द्विघात समीकरण — कक्षा 10 गणित नोट्स

द्विघात समीकरण · कक्षा 10 गणित · 23 टॉपिक.

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द्विघात समीकरण में शामिल टॉपिक

  1. 1.द्विघात समीकरणों का परिचय

    1. मानक रूप: 2++=0ax2+bx+c=0 एक द्विघात समीकरण का मानक रूप है।
    2. हल करना: x का मान जानने के लिए आप द्विघात सूत्र या गुणांकीकरण या वर्ग पूरा करने की विधि का उपयोग कर सकते हैं।
    3. द्विघात सूत्र: =−±2−42x=2a−b±b2−4ac​​

    जीवन से जुड़ा उदाहरण

    मान लो आप एक पानी के गुब्बारे से लक्ष्य को मारना चाहते हैं। गुब्बारा एक पैराबोलिक पथ पर जाता है, जो द्विघात समीकरण के ग्राफ के समान है। आप जानना चाहते हैं कि गुब्बारा कौन से बिंदु पर जमीन पर लगेगा (ये x के हल हैं)।

    संख्यात्मक उदाहरण

    समीकरण 2−3+2=0x2−3x+2=0 के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए: =−(−3)±(−3)2−4×1×22×1x=2×1−(−3)±(−3)2−4×1×2​​ =3±9−82x=23±9−8​​ =3±12x=23±1​​ =3±12x=23±1​ =2,1x=2,1

  2. 2.सैम और राहुल के पास कुल मिलाकर 90 कंचे हैं। दोनों ने 10-10 कंचे खो दिए, और अब उनके पास मौजूद कंचों की संख्या का गुणनफल 248 है। हम खोजना चाहेंगे पता लगाएँ कि उन्हें कितने कंचों से शुरुआत करनी थी।

    कदम 1: पहले समीकरण को हल करें

    हमें पहले से ही पता है कि +=90S+R=90 है।

    कदम 2: दूसरे समीकरण को हल करें

    (−10)×(−10)=248(S−10)×(R−10)=248
    इसे खोलते हैं:
    −10−10+100=248SR−10S−10R+100=248
    या, −10−10=148SR−10S−10R=148

    कदम 3: दोनों समीकरण का उपयोग करके S और R के लिए हल करें

    हमें पहले से ही पता है कि +=90S+R=90, इससे =90−R=90−S
    इसे −10−10=148SR−10S−10R=148 में डालें:
    (90−)−10−10(90−)=148S(90−S)−10S−10(90−S)=148
    इसे हल करने पर, 2−80+742=0S2−80S+742=0

    अब द्विघात सूत्र का उपयोग करके S के लिए हल करें:
    =80±802−4×1×7422S=280±802−4×1×742​​
    =80±2562S=280±256​​
    =80±162S=280±16​
    इससे, =32S=32 या 4848

    अगर =32S=32 है, तो =90−32=58R=90−32=58
    अगर =48S=48 है, तो =90−48=42R=90−48=42

    तो सैम और राहुल के पास शुरू में (32,58)(32,58) या (48,42)(48,42) गोलियां हो सकती हैं।

  3. 3.एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² वर्ग मीटर है, भूखंड की लंबाई (मीटर में) इसकी चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है। हमें कथानक की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी होगी।

    दिया हुआ स्थिति

    • प्लॉट का क्षेत्रफल 528 2528m2 है।
    • लंबाई चौड़ाई के दो गुना और एक अधिक है।

    कदम 1: चर परिभाषित करें

    • b को चौड़ाई मानते हैं, जो मीटर में होगी।
    • इसका मतलब =2+1l=2b+1 मीटर लंबाई होगी।

    कदम 2: समीकरण बनाएं

    क्षेत्रफल का सूत्र =×A=l×b है।
    इससे 528=(2+1)×528=(2b+1)×b मिलता है।
    खोलकर 22+−528=02b2+b−528=0 मिलता है।

    कदम 3: समीकरण हल करें

    22+−528=02b2+b−528=0 को फैक्टर करके (2−33)(+16)=0(2b−33)(b+16)=0 मिलता है।
    b के लिए दो मौलिक मान हैं:
    =332b=233​ या =−16b=−16।
    चौड़ाई नकरात्मक नहीं हो सकती, इसलिए =332b=233​ या =16.5 b=16.5m।

