बहुपद — कक्षा 10 गणित नोट्स

बहुपद में शामिल टॉपिक

1. 1.बहुपद का परिचय

   पॉलिनोमियल क्या है?

   कल्पना कीजिए कि आप बिल्डिंग ब्लॉक्स से खेल रहे हैं। प्रत्येक ब्लॉक पर एक संख्या हो सकती है और कुछ ब्लॉक दूसरों से बड़े या छोटे हो सकते हैं। पॉलिनोमियल इन ब्लॉक्स का उपयोग करके बनाया गया एक टॉवर की तरह है। गणित में, ये "ब्लॉक्स" संख्याएँ और चर (जैसे x, y आदि) होते हैं जो विभिन्न तरीकों से संयुक्त होते हैं।

   पॉलिनोमियल के भाग:

   1. पद: ये बिल्डिंग ब्लॉक्स हैं। प्रत्येक पद संख्याओं और चरों का संयोजन होता है। उदाहरण के लिए, 2x² + 3x + 5 में, तीन पद हैं: 2x², 3x, और 5।
   2. गुणांक: ये चरों के सामने वाली संख्याएँ होती हैं। 2x² में, 2 गुणांक है।
   3. चर: ये अक्षर होते हैं जो अज्ञात संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। 2x² में, x चर है।
   4. घातांक: ये आपको बताते हैं कि चर को खुद से कितनी बार गुणा करना है। 2x² में, घातांक 2 है, जिसका अर्थ है x को खुद से एक बार गुणा किया गया है (x*x)।

   पॉलिनोमियल के प्रकार:

   1. मोनोमियल: केवल एक पद (जैसे 5x)।
   2. बिनोमियल: दो पद (जैसे x + 2)।
   3. ट्रिनोमियल: तीन पद (जैसे x² - 3x + 2)।

   पॉलिनोमियल का उपयोग कैसे करें:

   आप पॉलिनोमियल को जोड़, घटा, गुणा, और कभी-कभी भाग भी कर सकते हैं। यह आपके बिल्डिंग ब्लॉक्स को पुनर्व्यवस्थित करने या नए आकार बनाने की तरह है।

   पॉलिनोमियल का उपयोग कहाँ होता है?

   1. वास्तविक जीवन: पॉलिनोमियल क्षेत्रफल की गणना, वृद्धि की भविष्यवाणी (जैसे जनसंख्या या ब्याज), और विज्ञान में चरों के बीच संबंधों को प्रस्तुत करने में मदद करते हैं।
   2. करियर: इंजीनियर, अर्थशास्त्री, वैज्ञानिक, और कई अन्य पेशेवर पॉलिनोमियल का उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए करते हैं।

   गतिविधि:

   अपना खुद का पॉलिनोमियल बनाने की कोशिश करें! कुछ संख्याएं और चर चुनें, और उन्हें बिल्डिंग ब्लॉक्स की तरह एक साथ रखें। उदाहरण के लिए, 4 जैसी एक संख्या चुनें, x जैसा एक चर चुनें, और एक पद जैसे 4x बनाएं। फिर, एक और पद जैसे + 5 जोड़ें। आपका पॉलिनोमियल है 4x + 5!

2. 2.एक बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ

   पॉलिनोमियल के शून्यों का ज्यामितीय अर्थ:

   पॉलिनोमियल के शून्य तब होते हैं जब पॉलिनोमियल का मान शून्य होता है। जब हम एक पॉलिनोमियल को निर्देशांक तल (coordinate plane) पर आलेखित करते हैं, तो इन शून्यों का एक रोचक ज्यामितीय अर्थ सामने आता है।

   ज्यामितीय अर्थ:

   1. पॉलिनोमियल का आलेखन: जब हम पॉलिनोमियल को ग्राफ पर खींचते हैं, तो जहां ग्राफ x-अक्ष (क्षैतिज रेखा) को काटता या छूता है, वे बिंदु पॉलिनोमियल के शून्य होते हैं।

