सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघात समीकरण — कक्षा 11 गणित नोट्स

सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघात समीकरण में शामिल टॉपिक

1. 1.

   सम्मिश्र संख्याएँ

   एक सम्मिश्र संख्या वह संख्या होती है जिसे 𝑎+𝑏𝑖a+bi के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ:

   • 𝑎a और 𝑏b वास्तविक संख्याएँ हैं।
   • 𝑖i एक काल्पनिक इकाई है, जिसे 𝑖2=−1i2=−1 द्वारा परिभाषित किया गया है।

   उदाहरण के लिए, 3+4𝑖3+4i एक सम्मिश्र संख्या है जहाँ 33 वास्तविक भाग है और 4𝑖4i काल्पनिक भाग है।

   वास्तविक जीवन उदाहरण:

   • विद्युत इंजीनियरिंग में, सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग एसी सर्किट का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। वास्तविक भाग प्रतिरोध का प्रतिनिधित्व करता है, और काल्पनिक भाग प्रतिक्रियाशीलता का प्रतिनिधित्व करता है।

   द्विघात समीकरण

   द्विघात समीकरण एक बहुपद समीकरण है जिसकी डिग्री 2 होती है, और इसे सामान्यतः इस रूप में लिखा जाता है: 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0ax2+bx+c=0 जहाँ 𝑎a, 𝑏b, और 𝑐c स्थिरांक हैं, और 𝑎≠0a=0।

   द्विघात समीकरण का समाधान:

   • द्विघात समीकरण के समाधान (मूल) द्विघात सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं: 𝑥=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎x=2a−b±b2−4ac​​

   क्वाड्रेटिक फॉर्मूला के तहत वर्गमूल की अभिव्यक्ति, 𝑏2−4𝑎𝑐b2−4ac, को विचलन कहा जाता है।

   • यदि 𝑏2−4𝑎𝑐>0b2−4ac>0: समीकरण के दो अलग-अलग वास्तविक मूल होते हैं।
   • यदि 𝑏2−4𝑎𝑐=0b2−4ac=0: समीकरण का केवल एक वास्तविक मूल होता है (पुनरावृत्त मूल)।
   • यदि 𝑏2−4𝑎𝑐<0b2−4ac<0: समीकरण के दो सम्मिश्र मूल होते हैं।

   वास्तविक जीवन उदाहरण:

   • भौतिकी में द्विघात समीकरण का उपयोग गुरुत्वाकर्षण बल के तहत वस्तुओं की गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, हवा में फेंकी गई गेंद का पथ एक परवलयाकार पथ होता है, जिसे एक द्विघात समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

   कदम-दर-कदम उदाहरण

   आइए द्विघात समीकरण 𝑥2−4𝑥+5=0x2−4x+5=0 को हल करें।

   1. 𝑎a, 𝑏b, और 𝑐c की पहचान करें:

      • 𝑎=1a=1
      • 𝑏=−4b=−4
      • 𝑐=5c=5

   2. विचलन की गणना करें: 𝑏2−4𝑎𝑐=(−4)2−4(1)(5)=16−20=−4b2−4ac=(−4)2−4(1)(5)=16−20=−4

      चूंकि विचलन नकारात्मक है, द्विघात समीकरण के दो सम्मिश्र मूल होते हैं।

   3. द्विघात सूत्र का उपयोग करके मूल ज्ञात करें: 𝑥=−(−4)±−42(1)=4±−42=4±2𝑖2=2±𝑖x=2(1)−(−4)±−4​​=24±−4​​=24±2i​=2±i

      तो, मूल हैं 2+𝑖2+i और 2−𝑖2−i।

2. 2.कॉम्प्लेक्स नंबर

   संक्षिप्त व्याख्या
   

   कल्पना कीजिए कि आप एक ग्रिड पर एक खेल खेल रहे हैं जहां आप बाएँ, दाएँ, ऊपर और नीचे जा सकते हैं। सामान्य संख्याएँ, जैसे 2 या -3, केवल आपको ग्रिड पर बाएँ और दाएँ जाने देती हैं। लेकिन क्या होगा अगर आप तिरछी या अन्य दिशाओं में जाना चाहें? यहीं पर कॉम्प्लेक्स नंबर आते हैं! ये आपको बाएँ-दाएँ (वास्तविक भाग) और ऊपर-नीचे (काल्पनिक भाग) को मिलाकर सभी दिशाओं में जाने में मदद करते हैं।

   विस्तृत व्याख्या

   वास्तविक जीवन का उदाहरण

   एक कॉम्प्लेक्स नंबर को मानचित्र पर एक समन्वय के रूप में सोचें। उदाहरण के लिए, जब आप गूगल मैप्स का उपयोग करते हैं, तो आपको निर्देशांक जैसे (3, 4) मिलते हैं। यहाँ, 3 का मतलब दाएँ 3 इकाई जाना है, और 4 का मतलब ऊपर 4 इकाई जाना है। साथ में, ये निर्देशांक आपको एक विशिष्ट स्थान खोजने में मदद करते हैं।

   गणित में, हम इन चालों को कॉम्प्लेक्स नंबर का उपयोग करके लिख सकते हैं। एक कॉम्प्लेक्स नंबर को 𝑎+𝑏𝑖a+bi के रूप में लिखा जाता है, जहाँ:

   • 𝑎a वास्तविक भाग है (बाएँ-दाएँ गति)।
   • 𝑏b काल्पनिक भाग है (ऊपर-नीचे गति)।
   • 𝑖i एक काल्पनिक इकाई है, जिसे 𝑖2=−1i2=−1 के रूप में परिभाषित किया गया है।

   कॉम्प्लेक्स नंबर को समझना

   1. काल्पनिक इकाई 𝑖i:

      • काल्पनिक इकाई 𝑖i एक विशेष संख्या है, जिससे 𝑖2=−1i2=−1 होता है। इसका मतलब 𝑖i वास्तविक संख्या नहीं है, लेकिन हमारे संख्यात्मक प्रणाली को विस्तार करने में मदद करता है।

   2. कॉम्प्लेक्स नंबर 𝑎+𝑏𝑖a+bi:

      • कोई भी कॉम्प्लेक्स नंबर वास्तविक भाग 𝑎a और काल्पनिक भाग 𝑏b से बना होता है।

   उदाहरण:

   आइए कॉम्प्लेक्स नंबर 3+4𝑖3+4i लें:

   • 33 वास्तविक भाग है।
   • 4𝑖4i काल्पनिक भाग है।

   इसका मतलब आप ग्रिड पर 3 इकाई दाएँ (वास्तविक भाग) और 4 इकाई ऊपर (काल्पनिक भाग) जाते हैं।

   कॉम्प्लेक्स नंबर के साथ संचालन

   1. योग:

      • दो कॉम्प्लेक्स नंबरों को जोड़ने के लिए, उनके वास्तविक भागों और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़ें।
      • उदाहरण: (3+4𝑖)+(1+2𝑖)=(3+1)+(4𝑖+2𝑖)=4+6𝑖(3+4i)+(1+2i)=(3+1)+(4i+2i)=4+6i।

   2. घटाव:

      • वास्तविक भागों और काल्पनिक भागों को अलग-अलग घटाएँ।
      • उदाहरण: (3+4𝑖)−(1+2𝑖)=(3−1)+(4𝑖−2𝑖)=2+2𝑖(3+4i)−(1+2i)=(3−1)+(4i−2i)=2+2i।

   3. गुणन:

      • वितरण गुण का उपयोग करें और याद रखें कि 𝑖2=−1i2=−1।
      • उदाहरण: (3+4𝑖)×(1+2𝑖)(3+4i)×(1+2i)।
      • गणना: 3×1+3×2𝑖+4𝑖×1+4𝑖×2𝑖3×1+3×2i+4i×1+4i×2i
      • सरल करें: 3+6𝑖+4𝑖+8𝑖2=3+10𝑖+8(−1)=3+10𝑖−8=−5+10𝑖3+6i+4i+8i2=3+10i+8(−1)=3+10i−8=−5+10i।

   4. भाग:

      • दो कॉम्प्लेक्स नंबरों को विभाजित करने के लिए, अंश और हर को हर के संयोग से गुणा करें।
      • उदाहरण: 3+4𝑖1+2𝑖1+2i3+4i​।
      • 1+2𝑖1+2i का संयोग 1−2𝑖1−2i है।
      • गणना: (3+4𝑖)×(1−2𝑖)(1+2𝑖)×(1−2𝑖)=(3+4𝑖)×(1−2𝑖)12−(2𝑖)2(1+2i)×(1−2i)(3+4i)×(1−2i)​=12−(2i)2(3+4i)×(1−2i)​
      • सरल करें: 3−6𝑖+4𝑖−8𝑖21−4(−1)=3−2𝑖+81+4=11−2𝑖5=115−2𝑖5=2.2−0.4𝑖1−4(−1)3−6i+4i−8i2​=1+43−2i+8​=511−2i​=511​−52i​=2.2−0.4i।

   वास्तविक जीवन में उपयोग

   1. इंजीनियरिंग: कॉम्प्लेक्स नंबरों का उपयोग इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में एसी सर्किट का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।
   2. भौतिकी: वे क्वांटम मैकेनिक्स में वेव फंक्शन्स से संबंधित समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं।
   3. कंप्यूटर ग्राफिक्स: कॉम्प्लेक्स नंबरों का उपयोग फ्रैक्टल्स और सिग्नल प्रोसेसिंग में किया जाता है।
   4. कंट्रोल सिस्टम्स: वे कंट्रोल सिस्टम्स के डिज़ाइन और विश्लेषण में स्थिरता और प्रतिक्रिया के लिए मदद करते हैं।

3. 3.कॉम्प्लेक्स नंबर का बीजगणित

   कॉम्प्लेक्स नंबर एक आयामी वास्तविक संख्याओं के विचार को दो आयामी कॉम्प्लेक्स विमान तक विस्तारित करते हैं, जिससे एक काल्पनिक इकाई 𝑖i पेश की जाती है जहाँ 𝑖2=−1i2=−1। आइए कॉम्प्लेक्स नंबरों के साथ बीजगणितीय संचालन का प्रदर्शन करें।

   संक्षिप्त व्याख्या

   कॉम्प्लेक्स नंबर 𝑎+𝑏𝑖a+bi के रूप में लिखे जाते हैं, जहाँ 𝑎a वास्तविक भाग और 𝑏b काल्पनिक भाग होता है। कॉम्प्लेक्स नंबरों का बीजगणित जोड़, घटाव, गुणा, और भाग जैसे बुनियादी कार्यों को शामिल करता है। इन कार्यों को समझना जटिल समीकरणों को हल करने और इन अवधारणाओं को इंजीनियरिंग और भौतिकी जैसे विभिन्न क्षेत्रों में लागू करने में मदद करता है।

   विस्तृत व्याख्या

   1. योग

   दो कॉम्प्लेक्स नंबरों को जोड़ने के लिए, उनके वास्तविक भागों और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़ें।

   सूत्र: (𝑎+𝑏𝑖)+(𝑐+𝑑𝑖)=(𝑎+𝑐)+(𝑏+𝑑)𝑖(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

   उदाहरण:

   (1 + 2i) = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i ]

   2. घटाव

   दो कॉम्प्लेक्स नंबरों को घटाने के लिए, उनके वास्तविक भागों और काल्पनिक भागों को अलग-अलग घटाएँ।

