निर्देशांक ज्यामिति — कक्षा 10 गणित नोट्स
निर्देशांक ज्यामिति · कक्षा 10 गणित · 13 टॉपिक.
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निर्देशांक ज्यामिति में शामिल टॉपिक
1.निर्देशांक ज्यामिति का परिचय
निर्देशांक ज्यामिति, जिसे विश्लेषणात्मक ज्यामिति भी कहा जाता है, यह एक ज्यामिति की शाखा है जहां तच्छिन बिंदुओं की स्थिति को आदेशित संख्या के जोड़े (निर्देशांक) का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। मूल विचार यह है कि हर बिंदु को उसकी दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दो काटने वाली रेखाओं से होती है, जिन्हें सामान्यत: अक्ष कहा जाता है।
यहां निर्देशांक ज्यामिति के मूल सिद्धांतों का सरल विवरण है:
कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली:
- अक्ष: दो-आयामी स्थान में, हमारे पास दो लोगोंदर रेखाएँ होती हैं: क्षैतिज रेखा को एक्स-अक्ष कहा जाता है, और लंबवत रेखा को वाई-अक्ष कहा जाता है।
- मूल: इन अक्षों के कटने के बिंदु को मूल कहा जाता है, जिसे (0,0) के रूप में दर्शाया जाता है।
- निर्देशांक: इस तच्छिन में किसी भी बिंदु को एक आदेशित संख्या के जोड़े (x, y) के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, जहां 'x' वाई-अक्ष से दूरी है, और 'y' एक्स-अक्ष से दूरी है।
चतुर्थांश:
- तच्छिन को एक्स और वाई अक्षों से चार चतुर्थांशों में विभाजित किया जाता है।
- चतुर्थांश I: दोनों x और y सकारात्मक हैं।
- चतुर्थांश II: x नकारात्मक है, y सकारात्मक है।
- चतुर्थांश III: दोनों x और y नकारात्मक हैं।
- चतुर्थांश IV: x सकारात्मक है, y नकारात्मक है।
दो बिंदुओं के बीच की दूरी:
- दिए गए दो बिंदुओं, P1 (x1, y1) और P2 (x2, y2), के बीच की दूरी 'd' को निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ढूंढा जा सकता है:
- d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
एक रेखा के द्वितीयक का केंद्रबिंदु:
- दो बिंदुओं, P1 (x1, y1) और P2 (x2, y2), को जोड़ने वाले एक सेगमेंट का केंद्रबिंदु M को निम्नलिखित रूप में दिया जाता है:
- M = ( (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)
एक रेखा का ढलान:
- दो बिंदुओं, P1 (x1, y1) और P2 (x2, y2), को जोड़ने वाली रेखा का ढलान (m) इसकी ढिढ़वलता और दिशा को दर्शाता है:
- m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
वास्तविक जीवन का उदाहरण: कल्पना कीजिए कि आप एक रेस्तरां जाने के लिए एक राइड-शेयरिंग ऐप का उपयोग कर रहे हैं। ऐप आपकी वर्तमान स्थिति और रेस्तरां के निर्देशांकों को लेकर निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करके सबसे अच्छा मार्ग निकालता है ताकि आपको वहां तक मार्गदर्शन किया जा सके। यह सोचें कि आप एक शहर में हैं जहां सड़कें ग्रिड पैटर्न में व्यवस्थित हैं। आपका घर शहर केंद्र (मूल) से 2 ब्लॉक पूर्व और 3 ब्लॉक उत्तर में स्थित है (जिसे (2,3) कहा जाता है)। अगर आपका स्कूल (5,7) पर है, तो निर्देशांक ज्यामिति आपको स्कूल जाने के लिए सबसे छोटा मार्ग और आपके घर से स्कूल तक की निश्चित दूरी ढूंढने में मदद कर सकती है।