    कदम 4: लंबाई जानें

    =2+1l=2b+1
    =16.5b=16.5 को समीकरण में डालें:
    =2×16.5+1l=2×16.5+1
    =33+1l=33+1
    =34 l=34m

    निष्कर्ष

    चौड़ाई 16.5 16.5m और लंबाई 34 34m है।

  4. 4.दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांक ज्ञात करने की आवश्यकता है।

    1. कदम 1: समस्या को समझें

      • दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल 306 है।

    2. कदम 2: समीकरण बनाएं

      • पहला पूर्णांक x होगा।
      • अगला क्रमागत पूर्णांक +1x+1 होगा।
      • गुणनफल = ×(+1)x×(x+1)
      • 306=×(+1)306=x×(x+1)

    3. कदम 3: क्वैड्रेटिक समीकरण लिखें

      • 306=2+306=x2+x
      • 2+−306=0x2+x−306=0

    4. कदम 4: x के लिए हल करें

      • समीकरण का गुणांकन करें: (−17)(+18)=0(x−17)(x+18)=0
      • =17x=17 या =−18x=−18
      • चूंकि हम पूर्णांकों के लिए देख रहे हैं, =17x=17 है।
      • अगला पूर्णांक +1=18x+1=18 है।

  5. 5.राहुल की मां उनसे 36 साल बड़ी हैं। उनकी आयु का गुणनफल (वर्षों में) अब से 3 वर्ष बाद 360 होगा। हम राहुल की वर्तमान आयु ज्ञात करना चाहेंगे।

    1. कदम 1: समस्या को समझें

      • राहुल की मां उससे 36 साल बड़ी हैं।
      • 3 साल बाद उनकी उम्रों का गुणनफल 360 होगा।

    2. कदम 2: समीकरण बनाएं

      • राहुल की वर्तमान उम्र x साल होगी।
      • उसकी मां की वर्तमान उम्र +36x+36 साल होगी।
      • 3 साल बाद उनकी उम्र +3x+3 और +36+3x+36+3 होगी।
      • उनकी भविष्य की उम्रों का गुणनफल = (+3)(+39)=360(x+3)(x+39)=360

    3. कदम 3: क्वैड्रेटिक समीकरण लिखें

      • 2+42+117=360x2+42x+117=360
      • 2+42−243=0x2+42x−243=0

    4. कदम 4: x के लिए हल करें

      • समीकरण का गुणांकन करें: (−9)(+27)=0(x−9)(x+27)=0
      • =9x=9 या =−27x=−27
      • चूंकि उम्र नकरात्मक नहीं हो सकती, राहुल की वर्तमान उम्र 9 साल है।

  6. 6.एक ट्रेन एक समान गति से 480 किमी की दूरी तय करती है। यदि गति होती 8 किमी/घंटा कम, तो समान दूरी तय करने में 3 घंटे अधिक लगेंगे। हम ट्रेन की गति ज्ञात करने की आवश्यकता है।

    1. कदम 1: समस्या को समझें

      • ट्रेन 480 किलोमीटर की दूरी तय करती है।
      • अगर गति 8 km/h कम होती, तो 3 घंटे और लगते।

    2. कदम 2: समीकरण बनाएं

      • ट्रेन की मौलिक गति x km/h मान लें।
      • मौलिक समय = 480x480​ घंटे।
      • नई गति = −8x−8 km/h।
      • नया समय = 480−8x−8480​ घंटे।
      • 480−8=480+3x−8480​=x480​+3

    3. कदम 3: क्वैड्रेटिक समीकरण लिखें

      • 480=480(−8)+3(−8)480x=480(x−8)+3x(x−8)
      • 480=480−3840+32−24480x=480x−3840+3x2−24x
      • 32−24−3840=03x2−24x−3840=0

    4. कदम 4: x के लिए हल करें

      • समीकरण का गुणांकन करें: (3+60)(−64)=0(3x+60)(x−64)=0
      • =−60x=−60 या =64x=64
      • चूंकि गति नकरात्मक नहीं हो सकती, ट्रेन की मौलिक गति 6464 km/h है।

  7. 7.जाँच करें कि निम्नलिखित द्विघात समीकरण हैं या नहीं:

