त्रिकोणमिति — कक्षा 10 गणित नोट्स

त्रिकोणमिति · कक्षा 10 गणित · 29 टॉपिक.

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त्रिकोणमिति में शामिल टॉपिक

  1. 1.त्रिकोणमिति का परिचय

    त्रिकोणमिति मेथ का एक हिस्सा है जो हमें त्रिभुजों को अच्छे से समझने में मदद करता है, खासकर वो जिनमें 90 डिग्री का कोण होता है। जैसे, एक किताब या आयताकार के कोने की तरह।

    **त्रिकोणमिति के मुख्य हिस्से:**

    1. **साइन (sin)**: यह आपको त्रिभुज की ऊंचाई बताता है जब आपको सबसे लंबी भुजा (hypotenuse) और एक कोण का पता हो।

    2. **कोसाइन (cos)**: यह आपको त्रिभुज के आधार की लंबाई बताता है जब आपको सबसे लंबी भुजा (hypotenuse) और एक कोण का पता हो।

    3. **टैंजेंट (tan)**: यह आपको ऊंचाई बताता है अगर आपको आधार और एक कोण का पता हो या उल्टा।

    इसका उपयोग कैसे किया जाता है

    1. नेविगेशन: त्रिकोणमिति का उपयोग नेविगेशन में समुद्र के एक बिंदु से किनारे की दूरी ज्ञात करने के लिए किया जाता है। यह GPS तकनीक में भी उपयोग किया जाता है।
    2. इंजीनियरिंग: इंजीनियर त्रिकोणमिति का उपयोग कोणों को निर्धारित करने और घटकों को डिजाइन करने में करते हैं।
    3. वास्तुकला: इमारतों और पुलों को डिजाइन करने के लिए, वास्तुकार संरचनात्मक भार और कोणों की गणना करने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करते हैं।
    4. भौतिकी: तरंगों, प्रकाशिकी, और यांत्रिकी को समझने में अक्सर त्रिकोणमिति शामिल होती है।
    5. खगोल विज्ञान: त्रिकोणमिति खगोलविदों को तारों और ग्रहों के बीच की दूरियों को मापने में मदद करती है।

    वास्तविक जीवन का उदाहरण

    कल्पना कीजिए कि आप एक पतंग उड़ा रहे हैं और आप जानना चाहते हैं कि यह कितनी ऊँची है। यदि आप पतंग की डोरी (कर्ण) की लंबाई और जमीन से पतंग तक के ऊंचाई के कोण को मापते हैं, तो आप त्रिकोणमिति का उपयोग करके जमीन से पतंग की ऊंचाई की गणना कर सकते हैं।

    आपके करियर में आवेदन

    यदि आप इंजीनियरिंग, वास्तुकला, भौतिकी, या कंप्यूटर विज्ञान जैसे क्षेत्रों में करियर बनाने की दिशा में अग्रसर होते हैं, तो आप पाएंगे कि त्रिकोणमिति एक आवश्यक उपकरण है। यह संरचनाओं को डिजाइन करने, भौतिक घटनाओं को समझने, और विभिन्न संगणनात्मक समस्याओं में मदद करता है।

    त्रिकोणमिति को अब समझने से आपको भविष्य में इन विषयों के लिए एक मजबूत आधार प्रदान किया जाएगा। इसके अलावा, यह आपके समस्या सुलझाने और विश्लेषणात्मक कौशल को तेज करता है, जो किसी भी करियर पथ में मूल्यवान हैं।

  2. 2.त्रिकोणमितीय अनुपात

    त्रिकोणमितीय अनुपात समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध को समझने का एक तरीका है। आइए तीन मुख्य को तोड़ें: साइन (पाप), कोसाइन (कॉस), और टैंगेंट (टैन)।

    1. **Sine (sin):** यह एक समकोण त्रिभुज में एक कोण के विपरीत ओर की लंबाई और hypotenuse (सबसे लंबी ओर) की लंबाई के बीच का अनुपात है।

    - **असल जीवन का उदाहरण:** मान लो आपके पास एक रैम्प है और आप जानना चाहते हैं कि वह कितना ढलान है। Hypotenuse रैम्प की पूरी लंबाई होगी, और विपरीत ओर रैम्प की ऊंचाई होगी। Sine अनुपात से आप रैम्प की ढलान को जान सकते हैं।

    2. **Cosine (cos):** यह अनुपात एक कोण के पास की ओर की लंबाई और hypotenuse की लंबाई के बीच है।

    - **असल जीवन का उदाहरण:** मान लो आप एक सीढ़ी पर हो जो दीवार के साथ टेका हुआ है। Hypotenuse सीढ़ी की पूरी लंबाई होगी, और पास की ओर दीवार से सीढ़ी के नीचे की दूरी होगी। Cosine अनुपात से आप समझ सकते हैं कि सीढ़ी का निचला हिस्सा दीवार से कितनी दूर होना चाहिए।

    3. **Tangent (tan):** यह अनुपात एक कोण के विपरीत ओर की लंबाई और पास की ओर की लंबाई के बीच है।

    - **असली जीवन का उदाहरण:** पार्क में एक स्लाइड का सोचो। विपरीत ओर स्लाइड की ऊंचाई होगी और पास की ओर स्लाइड के नीचे से सीधे ऊपर तक की दूरी होगी। Tangent अनुपात से आप जान सकते हैं कि स्लाइड कितना ढलान है।

  3. 3.उदाहरण:- समकोण त्रिभुज ABC में कोण A का त्रिकोणमितीय अनुपात

    1. A कोण का साइन (Sin): यह A कोण के विपरीत भुजा (BC कहैं) और कर्ण (AC कहैं) का अनुपात होता है ।

    sin A = BC/ AC

    2. A कोण का कोसाइन (Cos): यह A कोण के समीप भुजा (AB कहें) और कर्ण (AC कहें) का अनुपात होता है।

    cos A = AB /AC

    3. A कोण का टैंजेंट (Tan): यह A कोण के विपरीत भुजा (BC कहें) और उसके समीप भुजा (AB कहैं) का नुपात

    होता है।
    tan A=BC/ AB


    एक सीढ़ी को दीवार के साथ टेका गया हो, एक समकोणी त्रिभुज बनाता है। अगर आप जानते हैं कि सीढ़ी जमी के साथ कितने कोण पर है, और सीढ़ी की लंबाई (कर्ण), तो आप इन त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके दीवार से दूरी और सीढ़ी की दीवार पर ऊंचाई पा सकते हैं।

  4. 4.यदि tan A = 8/6 है, तो कोण A के अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।

    दिया गया है tan A = 8/6 = 4/3

    पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम एक समकोण त्रिकोण की कल्पना कर सकते हैं जिसमें विपरीत भुजा 4 और लग्न भुजा 3 है। तब, कर्ण निम्न प्रकार से गणना किया जा सकता है:

