त्रिभुज — कक्षा 10 गणित नोट्स

त्रिभुज में शामिल टॉपिक

1. 1.त्रिभुजों का परिचय

   आइए हम त्रिभुजों के बारे में समझते हैं और उन्हें सरल व्याख्याओं और उदाहरणों के साथ जानते हैं।

   त्रिभुज क्या है?

   त्रिभुज ज्यामिति में एक मूलभूत आकार है जिसमें तीन भुजाएं और तीन कोण होते हैं। किसी भी त्रिभुज में कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री के बराबर होता है।

   त्रिभुजों के प्रकार

   1. समभुज त्रिभुज (Equilateral Triangle):

      • परिभाषा: एक त्रिभुज जिसकी सभी तीन भुजाएं समान लंबाई की होती हैं, और सभी तीन कोण समान होते हैं, प्रत्येक 60 डिग्री के होते हैं।
      • उदाहरण: एक परफेक्ट आकार के पिरामिड के आधार की कल्पना कीजिए।

   2. समद्विभुज त्रिभुज (Isosceles Triangle):

      • परिभाषा: एक त्रिभुज जिसमें दो भुजाएं समान लंबाई की होती हैं। इन भुजाओं के सामने के कोण भी समान होते हैं।
      • उदाहरण: एक पारंपरिक घर की छत का सामने का चेहरा अक्सर एक समद्विभुज त्रिभुज होता है।

   3. विषमभुज त्रिभुज (Scalene Triangle):

      • परिभाषा: एक त्रिभुज जिसमें तीनों भुजाएं विभिन्न लंबाई की होती हैं और तीनों कोण विभिन्न होते हैं।
      • उदाहरण: एक त्रिकोणीय पनीर का टुकड़ा जिसमें कोई भी भुजा या कोण समान नहीं होता।

   4. समकोण त्रिभुज (Right-Angled Triangle):

      • परिभाषा: एक त्रिभुज जिसमें एक कोण 90 डिग्री का होता है। समकोण के विपरीत सबसे लंबी भुजा को 'कर्ण' कहा जाता है।
      • उदाहरण: एक सीढ़ी द्वारा दीवार के साथ बनाया गया त्रिभुज, जहाँ दीवार और जमीन एक समकोण बनाते हैं।

   वास्तविक जीवन में आवेदन

   • वास्तुकला और निर्माण: त्रिभुजों की समझ छतों, पुलों और संरचनाओं के डिजाइन में मदद करती है।
   • नेविगेशन और खगोल विज्ञान: दूरियों और स्थानों की गणना करने में त्रिभुजीय गणनाएँ अक्सर शामिल होती हैं।
   • कला और डिजाइन: दृश्य रूप से आकर्षक और स्थिर डिजाइन बनाने के लिए त्रिभुजों का उपयोग किया जाता है।

   त्रिभुजों को समझने के लिए गतिविधि

   1. विभिन्न प्रकार के त्रिभुज बनाने के लिए छड़ी या स्ट्रॉ का उपयोग करें।
   2. त्रिभुज की पहचान करने के लिए भुजाओं और कोणों को मापें कि वह समभुज, समद्विभुज, विषमभुज, या समकोण है या नहीं।

   त्रिभुज आकर्षक होते हैं और आकृतियों और स्थानों को समझने में एक मूलभूत भूमिका निभाते हैं!

2. 2.त्रिभुजों की समानता

   त्रिभुजों की समानता का सरल विवरण

   ज्यामिति में त्रिभुजों की समानता एक रोचक अवधारणा है। यह एक ही चीज की दो तस्वीरों की तुलना करने जैसा है, एक बड़ी और एक छोटी, जहाँ आकार समान होते हैं, लेकिन आकार भिन्न होते हैं।

   त्रिभुज समान कब होते हैं?

   दो त्रिभुज तब समान होते हैं जब:

   1. समानांतर कोण: एक त्रिभुज का प्रत्येक कोण दूसरे त्रिभुज के समानांतर कोण के बराबर होता है।
   2. समानांतर भुजाएँ आनुपातिक होती हैं: उनकी समानांतर भुजाओं की लंबाई के अनुपात समान होते हैं।

   त्रिभुज समानता के मानदंड

   1. कोण-कोण (AA) मानदंड:

      • यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर होते हैं, तो त्रिभुज समान होते हैं।

   2. भुजा-कोण-भुजा (SAS) मानदंड:

      • यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समान अनुपात में होती हैं, और इन भुजाओं के बीच का कोण समान होता है, तो त्रिभुज समान होते हैं।

   3. भुजा-भुजा-भुजा (SSS) मानदंड:

      • यदि एक त्रिभुज की सभी तीन भुजाएं दूसरे त्रिभुज की समानांतर भुजाओं के समान अनुपात में होती हैं, तो वे समान होते हैं।

   वास्तविक जीवन में उदाहरण

   • मानचित्र और मॉडल: समान त्रिभुजों का उपयोग स्केल्ड मानचित्र और मॉडल बनाने में किया जाता है। एक इमारत का छोटा मॉडल वास्तविक इमारत की तरह ही आकार में होता है, लेकिन छोटे आकार में।
   • खगोल विज्ञान: समान त्रिभुज पृथ्वी से तारों और ग्रहों की दूरियों की गणना में मदद करते हैं।

   त्रिभुज समानता को समझने के लिए गतिविधि

   1. i. विभिन्न आकारों के दो त्रिभुज बनाएं जिनमें समान कोण हों।
   2. ii. समानता को देखने के लिए कोणों और भुजाओं को मापें और भुजाओं के अनुपातिकता को देखें।

   त्रिभुजों की समानता को समझने से हमें आसपास के विभिन्न आकारों और रूपों में पैटर्न और संबंधों को पहचानने में मदद मिलती है।

3. 3.प्रमेय 1 : यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर एक रेखा खींची जाती है जो उसे प्रतिच्छेद करती है अन्य दो पक्ष अलग-अलग बिंदुओं पर हैं, अन्य दो पक्ष समान अनुपात में विभाजित हैं।

   आइए थेल्स प्रमेय या मूल अनुपातिकता प्रमेय का प्रमाण चरण-दर-चरण समझते हैं। यह प्रमेय ज्यामिति में एक मौलिक अवधारणा है और समान त्रिभुजों को समझने के लिए आधार बनती है।

   मूल अनुपातिकता प्रमेय का प्रमाण

   मान लीजिए एक त्रिभुज ABC है, और हम इसके एक भुजा, कहें कि BC, के समानांतर एक रेखा खींचते हैं। यह समानांतर रेखा अन्य दो भुजाओं (AB और AC) को क्रमशः D और E बिंदुओं पर काटती है।

   आरेख सेटअप:

   • त्रिभुज ABC के भुजाओं AB और AC पर D और E बिंदु।
   • DE रेखा BC भुजा के समानांतर खींची गई है।

   साबित करने के लिए:

   • =DBAD​=ECAE​

   प्रमाण के चरण:

   1. सहायक रेखा खींचें: C से होकर DA के समानांतर एक रेखा खींचें। यह रेखा बीए रेखा के विस्तारित भाग पर F बिंदु पर मिलती है।

   2. समानांतर कोण और वैकल्पिक आंतरिक कोणों का उपयोग करते हुए: चूंकि DE, BC के समानांतर है, और C से होकर DA के समानांतर रेखा है, इसलिए बनने वाले समानांतर कोण और वैकल्पिक आंतरिक कोण समान होते हैं। इसलिए, ∠DAB = ∠ECF और ∠EDA = ∠EFC।

   3. समान त्रिभुजों का उपयोग करते हुए:

      • त्रिभुज ADE और CFE में, ∠ADE = ∠CFE (DE, BC के समानांतर और समान होने पर दोनों समकोण होते हैं)।
      • हमारे पास ∠DAB = ∠ECF और ∠EDA = ∠EFC है (चरण 2 से)।
      • इसलिए, AA (कोण-कोण) समानता से, ΔADE ∼ ΔCFE होते हैं।

