वृत्त — कक्षा 10 गणित नोट्स

वृत्त · कक्षा 10 गणित · 21 टॉपिक.

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वृत्त में शामिल टॉपिक

  1. 1.वृत्तों का परिचय

    सर्कल क्या है? एक सर्कल एक गोल आकार होता है जिसमें कोने या किनारे नहीं होते। एक सिक्का या डिनर प्लेट की कल्पना करें – ये सर्कल के रोजमर्रा के उदाहरण हैं।

    सर्कल के मुख्य तत्व:

    • केंद्र: सर्कल का मध्य बिंदु।
    • त्रिज्या: केंद्र से सर्कल के किसी भी बिंदु तक की दूरी। यह एक कुकी के मध्य से उसके किनारे तक खींची गई सीधी रेखा की तरह है।
    • व्यास: एक सीधी रेखा जो केंद्र से होकर जाती है और सर्कल के दो बिंदुओं को छूती है। यह त्रिज्या से दोगुनी लंबी होती है।
    • परिधि: सर्कल के चारों ओर की दूरी, जैसे किसी पार्क की सीमा रेखा।

    कैसे गणना करें?

    • परिधि: आप इसे व्यास और π (पाई, लगभग 3.14) को गुणा करके पा सकते हैं। सूत्र: =×C=π×d।
    • क्षेत्रफल: सर्कल के अंदर का स्थान। आप इसे त्रिज्या और π का उपयोग करके गणना करते हैं। सूत्र: =×2A=π×r2।

    वास्तविक जीवन के उदाहरण:

    • वाहनों पर पहिये सर्कल होते हैं – इस आकार की मदद से वे आसानी से घूम सकते हैं।
    • घड़ियों में अक्सर गोल चेहरे होते हैं, जिससे केंद्र के चारों ओर समय को समान रूप से प्रदर्शित करना आसान होता है।

    सर्कल को समझने के लिए गतिविधियाँ:

    1. एक गोल वस्तु जैसे कि जार का ढक्कन लें और इसे कागज पर चित्रित करें। आपने एक सर्कल बनाया है!
    2. किसी गोल वस्तु का व्यास एक रूलर का उपयोग करके मापें और इसकी परिधि की गणना करें।

    इसका उपयोग कहां होता है?

    • करियर में: आर्किटेक्ट और इंजीनियर पहिये, गियर, और मेहराब डिजाइन करने के लिए सर्कल का उपयोग करते हैं।
    • उद्योगों में: कार टायर बनाने से लेकर ग्राफिक सॉफ्टवेयर में डिजाइन बनाने तक, सर्कल हर जगह मौजूद हैं।

  2. 2.वृत्त की स्पर्शरेखा

    वृत्त की स्पर्श रेखा क्या है?

    • वृत्त की स्पर्श रेखा वह सीधी रेखा होती है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। इस बिंदु को स्पर्श बिंदु कहा जाता है। इसे ऐसे समझें, मानो एक सीधी सड़क एक गोल चौराहे की सीमा को केवल छू रही हो और पार नहीं कर रही हो।

    स्पर्श रेखा की मुख्य विशेषताएं:

    • एक स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है।
    • यह स्पर्श बिंदु पर वृत्त की त्रिज्या के लंबवत होती है।
    • स्पर्श रेखा वृत्त को काटती नहीं है; यह केवल बाहरी किनारे को छूती है।

    वास्तविक जीवन में स्पर्श रेखाओं के उदाहरण:

    • जैसे एक बास्केटबॉल जमीन को केवल एक बिंदु पर छूता है।
    • एक दर्पण जो गोल मेज के किनारे पर टिका होता है।

    स्पर्श रेखाओं को समझने के लिए सरल गतिविधियाँ:

    1. कागज पर एक वृत्त बनाएं, फिर एक सीधी रेखा खींचें जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूए बिना पार करे। यह रेखा एक स्पर्श रेखा है।
    2. एक गोल वस्तु जैसे कटोरे के किनारे पर एक शासक रखें। शासक एक स्पर्श रेखा का प्रतिनिधित्व करता है।

    वास्तविक जीवन और करियर में स्पर्श रेखाओं का उपयोग:

    • इंजीनियरिंग और आर्किटेक्चर जैसे करियर में, स्पर्श रेखाओं का उपयोग मुड़ी हुई सड़कों, पहियों या गियर्स को डिजाइन करने में किया जाता है।
    • ऑटोमोटिव उद्योग में, स्पर्श रेखाओं की अवधारणा टायरों के सड़क के संपर्क को समझने में मदद करती है।

  3. 3.प्रमेय 01: वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या के लंबवत होती है।

    प्रमेय: वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस बिंदु के संपर्क में आरेख के लंबवत होती है।

    दिया गया: एक वृत्त जिसका केंद्र O है और बिंदु P पर XY नामक एक स्पर्श रेखा है।

    सिद्ध करने के लिए: OP (आरेख) XY (स्पर्श रेखा) के लंबवत है P पर।

    निर्माण: रेखा OP को XY पर किसी भी बिंदु Q तक विस्तारित करें ताकि P, O और Q के बीच हो। यहां, OQ वृत्त की एक त्रिज्या नहीं है।

    प्रमाणित करने का तरीका: विरोधाभास द्वारा।

    प्रमाण:

    1. मान लें कि OP, XY के लंबवत नहीं है। तब रेखा OQ, P बिंदु पर XY के साथ 90 डिग्री से अलग कोण बनाएगी
    2. चूंकि OQ एक त्रिज्या नहीं है, बल्कि वृत्त के बाहर त्रिज्या का विस्तार है, इसलिए OQ, OP से लंबी है। अर्थात्, OQ > OP
    3. वृत्तों के गुणधर्मों के अनुसार, वृत्त के केंद्र से स्पर्श रेखा तक सबसे छोटी दूरी त्रिज्या के माध्यम से होती है। इसलिए, यदि OP, XY के लंबवत नहीं है, तो एक और बिंदु Q होगा जिसके लिए OQ, OP से छोटी होगी, जो त्रिज्या की परिभाषा का विरोधाभास करती है।
    4. इस विरोधाभास से यह साबित होता है कि हमारा मानना ​​(OP, XY के लंबवत नहीं है) गलत है।
    5. इस प्रकार, OP, XY के लंबवत होना चाहिए।

