संभाव्यता — कक्षा 10 गणित नोट्स

संभाव्यता में शामिल टॉपिक

1. 1.प्रस्तावना

   गणित में, संभावना यह मापती है कि कुछ होने की कितनी संभावना है। कल्पना करें कि आपके पास एक थैली है जिसमें 5 लाल गेंदें और 5 नीली गेंदें हैं। यदि आप अपनी आंखें बंद करके एक गेंद चुनते हैं, तो लाल गेंद चुनने की क्या संभावना है? संभावना हमें यह जानने में मदद करती है।

   संभावना का मूल सूत्र है:

   संभावना=अनुकूल परिणामों की संख्यासंभव परिणामों की कुल संख्यासंभावना=संभव परिणामों की कुल संख्याअनुकूल परिणामों की संख्या​

   उदाहरण में, अनुकूल परिणाम लाल गेंद चुनना है। लाल गेंदें 5 हैं, इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या 5 है। कुल गेंदों की संख्या 10 है (5 लाल + 5 नीली)। इसलिए, लाल गेंद चुनने की संभावना है:

   लाल गेंद की संभावना=510=0.5लाल गेंद की संभावना=105​=0.5

   इसका मतलब है कि लाल गेंद चुनने का 50% मौका है।

   वास्तविक जीवन का उदाहरण: मान लीजिए आपके पास एक ताश के पत्ते का डेक है (कुल 52 कार्ड)। आप जानना चाहते हैं कि एक इक्का चुनने की संभावना क्या है। डेक में 4 इक्के हैं। इसलिए, एक इक्का चुनने की संभावना है:

   इक्का की संभावना=452=113इक्का की संभावना=524​=131​

   यह पोकर या ब्लैकजैक जैसे खेलों में उपयोगी है, जहां ऑड्स जानने से आप बेहतर निर्णय ले सकते हैं।

   संभावना का उपयोग करने वाले करियर:

   • सांख्यिकीविद डेटा का विश्लेषण करने और भविष्यवाणियां करने के लिए संभावना का उपयोग करते हैं।
   • गेम डिजाइनर इसे खेलों को न्यायसंगत और रोमांचक बनाने के लिए उपयोग करते हैं।
   • वित्तीय विश्लेषक जोखिमों का आकलन करने और निवेश निर्णय लेने के लिए संभावना का उपयोग करते हैं।

2. 2.एक बैग में एक लाल गेंद, एक नीली गेंद और एक पीली गेंद है, सभी गेंदें हैं एक ही आकार का. कृतिका बिना देखे बैग से एक गेंद निकालती है। क्या है संभावना है कि वह इसे निकाल लेगी (i) पीली गेंद? (ii) लाल गेंद? (iii) नीली गेंद?

   इस संभावना समस्या को हल करने के लिए, हम वही मूल सूत्र उपयोग करते हैं:

   संभावना=अनुकूल परिणामों की संख्यासंभव परिणामों की कुल संख्यासंभावना=संभव परिणामों की कुल संख्याअनुकूल परिणामों की संख्या​

   इस परिदृश्य में, थैली में 3 गेंदें हैं: 1 लाल, 1 नीला, और 1 पीला। इसलिए, कुल संभावित परिणामों की संख्या 3 है।

   1. पीली गेंद निकालने की संभावना:

      • 1 पीली गेंद है
      • कुल गेंदें = 3
      • संभावना = 1331​
        

   2. लाल गेंद निकालने की संभावना:

      • 1 लाल गेंद है
      • कुल गेंदें = 3
      • संभावना = 1331​
        

   3. नीली गेंद निकालने की संभावना:

      • 1 नीली गेंद है
      • कुल गेंदें = 3
      • संभावना = 1331​
        

   इसलिए, प्रत्येक गेंद के लिए, कृतिका द्वारा उसे निकालने की संभावना 1331​

3. 3.यदि P(E) = 0.05, तो 'E नहीं' की प्रायिकता क्या है?

