वास्तविक संख्याएँ — कक्षा 10 गणित नोट्स

वास्तविक संख्याएँ में शामिल टॉपिक

1. 1.वास्तविक संख्याएँ क्या हैं

   वास्तविक संख्याएं: वास्तविक संख्याएं वे सभी संख्याएं हैं जिनका उपयोग हम रोजमर्रा के जीवन में करते हैं। इस श्रेणी में वे सभी संख्याएं शामिल हैं जिनके बारे में आप सोच सकते हैं, जैसे:
   

   1. पूर्ण संख्याएं (जैसे 0, 1, 2,...)
   2. पूर्णांक (जिसमें ऋणात्मक संख्याएं जैसे -1, -2,...)
   3. भिन्न (जैसे ½, ¾,...)
   4. दशमलव संख्याएं (जैसे 3.14, 0.5,...)
   5. अपरिमेय संख्याएं (जैसे 2 का वर्गमूल, π (पाई), जिन्हें साधारण भिन्न या दशमलव के रूप में नहीं लिखा जा सकता)

   वास्तविक जीवन का उदाहरण: अपनी उम्र, 14 वर्ष, के बारे में सोचें। वह एक वास्तविक संख्या है। यदि आप अपनी पेंसिल की लंबाई मापते हैं और वह 16.5 सेमी है, तो वह भी एक वास्तविक संख्या है।

   करियर में उपयोग: वास्तविक संख्याएं हर जगह उपयोग की जाती हैं। यदि आप इंजीनियर बनते हैं, तो आप उनका उपयोग आयामों और बलों की गणना के लिए करेंगे। वित्त में, आप उनका उपयोग ब्याज और लाभ की गणना के लिए करेंगे। मूल रूप से, किसी भी क्षेत्र में जहां मापने, गिनती, या गणना की आवश्यकता होती है, वहां वास्तविक संख्याओं का उपयोग होता है।

   वास्तविक संख्याएं नहीं होने वाली संख्याएं

   एक ऐसी संख्या जो वास्तविक संख्या नहीं है, वह "काल्पनिक" या "जटिल" संख्याओं की अलग श्रेणी में आती है। मैं समझाता हूँ:

   काल्पनिक संख्याएं

   • काल्पनिक संख्याएं ऐसी संख्याएं होती हैं जो वास्तविक संख्याओं के लिए प्रयोग की जाने वाली संख्या रेखा पर नहीं मिलती हैं।
   • सबसे बुनियादी काल्पनिक संख्या -1 का वर्गमूल होती है, जिसे i के रूप में दर्शाया जाता है। वास्तविक संख्याओं में, आप नकारात्मक संख्या का वर्गमूल नहीं निकाल सकते, इसलिए यहां काल्पनिक संख्याएं आती हैं।
   • उदाहरण के लिए, −4−4​ एक वास्तविक संख्या नहीं है। इसके बजाय, इसे 22i के रूप में लिखा जाता है, जिसमें काल्पनिक इकाई i का उपयोग होता है।

   जटिल संख्याएं

   • जटिल संख्याएं वास्तविक और काल्पनिक संख्याओं का संयोजन होती हैं।
   • आमतौर पर इन्हें +a+bi के रूप में लिखा जाता है, जहां a एक वास्तविक संख्या होती है, और bi एक काल्पनिक संख्या होती है।
   • उदाहरण के लिए, 3+23+2i एक जटिल संख्या है।

   वास्तविक जीवन में संदर्भ

   • वास्तविक जीवन में, विशेषकर उच्च-स्तरीय गणित, भौतिकी, और इंजीनियरिंग में, जटिल संख्याएं बहुत उपयोगी होती हैं। वे विद्युत धाराएं और तरंगें जैसी चीजों का वर्णन करने के लिए प्रयोग की जाती हैं, जिन्हें केवल वास्तविक संख्याओं के साथ नहीं दर्शाया जा सकता है।