   4. समान त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करते हुए: समान त्रिभुजों में, समानांतर भुजाएं अनुपात में होती हैं। इसलिए, ΔADE और ΔCFE के लिए:

      • =DEAD​=FECF​
      • लेकिन DE = BC (DE, BC के समानांतर और समान होने पर)।
      • इसलिए, =BCAD​=FECF​।

   5. त्रिभुज अनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करते हुए: ΔABC में और C से होकर DA के समानांतर रेखा में, त्रिभुज अनुपातिकता प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है:

      • =DBAD​=CEAC​
        

   6. प्रतिस्थापन और निष्कर्ष: चूंकि AC = AE + EC और DE = BC,

      • =+DBAD​=ECAE+EC​
        
      • इसलिए, =DBAD​=ECAE​
        

   इस प्रकार, एक त्रिभुज की एक भुजा (इस मामले में BC) के समानांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं (AB और AC) को समान अनुपात में विभाजित करती है। इससे थेल्स प्रमेय का प्रमाण पूरा होता है।

   सारांश

   मूल अनुपातिकता प्रमेय दिखाता है कि यदि एक त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर एक रेखा खींची जाती है, जो अन्य दो भुजाओं को काटती है, तो वे भुजाएं अनुपातिक रूप से विभाजित होती हैं। यह प्रमेय ज्यामितिक समानता को समझने में एक मूलभूत स्तम्भ है और विभिन्न क्षेत्रों, जैसे कि वास्तुकला, कला, और इंजीनियरिंग में इसके अनेक अनुप्रयोग हैं।

4. 4.प्रमेय 2 : यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होती है।

   दी गयी: ΔABC में, DE एक रेखा खंड है ऐसे की D AB पर है, E AC पर है, और DE BC के समानांतर है।

   सिद्ध करने के लिए: रेखा खंड DE AB और AC को समान अनुपात में बाँटता है, यानि की =DBAD​=ECAE​।

   प्रमाण:

   1. चूंकि DE BC के समानांतर है, इसलिए कोण ADE कोण ABC के बराबर है (समानांतर रेखाओं के साथ AB के समान कोण)।
   2. इसी तरह, कोण AED कोण ACB के बराबर है (समानांतर रेखाओं के साथ AC के समान कोण)।
   3. अब, त्रिकोण ADE और ABC को देखें। उनके पास:
      • कोण ADE = कोण ABC (चरण 1 से)
      • कोण AED = कोण ACB (चरण 2 से)
      • कोण A दोनों त्रिकोणों के लिए साझा है।
   4. इसलिए, त्रिकोण ADE और ABC AA (कोण-कोण) समानता मापदंड से समान हैं, जो कहता है कि यदि एक त्रिकोण के दो कोण दूसरे त्रिकोण के दो कोणों के बराबर होते हैं तो दो त्रिकोण समान होते हैं।
   5. जब दो त्रिकोण समान होते हैं, तो बराबर कोणों के सामने की भुजाएँ अनुपातिक होती हैं। इसलिए, हमारे पास है: =ABAD​=ACAE​ और BCDE​
   6. समानांतर रेखाओं की गुणों से, DE BC के समानांतर है, और हम कह सकते हैं कि भुजाएँ अनुपातिक हैं।
   7. शब्दों को पुनः व्यवस्थित करते हुए, हमें मिलता है: =DBAD​=ECAE​
      

   इस प्रकार, DE दो भुजाओं AB और AC को समान अनुपात में बाँटता है, और इसलिए, मूल प्रमाणिकता प्रमेय के विपरीत से, DE BC के समानांतर है।

   यह प्रमेय वास्तविक जीवन में बहुत उपयोगी है, खासकर सर्वेक्षण के क्षेत्र में, जहां समान त्रिकोणों का उपयोग परोक्ष रूप से दूरियों को मापने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि सर्वेयर पहाड़ की ऊंचाई का पता लगाना चाहते हैं, तो वे इस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं पहाड़ और एक छोटे, मापनीय त्रिकोण के साथ समान त्रिकोण बनाकर।

5. 5.यदि एक रेखा त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर काटती है और BC के समानांतर है, तो सिद्ध करें कि AD/AB = AE/AC

   दिया गया: एक त्रिकोण △△ABC जिसमें D और E पर BC के समानांतर एक रेखा है।

   सिद्ध करने के लिए: =ABAD​=ACAE​

   प्रमाण:

   1. त्रिकोण और समानांतर रेखा का निर्माण करें: △△ABC खींचें जिसमें DE रेखा AB पर D और AC पर E से होकर गुजरती है, और DE BC के समानांतर है।

   2. समान त्रिकोण का उपयोग करें: चूंकि DE BC के समानांतर है, इसलिए कोण ADE कोण ABC के बराबर है, और कोण AED कोण ACB के बराबर है (क्योंकि समानांतर रेखाओं के साथ संबंधित कोण बराबर होते हैं)।

   3. त्रिकोणों पर विचार करें: त्रिकोण ADE और ABC पर ध्यान दें। उन्हें कोण A साझा है।

      • कोण ADE कोण ABC के बराबर है (चरण 2 से)।
      • कोण AED कोण ACB के बराबर है (चरण 2 से)।

   4. त्रिकोण ADE और ABC समान हैं: समानता के लिए कोण-कोण (AA) मापदंड के अनुसार (दो जोड़े संबंधित कोण बराबर होते हैं), त्रिकोण ADE त्रिकोण ABC के समान है।

   5. अनुपात लिखें: समान त्रिकोणों में, संबंधित भुजाओं के अनुपात बराबर होते हैं। तो, त्रिकोण ADE और ABC के लिए, हमारे पास है: =ABAD​=ACAE​, क्योंकि समान त्रिकोणों की संबंधित भुजाएं अनुपातिक होती हैं।

   6. प्रमाण का निष्कर्ष निकालें: समान त्रिकोणों में संबंधित भुजाओं की लंबाई के अनुपात बराबर होते हैं, जिससे सिद्ध होता है कि =ABAD​=ACAE​।

   तो यह रहा! यह प्रमेय नक्शा पढ़ने जैसे वास्तविक जीवन की परिस्थितियों में काफी हाथ में आता है, जहां नक्शे के पैमाने से वास्तविक दुनिया की दूरियों के साथ समान त्रिकोण बनते हैं। वास्तुकला, इंजीनियरिंग, और डिजाइन जैसे करियरों में, समान त्रिकोणों के सिद्धांतों को लागू करना समझना निर्माण और स्केलिंग के लिए आवश्यक है।

6. 6.इस चित्र में, PS/SQ = PT/TR और ∠ PST = ∠ PRQ सिद्ध कीजिए कि PQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

   
   

   हमें दिया गया है कि PS/SQ = PT/TR और कोण ∠PST और ∠PRQ बराबर हैं। हमें यह सिद्ध करना है कि त्रिकोण PQR एक समद्विबाहु त्रिकोण है, इसका मतलब है कि हमें यह दिखाना होगा कि त्रिकोण PQR की दो भुजाएँ लंबाई में बराबर हैं।

   यहां प्रमाण है:

   दिया गया: PS/SQ = PT/TR (1) और ∠PST = ∠PRQ (2) सिद्ध करने के लिए: PQ = PR (त्रिकोण PQR समद्विबाहु है) प्रमाण:

   दी गई जानकारी से, हम जानते हैं कि रेखाएँ ST और QR समानांतर हैं क्योंकि संबंधित कोण ∠PST और ∠PRQ बराबर हैं (जब रेखाएँ समानांतर होती हैं तो वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर होते हैं)।

   समानांतर रेखाओं ST और QR, और अनुप्रस्थ रेखाओं PS और PT के साथ, हम कह सकते हैं कि त्रिकोण PST और PTR समान हैं क्योंकि उनके दो कोण बराबर हैं (कोण P साझा है और ∠PST = ∠PRQ)।

