दो चर वाले रैखिक समीकरणों का युग्म — कक्षा 10 गणित नोट्स

दो चर वाले रैखिक समीकरणों का युग्म · कक्षा 10 गणित · 20 टॉपिक.

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दो चर वाले रैखिक समीकरणों का युग्म में शामिल टॉपिक

  1. 1.दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म का परिचय

    कल्पना करें कि आप और आपका दोस्त बिना डिब्बे को खोले उसमें चॉकलेट्स और कुकीज़ की संख्या अनुमान लगा रहे हैं। आप एक अनुमान लगाते हैं, जैसे, "अगर 2 चॉकलेट्स हैं, तो 3 कुकीज़ होनी चाहिए।" आपका दोस्त दूसरा अनुमान लगाता है, जैसे, "अगर 5 चॉकलेट्स हैं, तो 4 कुकीज़ होंगी।" ये अनुमान रैखिक समीकरणों की तरह होते हैं क्योंकि ये दो चीजों (चॉकलेट्स और कुकीज़) को एक सरल तरीके से जोड़ते हैं।

    गणित में, दो चरों में एक रैखिक समीकरण इस प्रकार दिखता है: +=ax+by=c, जहाँ a, b, और c संख्याएँ होती हैं, और x और y चर होते हैं (जैसे कि हमारे उदाहरण में चॉकलेट्स और कुकीज़)।

    जब आपके पास ऐसे दो समीकरण होते हैं, तो इसे "दो चरों में रैखिक समीकरणों की जोड़ी" कहा जाता है। उदाहरण के लिए:

    1. 2+3=62x+3y=6
    2. 5+4=205x+4y=20

    रोचक बात यह है कि चॉकलेट्स और कुकीज़ की सटीक संख्या (या x और y के मान) का पता लगाना, जो आपके अनुमान और आपके दोस्त के अनुमान दोनों को सही ठहराते हैं। गणित में, यह समीकरणों को हल करके x और y के मान पता लगाने जैसा है।

    वास्तविक जीवन का उदाहरण:

    मान लीजिए आप एक दुकान पर हैं जहाँ वे पैक में पेन और पेंसिल बेचते हैं। एक पैक में 2 पेन और 3 पेंसिल की कीमत 50 रुपये है, और दूसरे पैक में 5 पेन और 4 पेंसिल की कीमत 110 रुपये है। एक पेन और एक पेंसिल की कीमत पता करने के लिए, आप दो समीकरण स्थापित कर सकते हैं और उन्हें हल कर सकते हैं। यह दो रैखिक समीकरणों की जोड़ी को हल करने जैसा है।

    करियर में उपयोग:

    यह अवधारणा विभिन्न क्षेत्रों में इस्तेमाल की जाती है जैसे कि अर्थशास्त्र (मांग और आपूर्ति की गणना करने के लिए), इंजीनियरिंग में (सिस्टम डिजाइनिंग या समस्याओं को हल करने के लिए), और यहाँ तक कि रोजमर्रा की जिंदगी में बजटिंग या योजना बनाने के लिए भी।

  2. 2.रैखिक समीकरण युग्म को रेखांकन द्वारा हल करना

    दो रैखिक समीकरणों को ग्राफिकली हल करना दो पथों को खींचने और यह देखने जैसा है कि वे कहाँ मिलते हैं या क्या वे कभी मिलते भी हैं। यह विधि समीकरणों के समाधानों को दृश्य रूप में प्रस्तुत करती है। आइए हम देखें कि हम किस प्रकार के समाधानों का सामना कर सकते हैं:

    समाधानों के प्रकार:

    1. अनन्य समाधान (इंटरसेक्टिंग लाइन्स):

      • क्या होता है: समीकरणों को दर्शाने वाली लाइनें एक बिंदु पर मिलती हैं।
      • अर्थ: इस बिंदु के निर्देशांक दोनों समीकरणों के समाधान हैं।
      • उदाहरण: समीकरण जैसे =2+3y=2x+3 और =−+1y=−x+1 एक बिंदु पर मिल सकते हैं, माना (2,7)। इसका मतलब है =2x=2 और =7y=7 समाधान है।

    2. कोई समाधान नहीं (समांतर लाइन्स):

      • क्या होता है: लाइनें समांतर होती हैं और कभी नहीं मिलती।
      • अर्थ: कोई भी बिंदु दोनों समीकरणों को साथ-साथ संतुष्ट नहीं करता है।
      • उदाहरण: समीकरण जैसे =2+3y=2x+3 और =2−4y=2x−4 समांतर हैं क्योंकि उनकी ढाल समान है लेकिन वे अलग y-अच्छांक हैं।

    3. अनंत समाधान (कॉइन्सिडेंट लाइन्स):

      • क्या होता है: समीकरणों को दर्शाने वाली लाइनें समान होती हैं, अर्थात वे पूरी तरह से एक-दूसरे के ऊपर होती हैं।
      • अर्थ: लाइन पर हर बिंदु दोनों समीकरणों का समाधान है।
      • उदाहरण: समीकरण जैसे =2+3y=2x+3 और 2=4+62y=4x+6 मूल रूप से एक ही लाइन हैं, इसलिए उनके अनंत समाधान होते हैं।

    वास्तविक जीवन का उदाहरण:

    कल्पना कीजिए कि आप और आपका दोस्त पार्क में मिलने का स्थान ढूंढ रहे हैं। आप जो पथ अपनाते हैं वह समीकरणों की तरह हैं।

    1. अनन्य समाधान: आप दोनों एक विशिष्ट स्थान पर मिलने के लिए सहमत होते हैं (इंटरसेक्शन)।
    2. कोई समाधान नहीं: आप दोनों ऐसे पथों पर चलते हैं जो कभी नहीं मिलते (समांतर लाइन्स)।
    3. अनंत समाधान: आप दोनों एक ही पथ पर चलते हैं (कॉइन्सिडेंट लाइन्स), इसलिए बहुत सारे स्थान हैं जहाँ आप मिल सकते हैं।

    ग्राफिकली रैखिक समीकरणों को हल करना स्पष्ट दृश्य प्रतिनिधित्व प्रदान करता है, जिससे समाधानों की प्रकृति को समझना आसान हो जाता है।

  3. 3.ग्राफ़िक रूप से जाँचें कि समीकरणों का युग्म है या नहीं x + 3y = 6 (1) और 2x – 3y = 12 (2)

    ग्राफिकल रूप से जांचने के लिए कि क्या समीकरणों की जोड़ी +3=6x+3y=6 और 2−3=122x−3y=12 का कोई समाधान है, हमें दोनों समीकरणों को एक ही अक्षों के सेट पर अंकित करना होगा और देखना होगा कि रेखाएँ कहाँ मिलती हैं।

    यहाँ हम इसे कदम दर कदम कैसे करेंगे:

    1. समीकरणों को ढाल-अंतररूप (y = mx + b) में पुनर्व्यवस्थित करें:

      • समीकरण (1) के लिए, +3=6x+3y=6, y के लिए हल करें: 3=−+63y=−x+6 =−13+2y=−31​x+2

      • समीकरण (2) के लिए, 2−3=122x−3y=12, y के लिए हल करें: −3=−2+12−3y=−2x+12 =23−4y=32​x−4

    2. प्रत्येक समीकरण के y-अंतररूप को अंकित करें:

      • समीकरण (1) के लिए, y-अंतररूप =2y=2 पर है।
      • समीकरण (2) के लिए, y-अंतररूप =−4y=−4 पर है।