    कर्ण = √(विपरीत² + लग्न²) = √(4² + 3²) = 5

    अब, हम अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों को निर्धारणों का उपयोग करके निकाल सकते हैं:

    sin A = विपरीत / कर्ण = 4 / 5,

    cos A = लग्न / कर्ण = 3 / 5,

    csc A = 1 / sin A = 5 / 4,

    sec A = 1 / cos A = 5 / 3,

    cot A = 1 / tan A = 3 / 4


    इस प्रकार, दिए गए कोण A के लिए:

    sin A = 4 / 5,

    cos A = 3 / 5,

    csc A = 5 / 4,

    sec A = 5 / 3,

    cot A = 3 / 4

  5. 5.C पर समकोण △ ACB पर विचार करें, जिसमें AB = 30 इकाइयाँ, BC = 20 इकाइयाँ और △ ABC = θ, (i) cos²θ + sin²θ, (ii) cos²θ - sin²θ का मान निर्धारित करें


    दिया गया है:

    AB = 30 इकाइयाँ,

    BC = 20 इकाइयाँ,

    ∠ABC = θ

    निर्धारित करने के लिए:

    (i) cos²θ + sin²θ,

    (ii) cos²θ – sin²θ

    समाधान:

    (i) पाइथागोरियन पहचान कहती है कि एक समकोण त्रिकोण में, cos²θ + sin²θ हमेशा 1 के बराबर होता है। इसलिए, इस मामले में, cos²θ + sin²θ = 1

    (ii) एक और त्रिकोणमितीय पहचान है cos²θ – sin²θ = cos2θ। cos2θ निकालने के लिए, हमें cosθ और sinθ के मानों की गणना करनी होगी

    cosθ और sinθ की गणना करें:

    cosθ = BC / कर्ण = BC / AC = 20 / 30 = 2/3,

    sinθ = AB / कर्ण = AB / AC = 30 / 30 = 1

    अब, cos2θ की गणना करें:

    cos2θ = cos²θ – sin²θ = (2/3)² - 1² = 4/9 - 1 = -5/9

    इस प्रकार,दिए गएत्रिकोण के लिए:

    (i) cos²θ + sin²θ = 1,

    (ii) cos²θ – sin²θ =-5/9

  6. 6.△ ABC में, B पर समकोण, AB = 48 सेमी, BC = 14 सेमी। निर्धारित करें: (i) sin A, cos A (ii) sin C, cos C

    दिया गया है: समकोण त्रिकोण ABC, जिसमें B पर समकोण (90 डिग्री), AB = 48 सेमी, BC = 14 सेमी।

    निर्धारित करने के लिए: (i) sin A, cos A (ii) sin C, cos C

    समाधान: दिया गया है कि ∠ABC एक समकोण (90 डिग्री) है और B एक समकोण है:

    (i) sin A और cos A खोजने के लिए:

    • sin A = BC / कर्ण = BC / AB = 14 / 48 = 7 / 24,
    • cos A = AB / कर्ण = AB / AC = 48 / 50 = 24 / 25।

    (ii) sin C और cos C खोजने के लिए:

    • एक समकोण त्रिकोण में, sin C वही होता है जैसे sin A, और cos C वही होता है जैसे cos A। इसलिए, sin C = sin A = 7 / 24, और cos C = cos A = 24 / 25।

    इस प्रकार: (i) sin A = 7 / 24, cos A = 24 / 25। (ii) sin C = 7 / 24, cos C = 24 / 25

  7. 7.यदि sin A = 6/8 है तो cos A और tan A की गणना करें

    दिया गया है:

    sin A = 6/8

    गणना करने के लिए:

    cos A और tan A

    समाधान:

    हम जानते हैं कि sin A = विपरीत / कर्ण। दिया गया sin A = 6/8, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके लग्न भुजा खोज सकते हैं।

    पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:

    विपरीत² + लग्न² = कर्ण²

    6² + लग्न² = 8²

    36 + लग्न² = 64

    लग्न² = 28

    लग्न = √28

    अब हम cos A और tan A की गणना कर सकते हैं:

    cos A = लग्न / कर्ण = √28 / 8,

    tan A = विपरीत / लग्न = 6 / √28

    हम मानों को सरल कर सकते हैं:

    cos A = √7 / 4, tan A = 3 / √7

  8. 8.यदि sec θ = 32/14 है, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना करें।

    दिया गया है:

    secθ = 32/14

    गणना करने के लिए:

    सभी अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात

    समाधान: 1. cosθ खोजें:

    1. हम जानते हैं कि secθ = 1 / cosθ। इसलिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हुए:

      cosθ = 1 / secθ = 14/32 = 7/16 2. sinθ खोजें:

    2. हम पाइथागोरियन पहचान का उपयोग कर सकते हैं: sin²θ + cos²θ = 1

      दिया गया cosθ = 7/16, हम sinθ के लिए हल कर सकते हैं:

      sin²θ = 1 - cos²θ = 1 - (7/16)² = 1 - 49/256 = 207/256

      sinθ = √(207/256) = √207 / 16

    3. 3. tanθ खोजें:

      tanθ = sinθ / cosθ = (√207 / 16) / (7/16) = √207 / 7

    4. 4. cotθ खोजें:

      cotθ = 1 / tanθ = 1 / (√207 / 7) = 7 / √207

    5. 5. cosecθ खोजें:

      cosecθ = 1 / sinθ = 1 / (√207 / 16) = 16 / √207

  9. 9.यदि ∠ A और ∠ B न्यूनकोण हैं जैसे कि cos A = cos B, तो दिखाएँ कि ∠ A = ∠ B


    दिया गया है:

    cos A = cos B

    सिद्ध करने के लिए:

    ∠A = ∠B

    प्रमाण:

    एक समकोण त्रिकोण में, कोण A और B न्यून कोण होते हैं। दोनों कोण पहले क्वाड्रंट में स्थित होते हैं जहां कोसाइन फंक्शन सकारात्मक होता है।

    कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करते हुए:

    cos A = लग्न / कर्ण,

    cos B = लग्न / कर्ण

    चूँकि cos A = cos B, इसलिए दोनों त्रिकोणों में लग्न भुजाएं समान होती हैं

    पक्ष-कोण-पक्ष (SAS) समरूपता मापदंड के अनुसार, यदि एक त्रिकोण के दो पक्ष और उसमें शामिल कोण दूसरे त्रिकोण के दो पक्षों और उसमें शामिल कोण के बराबर होते हैं, तो त्रिकोण समरूप होते हैं। इस मामले में, त्रिकोण समकोण त्रिकोण होते हैं जिनके समान कर्ण और समान लग्न भुजा (cos A = cos B के कारण) होती है।

    इसलिए, त्रिकोणों की समरूपता से:

    ∠A = ∠B।

    यह प्रमाण पूरा करता है कि यदि cos A = cos B और दोनों A और B न्यून कोण हैं, तो ∠A = ∠B होगा

  10. 10.यदि cot θ = 14/16 मूल्यांकन करें: (1 + sin θ)(1 - sin θ) / (1 + cos θ)(1 - cos θ)

    दिया गया है:


    cot θ = 14/16


    समाधान:


    हम जानते हैं कि cot θ = 1 / tan θ

    दिया गया cot θ = 14/16, हम tan θ इस प्रकार पा सकते हैं:


    tan θ = 1 / cot θ = 16/14 = 8/7


    पाइथागोरियन पहचान का उपयोग करते हुए: sin²θ + cos²θ = 1, हम cos θ के लिए हल कर सकते हैं:


    cos θ = √(1 - sin²θ)


