अंकगणितीय प्रगति — कक्षा 10 गणित नोट्स

अंकगणितीय प्रगति में शामिल टॉपिक

1. 1.अंकगणितीय प्रगति का परिचय

   गणितीय प्रगति (Arithmetic Progression) एक ऐसी संख्या श्रेणी है जिसमें प्रत्येक अगली संख्या पिछली संख्या से स्थिर अंतर (यानी एक निरंतर अंतर) के साथ बढ़ती है।

   साधारण व्याख्या: इसे आप एक उदाहरण से समझ सकते हैं, जैसे एक पार्क में बराबर दूरी पर रखे गए पत्थर। हर पत्थर अगले पत्थर से समान दूरी पर है। इसी तरह, गणितीय प्रगति में, संख्याओं के बीच की दूरी एक समान रहती है।

   वास्तविक जीवन का उदाहरण: मान लीजिए आपने एक फिटनेस रूटीन शुरू किया जिसमें आप पहले दिन 1000 मीटर चलने का निर्णय लेते हैं, दूसरे दिन 1100 मीटर, तीसरे दिन 1200 मीटर, और इसी तरह। हर दिन, आप 100 मीटर से चलने की दूरी बढ़ाते हैं। इससे एक गणितीय प्रगति बनती है जिसका सामान्य अंतर 100 मीटर है।

   संख्यात्मक उदाहरण: श्रेणी को देखें: 4, 7, 10, 13,... प्रत्येक लगातार पद के बीच का अंतर 3 है, इसलिए यह एक गणितीय प्रगति है जिसका सामान्य अंतर 3 है।

2. 2.अंकगणितीय प्रगति के लिए: 3/2 , 1/2 , - 1/2 , - 3/2 , . . ., पहला पद a और सामान्य अंतर d लिखें

   दिया गया गणितीय प्रगति (AP): 32,12,−12,−32,…23​,21​,−21​,−23​,…

   1. पहला पद (a): दिए गए AP का पहला पद अनुक्रम में पहला अंक है। =32a=23​

   2. सामान्य अंतर (d): सामान्य अंतर दो लगातार पदों के बीच का अंतर है। हम इसे पहले पद को दूसरे पद से घटा कर पा सकते हैं (या दूसरे पद को तीसरे पद से घटा सकते हैं, और इसी तरह)।

   सूत्र का उपयोग करते हुए: =2−1d=a2​−a1​ =12−32=−1d=21​−23​=−1

   इसलिए, सामान्य अंतर d है: =−1d=−1

   निष्कर्ष: पहला पद =32a=23​ है और सामान्य अंतर =−1d=−1 है।

3. 3.निम्नलिखित में से किस स्थिति में, शामिल संख्याओं की सूची एक अंकगणित बनाती है? प्रगति, और क्यों?

   (i) जब पहले किमी के लिए किराया ₹15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किमी के लिए ₹8 है, तो प्रत्येक किमी के बाद टैक्सी किराया।

   समाधान: पहले किमी के लिए किराया ₹15 है। अगले किमी के लिए, यह ₹15 + ₹8 = ₹23 है। फिर अगले किमी के लिए, यह ₹23 + ₹8 = ₹31 है, और इसी तरह। लगातार किराये के बीच का अंतर (₹8) स्थिर है। इसलिए, यह अंकगणित प्रगति (AP) बनता है।

   (ii) जब एक वैक्यूम पंप एक बार में सिलेंडर में बची हुई हवा का 1/4 हटा देता है, तो सिलेंडर में मौजूद हवा की मात्रा।

   समाधान: अगर हवा की प्रारंभिक मात्रा A है, तो पहले परिचालन के बाद, यह 3/4A है। दूसरे परिचालन के बाद, यह 3/4 * 3/4A = 9/16A है, और इसी तरह। अंतर स्थिर नहीं है। इसलिए, यह AP नहीं है।

   (iii) जब पहले मीटर के लिए खुदाई की लागत ₹150 है और प्रत्येक अगले मीटर के लिए ₹50 से बढ़ जाती है, तो हर मीटर खुदाई के बाद कुएं खुदाई की लागत।

   समाधान: पहले मीटर के लिए लागत ₹150 है। अगले मीटर के लिए, यह ₹150 + ₹50 = ₹200 है। फिर अगले मीटर के लिए, यह ₹200 + ₹50 = ₹250 है, और इसी तरह। लगातार लागत के बीच का अंतर (₹50) स्थिर है। इसलिए, यह अंकगणित प्रगति (AP) बनता है।