   सूत्र: (𝑎+𝑏𝑖)−(𝑐+𝑑𝑖)=(𝑎−𝑐)+(𝑏−𝑑)𝑖(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i

   उदाहरण: (3+4𝑖)−(1+2𝑖)=(3−1)+(4−2)𝑖=2+2𝑖(3+4i)−(1+2i)=(3−1)+(4−2)i=2+2i

   3. गुणा

   दो कॉम्प्लेक्स नंबरों को गुणा करने के लिए, वितरण गुण का उपयोग करें और 𝑖2=−1i2=−1 को ध्यान में रखें।

   सूत्र: (𝑎+𝑏𝑖)×(𝑐+𝑑𝑖)=(𝑎𝑐−𝑏𝑑)+(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑖(a+bi)×(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i

   उदाहरण: (3+4𝑖)×(1+2𝑖)=3×1+3×2𝑖+4𝑖×1+4𝑖×2𝑖(3+4i)×(1+2i)=3×1+3×2i+4i×1+4i×2i =3+6𝑖+4𝑖+8𝑖2=3+6i+4i+8i2 =3+10𝑖+8(−1)=3+10i+8(−1) =3+10𝑖−8=3+10i−8 =−5+10𝑖=−5+10i

   4. भाग

   दो कॉम्प्लेक्स नंबरों को विभाजित करने के लिए, अंश और हर को हर के संयोग (conjugate) से गुणा करें और सरल करें।

   सूत्र: 𝑎+𝑏𝑖𝑐+𝑑𝑖=(𝑎+𝑏𝑖)×(𝑐−𝑑𝑖)(𝑐+𝑑𝑖)×(𝑐−𝑑𝑖)=(𝑎+𝑏𝑖)×(𝑐−𝑑𝑖)𝑐2+𝑑2c+dia+bi​=(c+di)×(c−di)(a+bi)×(c−di)​=c2+d2(a+bi)×(c−di)​

   उदाहरण: 3+4𝑖1+2𝑖1+2i3+4i​

   • 1+2𝑖1+2i का संयोग 1−2𝑖1−2i है।
   • अंश और हर को संयोग से गुणा करें: (3+4𝑖)×(1−2𝑖)(1+2𝑖)×(1−2𝑖)=(3+4𝑖)×(1−2𝑖)12−(2𝑖)2(1+2i)×(1−2i)(3+4i)×(1−2i)​=12−(2i)2(3+4i)×(1−2i)​
   • सरल करें: =(3−6𝑖+4𝑖−8𝑖2)1+4=3−2𝑖+85=11−2𝑖5=2.2−0.4𝑖=1+4(3−6i+4i−8i2)​=53−2i+8​=511−2i​=2.2−0.4i

   कॉम्प्लेक्स संयोग (Complex Conjugate)

   किसी कॉम्प्लेक्स नंबर 𝑎+𝑏𝑖a+bi का संयोग 𝑎−𝑏𝑖a−bi होता है। यह भाग और कॉम्प्लेक्स नंबर की परिमाण (magnitude) खोजने में उपयोगी है।

   उदाहरण: 3+4𝑖3+4i का संयोग 3−4𝑖3−4i है।

   परिमाण (Magnitude)

   किसी कॉम्प्लेक्स नंबर 𝑎+𝑏𝑖a+bi की परिमाण (या मॉड्यूलस) निम्नलिखित होती है: ∣𝑎+𝑏𝑖∣=𝑎2+𝑏2∣a+bi∣=a2+b2​

   उदाहरण: 3+4𝑖3+4i की परिमाण: ∣3+4𝑖∣=32+42=9+16=25=5∣3+4i∣=32+42​=9+16​=25​=5

   वास्तविक जीवन में उपयोग

   1. इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग: एसी सर्किट का विश्लेषण करने में कॉम्प्लेक्स नंबरों का उपयोग होता है।
   2. क्वांटम भौतिकी: वेव फंक्शन्स का प्रतिनिधित्व कॉम्प्लेक्स नंबरों का उपयोग करके किया जाता है।
   3. सिग्नल प्रोसेसिंग: फूरियर ट्रांसफॉर्म में कॉम्प्लेक्स नंबरों का उपयोग होता है।
   4. कंट्रोल सिस्टम्स: स्थिरता और नियंत्रण विश्लेषण में कॉम्प्लेक्स नंबरों का उपयोग होता है।

4. 4.कॉम्प्लेक्स नंबरों पर विस्तार से बीजगणितीय संचालन

   1. दो कॉम्प्लेक्स नंबरों का योग

   दो कॉम्प्लेक्स नंबरों को जोड़ते समय, उनके वास्तविक भागों और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़ें।

   सूत्र: (𝑎+𝑏𝑖)+(𝑐+𝑑𝑖)=(𝑎+𝑐)+(𝑏+𝑑)𝑖(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

   उदाहरण: मान लीजिए कि हमारे पास कॉम्प्लेक्स नंबर 3+4𝑖3+4i और 1+2𝑖1+2i हैं: (3+4𝑖)+(1+2𝑖)=(3+1)+(4+2)𝑖(3+4i)+(1+2i)=(3+1)+(4+2)i =4+6𝑖=4+6i

   2. दो कॉम्प्लेक्स नंबरों का अंतर

   दो कॉम्प्लेक्स नंबरों को घटाते समय, उनके वास्तविक भागों और काल्पनिक भागों को अलग-अलग घटाएँ।

   सूत्र: (𝑎+𝑏𝑖)−(𝑐+𝑑𝑖)=(𝑎−𝑐)+(𝑏−𝑑)𝑖(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i

   उदाहरण: मान लीजिए कि हमारे पास कॉम्प्लेक्स नंबर 3+4𝑖3+4i और 1+2𝑖1+2i हैं: (3+4𝑖)−(1+2𝑖)=(3−1)+(4−2)𝑖(3+4i)−(1+2i)=(3−1)+(4−2)i =2+2𝑖=2+2i

