सतह क्षेत्र और आयतन — कक्षा 10 गणित नोट्स

सतह क्षेत्र और आयतन · कक्षा 10 गणित · 18 टॉपिक.

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सतह क्षेत्र और आयतन में शामिल टॉपिक

  1. 1.सतही क्षेत्रफल और आयतन का परिचय

    सतह क्षेत्रफल और आयतन गणित में, विशेष रूप से ज्यामिति में, महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं। ये हमें यह समझने में मदद करते हैं कि कोई वस्तु कितनी जगह घेरती है (आयतन) और इसे ढकने के लिए कितनी सामग्री की आवश्यकता होती है (सतह क्षेत्रफल)। आइए इन अवधारणाओं को उदाहरणों और गतिविधियों के साथ तलाशें।

    1. सतह क्षेत्रफल: यह किसी वस्तु की सतह का कुल क्षेत्रफल होता है। यह मापने जैसा है कि आपको एक उपहार बॉक्स को ढकने के लिए कितना रैपिंग पेपर की आवश्यकता है।

      • उदाहरण: मान लीजिए एक घन है जिसकी प्रत्येक भुजा 2 सेमी है। सतह क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आप प्रत्येक चेहरे का क्षेत्रफल (भुजा × भुजा) निकालते हैं और फिर उन्हें जोड़ते हैं। चूंकि एक घन में 6 चेहरे होते हैं, इसलिए सतह क्षेत्रफल एक चेहरे के क्षेत्रफल का 6 गुना होता है।

    2. आयतन: यह दर्शाता है कि एक वस्तु कितनी जगह घेरती है। यह यह जानने जैसा है कि आप बिना बहाए कितना पानी एक कंटेनर में डाल सकते हैं।

      • उदाहरण: उसी घन के लिए जिसकी भुजा 2 सेमी है, आयतन की गणना लंबाई, चौड़ाई, और ऊंचाई को गुणा करके की जाती है। इसलिए, यह भुजा × भुजा × भुजा है।

    वास्तविक जीवन में उपयोग:

    • सतह क्षेत्रफल: वास्तविक जीवन में, जब आपको दीवारों को पेंट करना होता है, उपहार लपेटना होता है, या यहाँ तक कि बेकिंग करते समय (जैसे कि आटा एक निश्चित आकार तक बेलना) सतह क्षेत्रफल का उपयोग होता है।
    • करियर कनेक्शन: आर्किटेक्ट, इंजीनियर्स, और डिज़ाइनर अक्सर सतह क्षेत्रफल की गणना करते हैं।

    आयतन:

    • वास्तविक जीवन में उपयोग: खाना बनाते समय अक्सर आयतन की माप करनी पड़ती है, जैसे कि बर्तन में पानी की मात्रा। यहां तक कि जब आप ईंधन टैंक भरते हैं, तब भी आप आयतन से संबंधित होते हैं।
    • करियर कनेक्शन: शेफ, वैज्ञानिक, और इंजीनियर अक्सर आयतन की गणना करते हैं।

    आजमाने के लिए गतिविधि:

    • अपने घर में एक छोटा बॉक्स लें। इसकी लंबाई, चौड़ाई, और ऊंचाई मापें। अब, इसका सतह क्षेत्रफल और आयतन निकालने की कोशिश करें। यह आपको इन अवधारणाओं को बेहतर समझने में मदद करेगा।

    करियर में उपयोग:

    • यदि आप आर्किटेक्ट, इंजीनियर, या डिज़ाइनर बनते हैं, तो आप अक्सर इन अवधारणाओं का उपयोग भवनों, उत्पादों की डिजाइनिंग, और यहाँ तक कि ग्राफ़िक डिज़ाइन में भी करते हैं।

  2. 2.ठोसों के संयोजन का सतही क्षेत्रफल


    ठोसों के संयोजन का सतह क्षेत्रफल निकालने का मतलब है कि संयोजन में प्रत्येक ठोस के सतह क्षेत्रफल को जोड़ना। आइए इस अवधारणा को एक उदाहरण और एक सरल गतिविधि के साथ समझते हैं।

    उदाहरण: कल्पना कीजिए कि आपके पास एक ठोस वस्तु है जो एक सिलेंडर और एक शंकु से बना है, जहां शंकु का आधार सिलेंडर के एक सिरे से जुड़ा हुआ है।

    सिलेंडर का सतह क्षेत्रफल निकालें:

    • यदि सिलेंडर की त्रिज्या r और ऊंचाई ℎh है, तो इसका सतह क्षेत्रफल इसके दो गोल आधारों के क्षेत्रफल और इसकी वक्र सतह के क्षेत्रफल का योग है।
    • एक आधार का क्षेत्रफल 2πr2 है, और चूंकि दो आधार हैं, उनका संयुक्त क्षेत्रफल 222πr2 है।
    • वक्र सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि (जो 22πr है) और ऊंचाई ℎh का गुणनफल है, इसलिए 2ℎ2πrh।
    • इस प्रकार, सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्रफल 22+2ℎ2πr2+2πrh होता है।

    शंकु का सतह क्षेत्रफल निकालें:

    • यदि शंकु की त्रिज्या r और एक वक्र ऊंचाई l है, तो इसका सतह क्षेत्रफल इसके आधार के क्षेत्रफल और इसकी वक्र सतह के क्षेत्रफल का योग है।
    • आधार का क्षेत्रफल 2πr2 है, और वक्र सतह का क्षेत्रफल πrl है।
    • इसलिए, शंकु का कुल सतह क्षेत्रफल 2+πr2+πrl होता है।

    सतह क्षेत्रफलों को जोड़ें:

    • चूंकि शंकु का आधार सिलेंडर से जुड़ा हुआ है, वह क्षेत्र प्रकट नहीं होता और इसे दो बार नहीं गिना जाना चाहिए।
    • इसलिए, संयुक्त सतह क्षेत्रफल सिलेंडर के सतह क्षेत्रफल और शंकु की वक्र सतह क्षेत्रफल का योग है: 22+2ℎ+2πr2+2πrh+πrl।

    आजमाने के लिए गतिविधि:

    • एक सिलेंडरिकल कंटेनर और एक शंकु (जैसे कि पार्टी हैट) लें। उनके आयामों को मापें - सिलेंडर के लिए त्रिज्या और ऊंचाई, और शंकु के लिए त्रिज्या और वक्र ऊंचाई। अब, प्रत्येक का सतह क्षेत्रफल निकालने की कोशिश करें और फिर उन्हें एक साथ जोड़ें, याद रखते हुए कि सिलेंडर से जुड़े शंकु के आधार को दोगुना न गिनें।