    3. प्रत्येक रेखा के लिए ढाल का उपयोग करके एक और बिंदु खोजें:

      • समीकरण (1) के लिए, ढाल −13−31​ है, जिसका मतलब है x-अक्ष पर बाएँ या दाएँ हर कदम के लिए, रेखा y-अक्ष पर 1/3 कदम नीचे या ऊपर जाती है।
      • समीकरण (2) के लिए, ढाल 2332​ है, जिसका मतलब है x-अक्ष पर दाएँ हर कदम के लिए, रेखा y-अक्ष पर 2/3 कदम ऊपर जाती है।

    4. रेखाएँ खींचें:

      • प्रत्येक समीकरण के लिए पाए गए बिंदुओं के माध्यम से रेखा खींचें।

    5. इंटरसेक्शन की खोज करें:

      • दो रेखाएँ जिस बिंदु पर मिलती हैं वह समीकरणों की प्रणाली का समाधान होगा। अगर वे नहीं मिलती हैं, तो कोई समाधान नहीं है।

    चलिए इन दो समीकरणों के लिए ग्राफ बनाते हैं ताकि हम उनके इंटरसेक्शन को देख सकें।

    ग्राफ समीकरणों +3=6x+3y=6 और 2−3=122x−3y=12 को दर्शाती रेखाओं को दिखाता है। हम देख सकते हैं कि ग्राफ पर रेखाएँ एक विशेष बिंदु पर मिलती हैं। इस बिंदु के निर्देशांक दोनों समीकरणों के समाधान हैं, जिसका अर्थ है कि इस प्रणाली का ठीक एक समाधान है, और इस प्रकार समीकरणों की जोड़ी संगत और स्वतंत्र है।

  4. 4.चंपा कुछ पैंट और स्कर्ट खरीदने के लिए एक 'सेल' में गई। जब उसकी सहेलियों ने उससे पूछा कि उसने कितने पैंट खरीदे हैं, तो उसने जवाब दिया, "स्कर्ट की संख्या खरीदी गई पैंट की संख्या के दोगुने से दो कम है...

    चंपा कुछ पैंट और स्कर्ट खरीदने के लिए एक 'सेल' में गई। जब उसकी सहेलियों ने उससे पूछा कि उसने कितने पैंट खरीदे हैं, तो उसने उत्तर दिया, “स्कर्ट की संख्या खरीदी गई पैंट की संख्या के दोगुने से दो कम है। इसके अलावा, स्कर्ट की संख्या खरीदी गई पैंट की संख्या के चार गुना से चार कम है। चंपा ने कितने पैंट और स्कर्ट खरीदे, यह जानने में उसकी सहेलियों की मदद करें। आइए कदम दर कदम समस्या का समाधान करें और फिर समाधान को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करें।

    चरण 1: कथनों को समीकरणों में अनुवाद करें

    मान लेते हैं चंपा ने जो पैंट खरीदे हैं उन्हें p से और स्कर्ट्स को s से दर्शाया गया है।

    चंपा के कथनों से हमें निम्नलिखित दो समीकरण मिलते हैं:

    1. स्कर्ट्स की संख्या पैंट्स की दोगुनी से दो कम है: =2−2s=2p−2 (समीकरण 1)

    2. स्कर्ट्स की संख्या पैंट्स की चार गुना से चार कम है: =4−4s=4p−4 (समीकरण 2)

    चरण 2: समीकरणों की प्रणाली को हल करें

    अब, हम इन समीकरणों को हल करके p और s के मान खोजेंगे।

    चूंकि दोनों समीकरण s के बराबर हैं, हम उन्हें एक-दूसरे के बराबर सेट कर सकते हैं: 2−2=4−42p−2=4p−4

    p के लिए हल करते हैं: 2−4=−4+22p−4p=−4+2 −2=−2−2p=−2 =1p=1

    अब हम =1p=1 को समीकरण 1 में प्रतिस्थापित करके s का मान खोजेंगे: =2(1)−2s=2(1)−2 =2−2s=2−2 =0s=0

    यह सुझाव देता है कि चंपा ने 1 पैंट और 0 स्कर्ट खरीदी है, लेकिन यह सही नहीं लगता है क्योंकि इसका मतलब है कि उसने कोई स्कर्ट नहीं खरीदी है, जबकि वास्तव में उसने खरीदी है। तो, आइए हम समीकरण 2 का उपयोग करते हैं और देखते हैं कि क्या हमसे कोई गलती हुई है: =4(1)−4s=4(1)−4 =4−4s=4−4 =0s=0

    हमें फिर से वही उत्तर मिलता है, लेकिन हम जानते हैं कि चंपा ने स्कर्ट खरीदी हैं, इसलिए समीकरण या कथन गलत हो सकते हैं या गलत व्याख्या की गई हो सकती है।

    चरण 3: ग्राफिकल प्रतिनिधित्व

    तार्किक असंगति के बावजूद, हम फिर भी समीकरणों को ग्राफ पर दिखाकर उनके चौराहे को देख सकते हैं। आइए हम दो समीकरणों के ग्राफ बनाते हैं।

    ग्राफ चंपा के कथनों से निकाले गए समीकरणों को दर्शाता है:

    • नीली रेखा समीकरण =2−2s=2p−2 (समीकरण 1) को प्रस्तुत करती है।
    • नारंगी रेखा समीकरण =4−4s=4p−4 (समीकरण 2) को प्रस्तुत करती है।
    • लाल बिंदु आधारित हमारे बीजगणितीय समाधान पर चौराहे के बिंदु को दिखाता है, जहाँ =1p=1 और =0s=0 है।

    हालांकि, पहले चर्चा के अनुसार, चंपा द्वारा 1 पैंट और 0 स्कर्ट खरीदे जाने का समाधान समस्या के संदर्भ से मेल नहीं खाता है, क्योंकि हम उम्मीद कर रहे हैं कि उसने कम से कम एक स्कर्ट खरीदी होगी। यह सुझाव देता है कि समस्या के विवरण में कोई संभावित समस्या हो सकती है। इस विरोधाभास को हल करने के लिए, हमें चंपा की खरीद के बारे में अतिरिक्त या सही जानकारी की आवश्यकता होगी।

  5. 5.अनुपात a1/a2, b1/b2 और c1/c2 की तुलना करने पर पता लगाएं कि रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित जोड़े का प्रतिनिधित्व करने वाली रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं या नहीं, समानांतर हैं या संपाती हैं:

    (i) 5x – 4y + 8 = 0, 7x + 6y – 9 = 0

    (ii) 9x + 3y + 12 = 0, 18x + 6y + 24 = 0 चलिए दोनों समीकरणों की जोड़ियों के लिए अनुपात 12,12,और12a2​a1​​,b2​b1​​,औरc2​c1​​ की तुलना करते हैं और यह निर्धारित करते हैं कि क्या इन समीकरणों द्वारा प्रतिनिधित्व की जाने वाली रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं, समानांतर हैं या संयोगी हैं:

    (i) पहली जोड़ी के लिए समीकरण हैं: 5−4+8=05x−4y+8=0 7+6−9=07x+6y−9=0

    इनके अनुपात हैं: 12=57,12=−46,12=8−9a2​a1​​=75​,b2​b1​​=6−4​,c2​c1​​=−98​

    यहाँ, 12≠12a2​a1​​=b2​b1​​, इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर मिलेंगी। इसका मतलब है कि ये समीकरण एक अद्वितीय समाधान देते हैं और इसलिए ये रेखाएँ एक दूसरे को काटती हैं।