   3. दो कॉम्प्लेक्स नंबरों का गुणा

   दो कॉम्प्लेक्स नंबरों को गुणा करते समय, वितरण गुण का उपयोग करें (बाइनोमियल्स के लिए FOIL विधि के रूप में भी जाना जाता है) और यह ध्यान रखें कि 𝑖2=−1i2=−1।

   सूत्र: (𝑎+𝑏𝑖)×(𝑐+𝑑𝑖)=(𝑎𝑐−𝑏𝑑)+(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑖(a+bi)×(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i

   उदाहरण: मान लीजिए कि हमारे पास कॉम्प्लेक्स नंबर 3+4𝑖3+4i और 1+2𝑖1+2i हैं: (3+4𝑖)×(1+2𝑖)(3+4i)×(1+2i) पहले वितरण गुण लागू करें: =3×1+3×2𝑖+4𝑖×1+4𝑖×2𝑖=3×1+3×2i+4i×1+4i×2i =3+6𝑖+4𝑖+8𝑖2=3+6i+4i+8i2 चूँकि 𝑖2=−1i2=−1: =3+10𝑖+8(−1)=3+10i+8(−1) =3+10𝑖−8=3+10i−8 =−5+10𝑖=−5+10i

   4. दो कॉम्प्लेक्स नंबरों का भाग

   दो कॉम्प्लेक्स नंबरों को विभाजित करने के लिए, अंश और हर को हर के संयोग (conjugate) से गुणा करें और सरल करें।

   सूत्र: 𝑎+𝑏𝑖𝑐+𝑑𝑖=(𝑎+𝑏𝑖)×(𝑐−𝑑𝑖)(𝑐+𝑑𝑖)×(𝑐−𝑑𝑖)=(𝑎+𝑏𝑖)×(𝑐−𝑑𝑖)𝑐2+𝑑2c+dia+bi​=(c+di)×(c−di)(a+bi)×(c−di)​=c2+d2(a+bi)×(c−di)​

   उदाहरण: मान लीजिए कि हमारे पास कॉम्प्लेक्स नंबर 3+4𝑖3+4i और 1+2𝑖1+2i हैं: 3+4𝑖1+2𝑖1+2i3+4i​ 1+2𝑖1+2i का संयोग 1−2𝑖1−2i है। अंश और हर को इस संयोग से गुणा करें: (3+4𝑖)×(1−2𝑖)(1+2𝑖)×(1−2𝑖)(1+2i)×(1−2i)(3+4i)×(1−2i)​ पहले अंश को गुणा करें: =(3+4𝑖)×(1−2𝑖)=(3+4i)×(1−2i) =3×1−3×2𝑖+4𝑖×1−4𝑖×2𝑖=3×1−3×2i+4i×1−4i×2i =3−6𝑖+4𝑖−8𝑖2=3−6i+4i−8i2 =3−6𝑖+4𝑖−8(−1)=3−6i+4i−8(−1) =3−6𝑖+4𝑖+8=3−6i+4i+8 =11−2𝑖=11−2i अब हर को गुणा करें: (1+2𝑖)×(1−2𝑖)(1+2i)×(1−2i) =1×1−1×2𝑖+2𝑖×1−2𝑖×2𝑖=1×1−1×2i+2i×1−2i×2i =1−2𝑖+2𝑖−4𝑖2=1−2i+2i−4i2 =1−4(−1)=1−4(−1) =1+4=1+4 =5=5 इस प्रकार, भागफल है: 11−2𝑖5511−2i​ इसे वास्तविक और काल्पनिक भागों में विभाजित करें: =115−2𝑖5=511​−52i​ =2.2−0.4𝑖=2.2−0.4i

   5. 𝑖i की घातें

   काल्पनिक इकाई 𝑖i को विभिन्न घातों पर उठाने पर एक चक्र का पालन करती है। इस पैटर्न को जानने से 𝑖i की घातों वाले अभिव्यक्तियों को सरल बनाने में मदद मिलती है।

   • 𝑖1=𝑖i1=i
   • 𝑖2=−1i2=−1
   • 𝑖3=−𝑖i3=−i
   • 𝑖4=1i4=1
   • 𝑖5=𝑖i5=i (क्योंकि 𝑖5=𝑖4+1=𝑖4×𝑖=1×𝑖=𝑖i5=i4+1=i4×i=1×i=i)

   यह पैटर्न हर चार घातों के बाद दोहराता है।

   उदाहरण: आइए 𝑖17i17 खोजें: चूंकि 𝑖i की घातें हर चार संख्याओं के बाद दोहराती हैं, 17 को 4 से विभाजित करने पर शेषफल देखें: 17÷4=4 शेष 117÷4=4 शेष 1 इसलिए, 𝑖17=𝑖1=𝑖i17=i1=i

5. 5.समिश्र संख्या का मापांक और युग्मक

   संक्षिप्त व्याख्या:
   

   1. समिश्र संख्या का मापांक:

      • समिश्र संख्या 𝑧=𝑎+𝑏𝑖z=a+bi का मापांक ∣𝑧∣∣z∣ होता है।
      • इसे इस प्रकार गणना किया जाता है: ∣𝑧∣=𝑎2+𝑏2∣z∣=a2+b2​, जहाँ 𝑎a वास्तविक भाग और 𝑏b समिश्र भाग होता है।

   2. समिश्र संख्या का युग्मक:

      • समिश्र संख्या 𝑧=𝑎+𝑏𝑖z=a+bi का युग्मक 𝑧‾z होता है।
      • इसे समिश्र भाग का चिन्ह बदलकर प्राप्त किया जाता है: 𝑧‾=𝑎−𝑏𝑖z=a−bi।