   संभावना सिद्धांत में, घटना "E" के होने की संभावना को P(E) के रूप में दर्शाया जाता है। घटना "नॉट E" के होने की संभावना, जिसका मतलब है कि घटना E नहीं होती, को (नॉट)P(नॉट E) के रूप में दर्शाया जाता है।

   संभावना सिद्धांत में, सभी संभावित परिणामों की संभावनाओं का योग 1 के बराबर होना चाहिए। इसलिए, अगर E के होने की संभावना 0.05 (या 5%) है, तो E के नहीं होने की संभावना है:

   (नॉट)=1−P(नॉट E)=1−P(E) (नॉट)=1−0.05P(नॉट E)=1−0.05 (नॉट)=0.95P(नॉट E)=0.95

   इसलिए, "नॉट E" की संभावना 0.95, या 95% है।

4. 4.एक बैग में केवल नींबू के स्वाद वाली कैंडीज़ हैं। मालिनी बिना एक कैंडी निकालती है बैग में देख रहे हैं. इसकी क्या प्रायिकता है कि वह बाहर निकल जाएगी? (i) एक नारंगी स्वाद वाली कैंडी? (ii) नींबू के स्वाद वाली कैंडी?

   इस स्थिति में, हम जानते हैं कि थैली में केवल नींबू स्वाद वाली कैंडीज हैं। आइए संभावनाओं का विश्लेषण करें:

   1. संतरे के स्वाद वाली कैंडी निकालने की संभावना:

      • चूंकि थैली में केवल नींबू स्वाद वाली कैंडीज हैं, इसलिए थैली में कोई संतरे के स्वाद वाली कैंडीज नहीं हैं।
      • इसका मतलब है कि संतरे के स्वाद वाली कैंडी निकालने की संभावना 0 है। इसके होने की कोई संभावना नहीं है।

   2. नींबू के स्वाद वाली कैंडी निकालने की संभावना:

      • थैली में सभी कैंडीज नींबू के स्वाद वाली हैं।
      • इसलिए, नींबू के स्वाद वाली कैंडी निकालने की संभावना 1 (या 100%) है। यह सुनिश्चित है क्योंकि थैली में अन्य प्रकार की कैंडीज नहीं हैं।

5. 5.सिक्का उछालना यह तय करने का उचित तरीका क्यों माना जाता है कि किस टीम को पुरस्कार मिलना चाहिए? फ़ुटबॉल खेल की शुरुआत में गेंद?

   सिक्का उछालना फुटबॉल खेल की शुरुआत में किस टीम को गेंद मिलेगी, यह तय करने के लिए एक निष्पक्ष तरीका माना जाता है क्योंकि यह एक यादृच्छिक प्रक्रिया है जो दोनों टीमों को जीतने का समान मौका देती है। यहाँ क्यों है:

   1. समान संभावना: एक मानक सिक्के में दो पक्ष होते हैं - हेड्स और टेल्स - और जब सिक्का उछाला जाता है तो प्रत्येक के ऊपर आने की समान संभावना होती है। इसका मतलब है कि हेड्स के लिए 50% मौका और टेल्स के लिए 50% मौका है।

   2. अप्रत्याशितता: सिक्के के उछाल के परिणाम को भविष्यवाणी करना लगभग असंभव है। उछाल की शक्ति, वायु प्रतिरोध, और उतरने की सतह जैसे कारक परिणाम की यादृच्छिकता में योगदान करते हैं।

   3. सादगी और गति: सिक्का उछालना एक त्वरित और सरल विधि है। इसे करने के लिए किसी विशेष उपकरण, कौशल, या बहुत अधिक समय की आवश्यकता नहीं होती, जिससे यह खेल की शुरुआत में निष्पक्ष निर्णय लेने का एक कुशल तरीका बनता है।

