त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग — कक्षा 10 गणित नोट्स

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग में शामिल टॉपिक

1. 1.त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोगों का परिचय

   1. ऊंचाई मापना: ट्रिगोनोमेट्री उन ऊंची चीजों की ऊंचाई मापने में मदद करती है जैसे कि इमारतें, पहाड़, और पेड़।

   2. नेविगेशन: समुद्री यात्री और पायलट अपनी दिशा और दूरी जानने के लिए ट्रिगोनोमेट्री का उपयोग करते हैं।

   3. इंजीनियरिंग: पुल, इमारतें, और मशीनों के डिजाइन और निर्माण में ट्रिगोनोमेट्री की जरुरत होती है।

   4. भौतिकी: ट्रिगोनोमेट्री बल, ऊर्जा, और तरंगों की गणना में उपयोग होती है।

   5. खगोलविज्ञान: वैज्ञानिक तारों और ग्रहों के बीच की दूरी गणना करने के लिए ट्रिगोनोमेट्री का उपयोग करते हैं।

      वास्तविक जीवन का उदाहरण:

      मान लीजिए आपको एक पेड़ की ऊंचाई जाननी है, और आप जानते हैं कि पेड़ के शिखर को देखते समय ऊंचाई का कोण 30 डिग्री है। आप पेड़ से 20 मीटर दूर खड़े हैं।

      पेड़ की ऊंचाई (h) जानने के लिए, आप निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

      tan⁡(कोण)=पेड़ की ऊंचाईपेड़ से दूरीtan(कोण)=पेड़ से दूरीपेड़ की ऊंचाई​

      तो,

      tan⁡(30)=ℎ20tan(30)=20h​ℎ=20×tan⁡(30)=20×13≈11.54 मीटरh=20×tan(30)=20×3​1​≈11.54 मीटर

      तो, पेड़ की ऊंचाई लगभग 11.54 मीटर है।

2. 2.ऊंचाई एवं दूरी

   1. त्रिकोणमिति में "ऊंचाई और दूरी" की अवधारणा का उपयोग अक्सर किसी वस्तु की ऊंचाई या किसी वस्तु से दूरी का पता लगाने के लिए किया जाता है जब आप इसे सीधे माप नहीं सकते हैं। इसके लिए सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले त्रिकोणमितीय अनुपात साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा हैं। ऊंचाई का कोण (Angle of Elevation): जब आप किसी वस्तु के शिखर को देखने के लिए ऊपर देखते हैं, तो जो कोण बनता है, उसे कहते हैं।
   2. अवनति का कोण (Angle of Depression): जब आप किसी वस्तु के नीचे देखते हैं, तो जो कोण बनता है, उसे कहते हैं।
   3. समीपक (Adjacent Side): जो भुजा कोण के बगल में होती है।
   4. विपरीत (Opposite Side): जो भुजा कोण के सामने होती है।
   5. कर्ण (Hypotenuse): समकोण त्रिभुज में सबसे लंबी भुजा, जो समकोण के सामने होती है।

      वास्तविक जीवन का उदाहरण हिन्दी में:

      मान लीजिए आपको एक इमारत की ऊंचाई जाननी है और आप उससे 50 मीटर दूर खड़े हैं। अगर आप इमारत के शिखर को देखते समय ऊंचाई का कोण 60 डिग्री है, तो आप निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

      tan⁡(कोण)=इमारत की ऊंचाईइमारत से दूरीtan(कोण)=इमारत से दूरीइमारत की ऊंचाई​

      तो,

      tan⁡(60)=ℎ50tan(60)=50h​ℎ=50×tan⁡(60)=50×3≈86.6 मीटरh=50×tan(60)=50×3​≈86.6 मीटर

3. 3.एक टावर जमीन पर लंबवत खड़ा है। ज़मीन पर एक बिंदु से, जो टावर के आधार से 30 मीटर दूर है, उसके शीर्ष का उन्नयन कोण है टावर 60° पाया जाता है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