   समान त्रिकोणों में, संबंधित भुजाएँ अनुपात में होती हैं। इसलिए, त्रिकोण PST और PTR से, हमारे पास है:

   PT/PS = TR/SQ

   लेकिन हमें दिया गया है कि PS/SQ = PT/TR, इसलिए हम दोनों अनुपातों को बराबर कर सकते हैं क्योंकि उनके अनुपात बराबर हैं। इसलिए, हमारे पास है:

   PT/PS = TR/SQ

   इन अनुपातों से, हम देख सकते हैं कि यदि हम संबंधित भुजाओं को गुणा करते हैं, तो हमें PS * TR = PT * SQ मिलता है।

   अब, त्रिकोण PSQ और PTR पर विचार करें। वे समान हैं भुजा-कोण-भुजा (SAS) समानता मानदंड द्वारा, क्योंकि:

   PS/SQ = PT/TR (दिया गया),

   ∠PST = ∠PRQ (दिया गया, संबंधित कोण),

   और हमने अभी सिद्ध किया है कि PS * TR = PT * SQ (अनुपात में भुजाएँ)।

   चूंकि त्रिकोण PSQ और PTR समान हैं, उनकी संबंधित भुजाएँ अनुपातिक हैं, और उनके संबंधित कोण बराबर हैं। इसलिए, ∠SPQ = ∠TPR।

   यदि ∠SPQ = ∠TPR है, तो समद्विबाहु त्रिकोण प्रमेय के विपरीत द्वारा (समान भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं), PQ = PR।

   इसलिए, त्रिकोण PQR एक समद्विबाहु त्रिकोण होना चाहिए क्योंकि इसकी दो भुजाएँ, PQ और PR, लंबाई में बराबर हैं।

   ज्यामिति में यह सिद्धांत काफी उपयोगी है, खासकर संरचनाओं के डिजाइन और विश्लेषण में जहां समरूपता महत्वपूर्ण होती है, जैसे पुलों या मीनारों में। समद्विबाहु त्रिकोणों की अवधारणा और उनके गुणों का उपयोग ऐसी संरचनाओं में स्थिरता और संतुलन सुनिश्चित करने के लिए किया जा सकता है।

7. 7.△ PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः E और F बिंदु हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक मामले के लिए, बताएं कि क्या EF || QR

   (i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm and FR = 2.4 cm
   
   (ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm and RF = 9 cm
   
   

   (iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm and PF = 0.36 cm इसे समझने के लिए हम बेसिक प्रोपोर्शनैलिटी थ्योरम (थेल्स के प्रमेय) का उपयोग करेंगे। इस प्रमेय के अनुसार, यदि एक रेखा त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर बनी हो और दूसरी दो भुजाओं को काटती है, तो वह उन भुजाओं को अनुपात में विभाजित करती है।

   प्रत्येक मामले का विश्लेषण:

   मामला i) PE = 3.9 सेमी, EQ = 3 सेमी, PF = 3.6 सेमी, और FR = 2.4 सेमी।

   EF || QR होने की जाँच के लिए, हम PE/EQ और PF/FR के अनुपात की तुलना करते हैं:

   =3.93=1.3EQPE​=33.9​=1.3
   =3.62.4=1.5FRPF​=2.43.6​=1.5

   चूंकि ≠EQPE​=FRPF​, EF QR के समानांतर नहीं है।

   मामला ii) PE = 4 सेमी, QE = 4.5 सेमी, PF = 8 सेमी, और RF = 9 सेमी।

   PE/QE और PF/RF के अनुपात की तुलना करें:

   =44.5≈0.89QEPE​=4.54​≈0.89
   =89≈0.89RFPF​=98​≈0.89

   यहाँ, ≈QEPE​≈RFPF​, इसलिए EF QR के समानांतर है।

   मामला iii)

   • PQ = 1.28 सेमी, PR = 2.56 सेमी, PE = 0.18 सेमी, और PF = 0.36 सेमी।

   PQ और PR की पूरी लंबाई दी गई है, इसलिए हमें EQ और FR ढूँढना होगा:

   EQ = PQ - PE = 1.28 - 0.18 = 1.10 सेमी, FR = PR - PF = 2.56 - 0.36 = 2.20 सेमी।

   अब, अनुपात की तुलना करें:

   =0.181.10EQPE​=1.100.18​ =0.362.20FRPF​=2.200.36​

   दोनों अनुपात 0.1636 के बराबर हैं, इसलिए EF QR के समानांतर है।

   सारांश में, मामला i में EF, QR के समानांतर नहीं है, जबकि मामला ii और iii में EF, QR के समानांतर है।

8. 8.चित्र में, यदि LM || CB और LN || CD, यह साबित करो AM/AB = AN/AD

   दिए गए चित्र में, LM || CB और LN || CD दिया गया है और हमें यह साबित करना है कि AM/AB = AN/AD

   इसे साबित करने के लिए, हम समरूप त्रिकोणों की अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं। यहाँ कदम-दर-कदम समझाने का तरीका है:

   1. चूँकि LM || CB है, बेसिक प्रोपोर्शनैलिटी थ्योरम (थेल्स के प्रमेय) के अनुसार, त्रिकोण ALM, त्रिकोण ABC के समरूप है। इसका मतलब है कि उनकी संबंधित भुजाएँ अनुपातिक होती हैं। इसलिए, हमारे पास है: =(1)ABAM​=ACAL​(1)

   2. इसी तरह, चूँकि LN || CD है, त्रिकोण ALN, त्रिकोण ADC के समरूप है, और इस प्रकार उनकी संबंधित भुजाएँ भी अनुपातिक हैं। इसलिए, हमारे पास है: =(2)ADAN​=ACAL​(2)

   3. समीकरण (1) और (2) से, हम देख सकते हैं कि ABAM​ और ADAN​ दोनों ACAL​ के बराबर हैं। इसलिए, यह निष्कर्ष निकलता है कि: =ABAM​=ADAN​

   इस प्रकार, हमने साबित कर दिया कि AM/AB = AN/AD

9. 9.चित्र में DE || OQ और DF || OR, दिखाएँ कि EF || QR.

   आकृति में त्रिभुज PQR दिखाया गया है जिसमें बिंदु D सेगमेंट PQ पर और बिंदु F सेगमेंट PR पर है। रेखा खंड DE और DF ऐसे खींचे गए हैं कि DE || OQ और DF || OR EF के QR के समानांतर होने का प्रमाण देने के लिए, हम बेसिक प्रोपोर्शनैलिटी थ्योरम का उपयोग करेंगे, जिसे थेल्स का प्रमेय भी कहते हैं।

   थेल्स का प्रमेय कहता है कि यदि एक त्रिभुज के एक भुजा के समानांतर एक रेखा खींची जाए जो दूसरी दो भुजाओं को काटती है, तो वह उन भुजाओं को अनुपात में विभाजित करती है।

   चूँकि DE || OQ है, थेल्स के प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है:

   =(1)DQPD​=EOPE​(1)

   इसी तरह, चूँकि DF || OR है, हमारे पास है:

   =(2)DRPD​=FOPF​(2)

   चूँकि DE और DF दोनों एक ही बिंदु D से खींचे गए हैं, PD दोनों अनुपात में सामान्य है, और इस प्रकार:

   =(1 और 2 से)DRDQ​=FOEO​(1 और 2 से)

   अब, यदि EF QR के समानांतर है, तो थेल्स के प्रमेय के अनुसार, इसे PQ और PR को अनुपात में विभाजित करना चाहिए, जिसका मतलब है:

   =(3)EQPE​=FRPF​(3)

   समीकरण (1) से, हम /PE/EQ को /PD/DQ के साथ बदलते हैं और समीकरण (2) से, हम /PF/FR को /PD/DR के साथ बदलते हैं। इसलिए समीकरण (3) बन जाता है:

   =DQPD​=DRPD​

   चूँकि /=/DQ/DR=EO/FO पहले चरण से है, हम कह सकते हैं:

   =EOPD​=FOPD​

   यह दर्शाता है कि PE और PF, EO और FO को एक ही अनुपात में विभाजित करते हैं, जो केवल तभी सच हो सकता है जब EF QR के समानांतर हो, इस प्रकार साबित करता है कि EF || QR है

10. 10.चित्र में A, B और C क्रमशः OP, OQ और OR पर इस प्रकार बिंदु हैं कि AB || PQ और AC || PR दिखाओ कि BC || QR.