    वास्तविक जीवन में उपयोग:

    • वास्तविक जीवन में, इस अवधारणा का उपयोग विभिन्न वस्तुओं, जैसे कि कंटेनर, रॉकेट, और वास्तुशिल्प संरचनाओं की डिजाइनिंग और निर्माण में किया जाता है।

    करियर संबंध:

    • यह ज्ञान विशेष रूप से मैकेनिकल इंजीनियरिंग, वास्तुकला, और उत्पाद डिजाइन जैसे क्षेत्रों में उपयोगी है।

  3. 3.दिखाया गया सजावटी ब्लॉक (दिए गए चित्र में) दो ठोस पदार्थों से बना है - एक घन और एक गोलार्ध। ब्लॉक का आधार 5 सेमी किनारे वाला एक घन है, और शीर्ष पर लगे गोलार्ध का व्यास 4.2 सेमी है। ब्लॉक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।


    इस सजावटी ब्लॉक का कुल सतह क्षेत्रफल, जो एक घन और एक गोलार्ध से बना है, निम्नलिखित सरल चरणों का अनुसरण करके ज्ञात किया जा सकता है:

    1. 1. घन का कुल सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें:

      • सूत्र है 6×किनारा26×किनारा2।
      • 5 सेमी5 सेमी किनारे के साथ, घन का सतह क्षेत्रफल होगा 6×5×5=150 वर्ग सेमी6×5×5=150 वर्ग सेमी।

    2. 2. घन पर गोलार्ध द्वारा ढके गए क्षेत्र के लिए समायोजन करें:

      • गोलार्ध घन पर बैठा है, एक वृत्ताकार क्षेत्र को ढकता है।
      • इस क्षेत्र को घन के सतह क्षेत्रफल से घटाना चाहिए।
      • इस वृत्त (गोलार्ध के आधार) का क्षेत्रफल है 2πr2, जहाँ r गोलार्ध की त्रिज्या है (4.2 सेमी4.2 सेमी व्यास, इसलिए 2.1 सेमी2.1 सेमी त्रिज्या)।

    3. 3. गोलार्ध के वक्र सतह क्षेत्रफल को जोड़ें:

      • गोलार्ध के वक्र सतह क्षेत्रफल (CSA) का सूत्र है 222πr2।
      • इसे घन के समायोजित सतह क्षेत्रफल में जोड़ें।

    4. 4. कुल सतह क्षेत्रफल की गणना करें:

      • कुल सतह क्षेत्रफल = घन का सतह क्षेत्रफल - गोलार्ध के आधार का क्षेत्रफल + गोलार्ध का वक्र सतह क्षेत्रफल।
      • =227π=722​ का उपयोग करते हुए, गणना है 150−×(2.1)2+2×(2.1)2150−π×(2.1)2+2π×(2.1)2।
      • इससे 150+13.86=163.86 वर्ग सेमी150+13.86=163.86 वर्ग सेमी आता है।

    इस प्रकार, ब्लॉक का कुल सतह क्षेत्रफल 163.86 वर्ग सेमी163.86 वर्ग सेमी है।

  4. 4.64 cm³ आयतन वाले 2 घन एक सिरे से दूसरे सिरे तक जुड़े हुए हैं। परिणामी घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।


    इस समस्या को हल करने के लिए, चलिए चरण दर चरण आगे बढ़ते हैं:

    चरण 1: प्रत्येक घन की भुजा की लंबाई निर्धारित करें

    घन का आयतन सूत्र आयतन=भुजा3आयतन=भुजा3 से दिया जाता है। चूंकि प्रत्येक घन का आयतन 64 सेमी³ है, हम भुजा की लंबाई 64 के घनमूल से निकाल सकते हैं।

    चरण 2: आयताकार खंड के आयामों की गणना करें

    जब दो घनों को एक के बाद एक जोड़ा जाता है, तो आयताकार खंड की लंबाई दो घनों की भुजा की लंबाइयों का योग हो जाती है, जबकि चौड़ाई और ऊंचाई एक घन की भुजा के समान रहती है।

    चरण 3: आयताकार खंड का सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें

    आयताकार खंड का सतह क्षेत्रफल सूत्र सतह क्षेत्रफल=2(+ℎ+ℎ)सतह क्षेत्रफल=2(lw+lh+wh) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहां l, w, और ℎh खंड की लंबाई, चौड़ाई, और ऊंचाई होती हैं।

    चलिए प्रत्येक घन की भुजा की लंबाई निकालते हैं और फिर आयताकार खंड का सतह क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।

    दो घनों (प्रत्येक का आयतन 64 सेमी³) को एक के बाद एक जोड़कर बनाए गए आयताकार खंड का सतह क्षेत्रफल लगभग 160 सेमी2160 सेमी2 है।

    गणना का चरणवार विवरण इस प्रकार है:

    1. प्रत्येक घन की भुजा की लंबाई निर्धारित करें:

      • दिया गया आयतन =64 सेमी3V=64 सेमी3, घन की भुजा a को =3V=a3 से निकाला जाता है। 64 का घनमूल 4 है, इसलिए =4 सेमीa=4 सेमी।

    2. आयताकार खंड के आयामों की गणना करें:

      • जब दो घनों को एक के बाद एक जोड़ा जाता है, तो खंड की लंबाई दो घनों की भुजाओं के योग के बराबर होती है, =2=8 सेमीL=2a=8 सेमी। चौड़ाई W और ऊंचाई H घन की भुजा के बराबर होती है, 4 सेमी4 सेमी।

    3. खंड का सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें:

      • सतह क्षेत्रफल सतह क्षेत्रफल=2(+ℎ+ℎ)सतह क्षेत्रफल=2(lw+lh+wh) से निकाला जाता है, जो देता है 2(8×4+8×4+4×4)=160 सेमी22(8×4+8×4+4×4)=160 सेमी2।

  5. 5.एक बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जो एक खोखले बेलन पर लगा हुआ है। गोलार्ध का व्यास 14 सेमी है और बर्तन की कुल ऊंचाई 13 सेमी है। बर्तन का आंतरिक सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें।

    एक खोखले गोलार्ध और एक खोखले सिलेंडर से बने एक बर्तन के आंतरिक सतह क्षेत्रफल का पता लगाने के लिए, हमें दोनों भागों के सतह क्षेत्रफलों की गणना करनी होगी और फिर उन्हें जोड़ना होगा। आइए इसे चरण दर चरण करते हैं:

    चरण 1: खोखले गोलार्ध के आंतरिक सतह क्षेत्रफल की गणना करें

    • गोलार्ध के आंतरिक सतह क्षेत्रफल का सूत्र 222πr2 होता है, जहां r गोलार्ध की त्रिज्या होती है।
    • गोलार्ध का व्यास 14 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r उसका आधा होगा, यानी 7 सेमी (=142r=214​)।
    • इस प्रकार, गोलार्ध के आंतरिक सतह क्षेत्रफल की गणना 2×722π×72 होगी।

    चरण 2: खोखले सिलेंडर के आंतरिक सतह क्षेत्रफल की गणना करें

    • सिलेंडर के आंतरिक सतह क्षेत्रफल में केवल पार्श्व सतह क्षेत्रफल शामिल होता है, जो 2ℎ2πrh से दिया जाता है, जहां r त्रिज्या और ℎh ऊंचाई होती है।
    • सिलेंडर की ऊंचाई बर्तन की कुल ऊंचाई से गोलार्ध की त्रिज्या को घटाकर प्राप्त की जा सकती है। चूंकि बर्तन की कुल ऊंचाई 13 सेमी है, और गोलार्ध की त्रिज्या 7 सेमी है, इसलिए सिलेंडर की ऊंचाई ℎ=13−7=6h=13−7=6 सेमी होगी।
    • इस प्रकार, सिलेंडर के आंतरिक सतह क्षेत्रफल की गणना 2×7×62π×7×6 होगी।

    चरण 3: दोनों भागों के सतह क्षेत्रफलों को जोड़ें

    • बर्तन का कुल आंतरिक सतह क्षेत्रफल गोलार्ध और सिलेंडर के आंतरिक सतह क्षेत्रफलों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

    इन क्षेत्रफलों की गणना करते हैं:

    • गोलार्ध का आंतरिक सतह क्षेत्रफल: 2×72≈307.88 सेमी22π×72≈307.88 सेमी2
    • सिलेंडर का आंतरिक सतह क्षेत्रफल: 2×7×6≈263.89 सेमी22π×7×6≈263.89 सेमी2
    • कुल आंतरिक सतह क्षेत्रफल: 307.88+263.89≈571.77 सेमी2307.88+263.89≈571.77 सेमी2

    इस प्रकार, खोखले गोलार्ध और खोखले सिलेंडर से बने इस बर्तन का कुल आंतरिक सतह क्षेत्रफल लगभग 571.77 सेमी2571.77 सेमी2 है।

  6. 6.एक खिलौना 3.5 सेमी त्रिज्या वाले शंकु के आकार का है जो समान त्रिज्या वाले अर्धगोले पर स्थापित है। खिलौने की कुल ऊँचाई 15.5 सेमी है। खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

    एक खिलौना जो एक शंकु के रूप में है जिसकी त्रिज्या 3.5 सेमी है और उसके ऊपर एक समान त्रिज्या का गोलार्ध लगा हुआ है। खिलौने की कुल ऊंचाई 15.5 सेमी है। इस खिलौने के कुल सतह क्षेत्रफल का पता लगाने के लिए, निम्नलिखित चरणों का अनुसरण करें:

    चरण 1: गोलार्ध के सतह क्षेत्रफल की गणना करें

    • गोलार्ध के सतह क्षेत्रफल का सूत्र है 222πr2, जहां r त्रिज्या है।
    • दी गई त्रिज्या 3.5 सेमी है, इसलिए गोलार्ध का सतह क्षेत्रफल होगा 2×3.522π×3.52।

    चरण 2: शंकु के सतह क्षेत्रफल की गणना करें

    • शंकु के सतह क्षेत्रफल में इसके आधार और पार्श्व सतह क्षेत्रफल शामिल होते हैं। हालांकि, चूंकि शंकु गोलार्ध पर लगा हुआ है, हमें केवल पार्श्व (या तिरछी) सतह क्षेत्रफल की आवश्यकता है, जो πrl से दिया जाता है, जहां l शंकु की तिरछी ऊंचाई है।
    • खिलौने की कुल ऊंचाई 15.5 सेमी है, जिसमें गोलार्ध की त्रिज्या भी शामिल है, इसलिए शंकु की ऊंचाई ℎh होगी 15.5−3.5=12 सेमी15.5−3.5=12 सेमी। फिर =3.52+122l=3.52+122​ होगी।
    • शंकु के पार्श्व सतह क्षेत्रफल की गणना करें ×3.5×π×3.5×l।

    चरण 3: दोनों भागों के सतह क्षेत्रफलों को जोड़ें

    • खिलौने का कुल सतह क्षेत्रफल = गोलार्ध का सतह क्षेत्रफल + शंकु का पार्श्व सतह क्षेत्रफल।

    इन मानों की गणना करते हैं। गणना के अनुसार, खिलौने का कुल सतह क्षेत्रफल लगभग 214.41 वर्ग सेमी214.41 वर्ग सेमी है।

  7. 7.7 सेमी भुजा वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक गोलार्ध रखा गया है। सबसे महान क्या है गोलार्ध का व्यास क्या हो सकता है? ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

    जब एक घनाकार ब्लॉक जिसकी भुजा 7 सेमी है, के ऊपर एक गोलार्ध रखा जाता है, तो गोलार्ध का सबसे बड़ा व्यास क्या हो सकता है, और इस ठोस का सतह क्षेत्रफल क्या होगा, इसका पता लगाने के लिए निम्नलिखित प्रक्रिया अपनाई जाती है:

    गोलार्ध का सबसे बड़ा व्यास

    • चूंकि घन की एक भुजा 7 सेमी है, इसलिए गोलार्ध का सबसे बड़ा व्यास भी 7 सेमी होगा। यह इसलिए है क्योंकि गोलार्ध का व्यास घन की चौड़ाई के बराबर या उससे कम होना चाहिए ताकि वह ठीक से फिट हो सके।

    ठोस का सतह क्षेत्रफल

    ठोस का कुल सतह क्षेत्रफल निम्नलिखित दो भागों का योग है:

    1. घन का सतह क्षेत्रफल, उस फेस को छोड़कर जिस पर गोलार्ध रखा गया है।
    2. गोलार्ध का सतह क्षेत्रफल।

    घन का सतह क्षेत्रफल

    • घन की 6 फेस होती हैं, प्रत्येक का क्षेत्रफल 7 सेमी×7 सेमी7 सेमी×7 सेमी होता है।
    • हालांकि, गोलार्ध के नीचे वाली फेस का क्षेत्रफल नहीं जोड़ा जाएगा। इसलिए, घन के 5 फेस का सतह क्षेत्रफल होगा 5×7×7 सेमी25×7×7 सेमी2।

    गोलार्ध का सतह क्षेत्रफल

    • गोलार्ध का सतह क्षेत्रफल 222πr2 सूत्र से निकाला जाता है।
    • गोलार्ध की त्रिज्या उसके व्यास का आधा होती है, यानी 7227​ सेमी।
    • इस प्रकार, गोलार्ध का सतह क्षेत्रफल होगा 2×(72)2 सेमी22π×(27​)2 सेमी2।

    इस ठोस का कुल सतह क्षेत्रफल लगभग 321.97 वर्ग सेमी321.97 वर्ग सेमी है।

  8. 8.एक घनाकार लकड़ी के ब्लॉक के एक चेहरे से एक अर्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार काटा जाता है कि अर्धगोले का व्यास L घन के किनारे के बराबर हो। निश्चित करो शेष ठोस का सतह क्षेत्र.