    (ii) दूसरी जोड़ी के लिए समीकरण हैं: 9+3+12=09x+3y+12=0 18+6+24=018x+6y+24=0

    इनके अनुपात हैं: 12=918,12=36,12=1224a2​a1​​=189​,b2​b1​​=63​,c2​c1​​=2412​

    सभी अनुपात बराबर हैं, यानी 12=12=12a2​a1​​=b2​b1​​=c2​c1​​, इसलिए ये रेखाएँ संयोगी हैं। इसका मतलब है कि ये समीकरण अनंत समाधान देते हैं और ये रेखाएँ एक दूसरे के ऊपर बिल्कुल मेल खाती हैं।

    तो, पहली जोड़ी की रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं और दूसरी जोड़ी की रेखाएँ संयोगी हैं। अब, आइए इन जोड़ियों के समीकरणों को ग्राफिक रूप से दर्शाते हैं ताकि हम अपने निष्कर्षों की दृश्य पुष्टि कर सकें। पहली जोड़ी के लिए, हम उम्मीद करते हैं कि रेखाएँ एक बिंदु पर काटती हुई दिखाई देंगी, और दूसरी जोड़ी के लिए, हम उम्मीद करते हैं कि रेखाएँ मेल खाती हुई दिखेंगी। आइए उन्हें प्लॉट करें:

    ग्राफिकल प्रतिनिधित्व में दो सेट के रैखिक समीकरण दिखाए गए हैं:

    पहली जोड़ी (बाईं ओर) के लिए, समीकरणों 5−4+8=05x−4y+8=0 और 7+6−9=07x+6y−9=0 के अनुरूप रेखाएँ दिखाई दे रही हैं। वे एक बिंदु पर मिलती हैं, जिससे पुष्टि होती है कि इस जोड़ी के समीकरणों का एक अनूठा समाधान है।

    दूसरी जोड़ी (दाईं ओर) के लिए, समीकरणों 9+3+12=09x+3y+12=0 और 18+6+24=018x+6y+24=0 के अनुरूप रेखाएँ दिखाई दे रही हैं। वे संयोगी हैं, जिसका मतलब है कि वे एक दूसरे के ऊपर स्थित हैं, जिससे पुष्टि होती है कि इस जोड़ी के समीकरणों के अनंत समाधान हैं।

    ग्राफिकल प्रतिनिधित्व में, पहली जोड़ी के लिए चौराहे का बिंदु उस प्रणाली के समीकरणों के अनूठे समाधान का स्थान है। दूसरी जोड़ी के लिए मेल खाती हुई रेखाएँ यह दर्शाती हैं कि रेखा पर हर बिंदु समीकरणों की प्रणाली के लिए एक समाधान है, इस प्रकार अनंत समाधान हैं।

  6. 6.अनुपात a1/a2, b1/b2 और c1/c2 की तुलना करने पर, पता लगाएं कि रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित जोड़ी सुसंगत है या असंगत है।

    (i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
    (ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
    (iii) 3/2 x + 5/3 y = 7; 9x – 10y = 14

    जोड़ी 1:

    समीकरण 1: 3+2=5समीकरण 1: 3x+2y=5 समीकरण 2: 2−3=7समीकरण 2: 2x−3y=7

    अनुपात: 12=32,12=2−3,12=57a2​a1​​=23​,b2​b1​​=−32​,c2​c1​​=75​

    चूंकि 12≠12a2​a1​​=b2​b1​​ है, इसलिए रेखाएँ समानांतर नहीं हैं और एक बिंदु पर मिलेंगी। यह जोड़ी समीकरण सुसंगत है क्योंकि इनका एक अनोखा समाधान है।

    जोड़ी 2:

    समीकरण 1: 2−3=8समीकरण 1: 2x−3y=8 समीकरण 2: 4−6=9समीकरण 2: 4x−6y=9

    अनुपात: 12=24,12=−3−6,12=89a2​a1​​=42​,b2​b1​​=−6−3​,c2​c1​​=98​

    यहाँ 12=12a2​a1​​=b2​b1​​ है लेकिन 12≠12c2​c1​​=a2​a1​​ है, जिसका मतलब है कि रेखाएँ समानांतर हैं और नहीं मिलती हैं। यह जोड़ी समीकरण असुसंगत है क्योंकि कोई भी समाधान दोनों समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।

    जोड़ी 3:

    समीकरण 1: 32+53=7समीकरण 1: 23​x+35​y=7 समीकरण 2: 9−10=14समीकरण 2: 9x−10y=14

    तुलना की सरलता के लिए, आइए समीकरण 1 के गुणांकों को 6 से गुणा करें ताकि भिन्न हटाया जा सके: समीकरण 1 (संशोधित): 9+10=42समीकरण 1 (संशोधित): 9x+10y=42

    अनुपात: 12=99,12=10−10,12=4214a2​a1​​=99​,b2​b1​​=−1010​,c2​c1​​=1442​

    यहाँ, 12=12=−1a2​a1​​=b2​b1​​=−1 और 12=3c2​c1​​=3 है। x और y के गुणांकों के अनुपात बराबर हैं लेकिन विपरीत चिन्ह में हैं, और स्थिरांकों का अनुपात गुणांकों के अनुपात से मेल नहीं खाता है। इसका मतलब है कि रेखाएँ न तो समानांतर हैं और न ही संयोगी हैं; इसलिए वे एक बिंदु पर मिलेंगी। यह जोड़ी समीकरण सुसंगत है और इसका एक अनूठा समाधान है।

  7. 7.एक आयताकार बगीचे की आधी परिधि, जिसकी लंबाई इसकी चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, 36 मीटर है। बगीचे के आयाम ज्ञात कीजिए


    बगीचे के आयामों को खोजने के लिए, हम दी गई जानकारी का उपयोग कर समीकरण स्थापित कर सकते हैं। समस्या यह बताती है कि बगीचे का आधा परिधि 36 मीटर है, और बगीचे की लंबाई उसकी चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है।

    चलिए बगीचे की चौड़ाई को w मीटर मानते हैं। इस प्रकार, बगीचे की लंबाई +4w+4 मीटर होगी।

    एक आयत का परिधि निम्नलिखित सूत्र से दिया जाता है: परिधि=2×(लंबाई+चौड़ाई)परिधि=2×(लंबाई+चौड़ाई)

    परिधि का आधा भाग 36 मीटर बताया गया है, इसलिए: 12×परिधि=3621​×परिधि=36
    परिधि=36×2परिधि=36×2
    परिधि=72परिधि=72

    अब लंबाई और चौड़ाई के लिए दिए गए अभिव्यक्तियों को परिधि सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 72=2×(+(+4))72=2×(w+(w+4))

    इस समीकरण को हल करने से हमें चौड़ाई मिलेगी, और फिर हम लंबाई पा सकते हैं। आइए गणित करें:

    बगीचे के आयाम निम्नलिखित हैं:

    • चौड़ाई (w) = 16 मीटर
    • लंबाई (+4w+4) = 20 मीटर

    इस प्रकार, बगीचा 16 मीटर चौड़ा और 20 मीटर लंबा है।

  8. 8.समीकरण x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 के ग्राफ़ बनाएं। इन रेखाओं और x-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक निर्धारित करें, और त्रिकोणीय क्षेत्र को छायांकित करें।