   विस्तृत व्याख्या और वास्तविक जीवन का उदाहरण

   1. समिश्र संख्या का मापांक:

   समिश्र संख्या 𝑧=3+4𝑖z=3+4i को लें।

   • यहाँ, 𝑎=3a=3 और 𝑏=4b=4 है।
   • मापांक इस प्रकार गणना किया जाता है:∣𝑧∣=𝑎2+𝑏2=32+42=9+16=25=5∣z∣=a2+b2​=32+42​=9+16​=25​=5

   उदाहरण: एक तल में दूरी

   एक समिश्र संख्या को 2D तल में एक बिंदु के रूप में सोचें जहाँ x-अक्ष वास्तविक भाग और y-अक्ष समिश्र भाग को दर्शाता है। मापांक उस बिंदु से मूल बिंदु (0,0) तक की दूरी को दर्शाता है। 𝑧=3+4𝑖z=3+4i के लिए, बिंदु (3, 4) है और मूल बिंदु से दूरी 5 इकाई है।

   2. समिश्र संख्या का युग्मक:

   उसी समिश्र संख्या 𝑧=3+4𝑖z=3+4i के लिए,

   • युग्मक इस प्रकार होता है:𝑧‾=3−4𝑖z=3−4i

   उदाहरण: विद्युत अभियांत्रिकी

   विद्युत अभियांत्रिकी में, समिश्र संख्याओं का उपयोग प्रतिरोधों को दर्शाने के लिए किया जाता है। प्रतिरोध की गणना में 𝑧z का युग्मक 𝑧‾z का उपयोग वास्तविक शक्ति का पता लगाने के लिए किया जाता है।

   गतिविधि

   अभ्यास के लिए, निम्नलिखित समिश्र संख्याओं का मापांक और युग्मक खोजें:

   1. 𝑧1=1+2𝑖z1​=1+2i
   2. 𝑧2=−3−4𝑖z2​=−3−4i

   समाधान:

   1. 𝑧1=1+2𝑖z1​=1+2i के लिए:

      • मापांक: ∣𝑧1∣=12+22=1+4=5∣z1​∣=12+22​=1+4​=5​
      • युग्मक: 𝑧1‾=1−2𝑖z1​​=1−2i

   2. 𝑧2=−3−4𝑖z2​=−3−4i के लिए:

      • मापांक: ∣𝑧2∣=(−3)2+(−4)2=9+16=25=5∣z2​∣=(−3)2+(−4)2​=9+16​=25​=5
      • युग्मक: 𝑧2‾=−3+4𝑖z2​​=−3+4i

   करियर और वास्तविक जीवन में उपयोग

   • अभियांत्रिकी: समिश्र संख्याएँ विद्युत और यांत्रिक अभियांत्रिकी में सर्किट और प्रणालियों के विश्लेषण के लिए आवश्यक हैं।
   • भौतिकी: वे क्वांटम यांत्रिकी और तरंग सिद्धांत में उपयोग की जाती हैं।
   • कंप्यूटर ग्राफिक्स: समिश्र संख्याएँ रूपांतरणों और घुमावों में मदद करती हैं।
   • सिग्नल प्रसंस्करण: मापांक और युग्मक सिग्नलों को फ़िल्टर करने और विश्लेषण करने में उपयोग होते हैं।

6. 6.अभ्यास प्रश्न

   प्रत्येक समिश्र संख्या को 𝑎+𝑖𝑏a+ib के रूप में व्यक्त करें

   1. (5𝑖)(35−𝑖)(5i)(53​−i)

   समाधान:

   पहले, हम 5𝑖5i को कोष्ठक के भीतर की शर्तों पर वितरित करते हैं:

   5𝑖(35−𝑖)=5𝑖⋅35−5𝑖⋅𝑖5i(53​−i)=5i⋅53​−5i⋅i

   प्रत्येक शब्द को अलग-अलग गणना करें:

   1. 5𝑖⋅35=3𝑖5i⋅53​=3i
   2. 5𝑖⋅𝑖=5𝑖2=5(−1)=−55i⋅i=5i2=5(−1)=−5

   अब, परिणामों को जोड़ें:

   3𝑖−53i−5

   तो, 𝑎+𝑖𝑏a+ib के रूप में उत्तर है:

   −5+3𝑖−5+3i

   2. 𝑖9+𝑖19i9+i19

   समाधान:

   हम जानते हैं कि 𝑖i का 4 का चक्र है: 𝑖,−1,−𝑖,1i,−1,−i,1.

   • 𝑖9=𝑖4⋅2+1=𝑖1=𝑖i9=i4⋅2+1=i1=i
   • 𝑖19=𝑖4⋅4+3=𝑖3=−𝑖i19=i4⋅4+3=i3=−i

   अब, परिणाम जोड़ें:

   𝑖+(−𝑖)=0i+(−i)=0

   तो, 𝑎+𝑖𝑏a+ib के रूप में उत्तर है:

   0+0𝑖0+0i

   3. 𝑖−39i−39

   समाधान:

   हम जानते हैं कि 𝑖i का 4 का चक्र है: 𝑖,−1,−𝑖,1i,−1,−i,1.