    एक घनाकार लकड़ी के ब्लॉक से एक गोलार्धाकार अवसाद को काटकर निकाला जाता है, जिसमें गोलार्ध का व्यास लगभग घन की भुजा के बराबर होता है। बचे हुए ठोस का सतह क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

    चरण 1: घन के सतह क्षेत्रफल की गणना करें जिसमें एक फेस को छोड़ दिया गया है

    • एक घन के छह फेस होते हैं, और प्रत्येक फेस का सतह क्षेत्रफल भुजा2भुजा2 होता है।
    • गोलार्ध को काटने वाले फेस को छोड़कर, शेष पांच फेस का सतह क्षेत्रफल गणना करते हैं।
    • यदि घन की भुजा l है, तो पांच फेस का सतह क्षेत्रफल 5×25×l2 होगा।

    चरण 2: गोलार्ध के वक्र सतह क्षेत्रफल की गणना करें

    • गोलार्ध के वक्र सतह क्षेत्रफल का सूत्र 222πr2 है, जहां r त्रिज्या है।
    • चूंकि गोलार्ध का व्यास घन की भुजा के बराबर है, =2r=2l​ होगा।
    • इस प्रकार, गोलार्ध के वक्र सतह क्षेत्रफल की गणना 2×(2)22π×(2l​)2 से की जाती है।

    चरण 3: बचे हुए ठोस का कुल सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें

    • बचे हुए ठोस का कुल सतह क्षेत्रफल घन के सतह क्षेत्रफल (जिसमें एक फेस को छोड़ दिया गया है) और गोलार्ध के वक्र सतह क्षेत्रफल का योग होगा।

    गणना करते हैं:

    1. घन के पांच फेस का सतह क्षेत्रफल: 5×72=245 वर्ग सेमी5×72=245 वर्ग सेमी

    2. गोलार्ध का वक्र सतह क्षेत्रफल: 2×(72)2≈76.97 वर्ग सेमी2π×(27​)2≈76.97 वर्ग सेमी

    3. बचे हुए ठोस का कुल सतह क्षेत्रफल: 245 वर्ग सेमी+76.97 वर्ग सेमी≈321.97 वर्ग सेमी245 वर्ग सेमी+76.97 वर्ग सेमी≈321.97 वर्ग सेमी

    इस प्रकार, बचे हुए ठोस का कुल सतह क्षेत्रफल लगभग 321.97 वर्ग सेमी321.97 वर्ग सेमी होता है।

  9. 9.एक दवा कैप्सूल एक सिलेंडर के आकार का होता है जिसके प्रत्येक सिरे पर दो गोलार्ध चिपके होते हैं (चित्र देखें)। पूरे कैप्सूल की लंबाई 14 मिमी और व्यास है कैप्सूल का आकार 5 मिमी है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।



    एक कैप्सूल के सतह क्षेत्रफल का पता लगाने के लिए, जो एक सिलेंडर और दोनों सिरों पर दो गोलार्धों का संयोजन है, हम निम्नलिखित चरणों का पालन कर सकते हैं:

    सिलेंडर का वक्र सतह क्षेत्रफल (CSA) सिलेंडर के वक्र भाग का सतह क्षेत्रफल निम्न सूत्र से दिया जाता है: CSAसिलेंडर=2ℎCSAसिलेंडर​=2πrh जहाँ r त्रिज्या है और ℎh सिलेंडर का ऊँचाई है।

    कैप्सूल की त्रिज्या व्यास का आधा है, इसलिए: =5 मिमी2=2.5 मिमीr=25 मिमी​=2.5 मिमी

    सिलेंडर के भाग की ऊँचाई कुल कैप्सूल की लंबाई से एक गोलार्ध के व्यास को घटाकर मिलती है (चूंकि दो गोलार्ध होते हैं, हम एक ही व्यास को घटाते हैं, न कि दो): ℎ=14 मिमी−5 मिमी=9 मिमीh=14 मिमी−5 मिमी=9 मिमी

    अब, हम सिलेंडर का CSA गणना करते हैं: CSAसिलेंडर=2××2.5 मिमी×9 मिमीCSAसिलेंडर​=2×π×2.5 मिमी×9 मिमी CSAसिलेंडर=2××22.5 मिमी2CSAसिलेंडर​=2×π×22.5 मिमी2 CSAसिलेंडर=45 मिमी2CSAसिलेंडर​=45π मिमी2

    एक गोलार्ध का वक्र सतह क्षेत्रफल (CSA) एक गोलार्ध का वक्र सतह क्षेत्रफल निम्न सूत्र से दिया जाता है: CSAगोलार्ध=22CSAगोलार्ध​=2πr2

    एक गोलार्ध के लिए इसकी गणना करते हैं: CSAगोलार्ध=2××(2.5 मिमी)2CSAगोलार्ध​=2×π×(2.5 मिमी)2 CSAगोलार्ध=2××6.25 मिमी2CSAगोलार्ध​=2×π×6.25 मिमी2 CSAगोलार्ध=12.5 मिमी2CSAगोलार्ध​=12.5π मिमी2

    चूँकि दो गोलार्ध हैं, हम इसे 2 से गुणा करते हैं: कुल CSAगोलार्ध=2×12.5 मिमी2कुल CSAगोलार्ध​=2×12.5π मिमी2 कुल CSAगोलार्ध=25 मिमी2कुल CSAगोलार्ध​=25π मिमी2

    कैप्सूल का कुल सतह क्षेत्रफल सिलेंडर के वक्र सतह क्षेत्रफल और दो गोलार्धों के कुल वक्र सतह क्षेत्रफल को जोड़कर हमें कैप्सूल का कुल सतह क्षेत्रफल मिलता है: कुल सतह क्षेत्रफल=CSAसिलेंडर+कुल CSAगोलार्धकुल सतह क्षेत्रफल=CSAसिलेंडर​+कुल CSAगोलार्ध​ कुल सतह क्षेत्रफल=45 मिमी2+25 मिमी2कुल सतह क्षेत्रफल=45π मिमी2+25π मिमी2 कुल सतह क्षेत्रफल=70 मिमी2कुल सतह क्षेत्रफल=70π मिमी2

