76000+7500+8200+5400+9100+6600+7000=749800≈7114.29
2. पूर्ण विचलन की गणना करें:
  ∣6000−7114.29∣,∣7500−7114.29∣,∣8200−7114.29∣,∣5400−7114.29∣,∣9100−7114.29∣,∣6600−7114.29∣,∣7000−7114.29∣∣6000−7114.29∣,∣7500−7114.29∣,∣8200−7114.29∣,∣5400−7114.29∣,∣9100−7114.29∣,∣6600−7114.29∣,∣7000−7114.29∣1114.29,385.71,1085.71,1714.29,1985.71,514.29,114.291114.29,385.71,1085.71,1714.29,1985.71,514.29,114.29
3. माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=1114.29+385.71+1085.71+1714.29+1985.71+514.29+114.297≈6894.297≈984.90Mean Deviation=71114.29+385.71+1085.71+1714.29+1985.71+514.29+114.29≈76894.29≈984.90
चले गए कदमों का माध्य विचलन लगभग 984.90 है, जो औसत कदमों से औसत पूर्ण विचलन को दर्शाता है।
समस्या समाधान के उदाहरण
उदाहरण 1: मासिक वर्षा
एक मौसम विज्ञानी ने एक महीने के दौरान निम्नलिखित वर्षा (मिमी में) दर्ज की:
120,85,95,110,90,130,115120,85,95,110,90,130,115
1. औसत की गणना करें:
  𝑥‾=120+85+95+110+90+130+1157=7457≈106.43x=7120+85+95+110+90+130+115=7745≈106.43
2. पूर्ण विचलन की गणना करें:
  ∣120−106.43∣,∣85−106.43∣,∣95−106.43∣,∣110−106.43∣,∣90−106.43∣,∣130−106.43∣,∣115−106.43∣∣120−106.43∣,∣85−106.43∣,∣95−106.43∣,∣110−106.43∣,∣90−106.43∣,∣130−106.43∣,∣115−106.43∣13.57,21.43,11.43,3.57,16.43,23.57,8.5713.57,21.43,11.43,3.57,16.43,23.57,8.57
3. माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=13.57+21.43+11.43+3.57+16.43+23.57+8.577≈98.577≈14.08Mean Deviation=713.57+21.43+11.43+3.57+16.43+23.57+8.57≈798.57≈14.08
उदाहरण 2: साप्ताहिक बिक्री
एक दुकानदार ने एक उत्पाद की साप्ताहिक बिक्री (यूनिट में) दर्ज की:
45,50,55,60,48,52,5845,50,55,60,48,52,58
1. औसत की गणना करें:
  𝑥‾=45+50+55+60+48+52+587=3687≈52.57x=745+50+55+60+48+52+58=7368≈52.57
2. पूर्ण विचलन की गणना करें:
  ∣45−52.57∣,∣50−52.57∣,∣55−52.57∣,∣60−52.57∣,∣48−52.57∣,∣52−52.57∣,∣58−52.57∣∣45−52.57∣,∣50−52.57∣,∣55−52.57∣,∣60−52.57∣,∣48−52.57∣,∣52−52.57∣,∣58−52.57∣7.57,2.57,2.43,7.43,4.57,0.57,5.437.57,2.57,2.43,7.43,4.57,0.57,5.43
3. माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=7.57+2.57+2.43+7.43+4.57+0.57+5.437≈30.577≈4.37Mean Deviation=77.57+2.57+2.43+7.43+4.57+0.57+5.43≈730.57≈4.37
उदाहरण 3: छात्रों की ऊँचाई
एक कक्षा में छात्रों की ऊँचाई (सेमी में) हैं:
150,160,155,170,165,158,162150,160,155,170,165,158,162
1. औसत की गणना करें:
  𝑥‾=150+160+155+170+165+158+1627=11207≈160x=7150+160+155+170+165+158+162=71120≈160
2. पूर्ण विचलन की गणना करें:
  ∣150−160∣,∣160−160∣,∣155−160∣,∣170−160∣,∣165−160∣,∣158−160∣,∣162−160∣∣150−160∣,∣160−160∣,∣155−160∣,∣170−160∣,∣165−160∣,∣158−160∣,∣162−160∣10,0,5,10,5,2,210,0,5,10,5,2,2
3. माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=10+0+5+10+5+2+27=347≈4.86Mean Deviation=710+0+5+10+5+2+2=734≈4.86
व्यावहारिक गतिविधि
1. अपनी पसंद का एक डेटासेट एकत्र करें (जैसे, एक सप्ताह के लिए आप प्रतिदिन कितने घंटे पढ़ाई करते हैं)।
2. अपने डेटासेट का औसत गणना करें।
3. प्रत्येक डेटा बिंदु और औसत के बीच के पूर्ण विचलन का पता लगाएं।
4. माध्य विचलन की गणना करें।
5. यह विचार करें कि माध्य विचलन आपके डेटा के बारे में क्या बताता है।
करियर जिसमें माध्य विचलन का उपयोग होता है
- गुणवत्ता नियंत्रण विश्लेषक: उत्पाद की गुणवत्ता को बनाए रखने और उसकी निगरानी करने के लिए माध्य विचलन का उपयोग करता है।
- अर्थशास्त्री: आर्थिक डेटा का विश्लेषण करके परिवर्तनशीलता और रुझानों को समझता है।
- बाजार शोधकर्ता: उपभोक्ता व्यवहार और खर्च की आदतों का अध्ययन करने के लिए माध्य विचलन का उपयोग करता है।
- मनोवैज्ञानिक परीक्षणकर्ता: मनोवैज्ञानिक परीक्षणों की विश्वसनीयता का आकलन करने के लिए माध्य विचलन का उपयोग करता है।
5.अवर्गीकृत डेटा के लिए माध्य विचलन
