सांख्यिकी — कक्षा 10 गणित नोट्स

सांख्यिकी में शामिल टॉपिक

1. 1.प्रस्तावना

   सांख्यिकी का सरल विवरण

   सांख्यिकी एक ऐसा उपकरण है जो हमें डेटा एकत्रित करने, विश्लेषण करने, व्याख्या करने और प्रस्तुत करने में मदद करता है। कल्पना कीजिए कि आपके पास बहुत सारे नंबर या जानकारी है (जैसे क्रिकेट मैच में स्कोर या आपकी कक्षा में छात्रों की ऊँचाई), और आप इस सब का मतलब समझना चाहते हैं। सांख्यिकी बिल्कुल यही करता है!

   सांख्यिकी की मूल अवधारणाएँ और सूत्र

   1. माध्य (औसत): यह वही होता है जिसे आमतौर पर औसत कहा जाता है। आप सभी नंबरों को जोड़ते हैं और फिर उनकी संख्या से विभाजित करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास पाँच नंबर हैं: 2, 4, 6, 8, 10, तो माध्य है (2+4+6+8+10)/5 = 6।

   2. मध्यांक: यह संख्याओं की सूची में मध्य मान है। इसे खोजने के लिए, आप संख्याओं को क्रम में व्यवस्थित करते हैं और फिर मध्य वाली को चुनते हैं। यदि संख्याओं की संख्या समान है, तो आप मध्य की दो संख्याओं का औसत लेते हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं 1, 3, 3, 6, 7, 8, 9 में, मध्यांक 6 है।

   3. बहुलक: यह वह संख्या है जो एक सेट में सबसे अधिक बार आती है। उदाहरण के लिए, संख्याओं 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4 में, बहुलक 3 है क्योंकि यह सबसे अधिक बार आती है।

   4. रेंज: यह एक सेट में उच्चतम और निम्नतम संख्याओं के बीच का अंतर है। उदाहरण के लिए, संख्याओं 5, 10, 15, 20, 25 में, रेंज है 25 - 5 = 20।

   इसका वास्तविक जीवन और करियरों में उपयोग

   • दैनिक जीवन में: जब आप परीक्षा में अपने औसत अंकों की गणना करते हैं या जब आप क्रिकेट में बल्लेबाजी औसत जैसे औसत देखते हैं।
   • करियर में: सांख्यिकी का उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है जैसे व्यवसाय (बाज़ार के रुझान को समझने के लिए), चिकित्सा (चिकित्सा अनुसंधान के लिए), अर्थशास्त्र (आर्थिक डेटा का विश्लेषण करने के लिए), और खेल (टीम के प्रदर्शन को बेहतर बनाने के लिए)। बेहतर ढंग से समझने की गतिविधि इस सरल गतिविधि को आज़माएँ: अपने 10 वर्ष की आयु के मित्रों या परिवार के सदस्यों को इकट्ठा करें। अब इन आयुओं का माध्य, माध्यिका, बहुलक और सीमा की गणना करें। यह आँकड़ों को क्रियान्वित होते देखने का एक मज़ेदार तरीका है!
     

2. 2.समूहीकृत डेटा का मतलब

   समूहित डेटा का माध्य क्या है?
   

   जब डेटा को वर्गों या अंतरालों में समूहित किया जाता है, तो हम औसत मूल्य पाने के लिए माध्य की गणना करते हैं। यह बड़ी संख्या में डेटा बिंदुओं से निपटने के लिए विशेष रूप से उपयोगी होता है।

   समूहित डेटा के माध्य का सूत्र

   सूत्र है: माध्य=∑(×)∑माध्य=∑f∑(f×x)​ जहाँ:

   • f = प्रत्येक समूह की आवृत्ति (कितनी बार एक डेटा बिंदु आता है)
   • x = प्रत्येक समूह का मध्य बिंदु (प्रत्येक अंतराल का औसत मूल्य)
   • ∑∑ = योग (सभी मूल्यों को जोड़ना)