   (iv) जब हर साल खाते में ₹10000 जमा होता है, तो 8% प्रति वर्ष संयुक्त ब्याज पर खाते में पैसा की मात्रा।

   समाधान: पैसा संयुक्त ब्याज की दर से बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि लगातार वर्षों के लिए राशियों के बीच का अंतर स्थिर नहीं है। इसलिए, यह AP नहीं है।

4. 4.अंकगणितीय प्रगति (AP) के पहले चार पद लिखें, जब पहला पद a और सामान्य अंतर d हो इस प्रकार दिया गया:

   समान्तर श्रेणी के ℎnth पद का सूत्र है: =+(−1)×an​=a+(n−1)×d

   इस सूत्र का उपयोग करके हम a और d की दिए गए मानों के लिए पहले चार पद निकाल सकते हैं:

   (i) =10,=10a=10,d=10

   1वां पद: 1=10+(1−1)×10=10a1​=10+(1−1)×10=10 2वां पद: 2=10+(2−1)×10=20a2​=10+(2−1)×10=20 3वां पद: 3=10+(3−1)×10=30a3​=10+(3−1)×10=30 4वां पद: 4=10+(4−1)×10=40a4​=10+(4−1)×10=40

   इसलिए पहले चार पद हैं: 10, 20, 30, 40

   (ii) =−2,=0a=−2,d=0

   किसी भी n मान के लिए पद हमेशा −2−2 होगा क्योंकि समान अंतर शून्य है।

   इसलिए पहले चार पद हैं: -2, -2, -2, -2

   (iii) =4,=−3a=4,d=−3

   1वां पद: 1=4+(1−1)×(−3)=4a1​=4+(1−1)×(−3)=4 2वां पद: 2=4+(2−1)×(−3)=1a2​=4+(2−1)×(−3)=1 3वां पद: 3=4+(3−1)×(−3)=−2a3​=4+(3−1)×(−3)=−2 4वां पद: 4=4+(4−1)×(−3)=−5a4​=4+(4−1)×(−3)=−5

   इसलिए पहले चार पद हैं: 4, 1, -2, -5

   (iv) =−1,=12a=−1,d=21​

   1वां पद: 1=−1+(1−1)×12=−1a1​=−1+(1−1)×21​=−1 2वां पद: 2=−1+(2−1)×12=−0.5a2​=−1+(2−1)×21​=−0.5 3वां पद: 3=−1+(3−1)×12=0a3​=−1+(3−1)×21​=0 4वां पद: 4=−1+(4−1)×12=0.5a4​=−1+(4−1)×21​=0.5

   इसलिए पहले चार पद हैं: -1, -0.5, 0, 0.5

   (v) =−1.25,=−0.25a=−1.25,d=−0.25

   1वां पद: 1=−1.25+(1−1)×(−0.25)=−1.25a1​=−1.25+(1−1)×(−0.25)=−1.25 2वां पद: 2=−1.25+(2−1)×(−0.25)=−1.5a2​=−1.25+(2−1)×(−0.25)=−1.5 3वां पद: 3=−1.25+(3−1)×(−0.25)=−1.75a3​=−1.25+(3−1)×(−0.25)=−1.75 4वां पद: 4=−1.25+(4−1)×(−0.25)=−2a4​=−1.25+(4−1)×(−0.25)=−2

   इसलिए पहले चार पद हैं: -1.25, -1.5, -1.75, -2.

5. 5.निम्नलिखित में से कौन सी अंकगणितीय प्रगति(AP) है? यदि वे एक AP बनाते हैं, तो सामान्य अंतर d और ज्ञात करें तीन और पद लिखें.

   1. (i) 2, 4, 8, 16,...
      
      लगातार पदों के बीच अंतर स्थिर नहीं है (4-2 ≠ 8-4)। इसलिए, यह एक गणितीय प्रगति नहीं है।

   2. (ii) 52,72,3,...25​,27​,3,...
      
      
      लगातार पदों के बीच अंतर 1221​ है। इसलिए, यह एक गणितीय प्रगति है जिसमें =12d=21​ है। अगले तीन पद: 92,5,11229​,5,211​।

   3. (iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2,...
      
