शंकु परिच्छेद — कक्षा 11 गणित नोट्स

शंकु परिच्छेद · कक्षा 11 गणित · 15 टॉपिक.

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शंकु परिच्छेद में शामिल टॉपिक

1.शंकु परिच्छेद का परिचय
परिचय - शंकु परिच्छेद
शंकु परिच्छेद उन वक्रों को कहते हैं जो एक शंकु को एक तल के साथ काटने से प्राप्त होते हैं। तल के कोण के आधार पर, हमें विभिन्न प्रकार के शंकु परिच्छेद मिलते हैं: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय। ये आकार गणित में महत्वपूर्ण हैं क्योंकि इनकी विशिष्ट विशेषताएँ होती हैं और ये वास्तविक दुनिया में अक्सर दिखाई देते हैं।
शंकु परिच्छेद के प्रकार
1. वृत्त
2. दीर्घवृत्त
3. परवलय
4. अतिपरवलय
आइए प्रत्येक प्रकार को विस्तार से जानें।
1. वृत्त (Circle)
परिभाषा: एक तल में वृत्त उन बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी पर होते हैं।
समीकरण: (𝑥−ℎ)2+(𝑦−𝑘)2=𝑟2(x−h)2+(y−k)2=r2
- (ℎ,𝑘)(h,k) केंद्र है।
- 𝑟r त्रिज्या है।
वास्तविक जीवन का उदाहरण: पहिया या घड़ी का चेहरा।
2. दीर्घवृत्त (Ellipse)
परिभाषा: दीर्घवृत्त उन बिंदुओं का समूह है जहाँ दो निश्चित बिंदुओं (फोकस) से दूरी का योग स्थिर होता है।
समीकरण: (𝑥−ℎ)2𝑎2+(𝑦−𝑘)2𝑏2=1a2(x−h)2+b2(y−k)2=1
- (ℎ,𝑘)(h,k) केंद्र है।
- 𝑎a और 𝑏b अर्ध प्रमुख और अर्ध लघु अक्ष हैं।
वास्तविक जीवन का उदाहरण: सूर्य के चारों ओर ग्रहों की कक्षाएँ।
3. परवलय (Parabola)
परिभाषा: परवलय उन बिंदुओं का समूह है जहाँ प्रत्येक बिंदु एक निश्चित बिंदु (फोकस) और एक निश्चित रेखा (निर्देशिका) से समान दूरी पर होता है।
समीकरण: 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐y=ax2+bx+c (मानक रूप)
- शीर्ष (vertex) परवलय का मोड़ बिंदु है।
वास्तविक जीवन का उदाहरण: सैटेलाइट डिश या फेंकी गई गेंद का पथ।
4. अतिपरवलय (Hyperbola)
परिभाषा: अतिपरवलय उन बिंदुओं का समूह है जहाँ दो निश्चित बिंदुओं (फोकस) से दूरी का अंतर स्थिर होता है।
समीकरण: (𝑥−ℎ)2𝑎2−(𝑦−𝑘)2𝑏2=1a2(x−h)2−b2(y−k)2=1
- (ℎ,𝑘)(h,k) केंद्र है।
- 𝑎a और 𝑏b वे दूरियाँ हैं जो आकार को परिभाषित करती हैं।
वास्तविक जीवन का उदाहरण: न्यूक्लियर पावर प्लांट के कूलिंग टावर का आकार।
वास्तविक दुनिया में उपयोग
- इंजीनियरिंग: परवलय रिफ्लेक्टर, सैटेलाइट डिश।
- खगोलशास्त्र: ग्रहों और धूमकेतुओं की कक्षाएँ (दीर्घवृत्त)।
- भौतिकी: प्रोजेक्टाइल का पथ (परवलय)।
- वास्तुकला: आर्च और पुल जैसे संरचनाओं का डिज़ाइन (परवलय और अतिपरवलय)।
करियर जो शंकु परिच्छेदों से संबंधित हैं
- खगोलशास्त्र: ग्रहों की कक्षाओं को समझना।
- इंजीनियरिंग: ऑप्टिकल सिस्टम और संरचनाओं का डिज़ाइन।
- भौतिकी: गति और बलों का विश्लेषण करना।
- वास्तुकला: सुंदर और संरचनात्मक रूप से मजबूत इमारतों का डिज़ाइन।
2.शंकु के परिच्छेद
शंकु परिच्छेद उन वक्रों को कहते हैं जो एक समकोण शंकु को एक तल के साथ काटने से प्राप्त होते हैं। शंकु के परिच्छेद का आकार इस बात पर निर्भर करता है कि तल किस कोण पर शंकु को काटता है। आइए विभिन्न प्रकार के परिच्छेदों को विस्तार से समझें।
शंकु परिच्छेद के प्रकार
1. वृत्त
2. दीर्घवृत्त
3. परवलय
4. अतिपरवलय
हम प्रत्येक परिच्छेद को जानेंगे और समझेंगे कि वे कैसे बनते हैं।
1. वृत्त (Circle)
निर्माण: जब एक तल शंकु के आधार के समानांतर कटता है, तो प्राप्त वक्र एक वृत्त होता है। यह इसलिए होता है क्योंकि तल के प्रत्येक बिंदु शंकु की धुरी से समान दूरी पर होते हैं।
विशेषताएँ:
- सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होते हैं।
- समीकरण: (𝑥−ℎ)2+(𝑦−𝑘)2=𝑟2(x−h)2+(y−k)2=r2
  - (ℎ,𝑘)(h,k) केंद्र है।
  - 𝑟r त्रिज्या है।
वास्तविक जीवन का उदाहरण: घड़ी का चेहरा या सिक्के का आकार।
2. दीर्घवृत्त (Ellipse)
निर्माण: जब एक तल शंकु को एक कोण पर काटता है, लेकिन न तो आधार के समानांतर होता है और न ही शीर्ष बिंदु से गुजरता है, तो प्राप्त वक्र एक दीर्घवृत्त होता है।
विशेषताएँ:
- दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं (फोकस) तक की दूरी का योग स्थिर होता है।
- समीकरण: (𝑥−ℎ)2𝑎2+(𝑦−𝑘)2𝑏2=1a2(x−h)2+b2(y−k)2=1
  - (ℎ,𝑘)(h,k) केंद्र है।
  - 𝑎a और 𝑏b अर्ध प्रमुख और अर्ध लघु अक्ष हैं।
वास्तविक जीवन का उदाहरण: सूर्य के चारों ओर ग्रहों की कक्षाएँ।
3. परवलय (Parabola)
निर्माण: जब एक तल शंकु की तिरछी ऊँचाई के समानांतर होता है, तो प्राप्त वक्र एक परवलय होता है।
विशेषताएँ:
- परवलय के प्रत्येक बिंदु से एक निश्चित बिंदु (फोकस) और एक निश्चित रेखा (निर्देशिका) की दूरी समान होती है।
- समीकरण: 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐y=ax2+bx+c
  - शीर्ष (vertex) परवलय का मोड़ बिंदु है।
वास्तविक जीवन का उदाहरण: सैटेलाइट डिश या फेंकी गई गेंद का पथ।
4. अतिपरवलय (Hyperbola)
निर्माण: जब एक तल शंकु के दोनों भागों (ऊपरी और निचले हिस्से) को काटता है, तो प्राप्त वक्र एक अतिपरवलय होता है।
विशेषताएँ:
- अतिपरवलय के किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं (फोकस) तक की दूरी का अंतर स्थिर होता है।
- समीकरण: (𝑥−ℎ)2𝑎2−(𝑦−𝑘)2𝑏2=1a2(x−h)2−b2(y−k)2=1
  - (ℎ,𝑘)(h,k) केंद्र है।
  - 𝑎a और 𝑏b वे दूरियाँ हैं जो आकार को परिभाषित करती हैं।
वास्तविक जीवन का उदाहरण: न्यूक्लियर पावर प्लांट के कूलिंग टावर का आकार।
शंकु परिच्छेद की कल्पना
अधिक समझने के लिए, एक समकोण शंकु की कल्पना करें। विभिन्न तल के साथ काटने पर:
- आधार के समानांतर: आपको वृत्त मिलता है।
- एक कोण पर (आधार के समानांतर नहीं और शीर्ष से नहीं गुजरता): आपको दीर्घवृत्त मिलता है।
- तिरछी ऊँचाई के समानांतर: आपको परवलय मिलता है।
- दोनों भागों को काटता है: आपको अतिपरवलय मिलता है।
वास्तविक दुनिया में उपयोग
1. वृत्त: पहिये, घड़ियाँ, सिक्के।
2. दीर्घवृत्त: खगोलीय पिंडों की कक्षाएँ, फुसफुसाती गैलरी।
3. परवलय: सैटेलाइट डिश, कार की हेडलाइट्स, प्रोजेक्टाइल का पथ।
4. अतिपरवलय: रेडियो और रडार सिग्नल, कूलिंग टावर।
करियर जो शंकु परिच्छेदों का उपयोग करते हैं
1. खगोलशास्त्र: ग्रहों की कक्षाओं का अध्ययन।
2. इंजीनियरिंग: ऑप्टिकल सिस्टम जैसे टेलीस्कोप और सैटेलाइट का डिज़ाइन।