    
    
    

    दिए गए आकृति में, जहाँ AB || PQ और AC || PR है, BC के QR के समानांतर होने का प्रमाण देने के लिए, हम एक बार फिर बेसिक प्रोपोर्शनैलिटी थ्योरम या थेल्स के प्रमेय का उपयोग करेंगे।

    यहाँ कदम-दर-कदम समझाने का तरीका है:

    1. चूंकि AB || PQ है, बेसिक प्रोपोर्शनैलिटी थ्योरम के अनुसार, त्रिकोण ABO, त्रिकोण PQO के समान है। इसका मतलब है कि उनकी संबंधित भुजाएँ अनुपातिक होती हैं। इसलिए, हमारे पास है: =(1)OPAO​=PQAB​(1)

    2. इसी तरह, चूँकि AC || PR है, त्रिकोण ACO, त्रिकोण PRO के समान है। इसलिए, उनकी संबंधित भुजाएँ भी अनुपातिक हैं। इसलिए, हमारे पास है: =(2)OPAO​=PRAC​(2)

    3. समीकरण (1) और (2) से, चूंकि AO/OP के अनुपात त्रिकोण ABO और ACO दोनों के लिए बराबर हैं, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि: =PQAB​=PRAC​

    4. इसका मतलब है कि B और C, OQ और OR भुजाओं को क्रमशः एक ही अनुपात में विभाजित करते हैं।

    5. यदि BC को OQ और OR को काटने के लिए खींचा जाए, तो इसे बेसिक प्रोपोर्शनैलिटी थ्योरम के विपरीत के अनुसार एक ही अनुपात में करना चाहिए।

    6. चूंकि B और C के माध्यम से रेखा OQ और OR भुजाओं को उसी अनुपात में विभाजित करती है जिस अनुपात में AB PQ को और AC PR को विभाजित करती है, बेसिक प्रोपोर्शनैलिटी थ्योरम के विपरीत के अनुसार, BC QR के समानांतर होना चाहिए।

    इस प्रकार, BC || QR है।

11. 11.प्रमेय 1 का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

    इस कथन को साबित करने के लिए, हम बेसिक प्रोपोर्शनैलिटी थ्योरम के विपरीत का उपयोग कर सकते हैं (जिसे थेल्स का प्रमेय भी कहा जाता है)। इस प्रमेय के अनुसार यदि कोई रेखा एक त्रिभुज की दो भुजाओं को अनुपात में विभाजित करती है, तो वह तीसरी भुजा के समानांतर होती है। इसका विपरीत भी सच है: यदि कोई रेखा त्रिभुज के एक भुजा के समानांतर खींची जाती है, तो वह अन्य दो भुजाओं को अनुपात में विभाजित करेगी।

    यहाँ कदम-दर-कदम समझाने का तरीका है:

    1. एक त्रिभुज लेते हैं, उसे ΔABC कहते हैं।
    2. मान लेते हैं कि D, AB की भुजा का मध्य बिंदु है।
    3. हम D के माध्यम से BC के समानांतर एक रेखा खींचते हैं और उसे AC के बिंदु E पर मिलते हैं।

    हमें यह साबित करना है कि बिंदु E, AC की भुजा का मध्य बिंदु है, अर्थात् AE = EC

    चूंकि D, AB का मध्य बिंदु है, हमारे पास AD = DB है।

    अब, चूंकि DE BC के समानांतर खींची गई है, बेसिक प्रोपोर्शनैलिटी थ्योरम के विपरीत के अनुसार, DE अन्य दो भुजाओं को अनुपात में विभाजित करेगी। इसलिए, हम लिख सकते हैं कि:

    =DBAD​=ECAE​

    लेकिन AD = DB है क्योंकि D, AB का मध्य बिंदु है, इसलिए उपरोक्त समीकरण बन जाता है:

    =ADAD​=ECAE​

    यह सरलीकृत हो जाता है:

    1=1=ECAE​

    जिसका मतलब है AE = EC।

    इस प्रकार, E, AC का मध्य बिंदु है।

    तो, हमने यह साबित कर दिया है कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिंदु से खींची गई रेखा जो दूसरी भुजा के समानांतर है, तीसरी भुजा को दो भागों में विभाजित करती है।

12. 12.प्रमेय 2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होती है

    यह कथन मिडपॉइंट थियरम के रूप में जाना जाता है, या कभी-कभी इसे ट्रायंगल मिडसेगमेंट थियरम कहा जाता है। इस थियरम के अनुसार, एक त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखा खंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई का आधा होता है।

    चलिए इसे कदम दर कदम साबित करते हैं:

    1. एक त्रिभुज ΔΔABC लें।

    2. मान लीजिए D और E भुजाओं AB और AC के मध्य बिंदु हैं, क्रमशः। इसका मतलब है =12AD=21​AB और =12AE=21​AC।

    3. हमें यह साबित करना है कि रेखा खंड DE BC के समानांतर है और =12DE=21​BC।

    बेसिक प्रोपोर्शनैलिटी थियरम (थेल्स प्रमेय) के विपरीत के अनुसार, यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को अनुपात में विभाजित करती है, तो वह तीसरी भुजा के समानांतर होती है। चूँकि D और E मध्य बिंदु हैं, DE भुजाओं AB और AC को दो समान भागों में विभाजित करती है, इसलिए अनुपात में।

    1. हम E के माध्यम से BC के समानांतर एक रेखा खींचते हैं और उसे AB पर बिंदु F पर मिलते हैं।

    चूँकि EF BC के समानांतर है, बेसिक प्रोपोर्शनैलिटी थियरम के विपरीत के अनुसार, हमारे पास है:

    =FBAF​=ECAE​

    लेकिन =AE=EC है क्योंकि E AC का मध्य बिंदु है, इसलिए =AF=FB, जिसका मतलब है F AB का मध्य बिंदु है। लेकिन हमें पहले से पता है कि D AB का मध्य बिंदु है, इसलिए D और F मिलना चाहिए, जिसका मतलब है D और F एक ही बिंदु हैं।

    1. इसलिए, DE BC के समानांतर है क्योंकि यह EF के साथ मिलता है, जिसे हमने BC के समानांतर होने के लिए बनाया था।

    2. इसके अलावा, चूंकि D और E मध्य बिंदु हैं, DE BC की लंबाई का आधा होना चाहिए क्योंकि त्रिभुज ΔΔAEC में, DE एक मिडसेगमेंट है।

    इस प्रकार, एक त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखा खंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई का आधा होता है, जो मिडपॉइंट थियरम को साबित करता है।

13. 13.ABCD एक समलंब है जिसमें AB || है DC और इसके विकर्ण एक दूसरे को बिंदु O पर काटते हैं। दिखाएँ कि AO/BO=CO/DO

    त्रापेज़ियम ABCD में, AB DC के समानांतर है और विकर्ण AC और BD बिंदु O पर मिलते हैं, हमें यह प्रमाणित करना है कि =BOAO​=DOCO​
    

    यहाँ समान त्रिकोणों का उपयोग करके प्रमाण है:

    1. त्रापेज़ियम ABCD को खींचें जिसमें AB DC के समानांतर है और विकर्ण AC और BD बिंदु O पर मिलते हैं।

    2. चूंकि AB DC के समानांतर है, इसलिए कोण ABO कोण CDO के बराबर होता है (जब दो लाइनें एक ट्रांसवर्सल द्वारा कटी जाती हैं तो वैकल्पिक आंतरिक कोण समान होते हैं)।