      लगातार पदों के बीच अंतर -2 है। इसलिए, यह एक गणितीय प्रगति है जिसमें =−2d=−2 है। अगले तीन पद: -9.2, -11.2, -13.2।

   4. (iv) – 10, – 6, – 2, 2,...
      लगातार पदों के बीच अंतर 4 है। इसलिए, यह एक गणितीय प्रगति है जिसमें =4d=4 है। अगले तीन पद: 6, 10, 14। (v) 3, 3+223+22​, 3+2223+222​, 3+3223+232​,...
      लगातार पदों के बीच अंतर 102=5210​=5 है। इसलिए, यह एक गणितीय प्रगति है जिसमें =5d=5 है। अगले तीन पद: 3+4223+242​, 3+5223+252​, 3+6223+262​।

      (vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222,...
      लगातार पदों के बीच का अंतर स्थिर नहीं है (0.02, 0.002, 0.0002,...)। इसलिए, यह एक अंकगणितीय प्रगति (AP) नहीं है।

      (vii) 0, – 4, – 8, –12,...
      लगातार पदों के बीच अंतर -4 है। इसलिए, यह एक अंकगणितीय प्रगति (AP) है जिसमें अंतर =−4d=−4 है। अगले तीन पद हैं: -16, -20, और -24।

      (viii) –12–21​, –12–21​, –12–21​, –12–21​,...
      लगातार पदों के बीच अंतर 0 है। इसलिए, यह एक अंकगणितीय प्रगति (AP) है जिसमें अंतर =0d=0 है। अगले तीन पद भी –12–21​, –12–21​, और –12–21​ रहेंगे।

6. 6.अंकगणितीय प्रगति का nवाँ पद

   एक अंकगणितीय श्रेणी (AP) में, संख्याओं का क्रम इस प्रकार होता है कि क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर रहता है। इस स्थिर अंतर को "सामान्य अंतर" कहा जाता है, जिसे d से दर्शाया जाता है। AP का nth पद निम्न सूत्र से गणना किया जा सकता है:

   =1+(−1)×an​=a1​+(n−1)×d

   जहाँ:

   • an​ AP का nth पद है।
   • 1a1​ AP का पहला पद है।
   • d सामान्य अंतर है।
   • n पद संख्या है।

   यह सूत्र किसी भी पद का मान ज्ञात करने में मदद करता है बिना उससे पहले के सभी पदों को सूचीबद्ध किए।

   उदाहरण:
   यदि पहला पद 1a1​ 5 है और सामान्य अंतर d 3 है, तो AP का चौथा पद होगा:
   4=5+(4−1)×3=5+9=14a4​=5+(4−1)×3=5+9=14

7. 7.AP: 2, 7, 12, का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।

   
   

   दिया गया समांतर श्रेणी (AP): 2, 7, 12,...

   पहली पद 1=2a1​=2. सामान्य अंतर d को पहले पद को दूसरे पद से घटा कर या दूसरे पद को तीसरे पद से घटा कर प्राप्त किया जा सकता है, इत्यादि। =7−2=5d=7−2=5

   दसवें पद 10a10​ को खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: =1+(−1)×an​=a1​+(n−1)×d

   दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 10=2+(10−1)×5a10​=2+(10−1)×5 10=2+9×5a10​=2+9×5 10=2+45a10​=2+45 10=47a10​=47

   इसलिए, दिए गए AP का दसवां पद 47 है।

8. 8.वह AP ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 5 है और 7वां पद 9 है।

   एक समान्तर श्रेणी (AP) तय करने के लिए, हमें पहले पद 1a1​ और सामान्य अंतर d को खोजना है।

   दिया गया: तीसरा पद, 3=5a3​=5 सातवां पद, 7=9a7​=9

   समान्तर श्रेणी के nth पद का सामान्य सूत्र है: =1+(−1)×an​=a1​+(n−1)×d

   दिए गए जानकारी से हम निम्नलिखित समीकरण तैयार कर सकते हैं:

   तीसरे पद के लिए: 3=1+2=5a3​=a1​+2d=5.......(i)

   सातवें पद के लिए: 7=1+6=9a7​=a1​+6d=9.......(ii)

   समीकरण (i) को समीकरण (ii) से घटाने पर हम प्राप्त करते हैं: 1+6−1−2=9−5a1​+6d−a1​−2d=9−5 4=44d=4 =1d=1

   समीकरण (i) में d की मान डालने पर हम प्राप्त करते हैं: 1+2(1)=5a1​+2(1)=5 1+2=5a1​+2=5 1=3a1​=3

   इस प्रकार, पहला पद 1a1​ 3 है और सामान्य अंतर d 1 है।

   तो, समान्तर श्रेणी है: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...

9. 9.दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं?