   • 𝑖−39=𝑖−(4⋅9+3)=𝑖−3=1𝑖3=1−𝑖=𝑖−𝑖2=𝑖1=−𝑖i−39=i−(4⋅9+3)=i−3=i31​=−i1​=−i2i​=1i​=−i

   तो, 𝑎+𝑖𝑏a+ib के रूप में उत्तर है:

   0−𝑖0−i

   4. (15+𝑖25)−(4+𝑖52)(51​+i52​)−(4+i25​)

   समाधान:

   वास्तविक भाग और समिश्र भाग को अलग-अलग घटाएँ:

   वास्तविक भाग: 15−4=15−205=−19551​−4=51​−520​=−519​

   समिश्र भाग: 25−52=25−2510=410−2510=−2110=−2.152​−25​=52​−1025​=104​−1025​=−1021​=−2.1

   तो, 𝑎+𝑖𝑏a+ib के रूप में उत्तर है:

   −195−2.1𝑖−519​−2.1i

   5. [(13+𝑖73)+(4+𝑖13)]−(−43+𝑖)[(31​+i37​)+(4+i31​)]−(−34​+i)

   समाधान:

   पहले, कोष्ठकों के भीतर के पदों को जोड़ें:

   वास्तविक भाग: 13+4=13+123=13331​+4=31​+312​=313​

   समिश्र भाग: 73+13=8337​+31​=38​

   अब, दिए गए पद को घटाएँ:

   वास्तविक भाग: 133−(−43)=133+43=173313​−(−34​)=313​+34​=317​

   समिश्र भाग: 83−𝑖=83−𝑖38​−i=38​−i

   तो, 𝑎+𝑖𝑏a+ib के रूप में उत्तर है:

   173+53𝑖317​+35​i

   6. (1−𝑖)4(1−i)4

   समाधान:

   हम (1−𝑖)4(1−i)4 को बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके विस्तृत कर सकते हैं, लेकिन इसे डि मोइव्रे के प्रमेय का उपयोग करके करना आसान है।

   पहले, 1−𝑖1−i को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें:

   1−𝑖=2(cos⁡(−𝜋4)+𝑖sin⁡(−𝜋4))1−i=2​(cos(−4π​)+isin(−4π​))

   डि मोइव्रे के प्रमेय का उपयोग करके:

   (1−𝑖)4=(2)4(cos⁡(4×−𝜋4)+𝑖sin⁡(4×−𝜋4))=4(cos⁡(−𝜋)+𝑖sin⁡(−𝜋))=4(−1+0𝑖)=−4(1−i)4=(2​)4(cos(4×−4π​)+isin(4×−4π​))=4(cos(−π)+isin(−π))=4(−1+0i)=−4

   तो, 𝑎+𝑖𝑏a+ib के रूप में उत्तर है:

   −4+0𝑖−4+0i

7. 7.अर्जांद तल और ध्रुवीय रूपांतरण

   संक्षिप्त व्याख्या:

   1. अर्जांद तल:

      • अर्जांद तल समिश्र संख्याओं को ज्यामितीय रूप से दर्शाने का एक तरीका है। यह एक निर्देशांक तल के समान है, जिसमें x-अक्ष वास्तविक भाग को और y-अक्ष समिश्र भाग को दर्शाता है।

   2. ध्रुवीय रूपांतरण:

      • ध्रुवीय रूपांतरण समिश्र संख्या को इसके मापांक (या परिमाण) और कोण (या आर्ग्यूमेंट) के रूप में व्यक्त करता है। समिश्र संख्या 𝑧=𝑎+𝑏𝑖z=a+bi को 𝑧=𝑟(cos⁡𝜃+𝑖sin⁡𝜃)z=r(cosθ+isinθ) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ 𝑟r मापांक है और 𝜃θ आर्ग्यूमेंट है।

        यहाँ समिश्र संख्या 𝑧=3+4𝑖z=3+4i का ग्राफ़िकल प्रतिनिधित्व अर्जांद तल और ध्रुवीय रूप में प्रस्तुत किया गया है:

        अर्जांद तल

        अर्जांद तल में:

        • क्षैतिज अक्ष समिश्र संख्या के वास्तविक भाग को दर्शाता है।
        • लंबवत अक्ष समिश्र संख्या के समिश्र भाग को दर्शाता है।

        𝑧=3+4𝑖z=3+4i के लिए:

        • बिंदु (3, 4) को प्लॉट किया गया है, जो समिश्र संख्या की स्थिति को दिखाता है।

        ध्रुवीय रूपांतरण

        ध्रुवीय रूपांतरण में:

        • समिश्र संख्या को इसके मापांक (r) और कोण (θ) द्वारा दर्शाया जाता है।
        • मापांक 𝑟=5r=5 (उत्पत्ति से बिंदु तक की दूरी) है।
        • कोण 𝜃≈53.13∘θ≈53.13∘ (सकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बना कोण) है।

        ध्रुवीय ग्राफ़ ध्रुवीय निर्देशांकों में समिश्र संख्या का वेक्टर प्रतिनिधित्व दिखाता है।

        ये दृश्य प्रस्तुतियाँ यह समझने में मदद करती हैं कि समिश्र संख्याओं को विभिन्न तरीकों से कैसे दर्शाया जा सकता है, जिससे उनकी हेरफेर और समझ आसान हो जाती है।

   विस्तृत व्याख्या और वास्तविक जीवन का उदाहरण

   1. अर्जांद तल:

   अर्जांद तल का नाम स्विस गणितज्ञ जीन-रोबर्ट अर्जांद के नाम पर रखा गया है। इसका उपयोग समिश्र संख्याओं को देखने के लिए किया जाता है। इस तल पर:

   • क्षैतिज अक्ष (x-अक्ष) समिश्र संख्या के वास्तविक भाग को दर्शाता है।
   • लंबवत अक्ष (y-अक्ष) समिश्र संख्या के समिश्र भाग को दर्शाता है।

   उदाहरण के लिए, समिश्र संख्या 𝑧=3+4𝑖z=3+4i पर विचार करें:

   • वास्तविक भाग 3 है, और समिश्र भाग 4 है।
   • अर्जांद तल पर, इसे बिंदु (3, 4) के रूप में दर्शाया गया है।

   उदाहरण:

   कल्पना करें कि आप समिश्र संख्या 3+4𝑖3+4i को अर्जांद तल पर दर्शाना चाहते हैं। आप (3, 4) निर्देशांक पर एक बिंदु बनाते हैं। यह दृश्य प्रतिनिधित्व समिश्र संख्याओं के परिमाण और दिशा को समझने में मदद करता है।