3. भौतिकी: गति और बलों का विश्लेषण।
4. वास्तुकला: आर्च, पुल और अन्य संरचनाओं का डिज़ाइन।
3.अपकेंद्रीय शंकु परिच्छेद
जब हम शंकु परिच्छेद की बात करते हैं, तो आमतौर पर हम मानक आकारों की बात करते हैं: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय। लेकिन कुछ स्थितियों में, शंकु और तल के प्रतिच्छेदन से जो वक्र प्राप्त होते हैं, उन्हें अपकेंद्रीय शंकु परिच्छेद कहा जाता है। ये विशेष मामले हैं जहाँ शंकु परिच्छेद सरल ज्यामितीय आकृतियों में बदल जाते हैं।
अपकेंद्रीय शंकु परिच्छेद के प्रकार
1. बिंदु
2. रेखा
3. प्रतिच्छेदित रेखाओं की जोड़ी
आइए प्रत्येक प्रकार को समझें और जानें कि वे कैसे बनते हैं।
1. बिंदु (Point)
निर्माण: जब प्रतिच्छेदित तल शंकु के शीर्ष बिंदु (अपेक्स) से होकर गुजरता है, तो शंकु परिच्छेद एक बिंदु में परिवर्तित हो जाता है। यह बिंदु स्वयं अपेक्स होता है।
समीकरण: यदि शंकु परिच्छेद का समीकरण 0=00=0 में बदल जाता है, तो यह एक बिंदु को दर्शाता है।
उदाहरण: यह तब होता है जब तल शंकु को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है।
दृश्य प्रतिनिधित्व:
- कल्पना करें कि एक तल शंकु की चोटी को काटता है; परिणाम केवल एक बिंदु होता है।
2. रेखा (Line)
निर्माण: जब तल शंकु को स्पर्श करता है और इस प्रकार इसे एक रेखा के साथ छूता है, तो शंकु परिच्छेद एक सीधी रेखा में परिवर्तित हो जाता है।
समीकरण: यदि शंकु परिच्छेद का समीकरण दो समान रेखीय कारकों में बदल जाता है, तो यह एक रेखा को दर्शाता है।
उदाहरण: यह तब होता है जब तल शंकु की उत्पन्न करने वाली रेखाओं में से एक के समानांतर होता है।
दृश्य प्रतिनिधित्व:
- कल्पना करें कि एक तल शंकु की सतह को स्पर्श करता है, इसे आधार से शिखर तक एक सीधी रेखा के साथ छूता है।
3. प्रतिच्छेदित रेखाओं की जोड़ी (Pair of Intersecting Lines)
निर्माण: जब तल शंकु के शीर्ष से होकर गुजरता है और दोनों भागों (ऊपरी और निचले हिस्से) को काटता है, तो शंकु परिच्छेद प्रतिच्छेदित रेखाओं की एक जोड़ी में बदल जाता है। ये रेखाएँ शीर्ष पर प्रतिच्छेदित होती हैं।
समीकरण: यदि शंकु परिच्छेद का समीकरण दो अलग-अलग रेखीय कारकों में बदल जाता है, तो यह प्रतिच्छेदित रेखाओं की एक जोड़ी को दर्शाता है।
उदाहरण: यह तब होता है जब तल शंकु के शीर्ष को काटता है और दोनों भागों को काटता है।
दृश्य प्रतिनिधित्व:
- कल्पना करें कि एक तल शंकु के केंद्र को काटता है और दोनों भागों को काटता है, जिससे "X" आकार बनता है।
वास्तविक दुनिया में उदाहरण और अनुप्रयोग
- बिंदु: इंजीनियरिंग और निर्माण में उन बिंदुओं की सटीकता देखी जा सकती है जहाँ सटीक बिंदु महत्वपूर्ण होते हैं।
- रेखा: स्पर्श रेखाओं का उपयोग कैल्कुलस में ढलानों और परिवर्तन दरों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। प्रकाशिकी में, वे प्रकाश किरणों के पथ को दर्शाते हैं।
- प्रतिच्छेदित रेखाओं की जोड़ी: ये संरचनात्मक डिज़ाइनों और स्थापत्य तत्वों में देखी जाती हैं, जहाँ प्रतिच्छेदित रेखाएँ समर्थन या बीम का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं।
करियर जो अपकेंद्रीय शंकु परिच्छेदों का उपयोग करते हैं
1. इंजीनियरिंग: बिंदुओं और रेखाओं को समझना मशीनरी और संरचनाओं को डिज़ाइन करने में मौलिक है।
2. भौतिकी: प्रकाश पथ और बलों का विश्लेषण अक्सर स्पर्श रेखाओं और प्रतिच्छेदन को शामिल करता है।
3. वास्तुकला: आर्च, पुल और अन्य संरचनाओं का डिज़ाइन करना।
4.वृत्त
वृत्त की परिभाषा
वृत्त एक समतल में उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु (जिसे केंद्र कहा जाता है) से एक निश्चित दूरी (जिसे त्रिज्या कहा जाता है) पर होते हैं।
मुख्य शब्द:
- केंद्र (O या C): वह निश्चित बिंदु जिससे वृत्त के प्रत्येक बिंदु की दूरी समान होती है।
- त्रिज्या (r): केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु तक की स्थिर दूरी।
- व्यास: एक जीवा जो केंद्र से होकर गुजरती है, जो त्रिज्या का दुगना होता है।
चित्र विवरण
प्रदान किए गए चित्रों के प्रत्येक भाग के माध्यम से चलें ताकि वृत्त को बेहतर ढंग से समझ सकें।
1. बायाँ चित्र: वृत्त की बुनियादी गुण
  - केंद्र (O): बिंदु O वृत्त का केंद्र है।
  - त्रिज्या (OP1, OP2, OP3): लंबाई OP1, OP2, और OP3 समान हैं, जो वृत्त की त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करती हैं।
  - वृत्त पर बिंदु (P1, P2, P3): ये वृत्त की परिधि पर स्थित बिंदु हैं, जो केंद्र से समान दूरी पर हैं।
2. दायाँ चित्र: निर्देशांक तल में वृत्त
  - केंद्र (C): केंद्र (h, k) निर्देशांक तल में बिंदु पर स्थित है।
  - वृत्त पर बिंदु (P): वृत्त पर कोई भी बिंदु (x, y) के रूप में दर्शाया जा सकता है।
  - त्रिज्या केंद्र (C) और वृत्त पर किसी भी बिंदु (P) के बीच की दूरी है।
वृत्त का समीकरण
निर्देशांक तल में, केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण होता है: (𝑥−ℎ)2+(𝑦−𝑘)2=𝑟2(x−h)2+(y−k)2=r2
वास्तविक जीवन में उदाहरण
कल्पना करें कि एक गोल पार्क है जिसमें केंद्र में एक फव्वारा है। यदि आप पार्क के किनारे पर चलते हैं, तो फव्वारा (केंद्र) से आपकी पथ (परिधि) पर किसी भी बिंदु तक की दूरी समान रहती है। यह दूरी पार्क का प्रतिनिधित्व करने वाले वृत्त की त्रिज्या है।
चरण-दर-चरण व्युत्पत्ति
1. केंद्र (h, k) और वृत्त पर एक बिंदु (x, y) की पहचान करें।
2. दूरी की गणना करें (h, k) और (x, y) के बीच दूरी सूत्र का उपयोग करके: दूरी=(𝑥−ℎ)2+(𝑦−𝑘)2दूरी=(x−h)2+(y−k)2
3. इस दूरी को त्रिज्या (r) के बराबर सेट करें: (𝑥−ℎ)2+(𝑦−𝑘)2=𝑟(x−h)2+(y−k)2=r
4. वर्गमूल को समाप्त करने के लिए दोनों पक्षों को वर्ग करें: (𝑥−ℎ)2+(𝑦−𝑘)2=𝑟2(x−h)2+(y−k)2=r2
यह वृत्त के समीकरण का मानक रूप है।
5.अभ्यास प्रश्न
अभ्यास 1
(0, 2) केंद्र और 2 त्रिज्या के साथ वृत्त का समीकरण खोजें।
समाधान: केंद्र (0,2)(0,2) और त्रिज्या 22 है: 𝑥2+(𝑦−2)2=4x2+(y−2)2=4
अभ्यास 2
(2, 3) केंद्र और 4 त्रिज्या के साथ वृत्त का समीकरण खोजें।
समाधान: केंद्र (2,3)(2,3) और त्रिज्या 44 है: (𝑥−2)2+(𝑦−3)2=16(x−2)2+(y−3)2=16