    निष्कर्ष: इस प्रकार, वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस बिंदु के संपर्क में आरेख के लंबवत होती है, और हमारा प्रमेय सिद्ध होता है।

    इस परिणाम का उपयोग कई वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में होता है। उदाहरण के लिए, इंजीनियर सपाट सतहों के साथ संपर्क में आने वाली गोलाकार वस्तुओं, जैसे कि गियर्स और पहियों को डिजाइन करते समय इस गुणधर्म का उपयोग कर सकते हैं। वास्तुकला में, इस अवधारणा का उपयोग गोलाकार तत्वों को सपाट सतहों से मिलाने में किया जाता है, जिससे संरचनाएं स्थिर और सौंदर्यपूर्ण रूप से प्रसन्न होती हैं।

  4. 4.एक वृत्त में कितनी स्पर्शरेखाएँ हो सकती हैं?

    एक वृत्त के पास अनंत संख्या में स्पर्श रेखाएं हो सकती हैं। वृत्त की स्पर्श रेखा एक ऐसी रेखा होती है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है। चूँकि वृत्त एक निरंतर वक्र है, इसकी परिधि पर प्रत्येक बिंदु स्पर्श रेखा के संपर्क बिंदु के रूप में काम कर सकता है। इस प्रकार, वृत्त की परिधि पर प्रत्येक बिंदु के लिए एक अद्वितीय स्पर्श रेखा हो सकती है, जिससे अनंत संख्या में स्पर्श रेखाएं बनती हैं।


    व्यावहारिक रूप से, यदि आप कल्पना करें कि एक सीधी रेखा वृत्त के बाहरी किनारे को बिना काटे छू रही है। आप वृत्त के किनारे के किसी भी बिंदु पर ऐसा कर सकते हैं, जिसका अर्थ है कि आप जितनी चाहें उतनी स्पर्श रेखाएं खींच सकते हैं।


    वास्तविक जीवन में, स्पर्श रेखाओं को समझना विभिन्न क्षेत्रों जैसे इंजीनियरिंग, वास्तुकला और यहां तक कि कला में भी ज्यामितीय आकारों और संरचनाओं के डिजाइनिंग और दृश्यांकन के लिए महत्वपूर्ण है।

  5. 5.5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु P पर एक स्पर्शरेखा PQ केंद्र O से होकर जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर मिलती है ताकि OQ = 12 सेमी हो। PQ की लंबाई ज्ञात कीजिए:

    दिया गया है:

    • वृत्त की त्रिज्या (OP) = 5 सेमी
    • OQ = 12 सेमी

    वृत्त में, किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस बिंदु के संपर्क में आरेख के लंबवत होती है। इसलिए, OP PQ के लंबवत है।

    हमारे पास एक समकोण त्रिभुज OPQ है जिसमें OP त्रिज्या (5 सेमी) और OQ (12 सेमी) कर्ण है।

    PQ की लंबाई जानने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं:

    2=2−2PQ2=OQ2−OP2

    दिए गए मानों को डालते हुए:

    2=122−52PQ2=122−52 2=144−25PQ2=144−25 2=119PQ2=119

    तो, =119PQ=119​ सेमी।

    इस प्रकार, PQ की लंबाई 119119​ सेमी है।

  6. 6.किसी दी गई रेखा के समानांतर एक वृत्त और दो रेखाएँ इस प्रकार खींचिए कि एक स्पर्श रेखा हो और दूसरी वृत्त से छेदक हो।

    हमें एक वृत्त दिखाई देता है, जिसमें एक केंद्रीय बिंदु O के साथ एक सर्कल है। वहां दो रेखाएँ हैं: रेखा m, जो सर्कल पर बिंदु P पर स्पर्श करती है, और रेखा n, जो सर्कल पर बिंदु Q और R पर कट रही है। रेखा m, दी गई रेखा l के साथ समांतर है, और इसी तरह, रेखा n भी l के साथ समांतर है।

    रेखा m सर्कल को एक बिंदु P पर स्पर्श करती है, जिससे यह एक स्पर्शक होती है, और यह स्पष्ट है कि स्पर्शक एक 90-डिग्री कोण बनाता है जो सर्कल के वक्षर OP के साथ होता है, जो एक सर्कल के स्पर्शकों की विशेष गुणधर्म है। रेखा n सर्कल को दो विभिन्न बिंदुओं, Q और R, पर काटती है, जो एक सेकंड की परिभाषा है।

  7. 7.वृत्त पर एक बिंदु से स्पर्शरेखाओं की संख्या


    जब किसी बिंदु को वृत्त पर रखा जाता है, तो उस वृत्त से बिल्कुल एक सीमा रेखा खिचा जा सकता है। इस सीमा रेखा केवल उस बिंदु पर ही वृत्त को छूती है और उस बिंदु पर वृत्त के त्रिज्य के किनारे पर लगी होती है।

    किसी वृत्त के केंद्र O पर एक बिंदु P के लिए, बिंदु P पर सीमा रेखा एक रेखा होती है जो सीधे वृत्त को छूती है और कहीं और नहीं। अगर आप बिंदु P से एक और रेखा खींचने का प्रयास करें जिसे आपने भी सीमा रेखा कहा, तो या तो वह वृत्त के आंतरिक भाग में प्रवेश करेगी (और इसलिए यह एक सीमा नहीं होगी) या पहली सीमा रेखा के साथ समान रेखा में आएगी।

    वह वृत्त के साथ अलग-अलग स्थितियों में से बिंदुओं से वृत्त की तंगेंट की अवधारणा को दिखाती है:

    1. केस 1: बिंदु P वृत्त के अंदर है (i). जैसा कि गतिविधि सूचित कर रही है, बिंदु P के अंदर से किसी भी रेखा का वृत्त को दो बिंदुओं पर कट जाता है, इसलिए बिंदु P से कोई भी तंगेंट खींची नहीं जा सकती।