   सरल उदाहरण

   मान लीजिए हमारे पास छात्रों की उम्र के अंतराल हैं:

   • 10-14 वर्ष: 5 छात्र
   • 15-19 वर्ष: 8 छात्र
   • 20-24 वर्ष: 3 छात्र

   पहले, मध्य बिंदु खोजें:

   • 10-14 के लिए, 10+142=12210+14​=12
   • 15-19 के लिए, 15+192=17215+19​=17
   • 20-24 के लिए, 20+242=22220+24​=22

   फिर, प्रत्येक मध्य बिंदु को उसकी आवृत्ति से गुणा करें और उन्हें जोड़ें:

   • (12×5)+(17×8)+(22×3)(12×5)+(17×8)+(22×3)

   अंत में, कुल छात्रों की संख्या से विभाजित करें:

   • 60+136+665+8+35+8+360+136+66​

   इससे छात्रों की औसत उम्र मिलती है।

   वास्तविक जीवन और करियर में उपयोग

   वास्तविक जीवन में, इस विधि का उपयोग अर्थशास्त्र में आय वितरण को समझने, मौसम विज्ञान में औसत तापमान पाने और शिक्षा में परीक्षा स्कोर का विश्लेषण करने में किया जाता है। करियर की दृष्टि से, सांख्यिकीविद्, अर्थशास्त्री, और डेटा विश्लेषक विभिन्न विश्लेषणों के लिए इस विधि का बार-बार उपयोग करते हैं।

3. 3.छात्रों के एक समूह द्वारा पर्यावरण जागरूकता के एक भाग के रूप में एक सर्वेक्षण आयोजित किया गया था कार्यक्रम, जिसमें उन्होंने पौधों की संख्या के संबंध में निम्नलिखित डेटा एकत्र किया एक मोहल्ले में 20 घर। प्रति घर पौधों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।

   औसत की गणना के लिए चरण हैं:

   मध्य बिंदु पाएं: पौधों की प्रत्येक सीमा के लिए मध्य बिंदु की गणना करें। यह सीमा के निचले और ऊपरी सीमाओं को जोड़कर और 2 से विभाजित करके किया जाता है।

   उत्पाद की गणना करें: मध्य बिंदु को घरों की संख्या से गुणा करें ताकि उस सीमा के लिए पौधों की कुल संख्या मिल सके।

   उत्पादों का योग करें: चरण 2 से सभी उत्पादों को जोड़ें ताकि सभी घरों में पौधों की कुल संख्या मिल सके।

   फ़्रीक्वेंसी का योग करें: घरों की संख्या को जोड़ें ताकि सर्वेक्षण किए गए कुल घरों की संख्या मिल सके।

   औसत की गणना करें: पौधों की कुल संख्या को घरों की कुल संख्या से विभाजित करें। यहाँ गणना के लिए तालिका दी गई है:

   
   
   

   अब, हम 'f_i * x_i' स्तंभ को जोड़कर पौधों की कुल संख्या प्राप्त करते हैं, और 'घरों की संख्या (f_i)' स्तंभ को जोड़कर कुल घरों की संख्या प्राप्त करते हैं।

   औसत के लिए सूत्र है:

   औसत=कुल पौधेकुल घरऔसत=कुल घरकुल पौधे​

   आइए जोड़ने के चरण को दिखाएँ और औसत पाने के लिए सूत्र में मान रखें।

   सभी श्रेणियों से पौधों की कुल संख्या जोड़ने के बाद, हमें 162 पौधे मिलते हैं। सर्वेक्षण किए गए कुल घरों की संख्या 20 है।

   औसत के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए:

   औसत=कुल पौधेकुल घरऔसत=कुल घरकुल पौधे​

   हम मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

   औसत=16220=8.1औसत=20162​=8.1

   इस प्रकार, प्रति घर पौधों की औसत संख्या 8.1 है।

4. 4.एक कारखाने के 50 श्रमिकों के दैनिक वेतन के निम्नलिखित वितरण पर विचार करें(उचित विधि का उपयोग करके कारखाने के श्रमिकों की औसत दैनिक मजदूरी ज्ञात करें।)