    1. 1. x2+3x+2=0

      • क्या यह द्विघात समीकरण है? हां।
      • क्यों? क्योंकि यह 2++=0ax2+bx+c=0 के रूप में है।

    2. 2−3=7
      2. 2x−3=7

      • क्या यह द्विघात समीकरण है? नहीं।
      • क्यों? क्योंकि x की सबसे उच्च शक्ति 1 है।

    3. 42=16
      3. 4x2=16

      • क्या यह द्विघात समीकरण है? हां।
      • क्यों? क्योंकि इसे 42−16=04x2−16=0 के रूप में लिखा जा सकता है।

    4. 52−33=0
      4. 5x2−3x3=0

      • क्या यह द्विघात समीकरण है? नहीं।
      • क्यों? क्योंकि x की सबसे उच्च शक्ति 3 है।

  8. 8.जाँच करें कि क्या निम्नलिखित द्विघात समीकरण हैं :-

    i.) x3−4x2−x+1=(x−2)3

    कदम 1: (−2)3(x−2)3 का विस्तार करें

    (−2)3=3−62+12−8(x−2)3=x3−6x2+12x−8


    कदम 2    : समीकरण में प्रतिस्थापित करें

    हम 3−62+12−8x3−6x2+12x−8 को 3−42−+1=(−2)3x3−4x2−x+1=(x−2)3 में वापस डालते हैं।


    कदम 3: सरलीकरण करें

    प्रतिस्थापन और सरलीकरण के बाद, हम पाते हैं 22+11−7=02x2+11x−7=0

    कदम 4: द्विघात समीकरण को हल करें

    द्विघात सूत्र का उपयोग करके जड़ों को पाएं =−11±1774x=4−11±177​​

    निष्कर्ष

    समीकरण की जड़ें हैं =−11+1774x=4−11+177​​ और =−11−1774x=4−11−177​​

  9. 9.द्विघात समीकरण को हल करने के लिए गुणनखंडन विधि :

    क्वैड्रेटिक समीकरण एक ऐसा समीकरण होता है जिसका रूप 2++=0ax2+bx+c=0 होता है, जहाँ a, b, और c स्थिरांक होते हैं।

    गुणनखण्डीकरण विधि से समाधान

    1. कदम 1: 2++=0ax2+bx+c=0 लिखें।
    2. कदम 2: सुनिश्चित करें कि समीकरण मानक रूप में है।
    3. कदम 3: 2++ax2+bx+c को (+)(+)(px+q)(rx+s) में गुणनखण्डीकरण करें।
    4. कदम 4: प्रत्येक गुणनखण्ड को शून्य के बराबर सेट करें: +=0px+q=0 और +=0rx+s=0।
    5. कदम 5: प्रत्येक समीकरण में x का मान निकालें।

    उदाहरण:

    मान लें हमारे पास 2−5+6=0x2−5x+6=0 है।

    1. कदम 1: समीकरण पहले से मानक रूप में है।
    2. कदम 2: 2−5+6x2−5x+6 को (−2)(−3)(x−2)(x−3) में गुणनखण्डीकरण करें।
    3. कदम 3: −2=0x−2=0 और −3=0x−3=0 सेट करें।
    4. कदम 4: x का मान निकालें, =2x=2 या =3x=3। वास्तविक जीवन का उदाहरण कल्पना करें कि आप दो अलग-अलग कक्षाओं में कितने छात्र हैं, यह जानने की कोशिश कर रहे हैं। आप जानते हैं कि दोनों कक्षाओं में कुल मिलाकर 5 छात्र हैं और प्रत्येक कक्षा में छात्रों की संख्या का गुणनफल 6 है। इसे 2−5+6=0x2−5x+6=0 के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस समीकरण को हल करके, आप पता करते हैं कि एक कक्षा में 2 और दूसरी में 3 छात्र हैं।

  10. 10.गुणनखंडन विधि द्वारा समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