   2. X-अक्ष को काटने वाले बिंदु: जहां यह रेखा या वक्र x-अक्ष को काटती है, वे बिंदु पॉलिनोमियल के शून्य होते हैं।

   3. X-अक्ष को छूना: कभी-कभी, ग्राफ x-अक्ष को छूता है लेकिन पार नहीं करता। ये बिंदु भी शून्य होते हैं।

   उदाहरण:

   x² - 4 पॉलिनोमियल को लें। यदि आप इसे ग्राफ पर खींचते हैं, तो आप देखेंगे कि वक्र x = 2 और x = -2 पर x-अक्ष को छूता है। ये बिंदु शून्य हैं।

   महत्व:

   शून्यों को ज्यामितीय रूप से समझना पॉलिनोमियल के व्यवहार को दृश्यता प्रदान करता है। यह फिजिक्स, इंजीनियरिंग, और अर्थशास्त्र जैसे क्षेत्रों में उपयोगी है जहां ग्राफिंग संबंधों को समझने और परिणामों की भविष्यवाणी करने के लिए एक सामान्य उपकरण है।

   गतिविधि:

   x² - 4 जैसे सरल पॉलिनोमियल को ग्राफ पर खींचने का प्रयास करें। ग्राफ पेपर या डिजिटल ग्राफिंग उपकरण का उपयोग करें। ध्यान दें कि ग्राफ x-अक्ष को कहां पार करता है और शून्यों को खोजें।

3. 3.शून्य ज्ञात करने की ग्राफिकल विधि

   1. आलेखीय रूप से बहुपद के शून्यक ज्ञात करने के लिए, इन चरणों का पालन करें: पॉलिनोमियल का ग्राफ बनाएं: सबसे पहले, p(x) के ग्राफ को बनाना होगा। इसे आमतौर पर कई बिंदुओं को गणना करके और प्लॉट करके और फिर इन बिंदुओं से होकर एक चिकनी रेखा खींचकर किया जाता है।

   2. X-अक्ष की पहचान करें: ग्राफ पर, x-अक्ष वह क्षैतिज रेखा है। यह वह रेखा है जहाँ y का मान शून्य है।

   3. चौराहों को देखें: वह बिंदु जहाँ कर्व x-अक्ष को काटता है वहाँ =0y=0 है। ये पॉलिनोमियल के शून्य या जड़ें हैं। प्रत्येक चौराहे का x-निर्देशांक पॉलिनोमियल का शून्य है।

   4. स्पर्श और पार करने वाले बिंदुओं की गणना करें: एक वक्र कभी-कभी x-अक्ष को स्पर्श कर सकता है और उछल सकता है; यह भी एक शून्य माना जाता है, आमतौर पर सम मल्टीप्लिसिटी के साथ (जैसे (−)2(x−a)2)। एक वक्र जो x-अक्ष को पार करता है उसके पास विषम मल्टीप्लिसिटी का शून्य होता है।

   5. शून्यों का नोट करें: उन x-निर्देशांकों को लिख लें जहाँ कर्व x-अक्ष को छूता है या काटता है। ये वे मान हैं जिनके लिए =0p(x)=0 है।

   उदाहरण के लिए, अगर आपके पास एक पॉलिनोमियल =2−4p(x)=x2−4 है, तो ग्राफ एक पराबोला होगा जो ऊपर की ओर खुलता है। x-अक्ष को पार करने वाले बिंदु =−2x=−2 और =2x=2 हैं। इसलिए, पॉलिनोमियल p(x) के शून्य -2 और 2 हैं।

   आपके द्वारा दिए गए पॉलिनोमियल ग्राफों के लिए इन चरणों को लागू करते हुए शून्यों को खोजें:

   • ऊपर बाएँ ग्राफ: कोई भी पार या स्पर्श बिंदु नहीं, इसलिए कोई शून्य नहीं।
   • ऊपर बीच का ग्राफ: एक स्पर्श बिंदु, जो दोहराया गया शून्य (सम मल्टीप्लिसिटी) को दर्शाता है, इसलिए 1 शून्य।
   • ऊपर दाएँ ग्राफ: एक पार करने वाला बिंदु, इसलिए 1 शून्य।
   • नीचे बाएँ ग्राफ: एक पार करने वाला बिंदु, इसलिए 1 शून्य।
   • नीचे बीच का ग्राफ: तीन पार करने वाले बिंदु, इसलिए 3 शून्य।
   • नीचे दाएँ ग्राफ: चार पार करने वाले बिंदु, इसलिए 4 शून्य।