    ऊपर दिखाया गया ग्राफ समीकरण −+1=0x−y+1=0 और 3+2−12=03x+2y−12=0 को दर्शाता है, साथ ही एक्स-अक्ष के साथ मिलकर बनाए गए त्रिकोणीय क्षेत्र को भी। शेडेड क्षेत्र इस त्रिकोणीय क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है।

    त्रिकोण के शीर्ष बिंदुओं के निर्देशांक इस प्रकार हैं:

    1. (0,0)(0,0) - मूल बिंदु, जहाँ दोनों रेखाएँ एक्स-अक्ष को काटती हैं।
    2. (2,0)(2,0) - दोनों रेखाओं के चौराहे का एक्स-निर्देशांक, जो एक्स-अक्ष के साथ है।
    3. (2,3)(2,3) - दोनों रेखाओं के चौराहे का बिंदु।

    यह ग्राफिक रूप से इन दो रेखाओं और एक्स-अक्ष द्वारा बनाए गए त्रिकोणीय क्षेत्र को दर्शाता है।

  9. 9.रैखिक समीकरणों के एक युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधियाँ।

    बीजगणितीय विधियाँ एक जोड़ी रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए प्रयोग की जाती हैं। ये समीकरण इस प्रकार दिखाई देते हैं:

    +=ax+by=c +=dx+ey=f

    जहाँ a, b, c, d, e, और f स्थिरांक हैं, और x और y वे चर हैं जिन्हें हमें खोजना है।

    तीन मुख्य बीजगणितीय विधियाँ हैं:

    1. प्रतिस्थापन विधि:

      • एक समीकरण को एक चर (कहें x) के लिए हल करें।
      • इस अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में x के स्थान पर प्रतिस्थापित करें।
      • प्रतिस्थापित समीकरण को y के लिए हल करें।
      • y के मान का उपयोग करके x का पता लगाएं।

    2. निष्कासन विधि:

      • प्रत्येक समीकरण को एक उपयुक्त संख्या से गुणा करें ताकि एक चर (या तो x या y) के गुणांक समान हो जाएं।
      • एक चर को समाप्त करने के लिए समीकरणों को जोड़ें या घटाएं।
      • शेष चर के लिए हल करें।
      • इस मान को मूल समीकरणों में से एक में प्रतिस्थापित करें ताकि दूसरे चर का पता लगा सकें।

    3. क्रॉस-गुणन विधि:

      • जब समीकरण इस रूप में हों 1+1=1xa1​​+yb1​​=c1​ और 2+2=2xa2​​+yb2​​=c2​।
      • आड़े-तिरछे गुणा करें और x और y के मान ढूंढें।

    उदाहरण सत्यापन के साथ:

    समीकरणों पर विचार करें: +=10x+y=10 2−=32x−y=3

    आइए इसे प्रतिस्थापन विधि से हल करते हैं:

    1. पहले समीकरण से, =10−x=10−y।
    2. इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 2(10−)−=32(10−y)−y=3
    3. सरलीकृत करें और y के लिए हल करें: 20−2−=320−2y−y=3 20−3=320−3y=3 3=173y=17 =173y=317​
    4. y को =10−x=10−y में प्रतिस्थापित करें: =10−173=30−173=133x=10−317​=330−17​=313​

    तो, =133x=313​ और =173y=317​।

    सत्यापन:

    इन मानों को मूल समीकरणों में वापस प्रतिस्थापित करें:

    1. +=133+173=10x+y=313​+317​=10 (सत्य)
    2. 2−=2×133−173=32x−y=2×313​−317​=3 (सत्य)

    चूंकि दोनों समीकरण सत्य हैं, हमारा समाधान सही है।

    वास्तविक जीवन उदाहरण:

    कल्पना कीजिए कि आप एक पार्टी की योजना बना रहे हैं। आप कुछ कुर्सियां और मेजें खरीदना चाहते हैं। एक कुर्सी की कीमत ₹100 है, और एक मेज की कीमत ₹300 है। आपका बजट ₹7000 है और आपको यह पता लगाना है कि आप कितने कुर्सियां और मेजें खरीद सकते हैं। इसे एक जोड़ी रैखिक समीकरणों के रूप में मॉडल किया जा सकता है:

    माना x कुर्सियों की संख्या है, और y मेजों की संख्या। तो, हमारे पास है: 100+300=7000100x+300y=7000 +=एकविशेषसंख्याजोस्थानपरआधारितहैx+y=एकविशेषसंख्याजोस्थानपरआधारितहै

    आप बीजगणितीय विधियों का उपयोग करके पता लगा सकते हैं कि आप कितनी कुर्सियां और मेजें खरीद सकते हैं।

    बीजगणितीय समीकरणों के कैरियर अनुप्रयोग:

    1. अर्थशास्त्र और व्यापार:

      • अर्थशास्त्री आपूर्ति और मांग, मूल्य निर्धारण रणनीतियों, और वित्तीय पूर्वानुमान को मॉडल करने के लिए रैखिक समीकरणों का उपयोग करते हैं।
      • व्यापार में, रैखिक समीकरण बजट निर्धारण, वित्तीय विश्लेषण, और बाजार अनुसंधान में मदद करते हैं।

    2. इंजीनियरिंग:

      • इंजीनियर प्रणालियों और संरचनाओं को डिजाइन करने और विश्लेषण करने के लिए रैखिक समीकरणों का उपयोग करते हैं, जैसे पुलों में बलों की गणना या सर्किट में विद्युतीय प्रवाह की गणना करना।

    3. कंप्यूटर विज्ञान:

      • एल्गोरिदम अक्सर रैखिक समीकरणों को हल करने में शामिल होते हैं। ये मशीन सीखने में भविष्यवाणियों के लिए और गेम विकास में यथार्थवादी गति बनाने के लिए इस्तेमाल किए जाते हैं।

    4. स्थापत्य और निर्माण:

      • आर्किटेक्ट और निर्माण प्रबंधक इमारतों को डिजाइन करने और निर्माण परियोजनाओं की योजना बनाने के लिए रैखिक समीकरणों का उपयोग करते हैं, जिससे सामग्री और लागत का सही संतुलन सुनिश्चित होता है।

    5. स्वास्थ्य सेवा:

      • स्वास्थ्य सेवा में, दवा की खुराक की गणना करने और रोगों के प्रसार का अनुमान लगाने के लिए रैखिक समीकरणों का उपयोग किया जाता है।

    इस प्रकार, रैखिक समीकरणों को समझना विभिन्न कैरियरों में संभावनाओं का एक विश्व खोलता है, जो वास्तविक दुनिया की परिदृश्यों में गणित के व्यावहारिक अनुप्रयोग को दर्शाता है।

  10. 10.निम्नलिखित समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल करें: 7x – 15y = 2 (1), x + 2y = 3 (2)

    आइए इन समीकरणों को प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके हल करें:

    दिए गए समीकरण:

    1. 7−15=27x−15y=2 (समीकरण 1)
    2. +2=3x+2y=3 (समीकरण 2)

    चरण 1: एक समीकरण को एक चर के लिए हल करें।

    समीकरण 2 को x के लिए हल करें: =3−2x=3−2y

    चरण 2: इस अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

    समीकरण 1 में =3−2x=3−2y प्रतिस्थापित करें: 7(3−2)−15=27(3−2y)−15y=2

    चरण 3: सरलीकरण करें और y के लिए हल करें।

    21−14−15=221−14y−15y=2
    −29=2−21−29y=2−21
    −29=−19−29y=−19
    =−19−29y=−29−19​ =1929y=2919​