   
   
   

   प्रदान किए गए वितरण से फैक्टरी के श्रमिकों की दैनिक औसत मजदूरी का पता लगाने के लिए, हम निम्नलिखित चरणों का पालन करेंगे:

   1. प्रत्येक मजदूरी समूह का मध्य बिंदु (वर्ग चिह्न) निर्धारित करें।
   2. प्रत्येक मध्य बिंदु को उस समूह में श्रमिकों की संख्या से गुणा करें ताकि उस समूह के लिए कुल मजदूरी प्राप्त हो सके।
   3. प्रत्येक समूह से कुल मजदूरी का योग करें।
   4. कुल मजदूरी का योग श्रमिकों की कुल संख्या से विभाजित करके औसत मजदूरी प्राप्त करें।

   आइए इन चरणों की गणना करें और जोड़ने का चरण तथा सूत्र के अनुप्रयोग को दिखाएँ।

   औसत दैनिक मजदूरी की गणना करने के लिए, हम 'f_i * x_i' स्तंभ से कुल मजदूरी को जोड़ते हैं, जिससे हमें 27,260 मिलता है। चूंकि कुल 50 श्रमिक हैं, इसलिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

   औसत=कुल मजदूरीकुल श्रमिकों की संख्याऔसत=कुल श्रमिकों की संख्याकुल मजदूरी​

   सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करते हुए:

   औसत=2726050=545.2औसत=5027260​=545.2

   इस प्रकार, फैक्टरी में श्रमिकों की औसत दैनिक मजदूरी ₹545.20 है।

5. 5.एक अस्पताल में एक डॉक्टर द्वारा तीस महिलाओं की जांच की गई और प्रति मिनट दिल की धड़कन की संख्या दर्ज की गई और निम्नानुसार संक्षेपित किया गया। एक उपयुक्त विधि चुनकर, इन महिलाओं के लिए प्रति मिनट औसत दिल की धड़कन का पता लगाएं।

   महिलाओं की औसत हार्टबीट्स प्रति मिनट की गणना करने के लिए, हमने दिए गए डेटा के साथ एक तालिका बनाई है और निम्नलिखित चरणों का पालन किया है:

   1. मध्य बिंदु निर्धारित करें: प्रत्येक हार्टबीट्स प्रति मिनट की सीमा के लिए, हमने निचली और ऊपरी सीमा का औसत निकालकर मध्य बिंदु पाया। उदाहरण के लिए, 65-68 रेंज के लिए मध्य बिंदु है 65+682=66.5265+68​=66.5।

   2. कुल हार्टबीट्स की गणना करें: फिर हमने प्रत्येक मध्य बिंदु को उस सीमा में महिलाओं की संख्या से गुणा किया ताकि उस सीमा के लिए कुल हार्टबीट्स मिल सके। उदाहरण के लिए, 65-68 रेंज के लिए कुल हार्टबीट्स है 66.5×2=13366.5×2=133।

   3. कुल हार्टबीट्स का योग: हमने सभी कुल हार्टबीट्स को जोड़ा ताकि सभी महिलाओं के लिए हार्टबीट्स की कुल संख्या मिल सके।

   4. औसत की गणना करें: औसत की गणना कुल हार्टबीट्स का योग को कुल महिलाओं की संख्या से विभाजित करके की जाती है।

   यहाँ गणना के साथ विस्तृत तालिका है:

   कुल हार्टबीट्स का योग 2277.0 है। चूंकि वहाँ 30 महिलाएं हैं, इसलिए औसत हार्टबीट्स प्रति मिनट है:

   औसत हार्टबीट्स प्रति मिनट=2277.030=75.9औसत हार्टबीट्स प्रति मिनट=302277.0​=75.9

   इसलिए, इन महिलाओं के लिए प्रति मिनट औसत हार्टबीट्स 75.9 है। यह उस समूह की महिलाओं के लिए प्रति मिनट हार्टबीट्स की औसत संख्या है जिनकी जांच की गई थी।