संख्यात्मक उदाहरण: चलो, हम आपके घर (2,3) और स्कूल (5,7) के बीच की दूरी निकालते हैं। दूरी का सूत्र उपयोग करते हैं: d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)
d = √(3² + 4²)
d = √(9 + 16)
d = √25
d = 5
तो, स्कूल आपके घर से इस ग्रिड पर 5 इकाइयों की दूरी पर है।
वास्तविक जीवन अनुप्रयोग:
नेविगेशन और मैपिंग: GPS प्रौद्योगिकी निर्देशांक ज्यामिति पर निर्भर करती है ताकि स्थानों का ठीक से पता लगाया जा सके। हम इसे प्रतिदिन स्मार्टफोन पर मैप एप्लिकेशन का उपयोग करके गंतव्यों को ढूंढने में इस्तेमाल करते हैं।
वास्तुकला: वास्तुकार भवनों को डिजाइन करने के लिए निर्देशांकों के साथ ब्लूप्रिंट बनाते हैं जो विभिन्न स्थानों और आयामों को निर्दिष्ट करते हैं।
कंप्यूटर ग्राफिक्स: चाहे यह फिल्मों, वीडियो गेम्स, या सिमुलेशनों को बनाने के लिए हो, निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग स्क्रीन पर आकृतियों और गतियों को प्रस्तुत करने में किया जाता है।
खगोल शास्त्र: खगोलविद तारों और ग्रहों को आकाश में उनके निर्देशांकों से पहचानते हैं, जो ब्रह्मांड की खोज और अध्ययन में मदद करता है।
रोबोटिक्स: रोबोट्स को उनकी स्थिति को समझने और निर्देशांक प्रणाली का उपयोग करके नेविगेट करने के लिए प्रोग्राम किया जाता है।
करियर क्षेत्र:
सर्वेक्षण: सर्वेयर भूमि को मापने और मानचित्र बनाने के लिए निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करते हैं।
सिविल इंजीनियरिंग: सिविल इंजीनियर इसका उपयोग सड़कों, पुलों, और बांधों सहित अवसंरचना विकास के लिए करते हैं।
एयरोस्पेस: यह क्षेत्र विमान और अंतरिक्ष यान के उड़ान पथों को चित्रित करने के लिए निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करता है।
शहरी नियोजन: नियोजक इसका उपयोग विकासों, परिवहन प्रणालियों, और सार्वजनिक स्थानों के लेआउट को डिजाइन करने के लिए करते हैं।
2.क्या बिंदु (3, 2), (-2, -3) और (2, 3) एक त्रिभुज बनाते हैं? यदि हां, तो निर्मित त्रिभुज का प्रकार नाम बताएं
यह जांचने के लिए कि बिंदु (3, 2), (–2, –3) और (2, 3) एक त्रिभुज बनाते हैं या नहीं, हम प्रत्येक जोड़ी के बिंदुओं के बीच की दूरियों की गणना कर सकते हैं। यदि सभी तीन दूरियाँ गैर-शून्य हैं और किसी भी दो दूरियों का योग तीसरी दूरी से अधिक है, तो बिंदु एक त्रिभुज बनाते हैं।
बिंदुओं को A(3, 2), B(–2, –3) और C(2, 3) नाम दें और दूरियां AB, BC और AC की गणना करें:
दो बिंदुओं (1,1)(x1,y1) और (2,2)(x2,y2) के बीच की दूरी निम्नलिखित है: दूरी=(2−1)2+(2−1)2दूरी=(x2−x1)2+(y2−y1)2
दूरी AB: =(−2−3)2+(−3−2)2AB=(−2−3)2+(−3−2)2 =52AB=52