   टॉवर की ऊंचाई जानने के लिए, आप ट्रिगोनोमेट्री का उपयोग कर सकते हैं। विशेषकर, आप 60° के ऊंचाई के कोण का टैंजेंट उपयोग कर सकते हैं। टैंजेंट का सूत्र है:

   tan⁡(कोण)=विपरीत भुजासमीपक भुजाtan(कोण)=समीपक भुजाविपरीत भुजा​

   इस समस्या के लिए:

   tan⁡(60)=ℎ30tan(60)=30h​

   पहले, हम tan⁡(60)tan(60) जो 33​ है, निकालते हैं।

   3=ℎ303​=30h​

   अब, ℎh के लिए हल करें:

   ℎ=30×3≈30×1.732≈51.96 मीटरh=30×3​≈30×1.732≈51.96 मीटर

   तो, टॉवर की ऊंचाई लगभग 51.96 मीटर है।

4. 4.एक इलेक्ट्रीशियन को 5 मीटर ऊंचे खंभे पर बिजली की खराबी को ठीक करना है। मरम्मत कार्य करने के लिए उसे खंभे के शीर्ष से 1.3 मीटर नीचे एक बिंदु तक पहुंचने की आवश्यकता है। उसे जिस सीढ़ी का उपयोग करना चाहिए उसकी लंबाई कितनी होनी चाहिए, जो क्षैतिज से 60° के कोण

   एक इलेक्ट्रीशियन को 5 मीटर ऊंचे खंभे पर बिजली की खराबी को ठीक करना है। मरम्मत कार्य करने के लिए उसे खंभे के शीर्ष से 1.3 मीटर नीचे एक बिंदु तक पहुंचने की आवश्यकता है। उसे जिस सीढ़ी का उपयोग करना चाहिए उसकी लंबाई कितनी होनी चाहिए, जो क्षैतिज से 60° के कोण पर झुकी होने पर उसे आवश्यक स्थिति तक पहुंचने में सक्षम बनाएगी? साथ ही, पैर से कितनी दूरी है क्या उसे खंभे के नीचे सीढ़ी का पैर रखना चाहिए? सीढ़ी की लंबाई ज्ञात करना सीढ़ी की लंबाई निकालना:

   बिजली मिस्त्री को 5 मीटर ऊंचे खंभे के शिखर से 1.3 मीटर नीचे पहुंचना है। इसका मतलब, उन्हें 5m - 1.3m = 3.7m ऊंचाई तक पहुंचना है।

   सीढ़ी ज़मीन के साथ 60° का कोण बनाती है। सीढ़ी की लंबाई (L) निकालने के लिए हम sine फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं:

   sin⁡(60)=3.7sin(60)=L3.7​

   हम जानते हैं कि sin⁡(60)=32sin(60)=23​​।

   32=3.723​​=L3.7​

   L के लिए हल करते हैं:

   =2×3.73≈7.41.732≈4.27 मीटरL=3​2×3.7​≈1.7327.4​≈4.27 मीटर

   खंभे के पैर से दूरी निकालना:

   वह सीढ़ी को खंभे के पैर से कितनी दूर रखनी चाहिए, इसे जानने के लिए हम cosine फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं:

   cos⁡(60)=4.27cos(60)=4.27d​

   हम जानते हैं कि cos⁡(60)=12cos(60)=21​।

   12=4.2721​=4.27d​

   d के लिए हल करते हैं:

   =4.272=2.135 मीटरd=24.27​=2.135 मीटर

   मुझे उम्मीद है कि इस हिंदी अनुवाद से आपको समझने में आसानी होगी।

5. 5.एक इलेक्ट्रीशियन को 5 मीटर ऊंचे खंभे पर बिजली की खराबी को ठीक करना है। मरम्मत कार्य करने के लिए उसे खंभे के शीर्ष से 1.3 मीटर नीचे एक बिंदु तक पहुंचने की आवश्यकता है। उसे जिस सीढ़ी का उपयोग करना चाहिए उसकी लंबाई कितनी होनी चाहिए, जो क्षैतिज से 60° के कोण