   याद रखें, शून्यों के सटीक मान को उन x-निर्देशांकों को पढ़कर पाया जा सकता है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। अगर ग्राफ एक लेबल किए गए बिंदु पर पार नहीं कर रहा है, तो आपको शून्यों के सटीक मान खोजने के लिए अन्य विधियों जैसे कि बीजगणितीय समाधान या संख्यात्मक सन्निकटन का उपयोग करना पड़ सकता है।

4. 4.कुछ बहुपदों p(x) के लिए y = p(x) के ग्राफ नीचे (चित्र में दिए गए) हैं। प्रत्येक स्थिति में p(x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

   
   
   

   प्रत्येक ग्राफ के लिए पॉलिनोमियल p(x) के शून्यों की संख्या को ग्राफिकल विधि से निर्धारित करने के लिए, हम यह गिनती करेंगे कि ग्राफ x-अक्ष को कितनी बार काटता है या छूता है। यहाँ प्रत्येक ग्राफ के लिए विश्लेषण है:

   1. ऊपर-बाएँ ग्राफ: यह ग्राफ x-अक्ष के ऊपर एक समांतर रेखा है और किसी भी बिंदु पर x-अक्ष को काटती नहीं है। इसलिए, p(x) के 0 शून्य हैं।

   2. ऊपर-मध्य ग्राफ: ग्राफ एक बिंदु पर x-अक्ष को छूता है लेकिन उसे पार नहीं करता। यह आमतौर पर एक दोहरी जड़ (एक सम मल्टीप्लिसिटी का शून्य) का संकेतक होता है, लेकिन विशिष्ट वास्तविक शून्यों की संख्या के संदर्भ में, यहाँ 1 शून्य है।

   3. ऊपर-दाएँ ग्राफ: ग्राफ एक बिंदु पर x-अक्ष को काटता है, जिसका अर्थ है p(x) का 1 शून्य है।

   4. नीचे-बाएँ ग्राफ: ग्राफ एक बिंदु पर x-अक्ष को काटता है। इस प्रकार, p(x) का 1 शून्य है।

   5. नीचे-मध्य ग्राफ: ग्राफ x-अक्ष को तीन बार काटता है। इसलिए, p(x) के 3 शून्य हैं।

   6. नीचे-दाएँ ग्राफ: ग्राफ x-अक्ष को चार बार काटता है। नतीजतन, p(x) के 4 शून्य हैं।

   संक्षेप में, प्रत्येक ग्राफ के लिए शून्यों की संख्या निम्नलिखित है:

   • ऊपर-बाएँ ग्राफ: 0 शून्य
   • ऊपर-मध्य ग्राफ: 1 शून्य
   • ऊपर-दाएँ ग्राफ: 1 शून्य
   • नीचे-बाएँ ग्राफ: 1 शून्य
   • नीचे-मध्य ग्राफ: 3 शून्य
   • नीचे-दाएँ ग्राफ: 4 शून्य

   ये शून्य वे x-मान हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष से मिलता है, और वे समीकरण =0p(x)=0 के समाधान का प्रतिनिधित्व करते हैं।

   
   

5. 5.एक बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध

   पॉलिनोमियल के शून्यों और गुणांकों के बीच संबंध बीजगणित में एक मूलभूत अवधारणा है। मानक रूप में पॉलिनोमियल के लिए, जो दिखता है +−1−1+⋯+1+0an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x+a0​, जहाँ an​ अग्रणी गुणांक है और 0a0​ स्थिरांक है, कुछ पैटर्न सामने आते हैं जो पॉलिनोमियल के शून्यों को गुणांकों से जोड़ते हैं।

   उदाहरण के लिए, एक द्विघात पॉलिनोमियल 2++ax2+bx+c के लिए, उसके शून्यों का योग और गुणन (उन्हें हम α और β कहें) निम्नलिखित तरीकों से गुणांकों से संबंधित हैं:

   1. शून्यों का योग: शून्यों +α+β का योग x के नकारात्मक गुणांक को 2x2 के गुणांक से विभाजित करके मिलता है, जो हमें +=−/α+β=−b/a देता है।

   2. शून्यों का गुणन: शून्यों ⋅α⋅β का गुणन स्थिरांक को 2x2 के गुणांक से विभाजित करके मिलता है, जिससे ⋅=/α⋅β=c/a होता है।

   उच्च डिग्री के पॉलिनोमियल के लिए, समान संबंध पॉलिनोमियल के विस्तारित रूप से निकाले जा सकते हैं। एक घनाकार पॉलिनोमियल 3+2++ax3+bx2+cx+d के लिए, अगर मूल हैं,,α,β, और γ, तो:

   1. शून्यों का योग: ++=−/α+β+γ=−b/a।
   2. दो दो शून्यों के गुणन का योग: ++=/αβ+βγ+γα=c/a।
   3. शून्यों का गुणन: ⋅⋅=−/α⋅β⋅γ=−d/a।

   ये संबंध सीधे पॉलिनोमियल के विस्तारित रूप, (−)(−)(−)a(x−α)(x−β)(x−γ)... आदि से आते हैं, और यही उच्च डिग्री के पॉलिनोमियल के लिए भी है।

6. 6.निम्नलिखित द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और उनके बीच संबंध सत्यापित करें शून्य और गुणांक.

   
   

   चलिए प्रत्येक द्विघात पॉलिनोमियल के शून्यों को फैक्टराइज़ेशन के माध्यम से विस्तार से हल करते हैं और फिर शून्यों और गुणांकों के बीच संबंध की जांच करते हैं।

   (i) 2−2−8x2−2x−8

   इस द्विघात को फैक्टराइज़ करने के लिए, हमें दो संख्याएँ चाहिए जो -8 (स्थिरांक) से गुणा हो और -2 (x का गुणांक) से जोड़ने पर हो। ये दो संख्याएँ -4 और +2 हैं।

   तो हम पॉलिनोमियल को इस प्रकार लिख सकते हैं: 2−4+2−8x2−4x+2x−8

   समूह बनाकर: (2−4)+(2−8)(x2−4x)+(2x−8)

   प्रत्येक समूह से सामान्य गुणांक निकालते हैं: (−4)+2(−4)x(x−4)+2(x−4)

   अब (−4)(x−4) को बाहर निकालते हैं: (+2)(−4)(x+2)(x−4)

   शून्य वे मान हैं जो (+2)=0(x+2)=0 और (−4)=0(x−4)=0 को संतुष्ट करते हैं, जो कि =−2x=−2 और =4x=4 हैं।

   सत्यापन: शून्यों का योग (−2)+(4)=2(−2)+(4)=2 −−21−1−2​ से मेल खाता है और गुणन (−2)×(4)=−8(−2)×(4)=−8 स्थिरांक -8 से मेल खाता है।

   (ii) 42−4+14s2−4s+1

   यह एक परफेक्ट स्क्वायर ट्रिनोमियल है, जिसका मतलब है कि इसे एक बिनोमियल के वर्ग के रूप में फैक्टराइज़ किया जा सकता है। यह (2−1)(2s−1) का वर्ग है: (2−1)2(2s−1)2

   तो केवल एक शून्य है =12s=21​, जो एक दोहरा मूल है।

   सत्यापन: शून्यों का योग 12+12=121​+21​=1 −−44−4−4​ से मेल खाता है, और गुणन 12×12=1421​×21​=41​ 1441​ से मेल खाता है।

   (iii) 62−7−36x2−7x−3

   हमें दो संख्याएँ चाहिए जो 6×−3=−186×−3=−18 से गुणा हो और -7 से जोड़ने पर हो। ये संख्याएँ -9 और +2 हैं।

   तो हम लिख सकते हैं: 62−9+2−36x2−9x+2x−3

   समूह बनाकर: 3(2−3)+1(2−3)3x(2x−3)+1(2x−3)

   (2−3)(2x−3) को बाहर निकालते हैं: (3+1)(2−3)(3x+1)(2x−3)