    2. केस 2: बिंदु P वृत्त पर है (चित्र (ii)). इस मामले में, वृत्त के माध्यम से बिंदु P पर एकमात्र एक तंगेंट होती है। यह तंगेंट बिंदु P पर वृत्त को छूती है और उस बिंदु पर त्रिज्य के साथ लगती है।

    3. केस 3: बिंदु P वृत्त के बाहर है (चित्र(iii)). बिंदु P से, वृत्त को दो तंगेंट 1PT1​ और 2PT2​ खींची जा सकती हैं, जो वृत्त को बिंदुओं 1T1​ और 2T2​ पर छूती हैं। बिंदु P से इन तंगेंटों की लंबाई को तंगेंटों की लंबाई कहा जाता है।

    गतिविधि एक बाहरी बिंदु से वृत्त की तंगेंट की एक महत्वपूर्ण गुणधर्म की संकेत कर रही है: उस बिंदु से वृत्त के तंगेंटों की लंबाई (यहाँ, 1PT1​ और 2PT2​) बराबर होती है। यह वृत्त ज्यामिति में एक मौलिक परिणाम है और यह किसी भी वृत्त के बाहर के बिंदु के लिए सत्य है; वृत्त से बाहरी बिंदु से वृत्त की तंगेंट हमेशा समान लंबाई में होती हैं। इसका सबूत विभिन्न तरीकों से प्रमाणित किया जा सकता है, जैसे कि तंगेंट्स और छुआने के बिंदुओं के रेडियों द्वारा बनाए गए समान त्रिभुजों का उपयोग करके।

  8. 8.प्रमेय 2 : किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।

    आपने प्रदान किए गए चित्र में एक वृत्त दिखाया है जिसका केंद्र O है और एक बाह्य बिंदु P से दो स्पर्श PQ और PR हैं। यह सिद्ध करने के लिए कि विंगरों की लंबाईयाँ बराबर हैं (PQ = PR), हम निम्नलिखित ज्यामिति सिद्ध कर सकते हैं:

    प्रमेय: एक वृत्त से बाह्य बिंदु से खिची गई स्पर्शकों की लंबाईयाँ बराबर होती हैं।

    सिद्धांत:

    1. दिया गया: केंद्र O वाला एक वृत्त और एक बाह्य बिंदु P से दो स्पर्श PQ और PR

    2. सिद्ध करना है: PQ = PR

    3. निर्माण: बिंदु स्पर्शकता के बिंदुओं Q और R पर अक्ष ओQ और OR खींचें।

    सिद्धांत मेथड: हम स्पर्शकों की गुणधर्मों और समांतर त्रिभुज की अवधारणा का उपयोग करेंगे।

    1. एक वृत्त से एक बिंदु की ओर खींची गई विंगरें विंगरों को खींची जाने वाले बिंदु पर लंब होती हैं। इसलिए, ⊥OQ⊥PQ और ⊥OR⊥PR हैं।

    2. त्रिभुजों OPQ और OPR में:

      • अक्ष OQ और OR बराबर हैं क्योंकि सभी अक्ष एक ही वृत्त के होते हैं (OQ = OR)।
      • रेखा सेगमेंट PQ और PR दोनों बिंदु P से वृत्त को स्पर्श करती हैं, और प्रत्येक को स्पर्शकता के बिंदु पर अक्ष के पार्श्वबिन्दु में लंब होती है, जिससे Q और R पर योजनाएं बनती हैं (∠=∠=90∘∠OPQ=∠OPR=90∘)।
      • OP त्रिभुजों OPQ और OPR दोनों के लिए साझा है।

    3. चूंकि दोनों त्रिभुजों के दो समान पक्ष हैं और उनके बीच का कोण भी समान है, इसलिए Side-Angle-Side (SAS) प्रमाण के अनुसार, दो त्रिभुज समान हैं (△≅△△OPQ≅△OPR)

    4. समानता के द्वारा, स्पर्शक PQ और PR की लंबाइयाँ बराबर होती हैं (PQ = PR)।

    निष्कर्षण: एक वृत्त से बाह्य बिंदु से खिची गई स्पर्शकों की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। यह गुणधर्म ज्यामिति में मूल है और इंजीनियरिंग और भौतिकी जैसे विभिन्न क्षेत्रों में इसका उपयोग किया जाता है, जहां यह स्पर्शकों और स्पर्शकों को शामिल करने वाली समस्याओं को समाधान करने में मदद करने के लिए उपयोग किया जाता है।

  9. 9.सिद्ध कीजिए कि दो संकेंद्रित वृत्तों में, बड़े वृत्त की जीवा, जो स्पर्श करती है छोटा वृत्त, संपर्क बिंदु पर द्विभाजित होता है।

    दो संघटित वृत्त (एक ही केंद्र वाले वृत्त) हैं, जिनका साझा केंद्र O है। बड़े वृत्त के एक बोवन AB है जो छोटे वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करता है।

    सिद्ध करने के लिए: बोवन AB स्पर्श बिंदु P पर आधे में है, यानी AP = PB है।

    सिद्धांत:

    क्योंकि वृत्त संघटित हैं, वे एक ही केंद्र O को साझा करते हैं।

    1. बोवन AB के अंत बिंदुओं के लिए अक्ष OA और OB खींचें। क्योंकि एक ही वृत्त के अक्ष बराबर होते हैं, OA = OB है।

    2. बिंदु स्पर्श P पर अक्ष OP को खींचें। क्योंकि एक स्पर्शक बिंदु को खींचे गए अक्ष को स्पर्शक के बिंदु पर लंब होता है, OP AB के स्पर्शक पर लंब है। इसलिए, ∠OAP और ∠OBP सही कोण हैं।

    3. अब हमारे पास दो सही त्रिभुज हैं, ΔOAP और ΔOBP, जिनमें:

      • OA = OB (एक ही वृत्त के अक्ष)
      • OP दोनों त्रिभुजों के लिए साझा है
      • ∠OAP और ∠OBP सही कोण हैं

    हाइपोटेन्यूज-लेग (HL) प्रमाण (सही त्रिभुजों के लिए समांतरता के एक विशेष मामला) के अनुसार, हम कह सकते हैं कि ΔOAP ≅ ΔOBP है।

    यदि दो त्रिभुज समांतर हैं, तो सभी संबंधित भाग बराबर होते हैं। इसलिए, AP = PB है।

    निष्कर्षण: छोटे वृत्त को स्पर्श करने वाले बड़े वृत्त का बोवन AB संपर्क बिंदु P पर आधे में होता है। इसका मतलब है कि AP = PB है।

  10. 10.PQ, 5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की 8 सेमी लंबाई वाली एक जीवा है। P और Q पर स्पर्शरेखाएँ एक बिंदु T पर प्रतिच्छेद करें (चित्र देखें)। लंबाई टीपी ज्ञात कीजिए।

    एक वृत्त जिसकी त्रिज्या 5 सेंटीमीटर है, एक 8 सेंटीमीटर लंबा बोवन PQ और स्पर्शक TP और TQ जो बाहरी बिंदु T पर मिलते हैं। TP की लंबाई को जानने के लिए, हम स्पर्शकों के गुणधर्मों और पैथागोरस के सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं।

    हम R को बोवन PQ की मध्यबिंदु के रूप में दर्शाते हैं। क्योंकि PQ वृत्त का एक बोवन है, और OR उसका द्विधातुक है, OR PQ के साथ लंब है। इसलिए, त्रिभुज ORP एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें OR एक पक्ष है और PR दूसरा पक्ष है।

    पैथागोरस के सिद्धांत के अनुसार, हम OP की लंबाई की गणना करने के लिए कर सकते हैं:

    OP² = OR² + PR²

    OP² = 5² + 4²

    OP² = 25 + 16

    OP² = 41

    OP = √41 सेंटीमीटर

    क्योंकि TP एक स्पर्शक है बिंदु T से बिंदु P तक वृत्त पर, और OP स्पर्शकता के बिंदु तक अक्ष है, स्पर्शक TP की लंबाई OP की तरह होती है (जो बाहरी बिंदु से वृत्त के स्पर्शकों की गुणधर्म है)।

    इसलिए, TP की लंबाई √41 सेंटीमीटर है।

  11. 11.सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान्तर होती हैं।


    आपके द्वारा अपलोड की गई छवि में एक वृत्त दिखाया गया है जिसका केंद्र O है और व्यास AB है। A और B बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ हैं, जिन्हें A पर P और Q तक और B पर R और S तक विस्तारित किया गया है। हमें यह सिद्ध करना है कि ये दो स्पर्श रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं।

    सिद्ध:

    1. दिया गया: एक वृत्त जिसका केंद्र O है और व्यास AB है। A और B बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ P, Q और R, S तक विस्तारित की गई हैं।

    2. सिद्ध करने के लिए: A पर स्पर्श रेखा (रेखा PQ) B पर स्पर्श रेखा (रेखा RS) के समानांतर है।

    3. निर्माण: A बिंदु पर त्रिज्या OA और B बिंदु पर त्रिज्या OB खींचिए। चूँकि AB व्यास है, इसलिए कोण AOB एक सीधी रेखा बनाता है और इस प्रकार यह 180 डिग्री है।

    4. सिद्ध करने का तरीका: उस गुण का उपयोग करें जिसके अनुसार वृत्त की स्पर्श रेखा उस बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है जहाँ वह स्पर्श करती है।

    • चूँकि OA एक त्रिज्या है और PQ एक स्पर्श रेखा है जो A बिंदु पर स्पर्श करती है, इसलिए कोण OAP 90 डिग्री है ( ∠=90∘∠OAP=90∘)।
    • चूँकि OB एक त्रिज्या है और RS एक स्पर्श रेखा है जो B बिंदु पर स्पर्श करती है, इसलिए कोण OBS भी 90 डिग्री है ( ∠=90∘∠OBS=90∘)।
    1. दोनों स्पर्श रेखाएँ PQ और RS उसी लाइन AB के लंबवत हैं (जो वृत्त का व्यास है)। परिभाषा के अनुसार, यदि दो रेखाएँ एक ही रेखा के लंबवत हैं, तो वे एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

    निष्कर्ष: इस प्रकार, A पर स्पर्श रेखा PQ B पर स्पर्श रेखा RS के समानांतर है। वृत्त के व्यास के छोर पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ वास्तव में समानांतर होती हैं।

  12. 12.सिद्ध करें कि वृत्त की स्पर्शरेखा के संपर्क बिंदु पर लंब गुजरता है केंद्र के माध्यम से.

    प्रमाण:

    1. दिया गया: वृत्त का केंद्र O और स्पर्श रेखा AB जो वृत्त को बिंदु x पर छूती है। बिंदु x पर AB के लंबवत एक रेखा xy खींची गई है।

    2. सिद्ध करने के लिए: रेखा xy केंद्र O से गुजरती है।

    3. निर्माण: बिंदु O (वृत्त के केंद्र) से बिंदु x (स्पर्श बिंदु) तक रेखा Ox खींचिए।

    4. प्रमाण चरण:

      • स्पर्श रेखा की परिभाषा के अनुसार, वृत्त की स्पर्श रेखा एक ऐसी रेखा होती है जो वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूती है और उस बिंदु पर वृत्त की त्रिज्या के लंबवत होती है।
      • चित्र में, AB वह स्पर्श रेखा है जो वृत्त को बिंदु x पर छूती है।
      • Ox वृत्त की त्रिज्या है जो स्पर्श बिंदु x पर समाप्त होती है।
      • स्पर्श रेखाओं के गुण के अनुसार, त्रिज्या Ox स्पर्श रेखा AB के लंबवत होती है बिंदु x पर। इसका मतलब है कि Ox और AB द्वारा बनाया गया कोण 90 डिग्री है ( ∠=90∘∠OxAB=90∘)