    π का मान लगभग 3.14159 होता है, अब हम संख्यात्मक मूल्य निकाल सकते हैं: कुल सतह क्षेत्रफल≈70×3.14159 मिमी2कुल सतह क्षेत्रफल≈70×3.14159 मिमी2 कुल सतह क्षेत्रफल≈219.91 मिमी2कुल सतह क्षेत्रफल≈219.91 मिमी2

    इस प्रकार, दवा कैप्सूल का कुल सतह क्षेत्रफल लगभग 219.91 मिमी2219.91 मिमी2 है।

  10. 10.एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे से एक गोलार्ध निकालकर लकड़ी की एक वस्तु बनाई गई, (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)। यदि बेलन की ऊंचाई 10 सेमी है और उसके आधार की त्रिज्या 3.5 सेमी है, तो वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

    लकड़ी के आर्टिकल का कुल सतह क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, जो एक सिलेंडर है जिसके दोनों सिरों से गोलार्धाकार अवसाद निकाले गए हैं, हमें सिलेंडर के वक्र सतह क्षेत्रफल को गणना करनी होगी और उसमें दोनों गोलार्धों के वक्र सतह क्षेत्रफल को जोड़ना होगा। चूंकि गोलार्धों को निकाला गया है, गोलार्धों के आधार क्षेत्रफल को कुल सतह क्षेत्रफल में शामिल नहीं किया जाएगा। इसे इस प्रकार गणना की जा सकती है:

    चरण 1: सिलेंडर का वक्र सतह क्षेत्रफल (CSA of Cylinder)

    सिलेंडर का वक्र सतह क्षेत्रफल इस सूत्र से गणना किया जाता है: सिलेंडर का CSA=2ℎसिलेंडर का CSA=2πrh जहाँ r त्रिज्या है और ℎh सिलेंडर की ऊंचाई है। इस सिलेंडर के लिए: =3.5 सेमीr=3.5 सेमी ℎ=10 सेमीh=10 सेमी तो, सिलेंडर का CSA होगा: सिलेंडर का CSA=2×3.5×10सिलेंडर का CSA=2π×3.5×10

    चरण 2: गोलार्धों का वक्र सतह क्षेत्रफल (CSA of Hemispheres)

    एक गोलार्ध का वक्र सतह क्षेत्रफल इस सूत्र से दिया जाता है: गोलार्ध का CSA=22गोलार्ध का CSA=2πr2 हालांकि, हमारे पास दो गोलार्ध हैं, और हम दोनों के लिए कुल वक्र सतह क्षेत्रफल की गणना करेंगे: कुल गोलार्धों का CSA=2×(गोलार्ध का CSA)कुल गोलार्धों का CSA=2×(गोलार्ध का CSA) कुल गोलार्धों का CSA=2×(22)कुल गोलार्धों का CSA=2×(2πr2)

    चरण 3: आर्टिकल का कुल सतह क्षेत्रफल

    आर्टिकल का कुल सतह क्षेत्रफल सिलेंडर का CSA और दोनों गोलार्धों का कुल CSA का योग है। गोलार्धों के आधार सिलेंडर के सतह क्षेत्रफल का हिस्सा हैं और अंतिम गणना में शामिल नहीं किए जाते। इसलिए: कुल सतह क्षेत्रफल=सिलेंडर का CSA+कुल गोलार्धों का CSAकुल सतह क्षेत्रफल=सिलेंडर का CSA+कुल गोलार्धों का CSA

    अब हम इन मूल्यों की गणना करेंगे।

    लकड़ी के आर्टिकल का कुल सतह क्षेत्रफल, जो एक सिलेंडर है जिसके दोनों सिरों से गोलार्धाकार अवसाद निकाले गए हैं, लगभग 373.85 सेंटीमीटर2373.85 सेंटीमीटर2 है।

    यहाँ विस्तृत गणना है:

    सिलेंडर का वक्र सतह क्षेत्रफल: सिलेंडर का CSA=2×3.5×10सिलेंडर का CSA=2π×3.5×10 सिलेंडर का CSA=70 सेंटीमीटर2सिलेंडर का CSA=70π सेंटीमीटर2

    एक गोलार्ध का वक्र सतह क्षेत्रफल: गोलार्ध का CSA=2×(3.5)2गोलार्ध का CSA=2π×(3.5)2 गोलार्ध का CSA=2×12.25गोलार्ध का CSA=2π×12.25 गोलार्ध का CSA=24.5 सेंटीमीटर2गोलार्ध का CSA=24.5π सेंटीमीटर2

    दोनों गोलार्धों का कुल वक्र सतह क्षेत्रफल: दोनों गोलार्धों का कुल CSA=2×24.5दोनों गोलार्धों का कुल CSA=2×24.5π दोनों गोलार्धों का कुल CSA=49 सेंटीमीटर2दोनों गोलार्धों का कुल CSA=49π सेंटीमीटर2

    आर्टिकल का कुल सतह क्षेत्रफल: कुल सतह क्षेत्रफल=70+49कुल सतह क्षेत्रफल=70π+49π कुल सतह क्षेत्रफल=119 सेंटीमीटर2कुल सतह क्षेत्रफल=119π सेंटीमीटर2 कुल सतह क्षेत्रफल≈373.85 सेंटीमीटर2कुल सतह क्षेत्रफल≈373.85 सेंटीमीटर2

    इस गणना में सिलेंडर का वक्र सतह क्षेत्रफल और दो गोलार्धों का बाहरी वक्र सतह क्षेत्रफल शामिल है। गोलार्धों के सपाट वृत्ताकार आधार सतह क्षेत्रफल में शामिल नहीं हैं क्योंकि वे सिलेंडर के सतह क्षेत्रफल का हिस्सा हैं और जब गोलार्धों को निकाला जाता है तो वे हटा दिए जाते हैं।

  11. 11.ठोसों के संयोजन का आयतन

    संयुक्त ठोस पदार्थों के आयतन को आसानी से समझना

    !