    3. इसी तरह, कोण BAO कोण DCO के बराबर है।

    4. अब, त्रिकोण ABO और CDO को देखें:

       • कोण ABO कोण CDO के बराबर है (चरण 2 से)।
       • कोण BAO कोण DCO के बराबर है (चरण 3 से)।
       • कोण O दोनों त्रिकोणों में सामान्य है।

    5. चूंकि त्रिकोण ABO के दो कोण त्रिकोण CDO के दो कोणों के बराबर हैं, त्रिकोण AA (Angle-Angle) पोस्ट्युलेट द्वारा समान हैं।

    6. जब दो त्रिकोण समान होते हैं, तो उनकी संबंधित भुजाएं अनुपातिक होती हैं। इसलिए, हमारे पास है:

       =COAO​=DOBO​

    7. शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने से हमें वांछित संबंध मिलता है:

       =BOAO​=DOCO​

    यह संबंध समान त्रिकोणों के गुणों और इस तथ्य के कारण सही है कि समान त्रिकोणों में, संबंधित भुजाओं के अनुपात बराबर होते हैं।

14. 14.यदि दो त्रिभुजों में संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात (या समानुपात) में होती हैं और इसलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।

    प्रमाणित करने के लिए कि दो त्रिभुज एक समान बुद्धिकोण अगर बराबर हैं, हम एंगल-एंगल (AA) समरूपता सिद्धांत का उपयोग करते हैं। इस सिद्धांत का कहना है कि यदि एक त्रिभुज के दो कोण एक दूसरे त्रिभुज के दो कोण के बराबर हैं, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

    
    

    प्रदान किए गए चित्र का उपयोग करके इसे स्टेप-बाय-स्टेप प्रमाणित किया गया है:
    
    
    
    

    
    

    दिया गया है:

    
    

    त्रिभुज ABC और त्रिभुज DEF दो त्रिभुज हैं जैसे कि:

    ∠A = ∠D

    ∠B = ∠E

    ∠C = ∠F

    
    

    प्रमाणित करने के लिए:

    
    

    त्रिभुज ABC ∼ त्रिभुज DEF

    
    

    प्रमाण:

    
    

    1. यह दिया गया है कि ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, और ∠C = ∠F

    2. एंगल-एंगल (AA) समरूपता सिद्धांत के अनुसार, यदि एक त्रिभुज के दो कोण एक दूसरे त्रिभुज के दो कोण के समान हैं, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

    3. क्योंकि हमारे पास तीन सेट के कोण समान हैं (वास्तव में हमारे पास तीन सेट हैं), हम कह सकते हैं कि ΔABC ∼ ΔDEF के द्वारा AA सिद्धांत से।

    
    

    इसलिए, यदि संबंधित कोण समान हैं, तो त्रिभुज समरूप होते हैं, जिससे उनके संबंधित पक्षों का भी समान अनुपात होने का संकेत होता है।

    
    

    अब, जिस चित्र के संदर्भ में आपने दिया है, यदि पंक्ति PQ को त्रिभुज DEF के पक्ष EF के साथ समान्तर खींची जाती है, जिसमें P AB पर है और Q AC पर है, तो हम कह सकते हैं:

    
    

    दिया गया है:

    पंक्ति PQ को पैरलल त्रिभुज EF के साथ खींची जाती है, P AB पर होती है और Q AC पर होती है।

    
    

    प्रमाणित करने के लिए:

    
    

    AP/PB = AQ/QC

    
    

    प्रमाण:

    
    

    1. क्योंकि PQ EF के साथ पैरलल है और BQ दोनों को काटता है, तो विचारणीय आंतरिक कोणों के सिद्धांत के अनुसार, ∠B = ∠QPB।

    2. उसी तरह, PQ EF के साथ पैरलल है और AP दोनों को काटता है, तो विचारणीय आंतरिक कोणों के सिद्धांत के अनुसार, ∠A = ∠PQA।

    3. अब, हमारे पास दो जोड़ों के कोण हैं जो निर्माण द्वारा बराबर हैं: ∠B = ∠QPB और ∠A = ∠PQA।

    4. एंगल-एंगल (AA) समरूपता सिद्धांत के अनुसार, ΔAPQ ∼ ΔABC।

    5. इसलिए, संबंधित पक्ष अनुपात में हैं: AP/AB = AQ/AC।

    6. क्योंकि

    
    

    AB = AP + PB है और AC = AQ + QC है, हम पा सकते हैं कि AP/PB = AQ/QC है।

    
    

    इसलिए, हमने न केवल यह सिद्ध किया है कि दो त्रिभुज समरूप हैं, बल्कि यह भी दिखाया है कि समान्तर रेखा द्वारा काटे गए खंड भी त्रिभुजों के संबंधित पक्षों के अनुपात में हैं। यह त्रिभुज समानुपात सिद्धांत का हिस्सा है।

    
    

    आवेदनों के लिए, इस सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग कार्तोग्राफी, आर्किटेक्चर, और किसी भी प्रकार के डिज़ाइन काम में किया जाता है जो माप और मॉडल बनाने की आवश्यकता है। यह ज्यामिति में एक मौलिक अवधारणा है जो आकारों की गुणवत्ता की गुणवत्ता को समझने और उन्हें परिवर्तित कैसे किया जा सकता है, में मदद करता है।

15. 15.प्रमेय : यदि दो त्रिभुजों में, एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती (अर्थात समान अनुपात में) हों, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं और इसलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। (इस मानदंड को दो त्रिभुजों के लिए SSS (साइड-साइड-साइड) समानता मान

    SSS (साइड-साइड-साइड) समरूपता मापदंड के प्रमाण के लिए, हम दो त्रिभुजों से शुरू करते हैं जहाँ एक त्रिभुज की भुजाएं दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के आनुपातिक हैं। हमें यह दिखाना है कि उनके संबंधित कोण समान हैं, जिससे पुष्टि होगी कि त्रिभुज समरूप हैं।

    SSS समरूपता मापदंड का प्रमाण:

    1. दी गई:

       • त्रिभुज ABC और त्रिभुज DEF
       • त्रिभुज ABC की भुजाएं त्रिभुज DEF की भुजाओं के आनुपातिक हैं, यानि ==DEAB​=EFBC​=FDCA​।

    2. निर्माण:

       • त्रिभुज ABC और त्रिभुज DEF को ऐसे बनाएं कि AB DE के समांतर हो और BC EF के समांतर हो।

    3. विचार करें:

       • जब रेखाएं समांतर होती हैं और एक काटने वाली उन्हें काटती है, तो वैकल्पिक आंतरिक कोण समान होते हैं। इसलिए, यदि AB DE के समांतर है और BC EF के समांतर है, तो कोण ABC कोण DEF के बराबर है, और कोण BCA कोण EFD के बराबर है।

    4. आनुपातिकता का उपयोग करें:

       • चूँकि भुजाएँ आनुपातिक हैं, हम लिख सकते हैं =DEAB​=EFBC​।

    5. कोण-कोण (AA) समरूपता:

       • चरण 3 और 4 से, हमारे पास दो जोड़े समान कोण हैं। कोण-कोण (AA) समरूपता मापदंड के अनुसार, त्रिभुज ABC त्रिभुज DEF के समान है।

    6. निष्कर्ष:

       • इसलिए, हमने दिखाया है कि यदि दो त्रिभुजों की भुजाएं आनुपातिक हैं, तो उनके संबंधित कोण समान हैं, और त्रिभुज समरूप हैं।

    यह प्रमाण ज्यामिति में SSS समरूपता मापदंड की एक मौलिक अवधारणा को दर्शाता है।

16. 16.यदि किसी त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर है और इन कोणों सहित भुजाएँ समानुपाती हैं, तो दोनों त्रिभुज समरूप हैं। (इस मानदंड को दो त्रिभुजों के लिए एसएएस (भुजा-कोण-भुजा) समानता मानदंड के रूप में जाना जाता है)