   4. तटस्थ और निष्पक्ष: सिक्का स्वयं किसी भी टीम के प्रति कोई पसंद या पक्षपात नहीं करता है। यह एक निर्जीव वस्तु है जो एक पक्ष के ऊपर दूसरे पक्ष को पसंद नहीं करती, जिससे निष्पक्षता सुनिश्चित होती है।

   ये कारक सिक्का उछालने को फुटबॉल सहित कई खेलों में गेंद के साथ शुरुआत करने का निर्णय लेने के लिए एक व्यापक रूप से स्वीकृत और निष्पक्ष विधि बनाते हैं।

6. 6.यह दिया गया है कि 3 छात्रों के एक समूह में, 2 छात्रों के पास नहीं होने की संभावना है वही जन्मदिन 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों विद्यार्थियों की संख्या समान है? जन्मदिन?

   ह जानने के लिए कि तीन छात्रों के समूह में दो छात्रों के जन्मदिन समान होने की संभावना क्या है, हम संभावना में पूरक नियम का उपयोग कर सकते हैं। पूरक नियम के अनुसार, किसी घटना के न होने की संभावना 1 माइनस उस घटना के होने की संभावना होती है।

   दी गई जानकारी:

   • दो छात्रों के जन्मदिन अलग होने की संभावना 0.992 है।

   हमें यह जानना है:

   • दो छात्रों के जन्मदिन समान होने की संभावना क्या है।

   पूरक नियम का उपयोग करते हुए: (समान जन्मदिन)=1−(अलग जन्मदिन)P(समान जन्मदिन)=1−P(अलग जन्मदिन) (समान जन्मदिन)=1−0.992P(समान जन्मदिन)=1−0.992 (समान जन्मदिन)=0.008P(समान जन्मदिन)=0.008

   इसलिए, तीन छात्रों में से दो के जन्मदिन समान होने की संभावना 0.008, या 0.8% है।

7. 7.एक बॉक्स में 5 लाल मार्बल, 8 सफ़ेद मार्बल और 4 हरे मार्बल हैं। बक्से से यादृच्छिक रूप से एक मार्बल निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया मार्बल (i) लाल होगा? (ii) सफ़ेद? (iii) हरा नहीं?

   इन संभावनाओं की गणना संभावना के सूत्र का उपयोग करके करते हैं:

   संभावना=अनुकूल परिणामों की संख्यासंभव परिणामों की कुल संख्यासंभावना=संभव परिणामों की कुल संख्याअनुकूल परिणामों की संख्या​

   इस मामले में, डिब्बे में 5 लाल मार्बल्स, 8 सफेद मार्बल्स और 4 हरे मार्बल्स हैं। इसलिए, कुल मार्बल्स की संख्या 5 (लाल) + 8 (सफेद) + 4 (हरा) = 17 मार्बल्स है।

   1. लाल मार्बल निकालने की संभावना:
      
      

      • लाल मार्बल्स की संख्या = 5
      • कुल मार्बल्स = 17
      • लाल की संभावना = 517175​
        

   2. 
      सफेद मार्बल निकालने की संभावना:
      
      

      • सफेद मार्बल्स की संख्या = 8
      • कुल मार्बल्स = 17
      • सफेद की संभावना = 817178​
        

   3. 
      हरा मार्बल नहीं निकालने की संभावना:
      
      

      • हरे मार्बल्स के बिना मार्बल्स की संख्या = लाल + सफेद = 5 + 8 = 13
      • कुल मार्बल्स = 17
      • हरा नहीं की संभावना = 13171713​
        

   इसलिए, संभावनाएं हैं:

   • लाल मार्बल: 517175​
   • सफेद मार्बल: 817178​
   • हरा नहीं मार्बल: 13171713​
     
     

8. 8.एक गुल्लक में 50 पैसे के सौ सिक्के, पचास रुपये हैं। एक सिक्का, बीस रु. 2 सिक्के और 5 रुपये के दस सिक्के. यदि यह समान रूप से संभावना है कि बैंक को उल्टा करने पर सिक्कों में से एक गिर जाएगा, तो इसकी क्या संभावना है कि सिक्का (i) 50 पैसे का सिक्का होगा? (ii)