    सबसे पहले, ठोस पदार्थ क्या होते हैं? ठोस पदार्थ तीन आयामी वस्तुएँ होती हैं जैसे कि घन, बेलन, गोले आदि। इनमें से प्रत्येक का एक आयतन होता है, जो उसके द्वारा घेरे गए स्थान की मात्रा होती है।

    अब कल्पना कीजिए कि आपके पास एक खिलौना है जो विभिन्न आकारों को मिलाकर बना है, जैसे कि एक बेलन और एक शंकु। इस संयुक्त ठोस पदार्थ का आयतन व्यक्तिगत आकारों के आयतनों का योग होता है।

    आयतन की गणना कैसे करें प्रत्येक व्यक्तिगत आकार का आयतन ढूँढें: प्रत्येक आकार के लिए सूत्रों का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, एक बेलन का आयतन होता है πr²h (जहां r त्रिज्या है और h ऊँचाई है) और एक शंकु का आयतन होता है 132ℎ31​πr2h

    उन्हें जोड़ें: प्रत्येक आकार के आयतनों को जोड़कर संयुक्त ठोस पदार्थ का कुल आयतन प्राप्त करें।

    वास्तविक जीवन में उदाहरण सोचो कि आप एक ऐसे केक को बेक कर रहे हैं जिसका आकार एक सिलेंडर के जैसा है और उसके ऊपर एक शंकु (टोपी की तरह) है। केक मिक्स की आवश्यकता जानने के लिए, आप सिलेंडर और शंकु के आयतन का अलग-अलग गणना करते हैं और फिर उन्हें जोड़ते हैं।

    वास्तविक जीवन में और करियर इस अवधारणा का उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है:

    वास्तुकला और इंजीनियरिंग: इमारतों और संरचनाओं की डिज़ाइन करना। निर्माण: विभिन्न भागों के साथ उत्पाद बनाना। पकाने और बेकिंग: रेसिपी के लिए मात्राओं को तय करना।

  12. 12.एक ठोस एक शंकु के आकार का है जो एक गोलार्ध पर खड़ा है जिसकी दोनों त्रिज्याएँ समान हैं 1 सेमी के बराबर और शंकु की ऊंचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। ठोस का आयतन ज्ञात कीजिये π के संदर्भ में.


    एक शंकु और एक गोलार्ध के संयोजन से बने ठोस पदार्थ के आयतन की गणना करने के लिए, हमें प्रत्येक भाग का आयतन अलग-अलग गणना करनी होती है और फिर उन्हें जोड़ना होता है।

    दिए गए हैं:

    1. शंकु और गोलार्ध दोनों की त्रिज्या (r) = 1 सेमी।
    2. शंकु की ऊंचाई (h) = शंकु की त्रिज्या = 1 सेमी।
    3. π को 227722​ के रूप में माना गया है।

    गोलार्ध का आयतन:

    गोलार्ध के आयतन का सूत्र है 23332​πr3। =1r=1 सेमी और =227π=722​ डालकर, गोलार्ध का आयतन=23×227×13=23×227×1गोलार्ध का आयतन=32​×722​×13=32​×722​×1

    शंकु का आयतन:

    शंकु के आयतन का सूत्र है 132ℎ31​πr2h। =1r=1 सेमी, ℎ=1h=1 सेमी, और =227π=722​ डालकर, शंकु का आयतन=13×227×12×1=13×227×1शंकु का आयतन=31​×722​×12×1=31​×722​×1

    कुल आयतन:

    ठोस पदार्थ के कुल आयतन की गणना करने के लिए, हम गोलार्ध और शंकु के आयतनों को जोड़ते हैं। कुल आयतन=गोलार्ध का आयतन+शंकु का आयतनकुल आयतन=गोलार्ध का आयतन+शंकु का आयतन

    आइए इन मानों की गणना करें।

    ठोस पदार्थ के व्यक्तिगत भागों के आयतन और कुल आयतन हैं:

    1. गोलार्ध का आयतन: 2.0952.095 घन सेमी
    2. शंकु का आयतन: 1.0481.048 घन सेमी
    3. ठोस पदार्थ का कुल आयतन: 3.1433.143 घन सेमी (लगभग)

    इसलिए, एक शंकु और गोलार्ध के संयोजन से बने ठोस पदार्थ का आयतन, जिसमें दोनों की त्रिज्या 1 सेमी है और शंकु की ऊंचाई भी 1 सेमी है, लगभग 3.1433.143 घन सेमी है।

  13. 13.इंजीनियरिंग की छात्रा रेचेल को सिलेंडर के आकार का एक मॉडल बनाने के लिए कहा गया एक पतली एल्यूमीनियम शीट का उपयोग करके इसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हैं। का व्यास मॉडल 3 सेमी है और इसकी लंबाई 12 सेमी है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 सेमी है, तो आयतन

    राहेल ने जो मॉडल बनाया था, उसमें हवा के आयतन की गणना करने के लिए, हमें पूरे मॉडल का आयतन (जिसमें बेलन और दो शंकु शामिल हैं) की गणना करनी होगी और फिर उसमें से एल्युमिनियम शीट के आयतन को घटाना होगा। चूंकि एल्युमिनियम शीट पतली है, हम मान सकते हैं कि मॉडल के बाहरी और आंतरिक आयाम लगभग समान हैं।

    दिए गए हैं:

    1. मॉडल का व्यास = 3 सेमी, इसलिए त्रिज्या (r) = व्यास / 2 = 1.5 सेमी।
    2. मॉडल की कुल लंबाई (बेलन और दो शंकु सहित) = 12 सेमी।
    3. प्रत्येक शंकु की ऊंचाई (h) = 2 सेमी।

    आयतन की गणना:

    1. बेलन का आयतन:

      • बेलन की लंबाई मॉडल की कुल लंबाई से दो शंकु की ऊंचाई को घटाकर होती है।
      • बेलन की लंबाई = कुल लंबाई - 2 × एक शंकु की ऊंचाई = 12 सेमी - 2 × 2 सेमी = 8 सेमी।
      • बेलन का आयतन = πr² × लंबाई = π × (1.5 सेमी)² × 8 सेमी।

    2. शंकुओं का आयतन:

      • प्रत्येक शंकु की ऊंचाई 2 सेमी है, और दो शंकु हैं।
      • एक शंकु का आयतन = 1331​πr²h।
      • दो शंकुओं का कुल आयतन = 2 × एक शंकु का आयतन = 2 × 1331​π × (1.5 सेमी)² × 2 सेमी।

    3. मॉडल का कुल आयतन:

      • कुल आयतन = बेलन का आयतन + दो शंकुओं का आयतन।

        राहेल के मॉडल के विभिन्न हिस्सों के आयतन और मॉडल का कुल आयतन निम्नलिखित रूप से गणना किए गए हैं:

        बेलन का आयतन: 56.57 घन सेमी (लगभग) दो शंकुओं का आयतन : 9.43 घन सेमी (लगभग) मॉडल का कुल आयतन: 66.00 घन सेमी (लगभग)