6. 6.हवा में SO2 की सांद्रता (प्रति मिलियन भागों में, यानी, पीपीएम) का पता लगाने के लिए, डेटा एक निश्चित शहर में 30 इलाकों के लिए एकत्र किया गया था और इसे नीचे प्रस्तुत किया गया है: वायु में SO2 की माध्य सांद्रता ज्ञात कीजिए

   30 स्थानीयताओं के लिए वायु में 2SO2​ का औसत सांद्रण लगभग 0.099 ppm (पार्ट्स प्रति मिलियन) है।

   यह तालिका गणना विवरण दिखाती है:

   औसत की गणना के लिए, हम मध्य बिंदुओं और फ्रीक्वेंसियों के उत्पादों का योग (कॉलम "f_i * x_i") करते हैं और फिर कुल फ्रीक्वेंसी से विभाजित करते हैं (जो कुल स्थानीयताओं की संख्या है)। गणना इस प्रकार है:

   औसत सांद्रण=कुल (∗)कुल फ्रीक्वेंसी=2.9630≈0.099 ppmऔसत सांद्रण=कुल फ्रीक्वेंसीकुल (fi​∗xi​)​=302.96​≈0.099 ppm

7. 7.एक कक्षा शिक्षक के पास पूरी कक्षा के 40 छात्रों का निम्नलिखित अनुपस्थित रिकॉर्ड है अवधि। एक छात्र के अनुपस्थित रहने के दिनों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।

   
   
   

   एक छात्र औसतन कितने दिन अनुपस्थित रहा इसका माध्य लगभग 12.48 दिन है।

   यह तालिका गणना विवरण दिखाती है:

   
   
   
   

   माध्य की गणना के लिए, हम मध्य बिंदुओं और फ्रीक्वेंसियों के उत्पादों का योग (कॉलम "f_i * x_i") करते हैं और फिर कुल छात्रों की संख्या (40) से विभाजित करते हैं। गणना इस प्रकार है:

   अनुपस्थित दिनों की औसत संख्या=कुल (∗)कुल छात्रों की संख्या=499.040≈12.48अनुपस्थित दिनों की औसत संख्या=कुल छात्रों की संख्याकुल (fi​∗xi​)​=40499.0​≈12.48

8. 8.निम्नलिखित तालिका 35 शहरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) देती है। माध्य ज्ञात कीजिए साक्षरता दर।

   
   
   

   35 शहरों के लिए साक्षरता दर का औसत लगभग 69.43% है।

   यह तालिका गणना विवरण दिखाती है:

   साक्षरता दर का औसत ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का अनुसरण करते हैं:

   1. मध्य बिंदु खोजें: साक्षरता दर के प्रत्येक अंतराल के लिए, निचले और ऊपरी सीमा का औसत लगाकर मध्य बिंदु निकालें।
   2. फ्रीक्वेंसी से गुणा करें: मध्य बिंदु को शहरों की संख्या से गुणा करें ताकि उस अंतराल के लिए कुल साक्षरता दर मिल सके।
   3. कुल साक्षरता दरों का योग: प्रत्येक अंतराल से सभी कुल साक्षरता दरों को जोड़ें।
   4. कुल शहरों से विभाजित करें: कुल साक्षरता दरों के योग को शहरों की कुल संख्या से विभाजित करके औसत निकालें।

   माध्य के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए:

   साक्षरता दर का औसत=कुल (∗)कुल शहरों की संख्यासाक्षरता दर का औसत=कुल शहरों की संख्याकुल (fi​∗xi​)​

   गणना इस प्रकार है:

   साक्षरता दर का औसत=2430.035≈69.43%साक्षरता दर का औसत=352430.0​≈69.43%

   यह सभी 35 शहरों की औसत साक्षरता दर है।

9. 9.समूहीकृत डेटा का तरीका

   मोड एक प्रकार का औसत है, विशेष रूप से वह मान जो एक डेटा सेट में सबसे अधिक बार आता है। हालांकि, जब हम समूहित डेटा की बात करते हैं, तो यह व्यक्तिगत डेटा बिंदुओं के साथ कुछ अलग होता है।

   समूहित डेटा में मोड को समझना

   1. समूहित डेटा: सबसे पहले, समूहित डेटा का मतलब है कि आपका डेटा अंतरालों (या समूहों) में विभाजित है, न कि केवल व्यक्तिगत मूल्यों के रूप में सूचीबद्ध।

   2. मोडल समूह की पहचान: समूहित डेटा में मोड को ढूँढने के लिए, आपको यह पहचानना होगा कि कौन सा समूह (या अंतराल) सबसे अधिक बार आया है, अर्थात वह समूह जहां सबसे अधिक डेटा बिंदु आते हैं।

   3. मोड ढूँढने का सूत्र: समूहित डेटा में मोड का सटीक मान हमेशा निर्धारित नहीं किया जा सकता है, लेकिन हम इसे एक सूत्र का उपयोग करके अनुमानित कर सकते हैं। सूत्र है:

      मोड=+(−2−−)×ℎमोड=L+(2fm​−fp​−fn​fm​−fp​​)×h

      यहाँ:

      • L मोडल समूह की निचली सीमा है।
      • fm​ मोडल समूह की आवृत्ति है।
      • fp​ मोडल समूह से पहले के समूह की आवृत्ति है।
      • fn​ मोडल समूह के बाद के समूह की आवृत्ति है।
      • ℎh समूहों की चौड़ाई है (सभी समूहों के लिए समान माना जाता है)।

   वास्तविक जीवन का उदाहरण और अनुप्रयोग

   मान लीजिए आपके पास एक महीने में लोगों द्वारा पढ़ी गई पुस्तकों की संख्या का एक सर्वेक्षण है, और आप डेटा को इस तरह से समूहित करते हैं: 0-4 पुस्तकें, 5-9 पुस्तकें, 10-14 पुस्तकें, आदि। यदि अधिकांश लोग 5-9 पुस्तकों की श्रेणी में आते हैं, तो वह आपका मोडल समूह है। फॉर्मूला लागू करके, आप पढ़ी गई पुस्तकों की सबसे सामान्य संख्या का अनुमान लगा सकते हैं।

   पेशेवर और उद्योगों में अनुप्रयोग मन्यता में समूहित आंकड़ा का मोड समझना, विपणन अनुसंधान, सांख्यिकी, और डेटा विश्लेषण जैसे क्षेत्रों में विशेष रूप से उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, कंपनी अपने ग्राहकों के बीच सबसे लोकप्रिय उत्पाद के आकार या मूल्य सीमा का निर्धारण करने के लिए इस विधि का उपयोग कर सकती है। इस जानकारी का उपयोग योग्य व्यापार निर्णय जैसे इन्वेंटरी की योजना बनाने या मूल्य निर्धारण के लिए करने के लिए महत्वपूर्ण होता है।

10. 10.10 क्रिकेट मैचों में एक गेंदबाज द्वारा लिए गए विकेट इस प्रकार हैं: 2 6 4 5 0 2 1 3 2 3, डेटा का मोड ज्ञात करें।

    दिए गए डेटा का मोड पता लगाने के लिए, हम पहले 10 क्रिकेट मैचों में लिए गए विकेटों की संख्या का एक तालिका बनाते हैं। यहाँ तालिका है:
    
    
    अब, मोड ढूँढने के लिए, हम उस संख्या को देखते हैं जिसे सबसे अधिक बार लिया गया था। इस मामले में, गेंदबाज ने 3 मैचों में 2 विकेट लिए, जो किसी भी अन्य संख्या की तुलना में अधिक बार है। इसलिए, इस डेटा का मोड 2 विकेट है।
    
    