दूरी BC: =(2−(−2))2+(3−(−3))2BC=(2−(−2))2+(3−(−3))2 =213BC=213
दूरी AC: =(2−3)2+(3−2)2AC=(2−3)2+(3−2)2 =2AC=2
चूंकि सभी तीन दूरियां गैर-शून्य हैं, हम पुष्टि कर सकते हैं कि बिंदु वास्तव में एक त्रिभुज बनाते हैं।
त्रिभुज के प्रकार को जानने के लिए, हमें यह जांचना होगा कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है, इसके लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके देखें:
2+2=?2AB2+AC2+?=BC2 50+2=?5250+2=?52
चूंकि 50+2=5250+2=52, पाइथागोरस प्रमेय A, B और C बिंदुओं के बीच दूरियों के लिए सच होता है। इसलिए, बिंदु एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जिसमें AB सबसे लंबी भुजा है।
3.x और y के बीच ऐसा संबंध खोजें कि बिंदु (x, y) बिंदु (7, 1) और (3, 5) से समान दूरी पर हो।
हमें x और y के बीच ऐसा संबंध खोजना है जिससे कि बिंदु (,)(x,y) बिंदुओं (7,1)(7,1) और (3,5)(3,5) से समान दूरी पर हो। दो बिंदुओं (1,1)(x1,y1) और (2,2)(x2,y2) के बीच की दूरी का सूत्र है:
दूरी=(2−1)2+(2−1)2दूरी=(x2−x1)2+(y2−y1)2
अब हम बिंदु (,)(x,y) से (7,1)(7,1) और (3,5)(3,5) तक की दूरी को समान मानकर इसका हल निकालेंगे।
बिंदु (7,1)(7,1) के लिए:
1=(−7)2+(−1)2d1=(x−7)2+(y−1)2
बिंदु (3,5)(3,5) के लिए:
2=(−3)2+(−5)2d2=(x−3)2+(y−5)2
चूंकि 1d1 और 2d2 समान हैं, हमारे पास है:
(−7)2+(−1)2=(−3)2+(−5)2(x−7)2+(y−1)2=(x−3)2+(y−5)2
दोनों पक्षों को वर्गमूल से मुक्त करने के लिए हम वर्ग करते हैं:
(−7)2+(−1)2=(−3)2+(−5)2(x−7)2+(y−1)2=(x−3)2+(y−5)2
दोनों पक्षों को विस्तारित और सरलीकृत करते हैं:
2−14+49+2−2+1=2−6+9+2−10+25x2−14x+49+y2−2y+1=x2−6x+9+y2−10y+25
−14+50−2=−6+34−10−14x+50−2y=−6x+34−10y
समान शब्दों को एक तरफ लाते हैं:
−14+6+2−10=34−50−14x+6x+2y−10y=34−50
−8+8=−16−8x+8y=−16
-8 से विभाजित करते हैं:
−=2x−y=2
इसलिए x और y के बीच ऐसा संबंध जिससे बिंदु (,)(x,y) बिंदु (7,1)(7,1) और (3,5)(3,5) से समान दूरी पर हो वह है −=2x−y=2.
4.y-अक्ष पर एक बिंदु खोजें जो बिंदु A(6, 5) और से समान दूरी पर है बी(-4,3).
यदि हमें y-अक्ष पर ऐसा बिंदु ढूंढना हो जो A(6, 5) और B(-4, 3) दोनों से बराबर दूरी पर हो, तो हमें याद रखना चाहिए कि y-अक्ष पर किसी भी बिंदु का x-स्थानांक 0 होता है। इसलिए, हम जिस बिंदु को खोज रहे हैं वह (0, y) के रूप में होगा।
P(0, y) से A(6, 5) तक की दूरी निम्न सूत्र से निकाली जा सकती है:
=(6−0)2+(5−)2dPA=(6−0)2+(5−y)2 =36+(5−)2dPA=36+(5−y)2
और P(0, y) से B(-4, 3) तक की दूरी होगी:
=(−4−0)2+(3−)2dPB=(−4−0)2+(3−y)2 =16+(3−)2dPB=16+(3−y)2
चूँकि P A और B दोनों से समान दूरी पर होना चाहिए, हमारे पास होगा:
36+(5−)2=16+(3−)236+(5−y)2=16+(3−y)2
वर्गमूल हटाने के लिए हम दोनों तरफ के वर्ग करेंगे:
36+(5−)2=16+(3−)236+(5−y)2=16+(3−y)2
इसको खोलेंगे तो आएगा:
36+25−10+2=16+9−6+236+25−10y+y2=16+9−6y+y2