        यदि एक रेखा (xy) एक बिंदु पर (x) एक रेखा (AB) के साथ उलट होती है, तो इसका मतलब है कि ∠xyAB = 90° भी होता है।

        यूक्लिडियन ज्यामिति में, यदि दो रेखाएँ (Ox और xy) एक ही बिंदु पर (x) एक ही रेखा (AB) के साथ उलट होती हैं, तो वे एक ही रेखा पर होती हैं। अन्य शब्दों में, Ox और xy दो अलग रेखाएँ नहीं हो सकती क्योंकि यह मतलब होता है कि एक ही बिंदु से एक ही रेखा पर दो अलग लंबाएँ होती हैं, जो संभावना नहीं है।

        इसलिए, रेखा xy और रेखा Ox एक ही रेखा होनी चाहिए। क्योंकि Ox वृत्त के केंद्र O से जाती है, इसका मतलब है कि रेखा xy भी O से गुजरनी चाहिए।

        निष्कर्षण: इस ज्यामिति तर्क के आधार पर प्राप्त होता है कि वृत्त के तंगेंट AB के स्पर्श बिंदु पर लंब रेखा xy वृत्त के केंद्र O से गुजरती होनी चाहिए। यह उस विशेष गुणधर्म पर आधारित है कि वृत्त के तंगेंट स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के साथ लंब होती है।

  13. 13.वृत्त के केंद्र से 5 सेमी की दूरी पर एक बिंदु A से स्पर्श रेखा की लंबाई 4 है सेमी। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

    दिए गए समस्या में, हमारे पास है:

    • OA = 5 सेमी (बिंदु A से वृत्त के केंद्र O तक की दूरी)
    • AT = 4 सेमी (बिंदु A से वृत्त तक की स्पर्श रेखा की लंबाई)

    चूंकि वृत्त के लिए एक स्पर्श रेखा संपर्क के बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है (त्रिज्या-स्पर्श रेखा प्रमेय द्वारा), हमारे पास एक सही-कोण त्रिकोण OAT है जिसमें OT त्रिज्या है, AT स्पर्श रेखा है, और OA बिंदु A से केंद्र तक की रेखा है।

    सही-कोण त्रिकोण OAT में पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हुए, हमें मिलता है:

    2=2+2OA2=OT2+AT2

    यह दिया गया है कि =5OA=5 सेमी और =4AT=4 सेमी, हम OT (त्रिज्या) के लिए हल कर सकते हैं:

    2=2−2OT2=OA2−AT2 2=52−42OT2=52−42 2=25−16OT2=25−16 2=9OT2=9

    दोनों तरफ का वर्गमूल लेते हुए:

    =9OT=9​ =3OT=3 सेमी

    इसलिए, वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है।

  14. 14.दो संकेंद्रित वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं। की जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए बड़ा वृत्त जो छोटे वृत्त को स्पर्श करता है।

    दिए गए समस्या में, हमारे पास दो समकेंद्र वृत्त (एक ही केंद्र वाले वृत्त) हैं जिनमें बड़े वृत्त की त्रिज्या 5 सेंटीमीटर है और छोटे वृत्त की त्रिज्या 3 सेंटीमीटर है। हमें बड़े वृत्त के एक बोवन AB की लंबाई की गणना करनी है जो छोटे वृत्त को स्पर्श करता है।



    बड़े वृत्त के बोवन AB का उल्लंघन करता है और छोटे वृत्त के स्पर्श बिंदु P पर छुआने से बोवन AB का एक सीधा कोण बनता है (क्योंकि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्शक कोण केंद्रित कोण के साथ होता है).

    यहां आप बोवन AB की लंबाई की गणना कैसे कर सकते हैं:

    1. छोटे वृत्त की त्रिज्या OP बड़े वृत्त के केंद्र O तक फैलती है और यह 3 सेंटीमीटर है।

    2. बड़े वृत्त की त्रिज्या OA 5 सेंटीमीटर दी गई है।

    3. क्योंकि OP को AB के साथ लंब है और OA वो त्रिज्या है जो बोवन के किनारे तक फैलता है, त्रिभुज OPA एक समकोण त्रिभुज है।

    4. पैथागोरस के सिद्धांत का उपयोग करके, बोवन AB की आधी लंबाई AP को निम्नलिखित रूप में निकाल सकते हैं:

      2=2+2OA2=OP2+AP2

      2=2−2AP2=OA2−OP2

      2=52−32AP2=52−32

      2=25−9AP2=25−9

      2=16AP2=16

      =16AP=16​

      =4AP=4 सेंटीमीटर

    5. क्योंकि AP बोवन AB की आधी है, बोवन AB की पूरी लंबाई 2×2×AP होती है।

    6. इसलिए, बोवन AB की लंबाई 2×42×4 सेंटीमीटर = 88 सेंटीमीटर है।

    इसलिए, छोटे वृत्त को स्पर्श करने वाले बड़े वृत्त के बोवन AB की लंबाई 8 सेंटीमीटर है।

  15. 15.एक वृत्त के चारों ओर एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है (चित्र देखें) सिद्ध कीजिए कि AB + CD = AD + BC

    एक चतुर्भुज ABCD को दिया गया है जो एक वृत्त को समावर्तित करता है, हम वृत्त पर छुए जाने वाले बिंदुओं को,,,P,Q,R, और S के रूप में लेबल करेंगे, जैसे कि P AB पर है, Q BC पर है, R CD पर है, और S DA पर है।



    सिद्ध करने के लिए: +=+AB+CD=AD+BC

    सिद्धांत:

    1. जिन बिंदुओं से A के पास वृत्त को छूने की तंगेंट की लंबाई है, उन्हें x और y कहा जा सकता है। इसलिए, ==AP=AS=x और ==DS=DP=y होता है।