    चरण 4: y को x के अभिव्यक्ति में वापस प्रतिस्थापित करें। =3−2×1929x=3−2×2919​ =3−3829
    x=3−2938​ =8729−3829
    x=2987​−2938​ =4929
    x=2949​

    इसलिए, समाधान है =4929x=2949​ और =1929y=2919​।

    सत्यापन:

    1. समीकरण 1 में x और y प्रतिस्थापित करें: 7×4929−15×1929=2
      7×2949​−15×2919​=2
      34329−28529=229343​−29285​=2
      5829=22958​=2
      2=22=2 (सत्य)

    2. समीकरण 2 में x और y प्रतिस्थापित करें: 4929+2×1929=32949​+2×2919​=3
      4929+3829=32949​+2938​=3
      8729=32987​=3
      3=33=3 (सत्य)

    चूंकि दोनों समीकरण सही हैं, हमारा समाधान सही है।

  11. 11.एक दुकान में 2 पेंसिल और 3 रबर की कीमत 9 रुपये और 4 की कीमत है पेंसिल और 6 रबर की कीमत 18 रुपये है। प्रत्येक पेंसिल और प्रत्येक इरेज़र का मूल्य ज्ञात कीजिए।

    इस समस्या को हल करने के लिए, हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का उपयोग करेंगे। आइए परिभाषित करें:

    • एक पेंसिल की लागत को p।
    • एक इरेज़र की लागत को e।

    समस्या हमें दो स्थितियाँ देती है:

    1. 2 पेंसिल और 3 इरेज़र की लागत ₹9 है। तो, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: 2+3=92p+3e=9।
    2. 4 पेंसिल और 6 इरेज़र की लागत ₹18 है। इससे हमें समीकरण मिलता है: 4+6=184p+6e=18।

    अब, आइए इन समीकरणों को हल करें:

    समीकरण 1: 2+3=92p+3e=9 समीकरण 2: 4+6=184p+6e=18

    हम देख सकते हैं कि समीकरण 2 वास्तव में समीकरण 1 का दोगुना है। इसका मतलब है कि दोनों समीकरण पेंसिल और इरेज़र की लागत के बीच समान संबंध को दर्शाते हैं। इसलिए, p और e के लिए एक अनूठा समाधान पाने के लिए हमें एक और स्वतंत्र समीकरण की आवश्यकता होगी।

    हालांकि, हम दिए गए समीकरण से पेंसिल और इरेज़र की लागत के बीच एक संबंध खोजने का प्रयास कर सकते हैं। चलिए समीकरण 2 को 2 से विभाजित कर सरलीकृत करते हैं:

    2+3=92p+3e=9

    यह समीकरण 1 के समान है, जो इंगित करता है कि p और e का कोई भी संयोजन जो एक समीकरण को संतुष्ट करता है, दूसरे को भी संतुष्ट करेगा।

    p और e के लिए विशिष्ट मूल्यों को खोजने के लिए, हमें अलग से पेंसिल या इरेज़र की लागत की अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता होगी। इसके बिना, ऐसे अनंत समाधान हैं जो इन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक पेंसिल ₹1 की है, तो एक इरेज़र ₹3 का होगा; यदि एक पेंसिल ₹2 की है, तो एक इरेज़र ₹2 का होगा, और इसी तरह, जब तक समीकरण 2+3=92p+3e=9 संतुष्ट न हो जाए।

  12. 12.निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल करें।

    (i) x + y = 14, x – y = 4 (ii) s – t = 3, s/3 t/2 = 6 (iii) √ 2x + √3y = 0, √3x - √8y = 0

    आइए इन जोड़ी रैखिक समीकरणों को प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके हल करें:

    (i) +=14,−=4x+y=14,x−y=4

    1. पहले समीकरण को x के लिए हल करें: =14−x=14−y

    2. इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 14−−=414−y−y=4 14−2=414−2y=4 2=102y=10 =5y=5

    3. अब =5y=5 को =14−x=14−y में वापस प्रतिस्थापित करें: =14−5=9x=14−5=9

    इसलिए, =9x=9 और =5y=5।

    (ii) −=3,3+2=6s−t=3,3s​+2t​=6

    1. पहले समीकरण को s के लिए हल करें: =+3s=t+3

    2. इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: +33+2=63t+3​+2t​=6 2 और 3 का लघुतम सामान्य गुणज (6) से गुणा करें ताकि अंशों को हटाया जा सके: 2(+3)+3=362(t+3)+3t=36 2+6+3=362t+6+3t=36 5=305t=30 =6t=6

    3. =6t=6 को =+3s=t+3 में वापस प्रतिस्थापित करें: =6+3=9s=6+3=9

    इसलिए, =9s=9 और =6t=6।

    (iii) 2+3=0,3−8=02​x+3​y=0,3​x−8​y=0

    1. पहले समीकरण को x के लिए हल करें: 2=−32​x=−3​y
      =−32x=−2​3​​y

    2. इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 3(−32)−8=03​(−2​3​​y)−8​y=0 −32−8=0
      −2​3​y−8​y=0 अंशों को हटाने के लिए 22​ से गुणा करें: −3−22=0
      −3y−22​y=0 (−3−22)=0
      y(−3−22​)=0

    3. चूंकि (−3−22)=0y(−3−22​)=0, या तो =0y=0 होगा या कोष्ठक में दिया गया शब्द शून्य होगा। बाद वाला सत्य नहीं हो सकता है, इसलिए =0y=0 है।

    4. =0y=0 को पहले समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: 2+3(0)=02​x+3​(0)=0
      2=02​x=0
      =0x=0

    इसलिए, =0x=0 और =0y=0 है।

  13. 13.2x + 3y = 11 और 2x - 4y = - 24 को हल करें और इसलिए 'm' का मान ज्ञात करें जिसके लिए y = mx+ 3.


    आइए पहले दिए गए रैखिक समीकरणों को हल करें, और फिर =+3y=mx+3 में 'm' का मान ढूंढें।

    समीकरणों को हल करना

    दिए गए समीकरण हैं:

    1. 2+3=112x+3y=11 (समीकरण 1)
    2. 2−4=−242x−4y=−24 (समीकरण 2)

    आइए इन्हें हल करने के लिए समापन विधि का उपयोग करें:

    चरण 1: दोनों समीकरणों में x के गुणांक को समान बनाएं।

    x के गुणांक पहले से ही समान हैं, इसलिए हम अगले चरण पर जा सकते हैं।

    चरण 2: समीकरण 2 को समीकरण 1 से घटाएं:

    (2+3)−(2−4)=11−(−24)(2x+3y)−(2x−4y)=11−(−24) 2+3−2+4=11+242x+3y−2x+4y=11+24 7=357y=35 =5y=5

    चरण 3: x का मान पाने के लिए y के मान को किसी एक मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

    समीकरण 1 का उपयोग करते हुए: 2+3(5)=112x+3(5)=11 2+15=112x+15=11 2=−42x=−4 =−2x=−2

    इस प्रकार, दिए गए समीकरणों का समाधान है =−2x=−2 और =5y=5।

    'm' का मान ढूंढना

    अब, हमें =+3y=mx+3 में 'm' का मान ढूंढना है, हमारे पाए गए x और y के मानों का उपयोग करते हुए।

    =−2x=−2 और =5y=5 को =+3y=mx+3 में प्रतिस्थापित करते हुए: 5=(−2)+35=m(−2)+3 5=−2+35=−2m+3 −2=5−3−2m=5−3 −2=2−2m=2 =−1m=−1

    इस प्रकार, =+3y=mx+3 के लिए 'm' का मान =−1m=−1 है।

  14. 14.निम्नलिखित समस्याओं के लिए रैखिक समीकरणों की जोड़ी बनाएं और उनके समाधान खोजें प्रतिस्थापन विधि.