यहाँ 2y2 दोनों तरफ से कट जाएगा और सरलीकरण करने पर:
61−10=25−661−10y=25−6y
यहाँ से हम यह निकाल सकते हैं:
4=61−254y=61−25 4=364y=36
अब 4 से विभाजित करेंगे:
=9y=9
इसलिए, y-अक्ष पर वह बिंदु जो A(6, 5) और B(-4, 3) से बराबर दूरी पर है, वह (0, 9) होगा।
5.निम्नलिखित बिंदुओं के युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: (i) (2, 3), (4, 1), (ii) (– 5, 7), (– 1, 3), (iii) (a, b), (– a, – b)
एक समतल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकालने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय से निकाले गए दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं। दो बिंदुओं (1,1)(x1,y1) और (2,2)(x2,y2) के बीच की दूरी (d) निम्नलिखित है:
=(2−1)2+(2−1)2d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
आइये प्रत्येक जोड़ी के लिए दूरी निकालते हैं:
(i) बिंदुओं (2,3)(2,3) और (4,1)(4,1) के बीच की दूरी:
1=(4−2)2+(1−3)2d1=(4−2)2+(1−3)2
1=22+(−2)2d1=22+(−2)2
1=8d1=8 1=22d1=22To find the distance between two points in a plane, we use the distance formula derived from the Pythagorean theorem. The distance (d) between two points (1,1)(x1,y1) and (2,2)(x2,y2) is given by:
=(2−1)2+(2−1)2d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Let's calculate the distance for each pair of points:
(i) For the points (2,3)(2,3) and (4,1)(4,1):
1=(4−2)2+(1−3)2d1=(4−2)2+(1−3)2 1=22+(−2)2d1=22+(−2)2 1=4+4d1=4+4 1=8d1=8 1=22d1=22
(ii) For the points (−5,7)(−5,7) and (−1,3)(−1,3):
2=(−1+5)2+(3−7)2d2=(−1+5)2+(3−7)2 2=42+(−4)2d2=42+(−4)2 2=16+16d2=16+16 2=32d2=32 2=42d2=42
(iii) For the points (,)(a,b) and (−,−)(−a,−b):
3=(−−)2+(−−)2d3=(−a−a)2+(−b−b)2 3=(−2)2+(−2)2d3=(−2a)2+(−2b)2 3=42+42d3=4a2+4b2 3=4(2+2)d3=4(a2+b2) 3=22+2d3=2a2+b2
In Hindi:
(i) बिंदुओं (2,3)(2,3) और (4,1)(4,1) के बीच की दूरी:
1=(4−2)2+(1−3)2d1=(4−2)2+(1−3)2 1=22+(−2)2d1=22+(−2)2 1=8d1=8 1=22d1=22
(ii) बिंदुओं (−5,7)(−5,7) और (−1,3)(−1,3) के बीच की दूरी:
2=(−1+5)2+(3−7)2d2=(−1+5)2+(3−7)2 2=42+(−4)2d2=42+(−4)2 2=32d2=32 2=42d2=42
(iii) बिंदुओं (,)(a,b) और (−,−)(−a,−b) के बीच की दूरी:
3=(−−)2+(−−)2d3=(−a−a)2+(−b−b)2 3=42+42d3=4a2+4b2 3=22+2d3=2a2+b2
6.दूरी सूत्र
दूरी सूत्र का उपयोग ग्राफ पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी जानने के लिए किया जाता है। मान लीजिए आपके पास ग्राफ पेपर पर दो बिंदु हैं और आप उनके बीच की सीधी रेखा की दूरी जानना चाहते हैं। यह सूत्र आपको बिना रूलर से नापे उस सटीक दूरी की गणना करने में मदद करता है।
यदि आपके पास दो बिंदु हैं, चलिए उन्हें बिंदु A और बिंदु B कहते हैं, और उनके निर्देशांक क्रमशः (x₁, y₁) और (x₂, y₂) हैं, तो दूरी सूत्र इस प्रकार होता है:
दूरी=(2−1)2+(2−1)2 दूरी=(x2−x1)2+(y2−y1)2
यह सूत्र त्रिकोण में सीखे गए पाइथागोरस प्रमेय का एक रूप है।
संख्यात्मक उदाहरण: मान लीजिए बिंदु A (3, 4) पर है और बिंदु B (7, 1) पर है। उनके बीच की दूरी इस प्रकार गणना की जाएगी: दूरी=(7−3)2+(1−4)2दूरी=(7−3)2+(1−4)2 दूरी=(4)2+(−3)2दूरी=(4)2+(−3)2 दूरी=16+9दूरी=16+9 दूरी=25दूरी=25 दूरी=5दूरी=5 इसलिए, बिंदु A और बिंदु B के बीच की दूरी 5 इकाई है। वास्तविक जीवन के उदाहरण:
- नेविगेशन में, जब नाविक या पायलट दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी पथ की गणना करते हैं।
- वास्तुकार अपनी योजनाओं में दूरियों का पता लगाने के लिए इसका उपयोग करते हैं, बिना हर बार भौतिक रूप से मापने की जरूरत के।
- गेम डेवलपर्स यह गणना करने के लिए इसका उपयोग करते हैं कि पात्र कैसे चलते हैं या वस्तुएं अपनी दूरियों के आधार पर कैसे इंटरेक्ट करती हैं।
- सर्वेक्षक संपत्ति की सीमाओं का निर्धारण करने के लिए इस सूत्र पर निर्भर करते हैं।
7.निर्धारित करें कि क्या बिंदु (1, 5), (2, 3) और (-2, - 11) संरेख हैं।
तीन बिंदुओं के संयोजी होने का निर्धारण करने के लिए, हम प्रत्येक जोड़ी के बिंदुओं के बीच की ढाल की जांच करते हैं। यदि ढाल समान है, तो बिंदु एक ही रेखा पर हैं और इसलिए संयोजी हैं।
दो बिंदुओं (1,1)(x1,y1) और (2,2)(x2,y2) के बीच की ढाल इस सूत्र से दी जाती है:
ढाल=2−12−1ढाल=x2−x1y2−y1
आइए हम बिंदुओं की जोड़ी के बीच ढाल की गणना करें:
बिंदु (1, 5) और (2, 3) के लिए:
ढाल1−2=3−52−1=−21=−2ढाल1−2=2−13−5=1−2=−2
बिंदु (2, 3) और (–2, –11) के लिए:
ढाल2−3=−11−3−2−2=−14−4=3.5ढाल2−3=−2−2−11−3=−4−14=3.5
चूँकि ढाल1−2ढाल1−2 और ढाल2−3ढाल2−3 समान नहीं हैं, बिंदु (1, 5), (2, 3), और (–2, –11) संयोजी नहीं हैं।
8.जांचें कि क्या (5, - 2), (6, 4) और (7, - 2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
तीन बिंदुओं से एक समद्विबाहु त्रिकोण बनाने की जांच करने के लिए, हमें देखना होगा कि त्रिकोण की कोई दो भुजाएँ समान लंबाई की हैं या नहीं।
बिंदुओं को नाम दें (5,−2)A(5,−2), (6,4)B(6,4), और (7,−2)C(7,−2).
हम प्रत्येक जोड़ी के बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना दूरी सूत्र का उपयोग करके करेंगे:
=(2−1)2+(2−1)2d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
AB के लिए:
=(6−5)2+(4−(−2))2=12+62=1+36=37dAB=(6−5)2+(4−(−2))2=12+62=1+36=37
BC के लिए:
=(7−6)2+(−2−4)2=12+(−6)2=1+36=37dBC=(7−6)2+(−2−4)2=12+(−6)2=1+36=37
AC के लिए:
=(7−5)2+(−2−(−2))2=22+02=4+0=4=2dAC=(7−5)2+(−2−(−2))2=22+02=4+0=4=2
चूंकि =AB=BC और दोनों AC से अलग हैं, इसलिए इन बिंदुओं द्वारा बनाया गया त्रिकोण सचमुच एक समद्विबाहु त्रिकोण है जिसमें AB और BC समान भुजाएँ हैं।
9.y-अक्ष पर एक बिंदु खोजें जो बिंदु A (6, 5) और से समान दूरी पर है B (-4,3).