    SSS (साइड-एंगल-साइड) समरूपता मापदंड का प्रमाण करने के लिए, हम दो त्रिभुजों को ध्यान में रखते हैं जहां एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर है, और इन कोणों को शामिल करने वाली भुजाएं आनुपातिक हैं। हमें यह साबित करना है कि ये दो त्रिभुज समरूप हैं।

    एसएएस समरूपता मापदंड का प्रमाण:

    1. दी गई:

       • त्रिभुज ABC और त्रिभुज DEF।
       • त्रिभुज ABC का कोण B त्रिभुज DEF के कोण E के बराबर है (∠=∠∠B=∠E)।
       • इन कोणों को शामिल करने वाली भुजाएं आनुपातिक हैं, यानि =DEAB​=EFBC​।

    2. विचार करें:

       • हम जानते हैं कि एक जोड़ी कोण समान है (∠=∠∠B=∠E)।

    3. आनुपातिकता का उपयोग करें:

       • दी गई भुजाओं की आनुपातिकता को =DEAB​=EFBC​ के रूप में लिखा जा सकता है।

    4. एक त्रिभुज का निर्माण करें:

       • एक त्रिभुज ′ABC′ का निर्माण करें ऐसे कि =AB=DE और ′=BC′=EF। चूँकि ये भुजाएं समान हैं, त्रिभुज ′ABC′ त्रिभुज DEF के साथ SSS (साइड-साइड-साइड) समानता मापदंड से समरूप है।

    5. समान कोण:

       • चूँकि त्रिभुज ′ABC′ और त्रिभुज DEF समरूप हैं, उनके संबंधित कोण समान हैं। इसलिए, ∠=∠=∠′∠B=∠E=∠C′।

    6. त्रिभुज ABC और ABC' की तुलना करें:

       • △
         △ABC और △′△ABC′ में दो भुजाएं समान अनुपात में हैं (=BCAB​=EFDE​) और शामिल कोण (∠∠B) समान है।

    7. कोण-कोण (AA) समरूपता मापदंड का उपयोग करें:

       • चूँकि △△ABC और △′△ABC′ में दो कोण समान हैं (∠∠B और ∠′∠C′), वे AA मापदंड के अनुसार समरूप हैं।

    8. निष्कर्ष:

       • इसलिए, चूँकि △′△ABC′ △△ABC के समान है और △′△ABC′ △△DEF के साथ समरूप है, इसका अनुसरण होता है कि △△ABC △△DEF के समान है। यह प्रमाणित करता है कि यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के समान है और इन कोणों को शामिल करने वाली सिरहने समानांतर हैं, तो त्रिभुज समान होते हैं। यह ज्यामिति में SAS समानता मापन है।

17. 17.दिए गए चित्र में, यदि PQ || RS, सिद्ध करें कि △ POQ ~ △ SOR.

    दिए गए चित्र में, जहाँ रेखा PQ, रेखा RS के समांतर है, हम यह साबित कर सकते हैं कि त्रिभुज POQ और SOR समरूप हैं, AA (एंगल-एंगल) समरूपता मापदंड का उपयोग करके। यह मापदंड बताता है कि अगर एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हैं, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

    यहाँ प्रमाण कैसे काम करेगा:

    1. कोण संबंध:

       • चूंकि PQ, RS के समांतर है और OS एक काटने वाली है, इसलिए वैकल्पिक आंतरिक कोण समान होते हैं। इसका मतलब है ∠=∠∠POQ=∠SOR वैकल्पिक आंतरिक कोण के सिद्धांत से।
       • इसी तरह, चूंकि PQ, RS के समांतर है और OP एक काटने वाली है, हमारे पास ∠=∠∠PQO=∠ROS भी समान सिद्धांत से है।

    2. AA समरूपता मापदंड:

       • दो जोड़े संबंधित कोणों के समान होने के साथ (∠=∠∠POQ=∠SOR और ∠=∠∠PQO=∠ROS), हम AA समरूपता मापदंड के अनुसार कह सकते हैं कि त्रिभुज समरूप हैं।

    3. निष्कर्ष:

       • इसलिए, △∼△△POQ∼△SOR है।

    यह निष्कर्ष समांतर रेखाओं के गुणों और त्रिभुजों की समरूपता के लिए एंगल-एंगल मापदंड पर आधारित है।

18. 18.दिए गए चित्र में, OA.OB= OC.OD, दिखाएँ कि ∠ A = ∠ C और ∠ B = ∠ D.

    जिस आकृति में OA गुणा OB के बराबर OC गुणा OD हो, वहाँ हम यह दिखा सकते हैं कि ∠A बराबर है ∠C और ∠B बराबर है ∠D, कोण विभाजक के गुण और कोण विभाजक के प्रतिलोम प्रमेय का उपयोग करके। यहाँ प्रमाण समझाया गया है:

    1. दिया गया:

       • OA · OB = OC · OD
       • इसका मतलब है कि O से त्रिभुज के विपरीत किनारों पर स्थित शीर्षों तक की खंडों की लंबाई का गुणनफल बराबर है।

    2. कोण विभाजक प्रमेय (प्रतिलोम):

       • कोण विभाजक के प्रतिलोम प्रमेय के अनुसार, यदि किसी कोण के आंतरिक में एक बिंदु के पास ऐसी संपत्ति है कि कोण के पक्षों तक की दूरी का गुणनफल सभी स्थितियों में स्थिर है, तो वह बिंदु कोण के विभाजक पर स्थित है।

    3. त्रिभुज AOB के लिए लागू:

       • चूँकि OA · OB स्थिर है, O को ∠A के कोण विभाजक पर होना चाहिए।

    4. त्रिभुज COD के लिए लागू:

       • चूँकि OC · OD स्थिर है, O को ∠C के कोण विभाजक पर होना चाहिए।

    5. समान कोण:

       • चूंकि O ∠A और ∠C के कोण विभाजक पर स्थित है, और कोण विभाजक कोणों को दो समान भागों में विभाजित करते हैं, ∠AOB दो समान कोणों में विभाजित होता है, जिससे ∠A = ∠B होता है। इसी तरह, ∠COD विभाजित होता है, जिससे ∠C = ∠D होता है।

    6. निष्कर्ष:

       • इसलिए, ∠A = ∠C और ∠B = ∠D है।

    यह प्रमाण कोण विभाजकों के गुणों पर आधारित है और यह अवधारणा पर निर्भर करता है कि कोण विभाजक एक कोण को दो समान कोणों में विभाजित करता है।

19. 19.90 सेमी ऊंचाई की एक लड़की 1.2 मीटर/सेकेंड की गति से लैंप-पोस्ट के आधार से दूर चल रही है। यदि दीपक जमीन से 3.6 मीटर ऊपर है, तो 4 सेकंड के बाद उसकी छाया की लंबाई ज्ञात करें।

    
    
    

    चार सेकंड के बाद लड़की की परछाई की लंबाई जानने के लिए, हम समान त्रिभुजों की अवधारणा और दी गई जानकारी का उपयोग कर सकते हैं:

    लैंप पोस्ट की ऊँचाई (AB) 3.6 मीटर है। लड़की की ऊँचाई (CD) 0.9 मीटर है (क्योंकि 90 सेंटीमीटर के बराबर 0.9 मीटर होता है)। लड़की लैंप पोस्ट से 1.2 मीटर/सेकंड की गति से दूर चली जा रही है। चलिए मान लेते हैं:

    BD वह दूरी है जो लड़की ने लैंप पोस्ट के सीधे नीचे के बिंदु से चार सेकंड के बाद चली है। CE चार सेकंड के बाद लड़की की परछाई की लंबाई है। चूंकि लड़की लैंप पोस्ट से 1.2 मीटर/सेकंड की गति से दूर चल रही है, चार सेकंड के बाद, वह चली होगी: =1.2×4 मीटरBD=1.2×4 मीटर