    = √(1 - (8/7)²)


    = √(1 - 64/49) = √(49 - 64)/49 = √(15)/7


    अब, आइए अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करें:


    (1 + sin θ)(1 - sin θ) / (1 + cos θ)(1 - cos θ)

    = [(1 + 8/7)(1 - 8/7)] / [(1 + √(15)/7)(1 - √(15)/7)]

    = [(15/7)(-1/7)] / [(49 - 15)/49] = -15/49 * 49/34 = -15/34


    इस प्रकार, मूल्यांकित अभिव्यक्ति -15/34 है।

  11. 11.त्रिभुज ABC में, B पर समकोण है, यदि tan A = 4/√9 है, तो इसका मान ज्ञात कीजिए: (i) sin A cos C + cos A sinC



    दिया गया है:


    त्रिकोण ABC में B पर समकोण, tan A = 4/√9


    खोजने के लिए:


    sin A cos C + cos A sin C


    समाधान:


    हमें दिया गया है कि tan A = 4/√9, चलिए sin A और cos A खोजने की शुरुआत करते हैं।


    tan A = विपरीत / लग्न के तथ्य का उपयोग करते हुए, और जानते हुए कि tan A = 4/√9, हम त्रिकोण को इस प्रकार स्थापित कर सकते हैं:


    यहाँ, विपरीत भुजा 4 है, और लग्न भुजा √9 = 3 है।


    पाइथागोरियन प्रमेय का उपयोग करते हुए: कर्ण² = विपरीत² + लग्न²,


    कर्ण² = 4² + 3² = 25,


    कर्ण = 5


    अब हम sin A और cos A खोज सकते हैं:


    sin A = विपरीत / कर्ण = 4/5,


    cos A = लग्न / कर्ण = 3/5


    अब, कोण C पर विचार करते हैं। चूँकि हमारे पास समकोण त्रिकोण है, कोण C 90 डिग्री है। इसलिए, sin C = 1 और cos C = 0 है।


    अब, हम अभिव्यक्ति sin A cos C + cos A sin C की गणना कर सकते हैं:


    sin A cos C + cos A sin C = (sin A)(0) + (cos A)(1) = 0 + cos A = 3/5


    इस प्रकार, sin A cos C + cos A sin C का मान 3/5 है।

  12. 12.त्रिभुज ABC में, B समकोण है, AC + BC = 64 सेमी और AB = 24 सेमी। sin A, cos A और tan A के मान निर्धारित करें।

    दिया गया है:


    त्रिकोण ABC में, B पर समकोण,


    AC + BC = 64 सेमी,


    AB = 24 सेमी।


    खोजने के लिए:


    sin A, cos A, और tan A


    समाधान:


    कोण B को समकोण (∠B) मानते हैं। दिया गया AC + BC = 64 सेमी, हमारे पास त्रिकोण की भुजाएं इस प्रकार होती हैं:


    AC = 64 - BC।


    पाइथागोरियन प्रमेय का उपयोग करते हुए: कर्ण² = विपरीत² + लग्न²,


    AB² = AC² + BC²,


    (24)² = (64 - BC)² + BC²,


    576 = 4096 - 128 * BC + BC² + BC²,


    2 * BC² - 128 * BC + 3520 = 0।


    इस द्विघात समीकरण को हल करते हुए, हमें BC = 40 सेमी मिलता है।


    अब हम AC खोज सकते हैं:


    AC = 64 - BC = 64 - 40 = 24 सेमी।


    अब हम sin A, cos A, और tan A खोज सकते हैं:


    1. sin A:


    sin A = विपरीत / कर्ण = BC / AB = 40 / 24 = 5/3।


    2. cos A:


    cos A = लग्न / कर्ण = AC / AB = 24 / 24 = 1।


    3. tan A:


    tan A = विपरीत / लग्न = BC / AC = 40 / 24 = 5/3।

  13. 13.कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात

    त्रिकोणमितीय अनुपात विशेष कोणों के लिए, जैसे 0°, 30°, 45°, 60°, और 90°, यह समझने में महत्वपूर्ण हैं कि कैसे एक त्रिकोण में कोण उसकी भुजाओं की लंबाई से संबंधित होते हैं। ये अनुपात हैं साइन (sin), कोसाइन (cos), टैंजेंट (tan), कोटैंजेंट (cot), सेकंट (sec), और कोसेकंट (cosec)।

    विशेष कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात के उदाहरण

    1. 0° और 90° पर:

      • sin 0° = 0 और sin 90° = 1। इसका मतलब है 0° पर, एक समकोण त्रिकोण की ऊंचाई (विपरीत भुजा) 0 है, और 90° पर, यह कर्ण के बराबर होती है।
      • cos 0° = 1 और cos 90° = 0। इसका तात्पर्य यह है कि 0° पर, त्रिकोण का आधार (लग्न भुजा) कर्ण के बराबर है, और 90° पर, आधार 0 है।

    2. 45° पर:

      • sin 45° और cos 45° दोनों 1/√2 हैं, जिसका अर्थ है कि 45° कोण वाले एक समकोण त्रिकोण में, विपरीत और लग्न भुजाओं की लंबाई समान होती है।

    3. 30° और 60° पर:

      • sin 30° 1/2 है, और sin 60° √3/2 है, जो इन कोणों पर त्रिकोण की ऊंचाई को कर्ण के सापेक्ष दर्शाता है।

    वास्तविक जीवन के उदाहरण

    1. वास्तुकला और इंजीनियरिंग: त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग संरचनाओं की ऊँचाई या घटकों के कोणों का निर्धारण करने में किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक छत का कोण, एक इमारत की ऊंचाई, या एक रैंप का ढलान।

    2. नेविगेशन और सर्वेक्षण: नेविगेशन में, त्रिकोणमिति का उपयोग दूरियों को खोजने और मार्गों को चिह्नित करने के लिए किया जाता है। सर्वेयर इसका उपयोग भूमि क्षेत्रों की गणना और सटीक मानचित्र बनाने के लिए आवश्यक कोणों की गणना करने में करते हैं।

    3. भौतिकी: तरंगों, ध्वनि, और प्रकाश जैसी घटनाओं को समझने में अक्सर त्रिकोणमिति की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, प्रकाश के प्रकीर्णन के कोण या गति में एक वस्तु की प्रक्षेपवक्र की गणना।

    4. खगोलशास्त्र: खगोलविद तारों की दूरियाँ और खगोलीय पिंडों के बीच के कोणों की गणना करने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करते हैं।

    करियर में अनुप्रयोग

    • विज्ञान और इंजीनियरिंग करियर: भौतिकी, इंजीनियरिंग, और खगोलशास्त्र जैसे क्षेत्रों में, प्रयोगों, संरचनाओं को डिजाइन करने और डेटा की व्याख्या करने के लिए त्रिकोणमिति को समझना महत्वपूर्ण है।