   गणित का मौलिक सिद्धांत

   प्राइम संख्याओं को सभी संख्याओं के निर्माण खंडों के रूप में सोचें। प्राइम संख्याएं वे संख्याएं होती हैं जो 1 से बड़ी होती हैं और केवल खुद और 1 से समान रूप से विभाजित हो सकती हैं (जैसे, 2, 3, 5, 7)। गणित के मौलिक सिद्धांत के अनुसार हर एक पूर्ण संख्या जो 1 से बड़ी है, केवल इन निर्माण खंडों का उपयोग करके बनाई जा सकती है, और प्रत्येक संख्या को बनाने का केवल एक ही तरीका होता है।

   सरल समझाना:

   कल्पना करें कि आपके पास एक खिलौने का डिब्बा है जिसमें अलग-अलग प्रकार के ब्लॉक हैं, लेकिन कुछ विशेष होते हैं और उन्हें छोटे टुकड़ों में नहीं बांटा जा सकता। ये विशेष ब्लॉक हमारी प्राइम संख्याओं की तरह होते हैं।

   अब, मान लीजिए आपको कुछ 12 नंबर के बराबर बनाना है। आप इसे केवल तीन 2's और एक 3 का उपयोग करके ही बना सकते हैं। आप 12 को इन विशेष ब्लॉकों के किसी अन्य संयोजन से नहीं बना सकते।

   संख्यात्मक उदाहरण:

   30 नंबर पर विचार करें: 30 = 3 x 10 अब, हम 10 को उसके प्राइम फैक्टर्स में तोड़ सकते हैं: 10 = 2 x 5 इसलिए, 30 को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: 30 = 3 x 2 x 5

   आप 30 को प्राइम संख्याओं के किसी अन्य संयोजन से नहीं बना सकते!

   वास्तविक जीवन का उदाहरण:

   एक केक नुस्खा के बारे में सोचें जिसके लिए ठीक 3 अंडे, 2 कप चीनी, और 5 चमच्च मक्खन की आवश्यकता होती है। इन निर्दिष्ट मात्राओं के साथ इस विशेष केक को बनाने का केवल एक ही तरीका है। यह उसी तरह का है जैसे 30 नंबर को उसके विशेष प्राइम नंबरों के साथ बनाने का केवल एक ही तरीका होता है।

   वास्तविक जीवन और करियर में इसका उपयोग:

   खेल खेलना: कुछ पहेलियाँ और खेल प्राइम संख्याओं को शामिल करते हैं, और इस अवधारणा को समझने से आप बेहतर खिलाड़ी बन सकते हैं।

   कंप्यूटर की चीजें: यदि आप कभी कंप्यूटर विशेषज्ञ बनना चाहते हैं, तो प्राइम नंबरों को समझने से आप कंप्यूटर सुरक्षा और कंप्यूटर प्रोग्राम बनाने में मदद कर सकते हैं।

   एक गणित जासूस बनना: जैसे जासूस रहस्यों को सुलझाते हैं, गणितज्ञ एक संख्या के "रहस्य" को प्राइम नंबरों में तोड़कर समझ सकते हैं।

2. 2.HCF (उच्चतम सामान्य गुणक) और LCM (न्यूनतम समाप्वर्तक) आसान तरीके से निकालने के लिए:

   उच्चतम सामान्य गुणक (HCF) निकालने के चरण:
   

   
   

   1. प्राइम फैक्टर्स लिखें: हर नंबर के प्राइम फैक्टर्स लिखें।

   2. सामान्य फैक्टर्स: नंबरों के बीच सामान्य प्राइम फैक्टर्स की पहचान करें।

   3. गुणा करें: सामान्य प्राइम फैक्टर्स को गुणा करें।

   
   

   उदाहरण:

   
   

   12 और 18 का HCF निकालें।

   
   