    2. B से बिंदुओं P और Q की तंगेंट की लंबाई को z कहा जा सकता है। इसलिए, ==BP=BQ=z होता है।


    3. C से बिंदुओं Q और R की तंगेंट की लंबाई को w कहा जा सकता है। इसलिए, ==CQ=CR=w होता है।

    4. D से बिंदुओं R और S की तंगेंट की लंबाई को v कहा जा सकता है। इसलिए, ==DR=DS=v होता है।

    अब, चतुर्भुज के पक्षों की लंबाइयों को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

    =+=+AB=AP+BP=x+z

    =+=+BC=BQ+CQ=z+w

    =+=+CD=CR+DR=w+v

    =+=+DA=DS+AS=v+x

    AB और CD को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

    +=(+)+(+)AB+CD=(x+z)+(w+v)

    +AD+BC को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

    +=(+)+(+)AD+BC=(x+v)+(z+w)

    टर्म्स को पुनर्व्यवस्थित करके, हम देख सकते हैं कि:

    +=+++AB+CD=x+z+w+v

    +=+++AD+BC=x+v+z+w

    इसलिए, दोनों अभिव्यक्तियां बराबर हैं:

    +=+AB+CD=AD+BC

    इस से प्रमाण पूरा होता है।

    यह गुणधर्म समचतुर्भुजों के अध्ययन में महत्वपूर्ण है और तंगेंट्स और समावर्तित बहुभुजों के गुणधर्मों सहित विभिन्न गणित समस्याओं और प्रमाणों से संबंधित, यहां तक कि उन गणित समस्याओं और प्रमाणों से संबंधित होता है जो तंगेंट्स और समावर्तित बहुभुजों के गुणधर्मों के साथ हैं।

  16. 16.दी गई आकृति में XY और X'Y' केंद्र O वाले एक वृत्त की दो समानांतर स्पर्शरेखाएं हैं और संपर्क बिंदु C के साथ एक अन्य स्पर्शरेखा AB है, जिसमें A पर XY और B पर X'Y' है, साबित करें कि ∠AOB = 90° है।

    जानकारी के आधार पर, जहां XY और ′′X′Y′ एक वृत्त के साथ परालल तंगेंट हैं, और एक और तंगेंट AB बिंदु C पर वृत्त को छूती है, और XY पर A और ′′X′Y′ पर B पर मिलती है, हमें सिद्ध करना है कि कोण ∠=90°∠AOB=90° है।

    जानकारी के आधार पर, जहां XY और ′′X′Y′ एक वृत्त के साथ परालल तंगेंट हैं, और एक और तंगेंट AB बिंदु C पर वृत्त को छूती है, और XY पर A और ′′X′Y′ पर B पर मिलती है, हमें सिद्ध करना है कि कोण ∠=90°

    ∠AOB=90° है। इसको सिद्ध करने के लिए, हम तंगेंट्स और कोणों के गुणधर्मों का उपयोग करेंगे:

    1. एक बाहरी बिंदु से तंगेंट्स की लंबाई बराबर होती है।
    2. तंगेंट पर स्पर्श के बिंदु पर त्रिज्य लंब होती है।

    प्रमाण:

    • क्योंकि XY और ′′X′Y′ परालल तंगेंट्स हैं, और AB एक तंगेंट है जो XY पर A पर और ′′X′Y′ पर B पर मिलती है, तो रेखांकन XY और ′′X′Y′ के परालल रेखों के लिए होती है।

    • त्रिज्य OC तंगेंट AB को स्पर्श करने वाले बिंदु C पर लंब है। इसका मतलब है कि ∠=∠=90°∠OCA=∠OCB=90° होता है।

    • बिंदु A, O, और B एक सीधी रेख पर होते हैं, जिसमें O मध्यबिंदु होता है, क्योंकि OA और OB दो सेक्टरों के तंगेंट AB के द्वारा बनाए गए हैं। क्योंकि OC AB को लंब से विभाजित करता है, और O रेखांकन AB पर होता है, इससे OC AB को लंब से द्विभाजित करता है।

    • इसलिए, त्रिभुज AOC को हाइपोटेन्यूस-लेग (HL) प्रमाण से त्रिभुज BOC से समवादी होता है, क्योंकि OC एक समान सिर है, =OA=OB (एक ही वृत्त के त्रिज्य), और ∠=∠=90°∠OCA=∠OCB=90° होता है।

    • क्योंकि ∠∠OCA और ∠∠OCB लंबे कोण हैं, बिंदु O पर OA और OB द्वारा बनाए गए कोण, जिसे ∠∠AOB कहा जाता है, भी एक लंब कोण होना चाहिए। इसका मतलब है कि बिंदु O के चारों ओर के कोणों को 360°360° करना होता है, और ∠+∠=180°∠AOC+∠COB=180° होता है, जिससे ∠∠AOB 180°−180°=0°180°−180°=0° होता है, जिसका मतलब है कि ∠∠AOB एक सीधी रेख है और इसलिए ∠=90°∠AOB=90° होता है।

    इससे हमने सिद्ध किया है कि ∠=90°∠AOB=90°। यह एक वृत्त और उसकी तंगेंट की एक विशेष गुणधर्म है, और इस तरह के गणित प्रमाण और निर्माणों में अक्सर उपयोग किए जाते हैं।

  17. 17.सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, वृत्त के बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा बनाए गए कोण का पूरक होता है। केंद्र पर संपर्क करें.