   शून्य हैं =−13x=−31​ और =32x=23​।

   सत्यापन: शून्यों का योग −13+32−31​+23​ −−76−6−7​ से मेल नहीं खाता है, और गुणन −13×32−31​×23​ −366−3​ से मेल खाता है।

   (iv) 42+84u2+8u

   सामान्य गुणांक 4u को बाहर निकालते हैं: 4(+2)4u(u+2)

   शून्य हैं =0u=0 और =−2u=−2।

   सत्यापन: शून्यों का योग 0+(−2)=−20+(−2)=−2 −84−48​ से मेल खाता है, और गुणन 0×(−2)=00×(−2)=0 0440​ से मेल खाता है।

   (v) 2−15t2−15

   इस पॉलिनोमियल में हमें दो संख्याएँ चाहिए जो -15 से गुणा हो और 0 से जोड़ने पर हो। चूंकि x-का टर्म नहीं है, हम सिर्फ 15 के वर्गमूल खोजते हैं: (+15)(−15)(t+15​)(t−15​)

   शून्य हैं =15t=15​ और =−15t=−15​।

   सत्यापन: शून्यों का योग 15+(−15)=015​+(−15​)=0 −01−10​ से मेल खाता है, और गुणन 15×(−15)=−1515​×(−15​)=−15 −1511−15​ से मेल खाता है।

   (vi) 32−−43x2−x−4

   हमें दो संख्याएँ चाहिए जो 3×−4=−123×−4=−12 से गुणा हो और -1 से जोड़ने पर हो। ये संख्याएँ -4 और +3 हैं।

   तो हम लिख सकते हैं: 32−4+3−43x2−4x+3x−4

   समूह बनाकर: (3−4)+1(3−4)x(3x−4)+1(3x−4)

   (3−4)(3x−4) को बाहर निकालते हैं: (+1)(3−4)(x+1)(3x−4)

   शून्य हैं =−1x=−1 और =43x=34​।

   सत्यापन: शून्यों का योग −1+43−1+34​ −−13−3−1​ से मेल नहीं खाता है, और गुणन −1×43−1×34​ −433−4​ से मेल खाता है।

   इन विस्तृत समाधानों के माध्यम से फैक्टराइज़ेशन की पुष्टि होती है कि प्रत्येक पॉलिनोमियल के शून्यों और गुणांकों के बीच संबंध सही हैं।

7. 7.एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसमें प्रत्येक दी गई संख्याओं का योग और गुणनफल हो क्रमशः शून्य.

   (i) 1/4, 1, (ii) root √2,1/3, (iii) 0, √5, (iv) 1,1, (v) -1/4, 1/4, (vi) 4,1

   
   चलिए प्रत्येक दिए गए शून्यों के योग और गुणन के अनुसार द्विघात पॉलिनोमियल खोजते हैं। हम द्विघात पॉलिनोमियल के लिए फॉर्मूला 2++ax2+bx+c का उपयोग करेंगे, जहाँ शून्यों का योग +=−α+β=−ab​ और शून्यों का गुणन =αβ=ac​ होता है।
   

   (i) योग = 1441​, गुणन = 1

   दिए गए हैं:

   • +=14α+β=41​
   • =1αβ=1

   सरलता के लिए =1a=1 चुनते हैं:

   • =−(+)=−1×14=−14b=−a(α+β)=−1×41​=−41​
   • ==1×1=1c=a(αβ)=1×1=1

   द्विघात पॉलिनोमियल है: 2−14+1x2−41​x+1

   (ii) योग = 22​, गुणन = 1331​

   दिए गए हैं:

   • +=2α+β=2​
   • =13αβ=31​

   सरलता के लिए =1a=1:

   • =−(+)=−1×2=−2b=−a(α+β)=−1×2​=−2​
   • ==1×13=13c=a(αβ)=1×31​=31​

   द्विघात पॉलिनोमियल है: 2−2+13x2−2​x+31​

   (iii) योग = 0, गुणन = 55​

   दिए गए हैं:

   • +=0α+β=0
   • =5αβ=5​

   सरलता के लिए =1a=1:

   • =−(+बीटा)=−1×0=0b=−a(α+बीटा)=−1×0=0
   • ==1×5=5c=a(αβ)=1×5​=5​

   द्विघात पॉलिनोमियल है: 2+5x2+5​

   (iv) योग = 1, गुणन = 1

   दिए गए हैं:

   • +=1α+β=1
   • =1αβ=1

   सरलता के लिए =1a=1:

   • =−(+बीटा)=−1×1=−1b=−a(α+बीटा)=−1×1=−1
   • ==1×1=1c=a(αβ)=1×1=1

   द्विघात पॉलिनोमियल है: 2−+1x2−x+1

   (v) योग = -1/4, गुणन = 1/4

   दिए गए हैं:

   • +=−14α+β=−41​
   • =14αβ=41​

   सरलता के लिए =1a=1:

   • =−(+)=−1×−14=14b=−a(α+β)=−1×−41​=41​
   • ==1×14=14c=a(αβ)=1×41​=41​

   द्विघात पॉलिनोमियल है: 2+14+14x2+41​x+41​

   (vi) योग = 4, गुणन = 1

   दिए गए हैं:

   • +=4α+β=4
   • =1αβ=1

   सरलता के लिए =1a=1:

   • =−(+बीटा)=−1×4=−4b=−a(α+बीटा)=−1×4=−4
   • ==1×1=1c=a(αβ)=1×1=1

   द्विघात पॉलिनोमियल है: 2−4+1x2−4x+1

   प्रत्येक मामले में, 2++ax2+bx+c पॉलिनोमियल को इस प्रकार निर्मित किया गया है ताकि दिए गए शून्यों के योग और गुणन को संतुष्ट किया जा सके।

8. 8.शीघ्र पुनरीक्षण

   1. पोलिनोमियल्स का परिचय: पोलिनोमियल्स गणितीय वाक्य होते हैं जिसमें नंबर और अक्षर होते हैं, जहाँ अक्षर (जैसे x या y) अलग-अलग नंबर के लिए खड़े होते हैं। उदाहरण के लिए, 2+3+2x2+3x+2 एक पोलिनोमियल है।

   2. पोलिनोमियल के शून्यों का ज्यामितीय अर्थ: पोलिनोमियल के शून्य वे x-मान होते हैं जहाँ पोलिनोमियल का ग्राफ x-अक्ष को छूता है या काटता है। ये वे बिंदु होते हैं जहाँ पोलिनोमियल का मान शून्य होता है।

   3. शून्यों को ग्राफिकल तरीके से खोजना: आप पोलिनोमियल का ग्राफ बनाकर देख सकते हैं कि यह x-अक्ष कहाँ मारता है। जहाँ यह मारता है वे बिंदु शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए, अगर ग्राफ x-अक्ष को =−1x=−1 और =2x=2 पर छूता है, तो -1 और 2 शून्य हैं।

   4. पोलिनोमियल के शून्यों और गुणांकों के बीच संबंध: एक द्विघात पोलिनोमियल (जो डिग्री 2 का पोलिनोमियल होता है, जैसे 2++ax2+bx+c) के लिए एक अच्छा संबंध होता है:

   • इसके शून्यों का योग =−/=−b/a
   • इसके शून्यों का गुणनफल =/=c/a

   5. द्विघात पोलिनोमियल्स के शून्यों को खोजना: शून्यों को खोजने के लिए आप:

   • पोलिनोमियल को गुणनखंडों में बांट सकते हैं, अगर संभव हो।
   • द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: =[−±2−4]/(2)x=[−b±b2−4ac​]/(2a)
   • और शून्यों को खोजने के बाद, आप उन्हें जोड़कर और गुणा करके गुणांकों के साथ संबंध की जाँच कर सकते हैं।

   6. दिए गए शून्यों के योग और गुणनफल के आधार पर एक द्विघात पोलिनोमियल खोजना: यदि आपको शून्यों का योग और गुणनफल पता है (मान लें वे s और p हैं), तो आप इस तरह एक पोलिनोमियल बना सकते हैं: 2−(शून्योंकायोग)+(शून्योंकागुणनफल)x2−(शून्योंकायोग)x+(शून्योंकागुणनफल), जो दिखने में 2−+x2−sx+p की तरह होता है।