   1. 12 के प्राइम फैक्टर्स: 2 x 2 x 3

   2. 18 के प्राइम फैक्टर्स: 2 x 3 x 3

   3. सामान्य फैक्टर्स: 2, 3

   
   

   HCF = 2 x 3 = 6

   
   

   न्यूनतम समाप्वर्तक (LCM) निकालने के चरण:

   
   

   1. प्राइम फैक्टर्स लिखें: हर नंबर के प्राइम फैक्टर्स लिखें।

   2. उच्चतम शक्ति: सभी प्राइम फैक्टर्स की उच्चतम शक्ति लें।

   3. गुणा करें: उन उच्चतम शक्ति फैक्टर्स को गुणा करें।

   
   

   उदाहरण:

   
   

   12 और 18 का LCM निकालें।

   
   

   1. 12 के प्राइम फैक्टर्स: 2 x 2 x 3

   2. 18 के प्राइम फैक्टर्स: 2 x 3 x 3

   3. उच्चतम शक्ति फैक्टर्स: 22, 32

   
   

   LCM = 4 x 9 = 36

   
   

   वास्तविक जीवन में उदाहरण (Real-Life Examples):

   
   

   आपके पास 12 चॉकलेट हैं और आपके दोस्त के पास 18 हैं। आप दोनों बराबर समूह बनाना चाहते हैं। सबसे बड़ा समूह जिसे आप बना सकते हैं, वह 6 चॉकलेट होगा, जो HCF है।

   
   

   आपको एक खेल खत्म करने में 12 मिनट और आपके दोस्त को 18 मिनट लगते हैं। आप दोनों फिर साथ खेल सकते हैं जब 36 मिनट हो जाते हैं, जो LCM होता है।

3. 3.अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 6 और 20 का एलसीएम (HCF) और एचसीएफ(LCM) ज्ञात करें

   सबसे पहले, हम प्राइम फैक्टर्स में हर नंबर को तोड़ देंगे।

   - 12: 2 × 2 × 3

   - 40: 2 × 2 × 2 × 5

   HCF के लिए, सामान्य प्राइम फैक्टर्स को लें और उन्हें गुना करें।

   - 12 और 40 के सामान्य प्राइम फैक्टर्स: 2 × 2 = 4

   इसलिए, HCF 4 है।

   LCM के लिए, दोनों नंबरों से सभी प्राइम फैक्टर्स को लें (सामान्य वाले को दोहराना नहीं है) और उन्हें गुना करें।

   - सभी प्राइम फैक्टर्स: 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120

   इसलिए, LCM 120 है।

   वास्तविक जीवन का उदाहरण

   मान लीजिए आपके पास 12 चॉकलेट्स हैं और आपके दोस्त के पास 40 चॉकलेट्स हैं। आप दोनों अपने चॉकलेट्स को बराबर समूहों में बाँटना चाहते हैं, बिना किसी चॉकलेट को तोड़े। इस केस में HCF, जो 4 है, हर समूह में होगा।

   और अगर आप दोनों अपने चॉकलेट्स को मिलाकर फिर उन्हें बराबर समूहों में बाँटना चाहते हैं, तो हर समूह में चॉकलेट्स की सबसे छोटी संख्या LCM होगी, जो इस केस में 120 है।
   

4. 4.अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करके 6, 72 और 120 का एचसीएफ और एलसीएम ज्ञात करें।

   प्राइम फैक्टराइजेशन

   - 16: 2 × 2 × 2 × 2

   - 72: 2 × 2 × 2 × 3 × 3

   - 160: 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5

   HCF खोजें

   - 16, 72, और 160 के सामान्य प्राइम फैक्टर्स: 2 × 2 × 2 =8

   LCM खोजें

   - सभी प्राइम फैक्टर्स: 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 = 7200

   वास्तविक जीवन का उदाहरण

   मान लो आप, आपके दोस्त, और एक पड़ोसी के पास क्रमश: 16, 72, और 160 कंचियां हैं। आप सभी बिना किसी कंची को तोड़े, उन्हें समान समूहों में बाँटना चाहते हैं। हर समूह में कंचियों की सबसे बड़ी संख्या HCF होगी, जो इस केस में 8 है।!
   