      22−5+3=01. 2x2−5x+3=0समाधान

    1. कदम 1: समीकरण 22−5+3=02x2−5x+3=0 लिखें।
    2. कदम 2: समीकरण को गुणनखण्डीकरण करें। इसके लिए दो ऐसे नंबर ढूंढें जो −5−5 के बराबर मिलकर और 2×3=62×3=6 के बराबर गुणा करें। नंबर हैं −3−3 और −2−2।
    3. कदम 3: समीकरण को 22−3−2+3=02x2−3x−2x+3=0 के रूप में लिखें।
    4. कदम 4: शब्दों को समूह बनाकर गुणनखण्डीकरण करें: (22−3)+(−2+3)=0(2x2−3x)+(−2x+3)=0।
    5. कदम 5: सामान्य शब्दों को बाहर निकालें: (2−3)−1(2−3)=0x(2x−3)−1(2x−3)=0।
    6. कदम 6: और अधिक गुणनखण्डीकरण करें: (−1)(2−3)=0(x−1)(2x−3)=0।
    7. कदम 7: x का मान निकालें, =1x=1 या =32x=23​।
      2. 3x2−26​x+2=0
      समाधान
      1. कदम 1: समीकरण 32−26+2=03x2−26​x+2=0 लिखें।
      2. कदम 2: समीकरण को गुणनखण्डीकरण करें। दो ऐसे नंबर ढूंढें जो −26−26​ के बराबर मिलकर और 3×2=63×2=6 के बराबर गुणा करें। नंबर हैं −6−6​ और −6−6​।
      3. कदम 3: समीकरण को 32−6−6+2=03x2−6​x−6​x+2=0 के रूप में लिखें।
      4. कदम 4: शब्दों को समूह बनाकर गुणनखण्डीकरण करें: (32−6)+(−6+2)=0(3x2−6​x)+(−6​x+2)=0।
      5. कदम 5: सामान्य शब्दों को बाहर निकालें: (3−6)−1(3−6)=0x(3x−6​)−1(3x−6​)=0।
      6. कदम 6: और अधिक गुणनखण्डीकरण करें: (−1)(3−6)=0(x−1)(3x−6​)=0।
      7. कदम 7: x का मान निकालें, =1x=1 या =63x=36​​।

  11. 11.दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 27 है और गुणनफल 182 है।

    दो संख्याएँ ज्ञात करने के लिए जिनका योग 27 है और गुणनफल 182 है, आप एक द्विघात समीकरण स्थापित कर सकते हैं और इसे गुणनखंड विधि का उपयोग करके हल कर सकते हैं।

    1. कदम 1: दो नंबर x और 27−27−x होंगे।
    2. कदम 2: उनका उत्पाद 182 है, इसलिए ×(27−)=182x×(27−x)=182।
    3. कदम 3: विस्तार करें और सरलीकरण करें ताकि 2−27+182=0x2−27x+182=0 मिले।
    4. कदम 4: समीकरण को (−14)(−13)=0(x−14)(x−13)=0 में गुणनखण्डीकरण करें।
    5. कदम 5: x का मान निकालें, =14x=14 या =13x=13।

    तो दो नंबर 14 और 13 हैं।

  12. 12.दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए, जिनके वर्गों का योग 365 है।

    दो लगातार सकारात्मक पूर्णांक खोजने के लिए जिनके वर्गों का योग 365 है, आप एक द्विघात समीकरण स्थापित कर सकते हैं और इसे गुणनखंड विधि का उपयोग करके हल कर सकते हैं।

    1. कदम 1: दो क्रमिक सकारात्मक पूर्णांक x और +1x+1 होंगे।
    2. कदम 2: उनके वर्गों का योगफल 365 है, इसलिए 2+(+1)2=365x2+(x+1)2=365।
    3. कदम 3: विस्तार करें और सरलीकरण करें ताकि 2+2+2+1=365x2+x2+2x+1=365 मिले।
    4. कदम 4: समान शब्दों को मिलाकर 22+2−364=02x2+2x−364=0 प्राप्त करें।
    5. कदम 5: 2 से भागकर सरलीकरण करें: 2+−182=0x2+x−182=0।
    6. कदम 6: समीकरण को (−13)(+14)=0(x−13)(x+14)=0 में गुणनखण्डीकरण करें।
    7. कदम 7: x का मान निकालें, =13x=13 या =−14x=−14।

    चूंकि हम सकारात्मक पूर्णांकों की तलाश में हैं, =13x=13 और अगला पूर्णांक +1=14x+1=14 है।

  13. 13.एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई उसके आधार से 17 सेमी कम है। यदि कर्ण 26 सेमी है, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