   1. सबसे छोटा दो अंकों वाला संख्या 10 है और सबसे बड़ा दो अंकों वाला संख्या 99 है।

   2. 3 से विभाज्य पहला दो अंकों वाला संख्या पाने के लिए, हम 10 से शुरुआत करते हैं और देखते हैं कि क्या यह 3 से विभाज्य है। 10, 3 से विभाज्य नहीं है, लेकिन 12 है। इसलिए, 3 से विभाज्य पहला दो अंकों वाला संख्या 12 है।

   3. अगला, 3 से विभाज्य सबसे बड़ा दो अंकों वाला संख्या पाने के लिए, हम 99 से शुरुआत करते हैं। 99, 3 से विभाज्य है। इसलिए, 3 से विभाज्य सबसे बड़ा दो अंकों वाला संख्या 99 है।

   4. 3 से विभाज्य दो अंकों वाले संख्या की श्रृंखला एक समांतर श्रेणी (AP) है जिसमें पहली अवधि 1=12a1​=12, सामान्य अंतर =3d=3, और अंतिम अवधि =99an​=99 है।

   5. एक AP की nth अवधि दी जाती है: =1+(−1)×an​=a1​+(n−1)×d दिए गए मानकों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: 99=12+(−1)×399=12+(n−1)×3 99−12=(−1)×399−12=(n−1)×3 87=3−387=3n−3 90=390=3n =30n=30

   इसलिए, 3 से विभाज्य 30 दो अंकों वाले संख्या हैं।

10. 10.AP का कौन सा पद: 3, 8, 13, 18, . . ,78 है?

    ए.पी. 3,8,13,18,...3,8,13,18,... का कौन सा पद 78 है, इसे जानने के लिए हम ए.पी. के nth पद के सूत्र का इस्तेमाल कर सकते हैं:

    =1+(−1)×an​=a1​+(n−1)×d

    जहाँ:

    • an​ nth पद है, जो इस मामले में 78 है।
    • 1a1​ पहला पद है, जो 3 है।
    • d सामान्य अंतर है, जो 8−3=58−3=5 है।

    दिए गए मानकों को प्रतिस्थापित करते हुए:

    78=3+(−1)×578=3+(n−1)×5 78=3+5−578=3+5n−5 78=5−278=5n−2 80=580=5n =16n=16

    इसलिए, 78 ए.पी. का 16वां पद है।

11. 11.दो AP का सामान्य अंतर समान है। उनके 100वें पदों के बीच का अंतर है 100, उनके 1000वें पदों में क्या अंतर है?

    पहले समान्तर श्रेणी (AP) को AP1 और दूसरी को AP2 कहते हैं। दोनों का सामान्य अंतर (common difference) समान है, जिसे हम d कहेंगे।

    किसी भी AP के लिए, n-वाँ पद (an) निम्नलिखित फॉर्मूला से मिलता है: an = a1 + (n - 1)d

    यहाँ a1 AP का पहला पद है।

    दिया गया है: उनके 100वें पदों के बीच का अंतर 100 है।

    चलिए a1,100 और a2,100 को AP1 और AP2 के 100वें पद मानते हैं। इसका समीकरण है: a1,100 - a2,100 = 100

    n-वें पद के फॉर्मूला से: a1,100 = a1,1 + 99d a2,100 = a2,1 + 99d

    इसे समीकरण में रखते हैं: (a1,1 + 99d) - (a2,1 + 99d) = 100 a1,1 - a2,1 = 100

    इस समीकरण से पता चलता है कि AP1 और AP2 के पहले पदों के बीच का अंतर 100 है।

    अब, हमें उनके 1000वें पदों के बीच का अंतर ज्ञात करना है। वही तर्क लागू करते हैं: a1,1000 - a2,1000

    n-वें पद के फॉर्मूला का प्रयोग करते हैं: (a1,1 + 999d) - (a2,1 + 999d)

    हम पहले ही जानते हैं कि a1,1 - a2,1 = 100 है, इसलिए उनके 1000वें पदों के बीच का अंतर भी 100 होगा।

12. 12.एक AP के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है और 6वें और 10वें पदों का योग है 44. AP के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए

    एक एपी के चौथे और आठवें पदों का योग 24 है। एक एपी के छठे और दसवें पदों का योग 44 है।

    हम जानते हैं: एक एपी का nth पद दिया गया है =1+(−1)an​=a1​+(n−1)d, जहाँ 1a1​ पहला पद है और d सामान्य अंतर है।

    दिए गए जानकारी का उपयोग करके, हम निम्नलिखित समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