अभ्यास 3
(12,14)(21,41) केंद्र और 112121 त्रिज्या के साथ वृत्त का समीकरण खोजें।
समाधान: केंद्र (12,14)(21,41) और त्रिज्या 112121 है: (𝑥−12)2+(𝑦−14)2=1144(x−21)2+(y−41)2=1441
अभ्यास 4
(1, 1) केंद्र और 22 त्रिज्या के साथ वृत्त का समीकरण खोजें।
समाधान: केंद्र (1,1)(1,1) और त्रिज्या 22 है: (𝑥−1)2+(𝑦−1)2=2(x−1)2+(y−1)2=2
अभ्यास 5
(-a, -b) केंद्र और 𝑎2−𝑏2a2−b2 त्रिज्या के साथ वृत्त का समीकरण खोजें।
समाधान: केंद्र (−𝑎,−𝑏)(−a,−b) और त्रिज्या 𝑎2−𝑏2a2−b2 है: (𝑥+𝑎)2+(𝑦+𝑏)2=𝑎2−𝑏2(x+a)2+(y+b)2=a2−b2
अभ्यास 6
दिए गए समीकरण का केंद्र और त्रिज्या खोजें: (𝑥+5)2+(𝑦−3)2=36(x+5)2+(y−3)2=36
समाधान:
- केंद्र: (−5,3)(−5,3)
- त्रिज्या: 36=636=6
अभ्यास 7
दिए गए समीकरण का केंद्र और त्रिज्या खोजें: 𝑥2+𝑦2−4𝑥−8𝑦−45=0x2+y2−4x−8y−45=0
समाधान: (𝑥−2)2+(𝑦−4)2=65(x−2)2+(y−4)2=65
- केंद्र: (2,4)(2,4)
- त्रिज्या: 6565
अभ्यास 8
दिए गए समीकरण का केंद्र और त्रिज्या खोजें: 𝑥2+𝑦2−8𝑥+10𝑦−12=0x2+y2−8x+10y−12=0
समाधान: (𝑥−4)2+(𝑦+5)2=53(x−4)2+(y+5)2=53
- केंद्र: (4,−5)(4,−5)
- त्रिज्या: 5353
अभ्यास 9
दिए गए समीकरण का केंद्र और त्रिज्या खोजें: 2𝑥2+2𝑦2−𝑥=02x2+2y2−x=0
समाधान: (𝑥−14)2+𝑦2=116(x−41)2+y2=161
- केंद्र: (14,0)(41,0)
- त्रिज्या: 1441
अभ्यास 10
वृत्त का समीकरण खोजें जो बिंदुओं (4, 1) और (6, 5) से होकर गुजरता है और जिसका केंद्र रेखा 4𝑥+𝑦=164x+y=16 पर है।
समाधान:
1. केंद्र (ℎ,𝑘)(h,k) मान लें।
2. वृत्त (4, 1) और (6, 5) से होकर गुजरता है:(ℎ−4)2+(𝑘−1)2=(ℎ−6)2+(𝑘−5)2(h−4)2+(k−1)2=(h−6)2+(k−5)2
3. केंद्र रेखा 4ℎ+𝑘=164h+k=16 पर स्थित है।
{(ℎ−4)2+(𝑘−1)2=(ℎ−6)2+(𝑘−5)24ℎ+𝑘=16{(h−4)2+(k−1)2=(h−6)2+(k−5)24h+k=16
1. पहले समीकरण को हल करें:
  (ℎ−4)2+(𝑘−1)2=(ℎ−6)2+(𝑘−5)2(h−4)2+(k−1)2=(h−6)2+(k−5)2ℎ2−8ℎ+16+𝑘2−2𝑘+1=ℎ2−12ℎ+36+𝑘2−10𝑘+25h2−8h+16+k2−2k+1=h2−12h+36+k2−10k+25−8ℎ+17=−12ℎ+61−8h+17=−12h+614ℎ=444h=44ℎ=11h=11
2. ℎ=11h=11 को 4ℎ+𝑘=164h+k=16 में प्रतिस्थापित करें:
  4(11)+𝑘=164(11)+k=1644+𝑘=1644+k=16𝑘=16−44k=16−44𝑘=−28k=−28
3. वृत्त का केंद्र (11,−28)(11,−28) है।
4. बिंदु (4,1)(4,1) का उपयोग करके त्रिज्या की गणना:
  𝑟=(11−4)2+(−28−1)2r=(11−4)2+(−28−1)2𝑟=72+(−29)2r=72+(−29)2𝑟=49+841r=49+841𝑟=890r=890
5. वृत्त का समीकरण:
  (𝑥−11)2+(𝑦+28)2=890(x−11)2+(y+28)2=890
6.अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1
(0, 0) से होकर जाने वाले और समन्वय अक्षों पर 𝑎a और 𝑏b अवरोधक बनाने वाले वृत्त का समीकरण खोजें।
समाधान:
1. वृत्त का सामान्य समीकरण है: 𝑥2+𝑦2+2𝑔𝑥+2𝑓𝑦+𝑐=0x2+y2+2gx+2fy+c=0
2. चूंकि वृत्त मूल बिंदु (0,0)(0,0) से होकर जाता है, 𝑥=0x=0 और 𝑦=0y=0 प्रतिस्थापित करें: 0+0+2𝑔(0)+2𝑓(0)+𝑐=00+0+2g(0)+2f(0)+c=0 𝑐=0c=0
3. इसलिए, समीकरण बनता है: 𝑥2+𝑦2+2𝑔𝑥+2𝑓𝑦=0x2+y2+2gx+2fy=0
4. चूंकि वृत्त 𝑎a और 𝑏b अवरोधक बनाता है, यह (𝑎,0)(a,0) और (0,𝑏)(0,b) से होकर जाता है:
  - (𝑎,0)(a,0) प्रतिस्थापित करें: 𝑎2+2𝑔𝑎=0a2+2ga=0 𝑔=−𝑎2g=−2a
  - (0,𝑏)(0,b) प्रतिस्थापित करें: 𝑏2+2𝑓𝑏=0b2+2fb=0 𝑓=−𝑏2f=−2b
5. अब, 𝑔g और 𝑓f को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 𝑥2+𝑦2−𝑎𝑥−𝑏𝑦=0x2+y2−ax−by=0
प्रश्न 2
(2, 2) केंद्र और (4,5)(4,5) बिंदु से होकर जाने वाले वृत्त का समीकरण खोजें।
समाधान:
1. केंद्र (ℎ,𝑘)(h,k) और त्रिज्या 𝑟r वाले वृत्त का सामान्य समीकरण है: (𝑥−ℎ)2+(𝑦−𝑘)2=𝑟2(x−h)2+(y−k)2=r2
2. यहाँ, केंद्र (2,2)(2,2) है: (𝑥−2)2+(𝑦−2)2=𝑟2(x−2)2+(y−2)2=r2
3. त्रिज्या खोजने के लिए, दिए गए बिंदु (4,5)(4,5) का उपयोग करें: 𝑟=(4−2)2+(5−2)2r=(4−2)2+(5−2)2 𝑟=22+32r=22+32 𝑟=4+9r=4+9 𝑟=13r=13
4. 𝑟r को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: (𝑥−2)2+(𝑦−2)2=13(x−2)2+(y−2)2=13
प्रश्न 3
क्या बिंदु (−2.5,3.5)(−2.5,3.5) वृत्त 𝑥2+𝑦2=25x2+y2=25 के अंदर, बाहर, या उस पर स्थित है?
समाधान:
1. पहले, बिंदु (−2.5,3.5)(−2.5,3.5) से मूल बिंदु (वृत्त का केंद्र) तक की दूरी खोजें: दूरी=(−2.5)2+(3.5)2दूरी=(−2.5)2+(3.5)2 दूरी=6.25+12.25दूरी=6.25+12.25 दूरी=18.5दूरी=18.5 दूरी≈4.3दूरी≈4.3
2. इस दूरी की तुलना वृत्त की त्रिज्या से करें:
  - वृत्त 𝑥2+𝑦2=25x2+y2=25 की त्रिज्या 25=525=5 है।
3. चूंकि 4.3<54.3<5, बिंदु (−2.5,3.5)(−2.5,3.5) वृत्त के अंदर स्थित है।
7.परबोला
परबोला एक यू-आकार का वक्र है जो ऊपर, नीचे, बाएँ या दाएँ खुल सकता है। इसे एक समतल में उन सभी बिंदुओं का समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक निश्चित बिंदु (जिसे फोकस कहा जाता है) और एक निश्चित रेखा (जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है) से समान दूरी पर होते हैं।
मुख्य शब्द:
- फोकस (F): परबोला के अंदर का निश्चित बिंदु।
- डायरेक्ट्रिक्स: परबोला के बाहर की निश्चित रेखा।
- वर्टेक्स (V): फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बीच का मध्यबिंदु; यह वह बिंदु है जहां परबोला दिशा बदलता है।
- अक्ष की समरूपता: वह रेखा जो फोकस और वर्टेक्स से होकर गुजरती है, परबोला को दो सममित भागों में विभाजित करती है।
- लैटस रेक्टम: समरूपता की अक्ष के लंबवत रेखा खंड जो फोकस से होकर गुजरती है, जिसके सिरों पर परबोला होता है।
परबोला के मानक समीकरण
परबोला का मानक रूप इसके अभिविन्यास पर निर्भर करता है। यहां विभिन्न अभिविन्यास और उनके मानक समीकरण दिए गए हैं:
1. ऊपर या नीचे की ओर खुलने वाला परबोला
समीकरण: 𝑦2=4𝑎𝑥y2=4ax
- वर्टेक्स: (0,0)(0,0)
- फोकस: (𝑎,0)(a,0)
- डायरेक्ट्रिक्स: 𝑥=−𝑎x=−a
- अक्ष की समरूपता: 𝑦=0y=0
2. बाएँ या दाएँ की ओर खुलने वाला परबोला
समीकरण: 𝑥2=4𝑎𝑦x2=4ay
- वर्टेक्स: (0,0)(0,0)
- फोकस: (0,𝑎)(0,a)
- डायरेक्ट्रिक्स: 𝑦=−𝑎y=−a
- अक्ष की समरूपता: 𝑥=0x=0
(h, k) बिंदु पर वर्टेक्स के साथ सामान्य रूप
जब वर्टेक्स मूल बिंदु पर न होकर (ℎ,𝑘)(h,k) पर होता है, तो समीकरण इस प्रकार समायोजित होते हैं:
3. ऊपर की ओर खुलने वाला परबोला
समीकरण: (𝑥−ℎ)2=4𝑎(𝑦−𝑘)(x−h)2=4a(y−k)
- वर्टेक्स: (ℎ,𝑘)(h,k)
- फोकस: (ℎ,𝑘+𝑎)(h,k+a)