माध्य विचलन (जिसे औसत पूर्ण विचलन भी कहा जाता है) अवर्गीकृत डेटा के लिए विक्षेप का एक माप है जो डेटा सेट के माध्य से प्रत्येक डेटा बिंदु के बीच के औसत पूर्ण अंतर को इंगित करता है। यह डेटा के चारों ओर के फैलाव या परिवर्तनशीलता का अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।
सूत्र:
Mean Deviation=∑∣𝑥𝑖−𝑥‾∣𝑛Mean Deviation=n∑∣xi−x∣
जहां 𝑥𝑖xi प्रत्येक डेटा बिंदु है, 𝑥‾x डेटा का औसत है, और 𝑛n डेटा बिंदुओं की संख्या है।
विस्तृत व्याख्या
आइए इसे रोजमर्रा के एक उदाहरण के साथ चरण-दर-चरण समझें।
चरण-दर-चरण व्याख्या
1. डेटासेट की पहचान करें: मान लीजिए हमारे पास एक सप्ताह में एक छात्र के अध्ययन के घंटों की संख्या है:
  2,3,4,5,6,3,42,3,4,5,6,3,4
2. औसत की गणना करें:
  𝑥‾=∑𝑥𝑖𝑛=2+3+4+5+6+3+47=277≈3.86x=n∑xi=72+3+4+5+6+3+4=727≈3.86
3. पूर्ण विचलन की गणना करें: प्रत्येक डेटा बिंदु और औसत के बीच का पूर्ण अंतर खोजें:
  ∣2−3.86∣,∣3−3.86∣,∣4−3.86∣,∣5−3.86∣,∣6−3.86∣,∣3−3.86∣,∣4−3.86∣∣2−3.86∣,∣3−3.86∣,∣4−3.86∣,∣5−3.86∣,∣6−3.86∣,∣3−3.86∣,∣4−3.86∣1.86,0.86,0.14,1.14,2.14,0.86,0.141.86,0.86,0.14,1.14,2.14,0.86,0.14
4. माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=1.86+0.86+0.14+1.14+2.14+0.86+0.147≈7.147≈1.02Mean Deviation=71.86+0.86+0.14+1.14+2.14+0.86+0.14≈77.14≈1.02
अध्ययन के घंटों का माध्य विचलन लगभग 1.02 है, जो औसत अध्ययन घंटों से औसत पूर्ण विचलन को दर्शाता है।
वास्तविक जीवन का उदाहरण
कल्पना कीजिए कि आप एक महीने में एक घर के साप्ताहिक किराना खर्च (INR में) का विश्लेषण कर रहे हैं:
2000,2200,1800,25002000,2200,1800,2500
1. औसत की गणना करें:
  𝑥‾=2000+2200+1800+25004=85004=2125x=42000+2200+1800+2500=48500=2125
2. पूर्ण विचलन की गणना करें:
  ∣2000−2125∣,∣2200−2125∣,∣1800−2125∣,∣2500−2125∣∣2000−2125∣,∣2200−2125∣,∣1800−2125∣,∣2500−2125∣125,75,325,375125,75,325,375
3. माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=125+75+325+3754=9004=225Mean Deviation=4125+75+325+375=4900=225
साप्ताहिक किराना खर्च का माध्य विचलन 225 है, जो औसत खर्च से औसत पूर्ण विचलन को दर्शाता है।
समस्या समाधान के उदाहरण
उदाहरण 1: मासिक विद्युत खपत
एक घर ने छह महीनों में अपनी मासिक विद्युत खपत (kWh में) दर्ज की:
300,320,290,310,330,300300,320,290,310,330,300
1. औसत की गणना करें:
  𝑥‾=300+320+290+310+330+3006=18506≈308.33x=6300+320+290+310+330+300=61850≈308.33
2. पूर्ण विचलन की गणना करें:
  ∣300−308.33∣,∣320−308.33∣,∣290−308.33∣,∣310−308.33∣,∣330−308.33∣,∣300−308.33∣∣300−308.33∣,∣320−308.33∣,∣290−308.33∣,∣310−308.33∣,∣330−308.33∣,∣300−308.33∣8.33,11.67,18.33,1.67,21.67,8.338.33,11.67,18.33,1.67,21.67,8.33
3. माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=8.33+11.67+18.33+1.67+21.67+8.336=696≈11.50Mean Deviation=68.33+11.67+18.33+1.67+21.67+8.33=669≈11.50
उदाहरण 2: साप्ताहिक कमाई
एक फ्रीलांसर ने पांच सप्ताहों में अपनी साप्ताहिक कमाई (INR में) दर्ज की:
4000,4500,4200,4800,46004000,4500,4200,4800,4600
1. औसत की गणना करें:
  𝑥‾=4000+4500+4200+4800+46005=221005=4420x=54000+4500+4200+4800+4600=522100=4420
2. पूर्ण विचलन की गणना करें:
  ∣4000−4420∣,∣4500−4420∣,∣4200−4420∣,∣4800−4420∣,∣4600−4420∣∣4000−4420∣,∣4500−4420∣,∣4200−4420∣,∣4800−4420∣,∣4600−4420∣420,80,220,380,180420,80,220,380,180
3. माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=420+80+220+380+1805=12805=256Mean Deviation=5420+80+220+380+180=51280=256
उदाहरण 3: दैनिक जल खपत
एक परिवार ने एक सप्ताह में अपनी दैनिक जल खपत (लीटर में) दर्ज की:
100,120,110,130,125,115,105100,120,110,130,125,115,105
1. औसत की गणना करें:
  𝑥‾=100+120+110+130+125+115+1057=8057≈115x=7100+120+110+130+125+115+105=7805≈115
2. पूर्ण विचलन की गणना करें:
  ∣100−115∣,∣120−115∣,∣110−115∣,∣130−115∣,∣125−115∣,∣115−115∣,∣105−115∣∣100−115∣,∣120−115∣,∣110−115∣,∣130−115∣,∣125−115∣,∣115−115∣,∣105−115∣15,5,5,15,10,0,1015,5,5,15,10,0,10
3. माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=15+5+5+15+10+0+107=607≈8.57Mean Deviation=715+5+5+15+10+0+10=760≈8.57
व्यावहारिक गतिविधि
1. अपनी पसंद का एक डेटासेट एकत्र करें (जैसे, एक सप्ताह के लिए आप प्रतिदिन कितने घंटे सोते हैं)।
2. अपने डेटासेट का औसत गणना करें।
3. प्रत्येक डेटा बिंदु और औसत के बीच के पूर्ण विचलन का पता लगाएं।
4. माध्य विचलन की गणना करें।
5. यह विचार करें कि माध्य विचलन आपके डेटा के बारे में क्या बताता है।
करियर जिसमें माध्य विचलन का उपयोग होता है
- गुणवत्ता नियंत्रण विश्लेषक: उत्पाद की गुणवत्ता को बनाए रखने और उसकी निगरानी करने के लिए माध्य विचलन का उपयोग करता है।
- अर्थशास्त्री: आर्थिक डेटा का विश्लेषण करके परिवर्तनशीलता और रुझानों को समझता है।
- बाजार शोधकर्ता: उपभोक्ता व्यवहार और खर्च की आदतों का अध्ययन करने के लिए माध्य विचलन का उपयोग करता है।
- मनोवैज्ञानिक परीक्षणकर्ता: मनोवैज्ञानिक परीक्षणों की विश्वसनीयता का आकलन करने के लिए माध्य विचलन का उपयोग करता है।
6.समूहीकृत डेटा के लिए माध्य विचलन
माध्य विचलन को समूहित डेटा के लिए भी गणना किया जा सकता है। समूहित डेटा वितरण के दो प्रकार होते हैं: विविक्त आवृत्ति वितरण और सतत आवृत्ति वितरण। आइए प्रत्येक प्रकार के लिए माध्य विचलन की गणना के चरणों को समझें।
(a) विविक्त आवृत्ति वितरण के लिए माध्य विचलन
विविक्त आवृत्ति वितरण में, डेटा अलग-अलग मानों और उनकी संबंधित आवृत्तियों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।
चरण-दर-चरण व्याख्या
1. डेटासेट की पहचान करें: आइए छात्रों के स्कोर और उनकी आवृत्तियों के डेटासेट पर विचार करें:
2. माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=∑∣𝑥−𝑥‾∣⋅𝑓∑𝑓=38.66+28.99+3.35+42.68+20.6715=134.3515≈8.96Mean Deviation=∑f∑∣x−x∣⋅f=1538.66+28.99+3.35+42.68+20.67=15134.35≈8.96
Mean Deviation=∑∣𝑚−𝑥‾∣⋅𝑓∑𝑓=102.5+189+21+256.5+156100=725100=7.25Mean Deviation=∑f∑∣m−x∣⋅f=100102.5+189+21+256.5+156=100725=7.25
7.माध्य के बारे में माध्य विचलन की गणना के लिए शॉर्टकट विधि
शॉर्टकट विधि माध्य विचलन की गणना को सरल बनाती है, जिससे यह अधिक कुशल हो जाती है। यह विधि विशेष रूप से बड़े डेटासेट या समूहित डेटा के साथ काम करते समय उपयोगी होती है।
(a) विविक्त आवृत्ति वितरण के लिए माध्य विचलन (शॉर्टकट विधि)
चरण-दर-चरण व्याख्या
1. डेटासेट की पहचान करें: आइए छात्रों के स्कोर और उनकी आवृत्तियों के डेटासेट पर विचार करें:
  स्कोर (x)आवृत्ति (f)102203305404501
2. औसत की गणना करें (𝑥‾x):
  𝑥‾=∑(𝑓⋅𝑥)∑𝑓=(2⋅10)+(3⋅20)+(5⋅30)+(4⋅40)+(1⋅50)2+3+5+4+1x=∑f∑(f⋅x)=2+3+5+4+1(2⋅10)+(3⋅20)+(5⋅30)+(4⋅40)+(1⋅50)𝑥‾=20+60+150+160+5015=44015≈29.33x=1520+60+150+160+50=15440≈29.33
3. विचलन और पूर्ण विचलन की गणना करें: प्रत्येक मान (𝑥x) के लिए विचलन (𝑑𝑖=𝑥𝑖−𝑥‾di=xi−x) और फिर पूर्ण विचलन (∣𝑑𝑖∣∣di∣) की गणना करें।
  स्कोर (x)आवृत्ति (f)𝑑𝑖=𝑥−𝑥‾∣𝑑𝑖∣10210−29.33=−19.3319.3320320−29.33=−9.339.3330530−29.33=0.670.6740440−29.33=10.6710.6750150−29.33=20.6720.67
4. प्रत्येक मान के लिए ∣𝑑𝑖∣⋅𝑓∣di∣⋅f की गणना करें:
  स्कोर (x)आवृत्ति (f)𝑑𝑖=𝑥−𝑥‾∣𝑑𝑖∣∣𝑑𝑖∣⋅𝑓102−19.3319.3319.33⋅2=38.66203−9.339.339.33⋅3=28.993050.670.670.67⋅5=3.3540410.6710.6710.67⋅4=42.6850120.6720.6720.67⋅1=20.67
5. माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=∑∣𝑑𝑖∣⋅𝑓∑𝑓=38.66+28.99+3.35+42.68+20.6715=134.3515≈8.96Mean Deviation=∑f∑∣di∣⋅f=1538.66+28.99+3.35+42.68+20.67=15134.35≈8.96
विविक्त आवृत्ति वितरण का माध्य विचलन लगभग 8.96 है।
(b) सतत आवृत्ति वितरण के लिए माध्य विचलन (शॉर्टकट विधि)
चरण-दर-चरण व्याख्या
1. डेटासेट की पहचान करें: आइए छात्रों की ऊँचाई और उनकी आवृत्तियों के डेटासेट पर विचार करें:
  ऊँचाई (सेमी)आवृत्ति (f)150−1595160−16918170−17942180−18927190−1998
2. कक्षा मध्यबिंदुओं (m) की गणना करें:
  मध्यबिंदु=निचली सीमा+ऊपरी सीमा2मध्यबिंदु=2निचली सीमा+ऊपरी सीमाऊँचाई (सेमी)आवृत्ति (f)मध्यबिंदु (m)150−1595150+1592=154.5160−16918160+1692=164.5170−17942170+1792=174.5180−18927180+1892=184.5190−1998190+1992=194.5
3. औसत की गणना करें (𝑥‾x):
  𝑥‾=∑(𝑓⋅𝑚)∑𝑓=(5⋅154.5)+(18⋅164.5)+(42⋅174.5)+(27⋅184.5)+(8⋅194.5)5+18+42+27+8x=∑f∑(f⋅m)=5+18+42+27+8(5⋅154.5)+(18⋅164.5)+(42⋅174.5)+(27⋅184.5)+(8⋅194.5)𝑥‾=772.5+2961+7329+4981.5+1556100=17500100=175x=100772.5+2961+7329+4981.5+1556=10017500=175
4. विचलन और पूर्ण विचलन की गणना करें: प्रत्येक मध्यबिंदु और औसत के बीच का विचलन (𝑑𝑖=𝑚𝑖−𝑥‾di=mi−x) और फिर पूर्ण विचलन (∣𝑑𝑖∣∣di∣) की गणना करें।
  ऊँचाई (सेमी)आवृत्ति (f)𝑑𝑖=𝑚−𝑥‾∣𝑑𝑖∣150−1595154.5−175=−20.520.5160−16918164.5−175=−10.510.5170−17942174.5−175=−0.50.5180−18927184.5−175=9.59.5190−1998194.5−175=19.519.5
5. प्रत्येक मान के लिए ∣𝑑𝑖∣⋅𝑓∣di∣⋅f की गणना करें:
  ऊँचाई (सेमी)आवृत्ति (f)𝑑𝑖=𝑚−𝑥‾∣𝑑𝑖∣∣𝑑𝑖∣⋅𝑓150−1595−20.520.520.5⋅5=102.5160−16918−10.510.510.5⋅18=189170−17942−0.50.50.5⋅42=21180−189279.59.59.5⋅27=256.5190−199819.519.519.5⋅8=156
6. माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=∑∣𝑑𝑖∣⋅𝑓∑𝑓=102.5+189+21+256.5+156100=725100=7.25Mean Deviation=∑f∑∣di∣⋅f=100102.5+189+21+256.5+156=100725=7.25
सतत आवृत्ति वितरण का माध्य विचलन 7.25 है।
सारांश
विविक्त आवृत्ति वितरण के लिए शॉर्टकट विधि:
1. औसत (𝑥‾x) की गणना करें।
2. विचलन (𝑑𝑖=𝑥𝑖−𝑥‾di=xi−x) और उनके पूर्ण मान (∣𝑑𝑖∣∣di∣) की गणना करें।
3. प्रत्येक ∣𝑑𝑖∣∣di∣ को संबंधित आवृत्ति से गुणा करें।
4. इन उत्पादों का योग करें और माध्य विचलन प्राप्त करने के लिए कुल आवृत्ति से विभाजित करें।
सतत आवृत्ति वितरण के लिए शॉर्टकट विधि:
1. कक्षा मध्यबिंदुओं की गणना करें।
2. मध्यबिंदुओं और आवृत्तियों का उपयोग करके औसत (𝑥‾x) की गणना करें।
3. विचलन (𝑑𝑖=𝑚𝑖−𝑥‾di=mi−x) और उनके पूर्ण मान (∣𝑑𝑖∣∣di∣) की गणना करें।
4. प्रत्येक ∣𝑑𝑖∣∣di∣ को संबंधित आवृत्ति से गुणा करें।
5. इन उत्पादों का योग करें और माध्य विचलन प्राप्त करने के लिए कुल आवृत्ति से विभाजित करें।
8.माध्यिका के बारे में माध्य विचलन
माध्यिका के बारे में माध्य विचलन एक ऐसा माप है जो डेटा सेट की माध्यिका से प्रत्येक डेटा बिंदु के बीच के औसत पूर्ण अंतर को दर्शाता है। यह डेटा के फैलाव या परिवर्तनशीलता का अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।
अवर्गीकृत डेटा के लिए माध्य विचलन
चरण-दर-चरण व्याख्या
1. डेटासेट की पहचान करें: मान लीजिए हमारे पास टेस्ट स्कोर का एक डेटासेट है:
  85,78,92,88,76,95,89,81,74,9085,78,92,88,76,95,89,81,74,90
2. डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
  74,76,78,81,85,88,89,90,92,9574,76,78,81,85,88,89,90,92,95
3. माध्यिका की गणना करें: चूंकि डेटासेट में मानों की संख्या सम (10 मान) है, इसलिए माध्यिका 5वें और 6वें मान का औसत है:
  Median=85+882=1732=86.5Median=285+88=2173=86.5
4. पूर्ण विचलन की गणना करें: प्रत्येक डेटा बिंदु और माध्यिका के बीच का पूर्ण अंतर खोजें:
  ∣74−86.5∣,∣76−86.5∣,∣78−86.5∣,∣81−86.5∣,∣85−86.5∣,∣88−86.5∣,∣89−86.5∣,∣90−86.5∣,∣92−86.5∣,∣95−86.5∣∣74−86.5∣,∣76−86.5∣,∣78−86.5∣,∣81−86.5∣,∣85−86.5∣,∣88−86.5∣,∣89−86.5∣,∣90−86.5∣,∣92−86.5∣,∣95−86.5∣12.5,10.5,8.5,5.5,1.5,1.5,2.5,3.5,5.5,8.512.5,10.5,8.5,5.5,1.5,1.5,2.5,3.5,5.5,8.5
5. माध्यिका के बारे में माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=∑∣𝑥𝑖−Median∣𝑛=12.5+10.5+8.5+5.5+1.5+1.5+2.5+3.5+5.5+8.510=6010=6Mean Deviation=n∑∣xi−Median∣=1012.5+10.5+8.5+5.5+1.5+1.5+2.5+3.5+5.5+8.5=1060=6
टेस्ट स्कोर का माध्यिका के बारे में माध्य विचलन 6 है।
समूहित डेटा के लिए माध्य विचलन
समूहित डेटा के लिए, प्रक्रिया में माध्यिका वर्ग को खोजना और फिर वर्ग अंतराल और आवृत्तियों का उपयोग करके माध्यिका के बारे में माध्य विचलन की गणना करना शामिल है।
(a) विविक्त आवृत्ति वितरण के लिए माध्यिका के बारे में माध्य विचलन