    1. 4+8=24a4​+a8​=24 nth पद के फॉर्मूला को प्रतिस्थापित करते हैं: 1+3+1+7=24a1​+3d+a1​+7d=24 समान अवयवों को मिलाना: 21+10=242a1​+10d=24.......(i)

    2. 6+10=44a6​+a10​=44 nth पद के फॉर्मूला को प्रतिस्थापित करते हैं: 1+5+1+9=44a1​+5d+a1​+9d=44 समान अवयवों को मिलाना: 21+14=442a1​+14d=44.......(ii)

    समीकरण (i) को समीकरण (ii) से घटा दें, हम पाते हैं: 4=204d=20 =5d=5

    समीकरण (i) में d का मान प्रतिस्थापित करते हैं: 21+50=242a1​+50=24 21=−262a1​=−26 1=−13a1​=−13

    इसलिए, पहला पद 1a1​ -13 है और सामान्य अंतर d 5 है।

    पहले तीन पद हैं: -13, -8, -3

13. 13.सुब्बा राव ने 1995 में ₹ 5000 के वार्षिक वेतन पर काम शुरू किया और वेतन वृद्धि प्राप्त की का. हर साल ₹200. किस वर्ष उसकी आय ₹ 7000 तक पहुँची?

    हमें उस वर्ष का पता लगाना है जब वेतन 7000 रुपये हो जाए। तो, हमें एपी के सूत्र में n के लिए हल करना होगा: =1+(−1)an​=a1​+(n−1)d जहाँ =7000an​=7000, 1=5000a1​=5000, और =200d=200 है।

    मान डालें: 7000=5000+(−1)×2007000=5000+(n−1)×200 7000=5000+200−2007000=5000+200n−200 7000=4800+2007000=4800+200n 7000−4800=2007000−4800=200n 2200=2002200=200n =2200200n=2002200​ =11n=11

    तो, 1995 से उनके वेतन को 7000 रुपये तक पहुँचने में 11 साल लगे। इसलिए, वर्ष होगा 1995 + 11 = 2006।

14. 14.रामकली ने एक वर्ष के पहले सप्ताह में ₹ 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत में वृद्धि की `1.75. यदि nवें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹ 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।

    रामकली ने पहले सप्ताह में 5 रुपये बचाए। हर सप्ताह उसकी बचत 1.75 रुपये बढ़ती रही। यह एक समान्तर श्रेणी (एपी) बनती है जिसमें पहला पद 1a1​ 5 रुपये है और सामान्य अंतर d 1.75 रुपये है।

    हमें वह सप्ताह n खोजना है जब उसकी साप्ताहिक बचत 20.75 रुपये हो जाती है। तो, हम एपी के सूत्र का उपयोग करते हैं: =1+(−1)an​=a1​+(n−1)d जहाँ =20.75an​=20.75, 1=5a1​=5, और =1.75d=1.75 है।

    मान डालें: 20.75=5+(−1)×1.7520.75=5+(n−1)×1.75 20.75=5+1.75−1.7520.75=5+1.75n−1.75 20.75=3.25+1.7520.75=3.25+1.75n 17.5=1.7517.5=1.75n =17.51.75n=1.7517.5​ =10n=10

    तो, 10वें सप्ताह में, उसकी बचत की राशि 20.75 रुपये होती है।

15. 15.किसी AP के प्रथम n पदों का योग

    समान्तर श्रेणी (एपी) के पहले n पदों का योग निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है: =2(21+(−1))Sn​=2n​(2a1​+(n−1)d) जहां: Sn​ = पहले n पदों का योग 1a1​ = पहला पद d = सामान्य अंतर n = पदों की संख्या

    वास्तविक जीवन का उदाहरण: कल्पना करें कि आप पैसे बचाने का निर्णय लेते हैं। पहले दिन, आप $1 बचाते हैं। उसके बाद हर दिन, आप बचाए गए राशि में $1 की वृद्धि करने का निर्णय लेते हैं। इससे एक समान्तर श्रेणी बनती है जिसमें 1=1a1​=1 और =1d=1 है। यदि आप 10 दिनों के बाद आपने कितना बचाया, तो आप उपरोक्त सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

    सूत्र का उपयोग करते हुए: 10=102(2(1)+(10−1)(1))S10​=210​(2(1)+(10−1)(1)) 10=5×(2+9)S10​=5×(2+9) 10=5×11S10​=5×11 10=55S10​=55 तो, आप 10 दिनों में $55 बचा लेंगे।

16. 16.AP के पहले 22 पदों का योग ज्ञात करें: 8, 3, –2, . . .