    (i) दो संख्याओं के बीच का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी से तीन गुना है। उनका नंबर खोजें.

    आइए प्रत्येक समस्या के लिए रैखिक समीकरण बनाएं और फिर प्रतिस्थापन विधि से उन्हें हल करें।

    दो संख्याओं के बीच का अंतर

    माना दो संख्याएं x और y हैं, जिसमें x बड़ी संख्या है। हमारे पास है:

    1. उनका अंतर 26 है: −=26x−y=26।
    2. एक संख्या दूसरे की तीन गुना है: =3x=3y।

    प्रतिस्थापन विधि:

    =3x=3y को −=26x−y=26 में प्रतिस्थापित करें: 3−=263y−y=26 2=262y=26 =13y=13

    अब, =13y=13 को =3x=3y में वापस प्रतिस्थापित करें: =3(13)=39x=3(13)=39

    इसलिए, दो संख्याएं 39 और 13 हैं। (ii) दो संपूरक कोणों में से बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उनका नंबर खोजें.

    पूरक कोण

    माना दो कोण a और b हैं, जिसमें a बड़ा कोण है। पूरक कोणों का योग 180 डिग्री होता है, इसलिए:

    1. +=180a+b=180।
    2. बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री ज्यादा है: =+18a=b+18।

    प्रतिस्थापन विधि:

    =+18a=b+18 को +=180a+b=180 में प्रतिस्थापित करें: +18+=180b+18+b=180 2+18=1802b+18=180 2=1622b=162 =81b=81

    अब, =81b=81 को =+18a=b+18 में वापस प्रतिस्थापित करें: =81+18=99a=81+18=99

    इसलिए, दो कोण 99 डिग्री और 81 डिग्री हैं। (iii) एक क्रिकेट टीम का कोच 7 रुपये में 7 बल्ले और 6 गेंदें खरीदता है। 3800. बाद में, वह 3 बल्ले और 5 गेंदें रुपये में खरीदती है। 1750. प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिये।

    बैट्स और बॉल्स की लागत

    माना एक बैट की लागत p और एक बॉल की लागत q है। दिए गए शर्तें हैं:

    1. 7 बैट्स और 6 बॉल्स की लागत ₹3800 है: 7+6=38007p+6q=3800।
    2. 3 बैट्स और 5 बॉल्स की लागत ₹1750 है: 3+5=17503p+5q=1750।

    प्रतिस्थापन विधि:

    पहले समीकरण से p को हल करें: =3800−67p=73800−6q​

    इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 3(3800−67)+5=17503(73800−6q​)+5q=1750
    11400−187+5=1750711400−18q​+5q=1750
    11400−18+35=1225011400−18q+35q=12250 17=85017q=850 =50q=50

    अब, =50q=50 को पहले समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: 7+6(50)=38007p+6(50)=3800 7+300=38007p+300=3800 7=35007p=3500 =500p=500

    इसलिए, प्रत्येक बैट की लागत ₹500 और प्रत्येक बॉल की लागत ₹50 है।

  15. 15.दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 9: 7 है और उनके व्यय का अनुपात 4: 3 है। यदि उनमें से प्रत्येक प्रति माह 2000 रु. बचाने का प्रबंधन करता है, तो उनकी मासिक आय ज्ञात करें। उन्मूलन विधि द्वारा


    इस समस्या को हल करने के लिए, सबसे पहले हम दिए गए अनुपातों के आधार पर समीकरण स्थापित करेंगे और फिर उन्हें समापन विधि से हल करेंगे। हम अंत में हमारे समाधान की पुष्टि भी करेंगे।

    दो व्यक्तियों की आय को 99x और 77x माना जाए (चूंकि उनका अनुपात 9:7 है), और उनके व्यय को 44y और 33y (चूंकि उनके व्यय का अनुपात 4:3 है)। हमें बताया गया है कि प्रत्येक महीने ₹2000 बचत करता है।

    बचत को आय माइनस व्यय के रूप में गणना की जा सकती है। इसलिए, प्रत्येक व्यक्ति के लिए हमारे पास है:

    पहले व्यक्ति के लिए: आय - व्यय = बचत 9−4=20009x−4y=2000

    दूसरे व्यक्ति के लिए: आय - व्यय = बचत 7−3=20007x−3y=2000

    समापन विधि से हल करना

    एक चर को समाप्त करने के लिए, हम प्रत्येक समीकरण को उसी संख्या से गुणा कर सकते हैं ताकि दोनों समीकरणों में x या y के गुणांक समान हो जाएं। आइए y को समाप्त करें:

    पहले समीकरण को 3 से और दूसरे को 4 से गुणा करें:

    1. 3×(9−4)=3×20003×(9x−4y)=3×2000 27−12=600027x−12y=6000... (समीकरण 3)

    2. 4×(7−3)=4×20004×(7x−3y)=4×2000 28−12=800028x−12y=8000... (समीकरण 4)

    अब समीकरण 3 को समीकरण 4 से घटाएं: 28−12−(27−12)=8000−600028x−12y−(27x−12y)=8000−6000 28−12−27+12=200028x−12y−27x+12y=2000 =2000x=2000

    चूंकि =2000x=2000, इसे वापस मूल समीकरण में y पाने के लिए प्रतिस्थापित करें। 9−4=20009x−4y=2000 का उपयोग करते हुए: 9(2000)−4=20009(2000)−4y=2000 18000−4=200018000−4y=2000 −4=2000−18000−4y=2000−18000 −4=−16000−4y=−16000 =4000y=4000

    मासिक आय

    1. पहले व्यक्ति की आय = 9=9×2000=180009x=9×2000=18000 रुपये।
    2. दूसरे व्यक्ति की आय = 7=7×2000=140007x=7×2000=14000 रुपये।

    सत्यापन

    समाधान की पुष्टि करने के लिए व्यय और बचत की जांच करें:

    • पहले व्यक्ति का व्यय = 4=4×4000=160004y=4×4000=16000 रुपये, इसलिए बचत = 18000−16000=200018000−16000=2000 रुपये।
    • दूसरे व्यक्ति का व्यय = 3=3×4000=120003y=3×4000=12000 रुपये, इसलिए बचत = 14000−12000=200014000−12000=2000 रुपये।

    दोनों मामलों में बचत ₹2000 है, जो दी गई जानकारी से मेल खाती है, जिससे हमारा समाधान सत्यापित होता है।

  16. 16.निम्नलिखित जोड़ी के सभी संभावित समाधान खोजने के लिए उन्मूलन विधि का उपयोग करें रैखिक समीकरणों का : 2x + 3y = 8 (1), 4x + 6y = 7 (2)

    दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म को समापन विधि से हल करने के लिए, आइए पहले समीकरणों को देखें:

    1. 2+3=82x+3y=8... (समीकरण 1)
    2. 4+6=74x+6y=7... (समीकरण 2)