चरण-दर-चरण व्याख्या
1. डेटासेट की पहचान करें: आइए छात्रों के स्कोर और उनकी आवृत्तियों के डेटासेट पर विचार करें:
  स्कोर (x)आवृत्ति (f)10220330540450110
2. संचयी आवृत्ति की गणना करें:
  स्कोर (x)आवृत्ति (f)संचयी आवृत्ति1022203530510404145011510
3. माध्यिका का निर्धारण करें: माध्यिका उस मान के अनुरूप है जो संचयी आवृत्ति 𝑛22n पर होता है। यहाँ 𝑛=15n=15, इसलिए 𝑛2=7.52n=7.5। माध्यिका वर्ग 30 है (क्योंकि 30 से पहले की संचयी आवृत्ति 5 है और इसके बाद 10 है)।
4. पूर्ण विचलन की गणना करें:
  स्कोर (x)आवृत्ति (f)∣𝑥−Median∣⋅𝑓102∣10−30∣⋅2=40203∣20−30∣⋅3=30305∣30−30∣⋅5=0404∣40−30∣⋅4=40501∣50−30∣⋅1=2010
5. माध्यिका के बारे में माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=∑∣𝑥−Median∣⋅𝑓∑𝑓=40+30+0+40+2015=13015≈8.67Mean Deviation=∑f∑∣x−Median∣⋅f=1540+30+0+40+20=15130≈8.67
विविक्त आवृत्ति वितरण का माध्यिका के बारे में माध्य विचलन लगभग 8.67 है।
(b) सतत आवृत्ति वितरण के लिए माध्यिका के बारे में माध्य विचलन
चरण-दर-चरण व्याख्या
1. डेटासेट की पहचान करें: आइए छात्रों की ऊँचाई और उनकी आवृत्तियों के डेटासेट पर विचार करें:
  ऊँचाई (सेमी)आवृत्ति (f)150−1595160−16918170−17942180−18927190−1998
2. संचयी आवृत्ति की गणना करें:
  ऊँचाई (सेमी)आवृत्ति (f)संचयी आवृत्ति150−15955160−1691823170−1794265180−1892792190−1998100
3. माध्यिका वर्ग का निर्धारण करें: माध्यिका वर्ग वह होता है जिसमें 𝑛22n वां मान होता है। यहाँ, 𝑛=100n=100, इसलिए 𝑛2=502n=50। माध्यिका वर्ग 170 - 179 है।
4. माध्यिका की गणना करें:
  Median=𝐿+(𝑛2−𝐶𝐹𝑓)⋅ℎMedian=L+(f2n−CF)⋅h
  जहां 𝐿L माध्यिका वर्ग की निचली सीमा है, 𝐶𝐹CF माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी आवृत्ति है, 𝑓f माध्यिका वर्ग की आवृत्ति है, और ℎh वर्ग की चौड़ाई है।
  Median=170+(50−2342)⋅10=170+(2742)⋅10≈170+6.43≈176.43Median=170+(4250−23)⋅10=170+(4227)⋅10≈170+6.43≈176.43
5. पूर्ण विचलन की गणना करें: प्रत्येक वर्ग मध्यबिंदु और माध्यिका के बीच का विचलन और फिर पूर्ण विचलन की गणना करें:
  ऊँचाई (सेमी)आवृत्ति (f)मध्यबिंदु (m)∣𝑚−Median∣⋅𝑓150−1595154.5∣154.5−176.43∣⋅5=109.65160−16918164.5∣164.5−176.43∣⋅18=215.46170−17942174.5∣174.5−176.43∣⋅42=81.66180−18927184.5∣184.5−176.43∣⋅27=217.71190−1998194.5∣194.5−176.43∣⋅8=144.56
6. माध्यिका के बारे में माध्य विचलन की गणना करें:
  Mean Deviation=∑∣𝑚−Median∣⋅𝑓∑𝑓=109.65+215.46+81.66+217.71+144.56100=769.04100≈7.69Mean Deviation=∑f∑∣m−Median∣⋅f=100109.65+215.46+81.66+217.71+144.56=100769.04≈7.69
सतत आवृत्ति वितरण का माध्यिका के बारे में माध्य विचलन लगभग 7.69 है।
सारांश
अवर्गीकृत डेटा के लिए माध्यिका के बारे में माध्य विचलन:
1. डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
2. माध्यिका की गणना करें।
3. माध्यिका से पूर्ण विचलन का पता लगाएं।
4. इन पूर्ण विचलनों का औसत गणना करें।
विविक्त आवृत्ति वितरण के लिए माध्यिका के बारे में माध्य विचलन:
1. संचयी आवृत्ति की गणना करें।
2. माध्यिका वर्ग का निर्धारण करें।
3. माध्यिका से विचलन की गणना करें।
4. पूर्ण विचलनों का पता लगाएं और उन्हें आवृत्ति से गुणा करें।
5. माध्य विचलन की गणना करें।
सतत आवृत्ति वितरण के लिए माध्यिका के बारे में माध्य विचलन:
1. संचयी आवृत्ति की गणना करें।
2. माध्यिका वर्ग का निर्धारण करें।
3. माध्यिका की गणना करें।
4. प्रत्येक वर्ग मध्यबिंदु और माध्यिका के बीच का विचलन की गणना करें।
5. पूर्ण विचलनों का पता लगाएं और उन्हें आवृत्ति से गुणा करें।
6. माध्य विचलन की गणना करें।
9.माध्य विचलन की सीमाएँ
माध्य विचलन प्रसार का एक उपयोगी माप है, लेकिन इसका उपयोग करते समय कुछ सीमाएँ होती हैं जिन पर विचार करना चाहिए। यहाँ मुख्य सीमाएँ दी गई हैं:
1. विचलनों की दिशा को अनदेखा करता है:
  - माध्य विचलन केवल माध्य या माध्यिका से विचलनों के पूर्ण मानों पर विचार करता है। यह इस बात पर ध्यान नहीं देता कि विचलन सकारात्मक हैं या नकारात्मक। इसका मतलब है कि यह विचलनों की दिशा को अनदेखा करता है, जो कभी-कभी डेटा विश्लेषण में महत्वपूर्ण हो सकता है।
2. चरम मानों के प्रति कम संवेदनशील:
  - अन्य प्रसार के माप जैसे कि विभेदीकरण (वैरिएंस) और मानक विचलन की तुलना में, माध्य विचलन चरम मानों (आउटलायर) के प्रति कम संवेदनशील होता है। जबकि यह कुछ मामलों में फायदेमंद हो सकता है, यह महत्वपूर्ण आउटलायर होने पर डेटा के प्रसार को कम आंक सकता है।
3. उन्नत सांख्यिकीय विश्लेषण में व्यापक रूप से उपयोग नहीं:
  - माध्य विचलन उन्नत सांख्यिकीय विश्लेषण में विभेदीकरण और मानक विचलन की तरह व्यापक रूप से उपयोग नहीं होता। ऐसा इसलिए है क्योंकि विभेदीकरण और मानक विचलन के अधिक वांछनीय गणितीय गुण होते हैं, जैसे कि अन्य सांख्यिकीय माप (जैसे, सहसंबंध, प्रतिगमन) की गणना में उपयोग किया जाना।
4. वर्ग त्रुटियों को न्यूनतम नहीं करता:
  - सांख्यिकीय मॉडलिंग और अनुमान में, वर्ग विचलनों के योग को न्यूनतम करना अधिक वांछनीय होता है। विभेदीकरण और मानक विचलन वर्ग विचलनों पर आधारित होते हैं, जिससे वे इस उद्देश्य के लिए अधिक उपयुक्त होते हैं। दूसरी ओर, माध्य विचलन पूर्ण विचलनों के योग को न्यूनतम करता है, जो अनुकूलन समस्याओं में कम उपयोग होता है।
5. प्रायिकता वितरण में सैद्धांतिक आधार की कमी:
  - कई प्रायिकता वितरण और सांख्यिकीय सिद्धांत विभेदीकरण और मानक विचलन की अवधारणा पर आधारित होते हैं, न कि माध्य विचलन पर। यह इसे सैद्धांतिक संदर्भों में कम लागू करता है जहां इन वितरणों का उपयोग किया जाता है।
6. सभी प्रकार के डेटा के लिए उपयुक्त नहीं:
  - माध्य विचलन अंतराल (इंटरवल) या अनुपात (रेशियो) पैमाने पर मापे गए डेटा के लिए अधिक उपयुक्त है। यह गणना के लिए क्रमिक (ऑर्डिनल) या नाममात्र (नोमिनल) डेटा के लिए कम उपयोगी होता है, जहां किसी केंद्रीय मान से पूर्ण विचलन की अवधारणा कम महत्वपूर्ण होती है।
7. समूहित डेटा के साथ जटिलता:
  - समूहित डेटा के लिए माध्य विचलन की गणना अधिक जटिल हो सकती है, विशेष रूप से यदि डेटा समान रूप से अंतराल में वितरित नहीं है। यह इसे बड़े या अत्यधिक परिवर्तनीय डेटासेट के लिए कम व्यावहारिक बना सकता है।
सीमाओं का सारांश
- विचलनों की दिशा को अनदेखा करता है: केवल पूर्ण विचलनों पर विचार करता है, दिशा पर नहीं।
- चरम मानों के प्रति कम संवेदनशील: आउटलायर की उपस्थिति में परिवर्तनशीलता को कम आंक सकता है।
- उन्नत विश्लेषण में व्यापक उपयोग नहीं: विभेदीकरण और मानक विचलन की तुलना में कम उपयोग।
- वर्ग त्रुटियों को न्यूनतम नहीं करता: पूर्ण विचलनों को न्यूनतम करता है, वर्ग विचलनों को नहीं।
- सैद्धांतिक आधार की कमी: प्रायिकता वितरणों में कम लागू।
- सभी प्रकार के डेटा के लिए उपयुक्त नहीं: अंतराल या अनुपात डेटा के लिए अधिक उपयुक्त।
- समूहित डेटा के साथ जटिलता: असमान वितरण वाले डेटा के लिए गणना अधिक जटिल।
10.विभेदीकरण और मानक विचलन
विभेदीकरण और मानक विचलन वे मौलिक सांख्यिकीय माप हैं जो डेटा सेट के फैलाव या प्रसार को मापते हैं। ये सांख्यिकी में व्यापक रूप से डेटा सेट के भीतर परिवर्तनशीलता को समझने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
विभेदीकरण
विभेदीकरण माध्य से औसत वर्ग विचलनों को मापता है। यह इस बात का संकेत देता है कि डेटा सेट में मान माध्य से कितना विचलित होते हैं।
विभेदीकरण का सूत्र (अवर्गीकृत डेटा)
एक डेटा सेट 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛x1,x2,…,xn के लिए:
1. माध्य की गणना करें (𝑥‾x):
  𝑥‾=∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖𝑛x=n∑i=1nxi
2. विभेदीकरण (𝑠2s2) की गणना करें:
  𝑠2=∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖−𝑥‾)2𝑛s2=n∑i=1n(xi−x)2
उदाहरण
मान लीजिए हमारे पास टेस्ट स्कोर का एक डेटासेट है: 85,78,92,88,76,95,89,81,74,9085,78,92,88,76,95,89,81,74,90
1. माध्य की गणना करें (𝑥‾x):
  𝑥‾=85+78+92+88+76+95+89+81+74+9010=84810=84.8x=1085+78+92+88+76+95+89+81+74+90=10848=84.8
2. माध्य से वर्ग विचलनों की गणना करें:
  (85−84.8)2,(78−84.8)2,(92−84.8)2,(88−84.8)2,(76−84.8)2,(95−84.8)2,(89−84.8)2,(81−84.8)2,(74−84.8)2,(90−84.8)2(85−84.8)2,(78−84.8)2,(92−84.8)2,(88−84.8)2,(76−84.8)2,(95−84.8)2,(89−84.8)2,(81−84.8)2,(74−84.8)2,(90−84.8)20.04,46.24,52.84,10.24,76.84,104.04,17.64,14.44,118.24,27.040.04,46.24,52.84,10.24,76.84,104.04,17.64,14.44,118.24,27.04
3. विभेदीकरण की गणना करें:
  𝑠2=0.04+46.24+52.84+10.24+76.84+104.04+17.64+14.44+118.24+27.0410=467.610=46.76s2=100.04+46.24+52.84+10.24+76.84+104.04+17.64+14.44+118.24+27.04=10467.6=46.76
टेस्ट स्कोर का विभेदीकरण 46.76 है।
मानक विचलन
मानक विचलन विभेदीकरण का वर्गमूल है। यह प्रत्येक डेटा बिंदु के माध्य से औसत दूरी का माप प्रदान करता है।
मानक विचलन का सूत्र (अवर्गीकृत डेटा)
एक डेटा सेट 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛x1,x2,…,xn के लिए:
1. मानक विचलन (𝑠s) की गणना करें:𝑠=𝑠2=∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖−𝑥‾)2𝑛s=s2=n∑i=1n(xi−x)2
उदाहरण
उपरोक्त विभेदीकरण का उपयोग करते हुए (𝑠2=46.76s2=46.76):
1. मानक विचलन की गणना करें:𝑠=46.76≈6.84s=46.76≈6.84
टेस्ट स्कोर का मानक विचलन लगभग 6.84 है।
समूहित डेटा के लिए विभेदीकरण और मानक विचलन
समूहित डेटा के लिए, हम वर्ग अंतराल के मध्यबिंदुओं और उनकी आवृत्तियों का उपयोग करते हैं।
(a) विविक्त आवृत्ति वितरण के लिए विभेदीकरण
1. डेटासेट की पहचान करें:
  स्कोर (x)आवृत्ति (f)102203305404501
2. माध्य की गणना करें (𝑥‾x):
  𝑥‾=∑(𝑓⋅𝑥)∑𝑓=(2⋅10)+(3⋅20)+(5⋅30)+(4⋅40)+(1⋅50)2+3+5+4+1=44015≈29.33x=∑f∑(f⋅x)=2+3+5+4+1(2⋅10)+(3⋅20)+(5⋅30)+(4⋅40)+(1⋅50)=15440≈29.33
3. माध्य से वर्ग विचलनों की गणना करें:
  स्कोर (x)आवृत्ति (f)(𝑥−𝑥‾)2(𝑥−𝑥‾)2⋅𝑓102(10−29.33)2=373.35373.35⋅2=746.7203(20−29.33)2=87.7887.78⋅3=263.34305(30−29.33)2=0.440.44⋅5=2.2404(40−29.33)2=113.44113.44⋅4=453.76501(50−29.33)2=427.78427.78⋅1=427.78
4. विभेदीकरण की गणना करें:
  𝑠2=∑(𝑓⋅(𝑥−𝑥‾)2)∑𝑓=746.7+263.34+2.2+453.76+427.7815=1893.7815≈126.25s2=∑f∑(f⋅(x−x)2)=15746.7+263.34+2.2+453.76+427.78=151893.78≈126.25
विविक्त आवृत्ति वितरण का विभेदीकरण लगभग 126.25 है।
1. मानक विचलन की गणना करें:𝑠=𝑠2=126.25≈11.24s=s2=126.25≈11.24
विविक्त आवृत्ति वितरण का मानक विचलन लगभग 11.24 है।
(b) सतत आवृत्ति वितरण के लिए विभेदीकरण
1. डेटासेट की पहचान करें:
  ऊँचाई (सेमी)आवृत्ति (f)150−1595160−16918170−17942180−18927190−1998
2. कक्षा मध्यबिंदुओं (m) की गणना करें:
  ऊँचाई (सेमी)आवृत्ति (f)मध्यबिंदु (m)150−1595150+1592=154.5160−16918160+1692=164.5170−17942170+1792=174.5180−18927180+1892=184.5190−1998190+1992=194.5
3. माध्य की गणना करें (𝑥‾x):
  𝑥‾=∑(𝑓⋅𝑚)∑𝑓=(5⋅154.5)+(18⋅164.5)+(42⋅174.5)+(27⋅184.5)+(8⋅194.5)5+18+42+27+8x=∑f∑(f⋅m)=5+18+42+27+8(5⋅154.5)+(18⋅164.5)+(42⋅174.5)+(27⋅184.5)+(8⋅194.5)𝑥‾=772.5+2961+7329+4981.5+1556100=17500100=175x=100772.5+2961+7329+4981.5+1556=10017500=175
4. माध्य से वर्ग विचलनों की गणना करें:
  ऊँचाई (सेमी)आवृत्ति (f)(𝑚−𝑥‾)2(𝑚−𝑥‾)2⋅𝑓150−1595(154.5−175)2=420.25420.25⋅5=2101.25160−16918(164.5−175)2=110.25110.25⋅18=1984.5170−17942(174.5−175)2=0.250.25⋅42=10.5180−18927(184.5−175)2=90.2590.25⋅27=2436.75190−1998(194.5−175)2=380.25380.25⋅8=3042
5. विभेदीकरण की गणना करें:
  𝑠2=∑(𝑓⋅(𝑚−𝑥‾)2)∑𝑓=2101.25+1984.5+10.5+2436.75+3042100=9575100=95.75s2=∑f∑(f⋅(m−x)2)=1002101.25+1984.5+10.5+2436.75+3042=1009575=95.75
सतत आवृत्ति वितरण का विभेदीकरण 95.75 है।
1. मानक विचलन की गणना करें:𝑠=𝑠2=95.75≈9.78s=s2=95.75≈9.78
सतत आवृत्ति वितरण का मानक विचलन लगभग 9.78 है।
सारांश
- विभेदीकरण: माध्य से औसत वर्ग विचलनों को मापता है।
- मानक विचलन: विभेदीकरण का वर्गमूल; माध्य से औसत दूरी को मापता है।
ये माप डेटा सेट में प्रसार और परिवर्तनशीलता को समझने के लिए महत्वपूर्ण हैं, चाहे वह अवर्गीकृत हो या समूहित डेटा।
11.