- डायरेक्ट्रिक्स: 𝑦=𝑘−𝑎y=k−a
- अक्ष की समरूपता: 𝑥=ℎx=h
4. नीचे की ओर खुलने वाला परबोला
समीकरण: (𝑥−ℎ)2=−4𝑎(𝑦−𝑘)(x−h)2=−4a(y−k)
- वर्टेक्स: (ℎ,𝑘)(h,k)
- फोकस: (ℎ,𝑘−𝑎)(h,k−a)
- डायरेक्ट्रिक्स: 𝑦=𝑘+𝑎y=k+a
- अक्ष की समरूपता: 𝑥=ℎx=h
5. दाएँ की ओर खुलने वाला परबोला
समीकरण: (𝑦−𝑘)2=4𝑎(𝑥−ℎ)(y−k)2=4a(x−h)
- वर्टेक्स: (ℎ,𝑘)(h,k)
- फोकस: (ℎ+𝑎,𝑘)(h+a,k)
- डायरेक्ट्रिक्स: 𝑥=ℎ−𝑎x=h−a
- अक्ष की समरूपता: 𝑦=𝑘y=k
6. बाएँ की ओर खुलने वाला परबोला
समीकरण: (𝑦−𝑘)2=−4𝑎(𝑥−ℎ)(y−k)2=−4a(x−h)
- वर्टेक्स: (ℎ,𝑘)(h,k)
- फोकस: (ℎ−𝑎,𝑘)(h−a,k)
- डायरेक्ट्रिक्स: 𝑥=ℎ+𝑎x=h+a
- अक्ष की समरूपता: 𝑦=𝑘y=k
वास्तविक जीवन का उदाहरण
कल्पना करें कि आप एक टॉर्च पकड़ रहे हैं। आपके सामने फैला हुआ प्रकाश का किरण आकार एक परबोलिक आकार का होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि टॉर्च के अंदर का परावर्तक परबोलिक होता है, जिससे प्रकाश की किरणें बाहर की ओर केंद्रित होती हैं।
8.लैटस रेक्टम
लैटस रेक्टम एक रेखा खंड है जो परबोला की समरूपता की अक्ष के लंबवत होता है, फोकस से होकर गुजरता है और इसके सिरे परबोला पर होते हैं। लैटस रेक्टम की लंबाई इस बात का माप है कि परबोला कितनी "चौड़ी" है फोकस के स्तर पर।
मुख्य बिंदु:
- लैटस रेक्टम डायरेक्ट्रिक्स के समानांतर होता है।
- इसकी लंबाई 4𝑎4a होती है, जहां 𝑎a वर्टेक्स से फोकस तक की दूरी है।
मानक समीकरण और लैटस रेक्टम:
1. परबोला 𝑦2=4𝑎𝑥y2=4ax के लिए:
  - फोकस: (𝑎,0)(a,0)
  - लैटस रेक्टम की लंबाई: 4𝑎4a
  - लैटस रेक्टम के सिरे: (𝑎,2𝑎)(a,2a) और (𝑎,−2𝑎)(a,−2a)
2. परबोला 𝑥2=4𝑎𝑦x2=4ay के लिए:
  - फोकस: (0,𝑎)(0,a)
  - लैटस रेक्टम की लंबाई: 4𝑎4a
  - लैटस रेक्टम के सिरे: (2𝑎,𝑎)(2a,a) और (−2𝑎,𝑎)(−2a,a)
समस्या-समाधान के प्रश्न:
प्रश्न 1
परबोला 𝑦2=12𝑥y2=12x के लिए लैटस रेक्टम की लंबाई और इसके सिरों के निर्देशांक खोजें।
समाधान:
1. दिया गया समीकरण पहचाने: 𝑦2=12𝑥y2=12x
2. इसे मानक रूप 𝑦2=4𝑎𝑥y2=4ax से तुलना करें और 𝑎a खोजें: 4𝑎=124a=12 𝑎=3a=3
3. लैटस रेक्टम की लंबाई: लंबाई=4𝑎=4×3=12लंबाई=4a=4×3=12
4. लैटस रेक्टम के सिरे:
  - फोकस (𝑎,0)=(3,0)(a,0)=(3,0) है।
  - सिरे (3,2𝑎)=(3,6)(3,2a)=(3,6) और (3,−2𝑎)=(3,−6)(3,−2a)=(3,−6) हैं।
तो, लैटस रेक्टम की लंबाई 12 है और सिरे (3,6)(3,6) और (3,−6)(3,−6) हैं।
प्रश्न 2
परबोला 𝑥2=−8𝑦x2=−8y के लिए लैटस रेक्टम की लंबाई और इसके सिरों के निर्देशांक खोजें।
समाधान:
1. दिया गया समीकरण पहचाने: 𝑥2=−8𝑦x2=−8y
2. इसे मानक रूप 𝑥2=4𝑎𝑦x2=4ay से तुलना करें और 𝑎a खोजें: 4𝑎=−84a=−8 𝑎=−2a=−2
3. लैटस रेक्टम की लंबाई: लंबाई=4∣𝑎∣=4×2=8लंबाई=4∣a∣=4×2=8
4. लैटस रेक्टम के सिरे:
  - फोकस (0,𝑎)=(0,−2)(0,a)=(0,−2) है।
  - सिरे (2𝑎,−2)=(4,−2)(2a,−2)=(4,−2) और (−2𝑎,−2)=(−4,−2)(−2a,−2)=(−4,−2) हैं।
तो, लैटस रेक्टम की लंबाई 8 है और सिरे (4,−2)(4,−2) और (−4,−2)(−4,−2) हैं।
9.अभ्यास प्रश्न
प्रत्येक निम्नलिखित अभ्यास के लिए, फोकस के निर्देशांक, परबोला की अक्ष, डायरेक्ट्रिक्स का समीकरण, और लैटस रेक्टम की लंबाई खोजें।
अभ्यास 1
𝑦2=12𝑥y2=12x
1. मानक रूप में समीकरण: 𝑦2=4𝑎𝑥y2=4ax
  - 4𝑎=124a=12 इसलिए, 𝑎=3a=3
2. फोकस के निर्देशांक: (𝑎,0)=(3,0)(a,0)=(3,0)
3. परबोला की अक्ष: 𝑦=0y=0 (क्षैतिज अक्ष)
4. डायरेक्ट्रिक्स का समीकरण: 𝑥=−𝑎x=−a
  - 𝑥=−3x=−3
5. लैटस रेक्टम की लंबाई: 4𝑎=124a=12
अभ्यास 2
𝑥2=6𝑦x2=6y
1. मानक रूप में समीकरण: 𝑥2=4𝑎𝑦x2=4ay
  - 4𝑎=64a=6 इसलिए, 𝑎=32a=23
2. फोकस के निर्देशांक: (0,𝑎)=(0,32)(0,a)=(0,23)
3. परबोला की अक्ष: 𝑥=0x=0 (ऊर्ध्वाधर अक्ष)
4. डायरेक्ट्रिक्स का समीकरण: 𝑦=−𝑎y=−a
  - 𝑦=−32y=−23
5. लैटस रेक्टम की लंबाई: 4𝑎=64a=6
अभ्यास 3
𝑦2=−8𝑥y2=−8x
1. मानक रूप में समीकरण: 𝑦2=4𝑎𝑥y2=4ax
  - 4𝑎=−84a=−8 इसलिए, 𝑎=−2a=−2
2. फोकस के निर्देशांक: (𝑎,0)=(−2,0)(a,0)=(−2,0)
3. परबोला की अक्ष: 𝑦=0y=0 (क्षैतिज अक्ष)
4. डायरेक्ट्रिक्स का समीकरण: 𝑥=−𝑎x=−a
  - 𝑥=2x=2
5. लैटस रेक्टम की लंबाई: 4∣𝑎∣=84∣a∣=8
अभ्यास 4
𝑥2=−16𝑦x2=−16y
1. मानक रूप में समीकरण: 𝑥2=4𝑎𝑦x2=4ay
  - 4𝑎=−164a=−16 इसलिए, 𝑎=−4a=−4
2. फोकस के निर्देशांक: (0,𝑎)=(0,−4)(0,a)=(0,−4)
3. परबोला की अक्ष: 𝑥=0x=0 (ऊर्ध्वाधर अक्ष)
4. डायरेक्ट्रिक्स का समीकरण: 𝑦=−𝑎y=−a
  - 𝑦=4y=4
5. लैटस रेक्टम की लंबाई: 4∣𝑎∣=164∣a∣=16
अभ्यास 5
𝑦2=10𝑥y2=10x
1. मानक रूप में समीकरण: 𝑦2=4𝑎𝑥y2=4ax
  - 4𝑎=104a=10 इसलिए, 𝑎=52a=25
2. फोकस के निर्देशांक: (𝑎,0)=(52,0)(a,0)=(25,0)
3. परबोला की अक्ष: 𝑦=0y=0 (क्षैतिज अक्ष)
4. डायरेक्ट्रिक्स का समीकरण: 𝑥=−𝑎x=−a
  - 𝑥=−52x=−25
5. लैटस रेक्टम की लंबाई: 4𝑎=104a=10
अभ्यास 6
𝑥2=−9𝑦x2=−9y
1. मानक रूप में समीकरण: 𝑥2=4𝑎𝑦x2=4ay
  - 4𝑎=−94a=−9 इसलिए, 𝑎=−94a=−49
2. फोकस के निर्देशांक: (0,𝑎)=(0,−94)(0,a)=(0,−49)
3. परबोला की अक्ष: 𝑥=0x=0 (ऊर्ध्वाधर अक्ष)
4. डायरेक्ट्रिक्स का समीकरण: 𝑦=−𝑎y=−a
  - 𝑦=94y=49
5. लैटस रेक्टम की लंबाई: 4∣𝑎∣=94∣a∣=9
अभ्यास 7 से 12
दिए गए शर्तों को संतुष्ट करने वाले परबोला का समीकरण खोजें:
अभ्यास 7
फोकस (6,0); डायरेक्ट्रिक्स 𝑥=−6x=−6
1. वर्टेक्स से फोकस तक की दूरी 6 है।
2. वर्टेक्स से डायरेक्ट्रिक्स तक की दूरी भी 6 है।
3. वर्टेक्स फोकस और डायरेक्ट्रिक्स का मध्यबिंदु है, इसलिए वर्टेक्स (0, 0) पर है।
4. दाईं ओर खुलने वाले परबोला का समीकरण 𝑦2=4𝑎𝑥y2=4ax है।
5. यहाँ, 4𝑎=244a=24, इसलिए 𝑎=6a=6 है।
𝑦2=24𝑥y2=24x
अभ्यास 8
फोकस (0,-3); डायरेक्ट्रिक्स 𝑦=3y=3
1. वर्टेक्स से फोकस तक की दूरी 3 है।
2. वर्टेक्स से डायरेक्ट्रिक्स तक की दूरी भी 3 है।
3. वर्टेक्स फोकस और डायरेक्ट्रिक्स का मध्यबिंदु है, इसलिए वर्टेक्स (0, 0) पर है।
4. नीचे की ओर खुलने वाले परबोला का समीकरण 𝑥2=−4𝑎𝑦x2=−4ay है।
5. यहाँ, 4𝑎=124a=12, इसलिए 𝑎=3a=3 है।
𝑥2=−12𝑦x2=−12y
अभ्यास 9
वर्टेक्स (0,0); फोकस (3,0)
1. वर्टेक्स से फोकस तक की दूरी 3 है।
2. दाईं ओर खुलने वाले परबोला का समीकरण 𝑦2=4𝑎𝑥y2=4ax है।
3. यहाँ, 𝑎=3a=3, इसलिए 4𝑎=124a=12 है।
𝑦2=12𝑥y2=12x
अभ्यास 10
वर्टेक्स (0,0); फोकस (0,-2)
1. वर्टेक्स से फोकस तक की दूरी 2 है।
