वृत्तों से संबंधित क्षेत्र — कक्षा 10 गणित नोट्स

वृत्तों से संबंधित क्षेत्र में शामिल टॉपिक

1. 1.वृत्त से सम्बंधित क्षेत्रफल का परिचय

   वृत्त से संबंधित क्षेत्रफल

   आइए "वृत्त से संबंधित क्षेत्रफल" विषय को एक मजेदार और सरल तरीके से समझते हैं। यह विषय गणित और वास्तविक जीवन दोनों में काफी रोचक और उपयोगी है।

   मूल संकल्पना: वृत्त एक गोल आकार होता है, जैसे कि एक सिक्का या डिनर प्लेट। वृत्त के चारों ओर की दूरी को परिधि कहा जाता है, और वृत्त के केंद्र से इसके किसी भी बिंदु तक जाने वाली रेखा को त्रिज्या कहते हैं।

   वृत्त का क्षेत्रफल: क्षेत्रफल वह स्थान होता है जो वृत्त के अंदर होता है। हम इसे निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना करते हैं: क्षेत्रफल = π × त्रिज्या² यहाँ, π (पाई) लगभग 3.14 होता है। तो, अगर त्रिज्या 5 सेमी है, तो क्षेत्रफल होगा 3.14 × 5 × 5 = 78.5 सेमी²।

   वृत्त की परिधि: परिधि वृत्त के चारों ओर की दूरी होती है, जिसे निम्नलिखित सूत्र से गणना की जाती है: परिधि = 2 × π × त्रिज्या तो, 5 सेमी त्रिज्या के साथ, परिधि होगी 2 × 3.14 × 5 = 31.4 सेमी।

   खंड और ज्या के क्षेत्रफल: कल्पना करें कि एक पिज्जा का टुकड़ा है। यह टुकड़ा वृत्त का हिस्सा होता है, जिसे खंड कहा जाता है। खंड का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल का एक अंश होता है, जो टुकड़े के कोण पर निर्भर करता है। ज्या खंड की तरह होता है लेकिन त्रिकोणीय भाग काट दिया जाता है।

   वास्तविक जीवन के उदाहरण और अनुप्रयोग:

   • पिज्जा स्लाइस: जब आप पिज्जा को स्लाइस में काटते हैं, तो आप वृत्त को खंडों में विभाजित कर रहे होते हैं। प्रत्येक स्लाइस के क्षेत्रफल को समझना पिज्जा को समान रूप से विभाजित करने में मदद करता है।
   • पहिया डिजाइन: कारों और बाइकों में पहियों के डिजाइन में परिधि और क्षेत्रफल की गणना करना शामिल होता है ताकि ये सही ढंग से फिट हों और अच्छी तरह काम करें।
   • आर्किटेक्चर और इंजीनियरिंग: आर्किटेक्ट्स और इंजीनियर्स इन अवधारणाओं का उपयोग गोलाकार संरचनाओं, जैसे कि गोल चौराहे या गुंबददार छतों को डिजाइन करने में करते हैं।

   करियर और उद्योग:

   • गणित और इंजीनियरिंग: ये अवधारणाएँ मैकेनिकल इंजीनियरिंग, आर्किटेक्चर, और डिजाइन जैसे क्षेत्रों में मौलिक हैं।
   • शिक्षा: एक शिक्षक या अकादमिक के रूप में, इन अवधारणाओं को समझना और समझाना महत्वपूर्ण है।

2. 2.एक वृत्त के सेक्टर और खंड का क्षेत्रफल

   आइए वृत्त के खंड और ज्या के क्षेत्रफल को समझें, जो वृत्त ज्यामिति के काफी रोचक हिस्से हैं।

   वृत्त का खंड: वृत्त का खंड 'पाई का टुकड़ा' या 'पिज्जा का स्लाइस' की तरह होता है। यह दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से बनता है।

   • खंड के क्षेत्रफल की गणना का सूत्र: खंड का क्षेत्रफल = (θ / 360°) × π × r² यहाँ, θ केंद्रीय कोण है (डिग्री में), और r वृत्त की त्रिज्या है।

     उदाहरण: अगर किसी खंड का केंद्रीय कोण 90° है और वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है, तो खंड का क्षेत्रफल होगा: (90° / 360°) × π × 10² = ¼ × π × 100 = 25π सेमी²