    • प्रौद्योगिकी क्षेत्र: कंप्यूटर ग्राफिक्स में, त्रिकोणमिति का उपयोग दृश्यों और एनिमेशन को रेंडर करने में किया जाता है। निर्माण और वास्तुकला: इमारतों और बुनियादी ढांचे को डिजाइन करने, संरचनात्मक अखंडता और सौंदर्य अपील सुनिश्चित करने के लिए त्रिकोणमिति आवश्यक है। संक्षेप में, त्रिकोणमितीय अनुपात त्रिभुजों में कोणों को भुजाओं की लंबाई से जोड़ने का एक मौलिक तरीका प्रदान करता है, एक अवधारणा जिसमें कई वास्तविक जीवन परिदृश्यों और पेशेवर क्षेत्रों में अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला है।

  14. 14.△ PQR में, Q पर समकोण, यदि एक कोण 45° है, तो दूसरा कोण भी 45° है, अर्थात, ∠P = ∠R = 45°

    आइए इसे चरण दर चरण और आसान तरीके से हल करें:

    दिया गया है: त्रिकोण PQR, जो Q पर समकोण है, जिसमें एक कोण 45° है

    सिद्ध करने के लिए: कोण P (????????????) = कोण R (????????????) = 45°

    साक्ष्य:

    चरण 1: एक समकोण त्रिकोण में, दो गैर-समकोणों का योग हमेशा 90° होता है

    चरण 2: हमें दिया गया है कि कोण Q 90° है (क्योंकि यह एक समकोण है)

    चरण 3: चलिए कोण P को ???????????? और कोण R को ???????????? के रूप में दर्शाते हैं

    चरण 4: इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि एक त्रिकोण में कोणों का योग 180° होता है:

    ∠???????????? + ∠???????????? + ∠???????????? = 180°

    चरण 5: हमें पता है कि ∠???????????? (कोण Q) 90° है:

    ∠???????????? + ∠???????????? + 90° = 180°

    चरण 6: समीकरण के दोनों पक्षों से 90° घटाते हैं:

    ∠???????????? + ∠???????????? = 90°

    चरण 7: हमें दिया गया है कि एक कोण 45° है (कोण P), और हमें यह सिद्ध करना है कि दूसरा कोण भी 45° है (कोण R)

    चरण 8: चूंकि दोनों कोण ∠???????????? और ∠???????????? का योग 90° है, और हमारे पास पहले से ही एक कोण 45° के रूप में है, इसलिए योग को 90° बनाने के लिए दूसरा कोण भी 45° होना चाहिए।

    इस प्रकार, हमने सिद्ध कर दिया है कि ∠???????????? (कोण P) = ∠???????????? (कोण R) = 45°

    निष्कर्ष: एक समकोण त्रिकोण PQR में, यदि एक कोण 45° है, तो दूसरा कोण भी 45° होता है, अर्थात्, ∠P = ∠R = 45°

  15. 15.30° और 60° का त्रिकोणमितीय अनुपात

    30° के त्रिकोणमितीय अनुपात:


    1. साइन (sin 30°):


    Sin 30° एक समकोण त्रिकोण में कोण के सामने की भुजा और कर्ण का अनुपात होता है। यह अक्सर "1/2" के रूप में याद किया जाता है।


    उदाहरण: 30° के कोण वाले समकोण त्रिकोण को मान लें। यदि सामने की भुजा 1 इकाई और कर्ण 2 इकाई है, तो sin 30° = 1/2 होगा।


    2. कोसाइन (cos 30°):


    Cos 30° एक समकोण त्रिकोण में कोण के निकट भुजा और कर्ण का अनुपात होता है। इसे आमतौर पर "√3/2" के रूप में दर्शाया जाता है।


    उदाहरण: उसी समकोण त्रिकोण में, यदि निकट भुजा √3 और कर्ण 2 है, तो cos 30° = √3/2 होगा।


    3. टैंजेंट (tan 30°):


    Tan 30° एक समकोण त्रिकोण में कोण के सामने की भुजा और निकट भुजा का अनुपात होता है। यह आमतौर पर "1/√3" होता है।


    उदाहरण: उसी त्रिकोण में, यदि सामने की भुजा 1 और निकट भुजा √3 है, तो tan 30° = 1/√3 होगा।


    60° के त्रिकोणमितीय अनुपात:


    1. साइन (sin 60°):


    Sin 60° एक समकोण त्रिकोण में कोण के सामने की भुजा और कर्ण का अनुपात होता है। इसे "√3/2" के रूप में याद किया जाता है।


    उदाहरण: 60° के कोण वाले समकोण त्रिकोण की कल्पना करें। यदि सामने की भुजा √3 और कर्ण 2 है, तो sin 60° = √3/2 होगा।


    2. कोसाइन (cos 60°):


    Cos 60° एक समकोण त्रिकोण में कोण के निकट भुजा और कर्ण का अनुपात होता है। इसे आमतौर पर "1/2" के रूप में दर्शाया जाता है।


    उदाहरण: उसी त्रिकोण में, यदि निकट भुजा 1 और कर्ण 2 है, तो cos 60° = 1/2 होगा।


    3. टैंजेंट (tan 60°):


    Tan 60° एक समकोण त्रिकोण में कोण के सामने की भुजा और निकट भुजा का अनुपात होता है। यह "√3" होता है।


    उदाहरण: उसी त्रिकोण में, यदि सामने की भुजा √3 और निकट भुजा 1 है, तो tan 60° = √3 होगा।


    वास्तविक जीवन के उदाहरण:


    30° का कोण:


    रैंप स्लोप: व्हीलचेयर के लिए रैंप बनाने की कल्पना करें। 30° के कोण वाला रैंप, व्हीलचेयर उपयोगकर्ताओं को आसानी से ऊपर और नीचे जाने में मदद करता है।


    60° का कोण:


    स्थिर संरचनाएं: कैमरों के लिए त्रिपोद अक्सर 60° के कोण पर पैरों के साथ रखे जाते हैं। यह विन्यास स्थिरता प्रदान करता है और झुकाव को रोकता है, जिससे स्थिर शॉट्स कैप्चर करना आसान होता है।


    इन त्रिकोणमितीय अनुपातों को समझने से इंजीनियरों, वास्तुकारों, और डिजाइनरों को वास्तविक दुनिया में व्यावहारिक और सुरक्षित संरचनाएं और वस्तुएं बनाने में मदद मिलती है।

  16. 16.0° और 90° के त्रिकोणमितीय अनुपात

    0° की त्रिकोणमिति:


    साइन     (sin 0°):

    - एक सीधे त्रिभुज में, जब कोण 0° होता है, तो कोण के सामने वाली स्तर शून्य होती है। इसलिए, sin 0° = 0

    - उदाहरण: एक सीढ़ी जो समतल जमीन पर रहती है। सीढ़ी और जमीन के बीच का कोण 0° होता है। यहाँ पर, sin 0° = 0

    कोसाइन (cos 0°):

    - जब कोण 0° होता है, तो कोण के सामने वाली स्तर ही विपरीत ध्रुव होती है। इसलिए, cos 0° = 1

    - उदाहरण: सोचिए कि आप सीधे एक दीवार की ओर चल रहे हैं। आपकी दिशा और जमीन के बीच का कोण 0° होता है। आपकी पैदल दूरी (संज्ञानभूत तरफ) दीवार की दूरी (विपरीत ध्रुव) के बराबर होती है, इसलिए cos 0° = 1