   धूम्रकेतु (chimney) की ऊंचाई जानने के लिए हम ट्रिगोनोमेट्री का उपयोग कर सकते हैं।

   पहले, धूम्रकेतु के शिखर तक उनकी आंखों से ऊंचाई जानते हैं। 45° कोण के लिए, tan⁡(45)=1tan(45)=1 होता है।

   1=ℎ28.51=28.5h​

   ℎh के लिए हल करते हैं:

   ℎ=28.5 मीटरh=28.5 मीटर

   अब, दर्शक 1.5 मीटर लंबी हैं, और उनकी आंखों से धूम्रकेतु के शिखर तक की ऊंचाई 28.5 मीटर है। इसलिए, धूम्रकेतु की कुल ऊंचाई 28.5+1.5=3028.5m+1.5m=30m होगी।

6. 6.जब सूर्य की ऊंचाई 30° होती है तो समतल जमीन पर खड़े एक टावर की छाया 60° की तुलना में 40 मीटर लंबी पाई जाती है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

   टॉवर की ऊंचाई निकालने के लिए:

   हम ट्रिगोनोमेट्री का उपयोग कर सकते हैं, विशेषकर टैंजेंट फ़ंक्शन का। टैंजेंट का मूल्य उल्टे भुजा (टॉवर की ऊंचाई, जिसे हम ℎh मानेंगे) और समीपस्थ भुजा (छाया की लंबाई) के अनुपात में होता है।

   1. जब सूर्य की ऊंचाई 30° है:
      चलिए मान लेते हैं कि छाया की लंबाई x है।

   tan⁡(30)=ℎtan(30)=xh​13=ℎ3​1​=xh​=ℎ3x=h3​

   1. जब सूर्य की ऊंचाई 60° है:
      छाया 40 मीटर लंबी है जब सूर्य की ऊंचाई 30° है, इसलिए 60° पर छाया की लंबाई −40x−40 होगी।

   tan⁡(60)=ℎ−40tan(60)=x−40h​3=ℎ−403​=x−40h​−40=ℎ3x−40=3​h​

   ℎh के लिए हल करें:

   हमारे पास दो समीकरण हैं:

   1. =ℎ3x=h3​
   2. −40=ℎ3x−40=3​h​

   पहले समीकरण की x की वैल्यू को दूसरे में डालें:

   ℎ3−40=ℎ3h3​−40=3​h​3ℎ−ℎ=4033h−h=403​2ℎ=4032h=403​ℎ=203≈34.64 मीटरh=203​≈34.64 मीटर

   इस प्रकार, टॉवर की ऊंचाई लगभग 34.64 मीटर है।

7. 7.16 मीटर ऊंची इमारत के शीर्ष और तल के अवनमन कोण एक बहुमंजिला इमारत के शीर्ष से 30° और क्रमशः 45° हैं । बहुमंजिला इमारत की ऊँचाई और दोनों इमारतों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

   बहु-मंजिला इमारत की ऊंचाई और दोनों इमारतों के बीच की दूरी निकालना:

   हम ट्रिगोनोमेट्री का उपयोग कर सकते हैं। विशेषकर, हम टैंजेंट फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे, जो एक समकोण त्रिभुज में उल्टे भुजा और समीपस्थ भुजा के अनुपात है।

   बहु-मंजिला इमारत की ऊंचाई निकालना:

   मान लेते हैं कि बहु-मंजिला इमारत की ऊंचाई H मीटर है, और दोनों इमारतों के बीच की दूरी D मीटर है।

   1. 45° के अवनति कोण के लिए:

   tan⁡(45)=tan(45)=DH​

   चूंकि tan⁡(45)=1tan(45)=1,

   =(समीकरण 1)H=D(समीकरण 1)

   1. 30° के अवनति कोण के लिए:

   tan⁡(30)=−16tan(30)=DH−16​

   हम जानते हैं कि tan⁡(30)=13tan(30)=3​1​,

   =(−16)3(समीकरण 2)D=(H−16)3​(समीकरण 2)

   H और D के लिए हल करें:

   हमारे पास दो समीकरण हैं:

   1. =H=D
   2. =(−16)3D=(H−16)3​

   समीकरण 1 की D की वैल्यू को समीकरण 2 में डालें:

   =(−16)3H=(H−16)3​=3−163H=H3​−163​(1−3)=−163H(1−3​)=−163​=−1631−3H=1−3​−163​​=8(3+1)H=8(3+1)=8×2.732+8H=8×2.732+8=21.856+8H=21.856+8=29.856 मीटर (लगभग)H=29.856 मीटर (लगभग)

   समीकरण 1 का उपयोग करके, =D=H,

   =29.856 मीटर (लगभग)D=29.856 मीटर (लगभग)

8. 8.एक नदी के पुल पर एक बिंदु से, अवनमन कोण नदी के विपरीत किनारों पर तट क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि पुल किनारों से 3 मीटर की ऊंचाई पर है, नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिये

   नदी की चौड़ाई निकालना:

   हम ट्रिगोनोमेट्री का उपयोग कर सकते हैं, विशेषकर टैंजेंट फ़ंक्शन का। टैंजेंट का मूल्य उल्टे भुजा (पुल की ऊंचाई, जो 3 मीटर है) और समीपस्थ भुजा (किनारे तक की दूरी) के अनुपात में होता है।

   नदी की चौड़ाई निकालना:

   मान लेते हैं कि पुल पर बिंदु से पहले किनारे तक की दूरी 1D1​ मीटर है, और दूसरे किनारे तक की दूरी 2D2​ मीटर है।

   1. पहले किनारे के लिए 30° के अवनति कोण:

   tan⁡(30)=31tan(30)=D1​3​

   हम जानते हैं कि tan⁡(30)=13tan(30)=3​1​,

   1=33(समीकरण 1)D1​=33​(समीकरण 1)

   1. दूसरे किनारे के लिए 45° के अवनति कोण:

   tan⁡(45)=32tan(45)=D2​3​

   चूंकि tan⁡(45)=1tan(45)=1,

   2=3(समीकरण 2)D2​=3(समीकरण 2)

   नदी की कुल चौड़ाई निकालना:

   नदी की कुल चौड़ाई 1+2D1​+D2​ होगी।

   1+2=33+3D1​+D2​=33​+31+2=3(3+1)D1​+D2​=3(3​+1)1+2=3×2.732+3D1​+D2​=3×2.732+31+2=8.196+3D1​+D2​=8.196+31+2=11.196 मीटर (लगभग)D1​+D2​=11.196 मीटर (लगभग)

9. 9.एक सर्कस कलाकार 20 मीटर लंबी रस्सी पर चढ़ रहा है, जो कसकर खींची गई है और एक ऊर्ध्वाधर के शीर्ष से बंधी हुई है जमीन पर खंभा. यदि खम्भे की ऊँचाई ज्ञात करें रस्सी द्वारा जमीनी स्तर से बनाया गया कोण 30 डिग्री है।

   इस समस्या में, हमारे पास एक 20 मीटर लंबी रस्सी है। यह रस्सी एक ऊंचे खम्भे के शिखर से ज़मीन तक तानी गई है, और यह ज़मीन के साथ 30° का कोण बना रही है। हमें इस खम्भे की ऊंचाई जाननी है।

   ऊंचाई जानने के लिए, हम ट्रिगोनोमेट्री का उपयोग कर सकते हैं, विशेषकर साइन फ़ंक्शन का। साइन का सूत्र है:

   sin⁡(30)=ℎ20sin(30)=20h​

   हम जानते हैं कि 30 डिग्री का साइन 1221​ होता है। इसे हमारे समीकरण में डालते हैं:

   12=ℎ2021​=20h​

   समीकरण को सरल करते हैं:

   ℎ=10 मीटरh=10 मीटर

   तो, खम्भे की ऊंचाई 10 मीटर है।

10. 10.तूफान के कारण एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ हिस्सा इस प्रकार मुड़ जाता है कि पेड़ का शीर्ष जमीन से 30° का कोण बनाते हुए छूता है। पेड़ के तल से उस बिंदु तक जहां शीर्ष जमीन को छूता है, के बीच की दूरी 8 मीटर है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