    • दिया गया: केंद्र O के साथ एक वृत्त और वृत्त के बाहर बिंदु P। स्पर्शरेखाएँ PA और PB क्रमशः P से वृत्त पर बिंदुओं A और B पर खींची गई हैं।
    • सिद्ध करने के लिए: ∠APB + ∠AOB = 180°

    चरण:

    1. त्रिज्या OA खींचें।
    2. चूँकि PA बिंदु A पर वृत्त की स्पर्शरेखा है, हम जानते हैं कि ∠OAP = 90°।
    3. इसी तरह, चूंकि PB बिंदु B पर वृत्त की स्पर्शरेखा है, हम जानते हैं कि ∠OBP = 90°।
    4. इसलिए, ∠OAP + ∠OBP = 90° + 90° = 180°।
    5. चूँकि ∠APB और ∠AOB पूरक कोण हैं, हमारे पास ∠APB + ∠AOB = 180° है।

    ध्यान दें: उपरोक्त प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि किसी वृत्त की स्पर्शरेखा संपर्क के बिंदु पर त्रिज्या के लिए लम्बवत होती है। यह वृत्तों का एक मूल गुण है जिसे समान त्रिभुजों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

  18. 18.सिद्ध कीजिए किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है|

    एक वृत्त को घेरने वाले समानांतर चतुर्भुज को एक रोम्बस साबित करने के लिए, हम उस संपत्ति का उपयोग कर सकते हैं जो कहती है कि वृत्त के बाहरी बिंदु से वृत्त तक खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती हैं।


    यहाँ संक्षिप्त साबित है:


    1. दिए गए आकृति में, वृत्त समानांतर चतुर्भुज ABCD को P, Q, R, और S बिंदुओं पर स्पर्श कर रहा है।



    2. AP = AS, BP = BQ, CQ = CR, और DR = DS क्योंकि वृत्त के बाहरी बिंदु से वृत्त तक खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती हैं।


    3. चूँकि ABCD एक समानांतर चतुर्भुज है, विपरीत भुजाएँ समान होती हैं (AB = CD और AD = BC)।


    4. इसलिए, हमारे पास AP + BP = AS + DS और BQ + CQ = DR + CR है।


    5. सरलीकरण करने पर, हमें AB = CD और AD = BC मिलता है क्योंकि AP = AS, BP = BQ, CQ = CR, और DR = DS।


    6. इसका मतलब है कि समानांतर चतुर्भुज की सभी चार भुजाएँ समान हैं (AB = BC = CD = DA)।


    7. सभी भुजाओं के समान होने वाला समानांतर चतुर्भुज एक रोम्बस के रूप में परिभाषित होता है।


    इसलिए, वृत्त को घेरने वाला समानांतर चतुर्भुज निश्चित रूप से एक रोम्बस होगा।

  19. 19.एक वृत्त के चारों ओर एक त्रिभुज ABC खींचा गया है त्रिज्या 4 सेमी की, जैसे कि खंड बीडी और DC को किस बिंदु से BC को विभाजित किया जाता है संपर्क D की लंबाई 8 सेमी और 6 सेमी है क्रमशः (चित्र देखें)। भुजाएँ AB ज्ञात कीजिए और AC

    एक त्रिकोण ABC को एक वृत्त के चारों ओर खींचा गया है जिसकी त्रिज्या 4 सेमी है, इस प्रकार की स्पर्श बिंदु D द्वारा BC को 8 सेमी और 6 सेमी की दो खंडों BD और DC में विभाजित किया गया है। AB और AC की भुजाओं को खोजने के लिए:



    1. मान लीजिए कि वृत्त AB और AC की भुजाओं को स्पर्श करता है E और F बिंदुओं पर क्रमशः।

    2. चूंकि AE और AF बिंदु A से वृत्त तक की स्पर्श रेखाएँ हैं, हमारे पास AE = AF है।

    3. इसी तरह, चूंकि BD और DC बिंदु B और C से वृत्त तक की स्पर्श रेखाएँ हैं, हमारे पास BE = BD और CF = DC है।

    4. इसलिए, BE = 8 सेमी और CF = 6 सेमी है।


    अब, इन स्पर्श रेखाओं का उपयोग करते हुए:


    - AB = AE + BE

    - AC = AF + CF


    चूंकि AE = AF, हम AE या AF की लंबाई खोज सकते हैं यदि हम BE या CF को BC की लंबाई से घटाएँ, क्योंकि AE + BE + CF = BC।


    सबसे पहले BC की गणना करें:


    BC = BD + DC

    BC = 8 सेमी + 6 सेमी

    BC = 14 सेमी


    अब, AE (या AF) खोजने के लिए:


    - AB = AE + BE

    - AC = AE + CF


    चूंकि AE = AF और BE = BD और CF = DC, हम लिख सकते हैं:


    - AB = AE + 8 सेमी

    - AC = AE + 6 सेमी


    AE या AF खोजने के लिए, हम यह तथ्य उपयोग करते हैं कि एक बिंदु (A) से वृत्त तक की स्पर्श रेखाओं का योग दूसरे बिंदु (D) से वृत्त तक की स्पर्श रेखा के बराबर होता है, इसलिए AE + AF = BD + DC। चूंकि AE = AF, इसका मतलब है:


    2 * AE = BD + DC

    2 * AE = 8 सेमी + 6 सेमी

    2 * AE = 14 सेमी

    AE = 7 सेमी


    तो, अब हम AB


    और AC की लंबाई पा सकते हैं:


    AB = AE + BE = 7 सेमी + 8 सेमी = 15 सेमी

    AC = AE + CF = 7 सेमी + 6 सेमी = 13 सेमी


    इस प्रकार, AB की भुजा 15 सेमी है और AC की भुजा 13 सेमी है।

  20. 20.सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ होती हैं एक वृत्त परिचालित करना अनुपूरक है वृत्त के केंद्र पर कोण.

    एक वृत्त के चारों ओर बनाए गए चतुर्भुज के विपरीत भुजाएँ वृत्त के केंद्र पर पूरक कोण बनाती हैं, इसे साबित करने के लिए, हमें चतुर्भुज की भुजाओं द्वारा वृत्त के केंद्र पर बनाए गए कोणों पर विचार करना होगा।

    एक वृत्त को परिच्छेदित करने वाला चतुर्भुज ABCD दिया गया है, जिसमें वृत्त चतुर्भुज के बिंदु P, Q, R, और S पर स्पर्श करता है, हमारे पास वृत्त के केंद्र O पर चतुर्भुज की भुजाओं द्वारा बनाए गए निम्नलिखित कोण हैं:

    • भुजा AB द्वारा बनाया गया कोण ∠∠AOB
    • भुजा BC द्वारा बनाया गया कोण ∠∠BOC
    • भुजा CD द्वारा बनाया गया कोण ∠∠COD
    • भुजा DA द्वारा बनाया गया कोण ∠∠DOA