   वृत्त का ज्या: ज्या वृत्त में एक झिल्ली (कोर्ड) द्वारा अलग किया गया क्षेत्र होता है। यह खंड की तरह होता है लेकिन त्रिकोणीय भाग के बिना।

   • ज्या के क्षेत्रफल की गणना का सूत्र: ज्या का क्षेत्रफल = खंड का क्षेत्रफल - त्रिकोण का क्षेत्रफल त्रिकोण का क्षेत्रफल विभिन्न विधियों से पाया जा सकता है, जो उपलब्ध जानकारी पर निर्भर करता है।

     उदाहरण: पहले उदाहरण वाले खंड के लिए, अगर संबंधित त्रिकोण की ऊंचाई 6 सेमी है, तो त्रिकोण का क्षेत्रफल होगा ½ × आधार × ऊंचाई। यहाँ आधार चोर्ड की लंबाई है, जिसे वृत्त ज्यामिति के सिद्धांतों का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

   वास्तविक जीवन के उदाहरण और करियर:

   • डिजाइन और आर्किटेक्चर: इन क्षेत्रफलों को समझना वास्तुशिल्प तत्वों जैसे कि मेहराब या गोलाकार खिड़कियों को डिजाइन करने में आवश्यक है।
   • कृषि: किसान इन गणनाओं का उपयोग गोलाकार खेतों में सिंचाई या रोपण के लिए क्षेत्रफल निर्धारित करने में कर सकते हैं।
   • खेल: खेल के मैदान या ट्रैक की योजना बनाते समय अक्सर खंडों और ज्याओं की गणना शामिल होती है।

   गतिविधि:

   • कागज की गतिविधि: कागज से एक वृत्त काटें, और फिर एक 'टुकड़ा' काटकर एक खंड बनाएं। कोण और त्रिज्या को मापें, और कागज के खंड के क्षेत्रफल की गणना करने का प्रयास करें।
   • मैदान की गतिविधि: खेल के मैदान पर, चॉक का उपयोग करके जमीन पर एक खंड या ज्या को चिह्नित करें। इसके क्षेत्रफल को मापें और गणना करें।

3. 3.4 सेमी त्रिज्या और 30° कोण वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, संगत प्रमुख त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल भी ज्ञात करें (π = 3.14 का प्रयोग करें)।

   वृत्त के एक खंड का क्षेत्रफल जिसकी त्रिज्या 4 सेमी और केंद्रीय कोण 30° है, निम्नलिखित सूत्र से पाया जा सकता है:

   खंड का क्षेत्रफल = (θ / 360°) × π × r²

   यहाँ: θ = 30° (केंद्रीय कोण) r = 4 सेमी (त्रिज्या) π = 3.14 (पाई का दिया गया मान)

   चलिए खंड का क्षेत्रफल गणना करते हैं।

   खंड का क्षेत्रफल = (30° / 360°) × 3.14 × (4 सेमी)²

   अब, मेजर खंड (जो कि वृत्त का बड़ा भाग होता है जब माइनर खंड को हटा दिया जाता है) का क्षेत्रफल पाने के लिए, हम माइनर खंड के क्षेत्रफल को वृत्त के कुल क्षेत्रफल से घटाते हैं।

   वृत्त के कुल क्षेत्रफल का सूत्र है:

   वृत्त का क्षेत्रफल = π × r²

   हम मेजर खंड का क्षेत्रफल निम्नलिखित प्रकार से गणना कर सकते हैं:

   मेजर खंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - माइनर खंड का क्षेत्रफल

   चलिए इन क्षेत्रफलों की गणना कदम दर कदम करते हैं।

   माइनर खंड का क्षेत्रफल (वृत्त का छोटा भाग जो 30° कोण के अनुरूप है) जिसकी त्रिज्या 4 सेमी है, लगभग 4.19 सेमी² है।

   मेजर खंड का क्षेत्रफल (वृत्त का बड़ा भाग) लगभग 46.05 सेमी² है।

4. 4.एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी परिधि 22 सेमी है।

   वृत्त के एक चतुर्थांश (क्वाड्रंट) का क्षेत्रफल पाने के लिए, हमें सबसे पहले वृत्त की त्रिज्या जाननी चाहिए। एक चतुर्थांश वृत्त का एक चौथाई हिस्सा होता है, इसलिए एक बार जब हम त्रिज्या जान जाते हैं, हम पूरे वृत्त का क्षेत्रफल गणना कर सकते हैं और फिर उसे 4 से विभाजित करके चतुर्थांश का क्षेत्रफल प्राप्त कर सकते हैं।