   2. ध्रुवीय रूपांतरण:

   समिश्र संख्या 𝑧=𝑎+𝑏𝑖z=a+bi को ध्रुवीय रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। ध्रुवीय रूप का उपयोग उत्पत्ति से दूरी (मापांक) और सकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ कोण (आर्ग्यूमेंट) को व्यक्त करने के लिए किया जाता है।

   • मापांक 𝑟r: अर्जांद तल में उत्पत्ति से बिंदु (a, b) की दूरी।𝑟=𝑎2+𝑏2r=a2+b2​
   • आर्ग्यूमेंट 𝜃θ: सकारात्मक x-अक्ष के साथ बना कोण।𝜃=tan⁡−1(𝑏𝑎)θ=tan−1(ab​)

   इनका उपयोग करके, 𝑧=𝑎+𝑏𝑖z=a+bi का ध्रुवीय रूप है:

   𝑧=𝑟(cos⁡𝜃+𝑖sin⁡𝜃)z=r(cosθ+isinθ)

   उदाहरण:

   𝑧=3+4𝑖z=3+4i के लिए:

   • मापांक 𝑟=32+42=9+16=25=5r=32+42​=9+16​=25​=5
   • आर्ग्यूमेंट 𝜃=tan⁡−1(43)≈53.13∘θ=tan−1(34​)≈53.13∘

   तो, ध्रुवीय रूप में:

   𝑧=5(cos⁡53.13∘+𝑖sin⁡53.13∘)z=5(cos53.13∘+isin53.13∘)

   गतिविधि

   अभ्यास के लिए, निम्नलिखित समिश्र संख्याओं को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करें और अर्जांद तल पर प्रदर्शित करें:

   1. 𝑧1=1+𝑖z1​=1+i
   2. 𝑧2=−2+2𝑖z2​=−2+2i

   समाधान:

   1. 𝑧1=1+𝑖z1​=1+i के लिए:

      • मापांक 𝑟=12+12=2r=12+12​=2​
      • आर्ग्यूमेंट 𝜃=tan⁡−1(1)=45∘θ=tan−1(1)=45∘
      • ध्रुवीय रूप: 𝑧1=2(cos⁡45∘+𝑖sin⁡45∘)z1​=2​(cos45∘+isin45∘)

   2. 𝑧2=−2+2𝑖z2​=−2+2i के लिए:

      • मापांक 𝑟=(−2)2+22=4+4=8=22r=(−2)2+22​=4+4​=8​=22​
      • आर्ग्यूमेंट 𝜃=tan⁡−1(2−2)=tan⁡−1(−1)=135∘θ=tan−1(−22​)=tan−1(−1)=135∘
      • ध्रुवीय रूप: 𝑧2=22(cos⁡135∘+𝑖sin⁡135∘)z2​=22​(cos135∘+isin135∘)

   करियर और वास्तविक जीवन में उपयोग

   • अभियांत्रिकी: समिश्र संख्याओं और उनके रूपांतरण विद्युत और यांत्रिक अभियांत्रिकी में सर्किट और यांत्रिक कंपन के विश्लेषण के लिए आवश्यक हैं।
   • भौतिकी: वे तरंग सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, और सिग्नल प्रसंस्करण में उपयोग होते हैं।
   • कंप्यूटर ग्राफिक्स: समिश्र रूपांतरण और घुमाव अक्सर ध्रुवीय रूप का उपयोग करते हैं।
   • रोबोटिक्स: गति और स्थिति को समझने में अक्सर समिश्र संख्याओं और ध्रुवीय निर्देशांकों का उपयोग होता है।

8. 8.अभ्यास प्रश्न

   1. यदि 𝛼α और 𝛽β अलग-अलग समिश्र संख्याएँ हैं जिनके लिए ∣𝛽∣=1∣β∣=1 है, तो ∣𝛽−𝛼1−𝛼‾𝛽∣∣∣​1−αββ−α​∣∣​ का मान निकालें।

   समाधान:

   दिया गया है ∣𝛽∣=1∣β∣=1, हम जानते हैं कि 𝛽𝛽‾=1ββ​=1। इस गुण का उपयोग करके हम समाधान करेंगे।

   हमें ∣𝛽−𝛼1−𝛼‾𝛽∣∣∣​1−αββ−α​∣∣​ का मान निकालना है।

   1. मान लीजिए 𝑧=∣𝛽−𝛼1−𝛼‾𝛽∣z=∣∣​1−αββ−α​∣∣​।

   2. ∣𝛽∣=1∣β∣=1 का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

      ∣𝛽∣=∣𝛽𝛽‾∣=1∣β∣=∣ββ​∣=1

   3. अब, मापांक की गुण का उपयोग करते हुए:

      ∣𝛽−𝛼1−𝛼‾𝛽∣=∣𝛽−𝛼∣∣1−𝛼‾𝛽∣∣∣​1−αββ−α​∣∣​=∣1−αβ∣∣β−α∣​

   4. चूंकि ∣𝛽∣=1∣β∣=1, हमें पता है कि 𝛽‾=1𝛽β​=β1​, इसलिए:

      1−𝛼‾𝛽=1−𝛼‾𝛽=𝛽−𝛼1−αβ=1−βα​=β−α

   5. इसलिए:

      ∣𝛽−𝛼1−𝛼‾𝛽∣=∣𝛽−𝛼∣∣1−𝛼‾𝛽∣=1∣∣​1−αββ−α​∣∣​=∣1−αβ∣∣β−α∣​=1

   तो, उत्तर है ∣𝛽−𝛼1−𝛼‾𝛽∣=1∣∣​1−αββ−α​∣∣​=1।

   2. समीकरण ∣1−𝑖∣𝑥=2𝑥∣1−i∣x=2x के गैर-शून्य पूर्णांक समाधानों की संख्या ज्ञात करें।