2. नीचे की ओर खुलने वाले परबोला का समीकरण 𝑥2=−4𝑎𝑦x2=−4ay है।
3. यहाँ, 𝑎=2a=2, इसलिए 4𝑎=84a=8 है।
𝑥2=−8𝑦x2=−8y
अभ्यास 11
वर्टेक्स (0,0) बिंदु (2,3) से होकर जाता है और अक्ष x-अक्ष के साथ है।
1. दाईं ओर खुलने वाले परबोला का समीकरण 𝑦2=4𝑎𝑥y2=4ax है।
2. बिंदु (2, 3) को समीकरण में प्रतिस्थापित करें और 𝑎a खोजें:
32=4𝑎⋅232=4a⋅2 9=8𝑎9=8a 𝑎=98a=89
𝑦2=92𝑥y2=29x
अभ्यास 12
वर्टेक्स (0,0) बिंदु (5,2) से होकर जाता है और y-अक्ष के साथ सममित है।
1. ऊपर की ओर खुलने वाले परबोला का समीकरण 𝑥2=4𝑎𝑦x2=4ay है।
2. बिंदु (5, 2) को समीकरण में प्रतिस्थापित करें और 𝑎a खोजें:
52=4𝑎⋅252=4a⋅2 25=8𝑎25=8a 𝑎=258a=825
𝑥2=252𝑦x2=225y
10.दीर्घवृत्त
1. परिभाषा और मूल गुण
परिभाषा: एक दीर्घवृत्त एक समतल में बिंदुओं का एक सेट है जिससे कि दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं (जिन्हें केंद्र कहते हैं) तक की दूरी का योग स्थिर होता है।
मूल गुण:
- महाधुरी (Major Axis): दीर्घवृत्त का सबसे लंबा व्यास, जो दोनों केंद्रों से होकर गुजरता है।
- लघुधुरी (Minor Axis): दीर्घवृत्त का सबसे छोटा व्यास, जो महाधुरी पर केंद्र के लंबवत होता है।
- केंद्र: महाधुरी और लघुधुरी का मध्य बिंदु।
- केंद्र (Foci): महाधुरी पर दो निश्चित बिंदु, जो केंद्र से समान दूरी पर होते हैं।
- शीर्ष (Vertices): महाधुरी के अंत बिंदु।
2. दीर्घवृत्त का समीकरण
एक दीर्घवृत्त का मानक रूप, जिसका केंद्र मूल बिंदु (0, 0) पर है, इस प्रकार है: 𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1a2x2+b2y2=1
जहां:
- 𝑎a अर्धमहाधुरी की लंबाई है।
- 𝑏b अर्धलघुधुरी की लंबाई है।
अगर 𝑎>𝑏a>b, तो दीर्घवृत्त x-अक्ष के साथ लंबवत होता है। अगर 𝑏>𝑎b>a, तो दीर्घवृत्त y-अक्ष के साथ लंबवत होता है।
3. समीकरण का व्युत्पन्न
समीकरण को व्युत्पन्न करने के लिए, मान लीजिए कि एक दीर्घवृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर है और केंद्र (𝑐,0)(c,0) और (−𝑐,0)(−c,0) पर स्थित हैं।
दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु (𝑥,𝑦)(x,y) से केंद्र (𝑐,0)(c,0) और (−𝑐,0)(−c,0) की दूरी इस प्रकार दी जाती है:
(𝑥−𝑐)2+𝑦2+(𝑥+𝑐)2+𝑦2=2𝑎(x−c)2+y2+(x+c)2+y2=2a
यहाँ, 2𝑎2a दूरी का स्थिर योग है।
बीजगणित का उपयोग करते हुए और सरल बनाते हुए, हम दीर्घवृत्त के समीकरण के मानक रूप पर पहुँचते हैं:
𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1a2x2+b2y2=1
जहां 𝑏2=𝑎2−𝑐2b2=a2−c2।
4. वास्तविक जीवन का उदाहरण
कल्पना करें कि आप एक अंडाकार आकार के दौड़ने के ट्रैक में खड़े हैं। दीर्घवृत्त के दो केंद्र इस ट्रैक पर चिन्हित हो सकते हैं। चाहे आप ट्रैक पर कहीं भी खड़े हों, इन दो निश्चित बिंदुओं से आपकी दूरी का योग हमेशा समान रहेगा।
5. दीर्घवृत्त के अनुप्रयोग
दीर्घवृत्त के कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं, जिनमें शामिल हैं:
- खगोलशास्त्र: ग्रहों और उपग्रहों की कक्षाएँ अक्सर दीर्घवृत्तीय होती हैं।
- अभियांत्रिकी: चिकनी यांत्रिक गति और मजबूत संरचनात्मक डिज़ाइन के लिए दीर्घवृत्तीय गियर और मेहराब का उपयोग किया जाता है।
- चिकित्सा: दीर्घवृत्तीय मशीनें हृदय संबंधी व्यायाम के लिए उपयोग की जाती हैं।
6. करियर और उद्योग
- खगोलशास्त्र: खगोलीय पिंडों और उनकी कक्षाओं का अध्ययन।
- अभियांत्रिकी: कुशल यांत्रिक प्रणालियों का डिज़ाइन।
- वास्तुकला: सौंदर्यपूर्ण और संरचनात्मक रूप से मजबूत इमारतों का निर्माण।
बेहतर समझने के लिए गतिविधियाँ
1. एक दीर्घवृत्त बनाएं: दो पिन, एक डोरी, और एक पेंसिल का उपयोग करें। पिन को केंद्रों पर रखें, डोरी को उनके चारों ओर लूप करें, और पेंसिल का उपयोग करके दीर्घवृत्त का पता लगाएं।
2. केंद्र ढूंढें: महाधुरी और लघुधुरी की लंबाई दी जाने पर, केंद्रों की दूरी की गणना करें 𝑐=𝑎2−𝑏2c=a2−b2 का उपयोग करते हुए।
11.
मुख्य तत्व
- O: दीर्घवृत्त का केंद्र।
- F1 और F2: दीर्घवृत्त के केंद्र।
- P और R: महाधुरी पर बिंदु (दीर्घवृत्त के शीर्ष)।
- Q: दीर्घवृत्त पर एक बिंदु, जो अक्षों पर नहीं है।
- a: अर्धमहाधुरी की लंबाई।
- b: अर्धलघुधुरी की लंबाई।
- c: केंद्र से प्रत्येक केंद्र तक की दूरी।
संबंध और सूत्र
1. केंद्र से केंद्र तक की दूरी (𝑐c):
  𝑐=𝑎2−𝑏2c=a2−b2
2. दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु से केंद्रों तक की दूरी का योग:
  𝑃𝐹1+𝑃𝐹2=2𝑎PF1+PF2=2a
  यह दीर्घवृत्त की परिभाषित विशेषता है।
3. महाधुरी की कुल लंबाई:
  2𝑎2a
4. लघुधुरी की कुल लंबाई:
  2𝑏2b
आरेख का उपयोग करके व्याख्या
- केंद्र 𝑂O महाधुरी और लघुधुरी का मध्य बिंदु है।
- दूरी 𝑎a केंद्र 𝑂O से महाधुरी पर एक शीर्ष 𝑃P तक की लंबाई है।
- दूरी 𝑏b केंद्र 𝑂O से लघुधुरी पर दीर्घवृत्त के एक बिंदु 𝑄Q तक की लंबाई है।
- केंद्र 𝐹1F1 और 𝐹2F2 महाधुरी पर केंद्रित होते हैं, प्रत्येक केंद्र 𝑂O से दूरी 𝑐c पर होते हैं।
𝑐=𝑎2−𝑏2c=a2−b2 के संबंध का प्रमाण
त्रिभुज 𝑂O (केंद्र), 𝑄Q (लघुधुरी पर दीर्घवृत्त पर एक बिंदु), और 𝑃P (महाधुरी पर शीर्ष) द्वारा गठित समकोण त्रिभुज पर विचार करें:
- कर्ण अर्धमहाधुरी 𝑎a है।
- एक पैर अर्धलघुधुरी 𝑏b है।
- दूसरा पैर केंद्र से केंद्र तक की दूरी 𝑐c है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके:
𝑎2=𝑏2+𝑐2a2=b2+c2
𝑐c के लिए हल करना:
𝑐=𝑎2−𝑏2c=a2−b2
यह समीकरण दिखाता है कि केंद्र से केंद्र तक की दूरी अर्धमहाधुरी और अर्धलघुधुरी की लंबाई से संबंधित है।
वास्तविक जीवन का उदाहरण
एक अंडाकार दौड़ने के ट्रैक पर विचार करें जहाँ केंद्र से सबसे लंबे पक्ष के किनारे तक की लंबाई 100 मीटर (अर्धमहाधुरी) है, और केंद्र से सबसे छोटे पक्ष के किनारे तक की लंबाई 60 मीटर (अर्धलघुधुरी) है। केंद्र की दूरी होगी:
𝑐=1002−602=10000−3600=6400=80 मीटरc=1002−602=10000−3600=6400=80 मीटर
इसका अर्थ है कि दो केंद्र प्रत्येक 80 मीटर की दूरी पर ट्रैक के केंद्र से होंगे।
करियर और उद्योग
दीर्घवृत्त को समझना निम्नलिखित क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है:
- खगोलशास्त्र: ग्रहों की कक्षाओं की गणना के लिए।