11. 11.निम्नलिखित डेटा 225 विद्युत घटकों के देखे गए जीवनकाल (घंटों में) की जानकारी देता है: (घटकों के मोडल जीवनकाल निर्धारित करें।)

    
    
    

    परिवारों का मासिक खर्च का मोड उस खर्च सीमा को पहचान कर निर्धारित किया जाता है जिसमें सबसे अधिक आवृत्ति होती है। मासिक खर्च का माध्य निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

    माध्य=∑(मध्य-बिंदु×आवृत्ति)कुल परिवारों की संख्यामाध्य=कुल परिवारों की संख्या∑(मध्य-बिंदु×आवृत्ति)​

    यहां गणना को तालिका प्रारूप में प्रस्तुत किया गया है:

    खर्च सीमा (₹ में)	परिवारों की संख्या	मध्य-बिंदु	भारित खर्च
    1000-1500	24	1250	30000
    1500-2000	40	1750	70000
    2000-2500	33	2250	74250
    2500-3000	28	2750	77000
    3000-3500	30	3250	97500
    3500-4000	22	3750	82500
    4000-4500	16	4250	68000
    4500-5000	7	4750	33250
    कुल / माध्य	माध्य / मोड	2662.5	532500

    मासिक खर्च की मोड सीमा ₹1500-2000 है, जिसमें सबसे अधिक आवृत्ति 40 परिवारों की है।

    माध्य मासिक खर्च इस प्रकार गणना किया गया है: माध्य=532500200=₹2662.5माध्य=200532500​=₹2662.5

    इसलिए, प्रति परिवार मासिक खर्च का माध्य लगभग ₹2662.5 है। यह हमें सभी परिवारों के औसत खर्च का अनुमान देता है, जबकि मोड खर्च सीमा हमें परिवारों में सबसे आम खर्च सीमा दिखाता है।

12. 12.समूहीकृत डेटा का माध्यिका

    समूहित डेटा का माध्य क्या है?

    समूहित डेटा के माध्य से हमारा मतलब है कि जब हमारे पास डेटा समूहों में होता है, तो हम उसके मध्य मूल्य का अनुमान लगाते हैं। यह वह मूल्य होता है जो डेटा को दो बराबर भागों में बांटता है।

    समूहित डेटा में माध्य कैसे निकालें

    1. डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
    2. संचयी आवृत्ति का पता लगाएं।
    3. माध्य कक्षा का पता लगाएं।
    4. सूत्र का उपयोग करें: माध्य=+(2−)×माध्य=L+(f2N​−F​)×w

    उदाहरण

    मान लीजिए आपके पास स्कोर का निम्नलिखित आवृत्ति तालिका है:

    स्कोर सीमा	आवृत्ति
    0-20	5
    21-40	10
    41-60	8
    61-80	7
    81-100	4

    कुल पर्यवेक्षण (N) = 34 है। इसका आधा 17 है। 17 से अधिक संचयी आवृत्ति 41-60 सीमा में है। फॉर्मूला का उपयोग करके आप माध्य की गणना कर सकते हैं।

    वास्तविक जीवन में उपयोग

    समूहित डेटा के माध्य को समझना अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, और पर्यावरण विज्ञान जैसे क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है। यह बड़े डेटा सेट के केंद्रीय प्रवृत्ति को समझने में मदद करता है, जो इन क्षेत्रों में सूचित निर्णय लेने के लिए आवश्यक है।

    गतिविधि

    खुद से विभिन्न डेटासेट का माध्य निकालने का प्रयास करें। आप क्रिकेट स्कोर या अपनी कक्षा के परीक्षा अंकों का डेटा उपयोग कर सकते हैं।

13. 13.यदि नीचे दिए गए वितरण का माध्यिका 28.5 है, तो x और y का मान ज्ञात कीजिए।

    
    
    

    प्रायिक आँकड़ा (Total Frequency), =60n=60

    दिए गए आँकड़ों की माध्यिका (Median) = 28.5

    जहाँ, /2=30N/2=30

    
    
    
    