    कदम 1: चर को परिभाषित करें

    त्रिभुज का आधार x cm होगा। इस प्रकार, ऊंचाई −17x−17 cm होगी।

    कदम 2: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें

    विकर्ण का वर्ग बाकी दोनों भुजाओं के वर्गों का योगफल होता है। इस प्रकार, हमारे पास है:

    262=2+(−17)2262=x2+(x−17)2

    कदम 3: विस्तार और सरलीकरण

    पहले, 26 का वर्ग निकालें, जो 676 है। फिर (−17)2(x−17)2 को 2−34+289x2−34x+289 में विस्तारित करें।

    इस प्रकार, समीकरण बनता है: 676=22−34+289676=2x2−34x+289

    कदम 4: सभी शब्दों को एक ओर ले जाएं

    समीकरण को शून्य सेट करने के लिए सभी शब्दों को एक ओर ले जाएं: 0=22−34−3870=2x2−34x−387

    कदम 5: समीकरण को गुणनखण्डीकरण करें

    हर शब्द को 2 से भागें: 0=2−17−193.50=x2−17x−193.5

    इस समीकरण को गुणनखण्डीकरण करें: 0=(−22.5)(+8.5)0=(x−22.5)(x+8.5)

    कदम 6: x का मान निकालें

    अब, x के लिए दो संभावित समाधान हैं:

    1. −22.5=0i.) x−22.5=0 => =22.5x=22.5 cm
    2. +8.5=0ii.) x+8.5=0 => =−8.5x=−8.5 cm

    चूंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती है, हम =22.5x=22.5 cm को आधार मानते हैं।

    कदम 7: ऊंचाई निकालें

    ऊंचाई −17=22.5−17=5.5x−17=22.5−17=5.5 cm होगी।

    इस प्रकार, आधार 22.5 cm और ऊंचाई 5.5 cm है।

  14. 14.मूलो की प्रकृति

    जब आपके पास एक क्वाड्रेटिक समीकरण होता है, जैसे 2++=0ax2+bx+c=0, तो आप इसके रूट्स निकाल सकते हैं। रूट्स वो x के मूल्य होते हैं जो समीकरण को सच बनाते हैं। रूट्स की प्रकृति हमें बताती है कि हमें कैसे रूट्स मिलेंगे। क्या वे वास्तविक संख्याएं होंगी? क्या वे काल्पनिक होंगे? क्या वे समान या अलग-अलग होंगे?

    आप डिस्क्रिमिनेंट 2−4b2−4ac का उपयोग करके रूट्स की प्रकृति जान सकते हैं।

    1. वास्तविक और अलग-अलग रूट्स: अगर 2−4>0b2−4ac>0 है, तो आपको दो अलग-अलग वास्तविक रूट्स मिलेंगे।
    2. वास्तविक और समान रूट्स: अगर 2−4=0b2−4ac=0 है, तो आपको एक ही वास्तविक रूट मिलेगा (या दो समान वास्तविक रूट्स)।
    3. काल्पनिक रूट्स: अगर 2−4<0b2−4ac<0 है, तो आपको दो काल्पनिक रूट्स मिलेंगे।

    वास्तविक जीवन का उदाहरण:

    मान लीजिए आप एक बॉल को हवा में फेंक रहे हैं। बॉल की उंचाई अलग-अलग समय पर एक क्वाड्रेटिक समीकरण द्वारा प्रस्तुत की जा सकती है। इस समीकरण के रूट्स आपको बताएंगे कि बॉल कब ज़मीन पर लगेगा। अगर आपको वास्तविक रूट्स मिलते हैं, तो इसका मतलब है कि बॉल उन समयों पर ज़मीन पर लगेगा। अगर आपको काल्पनिक रूट्स मिलते हैं, तो इसका मतलब है कि बॉल कभी भी ज़मीन पर नहीं लगेगा, जो कि वास्तविक जीवन में एक फेंके गए बॉल के लिए संभावित नहीं है।

  15. 15.द्विघात समीकरण 2x2 – 4x + 3 = 0 का विवेचक ज्ञात कीजिए और इसलिए इसके मूलो की प्रकृति का पता लगाएं

    आइए द्विघात समीकरण के विभेदक और मूलों की प्रकृति का पता लगाएं

    2x2−4x+3=0.