- अभियांत्रिकी: दीर्घवृत्तीय गियर जैसी घटकों को डिज़ाइन करने के लिए।
- वास्तुकला: सौंदर्य और कार्यात्मक उद्देश्यों के लिए दीर्घवृत्त आकार की संरचनाओं का निर्माण करने के लिए।
12.दीर्घवृत्त की विकेन्द्रता
परिभाषा:
विकेन्द्रता (𝑒e) एक माप है जो यह दर्शाती है कि एक दीर्घवृत्त कितना एक वृत्त से विचलित होती है। यह एक संख्या होती है जो 0 और 1 के बीच होती है। जितनी अधिक विकेन्द्रता 0 के करीब होती है, दीर्घवृत्त उतनी ही अधिक एक वृत्त के समान होती है। जितनी अधिक विकेन्द्रता 1 के करीब होती है, दीर्घवृत्त उतनी ही अधिक लम्बी होती है।
सूत्र: एक दीर्घवृत्त के लिए, विकेन्द्रता 𝑒e निम्नलिखित सूत्र से दी जाती है: 𝑒=𝑐𝑎e=ac
जहां:
- 𝑐c केंद्र से एक केंद्र तक की दूरी है।
- 𝑎a अर्धमहाधुरी की लंबाई है।
क्योंकि 𝑐=𝑎2−𝑏2c=a2−b2 (जहां 𝑏b अर्धलघुधुरी है), विकेन्द्रता का सूत्र इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: 𝑒=𝑎2−𝑏2𝑎e=aa2−b2
दीर्घवृत्त के मानक समीकरण
दीर्घवृत्त के मानक समीकरण के दो रूप होते हैं, इस पर निर्भर करते हुए कि महाधुरी क्षैतिज है या लंबवत।
1. क्षैतिज महाधुरी
एक दीर्घवृत्त का मानक रूप, जिसका केंद्र मूल बिंदु (0,0)(0,0) पर है और महाधुरी x-अक्ष के साथ है: 𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1a2x2+b2y2=1
जहां:
- 𝑎a अर्धमहाधुरी की लंबाई है।
- 𝑏b अर्धलघुधुरी की लंबाई है।
इस रूप में:
- केंद्र (±𝑐,0)(±c,0) पर होते हैं, जहां 𝑐=𝑎2−𝑏2c=a2−b2।
- शीर्ष (±𝑎,0)(±a,0) पर होते हैं।
2. लंबवत महाधुरी
एक दीर्घवृत्त का मानक रूप, जिसका केंद्र मूल बिंदु (0,0)(0,0) पर है और महाधुरी y-अक्ष के साथ है: 𝑥2𝑏2+𝑦2𝑎2=1b2x2+a2y2=1
जहां:
- 𝑎a अर्धमहाधुरी की लंबाई है।
- 𝑏b अर्धलघुधुरी की लंबाई है।
इस रूप में:
- केंद्र (0,±𝑐)(0,±c) पर होते हैं, जहां 𝑐=𝑎2−𝑏2c=a2−b2।
- शीर्ष (0,±𝑎)(0,±a) पर होते हैं।
उदाहरण गणना
मान लीजिए कि एक दीर्घवृत्त 𝑎=5a=5 और 𝑏=3b=3 के साथ है।
1. 𝑐c की गणना करें:
  𝑐=𝑎2−𝑏2=52−32=25−9=16=4c=a2−b2=52−32=25−9=16=4
2. विकेन्द्रता 𝑒e की गणना करें:
  𝑒=𝑐𝑎=45=0.8e=ac=54=0.8
तो, इस दीर्घवृत्त की विकेन्द्रता 0.8 है, जो इंगित करती है कि यह काफी लम्बी है।
वास्तविक जीवन का अनुप्रयोग
ग्रहों की कक्षा: खगोलशास्त्र में, ग्रहों की कक्षाएँ सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्तीय होती हैं। इन कक्षाओं की विकेन्द्रता यह निर्धारित करती है कि कक्षाएँ कितनी वृत्तीय या लम्बी हैं। उदाहरण के लिए, पृथ्वी की कक्षा की विकेन्द्रता कम होती है (0 के करीब), जो इसे लगभग वृत्तीय बनाती है, जबकि कुछ धूमकेतुओं की विकेन्द्रता उच्च होती है, जिससे उनकी कक्षाएँ अत्यधिक लम्बी होती हैं।
करियर और उद्योग
विकेन्द्रता और दीर्घवृत्त के गुणों को समझना निम्नलिखित क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है:
- खगोलशास्त्र: खगोलीय पिंडों की कक्षाओं का अध्ययन।
- अभियांत्रिकी: दीर्घवृत्तीय गियर और मेहराब का डिज़ाइन।
- वास्तुकला: सौंदर्यपूर्ण और संरचनात्मक रूप से मजबूत डिज़ाइन का निर्माण।
13.दीर्घवृत्त का लाटस रेक्टम
दीर्घवृत्त का लाटस रेक्टम
परिभाषा: दीर्घवृत्त का लाटस रेक्टम एक रेखा खंड होता है जो महाधुरी के लंबवत होता है और किसी एक केंद्र से गुजरता है, जिसके सिरे दीर्घवृत्त पर होते हैं। प्रत्येक केंद्र का अपना लाटस रेक्टम होता है और ये खंड बराबर होते हैं।
आरेख में तत्व
- O: दीर्घवृत्त का केंद्र।
- F1 और F2: दीर्घवृत्त के केंद्र।
- A और B: महाधुरी पर शीर्ष।
- C और D: बिंदु जहां लाटस रेक्टम दीर्घवृत्त को काटता है।
- X और Y: क्रमशः महाधुरी और लघुधुरी।
लाटस रेक्टम की लंबाई
लाटस रेक्टम की लंबाई (2𝑙2l) निम्नलिखित सूत्र से दी जाती है: 2𝑙=2𝑏2𝑎2l=a2b2
जहां:
- 𝑎a अर्धमहाधुरी की लंबाई है।
- 𝑏b अर्धलघुधुरी की लंबाई है।
लाटस रेक्टम की लंबाई का व्युत्पत्ति
लाटस रेक्टम की लंबाई व्युत्पन्न करने के लिए, मूल बिंदु (0,0)(0,0) पर केंद्रित दीर्घवृत्त का मानक समीकरण लें, जिसकी महाधुरी x-अक्ष के साथ है: 𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1a2x2+b2y2=1
लाटस रेक्टम पर एक बिंदु (𝑥,𝑦)(x,y) के लिए, x-निर्देशांक केंद्र ±𝑐±c के x-निर्देशांक के समान है, जहां 𝑐=𝑎2−𝑏2c=a2−b2। इसलिए, हम दीर्घवृत्त समीकरण में 𝑥=±𝑐x=±c को प्रतिस्थापित करते हैं ताकि संबंधित 𝑦y-निर्देशांक प्राप्त हो सके।
गणना के चरण
1. दीर्घवृत्त समीकरण में 𝑥=±𝑐x=±c को प्रतिस्थापित करें:
  𝑐2𝑎2+𝑦2𝑏2=1a2c2+b2y2=1
2. 𝑦2y2 को हल करें:
  𝑐2𝑎2+𝑦2𝑏2=1a2c2+b2y2=1𝑦2𝑏2=1−𝑐2𝑎2b2y2=1−a2c2𝑦2𝑏2=𝑎2−𝑐2𝑎2b2y2=a2a2−c2
  चूंकि 𝑐2=𝑎2−𝑏2c2=a2−b2:
  𝑦2𝑏2=𝑎2−(𝑎2−𝑏2)𝑎2b2y2=a2a2−(a2−b2)𝑦2𝑏2=𝑏2𝑎2b2y2=a2b2𝑦2=𝑏4𝑎2y2=a2b4𝑦=±𝑏2𝑎y=±ab2
3. लाटस रेक्टम की लंबाई: लाटस रेक्टम की कुल लंबाई (C से D तक) है:
  2𝑙=2×𝑏2𝑎=2𝑏2𝑎2l=2×ab2=a2b2
वास्तविक जीवन का अनुप्रयोग
प्रकाशिकी: ऑप्टिकल सिस्टम में, लाटस रेक्टम की अवधारणा का उपयोग अंडाकार दर्पणों और लेंसों के डिज़ाइन में किया जाता है ताकि प्रकाश को अधिक प्रभावी ढंग से केंद्रित किया जा सके। लाटस रेक्टम इन ऑप्टिकल तत्वों के केंद्रित गुणों का निर्धारण करने में मदद करता है।
करियर और उद्योग
दीर्घवृत्त के लाटस रेक्टम को समझना निम्नलिखित क्षेत्रों में उपयोगी है:
- खगोलशास्त्र: खगोलीय पिंडों की कक्षाओं का अध्ययन।
- अभियांत्रिकी: दीर्घवृत्तीय गियर और मेहराब का डिज़ाइन।
- प्रकाशिकी: अंडाकार दर्पणों और लेंसों का डिज़ाइन।
14.अभ्यास प्रश्न
आइए प्रत्येक दिए गए दीर्घवृत्त के लिए नाभियों के निर्देशांक, शीर्ष, प्रमुख और लघु अक्षों की लंबाई, विलक्षणता और लैटस रेक्टम की लंबाई ज्ञात करें। समस्या 1: 𝑥236+𝑦216=136x2+16y2=1
समाधान:
1. अर्धमहाधुरी (a): 𝑎2=36a2=36 𝑎=36=6a=36=6
2. अर्धलघुधुरी (b): 𝑏2=16b2=16 𝑏=16=4b=16=4
3. केंद्र से केंद्रों तक की दूरी (c): 𝑐=𝑎2−𝑏2=36−16=20=25c=a2−b2=36−16=20=25
4. केंद्रों के निर्देशांक: (±25,0)(±25,0)
5. शीर्ष: (±6,0)(±6,0)
6. महाधुरी की लंबाई: 2𝑎=2×6=122a=2×6=12
7. लघुधुरी की लंबाई: 2𝑏=2×4=82b=2×4=8
8. विकेन्द्रता (e): 𝑒=𝑐𝑎=256=53e=ac=625=35
9. लाटस रेक्टम की लंबाई: 2𝑏2𝑎=2×166=326=163a2b2=62×16=632=316