   सबसे पहले, चलिए परिधि का उपयोग करके त्रिज्या ढूंढते हैं। वृत्त की परिधि (C) का सूत्र है:

   =2C=2πr

   चूंकि परिधि 22 सेमी है, हम त्रिज्या (r) के लिए हल कर सकते हैं:

   22=222=2πr

   त्रिज्या (r) पाने के लिए, हम दोनों पक्षों को 22π से विभाजित करते हैं:

   =222r=2π22​

   एक बार जब हमारे पास त्रिज्या हो जाती है, हम पूरे वृत्त का क्षेत्रफल (A) निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ढूंढ सकते हैं:

   =2A=πr2

   और चतुर्थांश का क्षेत्रफल (A_q) होगा:

   =4Aq​=4A​

   चलिए इसे कदम दर कदम गणना करते हैं, π का मान 3.14 लेकर।

   22 सेमी परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या लगभग 3.50 सेमी है।

   इस वृत्त के एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल लगभग 9.63 सेमी² है।

   हालांकि, अब हम =227π=722​ का उपयोग करके फिर से गणना करेंगे।

   परिधि का उपयोग करके त्रिज्या को ढूंढने के बाद, हम पाते हैं:

   =222×227r=2×722​22​

   इसके बाद, हम पूरे वृत्त का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना करते हैं:

   =227×2A=722​×r2

   और चतुर्थांश का क्षेत्रफल होगा:

   =4Aq​=4A​

   गणना के बाद, हमें प्राप्त होता है कि चतुर्थांश का क्षेत्रफल 9.625 सेमी² है

5. 5.एक घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 14 सेमी है। मिनट की सुई द्वारा 5 मिनट में तय किया गया क्षेत्रफल ज्ञात करें।

   
   

   5 मिनट में मिनट की सुई द्वारा तय किए गए क्षेत्र का पता लगाने के लिए, हमें उस वृत्त के खंड का क्षेत्रफल गणना करना होगा जिसे मिनट की सुई घड़ी के चक्कर लगाते हुए कवर करती है।

   यहाँ इसे कैसे गणना करें वो बताया गया है:

   1. 5 मिनट में मिनट की सुई द्वारा तय किया गया कोण गणना करें। चूंकि मिनट की सुई 60 मिनट में पूरा चक्कर (360 डिग्री) पूरा करती है, 5 मिनट में यह: कोण=360 डिग्री60 मिनट×5 मिनट
      कोण=60 मिनट360 डिग्री​×5 मिनट

   2. मिनट की सुई द्वारा तय किए गए क्षेत्र का पता लगाने के लिए खंड क्षेत्रफल का सूत्र इस्तेमाल करें: खंड का क्षेत्रफल=कोण360××2
      खंड का क्षेत्रफल=360कोण​×π×r2 जहाँ r मिनट की सुई की लंबाई है और π का मान लगभग 3.14159 है।

   चलिए इसे गणना करते हैं।

   14 सेमी लंबी घड़ी की मिनट की सुई द्वारा 5 मिनट में तय किया गया क्षेत्रफल लगभग 51.31 सेमी² है।

6. 6.10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर समकोण बनाती है। का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये संगत: (i) लघु खंड (ii) प्रमुख क्षेत्र। (उपयोग करें π = 3.14)

   
   

   इस समस्या को हल करने के लिए, पहले हम छोटे खंड का क्षेत्रफल और फिर 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के बड़े खंड का क्षेत्रफल पाएंगे, जहाँ झिल्ली (कोर्ड) केंद्र पर समकोण बनाती है।

   छोटे खंड का क्षेत्रफल:

   छोटा खंड वृत्त का वह छोटा भाग है जो झिल्ली द्वारा काटा जाता है। इसका क्षेत्रफल पाने के लिए, हम पहले 90° कोण से बने खंड का क्षेत्रफल पाते हैं और फिर त्रिज्या और झिल्ली से बने त्रिकोण का क्षेत्रफल घटाते हैं।

   खंड का क्षेत्रफल: कोण 90° (समकोण) है। इसलिए, खंड का क्षेत्रफल है 90°360°××2360°90°​×π×r2।