    डिस्क्रिमिनेंट का सूत्र 2−4b2−4ac है।

    यहाँ =2a=2, =−4b=−4, और =3c=3 है।

    तो, डिस्क्रिमिनेंट होगा (−4)2−4×2×3(−4)2−4×2×3।

    यानी 16−2416−24।

    तो, डिस्क्रिमिनेंट है −8−8।

    क्योंकि डिस्क्रिमिनेंट नकरात्मक है (−8<0−8<0), समीकरण के रूट्स काल्पनिक होंगे।

    वास्तविक जीवन का उदाहरण:

    मान लीजिए आप एक पहेली सुलझा रहे हैं, और क्वाड्रेटिक समीकरण संभावित समाधानों का प्रतिनिधित्व करता है। एक नकरात्मक डिस्क्रिमिनेंट का कहना है कि पहेली का कोई "वास्तविक जगत" समाधान नहीं है, केवल काल्पनिक या सैद्धांतिक हैं।

  16. 16.13 मीटर व्यास वाले एक वृत्ताकार पार्क की सीमा पर एक बिंदु पर एक खंभा इस प्रकार खड़ा किया जाना है कि सीमा पर दो बिल्कुल विपरीत निश्चित गेट A और B से इसकी दूरी का अंतर 7 मीटर है। क्या ऐसा करना संभव है? यदि हां, तो दोनों गेटों से कितनी दूरी पर पोल लगाया जाना

    मान लेते हैं कि गेट A से पोल तक की दूरी x मीटर है। फिर, गेट B से पोल तक की दूरी (13−)(13−x) मीटर होगी, क्योंकि पार्क का व्यास 13 मीटर है।

    दूरियों का अंतर 7 मीटर के रूप में दिया गया है। इसलिए, हम समीकरण लिख सकते हैं:

    ∣−(13−)∣=7∣x−(13−x)∣=7 ∣2−13∣=7∣2x−13∣=7 (2−13)2=49(2x−13)2=49 42−52+169=494x2−52x+169=49 42−52+120=04x2−52x+120=0

    अब, रूट्स की प्रकृति जांचने के लिए डिस्क्रिमिनेंट निकालते हैं:

    2−4=(−52)2−4×4×120b2−4ac=(−52)2−4×4×120 2704−19202704−1920 784784

    डिस्क्रिमिनेंट 784 है, जो 0 से अधिक है। इसका मतलब है कि x के लिए दो वास्तविक और अलग-अलग रूट्स हैं, इसलिए हां, पोल को दो अलग-अलग बिंदुओं पर खड़ा करना संभव है।

    वास्तविक जीवन का उदाहरण:

    इसे एक गोलाकार पार्क में एक टेंट पोल सेट करने की तरह सोचें। आपके पास दो गेट हैं, और आप पोल को ऐसे रखना चाहते हैं कि यह एक गेट से दूसरे से 7 मीटर करीब हो। गणित दिखाता है कि आप इसे दो अलग-अलग जगहों पर कर सकते हैं!

  17. 17.समीकरण 3x²−2x+ 1/3=0 का विवेचक ज्ञात कीजिए। और इसलिए इसके मुलो की प्रकृति का पता लगाएं। यदि वे वास्तविक हैं तो उन्हें खोजें।

    डिस्क्रिमिनेंट का सूत्र 2−4b2−4ac है।

    यहाँ =3a=3, =−2b=−2, और =13c=31​ है।

    तो, डिस्क्रिमिनेंट होगा (−2)2−4×3×13(−2)2−4×3×31​।

    यानी 4−44−4।

    तो, डिस्क्रिमिनेंट है 00।

    क्योंकि डिस्क्रिमिनेंट शून्य है (00), समीकरण के रूट्स वास्तविक और समान होंगे।

    रूट्स निकालने के लिए, आप क्वाड्रेटिक सूत्र =−±2−42x=2a−b±b2−4ac​​ का उपयोग कर सकते हैं।

    यहाँ, =−(−2)±02×3x=2×3−(−2)±0​​, =2±06x=62±0​, =26x=62​, =13x=31​।

    तो, रूट है =13x=31​, और यह वास्तविक और समान है।

    वास्तविक जीवन का उदाहरण:

    मान लीजिए आप नींबू पानी बेचने की सबसे अच्छी कीमत निकालने की कोशिश कर रहे हैं। अगर डिस्क्रिमिनेंट शून्य होता, तो इसका मतलब होता कि आपके मुनाफे को अधिकतम करने के लिए केवल एक ही सबसे अच्छी कीमत होती।