    समापन विधि का लक्ष्य एक चर को समाप्त करना है ताकि दोनों समीकरणों में उस चर के गुणांक समान हो जाएं और फिर एक समीकरण को दूसरे से घटाया जा सके। हालांकि, आगे बढ़ने से पहले इन दो समीकरणों के बीच के संबंध को नोट करना महत्वपूर्ण है।

    ध्यान दें कि समीकरण 2, समीकरण 1 का एक गुणज नहीं है। यदि ऐसा होता, तो वे समान होते, जिसका अर्थ है कि वे एक ही रेखा को दर्शाते। हालांकि, इस मामले में, वे एक दूसरे के गुणज नहीं हैं लेकिन दूसरे समीकरण में x और y के गुणांक पहले समीकरण में उनके गुणांकों का ठीक दोगुना हैं।

    आइए एक चर को समाप्त करने का प्रयास करें:

    समीकरण 1 को 2 से गुणा करें: 2×(2+3)=2×82×(2x+3y)=2×8 4+6=164x+6y=16... (समीकरण 3)

    अब हमारे पास है:

    • समीकरण 3: 4+6=164x+6y=16
    • समीकरण 2: 4+6=74x+6y=7

    समीकरण 2 को समीकरण 3 से घटाने पर: (4+6)−(4+6)=16−7(4x+6y)−(4x+6y)=16−7 0=90=9

    यह एक विरोधाभास है (0, 9 के बराबर नहीं है), जो दर्शाता है कि दो समीकरण असंगत हैं और इनका कोई समाधान नहीं है। चित्रात्मक शब्दों में, ये दो समीकरण दो समानांतर रेखाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जो कभी भी नहीं मिलती हैं, और इसलिए कोई भी बिंदु (x, y) ऐसे नहीं हैं जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करते हों। इसलिए, इस युग्म रैखिक समीकरणों का कोई भी संभावित समाधान नहीं है।

  17. 17.दो अंकों की एक संख्या और अंकों को उलटने पर प्राप्त संख्या का योग 66 है। यदि संख्या के अंकों में 2 का अंतर है, तो संख्या ज्ञात करें। ऐसे कितने संख्याएँ हैं?


    इस समस्या को हल करने के लिए, आइए दो अंकों वाली संख्या के अंकों को परिभाषित करें। दसियों का अंक x और इकाईयों का अंक y मान लें। फिर संख्या 10+10x+y होगी। जब अंकों को पलटा जाता है, तो संख्या 10+10y+x हो जाती है।

    दी गई जानकारी:

    1. मूल संख्या और उसके अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या का योग 66 है: (10+)+(10+)=66(10x+y)+(10y+x)=66

    2. संख्या के अंक 2 से अलग हैं: −=2x−y=2 या −=2y−x=2 (चूंकि हमें नहीं पता कि कौन सा अंक बड़ा है)

    आइए इन समीकरणों को हल करें।

    समीकरण निर्माण:

    पहली स्थिति से: 10++10+=6610x+y+10y+x=66 11+11=6611x+11y=66 +=6x+y=6... (समीकरण 1)

    दूसरी स्थिति से, हमारे पास दो संभावनाएं हैं: −=2x−y=2... (समीकरण 2a) −=2y−x=2... (समीकरण 2b)

    समीकरणों को हल करना:

    मामला 1: समीकरण 2a का उपयोग करते हुए:

    समीकरण 1 और समीकरण 2a को जोड़ें: +=6x+y=6 −=2x−y=2 2=82x=8 =4x=4

    समीकरण 1 में =4x=4 को प्रतिस्थापित करें: 4+=64+y=6 =2y=2

    तो, एक संख्या 4242 हो सकती है।

    मामला 2: समीकरण 2b का उपयोग करते हुए:

    समीकरण 1 और समीकरण 2b को जोड़ें: +=6x+y=6 −=2y−x=2 2=82y=8 =4y=4

    समीकरण 1 में =4y=4 को प्रतिस्थापित करें: +4=6x+4=6 =2x=2

    तो, दूसरी संख्या 2424 हो सकती है।

    निष्कर्ष:

    शर्तों को पूरा करने वाली दो संख्याएं 42 और 24 हैं। ऐसी दो संख्याएं हैं।

  18. 18.निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को विलोपन विधि और प्रतिस्थापन द्वारा हल करें तरीका

    (i) x + y = 5 and 2x – 3y = 4 (ii) 3x + 4y = 10 and 2x – 2y = 2 (iii) x/2 + 2y/3 = -1 and x - y/3 = 3

    आइए प्रत्येक युग्म रैखिक समीकरणों को समापन विधि और प्रतिस्थापन विधि से हल करें।

    (i) +=5x+y=5 और 2−3=42x−3y=4

    समापन विधि:

    1. पहले समीकरण को 3 से गुणा करें: 3(+)=3×53(x+y)=3×5 जो देता है 3+3=153x+3y=15।
    2. अब इसे दूसरे समीकरण के साथ जोड़ें: 3+3+2−3=15+43x+3y+2x−3y=15+4 जो सरलीकृत होकर 5=195x=19 होता है, तो =195x=519​।
    3. =195x=519​ को +=5x+y=5 में प्रतिस्थापित करें: 195+=5519​+y=5 जो देता है =5−195=65y=5−519​=56​।

    प्रतिस्थापन विधि:

    1. +=5x+y=5 से, =5−x=5−y प्राप्त करें।
    2. इसे 2−3=42x−3y=4 में प्रतिस्थापित करें: 2(5−)−3=42(5−y)−3y=4, जो सरलीकृत होकर 10−2−3=410−2y−3y=4 होता है, तो 5=65y=6, इसलिए =65y=56​।
    3. =65y=56​ को =5−x=5−y में प्रतिस्थापित करें: =5−65=195x=5−56​=519​।

    (ii) 3+4=103x+4y=10 और 2−2=22x−2y=2

    समापन विधि:

    1. दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें: 2(2−2)=2×22(2x−2y)=2×2 जो देता है 4−4=44x−4y=4।
    2. अब इसे पहले समीकरण के साथ जोड़ें: 3+4+4−4=10+43x+4y+4x−4y=10+4 जो सरलीकृत होकर 7=147x=14 होता है, तो =2x=2।
    3. =2x=2 को 3+4=103x+4y=10 में प्रतिस्थापित करें: 3(2)+4=103(2)+4y=10, जो देता है 4=44y=4, इसलिए =1y=1।

    प्रतिस्थापन विधि:

    1. 3+4=103x+4y=10 से, =10−43x=310−4y​ प्राप्त करें।
    2. इसे 2−2=22x−2y=2 में प्रतिस्थापित करें: 2(10−43)−2=22(310−4y​)−2y=2, जो सरलीकृत होकर 20−83−2=2320−8y​−2y=2 होता है, y के लिए हल करें तो =1y=1।
    3. =1y=1 को =10−43x=310−4y​ में प्रतिस्थापित करें: =10−4(1)3=2x=310−4(1)​=2।

    (iii) 2+23=−12x​+32y​=−1 और −3=3x−3y​=3

    समापन विधि:

    1. पहले समीकरण को 3 से और दूसरे को 2 से गुणा करें: 3(2+23)=3×(−1)3(2x​+32y​)=3×(−1) और 2(−3)=2×32(x−3y​)=2×3 जो देता है 32+2=−323x​+2y=−3 और 2−23=62x−32y​=6।
    2. अब इन समीकरणों को जोड़ें: 32+2+2−23=−3+623x​+2x+2y−32y​=−3+6, x के लिए हल करें।
    3. x के मान को एक मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें ताकि y का मान प्राप्त करें।

    प्रतिस्थापन विधि:

    1. 2+23=−12x​+32y​=−1 से, x को y के रूप में व्यक्त करें।
    2. इसे −3=3x−3y​=3 में प्रतिस्थापित करें और y के लिए हल करें।
    3. y के मान को चरण 1 के समीकरण में प्रतिस्थापित करें ताकि x का मान प्राप्त करें।

    इन चरणों को हल करके प्रत्येक मामले के लिए x और y के सटीक मान प्राप्त करें।

  19. 19.निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरणों का युग्म बनाइये और उनके हल ज्ञात कीजिये (यदि वे मौजूद हैं) उन्मूलन विधि द्वारा:

    (i) यदि हम अंश में 1 जोड़ते हैं और हर में से 1 घटाते हैं, तो भिन्न घटकर 1 हो जाती है। यदि हम हर में केवल 1 जोड़ते हैं तो यह 1/2 हो जाता है। भिन्न क्या है?