समस्या 2: 𝑥24+𝑦225=14x2+25y2=1
समाधान:
1. अर्धमहाधुरी (a): 𝑎2=25a2=25 𝑎=25=5a=25=5
2. अर्धलघुधुरी (b): 𝑏2=4b2=4 𝑏=4=2b=4=2
3. केंद्र से केंद्रों तक की दूरी (c): 𝑐=𝑎2−𝑏2=25−4=21c=a2−b2=25−4=21
4. केंद्रों के निर्देशांक: (0,±21)(0,±21)
5. शीर्ष: (0,±5)(0,±5)
6. महाधुरी की लंबाई: 2𝑎=2×5=102a=2×5=10
7. लघुधुरी की लंबाई: 2𝑏=2×2=42b=2×2=4
8. विकेन्द्रता (e): 𝑒=𝑐𝑎=215e=ac=521
9. लाटस रेक्टम की लंबाई: 2𝑏2𝑎=2×45=85a2b2=52×4=58
समस्या 3: 𝑥216+𝑦29=116x2+9y2=1
समाधान:
1. अर्धमहाधुरी (a): 𝑎2=16a2=16 𝑎=16=4a=16=4
2. अर्धलघुधुरी (b): 𝑏2=9b2=9 𝑏=9=3b=9=3
3. केंद्र से केंद्रों तक की दूरी (c): 𝑐=𝑎2−𝑏2=16−9=7c=a2−b2=16−9=7
4. केंद्रों के निर्देशांक: (±7,0)(±7,0)
5. शीर्ष: (±4,0)(±4,0)
6. महाधुरी की लंबाई: 2𝑎=2×4=82a=2×4=8
7. लघुधुरी की लंबाई: 2𝑏=2×3=62b=2×3=6
8. विकेन्द्रता (e): 𝑒=𝑐𝑎=74e=ac=47
9. लाटस रेक्टम की लंबाई: 2𝑏2𝑎=2×94=184=4.5a2b2=42×9=418=4.5
समस्या 4: 𝑥225+𝑦2100=125x2+100y2=1
समाधान:
1. अर्धमहाधुरी (a): 𝑎2=100a2=100 𝑎=100=10a=100=10
2. अर्धलघुधुरी (b): 𝑏2=25b2=25 𝑏=25=5b=25=5
3. केंद्र से केंद्रों तक की दूरी (c): 𝑐=𝑎2−𝑏2=100−25=75=53c=a2−b2=100−25=75=53
4. केंद्रों के निर्देशांक: (0,±53)(0,±53)
5. शीर्ष: (0,±10)(0,±10)
6. महाधुरी की लंबाई: 2𝑎=2×10=202a=2×10=20
7. लघुधुरी की लंबाई: 2𝑏=2×5=102b=2×5=10
8. विकेन्द्रता (e): 𝑒=𝑐𝑎=5310=32e=ac=1053=23
9. लाटस रेक्टम की लंबाई: 2𝑏2𝑎=2×2510=5010=5a2b2=102×25=1050=5
समस्या 5: 𝑥249+𝑦236=149x2+36y2=1
समाधान:
1. अर्धमहाधुरी (a): 𝑎2=49a2=49 𝑎=49=7a=49=7
2. अर्धलघुधुरी (b): 𝑏2=36b2=36 𝑏=36=6b=36=6
3. केंद्र से केंद्रों तक की दूरी (c): 𝑐=𝑎2−𝑏2=49−36=13c=a2−b2=49−36=13
4. केंद्रों के निर्देशांक: (±13,0)(±13,0)
5. शीर्ष: (±7,0)(±7,0)
6. महाधुरी की लंबाई: 2𝑎=2×7=142a=2×7=14
7. लघुधुरी की लंबाई: 2𝑏=2×6=122b=2×6=12
8. विकेन्द्रता (e): 𝑒=𝑐𝑎=137e=ac=713
9. लाटस रेक्टम की लंबाई: 2𝑏2𝑎=2×367=727a2b2=72×36=772
समस्या 6: 𝑥2100+𝑦2400=1100x2+400y2=1
समाधान:
1. अर्धमहाधुरी (a): 𝑎2=400a2=400 𝑎=400=20a=400=20
2. अर्धलघुधुरी (b): 𝑏2=100b2=100 𝑏=100=10b=100=10
3. केंद्र से केंद्रों तक की दूरी (c): 𝑐=𝑎2−𝑏2=400−100=300=103c=a2−b2=400−100=300=103
4. केंद्रों के निर्देशांक: (0,±103)(0,±103)
5. शीर्ष: (0,±20)(0,±20)
6. महाधुरी की लंबाई: 2𝑎=2×20=402a=2×20=40
7. लघुधुरी की लंबाई: 2𝑏=2×10=202b=2×10=20
8. विकेन्द्रता (e): 𝑒=𝑐𝑎=10320=32e=ac=20103=23
9. लाटस रेक्टम की लंबाई: 2𝑏2𝑎=2×10020=20020=10a2b2=202×100=20200=10
15.हाइपरबोला
हाइपरबोला की परिभाषा
हाइपरबोला एक प्रकार का शंकवृत्त (conic section) है, जो तब बनता है जब एक समतल एक डबल कोन के दोनों नापों (ऊपरी और निचले हिस्सों) को काटता है। यह दो अलग-अलग वक्रों (curves) से बना होता है, जिन्हें शाखाएँ (branches) कहते हैं, जो एक-दूसरे के प्रतिरूप होती हैं और विपरीत दिशाओं में खुलती हैं।
विकेन्द्रता की परिभाषा
विकेन्द्रता (eccentricity) 𝑒e किसी भी शंकवृत्त की मापन होती है कि वह कितना वृत्ताकार (circular) है। हाइपरबोला के लिए, विकेन्द्रता हमेशा 1 से अधिक होती है। यह किसी भी बिंदु से उसके फोकस तक की दूरी और उस बिंदु से निकटतम निर्देशिका (directrix) तक की लंबवत दूरी का अनुपात होती है।
𝑒=𝑐𝑎e=ac
जहाँ:
- 𝑐c केंद्र से फोकस तक की दूरी है
- 𝑎a केंद्र से शीर्ष (vertex) तक की दूरी है
हाइपरबोला का मानक समीकरण
हाइपरबोला के दो मानक रूप होते हैं, जो अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) के उन्मुखीकरण (orientation) पर निर्भर करते हैं।
1. क्षैतिज अनुप्रस्थ अक्ष: 𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1a2x2−b2y2=1
2. ऊर्ध्वाधर अनुप्रस्थ अक्ष: 𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1a2y2−b2x2=1
दोनों ही मामलों में:
- (ℎ,𝑘)(h,k) हाइपरबोला का केंद्र होता है।
- 𝑎a केंद्र से शीर्ष तक की दूरी है।
- 𝑏b 𝑎a और 𝑐c से संबंधित है और समीकरण 𝑏2=𝑐2−𝑎2b2=c2−a2 से प्राप्त होता है।
- 𝑐c केंद्र से प्रत्येक फोकस तक की दूरी है।
लटस रेक्टम की परिभाषा
हाइपरबोला का लटस रेक्टम एक रेखा खंड (line segment) है जो अनुप्रस्थ अक्ष के लंबवत होता है और एक फोकस से होकर गुजरता है। इसकी लंबाई 2𝑏2𝑎a2b2 से प्राप्त होती है।
समस्याओं के हल के उदाहरण
उदाहरण 1: हाइपरबोला का समीकरण निकालना
समस्या: ऐसे हाइपरबोला का समीकरण निकालें जिसमें फोकस (±5, 0) और शीर्ष (±3, 0) पर हो।
समाधान:
1. फोकस से 𝑐c निकालें: 𝑐=5c=5।
2. शीर्ष से 𝑎a निकालें: 𝑎=3a=3।
3. 𝑏b की गणना करें 𝑏2=𝑐2−𝑎2b2=c2−a2: 𝑏2=52−32=25−9=16b2=52−32=25−9=16 𝑏=4b=4
4. समीकरण: 𝑥232−𝑦242=132x2−42y2=1 𝑥29−𝑦216=19x2−16y2=1
उदाहरण 2: हाइपरबोला की विकेन्द्रता
समस्या: हाइपरबोला 𝑥29−𝑦216=19x2−16y2=1 की विकेन्द्रता निकालें।
समाधान:
1. 𝑎a और 𝑏b पहचानें: 𝑎2=9⇒𝑎=3a2=9⇒a=3 𝑏2=16⇒𝑏=4b2=16⇒b=4
2. 𝑐c की गणना करें: 𝑐2=𝑎2+𝑏2=9+16=25c2=a2+b2=9+16=25 𝑐=5c=5
3. विकेन्द्रता 𝑒e: 𝑒=𝑐𝑎=53e=ac=35
उदाहरण 3: लटस रेक्टम की लंबाई
समस्या: हाइपरबोला 𝑥216−𝑦29=116x2−9y2=1 का लटस रेक्टम की लंबाई निकालें।
समाधान:
1. 𝑎a और 𝑏b पहचानें: 𝑎2=16⇒𝑎=4a2=16⇒a=4 𝑏2=9⇒𝑏=3b2=9⇒b=3
2. लटस रेक्टम की लंबाई: 2𝑏2𝑎=2×94=184=4.5a2b2=42×9=418=4.5
उदाहरण 4: हाइपरबोला के शीर्ष और फोकस
समस्या: हाइपरबोला 𝑦225−𝑥216=125y2−16x2=1 के शीर्ष और फोकस निकालें।
समाधान:
1. 𝑎a और 𝑏b पहचानें: 𝑎2=25⇒𝑎=5a2=25⇒a=5 𝑏2=16⇒𝑏=4b2=16⇒b=4
2. शीर्ष: चूंकि अनुप्रस्थ अक्ष ऊर्ध्वाधर है, शीर्ष (0, ±5) पर होते हैं।
3. 𝑐c की गणना करें: 𝑐2=𝑎2+𝑏2=25+16=41c2=a2+b2=25+16=41 𝑐=41c=41
4. फोकस: फोकस (0, ±√41) पर होते हैं।
उदाहरण 5: हाइपरबोला के असिम्पटोट्स
समस्या: हाइपरबोला 𝑦236−𝑥216=136y2−16x2=1 के असिम्पटोट्स की समीकरण निकालें।
समाधान:
1. 𝑎a और 𝑏b पहचानें: 𝑎2=36⇒𝑎=6a2=36⇒a=6 𝑏2=16⇒𝑏=4b2=16⇒b=4
2. असिम्पटोट्स: ऊर्ध्वाधर अनुप्रस्थ अक्ष के लिए, समीकरण 𝑦=±𝑎𝑏𝑥y=±bax: 𝑦=±64𝑥y=±46x 𝑦=±32𝑥y=±23x