  18. 18.निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि वास्तविक जड़ें मौजूद हैं, तो उन्हें खोजें:

    22−3+5=01. 2x2−3x+5=0
    डिस्क्रिमिनेंट का सूत्र

    2−4b2−4ac है।

    यहाँ =2a=2, =−3b=−3, और =5c=5 है।

    तो, डिस्क्रिमिनेंट होगा (−3)2−4×2×5(−3)2−4×2×5।

    यानी 9−409−40।

    तो, डिस्क्रिमिनेंट है −31−31।

    क्योंकि डिस्क्रिमिनेंट नकरात्मक है (−31<0−31<0), समीकरण के रूट्स काल्पनिक होंगे।

    2. 3x2−43​x+4=0

    यहाँ =3a=3, =−43b=−43​, और =4c=4 है।

    डिस्क्रिमिनेंट होगा (−43)2−4×3×4(−43​)2−4×3×4।

    यानी 48−4848−48।

    तो, डिस्क्रिमिनेंट है 00।

    क्योंकि डिस्क्रिमिनेंट शून्य है (00), समीकरण के रूट्स वास्तविक और समान होंगे।

    रूट्स निकालने के लिए, आप क्वाड्रेटिक सूत्र =−±2−42x=2a−b±b2−4ac​​ का उपयोग कर सकते हैं।

    यहाँ, =−(−43)±02×3x=2×3−(−43​)±0​​, =436x=643​​, =233x=323​​।

    तो, रूट है =233x=323​​, और यह वास्तविक और समान है।

  19. 19.निम्नलिखित द्विघात समीकरणों में से प्रत्येक के लिए k का मान ज्ञात कीजिए, ताकि उनके दो समान मूल हों।

    पहला समीकरण:

    2x2+kx+3=0

    यहाँ =2a=2, =b=k, और =3c=3 है।

    डिस्क्रिमिनेंट होगा 2−4×2×3k2−4×2×3।

    इसे शून्य से बराबर करते हैं, हमें मिलता है: 2−24=0k2−24=0 2=24k2=24 =±24k=±24​ =±26k=±26​

    तो, k की मूल्य 2626​ या −26−26​ हो सकते हैं ताकि समीकरण में दो समान रूट्स हों। दूसरा समीकरण: kx(x−2)+6=0

    समीकरण का विस्तार करते हैं, हमें मिलता है

    2−2+6=0kx2−2kx+6=0।

    यहाँ =a=k, =−2b=−2k, और =6c=6 है।

    डिस्क्रिमिनेंट होगा (−2)2−4××6(−2k)2−4×k×6।

    इसे शून्य से बराबर करते हैं, हमें मिलता है: 42−24=04k2−24k=0 4(−6)=04k(k−6)=0 k = 0 \) या \( k = 6

    तो, k की मूल्य 00 या 66 हो सकते हैं ताकि समीकरण में दो समान रूट्स हों।

  20. 20.क्या एक आयताकार आम का बगीचा बनाना संभव है जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई से दोगुनी हो और क्षेत्रफल 800 वर्ग मीटर हो? यदि हां, तो इसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

    आम के बाग की चौड़ाई x मीटर मान लेते हैं। फिर, लंबाई 22x मीटर होगी।

    क्षेत्रफल = ×2=800x×2x=800 22=8002x2=800 2=400x2=400 2−400=0x2−400=0

    यहाँ =1a=1, =0b=0, =−400c=−400 है।

    डिस्क्रिमिनेंट 2−4=02−4×1×(−400)=1600b2−4ac=02−4×1×(−400)=1600 है।

    चूंकि डिस्क्रिमिनेंट धनात्मक है, ऐसा आम का बाग डिजाइन करना संभव है।

    x निकालने के लिए, =400x=400​ =20x=20

    तो, चौड़ाई 2020 मीटर और लंबाई 4040 मीटर है।


  21. 21.क्या निम्नलिखित स्थिति संभव है? यदि हां, तो उनकी वर्तमान आयु निर्धारित करें। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पहले, उनकी उम्र का गुणनफल वर्षों में 48 था.