   समाधान:

   1. पहले, ∣1−𝑖∣∣1−i∣ की गणना करें:

      ∣1−𝑖∣=12+(−1)2=1+1=2∣1−i∣=12+(−1)2​=1+1​=2​

   2. समीकरण में ∣1−𝑖∣∣1−i∣ को प्रतिस्थापित करें:

      (2)𝑥=2𝑥(2​)x=2x

   3. आधारों को समान करें:

      (21/2)𝑥=2𝑥(21/2)x=2x

   4. घातांकों को सरल करें:

      2𝑥/2=2𝑥2x/2=2x

   5. घातांकों को एक-दूसरे के बराबर करें:

      𝑥2=𝑥2x​=x

   6. 𝑥x का मान निकालें:

      𝑥=0x=0

   चूंकि प्रश्न गैर-शून्य पूर्णांक समाधानों की मांग करता है और 𝑥=0x=0 एकमात्र समाधान है, इसलिए गैर-शून्य पूर्णांक समाधानों की संख्या 0 है।

   3. यदि (𝑎+𝑖𝑏)(𝑐+𝑖𝑑)(𝑒+𝑖𝑓)(𝑔+𝑖ℎ)=𝐴+𝑖𝐵(a+ib)(c+id)(e+if)(g+ih)=A+iB, तो यह दिखाएं कि (𝑎2+𝑏2)(𝑐2+𝑑2)(𝑒2+𝑓2)(𝑔2+ℎ2)=𝐴2+𝐵2(a2+b2)(c2+d2)(e2+f2)(g2+h2)=A2+B2।

   समाधान:

   1. दिया गया है: (𝑎+𝑖𝑏)(𝑐+𝑖𝑑)(𝑒+𝑖𝑓)(𝑔+𝑖ℎ)=𝐴+𝑖𝐵(a+ib)(c+id)(e+if)(g+ih)=A+iB।

   2. मान लीजिए:

      𝑧1=𝑎+𝑖𝑏,𝑧2=𝑐+𝑖𝑑,𝑧3=𝑒+𝑖𝑓,𝑧4=𝑔+𝑖ℎz1​=a+ib,z2​=c+id,z3​=e+if,z4​=g+ih

   3. इन समिश्र संख्याओं का गुणनफल:

      𝑧1𝑧2𝑧3𝑧4=𝐴+𝑖𝐵z1​z2​z3​z4​=A+iB

   4. प्रत्येक समिश्र संख्या का मापांक निकालें:

      ∣𝑧1∣=𝑎2+𝑏2,∣𝑧2∣=𝑐2+𝑑2,∣𝑧3∣=𝑒2+𝑓2,∣𝑧4∣=𝑔2+ℎ2∣z1​∣=a2+b2​,∣z2​∣=c2+d2​,∣z3​∣=e2+f2​,∣z4​∣=g2+h2​

   5. गुणनफल का मापांक:

      ∣𝑧1𝑧2𝑧3𝑧4∣=∣𝑧1∣∣𝑧2∣∣𝑧3∣∣𝑧4∣∣z1​z2​z3​z4​∣=∣z1​∣∣z2​∣∣z3​∣∣z4​∣

   6. मानों को प्रतिस्थापित करें:

      ∣𝑧1𝑧2𝑧3𝑧4∣=𝑎2+𝑏2⋅𝑐2+𝑑2⋅𝑒2+𝑓2⋅𝑔2+ℎ2∣z1​z2​z3​z4​∣=a2+b2​⋅c2+d2​⋅e2+f2​⋅g2+h2​

   7. चूंकि 𝐴+𝑖𝐵A+iB का मापांक 𝐴2+𝐵2A2+B2​ है:

      𝐴2+𝐵2=(𝑎2+𝑏2)(𝑐2+𝑑2)(𝑒2+𝑓2)(𝑔2+ℎ2)A2+B2​=(a2+b2)(c2+d2)(e2+f2)(g2+h2)​

   8. दोनों पक्षों को वर्ग करें:

      𝐴2+𝐵2=(𝑎2+𝑏2)(𝑐2+𝑑2)(𝑒2+𝑓2)(𝑔2+ℎ2)A2+B2=(a2+b2)(c2+d2)(e2+f2)(g2+h2)

   इस प्रकार, हमने दिखा दिया है कि:

   (𝑎2+𝑏2)(𝑐2+𝑑2)(𝑒2+𝑓2)(𝑔2+ℎ2)=𝐴2+𝐵2(a2+b2)(c2+d2)(e2+f2)(g2+h2)=A2+B2

   4. यदि (1+𝑖1−𝑖)𝑚=1(1−i1+i​)m=1, तो 𝑚m का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात करें।

   समाधान:

   1. 1+𝑖1−𝑖1−i1+i​ को सरल करें:

      1+𝑖1−𝑖⋅1+𝑖1+𝑖=(1+𝑖)2(1−𝑖)(1+𝑖)=1+2𝑖+𝑖21−𝑖2=1+2𝑖−11+1=2𝑖2=𝑖1−i1+i​⋅1+i1+i​=(1−i)(1+i)(1+i)2​=1−i21+2i+i2​=1+11+2i−1​=22i​=i

   2. समीकरण हो जाता है 𝑖𝑚=1im=1।

   3. 𝑖i के घात चक्र हर 4 पर दोहराते हैं: 𝑖,−1,−𝑖,1i,−1,−i,1।

   4. 𝑖𝑚=1im=1 के लिए, 𝑚m को 4 का गुणज होना चाहिए।

   5. 𝑚m का सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक मान 4 है।

   तो, 𝑚m का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान 44​ है।