   त्रिकोण का क्षेत्रफल: त्रिज्या और झिल्ली से बने समकोण त्रिकोण में, दोनों पक्ष (त्रिज्या) 10 सेमी हैं। समकोण त्रिकोण का क्षेत्रफल है 12×आधार×ऊँचाई21​×आधार×ऊँचाई।

   छोटे खंड का क्षेत्रफल = खंड का क्षेत्रफल - त्रिकोण का क्षेत्रफल।

   बड़े खंड का क्षेत्रफल:

   बड़ा खंड वृत्त का बड़ा भाग है। इसका क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल से छोटे खंड के क्षेत्रफल को घटाकर पाया जाता है।

   पूरे वृत्त का क्षेत्रफल: ×2π×r2।

   बड़े खंड का क्षेत्रफल = पूरे वृत्त का क्षेत्रफल - छोटे खंड का क्षेत्रफल।

   अब, चलिए इन क्षेत्रफलों की गणना करते हैं, =3.14π=3.14 और =10r=10 सेमी का उपयोग करके।

   वृत्त के छोटे खंड का क्षेत्रफल लगभग 28.5 सेमी² है, और बड़े खंड का क्षेत्रफल लगभग 235.5 सेमी² है।

   यहाँ चरणों का संक्षिप्त सारांश है:

   1. 90° खंड का क्षेत्रफल 90°360°××2=78.5360°90°​×π×r2=78.5 सेमी² के रूप में गणना किया गया था।
   2. त्रिज्या और झिल्ली से बने समकोण त्रिकोण का क्षेत्रफल 12×आधार×ऊँचाई=5021​×आधार×ऊँचाई=50 सेमी² था।
   3. छोटे खंड का क्षेत्रफल खंड के क्षेत्रफल से त्रिकोण के क्षेत्रफल को घटाकर पाया गया: 78.5−50=28.578.5−50=28.5 सेमी²।
   4. बड़े खंड का क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल से 90° खंड के क्षेत्रफल को घटाकर पाया गया: 314−78.5=235.5314−78.5=235.5 सेमी²

7. 7.21 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त में, एक चाप केंद्र पर 60° का कोण बनाता है। खोजो: (i) चाप की लंबाई (ii) चाप द्वारा निर्मित त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (iii) संगत जीवा द्वारा निर्मित खंड का क्षेत्रफल

   
   

   इस समस्या को हल करने के लिए, हमें वृत्त के गुणों और कोणों, आर्क की लंबाई और खंडों और खंडों के क्षेत्रफल के बीच संबंधों का उपयोग करना होगा।

   आर्क की लंबाई:

   वृत्त में आर्क की लंबाई का सूत्र है =360×2L=360θ​×2πr, जहाँ θ केंद्रीय कोण है डिग्री में, r त्रिज्या है, और π लगभग 3.14 है।

   दिए गए हैं:

   • =60°θ=60°
   • =21r=21 सेमी

   इसलिए, आर्क की लंबाई (L) है:

   =60°360°×2×3.14×21L=360°60°​×2×3.14×21

   आर्क की लंबाई लगभग 21.99 सेमी है।

   खंड का क्षेत्रफल:

   वृत्त के खंड का क्षेत्रफल का सूत्र है =360×2A=360θ​×πr2।

   वही θ और r के मान का उपयोग करते हुए, खंड का क्षेत्रफल (A) है:

   =60°360°×3.14×212A=360°60°​×3.14×212

   21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 60° आर्क द्वारा बनाए गए खंड का क्षेत्रफल लगभग 230.91 सेमी² है।

   संबंधित झिल्ली (कोर्ड) द्वारा बनाए गए खंड का क्षेत्रफल:

   खंड का क्षेत्रफल खंड के क्षेत्रफल से त्रिज्या और झिल्ली द्वारा बनाए गए त्रिकोण के क्षेत्रफल को घटाकर पाया जाता है।

   पहले, हम त्रिकोण का क्षेत्रफल गणना करते हैं। 60° खंड में, त्रिकोण समद्विबाहु होता है। समद्विबाहु त्रिकोण का क्षेत्रफल साइड s के साथ 34×243​​×s2 द्वारा दिया जाता है। त्रिकोण की साइड लंबाई s झिल्ली है, जिसे वृत्त में झिल्ली की लंबाई के सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है: =2sin⁡(2)s=2rsin(2θ​)।

   इसलिए, त्रिकोण का क्षेत्रफल (T) है:

   =34×(2×21×sin⁡(30°))2T=43​​×(2×21×sin(30°))2

   अंत में, खंड का क्षेत्रफल है:

   खंड का क्षेत्रफल=−खंड का क्षेत्रफल=A−T

   संबंधित झिल्ली द्वारा बनाए गए खंड का क्षेत्रफल लगभग 39.95 सेमी² है।

8. 8.एक घोड़े को 15 मीटर भुजा वाले चौकोर आकार के घास के मैदान के एक कोने पर 5 मीटर लंबी रस्सी के माध्यम से एक खूंटे से बांधा गया है (चित्र देखें)। ज्ञात कीजिए (i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें घोड़ा चर सकता है। (ii) यदि रस्सी 5 मीटर के बजाय 10 मीटर लंबी

   
   

   घोड़े के चरने के क्षेत्रफल और अगर रस्सी लंबी होती तो चरने के क्षेत्रफल में वृद्धि का पता लगाने के लिए, हम 5 मीटर और 10 मीटर की रस्सियों के साथ घोड़े द्वारा चराई जा सकने वाले चतुर्थांश वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करेंगे, क्योंकि घोड़ा एक वर्गाकार खेत के कोने पर बंधा होता है।

   (i) 5 मीटर की रस्सी के साथ चराई क्षेत्र का क्षेत्रफल: घोड़ा 90° कोण (जो एक चतुर्थांश वृत्त है) और रस्सी की लंबाई के बराबर त्रिज्या वाले वृत्त के खंड के क्षेत्रफल में चरा सकता है।

   खंड का क्षेत्रफल (चतुर्थांश वृत्त) इस प्रकार दिया जाता है: क्षेत्रफल=360××2
   क्षेत्रफल=360θ​×π×r2 एक चतुर्थांश वृत्त के लिए, =90°θ=90°, =5r=5 मी।

   क्षेत्रफल5मी=90360×3.14×52क्षेत्रफल5मी​=36090​×3.14×52

   (ii) अगर रस्सी 10 मीटर होती तो चराई क्षेत्र में वृद्धि: बढ़ा हुआ क्षेत्रफल 10 मीटर की रस्सी के साथ एक चतुर्थांश वृत्त के क्षेत्रफल और मूल 5 मीटर की रस्सी के क्षेत्रफल के बीच का अंतर है।

   10 मीटर की रस्सी के लिए: क्षेत्रफल10मी=90360×3.14×102क्षेत्रफल10मी​=36090​×3.14×102

   क्षेत्रफल में वृद्धि है: वृद्धि=क्षेत्रफल10मी−क्षेत्रफल5मीवृद्धि=क्षेत्रफल10मी​−क्षेत्रफल5मी​

   चलिए इन दो क्षेत्रफलों की गणना करते हैं, इसके लिए =3.14π=3.14 का उपयोग करें।

   गणना किए गए क्षेत्रफल के साथ विस्तृत समाधान यहाँ दिया गया है:

   (i) 5 मीटर की रस्सी के साथ चराई क्षेत्र का क्षेत्रफल: क्षेत्रफल5मी=90360×3.14×52
   क्षेत्रफल5मी​=36090​×3.14×52 क्षेत्रफल5मी=14×3.14×25क्षेत्रफल5मी​=41​×3.14×25 क्षेत्रफल5मी=19.625 मी2क्षेत्रफल5मी​=19.625मी2

   तो, 5 मीटर की रस्सी के साथ, घोड़ा 19.625 मीटर² के क्षेत्र में चर सकता है।

   (ii) अगर रस्सी की लंबाई 10 मीटर होती तो चराई क्षेत्र में वृद्धि: क्षेत्रफल10मी=90360×3.14×102क्षेत्रफल10मी​=36090​×3.14×102 क्षेत्रफल10मी=14×3.14×100क्षेत्रफल10मी​=41​×3.14×100 क्षेत्रफल10मी=78.5 मी2क्षेत्रफल10मी​=78.5मी2

   रस्सी को 10 मीटर तक बढ़ाने पर बढ़ा हुआ क्षेत्रफल है: वृद्धि=78.5 मी2−19.625 मी2वृद्धि=78.5मी2−19.625मी2 वृद्धि=58.875 मी2वृद्धि=58.875मी2

   इसलिए, अगर रस्सी 5 मीटर के बजाय 10 मीटर लंबी होती, तो चराई क्षेत्र में 58.875 मीटर² की वृद्धि होती।