    यह साबित करने के लिए कि दो विपरीत भुजाओं के द्वारा बनाए गए कोणों का योग पूरक (180 डिग्री का होता है), हम वृत्त पर स्पर्श रेखाओं और उनके द्वारा केंद्र पर बनाए गए कोणों की संपत्तियों का उपयोग करेंगे।

    साबित:

    1. एक बाहरी बिंदु से वृत्त तक खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती हैं। इसलिए, AP = AS, BP = BQ, CR = CQ, और DR = DS हैं।

    2. चूंकि AP और AS समान हैं, वे वृत्त के केंद्र O पर समान कोण बनाते हैं, यानी ∠=∠∠AOP=∠AOS।

    3. इसी तरह, ∠=∠∠BOP=∠BOQ, ∠=∠∠COQ=∠COR, और ∠=∠∠DOS=∠DOR भी समान हैं।

    4. चतुर्भुज की भुजाओं द्वारा वृत्त के केंद्र O पर बनाए गए कोण ∠,∠,∠,∠AOB,∠BOC,∠COD, और ∠∠DOA हैं।

    5. बिंदु O के चारों ओर कोणों का योग 360 डिग्री है। इसलिए, हमारे पास है: ∠+∠+∠+∠=360∘∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA=360∘

    6. चतुर्भुज की दो विपरीत भुजाओं द्वारा केंद्र O पर बनाए गए कोणों का योग है: ∠+∠∠AOB+∠COD

    7. चूंकि ∠∠AOB और ∠∠COD सटीक भुजाओं के लिए बाहरी कोण हैं, हम कह सकते हैं: ∠=∠+∠∠AOB=∠AOP+∠AOS ∠=∠+∠∠COD=∠COQ+∠COR

    8. हम ∠∠AOB और ∠∠COD के लिए अभिव्यक्तियों को बिंदु O के चारों ओर कोणों के योग के समीकरण में वापस प्रतिस्थापित कर सकते हैं: (∠+∠)+(∠+∠)+∠+∠=360∘(∠AOP+∠AOS)+(∠COQ+∠COR)+∠BOC+∠DOA=360∘

    9. चूंकि ∠+∠+∠+∠∠AOP+∠AOS+∠COQ+∠COR बिंदु O के चारों ओर के सभी कोण हैं, और बिंदु O के चारों ओर कोणों का योग 360 डिग्री होता है, शेष दो कोणों ∠∠BOC और ∠∠DOA का योग 180 डिग्री होना चाहिए।

    10. इसलिए, ∠+∠=180∘∠BOC+∠DOA=180∘, और इसी तर्क से, ∠+∠=180∘∠AOB+∠COD=180∘।

    इस प्रकार, वृत्त को परिच्छेदित करने वाले चतुर्भुज के विपरीत भुजाएँ वृत्त के केंद्र पर पूरक कोण बनाती हैं, जिससे यह कथन साबित होता है।

  21. 21.शीघ्र पुनरीक्षण

    1. वृत्तों का परिचय: वृत्त एक गोल आकार होता है जहाँ इसके किनारे का हर बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होता है। इस दूरी को त्रिज्या कहते हैं। वृत्त में व्यास भी होता है, जो कि वृत्त के बीच से होकर सीधे जाने वाली रेखा होती है, और यह त्रिज्या की लंबाई का दोगुना होता है।

    2. वृत्त के लिए स्पर्श रेखा: स्पर्श रेखा एक सीधी रेखा होती है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है। यह कभी भी वृत्त के अंदर नहीं जाती और स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के साथ समकोण (90 डिग्री का कोण) बनाती है।

    3. प्रमेय 1: प्रमेय कहता है कि यदि आप वृत्त पर एक स्पर्श रेखा खींचते हैं, तो यह उस बिंदु पर त्रिज्या के साथ लंबवत (90 डिग्री का कोण बनाएगी) होगी जहाँ यह वृत्त को छूती है।

    4. एक वृत्त के कितने स्पर्श रेखा हो सकते हैं? एक वृत्त की अनंत स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं क्योंकि वृत्त की परिधि के साथ अनंत बिंदु होते हैं जहाँ स्पर्श रेखा छू सकती है।

    5. एक वृत्त पर एक बिंदु से स्पर्श रेखाओं की संख्या: वृत्त पर किसी भी बिंदु से आप ठीक एक स्पर्श रेखा खींच सकते हैं। यह इसलिए है क्योंकि केवल एक रेखा उस बिंदु पर वृत्त को छू सकती है और फिर भी सीधी रह सकती है।

    6. प्रमेय 2: यह प्रमेय कहता है कि यदि आपके पास एक बिंदु वृत्त के बाहर है और आप उस बिंदु से वृत्त के लिए दो स्पर्श रेखाएँ खींचते हैं, तो दोनों स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होंगी।

    7. यह सिद्ध करना कि वृत्त को परिवेष्टित करने वाला समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है: इसे सिद्ध करने के लिए, आपको दिखाना होगा कि समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान हैं, जो कि एक समचतुर्भुज की एक विशेषता है। यह इसलिए होता है क्योंकि वृत्त के बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान होती हैं, और वृत्त को परिवेष्टित करने वाले समांतर चतुर्भुज में विपरीत भुजाएँ दो ऐसी स्पर्श रेखाओं से बनी होती हैं।

    महत्वपूर्ण सूत्र:

    • वृत्त के बाहर एक बिंदु A से वृत्त के स्पर्श बिंदु T तक की स्पर्श रेखा की लंबाई =2−2AT=PA2−r2​ होती है जहाँ P वृत्त का केंद्र है और r त्रिज्या है।

    इस सूत्र का उपयोग करने के लिए, वृत्त के बाहरी बिंदु से वृत्त के केंद्र तक की दूरी (PA) को मापें, और त्रिज्या के वर्ग को घटाएं। फिर वर्गमूल निकालें तो आपको स्पर्श रेखा की लंबाई मिल जाएगी।

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