    त्रिभुज ABE और CDE समान हैं क्योंकि उनके समान कोण हैं (कोण ABE कोण CDE के बराबर है और दोनों में एक समकोण है)। इसलिए, इन त्रिभुजों की भुजाएँ आनुपातिक हैं। भुजाओं का अनुपात इस प्रकार दिया जा सकता है: =BEAB​=CECD​ 3.6+=0.9BD+CE3.6​=CE0.9​

    उपरोक्त अनुपात से, हम CE की गणना कर सकते हैं, जो लड़की की परछाई की लंबाई है।

    आइए इसे कदम दर कदम गणना करते हैं। सबसे पहले, हम BD की गणना करते हैं: =1.2×4BD=1.2×4

    फिर, हम अनुपात का उपयोग करके CE की गणना करेंगे। हम अभी यह गणना करेंगे।

    चार सेकंड के बाद, लड़की की परछाई की लंबाई 1.6 मीटर होगी।

20. 20.दिए गए चित्र में, CM और RN क्रमशः △ ABC और △ PQR की माध्यिकाएँ हैं। यदि △ ABC ~ △ PQR है, तो साबित करें कि: (i) △AMC ~ △PNR, (ii) CM/RN = AB/PQ, (iii) △ CMB ~ △ RNQ

    यह दिया गया है कि △△ABC △△PQR के समान है, और CM और RN क्रमशः माध्यिकाएं हैं, हम तीनों कथनों को इस प्रकार साबित कर सकते हैं:

    (i) △∼△△AMC∼△PNR साबित करने के लिए:

    • चूंकि CM और RN माध्यिकाएं हैं, M AB का मध्य बिंदु है, और N PQ का मध्य बिंदु है।
    • समान त्रिभुजों में, संबंधित माध्यिकाएं संबंधित भुजाओं के आनुपातिक होती हैं। चूँकि △∼△△ABC∼△PQR है, हमारे पास =PNAM​=PQAB​ और =PRAC​=PQAB​ होगा।
    • इसलिए, △△AMC की दो भुजाएँ △△PNR की दो संबंधित भुजाओं के आनुपातिक हैं, और सम्मिलित कोण ∠∠A ∠∠P के बराबर है (क्योंकि △∼△△ABC∼△PQR है)।
    • SAS (Side-Angle-Side) समरूपता मापदंड से, △∼△△AMC∼△PNR है।

    (ii) =RNCM​=PQAB​ साबित करने के लिए:

    • चूंकि △∼△△ABC∼△PQR है, संबंधित भुजाएँ आनुपातिक हैं, इसलिए ==PQAB​=QRBC​=PRAC​ होगा।
    • समान त्रिभुजों की माध्यिकाएं त्रिभुजों को छोटे त्रिभुजों में बाँटती हैं जो मूल त्रिभुज और एक दूसरे के समान होते हैं।
    • इसलिए, माध्यिकाओं की लंबाई भी भुजाओं के समान आनुपातिक होगी, जिससे हमें =RNCM​=PQAB​ मिलेगा।

    (iii) △∼△△CMB∼△RNQ साबित करने के लिए:

    • चूंकि △∼△△ABC∼△PQR है, हमारे पास ∠=∠∠B=∠Q होगा (क्योंकि समान त्रिभुजों में संबंधित कोण समान होते हैं)।
    • 
      M और N क्रमशः AB और PQ के मध्य बिंदु हैं, इसलिए =12BM=21​AB और =12NQ=21​PQ होगा।
    • △∼△
      △ABC∼△PQR से, हमें यह भी मिलता है कि =NQBM​=PQAB​ होगा।
    • इस प्रकार, दो कोण समान हैं (∠∠B और ∠∠Q), और इन कोणों को शामिल करने वाली भुजाएँ आनुपातिक हैं।
    • AA (Angle-Angle) मापदंड से, △∼△△CMB∼△RNQ है।

    यह समान त्रिभुजों की संबंधित कोणों और भुजाओं और माध्यिकाओं के आनुपातिकताओं के गुणों पर आधारित तीनों भागों के प्रमाण को पूरा करता है।

21. 21.चित्र में △ ODC ~ △ OBA, ∠ BOC = 125° और ∠ CDO = 70°। ∠ DOC, ∠ DCO और ∠ OAB ज्ञात कीजिए।

    दिए गए आकृति के अनुसार, जहाँ △∼△△ODC∼△OBA है और कोण ∠BOC = 125° तथा ∠CDO = 70° है, हम अन्य कोणों को निम्नलिखित तरीके से निकाल सकते हैं:

    1. चूँकि △△ODC और △△OBA समरूप हैं, इसलिए संबंधित कोण समान होंगे। इस प्रकार, ∠ODC = ∠OBA होगा।

    2. ∠DOC निकालने के लिए, हम यह तथ्य उपयोग कर सकते हैं कि एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, △△ODC के लिए: ∠ODC+∠OCD+∠CDO=180°
       ∠ODC+∠OCD+∠CDO=180°

    चूंकि हमें पता है कि ∠CDO = 70° है, हम ∠ODC और ∠OCD को निम्नलिखित तरीके से व्यक्त कर सकते हैं: ∠ODC+∠OCD=180°−70°
    ∠ODC+∠OCD=180°−70° ∠ODC+∠OCD=110°
    ∠ODC+∠OCD=110°

    अब, चूँकि △△ODC △△OBA के समान है, कोण ∠ODC, जो कि ∠OBA के समान है, ∠DCO के बराबर होना चाहिए (क्योंकि ये समान त्रिभुजों में संबंधित कोण हैं)। इसलिए, ∠ODC (या ∠OBA) और ∠OCD (या ∠DCO) समान हैं।

    1. △△ODC में, चूँकि ∠ODC और ∠OCD समान हैं और उनका योग 110° है, हम प्रत्येक कोण को 2 से विभाजित करके निकाल सकते हैं: ∠ODC=∠OCD=110°2=55°
       ∠ODC=∠OCD=2110°​=55°

    2. ∠OAB निकालने के लिए, हम यह तथ्य उपयोग करते हैं कि ∠OAB = ∠ODC है क्योंकि त्रिभुज समरूप हैं: ∠OAB=∠ODC=55°
       ∠OAB=∠ODC=55°

    कोणों का सारांश इस प्रकार है:

    • ∠DOC 55° है।
    • ∠DCO भी 55° है (चूँकि ∠ODC = ∠DCO है)।
    • ∠OAB 55° है (चूँकि ∠ODC = ∠OBA है)।

22. 22.समलंब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि OA/OC= OB/OD है।

    
    

    ट्रेपेज़ियम ABCD में जहाँ ∥AB∥DC है और विकर्ण AC और BD बिंदु O पर एक दूसरे को काटते हैं, हम यह दिखा सकते हैं कि =OCOA​=ODOB​ दो त्रिभुजों के समरूपता मापदंड का उपयोग करके।

    इसे इस प्रकार करें:

    1. त्रिभुज OAB और OCD पर विचार करें: चूंकि ∥AB∥DC है, ∠∠OAB ∠∠OCD के बराबर है (जब एक काटने वाली समांतर रेखाओं को काटती है तो वैकल्पिक आंतरिक कोण समान होते हैं)। इसी तरह, ∠∠OBA ∠∠ODC के बराबर है।

    2. त्रिभुज OAB और OCD समरूप हैं: AA (Angle-Angle) मापदंड से, दो जोड़े कोण समान हैं, इसलिए त्रिभुज समरूप हैं। इसे △∼△△OAB∼△OCD के रूप में लिखा जा सकता है।

    3. समरूप त्रिभुजों में संबंधित भुजाएँ आनुपातिक होती हैं: समरूप त्रिभुजों में, संबंधित भुजाएँ आनुपात में होती हैं। इसका मतलब है कि =OCOA​=ODOB​ होता है।

    इस प्रकार, समरूप त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करते हुए, हमने दिखाया है कि ट्रेपेज़ियम ABCD में जहाँ विकर्ण बिंदु O पर एक दूसरे को काटते हैं, वहाँ =OCOA​=ODOB​ होता है।