    इस समस्या में, एक पेड़ तूफान के कारण टूट जाता है, और टूटा हुआ भाग ज़मीन को छू कर 30° का कोण बना देता है। हमें दिया गया है कि पेड़ के पैर से जहां टॉप ज़मीन को छूता है, उसकी दूरी 8 मीटर है। हमें पेड़ की ऊंचाई जाननी है।

    ऊंचाई जानने के लिए, हम ट्रिगोनोमेट्री का उपयोग कर सकते हैं, विशेषकर साइन फ़ंक्शन का। साइन का सूत्र है:

    sin⁡(30)=ℎ8sin(30)=8h​

    हम जानते हैं कि 30 डिग्री का साइन 1221​ होता है। इसे हमारे समीकरण में डालते हैं:

    12=ℎ821​=8h​

    समीकरण को सरल करते हैं:

    ℎ=4 मीटरh=4 मीटर

    तो, पेड़ की ऊंचाई 4 मीटर है।

11. 11.एक ठेकेदार एक पार्क में बच्चों के खेलने के लिए दो स्लाइड स्थापित करने की योजना बना रहा है। बच्चो के लिए 5 वर्ष से कम उम्र में, वह ऐसी स्लाइड रखना पसंद करती है जिसका शीर्ष 1.5 मीटर की ऊंचाई पर हो, और जमीन से 30° के कोण पर झुका हुआ है, जबकि बड़े बच्चों के ल

    प्रश्न- एक ठेकेदार एक पार्क में बच्चों के खेलने के लिए दो स्लाइड लगाने की योजना बना रहा है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए, वह एक ऐसी स्लाइड रखना पसंद करती है जिसका शीर्ष 1.5 मीटर की ऊंचाई पर हो, और जमीन से 30° के कोण पर झुका हो, जबकि बड़े बच्चों के लिए, वह एक खड़ी स्लाइड चाहती है 3 मीटर की ऊंचाई पर स्लाइड करें, और जमीन से 60° के कोण पर झुकें। प्रत्येक स्थिति में स्लाइड की लंबाई क्या होनी चाहिए? 5 साल से कम उम्र के बच्चों के लिए:

    1. स्लाइड की ऊंचाई: 1.5 मीटर
    2. झुकाव का कोण: 30°

    स्लाइड की लंबाई जानने के लिए, हम साइन फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे:

    sin⁡(30)=1.51sin(30)=L1​1.5​

    हम जानते हैं sin⁡(30)=12sin(30)=21​,

    12=1.5121​=L1​1.5​

    1L1​ के लिए हल करते हैं:

    1=3 मीटरL1​=3 मीटर

    बड़े बच्चों के लिए:

    1. स्लाइड की ऊंचाई: 3 मीटर
    2. झुकाव का कोण: 60°

    फिर से, साइन फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं:

    sin⁡(60)=32sin(60)=L2​3​

    हम जानते हैं sin⁡(60)=32sin(60)=23​​,

    32=3223​​=L2​3​

    2L2​ के लिए हल करते हैं:

    2=23≈3.464 मीटरL2​=23​≈3.464 मीटर

12. 12.जमीन पर एक बिंदु से एक टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण 30 मीटर है टावर के निचले भाग से 30° दूर है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

    एक टॉवर के शिखर का ऊंचापकोण एक भूमि के बिंदु से, जो टॉवर के पैर से 30 मीटर दूर है, 30° है। हमें टॉवर की ऊंचाई जाननी है।

    अवधारणा:

    हम इस समस्या को हल करने के लिए ट्रिगोनोमेट्री का उपयोग करेंगे, विशेषकर टैंजेंट फ़ंक्शन का।

    गणितीय समाधान:

    टैंजेंट का सूत्र इस प्रकार है:

    tan⁡(30)=ℎ30tan(30)=30h​

    हम जानते हैं tan⁡(30)=13tan(30)=3​1​,

    13=ℎ303​1​=30h​

    ℎh के लिए हल करते हैं:

    ℎ=303h=3​30​ℎ=103≈17.32 मीटरh=103​≈17.32 मीटर

    इस प्रकार, टॉवर की ऊंचाई लगभग 17.32 मीटर है।

13. 13.एक पतंग जमीन से 60 मीटर की ऊंचाई पर उड़ रही है। पतंग से जुड़ी डोर है अस्थायी रूप से जमीन पर एक बिंदु से बंधा हुआ। ज़मीन के साथ डोरी का झुकाव 60° है. यह मानते हुए कि डोरी में कोई ढीलापन नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

    एक पतंग 60 मीटर की ऊंचाई पर उड़ रही है। पतंग से जुड़ी डोर एक भूमि के बिंदु पर अस्थायी रूप से बाँधी गई है। डोर का झुकाव भूमि के साथ 60° है। हमें डोर की लंबाई जाननी है।

    अवधारणा:

    हम इस समस्या को हल करने के लिए ट्रिगोनोमेट्री का उपयोग करेंगे, विशेषकर साइन फ़ंक्शन का।

    गणितीय समाधान:

    साइन का सूत्र इस प्रकार है:

    sin⁡(60)=60sin(60)=L60​

    हम जानते हैं sin⁡(60)=32sin(60)=23​​,

    32=6023​​=L60​

    L के लिए हल करते हैं:

    =60×23L=3​60×2​=1203L=3​120​=403≈69.28 मीटरL=403​≈69.28 मीटर

    इस प्रकार, डोर की लंबाई लगभग 69.28 मीटर है।

14. 14.1.5 मीटर लंबा एक लड़का 30 मीटर ऊंची इमारत से कुछ दूरी पर खड़ा है। जैसे-जैसे वह चलता है उसकी आंखों से इमारत के शीर्ष तक उन्नयन कोण 30° से बढ़कर 60° हो जाता है भवन की ओर. ज्ञात कीजिए कि वह इमारत की ओर कितनी दूरी तक चला।

    एक 1.5 मीटर लंबा लड़का एक 30 मीटर ऊंची इमारत से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह इमारत की ओर चलता है, तो उसकी आंखों से इमारत के शिखर तक का ऊंचापकोण 30° से बढ़कर 60° हो जाता है। हमें जानना है कि उसने इमारत की ओर कितनी दूरी तय की।

    अवधारणा:

    हम इस समस्या को हल करने के लिए ट्रिगोनोमेट्री का उपयोग करेंगे, विशेषकर टैंजेंट फ़ंक्शन का।

    गणितीय समाधान:

    1. जब कोण 30° है:
       इमारत की ऊंचाई 30 मीटर है और लड़के की ऊंचाई 1.5 मीटर है। इसलिए, विचार करने वाली कुशल ऊंचाई 30−1.5=28.530−1.5=28.5 मीटर है।
       लड़के से इमारत तक की प्रारंभिक दूरी 1d1​ हो।

    1=28.5×3≈49.35 मीटरd1​=28.5×3​≈49.35 मीटर

    1. जब कोण 60° है:
       कुशल ऊंचाई 28.528.5 मीटर ही रहती है।
       लड़के से इमारत तक की अंतिम दूरी 2d2​ हो।

    2=28.53≈16.46 मीटरd2​=3​28.5​≈16.46 मीटर

    आखिरकार, उसने इमारत की ओर तय की दूरी 1−2=49.35−16.46≈32.89d1​−d2​=49.35−16.46≈32.89 मीटर है।

15. 15.जमीन पर एक बिंदु से, नीचे और शीर्ष के उन्नयन कोण 20 मीटर ऊंची इमारत के शीर्ष पर लगे ट्रांसमिशन टावर का माप क्रमशः 45° और 60° है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

    ज़मीन पर एक बिंदु से, 20 मीटर ऊंची इमारत के ऊपर स्थित एक ट्रांसमिशन टॉवर के नीचे और ऊपर के भाग के ऊंचापकोण क्रमश: 45° और 60° हैं। हमें टॉवर की ऊंचाई जाननी है।