    एक दोस्त की उम्र x वर्ष मान लेते हैं। फिर, दूसरे दोस्त की उम्र 20−20−x वर्ष होगी।

    चार वर्ष पहले, उनकी उम्र −4x−4 और 20−−420−x−4 थी।

    उनकी उम्रों का उत्पाद चार वर्ष पहले 48 था: (−4)(20−−4)=48(x−4)(20−x−4)=48 2−16+48=0x2−16x+48=0

    यहाँ =1a=1, =−16b=−16, =48c=48 है।

    डिस्क्रिमिनेंट 2−4=(−16)2−4×1×48=256−192=64b2−4ac=(−16)2−4×1×48=256−192=64 है।

    चूंकि डिस्क्रिमिनेंट धनात्मक है, ऐसी उम्र मौजूद हो सकती है।

    x निकालने के लिए, हम क्वाड्रेटिक सूत्र या गुणांकन का उपयोग कर सकते हैं। यहाँ, =8x=8 या =12x=12 है।

    तो, उम्र 88 और 1212 वर्ष या उल्टा हो सकती है।

  22. 22.क्या 80 मीटर परिधि और 400 वर्ग मीटर क्षेत्रफल वाला एक आयताकार पार्क बनाना संभव है? यदि हां, तो इसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

    चौड़ाई x मीटर मान लेते हैं। फिर, लंबाई 40−40−x मीटर होगी (क्योंकि परिधि 80 है, और 2+2(40−)=802x+2(40−x)=80)।

    क्षेत्रफल = ×(40−)=400x×(40−x)=400 2−40+400=0x2−40x+400=0

    यहाँ =1a=1, =−40b=−40, =400c=400 है।

    डिस्क्रिमिनेंट 2−4=(−40)2−4×1×400=1600−1600=0b2−4ac=(−40)2−4×1×400=1600−1600=0 है।

    चूंकि डिस्क्रिमिनेंट शून्य है, ऐसा आयताकार पार्क डिजाइन करना संभव है।

    x निकालने के लिए, =20x=20।

    तो, चौड़ाई 2020 मीटर और लंबाई 2020 मीटर है।

  23. 23.शीघ्र पुनरीक्षण

    1. द्विघात समीकरण का परिचय: द्विघात समीकरण एक प्रकार का बहुपद होता है जिसमें हमेशा उसके चर की सबसे बड़ी शक्ति 2 होती है। यह इस तरह दिखता है 2++=0ax2+bx+c=0, जहाँ a, b, और c संख्याएँ हैं और a शून्य नहीं है।

    2. द्विघात समीकरण को हल करने के लिए गुणनखंडन विधि: गुणनखंडन विधि में द्विघात को दो कोष्ठकों के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 2+5+6=0x2+5x+6=0 को (+2)(+3)=0(x+2)(x+3)=0 में गुणनखंडित किया जा सकता है। फिर आप x के उन मानों को खोजते हैं जो प्रत्येक कोष्ठक को शून्य बनाते हैं।

    3. गुणनखंडन विधि से समीकरण की जड़ें खोजें: गुणनखंडन विधि से द्विघात समीकरण की जड़ों (समाधानों) को खोजने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

    • समीकरण को 2++=0ax2+bx+c=0 के रूप में व्यक्त करें।
    • इसे दो कोष्ठकों में गुणनखंडित करें।
    • प्रत्येक कोष्ठक को शून्य के बराबर रखें और x के लिए हल करें।

    4. जड़ों का स्वभाव: द्विघात समीकरण की जड़ों का स्वभाव विभेदक (2−4b2−4ac) पर निर्भर करता है:

    • यदि विभेदक धनात्मक है, तो आपको दो वास्तविक और विभिन्न जड़ें मिलती हैं।
    • यदि यह शून्य है, तो आपको बिल्कुल एक वास्तविक जड़ (दोहराई गई) मिलती है।
    • यदि यह ऋणात्मक है, तो जड़ें जटिल होती हैं और वास्तविक नहीं होती हैं।

    महत्वपूर्ण सूत्र और कार्यान्वयन

    • द्विघात सूत्र: =−±2−42x=2a−b±b2−4ac​​। इसका उपयोग तब करें जब गुणनखंडन कठिन हो।
    • विभेदक: =2−4D=b2−4ac। इससे आपको जड़ों के स्वभाव का पता चलता है।

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