23. 23.6 मीटर लंबे एक ऊर्ध्वाधर खंभे की छाया जमीन पर 4 मीटर लंबी पड़ती है और उसी समय एक टावर की छाया 28 मीटर लंबी पड़ती है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

    टावर की ऊंचाई निकालने के लिए, हम समान त्रिभुजों की अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं। जब सूर्य की किरणों को समांतर माना जाता है, तो खंभे और उसकी परछाई और टावर और उसकी परछाई से बने त्रिभुज समरूप होते हैं क्योंकि संबंधित कोण समान होते हैं।
    

    यहाँ कदम दर कदम समाधान दिया गया है:

    1. मान लें:

       • खंभे की ऊंचाई ℎ=6hp​=6 मीटर है,
       • खंभे की परछाई की लंबाई =4sp​=4 मीटर है,
       • टावर की ऊंचाई ℎht​ है (जिसे हम निकालना चाहते हैं),
       • टावर की परछाई की लंबाई =28st​=28 मीटर है।

    2. चूँकि त्रिभुज समरूप हैं, उनकी ऊंचाई और परछाई की लंबाई के अनुपात समान होंगे। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: ℎ=ℎsp​hp​​=st​ht​​

    3. ज्ञात मानों को समीकरण में बदलकर, हम पाते हैं: 64=ℎ2846​=28ht​​

    4. अब, हम ℎht​ को क्रॉस-गुणांकन करके निकाल सकते हैं: 6×28=4×ℎ
       6×28=4×ht​ ℎ=6×284
       ht​=46×28​

    चलिए ℎht​ की गणना करते हैं।

    टावर की ऊंचाई 42 मीटर है।

24. 24.चित्र में, AB = AC वाले समद्विबाहु त्रिभुज ABC से बनी भुजा CB पर E एक बिंदु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है, तो सिद्ध कीजिए कि ∆ ABD ~ ∆ ECF

    दी गई शर्तों के अनुसार △∼△△ABD∼△ECF साबित करने के लिए:

    1. △△ABC समद्विबाहु है जिसमें =AB=AC है, जिसका मतलब है कि ∠=∠∠ABC=∠ACB होंगे।

    2. AD BC के लंबवत है, इसलिए ∠=90∘∠ADB=90∘ है।

    3. EF AC के लंबवत है, इसलिए ∠=90∘∠EFC=90∘ है।

    4. E BC की विस्तारित रेखा पर एक बिंदु है, C के आगे।

    यहाँ प्रमाण है:

    (i) चूँकि AD BC के लंबवत है, ∠=90∘∠ADB=90∘ है। इसी प्रकार, चूँकि EF AC के लंबवत है, ∠=90∘∠EFC=90∘ है।

    (ii) क्योंकि △△ABC समद्विबाहु है और =AB=AC है, आधार के कोण ∠∠ABC और ∠∠ACB समान हैं। इसलिए, ∠=∠∠ABD=∠ACB है।

    (iii) चूँकि E BC की विस्तारित रेखा पर है, ∠∠ECF △△ABC के C पर बाह्य कोण है, और बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, ∠=∠+∠∠ECF=∠ABC+∠ACB होगा। लेकिन चूँकि △△ABC समद्विबाहु है और =AB=AC है, ∠=∠∠ABC=∠ACB होगा। इसलिए, ∠∠ECF दो गुना ∠∠ABC (या ∠∠ACB) के बराबर होगा।

    (iv) हमें अब पता चल गया है कि ∠=∠=90∘∠ADB=∠EFC=90∘ और ∠=∠∠ABD=∠ECF हैं। AA (Angle-Angle) समरूपता मापदंड के अनुसार, दो जोड़ी कोण समान हैं, और इस तरह दो त्रिभुज समरूप हैं।

    इसलिए, △△ABD △△ECF के समरूप है AA समरूपता मापदंड से, यानि उनके संबंधित कोण समान हैं और इन कोणों के चारों ओर की भुजाएँ आनुपातिक हैं।

25. 25.त्रिभुज ABC की भुजा BC पर D एक बिंदु है, जिससे ∠ADC = ∠BAC है। दिखाएँ कि CA² = CB.CD

    • त्रिभुज ABC में बिंदु D BC के साइड पर है।
    • ∠=∠∠ADC=∠BAC

    हमें दिखाना है:

    • 2=⋅CA2=CB⋅CD।

    चरण-दर-चरण समाधान:

    1. कोण विश्लेषण: चूंकि ∠=∠∠ADC=∠BAC, इसलिए कोण-कोण (AA) मानदंड से, त्रिकोण ACD और ABC समान हैं।

    2. समान त्रिकोणों में पक्षों का अनुपात: समान त्रिकोणों में, संबंधित पक्षों का अनुपात समान होता है। इसलिए, त्रिकोणों ACD और ABC के लिए:

       =CDCA​=CACB​

    3. समीकरण का पुनर्व्यवस्थित करना: समीकरण के दोनों पक्षों को ⋅CA⋅CD से गुणा करने पर:

       2=⋅CA2=CB⋅CD

    यह दिखाता है कि 2=⋅CA2=CB⋅CD जैसा कि आवश्यक था।

    वास्तविक जीवन अनुप्रयोग और करियर प्रासंगिकता: इन ज्यामितीय सिद्धांतों को समझना वास्तुकला, इंजीनियरिंग, और विभिन्न डिजाइन क्षेत्रों में करियर के लिए मौलिक है। उदाहरण के लिए, वास्तुकला में, समान अवधारणाएँ संरचनाओं को विशेष अनुपात और कोणों के साथ डिजाइन करने में मदद करती हैं ताकि स्थिरता और सौंदर्य अपील सुनिश्चित हो सके।

26. 26.शीघ्र पुनरीक्षण

    1. त्रिभुज का परिचय:

    • त्रिभुज तीन भुजाओं और तीन कोणों वाली एक आकृति होती है।
    • इसके कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।
    • प्रकार में शामिल हैं: समभुज (सभी भुजाएं समान), समद्विभुज (दो भुजाएं समान), और विषमभुज (सभी भुजाएं अलग)।

    2. त्रिभुजों की समानता:

    • यदि दो त्रिभुजों के संबंधित कोण समान होते हैं और भुजाएं अनुपात में होती हैं, तो वे समान कहलाते हैं।
    • समान त्रिभुजों के लिए, किसी भी दो संबंधित भुजाओं का अनुपात समान होता है।

    3. प्रमेय 1 (मूल प्रमाणित प्रमेय या थेल्स प्रमेय):

    • यदि एक रेखा त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर खींची जाती है, तो यह अन्य दो भुजाओं को समानुपात में बांटती है।
    • व्युत्पत्ति: मान लें त्रिभुज ABC में एक रेखा DE, BC के समानांतर है और AB और AC को काटती है। चूंकि DE, BC के समानांतर है, इसलिए कोण ADE, कोण ACB के बराबर है (वैकल्पिक कोण), और कोण AED, कोण ABC के बराबर है। इस प्रकार, त्रिभुज ADE और ABC समान होते हैं, जिससे AD/DB = AE/EC होता है।

    4. प्रमेय 2 (मूल प्रमाणित प्रमेय का विपरीत):

    • यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो यह तीसरी भुजा के समानांतर होती है।
    • व्युत्पत्ति: त्रिभुज ABC में एक रेखा DE लें जैसे कि AD/DB = AE/EC। चूंकि त्रिभुज ADE और ABC की भुजाएं समान अनुपात में हैं, वे समान होते हैं। इसलिए, कोण ADE = कोण ACB और कोण AED = कोण ABC होते हैं। इस प्रकार, DE, BC के समानांतर है।

    महत्वपूर्ण सूत्र और कार्यान्वयन:

    • समान त्रिभुजों के लिए: भुजाओं के अनुपात समान होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि ΔABC ~ ΔDEF, तो AB/DE = AC/DF = BC/EF।