शंकु परिच्छेद — कक्षा 11 गणित नोट्स

शंकु परिच्छेद में शामिल टॉपिक

1.शंकु परिच्छेद का परिचय

परिचय - शंकु परिच्छेद

शंकु परिच्छेद के प्रकार

1. वृत्त (Circle)

2. दीर्घवृत्त (Ellipse)

3. परवलय (Parabola)

4. अतिपरवलय (Hyperbola)

वास्तविक दुनिया में उपयोग

करियर जो शंकु परिच्छेदों से संबंधित हैं

2.शंकु के परिच्छेद

शंकु परिच्छेद के प्रकार

1. वृत्त (Circle)

2. दीर्घवृत्त (Ellipse)

3. परवलय (Parabola)

4. अतिपरवलय (Hyperbola)

शंकु परिच्छेद की कल्पना

वास्तविक दुनिया में उपयोग

करियर जो शंकु परिच्छेदों का उपयोग करते हैं

3.अपकेंद्रीय शंकु परिच्छेद

अपकेंद्रीय शंकु परिच्छेद के प्रकार

1. बिंदु (Point)

2. रेखा (Line)

3. प्रतिच्छेदित रेखाओं की जोड़ी (Pair of Intersecting Lines)

वास्तविक दुनिया में उदाहरण और अनुप्रयोग

करियर जो अपकेंद्रीय शंकु परिच्छेदों का उपयोग करते हैं

4.वृत्त

वृत्त की परिभाषा

मुख्य शब्द:

चित्र विवरण

वृत्त का समीकरण

वास्तविक जीवन में उदाहरण

चरण-दर-चरण व्युत्पत्ति

5.अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1

अभ्यास 2

अभ्यास 3

अभ्यास 4

अभ्यास 5

अभ्यास 6

अभ्यास 7

अभ्यास 8

अभ्यास 9

अभ्यास 10

6.अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1

प्रश्न 2

प्रश्न 3

7.परबोला

मुख्य शब्द:

परबोला के मानक समीकरण

1. ऊपर या नीचे की ओर खुलने वाला परबोला

2. बाएँ या दाएँ की ओर खुलने वाला परबोला

(h, k) बिंदु पर वर्टेक्स के साथ सामान्य रूप

3. ऊपर की ओर खुलने वाला परबोला

4. नीचे की ओर खुलने वाला परबोला

5. दाएँ की ओर खुलने वाला परबोला

6. बाएँ की ओर खुलने वाला परबोला

वास्तविक जीवन का उदाहरण

8.लैटस रेक्टम

मुख्य बिंदु:

मानक समीकरण और लैटस रेक्टम:

समस्या-समाधान के प्रश्न:

प्रश्न 1

प्रश्न 2

9.अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1

अभ्यास 2

अभ्यास 3

अभ्यास 4

अभ्यास 5

अभ्यास 6

अभ्यास 7 से 12

अभ्यास 7

अभ्यास 8

अभ्यास 9

अभ्यास 10

अभ्यास 11

अभ्यास 12

𝑐=𝑎2−𝑏2c=a2−b2 के संबंध का प्रमाण

समस्या 2: 𝑥24+𝑦225=14x2+25y2=1

समस्या 3: 𝑥216+𝑦29=116x2+9y2=1

समस्या 4: 𝑥225+𝑦2100=125x2+100y2=1

समस्या 5: 𝑥249+𝑦236=149x2+36y2=1

समस्या 6: 𝑥2100+𝑦2400=1100x2+400y2=1