        इसलिए, राहेल द्वारा बनाए गए मॉडल में समाहित हवा का आयतन लगभग 66.00 घन सेमी है। यह आयतन मॉडल के अंदर की जगह को दर्शाता है, यह मानते हुए कि इसे बनाने के लिए उपयोग की गई एल्युमिनियम शीट पतली पर्याप्त है ताकि आंतरिक आयामों को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित न करे।

  14. 14.एक गुलाब जामुन में उसकी मात्रा का लगभग 30% तक चीनी की चाशनी होती है। ज्ञात कीजिए कि 45 गुलाब जामुनों में लगभग कितनी चाशनी मिलेगी, प्रत्येक का आकार एक सिलेंडर जैसा है जिसके दो अर्धगोलाकार सिरे हैं जिनकी लंबाई 5 सेमी और व्यास 2.8 सेमी है।

    45 गुलाब जामुनों में कितना शरबत है, यह जानने के लिए, हमें पहले एक गुलाब जामुन का आयतन गणना करनी होगी। प्रत्येक गुलाब जामुन एक बेलन के साथ दो अर्धगोलीय सिरों के आकार में होता है।

    दिया गया है: प्रत्येक गुलाब जामुन के बेलनाकार हिस्से की लंबाई = 5 सेमी। प्रत्येक गुलाब जामुन का व्यास = 2.8 सेमी, इसलिए त्रिज्या (r) = व्यास / 2 = 1.4 सेमी। प्रत्येक गुलाब जामुन में लगभग उसके आयतन का 30% तक शरबत होता है। एक गुलाब जामुन के आयतन की गणना: बेलनाकार भाग का आयतन:

    बेलन का आयतन = πr² × लंबाई = π × (1.4 सेमी)² × 5 सेमी अर्धगोलीय सिरों का आयतन:

    दो अर्धगोलीय सिरे होते हैं, प्रत्येक की त्रिज्या 1.4 सेमी होती है। एक अर्धगोले का आयतन = 2332​πr³। दो अर्धगोलों का कुल आयतन = 2 × एक अर्धगोले का आयतन = 2 × 2332​π × (1.4 सेमी)³। एक गुलाब जामुन का कुल आयतन:

    कुल आयतन = बेलनाकार भाग का आयतन + अर्धगोलीय सिरों का आयतन। एक गुलाब जामुन में शरबत का आयतन:

    एक गुलाब जामुन के कुल आयतन का 30% 45 गुलाब जामुनों में शरबत का कुल आयतन:

    45 × एक गुलाब जामुन में शरबत का आयतन। आइए इन मानों की गणना करें।

    एक गुलाब जामुन और 45 गुलाब जामुनों में कुल शरबत के आयतन इस प्रकार हैं:

    एक गुलाब जामुन के बेलनाकार हिस्से का आयतन: 13.55 घन सेमी (लगभग) एक गुलाब जामुन के अर्धगोलीय सिरों का आयतन: 11.50 घन सेमी (लगभग) एक गुलाब जामुन का कुल आयतन: 25.05 घन सेमी (लगभग) एक गुलाब जामुन में शरबत का आयतन (कुल आयतन का 30%):7.52 घन सेमी (लगभग) 45 गुलाब जामुनों में शरबत का कुल आयतन:338.18 घन सेमी (लगभग)

    इसलिए, लगभग 338.18 घन सेमी शरबत 45 गुलाब जामुनों में पाया जाएगा, प्रत्येक 5 सेमी लंबाई और 2.8 सेमी व्यास के साथ एक बेलन के रूप में और दो अर्धगोलीय सिरों के साथ आकार में होता है।

  15. 15.एक बर्तन उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊंचाई 8 सेमी है और इसके शीर्ष, जो खुला है, की त्रिज्या 5 सेमी है। इसमें लबालब पानी भरा हुआ है। जब सीसे की गोलियां, जिनमें से प्रत्येक 0.5 सेमी त्रिज्या का एक गोला है, बर्तन में डाली जाती हैं, तो एक-चौथाई पानी बाहर न

    वेसल में गिराए गए लीड शॉट्स की संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें वेसल से बाहर बहने वाले पानी के आयतन की गणना करनी होगी और फिर यह जानना होगा कि कितने लीड शॉट्स उस आयतन के बराबर पानी को विस्थापित करेंगे।

    दिया गया है: वेसल एक उल्टा कोन है जिसकी ऊंचाई (h) 8 सेमी और त्रिज्या (r) 5 सेमी है। प्रत्येक लीड शॉट, जो एक गोला है, की त्रिज्या 0.5 सेमी है। जब लीड शॉट्स को वेसल में गिराया जाता है, तो वेसल के पानी का एक-चौथाई हिस्सा बह जाता है। वेसल से बाहर बहने वाले पानी के आयतन की गणना: वेसल का आयतन (उल्टा कोन):

    कोन के आयतन का सूत्र है 132ℎ31​πr2h वेसल का आयतन = 13×52×831​π×52×8 घन सेमी। वेसल से बाहर बहने वाले पानी का आयतन:

    वेसल के आयतन का एक-चौथाई हिस्सा = 14×41​× वेसल के आयतन एक लीड शॉट द्वारा विस्थापित किए गए आयतन की गणना: गोले का आयतन:गोले के आयतन का सूत्र है 43334​πr3 एक लीड शॉट का आयतन = 43×0.5334​π×0.53 घन सेमी। लीड शॉट्स की संख्या निर्धारित करना: बाहर बहने वाले पानी के कुल आयतन को लीड शॉट्स द्वारा विस्थापित किए गए कुल आयतन के बराबर होना चाहिए। इसलिए, लीड गोलियों की संख्या = बाहर बह गई पानी का आयात / एक लीड गोली का आयात। चलो इन मूल्यों की गणना करते हैं। जहाँ-तक वाहन और लीड गोलियों की गणना का संबंध है, वे निम्नलिखित हैं: वाहन का आयात (उलटी हुई शंकु): 209.52 घन सेंटीमीटर (लगभग) बाहर बह गई पानी का आयात (वाहन के आयात का एक-चौथाई): 52.38 घन सेंटीमीटर (लगभग) एक लीड गोली का आयात (गोला): 0.52 घन सेंटीमीटर (लगभग) वाहन में गिराई गई लीड गोलियों की संख्या: 100 इसलिए, 100 लीड गोलियाँ, प्रत्येक एक 0.5 सेंटीमीटर के त्रिज्य के गोले होते हैं, वाहन में गिराई गई थी, जिससे एक-चौथाई पानी बाहर बह गया।