   अगर आप अपने सभी मर्बल्स को मिला दें और उन्हें बराबर समूहों में बाँटना चाहते हैं, तो प्रत्येक समूह में सबसे कम मर्बल्स की संख्या LCM होगी, जो इस मामले में 7200 है।
   

5. 5.संख्या 8n पर विचार करें, जहां n एक प्राकृतिक संख्या है। जांचें कि क्या वहां n का कोई मान है जिसके लिए 8n अंक शून्य पर समाप्त होता है।

   हमें यह जांचना है कि क्या ऐसा कोई प्राकृतिक संख्या है जिससे 8n का अंत शून्य (0) संख्या से समाप्त होता है।

   एक संख्या को शून्य से समाप्त होने के लिए, इसे 10 के गुणक होना चाहिए। इसका मतलब है कि 8n को 10 से विभाज्य होना चाहिए।

   10 को इसके मूल घटकों में विभाजित करने के लिए, हम 10 = 2 X 5 की प्रधान घटकों में विभाजित कर सकते हैं।

   8n = 8 X n = 23

   10 से 8n विभाजित होने के लिए, इसमें 2 और 5 दोनों को घटक के रूप में होना चाहिए।

   हमारे पास पहले ही 8n में 23 (यानी 2 के तीन घटक) है, लेकिन हमारे पास 5 नहीं है।

   इसलिए, 8n के अंत में शून्य आने के लिए, इसमें कम से कम 5 होनी चाहिए। इसलिए हां, 8 के अंत में शून्य आने के लिए n की एक मूल्य है, और वह मूल्य है -5।

6. 6.संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना

   मुख्य गुणक
   
   

   1. 180

   - 180 = 2 x 90

   - 90 = 2 x 45

   - 45 = 5 x 9

   - 9 = 3 x 3

   इसलिए, 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5

   2. 256

   - 256 = 2 x 128

   - 128 = 2 x 64

   - 64 = 2 x 32

   - 32 = 2 x 16

   - 16 = 2 x 8

   - 8 = 2 x 4

   - 4 = 2 x 2

   इसलिए, 256 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (या 2⁸)

   3. 5005

   - 5005 = 5 x 1001

   - 1001 = 7 x 143

   - 143 = 11 x 13

   इसलिए, 5005 = 5 x 7 x 11 x 13

7. 7.पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों का LCM और HCF ज्ञात कीजिए और सत्यापित करें कि LCM × HCF = दो संख्याओं का गुणनफल है।

   1. 25 और 71

   
   

   
   

   समाधान

   
   

   
   

   एलसीएम और एचसीएफ खोजें

   
   

   HCF: 1 (वे सह-अभाज्य संख्याएँ हैं)

   
   

   एलसीएम: 1775 (25 x 71)

   
   

   सत्यापन: एलसीएम x एचसीएफ = 1775 x 1 = 1775

   
   

   संख्याओं का गुणनफल: 25 x 71 = 1775

   
   

   तो, एलसीएम x एचसीएफ = संख्याओं का गुणनफल
   
   2. 610 और 92
   
   समाधान
   
   एचसीएफ: 2
   
   एलसीएम: 28130 (610 x 92/2)
   
   सत्यापन: एलसीएम x एचसीएफ = 28130 x 2 = 56260
   
   

   संख्याओं का गुणनफल: 610 x 92 = 56260

   
   

   तो, एलसीएम x एचसीएफ = संख्याओं का गुणनफल

8. 8.बताएं कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।

   समग्र संख्याओं के लिए स्पष्टीकरण
   
   1. व्यंजक 7 x 11 x 13 + 13 के लिए:
   