यदि हमें y-अक्ष पर एक ऐसा बिंदु खोजना है जो A(6, 5) और B(–4, 3) से समान दूरी पर हो, तो हम वास्तव में (0, y) के निर्देशांक वाले बिंदु की खोज कर रहे हैं क्योंकि y-अक्ष पर कोई भी बिंदु का x-निर्देशांक 0 होगा।
(0, y) से A(6, 5) तक की दूरी और (0, y) से B(–4, 3) तक की दूरी समान होनी चाहिए। हम इसके लिए दूरी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: =(2−1)2+(2−1)2d=(x2−x1)2+(y2−y1)2।
बिंदु A(6, 5) के लिए:
=(6−0)2+(5−)2dA=(6−0)2+(5−y)2 =36+(5−)2dA=36+(5−y)2
बिंदु B(–4, 3) के लिए:
=(−4−0)2+(3−)2dB=(−4−0)2+(3−y)2 =16+(3−)2dB=16+(3−y)2
चूंकि =dA=dB है, हम समीकरणों को बराबर सेट कर सकते हैं और y के लिए हल कर सकते हैं:
36+(5−)2=16+(3−)236+(5−y)2=16+(3−y)2
वर्गमूल हटाने के लिए दोनों ओर वर्ग करने पर हमें मिलता है:
36+(5−)2=16+(3−)236+(5−y)2=16+(3−y)2
वर्गीकृत पदों को विस्तारित करना:
36+25−10+2=16+9−6+236+25−10y+y2=16+9−6y+y2
अब, हम सरलीकृत करते हैं और y के लिए हल करते हैं:
61−10=25−661−10y=25−6y 36=436=4y =9y=9
तो, y-अक्ष पर A और B बिंदुओं से समान दूरी पर बिंदु है (0, 9)।
10.x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (-2, 9) से समान दूरी पर है।
हमें एक्स-एक्सिस पर एक बिंदु खोजना है जो (2, -5) और (-2, 9) से समान दूरी पर हो। एक्स-एक्सिस पर कोई भी बिंदु होगा जिसका y-निर्देशांक 0 होगा। इस बिंदु को हम P(x, 0) मानते हैं।
दो बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र है:
दूरी=(2−1)2+(2−1)2दूरी=(x2−x1)2+(y2−y1)2
बिंदु P(x, 0) को (2, -5) और (-2, 9) से समान दूरी पर होना चाहिए, इसलिए P और इन बिंदुओं के बीच की दूरियाँ समान होंगी।
हम इस समीकरण को दूरी के सूत्र का उपयोग करके सेट करते हैं:
बिंदु (2, -5) के लिए: (−2)2+(0−(−5))2(x−2)2+(0−(−5))2
बिंदु (-2, 9) के लिए: (+2)2+(0−9)2(x+2)2+(0−9)2
अब, इन दो अभिव्यक्तियों को बराबर सेट करते हैं क्योंकि दूरियाँ समान हैं:
(−2)2+52=(+2)2+92(x−2)2+52=(x+2)2+92
वर्गमूल हटाने के लिए दोनों ओर को वर्ग करते हैं:
(−2)2+25=(+2)2+81(x−2)2+25=(x+2)2+81
इस समीकरण को x के लिए हल करते हैं:
2−4+4+25=2+4+4+81x2−4x+4+25=x2+4x+4+81
समान शब्दों को मिलाते हैं:
2−4+29=2+4+85x2−4x+29=x2+4x+85
दोनों ओर से 2x2 को घटाते हैं:
−4+29=4+85−4x+29=4x+85
दोनों ओर 4x जोड़ते हैं:
29=8+8529=8x+85
दोनों ओर से 85 घटाते हैं:
−56=8−56=8x
8 से विभाजित करते हैं:
=−7x=−7
इसलिए, एक्स-एक्सिस पर (2, -5) और (-2, 9) से समान दूरी पर बिंदु है (-7, 0)।
11.यदि Q(0, 1) P(5, -3) और R(x, 6) से समान दूरी पर है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। यह भी खोजें दूरियाँ QR और PR.
हमें x का मान ढूँढना है ताकि बिंदु (0,1)Q(0,1) बिंदु (5,−3)P(5,−3) और (,6)R(x,6) से समान दूरी पर हो। हम दूरी का सूत्र उपयोग करेंगे जैसे पहले किया था।
दो बिंदुओं (1,1)(x1,y1) और (2,2)(x2,y2) के बीच की दूरी होती है:
दूरी=(2−1)2+(2−1)2दूरी=(x2−x1)2+(y2−y1)2
चूँकि Q बिंदु P और R से समान दूरी पर है, हम QP और QR दूरियों को बराबर सेट करेंगे।
दूरी QP है:
=(5−0)2+(−3−1)2QP=(5−0)2+(−3−1)2 =52+(−4)2QP=52+(−4)2 =25+16QP=25+16 =41QP=41
दूरी QR है:
=(−0)2+(6−1)2QR=(x−0)2+(6−1)2 =2+52QR=x2+52 =2+25QR=x2+25
अब, हम =QP=QR सेट करते हैं:
41=2+2541=x2+25
वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों ओर को वर्ग करते हैं:
41=2+2541=x2+25
दोनों ओर से 25 घटाते हैं:
16=216=x2
दोनों ओर का वर्गमूल लेते हैं:
=±4x=±4
इसलिए, =6y=6 रेखा पर दो बिंदु R हैं जो Q से समान दूरी पर हैं: (4,6)R(4,6) और (−4,6)R(−4,6).