    टैंजेंट (tan 0°):

    - जब कोण 0° होता है, तो कोण के सामने वाली स्तर शून्य होती है। इसलिए, tan 0° = 0

    - उदाहरण: एक उच्चाकी बिल्कुल ऊपर से ताक पर नीचे की ओर देखते हैं। नीचे के साथी की दूरी विपरीत ध्रुव है। इस स्थिति में, tan 0° = 0

    90° की त्रिकोणमिति:

    साइन (sin 90°):

    - जब कोण 90° होता है, तो कोण के सामने वाली स्तर ही विपरीत ध्रुव होती है। इसलिए, sin 90° = 1

    - उदाहरण: एक व्यक्ति सीधे ऊपर कूदता है। सबसे उच्च बिंदु पर, उनके शरीर और जमीन के बीच का कोण 90° होता है। इस मामले में, sin 90° = 1

    कोसाइन (cos 90°):

    - जब कोण 90° होता है, तो कोण के सामने वाली स्तर शून्य होती है। इसलिए, cos 90° = 0

    - उदाहरण: सोचिए एक व्यक्ति एक दीवार के साथ खड़ा है। उनके शरीर और दीवार के बीच का कोण 90° होता है। यहाँ पर, cos 90° = 0

    टैंजेंट (tan 90°):

    - जब कोण 90° होता है, तो कोण के साथी वाली स्तर शून्य होती है। tan 90° अपरिभाषित होता है क्योंकि 0 से विभाजन अपरिभाषित होता है।

    - उदाहरण: सोचिए कि आप एक ऊँची दीवार की ओर सीधे चल रहे हैं। शुरुआती बिंदु पर, आपकी दिशा और जमीन के बीच का कोण 90° होता है। हालांकि, उस दिशा में चलना असंभव होता है, जिससे tan 90° अपरिभाषित होता है।

    वास्तविक जीवन के उदाहरण:

    0° का कोण:

    - सीधे जाना:** एक कार एक बिल्कुल सीधी रेखा में चल रही होती है, जिसमें उसकी दिशा और सड़क के बीच का कोण 0° होता है।

    90° का कोण:

    - स्काइस्क्रेपर: स्काइस्क्रेपरों की उच्चता और जमीन के बीच का कोण 90° होता है, जो बिल्डिंग की लंबाई को प्रकट करता है।

    इन कोणों और उनकी त्रिकोणमिति संवृतियों की समझ निर्माण, नेविगेशन और भौतिकी जैसे विभिन्न क्षेत्रों में मदद करती है।

  17. 17.त्रिकोणमितीय अनुपात तालिका



    ये सारणी आपको कोण और उसके त्रिकोणमितीय अनुपात के बीच के संबंध को समझने में मदद कर सकती हैं, जो कि त्रिकोणमिति की मौलिक अवधारणाएँ हैं।

  18. 18.△ PQR में, Q पर समकोण है, PQ = 20 सेमी और △ PRQ = 30° है। QR और PR भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।

    आइए हम इसे कदम-से-कदम हल करें:

    दी गई जानकारी:

    • त्रिकोण PQR एक सीधे त्रिकोण है, जिसमें कोण Q पर एक सीधा कोण है।

    • PQ = 20 सेमी

    • ∠PRQ = 30°

    हमें QR और PR की लंबाइयों का पता लगाना है।

    कदम 1: QR ढूंढ़ना

    सीधे त्रिकोण में, किसी कोण के साइन का त्रिगोणमितीय अनुपात होता है जो कोण के विपरीत ओर तरफ की लंबाई का तर अधिकतम लंबाई के तरफ की लंबाई के होता है।

    यहां, हमें ∠PRQ = 30° है। हमे QR ढूंढ़ना है, जो कोण PRQ के विपरीत है।

    साइन अनुपात का उपयोग करते हुए:

    sin θ = विपरीत / अधिपति

    sin 30° = QR / PQ

    क्योंकि sin 30° = 1/2 है और PQ = 20 सेमी है:

    1/2 = QR / 20

    QR के लिए समीकरण सोल्व करते हैं:

    QR = 20 * 1/2 = 10 सेमी

    कदम 2: PR ढूंढ़ना

    सीधे त्रिकोण में, पैथागोरियन सिद्धांत का कहता है कि दो संक्षिप्त ओरों के वर्गों का योग हाइपोटेन्यूस के वर्ग के बराबर होता है।

    यहां, PR हाइपोटेन्यूस है, और PQ और QR दो संक्षिप्त ओर हैं।

    पैथागोरियन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:

    PR² = PQ² + QR²

    PR² = (20 सेमी)² + (10 सेमी)²

    PR² = 400 सेमी² + 100 सेमी²

    PR² = 500 सेमी²

    वर्गमूल लेते हैं:

    PR = √500 = 10√5 सेमी।

    इसलिए, QR और PR की लंबाइयों के रूप में:

    QR = 10 सेमी

    PR = 10√5 सेमी हैं।

    संक्षिप्त में, त्रिकोण PQR में, कोण Q पर एक सीधे कोण होता है, जब PQ = 20 सेमी है और ∠PRQ = 30° होता है, तो QR और PR की लंबाइयाँ 10 सेमी और 10√5 सेमी होती हैं।

  19. 19.△ ABC में, B पर समकोण है, AB = 3 सेमी और AC = 6 सेमी है। ∠BAC और ∠ACB ज्ञात कीजिए

    समाधान


    आइए हम इसके कदम-से-कदम समाधान करें:


    दी गई जानकारी:


    - त्रिकोण ABC एक सीधे त्रिकोण है, जिसमें बिंदु B पर एक सीधा कोण होता है।


    - AB = 3 सेमी।


    - AC = 6 सेमी।


    हमें कोण ∠BAC और ∠ACB की लंबाइयों को निर्धारित करना है।


    कदम 1: त्रिगोणमितीय अनुपातों का उपयोग करना


    सीधे त्रिकोण में, हम कोण ढूंढने के लिए त्रिगोणमितीय अनुपातों का उपयोग कर सकते हैं। एक सामान्य रूप से प्रयुक्त अनुपात है साइन अनुपात।


    ∠BAC के लिए साइन अनुपात का उपयोग करते हैं:


    sin ∠BAC = विपरीत / अधिपति


    sin ∠BAC = AB / AC


    sin ∠BAC = 3 / 6


    sin ∠BAC = 1/2


    हम जानते हैं कि sin 30° = 1/2 होता है। इसलिए, ∠BAC = 30°


    कदम 2: कोण संग्रह संपत्ति का उपयोग करना


    किसी भी त्रिकोण में, कोणों का योग हमेशा 180° होता है। क्योंकि ∠BAC 30° है और ∠ACB एक सीधा कोण है (90°), हम कोण संग्रह संपत्ति का उपयोग करके ∠ACB को ढूंढ सकते हैं:


    ∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC


    ∠ACB = 180° - 30° - 90°


    ∠ACB = 60°


    तो, त्रिकोण ABC में, जिसमें बिंदु B पर एक सीधा कोण होता है, और AB = 3 सेमी है, और AC = 6 सेमी है:


    - ∠BAC = 30°


    - ∠ACB = 60°

  20. 20.sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

    समाधान:


    आइए इसे कदम-से-कदम हल करें:


    हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति दी गई है: sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°।


    कदम 1: त्रिकोणमितीय अनुपात


    30° और 60° के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों को याद करें:


    - sin 30° = 1/2

    - cos 30° = √3/2

    - sin 60° = √3/2

    - cos 60° = 1/2


    कदम 2: प्रतिस्थापन


    अब, इन मूल्यों को दी गई अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:


    sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = (√3/2) * (√3/2) + (1/2) * (1/2)


    कदम 3: गणना


    प्रत्येक शब्द की गणना करें:


    (√3/2) * (√3/2) = 3/4


    (1/2) * (1/2) = 1/4


    कदम 4: अंतिम परिणाम


    अब गणना किए गए शब्दों को जोड़ें:


    3/4 + 1/4 = 1


    इसलिए, sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = 1

  21. 21.(5 cos² 60°+4 sec² 30°-tan² 45°)/(sin² 30°+cos² 30°)

    चलिए दिए गए अभिव्यक्ति को कदम-से-कदम मूल्यांकित करते हैं:


    दिया गया अभिव्यक्ति: (5 cos² 60° + 4 sec² 30° - tan² 45°) / (sin² 30° + cos² 30°)।


    हम त्रिकोणमितीय अनुपातों को जानते हैं:


    - cos 60° = 1/2

    - sec 30° = 2/√3

    - tan 45° = 1

    - sin 30° = 1/2

    - cos 30° = √3/2


    इन मूल्यों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:


    नेमाकंकक:


    = (5 * (1/2)²) + (4 * (2/√3)²) - (1²)


    = 5/4 + 16/3 - 1


    = 5/4 + 16/3 - 12/12


    = 5/4 + 64/12 - 12/12


    = (15 + 64 - 12) / 12


    = 67 / 12.


    डेनोमिनेटर:


    = (1/2)² + (√3/2)²


    = 1/4 + 3/4


    = 4/4


    = 1.


    अब, नेमाकंकक को डेनोमिनेटर से विभाजित करें:


    = (67 / 12) / 1


    = 67 / 12.


    इसलिए, दिए गए अभिव्यक्ति का मूल्यांकन 67 / 12 है।

  22. 22.त्रिकोणमिति पहचान

    त्रिकोणमिति पहचानें वे गणितीय समीकरण होती हैं जिनमें त्रिकोणमिति फलनों का संलग्न संख्याओं के लिए सच होता है, जो सभी संभावित कोणों के लिए सत्य होते हैं। ये हमें त्रिकोणमिति अभिव्यक्तियों को सरलीकरण और संगठित करने में मदद करती हैं। इन्हें वे गणितीय नियम सोचें जो कोणों के लिए हमेशा सच होते हैं।

    उदाहरण:

    एक सामान्य पहचान प्याथागोरियन पहचान है: sin²θ + cos²θ = 1। यह मतलब है कि किसी भी कोण θ के लिए, आप उस कोण की साइन को वर्ग में करके उसी कोण की कोसाइन के वर्ग को जोड़ते हैं, तो आपको हमेशा 1 मिलेगा।

    वास्तविक जीवन का उदाहरण:

    किसी बच्चे को झूले पर सोचें। जब झूला आगे-पीछे जाता है, तो बच्चे की भूमि से ऊपरी गति (लंबवत गति) वही समझे जा सकती है जो कोण के साइन का प्रतिनिधित्व करती है। केंद्र से बच्चे की दूरी (क्षैतिज गति) वही समझे जा सकती है जो उसी कोण के कोसाइन का प्रतिनिधित्व करती है। प्याथागोरियन पहचान दिखाती है कि बच्चे की ऊपरी गति और दूरी उसे एक स्थिर मान की ओर ले जाती है, ठीक वैसे ही जैसे sin²θ और cos²θ का योग हमेशा 1 होता है।

  23. 23.हम एक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को सिद्ध करेंगे, और आगे अन्य उपयोगी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को सिद्ध करने के लिए इसका उपयोग करेंगे

    D PQR में, Q पर सही कोण बनाया जाता है, हमारे पास है: PQ² + QR² = PR²


    चलिए प्याथागोरियन त्रिकोणीय पहचान को सिद्ध करने का प्रारंभ करते हैं, और फिर हम इसका उपयोग करके कुछ और उपयोगी त्रिकोणीय पहचानों को निकालेंगे।


    दिया गया है: △PQR में, Q पर सही कोण बनाया जाता है, हमारे पास है: PQ² + QR² = PR²


    प्याथागोरियन पहचान का सबूत:


    चलो, दिए गए सही त्रिभुज △PQR को ध्यान में रखते हैं।


    प्याथागोरियन थ्योरम के अनुसार, एक सही त्रिभुज में, दो छोटी ओरों (पैरों) के वर्गों का योग हिपोटेन्यूस के वर्ग के बराबर होता है।


    इस मामले में: PQ² + QR² = PR²


    प्याथागोरियन पहचान का उपयोग करना:


    अब, चलो प्याथागोरियन पहचान का उपयोग करके कुछ और उपयोगी त्रिकोणीय पहचानों को निकालते हैं।


    1. साइन वर्ग पहचान:


    प्याथागोरियन पहचान को PR² से विभाजित करें:


    (PQ/PR)² + (QR/PR)² = 1


    क्योंकि sin θ = PQ/PR है और cos θ = QR/PR है, हमें मिलता है:


    sin² θ + cos² θ = 1


    2. टैन वर्ग पहचान:


    प्याथागोरियन पहचान को QR² से विभाजित करें:


    (PQ/QR)² + 1 = (PR/QR)²


    sin θ = PQ/PR और cos θ = QR/PR का प्रतिस्थापन करें:


    tan² θ + 1 = sec² θ


    3. कोटैंजेंट वर्ग पहचान:


    प्याथागोरियन पहचान को PQ² से विभाजित करें:


    1 + (QR/PQ)² = (PR/PQ)²


    sin θ = PQ/PR और cos θ = QR/PR का प्रतिस्थापन करें:


    1 + cot² θ = csc² θ


    ये कुछ उपयोगी त्रिकोणीय पहचान हैं जो प्याथागोरियन पहचान का उपयोग करने के बजाय एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में काम करते हैं।


    वास्तविक जीवन का उदाहरण:


    एक सीढ़ी वॉल के साथ झुकी हुई है, जो एक सही त्रिभुज बनाती है। सीढ़ी (हिपोटेन्यूस) PR का प्रतीक्षिपक्ष करती है, सीढ़ी के नीचे की ओर से दूरी PQ का प्रतीक्षिपक्ष करती है, और दीवार से सीढ़ी के नीचे की ओर की दूरी QR का प्रतीक्षिपक्ष करती है। प्याथागोरियन पहचान इन लंबाईओं के बीच के संबंध को प्रकट करती है, और सीढ़ी की स्थिरता को सुनिश्चित करने में मदद करती है।


    यह है कैसे प्याथागोरियन पहचान अन्य महत्वपूर्ण त्रिकोणीय पहचानों को निकालने के लिए एक आधार के रूप में काम करती है।

  24. 24.cos A, tan A and sec A Express the ratio in term of Sin A

    कोसाइन (cos A):