9. 9.एक छाते में 8 पसलियाँ होती हैं जो समान दूरी पर होती हैं (चित्र देखें)। छतरी को समतल मानकर 45 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए छाते की लगातार दो पसलियाँ।

   
   

   छाते की दो क्रमागत पसलियों के बीच के क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए, हमें दो क्रमागत पसलियों द्वारा बनाई गई वृत्त के खंड का क्षेत्रफल गणना करना आवश्यक है।

   यह देखते हुए कि छाते में समान रूप से वितरित 8 पसलियां हैं, इसका मतलब है कि छाते को 8 समान खंडों में विभाजित किया जा सकता है। प्रत्येक खंड फिर वृत्त के केंद्र पर 45° का कोण बनाता है।

   इन खंडों में से एक का क्षेत्रफल, जो दो क्रमागत पसलियों के बीच का क्षेत्र है, की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

   1. दो पसलियों के बीच खंड के केंद्रीय कोण का पता लगाएं: चूंकि 8 पसलियां हैं, एक खंड का केंद्रीय कोण θ होगा 360°8=45°8360°​=45°।

   2. खंड का क्षेत्रफल गणना करें (जो दो पसलियों के बीच का क्षेत्र है): खंड के क्षेत्रफल A का सूत्र है =360××2A=360θ​×π×r2, जहां r छाते की त्रिज्या है।

      45 सेमी की दी गई त्रिज्या का उपयोग करते हुए, दो पसलियों के बीच का क्षेत्रफल A होगा: =45°360°×3.14×(45सेमी)2A=360°45°​×3.14×(45सेमी)2

   3. गणना करें: अब हम दी गई मानों का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करेंगे।

   छाते की दो क्रमागत पसलियों के बीच का क्षेत्रफल 794.8125 सेमी² है।

   गणना की विस्तृत व्याख्या इस प्रकार है:

   1. छाता 8 समान खंडों में विभाजित है क्योंकि उसमें 8 पसलियां हैं।
   2. प्रत्येक खंड का केंद्रीय कोण 45° है।
   3. खंड के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र है =360××2A=360θ​×π×r2, जहां θ कोण है डिग्री में और r त्रिज्या है सेमी में।
   4. मानों को सूत्र में डालकर हमें मिलता है: =45360×3.14×452A=36045​×3.14×452 =18×3.14×2025A=81​×3.14×2025 =0.125×3.14×2025A=0.125×3.14×2025 =794.8125 सेमी2A=794.8125 सेमी2

   इसलिए, छाते का एक पसली द्वारा कवर किया गया क्षेत्र, या दो क्रमागत पसलियों के बीच का क्षेत्रफल 794.8125 सेमी² है।

10. 10.शीघ्र पुनरीक्षण

    वृत्त से संबंधित क्षेत्रफल

    वृत्त से संबंधित क्षेत्रफल में मुख्य रूप से वृत्त के अंदर और उसके भागों की जगह का पता लगाना शामिल है। यहाँ की मुख्य सूत्र है वृत्त का क्षेत्रफल, जो है क्षेत्रफल=2क्षेत्रफल=πr2, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।

    वृत्त के क्षेत्र और खंड का क्षेत्रफल

    • क्षेत्र: एक क्षेत्र वृत्त के 'पिज्जा स्लाइस' की तरह होता है। क्षेत्र का क्षेत्रफल क्षेत्रफल=360×2क्षेत्रफल=360θ​×πr2 सूत्र से मापा जाता है, जहाँ θ क्षेत्र का कोण है।
    • खंड: खंड एक तार और संबंधित चाप के बीच का क्षेत्र है। इसका क्षेत्रफल निकालने के लिए पहले क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें और फिर उसमें से तार और दो त्रिज्याओं द्वारा बनाए गए त्रिकोण का क्षेत्रफल घटा दें।

    सूत्रों का कार्यान्वयन

    1. पहचानें कि आपको क्या खोजना है: पूरे वृत्त का क्षेत्रफल, एक क्षेत्र, या एक खंड।
    2. एक वृत्त के लिए, 2πr2 का उपयोग करें।
    3. एक क्षेत्र के लिए, कोण का उपयोग करके वृत्त के हिस्से की गणना करें, और फिर वृत्त के क्षेत्रफल से गुणा करें।
    4. एक खंड के लिए, क्षेत्र के क्षेत्रफल से त्रिकोण का क्षेत्रफल घटाएँ।