   - गणना: 7 x 11 x 13 = 1001
   -13 जोड़ने पर: 1001 + 13 = 1014
   
   1014 को 2 से विभाजित किया जा सकता है, इसलिए इसके दो से अधिक गुणनखंड हैं (1, 2, 507, 1014)। अतः, 1014 एक भाज्य संख्या है।
   
   2. अभिव्यक्ति 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 5 के लिए:
   
   - गणना: 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
   -5 जोड़ने पर 5040 + 5 = 5045
   
   5045 को 5 से विभाजित किया जा सकता है, इसलिए इसके दो से अधिक गुणनखंड हैं (1, 5, 1009, 5045)। इसलिए, 5045 एक भाज्य संख्या है।
   

9. 9.अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमण

   क्या हैं अतर्किक संख्याएं?

   अतर्किक संख्याएं वो संख्याएं हैं जो एक साधारण भिन्न के रूप में नहीं लिखी जा सकती हैं। उदाहरण स्वरूप, (√2), π और यूलर की संख्या eІ

   कैसे पहचानें?

   1. **वर्गमूल**: अगर किसी संख्या का वर्गमूल पूरी संख्या नहीं है, तो वो अतर्किक है। जैसे √2
   2. **पाई**: पाई π की मान लगभग 3.14159 होती है और यह कभी भी समाप्त नहीं होती या दोहराती नहीं है। इसलिए यह अतर्किक है।

   3. **अनवरत दशमलव**: जो दशमलव अनवरत होते हैं और दोहराते नहीं हैं, वे अतर्किक हैं।

   ### क्यों कहलाते हैं 'अतर्किक'?

   इन्हें 'अतर्किक' इसलिए कहा जाता है क्योंकि इन्हें दो पूर्णांकों के 'अनुपात' में नहीं लिखा जा सकता।

   वास्तविक जीवन का उदाहरण

   मान लीजिए, आप 1 इकाई की ओरों वाले एक वर्ग का विकर्ण माप रहे हैं। विकर्ण की लंबाई (√2) इकाई होगी। आप इसे ठीक से नहीं माप सकते क्योंकि (√2) एक अतर्किक संख्या है।

10. 10.प्रमेय : मान लीजिए p एक अभाज्य संख्या है। यदि p, a² को विभाजित करता है, तो p, a को विभाजित करता है, जहाँ a एक धनात्मक पूर्णांक है।

    माना, p एक अविभाज्य संख्या है। यदि p, a² को विभाजित करता है, तो p, a, जहां a एक धनात्मक पूर्णांक है" को सरल शब्दों में विभाजित करता है।
    
    कथन का क्या अर्थ है?
    
    1. p एक प्राइम नंबर है, जैसे 2, 3, 5, 7, 11, और इसी तरह के नंबर।

    2. a एक सकारात्मक पूर्णांक है, जैसे 1, 2, 3, 4, और इसी तरह के नंबर।

    3. अगर p, a² को पूरी तरह से विभाजित कर सकता है, तो p a को भी पूरी तरह से विभाजित करना चाहिए।

    साधारण समझाना

    मान लो आपके पास a नामक एक नंबर है और आपने इसे वर्ग किया और a² प्राप्त किया। अब, अगर एक प्राइम नंबर p a² को पूरी तरह से विभाजित कर सकता है, तो इसे a को भी पूरी तरह से विभाजित करना चाहिए।
    
    

    उदाहरण

    P=3 (एक प्राइम नंबर) और a = 6 (एक सकारात्मक पूर्णांक) लेते हैं।

    1. a² = 6 x 6 = 36
    
    

    2. P, a² को विभाजित करता है क्योंकि 36 को 3 से विभाजित करने पर कोई शेषफल नहीं बचता है।
    
    

    3. बयान के अनुसार, p,a को भी विभाजित करना चाहिए। और हां, 6 को 3 से विभाजित करने पर भी कोई शेषफल नहीं बचता है, इसलिए, यह बयान सच है!