    माध्यिका वर्ग (Median Class) है 20 – 30 और एकत्रित आवृत्ति (Cumulative Frequency) = 25 + x

    माध्यिका वर्ग का निचला सीमा (Lower limit of median class), =20l=20,

    =5+cf=5+x,

    वर्ग की आवृत्ति (Frequency of the median class) =20f=20 और वर्ग की चौड़ाई (Width of the class interval) ℎ=10h=10

    माध्यिका का सूत्र (Formula for median) है: Median=+(2−)×ℎMedian=l+(f2N​−cf​)×h

    मूल्य बदलें (Substitute the values):

    28.5=20+(30−5−20)×1028.5=20+(2030−5−x​)×10

    गणना करने पर (On calculating):

    8.5=25−28.5=225−x​ 17=25−17=25−x

    इसलिए, =8x=8।

    अब, एकत्रित आवृत्ति से, हम +x+y का मूल्य पहचान सकते हैं इस प्रकार (Now, from the cumulative frequency, we can identify the value of +x+y as follows):

    क्योंकि (Because),

    60=45++60=45+x+y

    अब, x का मूल्य बदलें (Now, substitute the value of x):

    60=45+8+60=45+8+y

    =60−53y=60−53

    =7y=7

    इसलिए, x का मूल्य =8=8 और y का मूल्य =7=7 है।

14. 14.जीवन बीमा एजेंट को 100 पॉलिसी धारकों की आयु के वितरण के लिए निम्नलिखित डेटा मिला। यदि पॉलिसी केवल उन व्यक्तियों को दी जाती है जिनकी आयु 18 वर्ष से अधिक है लेकिन 60 वर्ष से कम है, तो औसत आयु की गणना करें।

    समाधान 

    दिए गए डेटा:

    =100N=100 और 2=502N​=50

    माध्यिका वर्ग = 35-40

    इसलिए, =35l=35, =45cf=45, =33f=33 और ℎ=5h=5

    माध्यिका = +(2−)×ℎl+(f2N​−cf​)×h

    माध्यिका = 35+(50–4533)×535+(3350–45​)×5

    = 35+253335+3325​

    = 35.7635.76

    अतः, माध्यिका आयु = 35.76 वर्ष है।

15. 15.एक पौधे में 40 पत्तियों की लंबाई निकटतम मिलीमीटर तक सही ढंग से मापी जाती है, और प्राप्त डेटा को निम्न तालिका के रूप में दर्शाया जाता है: (पत्तियों की औसत लंबाई ज्ञात करें। (संकेत: डेटा को निरंतर वर्गों में परिवर्तित करने की आवश्यकता है) माध्यिका ज्ञात करन

    
    
    समाधान
    
    - चूँकि डेटा निरंतर नहीं है, निचली सीमा में 0.5 कम करें और ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़ें।
    
    
    
    

    प्राप्त डेटा ये हैं:

    =40N=40 और 2=202N​=20

    माध्यिका वर्ग = 144.5-153.5

    तब, =144.5l=144.5,

    =17cf=17, =12f=12 और ℎ=9h=9

    माध्यिका = +(2−)×ℎl+(f2N​−cf​)×h

    माध्यिका = 144.5+(20−1712)×9144.5+(1220−17​)×9

    = 144.5+94144.5+49​

    = 146.75146.75 मिमी

    अतः, पत्तियों की माध्यिका लंबाई = 146.75146.75 मिमी है।

    
    

16. 16.100 उपनामों को एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से यादृच्छिक रूप से उठाया गया और उपनामों में अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का आवृत्ति वितरण निम्नानुसार प्राप्त किया गया: उपनामों में अक्षरों की औसत संख्या निर्धारित करें। उपनामों में अक्षरों की माध्य

    
    
    समाधान:
    
    माध्यिका की गणना करने के लिए
    
    
    
    

    दिए गए हैं:

    =100N=100 और 2=502N​=50

    माध्यिका वर्ग = 7-10

    इसलिए, =7l=7, =36cf=36, =40f=40 और ℎ=3h=3

    माध्यिका = +(2−)×ℎl+(f2N​−cf​)×h

    माध्यिका = 7+(50−3640)×37+(4050−36​)×3

    माध्यिका = 7+42407+4042​

    माध्यिका = 8.058.05

    बहुलक (मोड) की गणना करें:

    बहुलक वर्ग = 7-10,

    जहाँ, =7l=7, 1=40f1​=40, 0=30f0​=30, 2=16f2​=16 और ℎ=3h=3

    मोड = 7+(40−302×40−30−16)×37+(2×40−30−1640−30​)×3

    = 7+30347+3430​

    = 7.887.88

    अतः मोड = 7.887.88

    माध्य (औसत) की गणना करें:

    माध्य ˉxˉ है = ∑∑fi​xi​ / ∑∑fi​

    माध्य = 832 / 100 = 8.32

    अतः, माध्य = 8.32 है।

17. 17.नीचे दिया गया वितरण एक कक्षा के 30 छात्रों का वजन देता है। विद्यार्थियों का माध्य भार ज्ञात कीजिए।

    
    
    समाधान:
    
    
    
    

    दिए गए हैं: =30N=30 और 2=152N​=15

    माध्यिका वर्ग = 55-60

    =55l=55, =13Cf=13, =6f=6 और ℎ=5h=5

    माध्यिका = +(2−)×ℎl+(f2N​−Cf​)×h

    माध्यिका = 55+(15−136)×555+(615−13​)×5

    = 55+10655+610​

    = 55+1.66655+1.666

    = 56.6756.67

    अतः, छात्रों के वजन की माध्यिका = 56.6756.67 है।

18. 18.शीघ्र पुनरीक्षण

    1. सांख्यिकी का परिचय

    सांख्यिकी गणित का एक भाग है जो आंकड़ों को एकत्रित करने, विश्लेषण करने, व्याख्या करने और प्रस्तुत करने से संबंधित है। यह हमें संख्याओं को समझने और उनमें पैटर्न खोजने में मदद करता है।

    2. समूहित डेटा का माध्य

    माध्य औसत होता है। समूहित डेटा के लिए, आप प्रत्येक समूह के मध्य बिंदु को उस समूह में मौजूद वस्तुओं की संख्या से गुणा करके, इन सभी उत्पादों को जोड़कर, और फिर कुल वस्तुओं की संख्या से विभाजित करके माध्य निकालते हैं। सूत्र: माध्य=∑(×)∑माध्य=∑f∑(f×x)​, जहाँ f आवृत्ति है और x मध्य बिंदु है।

    3. समूहित डेटा का बहुलक

    बहुलक सबसे आम मान है। समूहित डेटा के लिए, यह वह मान है जहां वस्तुएँ सबसे अधिक बार होती हैं। इसका अनुमान निम्न सूत्र से लगाया जाता है: बहुलक=+(−−1)(−−1)+(−+1)×ℎबहुलक=L+(fm​−fm−1​)+(fm​−fm+1​)(fm​−fm−1​)​×h, जहाँ L मोडल कक्षा की निचली सीमा है, fm​ मोडल कक्षा की आवृत्ति है, −1fm−1​ और +1fm+1​ मोडल कक्षा से पहले और बाद की कक्षाओं की आवृत्तियाँ हैं, और ℎh कक्षा की चौड़ाई है।

    4. समूहित डेटा का मध्यांक

    मध्यांक मध्य मान है। समूहित डेटा में, इसे उस कक्षा का पता लगाकर गणना की जाती है जहां मध्यांक स्थित है और निम्न सूत्र का उपयोग करते हैं: मध्यांक=+(2−)×ℎमध्यांक=L+f(2n​−F)​×h, जहाँ n कुल वस्तुओं की संख्या है, F मध्यांक कक्षा से पहले की संचयी आवृत्ति है, f मध्यांक कक्षा की आवृत्ति है, और ℎh कक्षा की चौड़ाई है।