    दिए गए समान्तर श्रेणी (एपी) के पहले 22 पदों का योग जानने के लिए, हम सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: =2(21+(−1))Sn​=2n​(2a1​+(n−1)d) जहां:

    • Sn​ = पहले n पदों का योग
    • 1a1​ = पहला पद
    • d = सामान्य अंतर
    • n = पदों की संख्या

    दिया गया है: 1=8a1​=8 d = दूसरा पद - पहला पद = 3 - 8 = -5 =22n=22

    इन मानों को सूत्र में डालते हैं: 22=222(2(8)+(22−1)(−5))S22​=222​(2(8)+(22−1)(−5)) 22=11×(16−105)S22​=11×(16−105) 22=11×(−89)S22​=11×(−89) 22=−979S22​=−979

    इसलिए, पहले 22 पदों का योग -979 है।

17. 17.योग ज्ञात कीजिए :

    (i) पहले 1000 सकारात्मक पूर्णांकों का योग: पहले 1000 सकारात्मक पूर्णांकों का योग जानने के लिए, हम पहले n प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: =(+1)2Sn​=2n(n+1)​ =1000n=1000 के लिए: 1000=1000(1000+1)2S1000​=21000(1000+1)​ 1000=1000×10012S1000​=21000×1001​ 1000=500×1001S1000​=500×1001 1000=500500S1000​=500500

    इसलिए, पहले 1000 सकारात्मक पूर्णांकों का योग 500,500 है।

    (ii) पहले n सकारात्मक पूर्णांकों का योग: वही सूत्र उपयोग करते हुए: =(+1)2Sn​=2n(n+1)​

    इसलिए, पहले n सकारात्मक पूर्णांकों का योग (+1)22n(n+1)​ है।

18. 18.अंकगणितीय प्रगति में :

    (i) दिया गया =5a=5, =3d=3, =50an​=50, n और Sn​ ढूंढें:

    • n ढूंढने के लिए: =+(−1)an​=a+(n−1)d 50=5+(−1)350=5+(n−1)3 3=483n=48 =16n=16

    • Sn​ ढूंढने के लिए: =2(2+(−1))Sn​=2n​(2a+(n−1)d) 16=440S16​=440

    (ii) दिया गया =7a=7, 13=35a13​=35, d और 13S13​ ढूंढें:

    • d ढूंढने के लिए: =73d=37​

    • 13S13​ ढूंढने के लिए: 13=273S13​=273

    (iii) दिया गया 12=37a12​=37, =3d=3, a और 12S12​ ढूंढें:

    • a ढूंढने के लिए: =4a=4

    • 12S12​ ढूंढने के लिए: 12=246S12​=246

    (iv) दिया गया 3=15a3​=15, 10=125S10​=125, d और 10a10​ ढूंढें:

    • d ढूंढने के लिए: 15=+215=a+2d (1) 25=2+925=2a+9d (2) समीकरण (1) और (2) को साथ में हल करके, हम d और a पाते हैं।

    • 10a10​ ढूंढने के लिए: 10=+9a10​=a+9d

    (v) =5d=5, 9=75S9​=75, a और 9a9​ ढूंढें:

    • a ढूंढने के लिए: 75=92(2+40)75=29​(2a+40) इसे हल करके a पाते हैं।

    • 9a9​ ढूंढने के लिए: 9=+8×5a9​=a+8×5

19. 19.किसी AP का पहला पद 5 है, अंतिम पद 45 है और योग 400 है। पदों की संख्या ज्ञात कीजिए और सामान्य अंतर.

    • पहला पद =5a=5
    • आखिरी पद =45l=45
    • योग =400S=400

    हमें खोजना है:

    • पदों की संख्या n
    • सामान्य अंतर d
    1. n ढूंढने के लिए: एक AP का योग का सूत्र इस प्रकार है: =2(+)S=2n​(a+l) 400=2(5+45)400=2n​(5+45) 400=2×50400=2n​×50 =400×250=16n=50400×2​=16

    इसलिए, AP में 16 पद हैं।

    1. d ढूंढने के लिए: एक AP के nth पद का सूत्र इस प्रकार है: =+(−1)an​=a+(n−1)d 45=5+1545=5+15d 40=1540=15d =4015=83=2.67d=1540​=38​=2.67

    इसलिए, सामान्य अंतर d 2.67 है।

20. 20.6 से विभाज्य पहले 40 धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।