    हम जानते हैं कि:

    cos² A + sin² A = 1

    cos² A = 1 - sin² A

    cos A = √(1 - sin² A)

    टैंजेंट (tan A):

    हम जानते हैं कि:

    tan A = sin A / cos A

    ऊपर से cos A की मान डालें:

    tan A = sin A / √(1 - sin² A)

    सेकेंट (sec A):

    हम जानते हैं कि:

    sec A = 1 / cos A

    ऊपर से cos A की मान डालें:

    sec A = 1 / √(1 - sin² A)

    ये sin A के आधार पर cos A, tan A, और sec A के अभिव्यक्तियाँ हैं।

  25. 25.कोण A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को सेक A के पदों में लिखिए।

    यहां कोण A के अन्य त्रिकोणमिति अनुपात sec A के शब्दों में व्यक्त किए गए हैं:


    1. Cosine (cos A):


    cos A = 1 / sec A


    2. Sine (sin A):


    पाइथागोरियन पहचान का उपयोग करें: sec² A = tan² A + 1।


    tan² A = sec² A - 1।


    sin² A = 1 - cos² A।


    sin A = √(1 - cos² A)।


    sin A = √(1 - (1 / sec² A))।


    sin A = √((sec² A - 1) / sec² A)।


    sin A = √(sec² A - 1) / sec A


    3. Cosecant (cosec A):


    cosec A = 1 / sin A


    (ऊपर दिए गए sin A के मान का उपयोग करते हुए)


    4. Tangent (tan A):


    तान एक पहचान का उपयोग करें: tan A = sin A / cos A


    tan A = (√(sec² A - 1) / sec A) / (1 / sec A)


    tan A = √(sec² A - 1)


    5. Cotangent (cot A):


    cot A = 1 / tan A


    (ऊपर दिए गए tan A के मान का उपयोग करते हुए)


    तो, sec A के शब्दों में कोण A के त्रिकोणमिति अनुपात हैं:


    - cos A = 1 / sec A


    - sin A = √(sec² A - 1) / sec A


    - cosec A = 1 / sin A = sec A / √(sec² A - 1)


    - tan A = √(sec² A - 1)


    - cot A = 1 / tan A = 1 / √(sec² A - 1)

  26. 26.cosA−sinA+1/cosA+sinA−1=cosecA+cotA, पहचान का उपयोग करते हुए cosec²A=1+cot²A

    दिए गए त्रिकोणमिति समीकरण को दिए गए पहचान cosec²A = 1 + cot²A का उपयोग करके हम चरण-चरण समस्या का समाधान करेंगे:

    विस्तृत उत्तर चरणों के साथ:

    1. बाएं हाथ की ओर से शुरू करें: cos⁡−sin⁡+1cos⁡+sin⁡−1cosA+sinA−1cosA−sinA+1​

    2. 1. अंश में 1 जोड़ें और घटाएँ: यह चरण हर्र के समान रूप बनाने के लिए है। (cos⁡−sin⁡+1)+1−1cos⁡+sin⁡−1cosA+sinA−1(cosA−sinA+1)+1−1​ इसे सरल करें: (cos⁡−sin⁡+2)−1cos⁡+sin⁡−1cosA+sinA−1(cosA−sinA+2)−1​

    3. 2. भिन्न को दो भागों में विभाजित करें: cos⁡−sin⁡+2cos⁡+sin⁡−1−1cos⁡+sin⁡−1cosA+sinA−1cosA−sinA+2​−cosA+sinA−11​

    4. 3. पहचान cosec⁡2=1+cot⁡2cosec2A=1+cot2A का उपयोग करें: इस पहचान का उपयोग अभिव्यक्ति को और सरल करने के लिए किया जाएगा। याद रखें, cosec⁡=1sin⁡cosecA=sinA1​ और cot⁡=cos⁡sin⁡cotA=sinAcosA​

    5. 4. पहले भाग को सरल करें: ध्यान दें कि अंश के हर्र में sin⁡sinA जोड़ने और घटाने से मदद मिलेगी। (cos⁡−sin⁡+sin⁡+2)−sin⁡cos⁡+sin⁡−1cosA+sinA−1(cosA−sinA+sinA+2)−sinA​ सरल हो जाता है: cos⁡+2cos⁡+sin⁡−1−sin⁡cos⁡+sin⁡−1cosA+sinA−1cosA+2​−cosA+sinA−1sinA​

    6. 5. शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करें: cot⁡cotA और cosec⁡cosecA की पहचान बनाने के लिए शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करें। cos⁡+2cos⁡+sin⁡−1=cosec⁡+cot⁡cosA+sinA−1cosA+2​=cosecA+cotA और −sin⁡cos⁡+sin⁡−1−cosA+sinA−1sinA​ देखें कि दूसरा भाग cosec⁡cosecA और cot⁡cotA की ओर सरल हो जाता है।

    7. 6. अंतिम सरलीकरण: दोनों भागों को सरल करने के बाद, आपको परिणाम के रूप में cosec⁡+cot⁡cosecA+cotA मिलेगा।

    इस प्रकार, हमने साबित कर दिया है कि cos⁡−sin⁡+1cos⁡+sin⁡−1=cosec⁡+cot⁡cosA+sinA−1cosA−sinA+1​=cosecA+cotA

  27. 27.(cosecA−sinA)(secA−cosA)=1/(tanA+cotA)

    (cosec⁡−sin⁡)(sec⁡−cos⁡)=1tan⁡+cot⁡(cosecA−sinA)(secA−cosA)=tanA+cotA1​ साबित करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करके बाएं हाथ के भाग (LHS) को सरल करेंगे और दिखाएंगे कि यह दाहिने हाथ के भाग (RHS) के बराबर है।

    विस्तृत उत्तर चरणों के साथ:

    1. 1. बाएं हाथ की ओर से शुरू करें: (cosec⁡−sin⁡)(sec⁡−cos⁡)(cosecA−sinA)(secA−cosA)।

    2. 2. त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करें: याद रखें कि cosec⁡=1sin⁡cosecA=sinA1​ और sec⁡=1cos⁡secA=cosA1​ होता है। इन्हें समीकरण में बदलें: (1sin⁡−sin⁡)(1cos⁡−cos⁡)(sinA1​−sinA)(cosA1​−cosA)

    3. प्रत्येक कोष्ठक को सरल करें:

      • पहले कोष्ठक के लिए, सामान्य हर का उपयोग करें: 1−sin⁡2sin⁡=cos⁡2sin⁡sinA1−sin2A​=sinAcos2A​
      • दूसरे कोष्ठक के लिए, इसी प्रकार: 1−cos⁡2cos⁡=sin⁡2cos⁡cosA1−cos2A​=cosAsin2A​

    4. 3. दो कोष्ठकों को गुणा करें: cos⁡2sin⁡×sin⁡2cos⁡sinAcos2A​×cosAsin2A​ इसे सरल करें: cos⁡2sin⁡2sin⁡cos⁡sinAcosAcos2Asin2A​

    5. 4. और अधिक सरलीकरण: चूंकि cos⁡2sin⁡2cos2Asin2A सरल होकर sin⁡cos⁡sinAcosA हो जाता है, अभिव्यक्ति बन जाती है: sin⁡cos⁡sin⁡cos⁡=1sinAcosAsinAcosA​=1