सांख्यिकी — कक्षा 11 गणित नोट्स

सांख्यिकी में शामिल टॉपिक

1.सांख्यिकी का परिचय

सांख्यिकी क्या है?

वर्णनात्मक सांख्यिकी का उदाहरण

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

करियर जिसमें सांख्यिकी का उपयोग होता है

अभ्यास के लिए गतिविधि

2.विक्षेप के मापन

1. रेंज

2. वैरिएंस

3. मानक विचलन

4. इंटरक्वारटाइल रेंज (IQR)

वास्तविक जीवन में विक्षेप का उदाहरण

करियर जिसमें विक्षेप का उपयोग होता है

अभ्यास के लिए गतिविधि

3.रेंज: समझ और अनुप्रयोग

विस्तृत व्याख्या

चरण-दर-चरण व्याख्या

वास्तविक जीवन का उदाहरण

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1: मासिक वर्षा

उदाहरण 2: साप्ताहिक बिक्री

उदाहरण 3: छात्रों की ऊँचाई

व्यावहारिक गतिविधि

करियर जिसमें रेंज का उपयोग होता है

4.माध्य विचलन: समझ और अनुप्रयोग

विस्तृत व्याख्या

चरण-दर-चरण व्याख्या

वास्तविक जीवन का उदाहरण

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1: मासिक वर्षा

उदाहरण 2: साप्ताहिक बिक्री

उदाहरण 3: छात्रों की ऊँचाई

व्यावहारिक गतिविधि

करियर जिसमें माध्य विचलन का उपयोग होता है

5.अवर्गीकृत डेटा के लिए माध्य विचलन

विस्तृत व्याख्या

चरण-दर-चरण व्याख्या

वास्तविक जीवन का उदाहरण

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1: मासिक विद्युत खपत

उदाहरण 2: साप्ताहिक कमाई

उदाहरण 3: दैनिक जल खपत

व्यावहारिक गतिविधि

करियर जिसमें माध्य विचलन का उपयोग होता है

6.समूहीकृत डेटा के लिए माध्य विचलन

(a) विविक्त आवृत्ति वितरण के लिए माध्य विचलन

चरण-दर-चरण व्याख्या

(b) सतत आवृत्ति वितरण के लिए माध्य विचलन

चरण-दर-चरण व्याख्या

सारांश

7.माध्य के बारे में माध्य विचलन की गणना के लिए शॉर्टकट विधि

(a) विविक्त आवृत्ति वितरण के लिए माध्य विचलन (शॉर्टकट विधि)

चरण-दर-चरण व्याख्या

(b) सतत आवृत्ति वितरण के लिए माध्य विचलन (शॉर्टकट विधि)

चरण-दर-चरण व्याख्या

सारांश

8.माध्यिका के बारे में माध्य विचलन

अवर्गीकृत डेटा के लिए माध्य विचलन

चरण-दर-चरण व्याख्या

समूहित डेटा के लिए माध्य विचलन

(a) विविक्त आवृत्ति वितरण के लिए माध्यिका के बारे में माध्य विचलन

चरण-दर-चरण व्याख्या

(b) सतत आवृत्ति वितरण के लिए माध्यिका के बारे में माध्य विचलन

चरण-दर-चरण व्याख्या

सारांश

9.माध्य विचलन की सीमाएँ

सीमाओं का सारांश

10.विभेदीकरण और मानक विचलन

विभेदीकरण

विभेदीकरण का सूत्र (अवर्गीकृत डेटा)

उदाहरण

मानक विचलन

मानक विचलन का सूत्र (अवर्गीकृत डेटा)

उदाहरण

समूहित डेटा के लिए विभेदीकरण और मानक विचलन

(a) विविक्त आवृत्ति वितरण के लिए विभेदीकरण

(b) सतत आवृत्ति वितरण के लिए विभेदीकरण

सारांश