   गुल्लक में कुल सिक्कों की संख्या जानने के बाद, हम संभावना की गणना कर सकते हैं:

   1. कुल सिक्कों की संख्या:

      • 100100 पचास-पैसे के सिक्के
      • 5050 एक-रुपए के सिक्के
      • 2020 दो-रुपए के सिक्के
      • 1010 पांच-रुपए के सिक्के
      • कुल = 100+50+20+10=180100+50+20+10=180 सिक्के

   2. 
      50 पैसे के सिक्के की संभावना:

      • अनुकूल परिणामों की संख्या (पचास-पैसे के सिक्के) = 100100
      • कुल सिक्कों की संख्या = 180180
      • संभावना = 100180=1018180100​=1810​

   3. 
      5 रुपए के सिक्के की संभावना न होने की:

      • जो सिक्के 5 रुपए के नहीं हैं उनकी संख्या = 100100 (पचास-पैसे) + 5050 (एक-रुपए) + 2020 (दो-रुपए) = 170170
      • कुल सिक्कों की संख्या = 180180
      • संभावना = 170180=1718180170​=1817​

   इसलिए, संभावनाएं हैं:

   • 50 पैसे का सिक्का पाने की: 10181810​
   • 5 रुपए का सिक्का न पाने की: 17181817​
     
     

9. 9.गोपी अपने एक्वेरियम के लिए एक दुकान से मछली खरीदता है। दुकानदार एक टैंक से यादृच्छिक रूप से एक मछली निकालता है जिसमें 5 नर मछलियाँ और 8 मादा मछलियाँ हैं (चित्र देखें)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?

   
   
   

   गोपी को एक नर मछली मिलने की संभावना जानने के लिए हम संभावना का मूल सूत्र उपयोग करते हैं:

   संभावना=अनुकूल परिणामों की संख्यासंभव परिणामों की कुल संख्यासंभावना=संभव परिणामों की कुल संख्याअनुकूल परिणामों की संख्या​

   टैंक में 5 नर मछलियाँ और 8 मादा मछलियाँ हैं, जिससे कुल मिलाकर 5 + 8 = 13 मछलियाँ होती हैं।

   अब, हम एक नर मछली निकालने की संभावना की गणना करते हैं:

   1. अनुकूल परिणामों की संख्या (नर मछली) = 5
   2. संभव परिणामों की कुल संख्या (कुल मछलियाँ) = 13

   सूत्र का उपयोग करते हुए, नर मछली निकालने की संभावना है:

   (नर मछली)=513P(नर मछली)=135​

   इसलिए, निकाली गई मछली एक नर मछली होने की संभावना 513135​ है।

10. 10.संयोग के खेल में एक तीर घूमना शामिल है जो 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (चित्र देखें) में से किसी एक पर इंगित करते हुए रुक जाता है, और ये समान रूप से संभावित परिणाम हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह (i) 8 पर इंगित करेगा? (ii) एक विषम संख्या? (iii) 2 से बड़ी संख्

    इस संभावना समस्या को हल करने के लिए, हम मूल संभावना सूत्र लागू कर सकते हैं:

    संभावना=अनुकूल परिणामों की संख्यासंभव परिणामों की कुल संख्यासंभावना=संभव परिणामों की कुल संख्याअनुकूल परिणामों की संख्या​

    दिए गए खेल में 1 से 8 तक की संख्याएँ हैं, और प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित है, इसलिए कुल संभावित परिणामों की संख्या 8 है।

    1. संभावना कि यह 8 पर इशारा करेगा:

       • अनुकूल परिणामों की संख्या (8 पर इशारा करना) = 1
       • संभावना = 1881​
         

    2. संभावना कि यह एक विषम संख्या (1, 3, 5, 7) पर इशारा करेगा:

       • अनुकूल परिणामों की संख्या (विषम संख्याएँ) = 4
       • संभावना = 48=1284​=21​
         

    3. संभावना कि यह 2 से अधिक संख्या (3, 4, 5, 6, 7, 8) पर इशारा करेगा:

       • अनुकूल परिणामों की संख्या (2 से अधिक संख्याएँ) = 6
       • संभावना = 68=3486​=43​
         

    4. संभावना कि यह 9 से कम संख्या (जिसमें सभी दी गई संख्याएँ शामिल हैं) पर इशारा करेगा:

       • अनुकूल परिणामों की संख्या (9 से कम संख्याएँ) = 8।
       • संभावना = 88=188​=1

    इसलिए, संभावनाएं हैं:

    • 8 पर इशारा करना: 1881​ या 12.5%
    • एक विषम संख्या पर इशारा करना: 1221​ या 50%
    • 2 से अधिक संख्या पर इशारा करना: 3443​ या 75%
    • 9 से कम संख्या पर इशारा करना: 11 या 100%

11. 11.एक पासा एक बार फेंका जाता है। प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (i) एक अभाज्य संख्या; (ii) 2 और 6 के बीच स्थित एक संख्या; (iii) एक विषम संख्या

    प्रत्येक दिए गए स्थिति के लिए संभावना की गणना करते हैं। एक मानक पासा में छह फेस होते हैं, जिन्हें 1 से 6 तक नंबर किया गया है।

    1. एक अभाज्य संख्या: पासा पर अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं।

       • अनुकूल परिणामों की संख्या (अभाज्य संख्याएँ) = 3 (2, 3, 5)
       • संभव परिणामों की कुल संख्या (पासा के फेस) = 6
       • एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की संभावना = 36=1263​=21​

    2. 2 और 6 के बीच एक संख्या: 2 और 6 के बीच आने वाली संख्याएँ 3, 4, और 5 हैं।

       • अनुकूल परिणामों की संख्या (2 और 6 के बीच संख्याएँ) = 3 (3, 4, 5)
       • 2 और 6 के बीच एक संख्या प्राप्त करने की संभावना = 36=1263​=21​

    3. एक विषम संख्या: पासा पर विषम संख्याएँ 1, 3 और 5 हैं।

       • अनुकूल परिणामों की संख्या (विषम संख्याएँ) = 3 (1, 3, 5)
       • एक विषम संख्या प्राप्त करने की संभावना = 36=1263​=21​

    प्रत्येक स्थिति में, संभावना 1221​ है, जिसका मतलब है कि पासा एक बार फेंकने पर इनमें से प्रत्येक घटना के घटित होने का 50% मौका है।

12. 12.52 ताशों की अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (i) लाल रंग का एक राजा (ii) एक फेस कार्ड (iii) एक लाल फेस कार्ड (iv) दिल का जैक (v) कुदाल (vi) हीरों की रानी

    (i) लाल रंग का एक राजा पाने की संभावना:

    • सूत्र: संभावना = (अनुकूल घटनाएँ) / (कुल घटनाएँ)
    • अनुकूल घटनाएँ: 2 लाल रंग के राजा
    • कुल घटनाएँ: 52 कार्ड
    • संभावना = 2/52 = 1/26

    (ii) एक फेस कार्ड पाने की संभावना:

    • अनुकूल घटनाएँ: 12 फेस कार्ड (4 किंग्स, 4 क्वींस, और 4 जैक्स)
    • संभावना = 12/52 = 3/13

    (iii) एक लाल रंग का फेस कार्ड पाने की संभावना:

    • अनुकूल घटनाएँ: 6 लाल रंग के फेस कार्ड (2 लाल रंग के किंग्स, 2 लाल रंग की क्वींस, और 2 लाल रंग के जैक्स)
    • संभावना = 6/52 = 3/26

    (iv) हार्ट्स का जैक पाने की संभावना:

    • अनुकूल घटनाएँ: 1 हार्ट्स का जैक
    • संभावना = 1/52

    (v) पान का एक पान पाने की संभावना:

    • अनुकूल घटनाएँ: 13 पान
    • संभावना = 13/52 = 1/4

    (vi) डायमंड्स की क्वींस पाने की संभावना:

    • अनुकूल घटनाएँ: 1 डायमंड्स की क्वींस
    • संभावना = 1/52

13. 13.पाँच कार्ड - दस, जैक, क्वीन, किंग और हीरों का इक्का, उनके साथ अच्छी तरह से मिश्रित हैं नीचे की ओर मुख करें. फिर यादृच्छिक रूप से एक कार्ड उठाया जाता है। (i) इसकी क्या प्रायिकता है कि कार्ड रानी है? (ii) यदि रानी को निकालकर एक तरफ रख दिया जाए, तो इसकी क्या

    
    

    चलिए कदम-कदम से प्राप्तियों की संभावनाएं प्राप्त करते हैं।

    (i) कार्ड जो चुना गया है, वह क्वीन है, इसकी संभावना:

    • पांच कार्डों में से केवल एक डायमंड की क्वीन है।
    • कुल कार्डों की संख्या 5 है (टेन, जैक, क्वीन, किंग, और एस ऑफ डायमंड्स)।
    • इसलिए, क्वीन को चुनने की संभावना 1/5 है।

    (ii) अगर क्वीन चुनी जाती है और उसे एक ओर रख दिया जाता है:

    (a) दूसरा कार्ड जो चुना जाता है, वह एक एस है, इसकी संभावना:

    • क्वीन को हटाने के बाद, अब चार कार्ड बचे हैं (टेन, जैक, किंग, और एस)।
    • इन चार बचे हुए कार्डों में से एक एस है।
    • इसलिए, दूसरे कार्ड को एक एस के रूप में चुनने की संभावना 1/4 है।

    (b) दूसरा कार्ड जो चुना जाता है, वह क्वीन है, इसकी संभावना:

    • क्वीन को हटाने के बाद, अब चार कार्ड बचे हैं (टेन, जैक, किंग, और एस)।
    • क्योंकि क्वीन पहले ही हटा दी गई है, तो बचे हुए कार्डों में कोई क्वीन नहीं है।
    • इसलिए, दूसरे कार्ड को क्वीन के रूप में चुनने की संभावना 0 है (असंभावित)।

    संक्षेपित करने के लिए: (i) पहले क्वीन को चुनने की संभावना: 1/5 (ii) (a) दूसरे कार्ड को एक एस के रूप में चुनने की संभावना: 1/4 (b) दूसरे कार्ड को क्वीन के रूप में चुनने की संभावना: 0

14. 14.12 ख़राब पेन को गलती से 132 अच्छे पेन के साथ मिला दिया जाता है। बस यह संभव नहीं है एक पेन को देखो और बताओ कि वह ख़राब है या नहीं। एक पेन यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है यह बहुत. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पेन अच्छा है।

    
    

    यह निर्धारित करने के लिए कि उठाया गया कलम एक अच्छा है, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

    संभावना (अच्छा कलम) = (अच्छे कलमों की संख्या) / (कुल कलमों की संख्या)

    इस मामले में, हमारे पास 12 खराब कलमों को 132 अच्छे कलमों के साथ मिलाया गया है, इसलिए:

    अच्छे कलमों की संख्या = 132 कुल कलमों की संख्या = 12 (खराब कलम) + 132 (अच्छे कलम) = 144

    अब, हम संभावना की गणना कर सकते हैं:

    संभावना (अच्छा कलम) = 132 / 144

    इस भिन्न को सरल करने के लिए, हम 132 और 144 का महत्वपूर्ण सामान्य घातक (GCD) ढूंढ सकते हैं, जो 12 है। फिर, हम उपरकोंयारी और निमरकोयारी को दोनों को 12 से विभाजित कर सकते हैं:

    संभावना (अच्छा कलम) = (132 / 12) / (144 / 12) संभावना (अच्छा कलम) = 11 / 12

    इसलिए, यहां से उठाया गया कलम एक अच्छा होने की संभावना 11/12 है।

15. 15.एक बॉक्स में 90 डिस्क हैं जिन पर 1 से 90 तक क्रमांक अंकित हैं। यदि एक डिस्क यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है बॉक्स से, इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इसमें (i) दो अंकों की संख्या है (ii) पूर्ण संख्या है वर्ग संख्या (iii) 5 से विभाज्य संख्या।

    (i) एक डिस्क निकालने की तीन अंशों की संभावना:

    • दो-अंक संख्याएँ 10 से 90 तक हैं (समावेशी), इसका मतलब है कि बॉक्स में 90 - 10 + 1 = 81 दो-अंक संख्याएँ हैं।
    • बॉक्स में कुल डिस्क की संख्या 90 है।
    • इसलिए, डिस्क निकालने की तीन-अंक संख्या की संभावना 81/90 है।

    (ii) सही वर्ग संख्या के साथ एक डिस्क निकालने की संभावना:

    • 1 से 90 तक सही वर्ग संख्याएं 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, और 64 हैं।
    • बॉक्स में 8 सही वर्ग संख्याएँ हैं।
    • बॉक्स में कुल डिस्क की संख्या 90 है।
    • इसलिए, सही वर्ग संख्या के साथ एक डिस्क निकालने की संभावना 8/90 है।

    (iii) 5 से विभाज्य संख्या के साथ एक डिस्क निकालने की संभावना:

    • 1 से 90 तक 5 से विभाज्य संख्याएं 5, 10, 15,..., 85, 90 हैं।
    • बॉक्स में 18 5 से विभाज्य संख्याएँ हैं।
    • बॉक्स में कुल डिस्क की संख्या 90 है।
    • इसलिए, 5 से विभाज्य संख्या के साथ एक डिस्क निकालने की संभावना 18/90 है।

    संक्षेपित करने के लिए: (i) दो-अंक संख्या निकालने की संभावना: 81/90 (ii) सही वर्ग संख्या निकालने की संभावना: 8/90 (iii) 5 से विभाज्य संख्या निकालने की संभावना: 18/90

16. 16.शीघ्र पुनरीक्षण

    गणित में संभावना का मतलब है कि कुछ होने की कितनी संभावना है। इसे यूँ समझें कि कल बारिश होगी या नहीं, या ताश के पत्तों में से लाल कार्ड निकालने की संभावना।

    मुख्य अवधारणाएं:

    1. प्रयोग: कोई कार्य जो आप करते हैं ताकि देख सकें क्या होता है (जैसे, सिक्का उछालना)।
    2. परिणाम: प्रयोग का नतीजा (जैसे, चित या पट)।
    3. नमूना स्थान: सभी संभावित परिणाम (जैसे, चित और पट)।
    4. घटना: एक विशिष्ट परिणाम या परिणामों का सेट जिसमें हम रुचि रखते हैं (जैसे, चित प्राप्त करना)।

    महत्वपूर्ण सूत्र:

    1. किसी घटना की संभावना: (घटना)=अनुकूल परिणामों की संख्याकुल परिणामों की संख्याP(घटना)=कुल परिणामों की संख्याअनुकूल परिणामों की संख्या​
       • उदाहरण: सिक्का उछालने पर चित प्राप्त करने की संभावना 1221​ है क्योंकि दो परिणाम हैं (चित और पट), और केवल 1 अनुकूल है (चित)।

    सूत्र का उपयोग कैसे करें:

    • कुल परिणामों की संख्या की पहचान करें।
    • ये गिनें कि इनमें से कितने आपके घटना के अनुकूल हैं।
    • अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल परिणामों की संख्या से विभाजित करें।

    यह वास्तविक जीवन में मौसम की भविष्यवाणी, खेलों, और यहाँ तक कि व्यापारिक निर्णयों में परिणामों की भविष्यवाणी करने में उपयोगी है।