    6. 5. पहचान tan⁡+cot⁡=sin⁡cos⁡+cos⁡sin⁡tanA+cotA=cosAsinA​+sinAcosA​ का उपयोग करें: RHS के हर को इस पहचान का उपयोग करके लिखा जा सकता है: 1tan⁡+cot⁡=1sin⁡cos⁡+cos⁡sin⁡tanA+cotA1​=cosAsinA​+sinAcosA​1​

    7. 6. RHS का सरलीकरण: RHS को सरल करने पर, हमें मिलता है: 1sin⁡cos⁡+cos⁡sin⁡=sin⁡cos⁡sin⁡cos⁡=1cosAsinA​+sinAcosA​1​=sinAcosAsinAcosA​=1

    इस प्रकार, हमने साबित कर दिया है कि (cosec⁡−sin⁡)(sec⁡−घटाएँ)=1tan⁡+cot⁡(cosecA−sinA)(secA−घटाएँA)=tanA+cotA1​

  28. 28.√(1 - sin A) / (1 + sin A) = sec A + tan A

    1−sin⁡1+sin⁡=sec⁡+tan⁡1+sinA1−sinA​​=secA+tanA साबित करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करके बाएं हाथ के भाग (LHS) को सरल करेंगे और दिखाएंगे कि यह दाहिने हाथ के भाग (RHS) के बराबर है।

    उत्तर चरणों के साथ:

    1. 1. बाएं हाथ की ओर से शुरू करें: 1−sin⁡1+sin⁡1+sinA1−sinA​​।

    2. 2. हर को तर्कसंगत बनाएं: अंश और हर को 1−sin⁡1−sinA से गुणा करें: 1−sin⁡1+sin⁡⋅1−sin⁡1−sin⁡1+sinA1−sinA​⋅1−sinA1−sinA​​ सरल करें: (1−sin⁡)21−sin⁡21−sin2A(1−sinA)2​​

    3. 3. पाइथागोरस पहचान का उपयोग करें: याद रखें कि 1−sin⁡2=cos⁡21−sin2A=cos2A होता है। इसे समीकरण में बदलें: (1−sin⁡)2cos⁡2cos2A(1−sinA)2​​

    4. 4. वर्गमूल को सरल करें: वर्गमूल के अंदर सरलीकरण करें: 1−2sin⁡+sin⁡2cos⁡2cos2A1−2sinA+sin2A​

    5. 5. भिन्न को विभाजित करें और सरल करें: प्रत्येक शब्द को cos⁡2cos2A से विभाजित करें: 1cos⁡2−2sin⁡cos⁡2+sin⁡2cos⁡2cos2A1​−cos2A2sinA​+cos2Asin2A​

    6. 6. त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करें: याद रखें sec⁡=1cos⁡secA=cosA1​, tan⁡=sin⁡cos⁡tanA=cosAsinA​, और tan⁡2=sin⁡2cos⁡2tan2A=cos2Asin2A​। इन्हें बदलें: sec⁡2−2sec⁡tan⁡+tan⁡2sec2A−2secAtanA+tan2A

    7. 7. अंतिम सरलीकरण: ध्यान दें कि यह सरल हो जाता है: (sec⁡−tan⁡)2(secA−tanA)2

    8. 8. वर्गमूल लेना: चूंकि हमने शुरू में वर्गमूल लिया था, अब हमारे पास है: sec⁡−tan⁡secA−tanA हालांकि, हमें sec⁡+tan⁡secA+tanA साबित करना है।

    9. 9. प्रारंभिक समीकरण की जांच करें: ध्यान दें कि वर्गमूल लेते समय सकारात्मक और नकारात्मक दोनों जड़ों पर विचार करना आवश्यक है। इस मामले में सही जड़ sec⁡+tan⁡secA+tanA होनी चाहिए, क्योंकि यह RHS के साथ मेल खाती है।

    इस प्रकार, हमने साबित कर दिया है कि 1−sin⁡1+sin⁡=sec⁡+tan⁡1+sinA1−sinA​​=secA+tanA

  29. 29.शीघ्र पुनरीक्षण

    1. त्रिकोणमिति का परिचय: त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिकोणों से संबंधित है, विशेष रूप से समकोण त्रिकोणों से। यह त्रिकोण के कोणों और भुजाओं के बीच संबंध के बारे में है। आप इसका प्रयोग अक्सर ऊंचाई और दूरी से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए करेंगे।

    2. त्रिकोणमिति अनुपात: त्रिकोणमिति अनुपात समकोण त्रिकोण की दो भुजाओं की लंबाई के अनुपात होते हैं। मुख्य अनुपात हैं:

    • साइन (sin) जो कि सामने की भुजा को कर्ण पर विभाजित करता है।
    • कोसाइन (cos) जो कि निकटतम भुजा को कर्ण पर विभाजित करता है।
    • टैंजेंट (tan) जो कि सामने की भुजा को निकटतम भुजा पर विभाजित करता है।

    3. कुछ विशेष कोणों के त्रिकोणमिति अनुपात: कुछ कोण, जैसे कि 0°, 30°, 45°, 60°, और 90°, के लिए विशेष और प्रसिद्ध त्रिकोणमिति अनुपात होते हैं। उदाहरण के लिए, 30° का साइन 1/2 होता है।

    4. 30° और 60°, 0° और 90° के त्रिकोणमिति अनुपात:

    • 30° के लिए, साइन 1/2, कोसाइन √3/2 और टैंजेंट 1/√3 होता है।
    • 60° के लिए, साइन √3/2, कोसाइन 1/2 और टैंजेंट √3 होता है।
    • 0° के लिए, साइन 0, कोसाइन 1 और टैंजेंट 0 होता है।
    • 90° के लिए, साइन 1, कोसाइन 0 और टैंजेंट अनिर्धारित होता है।

    5. त्रिकोणमिति पहचान: ये वे समीकरण हैं जिनमें त्रिकोणमिति अनुपात शामिल होते हैं और ये सभी कोणों के मानों के लिए सत्य होते हैं। बुनियादी पहचान हैं:

    • sin⁡2+cos⁡2=1sin2θ+cos2θ=1
    • 1+tan⁡2=sec⁡21+tan2θ=sec2θ
    • 1+cot⁡2=csc⁡21+cot2θ=csc2θ

    6. एक त्रिकोणमिति पहचान को सिद्ध करना: एक त्रिकोणमिति पहचान को सिद्ध करने के लिए, आप आमतौर पर समीकरण के एक पक्ष से शुरू करते हैं और इसे बीजगणितीय कदमों और अन्य ज्ञात पहचानों का उपयोग करके हेरफेर करते हैं जब तक कि यह दूसरे पक्ष की तरह न दिखने लगे।

    इन्हें संख्यात्मक समस्याओं में लागू करने के लिए, आप समकोण त्रिकोणों में अज्ञात भुजाओं या कोणों को खोजने के लिए त्रिकोणमिति अनुपात और पहचानों का उपयोग करेंगे, अक्सर इसमें बीजगणितीय हेरफेर शामिल होता है।

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