    यह महत्वपूर्ण क्यों है?

    यह अवधारणा संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण है और हमें नंबरों के गुणों को समझने में मदद करती है, खासकर जब हम प्राइम नंबरों के साथ काम कर रहे होते हैं।
    

11. 11.सिद्ध कीजिए कि √3 अपरिमेय है

    1. धारणा: आपने माना कि √3 एक परिमेय संख्या है, इसका मतलब यह है कि इसे a/b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां a और b पूर्णांक हैं जिनमें 1 के अलावा कोई सामान्य गुणक नहीं हैं, और b शून्य नहीं है।

    2. समीकरण: आपने कहा कि √3 = a/b है।

    3. दोनों तरफ वर्ग करना: आपने सही ढंग से दोनों तरफ वर्ग किया जिससे 3 = a² / b² प्राप्त हुआ।

    4. b² से गुणा करना: इस कदम ने 3b² = a² को प्राप्त किया।

    5. निरीक्षण: आपने नोट किया कि चूंकि a², 3 गुणा b² है, इसका मतलब a², और इसलिए a, 3 से विभाज्य है।

    6. a = 3c मान लेना: यहाँ, आपने एक नया पूर्णांक c परिचय किया, और ठीक से a को 3c के रूप में व्यक्त किया।

    7. a को प्रतिस्थापित करना: a = 3c को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर 3b² = (3c)² मिला, जो 3b² = 9c² में सरलीकृत होता है।

    8. 3 से विभाजित करना: इस कदम ने b² = 3c² को लीड किया, जो दर्शाता है कि b², और इसलिए b, भी 3 से विभाज्य है।

    9. विरोधाभास: आपने यहाँ एक विरोधाभास की पहचान की। प्रारंभिक धारणा यह थी कि a और b में 1 के अलावा कोई सामान्य गुणक नहीं हैं, लेकिन हमने पाया कि a और b दोनों 3 से विभाज्य हैं।

    10. निष्कर्ष: इस विरोधाभास का अर्थ है कि √3 परिमेय होने की प्रारंभिक धारणा गलत है। इसलिए, √3 अपरिमेय है।

12. 12.सिद्ध कीजिए कि 3+2√5 अपरिमेय है।

    प्रमाण कि 3 + 2√5 अपरिमेय है

    चरण 1: मानना

    मानो कि 3 + 2√5 परिमेय है। इसका मतलब है कि इसे a/b के रूप में लिखा जा सकता है, जहां a और b पूर्णांक हैं और b शून्य नहीं है।

    चरण 2: समीकरण

    तो, 3 + 2√5 = a/b

    चरण 3: b से गुणा करें

    b(3 + 2√5) = a

    चरण 4: विस्तार करें

    3b + 2b√5 = a

    चरण 5: √5 को अलग करें

    2b√5 = a - 3b

    चरण 6: 2b से भागें

    √5 = (a - 3b) / 2b

    चरण 7: अवलोकन

    यहां, √5 को (a - 3b) / 2b के रूप में लिखा गया है, जिसका मतलब है कि √5 परिमेय होगा। लेकिन हम जानते हैं कि √5 अपरिमेय है।

    चरण 8: निष्कर्ष

    हमारा शुरुआती मानना कि 3 + 2√5 परिमेय है, गलत है। इसलिए, 3 + 2√5 अपरिमेय है।
    
    

13. 13.