    6 से विभाज्य पहला सकारात्मक पूर्णांक 6 है, और 6 से विभाज्य लगातार पूर्णांकों में सामान्य अंतर 6 है। इसलिए, यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें पहला पद =6a=6 और सामान्य अंतर =6d=6 है। 40वें पद होगा +39=6+39(6)=240a+39d=6+39(6)=240। एक AP के पहले n पदों के योग का सूत्र उपयोग करते हुए: S=2n​(a+l)
    40=402(6+240)=20×246=4920S40​=240​(6+240)=20×246=4920
    

21. 21.8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

    यहां पहला पद 8 है, और सामान्य अंतर भी 8 है। योग का सूत्र है: Sn​=2n​[2a+(n−1)d] 15=152[2×8+(15−1)×8]
    S15​=215​[2×8+(15−1)×8] 15=7.5[16+14×8]
    S15​=7.5[16+14×8] 15=7.5×128
    S15​=7.5×128 15=960
    S15​=960
    

22. 22.एक सर्पिल क्रमिक अर्धवृत्तों से बना है, जिनके केंद्र बारी-बारी से A और B पर हैं, केंद्र A से शुरू होकर, त्रिज्या 0.5 सेमी, 1.0 सेमी, 1.5 सेमी, 2.0 सेमी,... ऐसे सर्पिल की कुल लंबाई क्या है तेरह लगातार अर्धवृत्तों से बना है?

    1. प्रत्येक अर्धवृत्त की लंबाई निर्धारित करना:

    पूरे वृत्त के परिधि C जिसकी त्रिज्या r होती है, वह होती है: =2C=2πr अर्धवृत्त के लिए, लंबाई परिधि का आधा होगा, अर्थात, =L=πr

    1. स्पाइरल में प्रत्येक अर्धवृत्त के लिए लंबाई की गणना:

    जब त्रिज्या 0.5 सेमी से बढ़कर 0.5 सेमी बढ़ती है तो 13 अर्धवृत्तों की त्रिज्या होगी: 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0, 5.5, 6.0, और 6.5 सेमी।

    1. लंबाइयों का योग:

    तेरह अर्धवृत्तों से बने स्पाइरल की कुल लंबाई है: कुल=(0.5+1.0+1.5+...+6.5)Lकुल​=π(0.5+1.0+1.5+...+6.5)

    समानतार श्रेणी के योग का सूत्र है: =2(1+)S=2n​(a1​+an​) जहाँ n शब्दों की संख्या है, 1a1​ पहला शब्द है, और an​ nवाँ शब्द है।

    यहाँ, n = 13, 1a1​ = 0.5, और 13a13​ = 6.5 है। =132(0.5+6.5)=132×7=45.5S=213​(0.5+6.5)=213​×7=45.5

    अतः, कुल=×45.5Lकुल​=π×45.5

    जब =227π=722​ हो, तो मान प्रतिस्थापित करने पर: कुल=227×45.5=286Lकुल​=722​×45.5=286 सेमी।

    इस प्रकार, तेरह लगातार अर्धवृत्तों से बने स्पाइरल की कुल लंबाई 286 सेमी होगी।

23. 23.तीसरे और सातवें पद का योग एक AP का गुणनफल 6 है और उनका गुणनफल 8 है। ज्ञात कीजिए एपी के पहले सोलह पदों का योग।

    दिए गए जानकारी का उपयोग करते हुए:

    1. 3=+2a3​=a+2d 7=+6a7​=a+6d

    दिए गए से, 3+7=6a3​+a7​=6 +2++6=6a+2d+a+6d=6 2+8=62a+8d=6 +4=3a+4d=3...(i)

    दिए गए से, 3×7=8a3​×a7​=8 (+2)(+6)=8(a+2d)(a+6d)=8 2+8+122=8a2+8ad+12d2=8

    (i) से प्रतिस्थापित करते हुए: 2+8(+3)=8a2+8(a+3d)d=8 2+8+242=8a2+8ad+24d2=8 2+8+242−8=0a2+8ad+24d2−8=0...(ii)

    (i) और (ii) से हम a और d के लिए हल कर सकते हैं।

    AP के पहले n पदों का योग: =2(2+(−1))Sn​=2n​(2a+(n−1)d)

    यहां, =16n=16 है, a और d के मानों को प्लग इन करें ताकि 16S16​ प्राप्त हो।

24. 24.एक स्कूल में, छात्रों ने हवा को कम करने के लिए स्कूल के अंदर और आसपास पेड़ लगाने के बारे में सोचा प्रदूषण। यह तय किया गया कि प्रत्येक वर्ग के प्रत्येक खंड में कितने पेड़ होंगे पौधा, उस कक्षा के समान होगा जिसमें वे पढ़ रहे हैं, उदाहरण के लिए, कक्षा I का एक