अब हम पहले ही QP की गणना कर चुके हैं जो कि 4141 है। दूरियां QR और PR समान होंगी क्योंकि Q बिंदु P और R से समान दूरी पर है।
12.x और y के बीच ऐसा संबंध दिखता है कि बिंदु (x, y) बिंदु से समान दूरी पर हो (3, 6) और (-3, 4)
x और y के बीच एक संबंध ढूँढने के लिए जिससे बिंदु (,)(x,y) बिंदु (3,6)(3,6) और (−3,4)(−3,4) से समान दूरी पर हो, हम दोनों जोड़ों के लिए दूरी का सूत्र उपयोग करेंगे और फिर दोनों अभिव्यक्तियों को बराबर सेट करेंगे।
दूरी=(2−1)2+(2−1)2दूरी=(x2−x1)2+(y2−y1)2
माना 1D1 दूरी है बिंदु (,)(x,y) और (3,6)(3,6) के बीच, और 2D2 दूरी है बिंदु (,)(x,y) और (−3,4)(−3,4) के बीच।
1=(−3)2+(−6)2D1=(x−3)2+(y−6)2 2=(+3)2+(−4)2D2=(x+3)2+(y−4)2
चूँकि दूरियाँ समान हैं:
1=2D1=D2
दोनों ओर को वर्ग करके वर्गमूल को हटाएं:
(−3)2+(−6)2=(+3)2+(−4)2(x−3)2+(y−6)2=(x+3)2+(y−4)2
अब, दोनों ओर को विस्तारित करें:
2−6+9+2−12+36=2+6+9+2−8+16x2−6x+9+y2−12y+36=x2+6x+9+y2−8y+16
जैसे अवयवों को संयोजित करें और सरलीकृत करें:
−6+2−12+45=6+2−8+25−6x+y2−12y+45=6x+y2−8y+25
सभी x संबंधित अवयवों को एक ओर और y संबंधित अवयवों को दूसरी ओर ले जाएँ:
−6−6=−8+12+25−45−6x−6x=−8y+12y+25−45
−12=4−20−12x=4y−20
दोनों ओर को -12 से विभाजित करके x के लिए हल करें:
=−13+53x=−31y+35
तो x और y के बीच संबंध जो सुनिश्चित करता है कि (,)(x,y) बिंदु (3,6)(3,6) और (−3,4)(−3,4) से समान दूरी पर है:
=−13+53x=−31y+35
13.शीघ्र पुनरीक्षण
1. निर्देशांक ज्यामिति का परिचय: निर्देशांक ज्यामिति गणित का वह भाग है जहाँ आप एक ग्रिड का इस्तेमाल करके बिंदुओं, रेखाओं, और आकृतियों की सटीक स्थिति का वर्णन करते हैं। इस ग्रिड में दो रेखाएं होती हैं: क्षैतिज रेखा (x-अक्ष) और ऊर्ध्वाधर रेखा (y-अक्ष)। ग्रिड पर प्रत्येक बिंदु की पहचान एक जोड़ी संख्या से होती है, जिसे निर्देशांक कहते हैं, जैसे (x, y)।
2. दूरी सूत्र: दूरी सूत्र आपको निर्देशांक ग्रिड पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी खोजने में मदद करता है। अगर आपके पास दो बिंदु हैं, बिंदु A जिसके निर्देशांक (x₁, y₁) हैं और बिंदु B जिसके निर्देशांक (x₂, y₂) हैं, तो इन बिंदुओं के बीच की दूरी (d) निम्नलिखित सूत्र से दी जाती है: =(2−1)2+(2−1)2d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
दूरी सूत्र का इस्तेमाल कैसे करें: इस सूत्र को इस्तेमाल करने के लिए:
- पहले बिंदु के x-निर्देशांक से दूसरे बिंदु के x-निर्देशांक को घटाएं और फिर परिणाम को वर्ग करें।
- यही क्रिया y-निर्देशांकों के साथ करें।
- इन दोनों वर्गीकृत संख्याओं को जोड़ें।
- इस योग का वर्गमूल निकालें, और आपको दो बिंदुओं के बीच की दूरी मिल जाएगी।