    1. मान्यता: हम मान लेते हैं कि 3232​ परिमेय है। इसका मतलब है कि इसे ba​ के रूप में लिखा जा सकता है, जहां a और b पूरे अंक हैं और b शून्य नहीं है।

    2. समीकरण: इससे हमें समीकरण 32=32​=ba​ मिलता है।

    3. भिन्न को हटाना: भिन्न को हटाने के लिए, हम दोनों पक्षों को b से गुणा करते हैं: 32×=32​×b=
       a

    4. सरलीकरण: इससे 32=3b2​=a मिलता है।

    5. दोनों पक्षों को वर्ग: समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करने से (32)2=2(3b2​)2=a2 मिलता है, जो 92×2=29b2×2=a2 या 182=218b2=a2 में बदलता है।

    6. विरोधाभास: समीकरण के बाएं पक्ष 18218b2 एक समांक है, जिससे 2a2 भी समांक होता है। इसका मतलब है, a भी समांक होना चाहिए। अगर a समांक है, तो =2a=2n होगा किसी पूरे अंक n के लिए।

    7. प्रतिस्थापन: =2a=2n को 182=218b2=a2 में प्रतिस्थापित करने से 182=4218b2=4n2 या 92=229b2=2n2 मिलता है।

    8. विरोधाभास फिर से: दाएं पक्ष 222n2 एक समांक है, जिससे 929b2 भी समांक होता है। इसका मतलब है, b भी समांक होना चाहिए।

    9. निष्कर्ष: a और b दोनों समांक हैं, जो हमारे प्रारंभिक मान्यता को विरोधित करते हैं कि ba​ इसके सबसे सादे रूप में है (क्योंकि दोनों समांक नहीं हो सकते सबसे सादे रूप में)। इसलिए, हमारा मौलिक मान्यता कि 3232​ परिमेय है, गलत होना चाहिए। इसलिए, 3232​ अपरिमेय है।

14. 14.शीघ्र पुनरीक्षण

    1. वास्तविक संख्याएँ:

    • वास्तविक संख्याएँ वे सभी संख्याएँ हैं जिनका इस्तेमाल हम रोज़मर्रा की जिंदगी में करते हैं। इनमें परिमेय संख्याएँ (जैसे 2, ½, 0.75) और अपरिमेय संख्याएँ (जैसे √2, π) शामिल हैं। सरल शब्दों में, यदि आप इसे संख्या रेखा पर रख सकते हैं, तो वह एक वास्तविक संख्या है।

    2. म.स. और ल.स.:

    • म.स. (महत्तम समापवर्तक): यह वह सबसे बड़ी संख्या है जो दो या अधिक संख्याओं को बिना शेष छोड़े विभाजित कर सकती है। उदाहरण के लिए, 12 और 16 का म.स. 4 है।
    • ल.स. (लघुत्तम समापवर्त्य): यह वह सबसे छोटी संख्या है जो दो या अधिक संख्याओं का गुणज है। उदाहरण के लिए, 12 और 16 का ल.स. 48 है।

    3. अपरिमेय संख्याओं की पुनर्विचार:

    • अपरिमेय संख्याएँ वे वास्तविक संख्याएँ हैं जिन्हें साधारण भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता। इनके दशमलव भाग न तो दोहराते हैं और न ही समाप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, π (3.14159...) और √2 (लगभग 1.41421...) अपरिमेय संख्याएँ हैं।

    महत्वपूर्ण सूत्र और कार्यान्वयन:

    1. म.स. का पता लगाना:
       • सूत्र: म.स. के लिए कोई सीधा सूत्र नहीं है, लेकिन इसे अक्सर यूक्लिडीय एल्गोरिदम या प्राइम फैक्टराइजेशन का उपयोग करके खोजा जाता है।
       • उदाहरण: 18 और 24 का म.स. खोजने के लिए, उनके प्राइम फैक्टर्स की सूची बनाएं: 18 = 2 × 3 × 3, 24 = 2 × 2 × 2 × 3। सामान्य कारक 2 और 3 हैं, इसलिए म.स. = 2 × 3 = 6।
    2. ल.स. का पता लगाना:
       • सूत्र: दो संख्याओं का ल.स. = (संख्याओं का गुणनफल) / उन संख्याओं का म.स.
       • उदाहरण: 18 और 24 के लिए, ल.स. = (18 × 24) / म.स. (6) = 432 / 6 = 72।