    अवधारणा:

    हम इस समस्या को हल करने के लिए ट्रिगोनोमेट्री का उपयोग करेंगे, विशेषकर टैंजेंट फ़ंक्शन का।

    गणितीय समाधान:

    1. जब कोण 45° है इमारत के नीचे के लिए:
       इमारत की ऊंचाई 20 मीटर है।

    =20 मीटरd=20 मीटर

    1. जब कोण 60° है टॉवर के ऊपर के लिए:
       टॉवर की ऊंचाई ℎh हो।
       ज़मीन से टॉवर के शिखर तक की कुशल ऊंचाई 20+ℎ20+h है।

    ℎ=20(3−1)h=20(3​−1)ℎ≈14.64 मीटरh≈14.64 मीटर

    इस प्रकार, टॉवर की ऊंचाई लगभग 14.64 मीटर है।

16. 16.सड़क के दोनों ओर समान ऊंचाई के दो खंभे एक दूसरे के विपरीत खड़े हैं, जो 80 मीटर चौड़ा है। सड़क पर उनके बीच एक बिंदु से, उन्नयन कोण ध्रुवों का शीर्ष क्रमशः 60° और 30° है। खंभों और की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ध्रुवों से बिंदु की दूरी.

    1. जब कोण 60° है एक खंभे के लिए:
       इस खंभे तक बिंदु से दूरी 1d1​ हो।

    tan⁡(60)=ℎ1tan(60)=d1​h​3=ℎ13​=d1​h​1=ℎ3d1​=3​h​

    1. जब कोण 30° है दूसरे खंभे के लिए:
       इस खंभे तक बिंदु से दूरी 2d2​ हो।

    tan⁡(30)=ℎ2tan(30)=d2​h​13=ℎ23​1​=d2​h​2=ℎ3d2​=h3​

    खंभों के बीच की कुल दूरी 80 मीटर है, इसलिए:

    1+2=80d1​+d2​=80ℎ3+ℎ3=803​h​+h3​=80ℎ(13+3)=80h(3​1​+3​)=80ℎ(3+33)=80h(3​3​+3​)=80ℎ=8034h=4803​​ℎ=203≈34.64 मीटरh=203​≈34.64 मीटर

    और 1=34.643≈20d1​=3​34.64​≈20 मीटर, 2=34.643≈60d2​=34.643​≈60 मीटर।

17. 17.एक टीवी टावर एक किनारे पर लंबवत खड़ा है एक नहर का. टावर के ठीक सामने दूसरे किनारे पर एक बिंदु से, के शीर्ष का उन्नयन कोण टावर 60° है. दूसरे बिंदु से 20 मी इस बिंदु से दूर टावर के निचले भाग को जोड़ने वाली रेखा पर, के शीर्ष का उन्नयन कोण टावर 30° है. ...

    एक टीवी टावर एक नहर के किनारे लंबवत खड़ा है। टावर के ठीक सामने दूसरे किनारे पर एक बिंदु से, टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। इस बिंदु से 20 मीटर दूर एक अन्य बिंदु से, इस बिंदु को टावर के आधार से जोड़ने वाली रेखा पर, टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। टावर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए। टावर की ऊंचाई और नहर की चौड़ाई निकालना:

    मान लेते हैं कि टावर की ऊंचाई ℎh है और नहर की चौड़ाई w है।

    1. जब कोण 60° है:

    tan⁡(60)=ℎtan(60)=wh​3=ℎ3=wh​ℎ=3(समीकरण 1)h=3w(समीकरण 1)

    1. जब कोण 30° है:
       नए बिंदु से टावर के पैर तक की दूरी +20w+20 मीटर है।

    tan⁡(30)=ℎ+20tan(30)=w+20h​13=ℎ+203​1​=w+20h​ℎ=(+20)13(समीकरण 2)h=(w+20)3​1​(समीकरण 2)

    ℎh के लिए दोनों समीकरणों को बराबर करें:

    3=(+20)133w=(w+20)3​1​=20(33−13)w=20(33​​−31​)=20(23)w=20(32​)=103≈17.32 मीटरw=103​≈17.32 मीटरℎ=103×3=30 मीटरh=103​×3​=30 मीटर