    (ii) पांच साल पहले, नूरी की उम्र सोनू से तीन गुना थी। दस साल बाद, नूरी की उम्र सोनू से दोगुनी होगी। नूरी और सोनू की उम्र कितनी है?

    (iii) किसी पुस्तकालय में पहले तीन दिनों के लिए एक निश्चित शुल्क और उसके बाद प्रत्येक दिन के लिए एक अतिरिक्त शुल्क होता है। सरिता ने सात दिनों तक रखी एक किताब के लिए ₹ 27 का भुगतान किया, जबकि सूसी ने पांच दिनों तक रखी गई किताब के लिए ₹ 21 का भुगतान किया। प्रत्येक अतिरिक्त दिन के लिए निर्धारित शुल्क और शुल्क ज्ञात करें।


    आइए प्रत्येक समस्या के लिए रैखिक समीकरणों के युग्म को बनाएं और फिर उन्हें समापन विधि से हल करें।

    (i) भिन्न संबंधित समस्या

    माना भिन्न का अंश x है और हर y है। समस्या के अनुसार, हमारे पास है:

    1. अंश में 1 जोड़ने और हर से 1 घटाने पर भिन्न 1 हो जाता है: +1−1=1y−1x+1​=1

    2. केवल हर में 1 जोड़ने पर भिन्न 1/2 हो जाता है: +1=12y+1x​=21​

    आइए इन्हें रैखिक समीकरणों में बदलें:

    1. +1=−1x+1=y−1... (समीकरण 1)
    2. 2=+12x=y+1... (समीकरण 2)

    समापन विधि से हल:

    1. समीकरण 2 से समीकरण 1 को घटाएं: (+1)−2=(−1)−(+1)(x+1)−2x=(y−1)−(y+1) −=−2−x=−2 =2x=2

    2. =2x=2 को समीकरण 2 में प्रतिस्थापित करें: 2(2)=+12(2)=y+1 4=+14=y+1 =3y=3

    भिन्न है =23yx​=32​।

    (ii) उम्र संबंधित समस्या

    माना नूरी की वर्तमान उम्र x वर्ष है और सोनू की वर्तमान उम्र y वर्ष है। समस्या के अनुसार, हमारे पास है:

    1. पांच वर्ष पहले, नूरी सोनू से तीन गुना बड़ा था: −5=3(−5)x−5=3(y−5)

    2. दस वर्ष बाद, नूरी सोनू से दोगुना बड़ा होगा: +10=2(+10)x+10=2(y+10)

    समापन विधि से हल:

    1. दोनों समीकरणों को विस्तारित करें और सरलीकृत करें:

      • समीकरण 1: −5=3−15x−5=3y−15 या −3=−10x−3y=−10... (समीकरण 3)
      • समीकरण 2: +10=2+20x+10=2y+20 या −2=10x−2y=10... (समीकरण 4)

    2. समीकरण 4 को समीकरण 3 से घटाएं: (−3)−(−2)=−10−10(x−3y)−(x−2y)=−10−10 −=−20−y=−20 =20y=20

    3. =20y=20 को समीकरण 3 या 4 में प्रतिस्थापित करें: −3(20)=−10x−3(20)=−10 =60−10x=60−10 =50x=50

    नूरी की उम्र 50 वर्ष है, और सोनू की उम्र 20 वर्ष है।

    (iii) पुस्तकालय शुल्क संबंधित समस्या

    माना नियत शुल्क x है और पहले तीन दिनों के बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का शुल्क y है। समस्या के अनुसार, हमारे पास है:

    1. सरिता ने सात दिनों के लिए रखी गई किताब के लिए ₹27 चुकाया: +4=27x+4y=27... (समीकरण 5)

    2. सुसी ने पांच दिनों के लिए रखी गई किताब के लिए ₹21 चुकाया: +2=21x+2y=21... (समीकरण 6)

    समापन विधि से हल:

    1. समीकरण 6 को समीकरण 5 से घटाएं: (+4)−(+2)=27−21(x+4y)−(x+2y)=27−21 2=62y=6 =3y=3

    2. =3y=3 को समीकरण 5 या 6 में प्रतिस्थापित करें: +4(3)=27x+4(3)=27 +12=27x+12=27 =15x=15

    नियत शुल्क ₹15 है, और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का शुल्क ₹3 है।

  20. 20.शीघ्र पुनरीक्षण

    1. दो चरों में रैखिक समीकरणों के युग्म का परिचय: दो चरों में रैखिक समीकरणों का युग्म इस प्रकार दिखाई देता है:

    • समीकरण 1: +=ax+by=c
    • समीकरण 2: +=dx+ey=f यहाँ, x और y चर हैं, और a, b, c, d, e, f स्थिरांक हैं। ये दोनों समीकरण मिलकर एक प्रणाली बनाते हैं जिसे हम हल कर सकते हैं x और y को खोजने के लिए।

    2. ग्राफिकल रूप से रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करना: ग्राफिकल रूप से समीकरणों को हल करने के लिए, दोनों समीकरणों को एक ही ग्राफ पर प्लॉट करें। दोनों रेखाओं का जो छेदन बिंदु है वही समाधान (x, y) है।

    3. रैखिक समीकरणों के युग्म को बीजगणितीय तरीकों से हल करना: बीजगणितीय रूप से, आप रैखिक समीकरणों के युग्म को निम्नलिखित तरीकों से हल कर सकते हैं:

    • प्रतिस्थापन विधि: एक समीकरण को एक चर के लिए हल करें और उसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
    • उन्मूलन विधि: समीकरणों को जोड़ें या घटाएं ताकि एक चर को समाप्त किया जा सके, जिससे दूसरे को हल करना आसान हो जाए।
    • क्रॉस-गुणन विधि: =xa​=yb​ के रूप में समीकरणों के लिए लागू होती है; क्रॉसवाइज गुणा करके चरों को खोजें।

    4. प्रतिस्थापन विधि से निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करें: इसके लिए आपको विशिष्ट समीकरणों की आवश्यकता होगी। हालांकि, यहाँ आप इसे कैसे करेंगे:

    • एक समीकरण को एक चर (मान लें x) के लिए हल करें।
    • इस अभिव्यक्ति को x में दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
    • y के लिए हल करें।
    • x को खोजने के लिए पहले समीकरण में y के मान को पुनः प्रतिस्थापित करें।

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