  16. 16.एक ठोस लोहे के खंभे में 220 सेमी ऊंचाई और 24 सेमी आधार व्यास वाला एक सिलेंडर होता है ऊंचाई 60 सेमी और त्रिज्या 8 सेमी वाले एक अन्य सिलेंडर के ऊपर रखा गया है। का द्रव्यमान ज्ञात कीजिये ध्रुव, यह देखते हुए कि 1 cm³ लोहे का द्रव्यमान लगभग 8 ग्राम है।

    लोहे के स्थिर खंभे का द्रव्यमान ज्ञात करने के लिए, हम पहले खंभे के प्रत्येक भाग का आयतन गणना करते हैं और फिर लोहे की घनत्व के आधार पर कुल द्रव्यमान निर्धारित करते हैं।

    दिया गया है: पहला सिलेंडर (खंभे का निचला भाग): ऊंचाई (h1) = 220 सेमी आधार व्यास = 24 सेमी, इसलिए त्रिज्या (r1) = 12 सेमी (क्योंकि त्रिज्या = व्यास / 2) दूसरा सिलेंडर (खंभे का ऊपरी भाग): ऊंचाई (h2) = 60 सेमी त्रिज्या (r2) = 8 सेमी लोहे की घनत्व लगभग 8 ग्राम/सेमी³ प्रत्येक सिलेंडर के आयतन की गणना: पहले सिलेंडर का आयतन:

    आयतन = πr1²h1 आयतन = π × 12² × 220 सेमी³ दूसरे सिलेंडर का आयतन:

    आयतन = πr2²h2 आयतन = π × 8² × 60 सेमी³ खंभे का कुल आयतन: कुल आयतन = पहले सिलेंडर का आयतन + दूसरे सिलेंडर का आयतन द्रव्यमान की गणना: द्रव्यमान = कुल आयतन × लोहे की घनत्व द्रव्यमान = कुल आयतन × 8 ग्राम/सेमी³ आइए इन मानों की गणना करें।

    खंभे के प्रत्येक भाग के आयतन और खंभे के कुल द्रव्यमान इस प्रकार हैं:

    पहले सिलेंडर का आयतन: लगभग 99,565.71 घन सेमी दूसरे सिलेंडर का आयतन: लगभग 12,068.57 घन सेमी खंभे का कुल आयतन: लगभग 111,634.29 घन सेमी खंभे का द्रव्यमान: लगभग 893,074.29 ग्राम इसलिए, एक लोहे के स्थिर खंभे का द्रव्यमान, जिसमें 220 सेमी ऊंचाई और 24 सेमी आधार व्यास का एक सिलेंडर है और उसके ऊपर 60 सेमी ऊंचाई और 8 सेमी त्रिज्या का दूसरा सिलेंडर है, लगभग 893,074.29 ग्राम है।

  17. 17.एक गोलाकार कांच के बर्तन की बेलनाकार गर्दन 8 सेमी लंबी, 2 सेमी व्यास वाली होती है; गोलाकार भाग का व्यास 8.5 सेमी है। इसमें मौजूद पानी की मात्रा को मापने पर, एक बच्चे को इसकी मात्रा 345 सेमी³ मिलती है। जाँचें कि क्या वह सही है, उपरोक्त को आंतरिक माप के रूप

    यह जांचने के लिए कि बच्चे द्वारा गोलाकार कांच के पात्र के आयतन की माप सही है या नहीं, हमें गोलाकार भाग और सिलेंड्रिकल गर्दन के आयतन की गणना करनी होगी और फिर उन्हें जोड़ना होगा।

    दिया गया है: सिलेंड्रिकल गर्दन: ऊंचाई (h) = 8 सेमी व्यास = 2 सेमी, इसलिए त्रिज्या (r₁) = 1 सेमी (क्योंकि त्रिज्या = व्यास / 2) गोलाकार भाग: व्यास = 8.5 सेमी, इसलिए त्रिज्या (r₂) = 4.25 सेमी बच्चे द्वारा मापा गया आयतन = 345 सेमी³ π = 3.14 आयतन की गणना: सिलेंड्रिकल गर्दन का आयतन:

    आयतन = πr₁²h आयतन = 3.14 × 1² × 8 सेमी³ गोलाकार भाग का आयतन:

    गोले के आयतन का सूत्र है 43234​πr2 आयतन = 4334​ × 3.14 × 4.25³ सेमी³ पात्र का कुल आयतन: कुल आयतन = सिलेंड्रिकल गर्दन का आयतन + गोलाकार भाग का आयतन आइए इन मानों की गणना करें।

    गोलाकार कांच के पात्र के हिस्सों के लिए गणना किए गए आयतन इस प्रकार हैं:

    सिलेंड्रिकल गर्दन का आयतन:25.12 सेमी³ गोलाकार भाग का आयतन: लगभग 321.39 सेमी³ पात्र का कुल आयतन: लगभग 346.51 सेमी³ बच्चे द्वारा मापा गया 345 सेमी³ की तुलना में, हम पाते हैं कि बच्चे की माप काफी करीब है और एक स्वीकार्य त्रुटि के मार्जिन के भीतर सही मानी जा सकती है। मामूली अंतर माप में होने वाले छोटे विविधताओं या गोलाई के कारण हो सकता है।

  18. 18.शीघ्र पुनरीक्षण

    पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन का परिचय

    • पृष्ठीय क्षेत्रफल: यह मापने जैसा है कि किसी वस्तु को पूरी तरह से ढकने के लिए आपको कितना रैपिंग पेपर चाहिए होगा। जटिल आकारों के लिए, हम प्रत्येक भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालते हैं और उन्हें जोड़ते हैं।
    • आयतन: यह जानने जैसा है कि किसी आकार के अंदर कितना पानी भर सकता है। संयुक्त आकारों के लिए, आप प्रत्येक व्यक्तिगत आकार का आयतन गणना करते हैं और फिर उन्हें जोड़ते या घटाते हैं जैसे वे संयुक्त होते हैं।

    महत्वपूर्ण सूत्र:

    1. घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल: 6×भुजा26×भुजा2
    2. बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल: 2(+ℎ)2πr(r+h) जहाँ r त्रिज्या और ℎh ऊंचाई है।
    3. घन का आयतन: भुजा3भुजा3
    4. बेलन का आयतन: 2ℎπr2h

    सूत्रों का उपयोग कैसे करें:

    • इन सूत्रों का उपयोग करने के लिए, पहले वस्तु के आकार की पहचान करें।
    • आवश्यक आयामों (जैसे त्रिज्या, ऊंचाई, या भुजा लंबाई) को मापें।
    • इन मापों को सूत्र में डालें।
    • गणित करके पृष्ठीय क्षेत्रफल या आयतन पता करें।

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