18. 18.1.2 मीटर लंबी एक लड़की जमीन से 88.2 मीटर की ऊंचाई पर क्षैतिज रेखा में हवा के साथ चलते एक गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँखों से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° रह जाता है। अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की

    कदम 1: लड़की की आंखों से गुब्बारे तक की ऊंचाई निकालें

    गुब्बारे की ऊंचाई ज़मीन से 88.2 मीटर है, और लड़की की ऊंचाई 1.2 मीटर है। इसलिए, लड़की की आंखों से गुब्बारे तक की ऊंचाई 88.2 मीटर−1.2 मीटर=87 मीटर88.2मीटर−1.2मीटर=87मीटर है।

    कदम 2: पहली दूरी (1D1​) निकालें जब कोण 60° है

    1=873≈50.2 मीटरD1​=3​87​≈50.2मीटर

    कदम 3: दूसरी दूरी (2D2​) निकालें जब कोण 30° है

    2=873≈150.6 मीटरD2​=873​≈150.6मीटर

    कदम 4: गुब्बारे ने कितनी दूरी तय की

    तय की गई दूरी=2−1=150.6 मीटर−50.2 मीटर=100.4 मीटरतय की गई दूरी=D2​−D1​=150.6मीटर−50.2मीटर=100.4मीटर

19. 19.शीघ्र पुनरीक्षण

    1. त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोगों का परिचय:

    त्रिकोणमिति केवल कागज़ पर समस्याओं को हल करने के लिए नहीं है; इसका वास्तविक दुनिया में भी अनुप्रयोग है। यह नौवहन में समुद्र में एक बिंदु से किनारे की दूरी खोजने, खगोल विज्ञान में खगोलीय पिंडों के बीच की दूरी गणना करने, और भौतिकी में तरंग गति का विश्लेषण करने में इस्तेमाल होता है। वास्तुकार छतों की ढलान गणना करने के लिए और इंजीनियर पुलों पर बल निर्धारित करने के लिए इसे इस्तेमाल करते हैं।

    2. ऊँचाई और दूरी: त्रिकोणमिति के सबसे आम अनुप्रयोगों में से एक है किसी वस्तु की ऊँचाई या उससे दूरी खोजना, जब उसे सीधे मापना संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, आप किसी निश्चित बिंदु से उन्नयन कोण मापकर पर्वत की ऊंचाई की गणना कर सकते हैं।

    महत्वपूर्ण सूत्र:

    उन्नयन कोण: जब आप किसी वस्तु के ऊपरी भाग को देखते हुए अपनी दृष्टि की रेखा क्षैतिज से ऊपर के कोण पर होती है। अवनति कोण: जब आप किसी ऊँचाई से वस्तु के आधार पर नीचे देखते हुए अपनी दृष्टि की रेखा क्षैतिज से नीचे के कोण पर होती है। जब उन्नयन कोण (θ) और वस्तु से दूरी (d) ज्ञात हो तो किसी वस्तु की ऊँचाई (h) खोजने के लिए सूत्र है: ℎ=⋅tan⁡h=d⋅tan(θ) जब ऊँचाई (h) और उन्नयन कोण (θ) ज्ञात हो तो वस्तु से दूरी (d) खोजने के लिए सूत्र है: =ℎ⋅cot⁡d=h⋅cot(θ)

    इन सूत्रों का उपयोग कैसे करें: मान लीजिए आपको एक पेड़ की ऊंचाई खोजनी है। आप 30 मीटर पीछे हटकर एक क्लिनोमीटर के साथ उन्नयन कोण मापते हैं और पाते हैं कि यह 45° है। टैंजेंट अनुपात का उपयोग करके, आप पेड़ से दूरी (30 मीटर) को उस कोण के टैंजेंट (45° के लिए 1) से गुणा करके पेड़ की ऊंचाई की गणना करते हैं, जो आपको पेड़ की ऊंचाई के रूप में 30 मीटर देता है।