    एक स्कूल में, छात्रों ने वायु प्रदूषण को कम करने के लिए स्कूल में और उसके आसपास पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा के प्रत्येक अनुभाग द्वारा लगाए जाने वाले पेड़ों की संख्या उस कक्षा के समान होगी, जिसमें वे पढ़ रहे हैं, उदाहरण के लिए, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग पौधे लगाएगा। 2 पेड़ वगैरह बारहवीं कक्षा तक। प्रत्येक कक्षा के तीन खंड हैं। छात्रों द्वारा कितने पेड़ लगाए जाएंगे? दिया गया है:

    1. प्रत्येक अनुभाग कक्षा I का 1 पेड़ लगाएगा।
    2. प्रत्येक अनुभाग कक्षा II का 2 पेड़ लगाएगा।
    3. और इसी तरह...
    4. प्रत्येक अनुभाग कक्षा XII का 12 पेड़ लगाएगा।
    5. प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं।

    हमें छात्रों द्वारा लगाए जाने वाले कुल पेड़ों की संख्या ज्ञात करनी है।

    समाधान:

    कक्षा I के लिए: 3 अनुभाग × 1 पेड़ = 3 पेड़

    कक्षा II के लिए: 3 अनुभाग × 2 पेड़ = 6 पेड़

    ......

    कक्षा XII के लिए: 3 अनुभाग × 12 पेड़ = 36 पेड़

    कुल पेड़ = 3(1 + 2 + 3 +... + 12)

    यह एक समानता अनुक्रम है जहां पहला पद a = 1, सामान्य अंतर d = 1, और पदों की संख्या n = 12 है।

    AP के पहले n पदों का योग दिया जाता है: =2(2+(−1))Sn​=2n​(2a+(n−1)d)

    सूत्र का उपयोग करते हुए: 12=122(2(1)+(12−1)(1))S12​=212​(2(1)+(12−1)(1)) 12=6(2+11)S12​=6(2+11) 12=6(13)S12​=6(13) 12=78S12​=78

    तो, सभी 12 कक्षाओं के लिए कुल पेड़ (अनुभाग को ध्यान में न रखते हुए) = 78 पेड़ हैं।

    प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग को ध्यान में रखते हुए: कुल पेड़ = 3 × 78 = 234 पेड़।

    इसलिए, छात्र कुल 234 पेड़ लगाएंगे।

25. 25.शीघ्र पुनरीक्षण

    1. समांतर श्रेणी (AP) का परिचय: समांतर श्रेणी एक संख्याओं की सूची है जहां लगातार संख्याओं के बीच का अंतर स्थिर होता है। इस अंतर को सामान्य अंतर कहते हैं। उदाहरण के लिए, श्रेणी 2, 4, 6, 8 में, सामान्य अंतर 2 है।

    2. AP का nth पद: एक AP का nth पद वह संख्या होती है जो nth स्थान पर आती है। इसे खोजने के लिए आप सूत्र का इस्तेमाल करते हैं: =1+(−1)an​=a1​+(n−1)d जहाँ:

    • an​ nth पद है,
    • 1a1​ पहला पद है,
    • d सामान्य अंतर है,
    • n श्रेणी में पद का स्थान है।

    3. AP के पहले n पदों का योग: AP के पहले n पदों का योग खोजने के लिए आप सूत्र का इस्तेमाल करते हैं: =2[21+(−1)]Sn​=2n​[2a1​+(n−1)d] या =2(1+)Sn​=2n​(a1​+an​) जहाँ:

    • Sn​ पहले n पदों का योग है,
    • 1a1​ पहला पद है,
    • an​ nth पद है,
    • d सामान्य अंतर है,
    • n पदों की संख्या है।

    सूत्रों का कार्यान्वयन

    उदाहरण के लिए, AP का 10वां पद खोजने के लिए जहां पहला पद 2 है और सामान्य अंतर 3 है: 10=2+(10−1)×3a10​=2+(10−1)×3 10=2+9×3a10​=2+9×3 10=2+27a10​=2+27 10=29a10​=29

    पहले 10 पदों का योग खोजने के लिए: 10=102[2×2+(10−1)×3]S10​=210​[2×2+(10−1)×3] 10=5[4+27]S10​=5[4+27] 10=5×31S10​=5×31 10=155S10​=155